高中数学随机变量及其分布范文
时间：2023-09-14 17:49:25
导语：如何才能写好一篇高中数学随机变量及其分布，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公文云整理的十篇范文，供你借鉴。
篇1
一、高中数学新课程概率统计背景和地位
2003年5月出台的《普通高中课程标准》提出要将概率与统计作为高中数学课程的必修内容，并提出明确的要求、说明与建议。在我国“， 概率统计”内容从几进几出到如今作为《标准》中的必修内容，这既满足信息时代对数学教学的要求，又是数学新课程发展的必然。高中必修课程由五大模块组成“， 概率与统计”属于模块，在本模块中，学生将在义务教育阶段学习统计与概率的基础上，通过实际问题情境，学习随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，体会用样本估计总体及其特征的思想；通过解决实际问题，较为系统地经历数据收集与处理的全过程，体会统计思维与确定性思维的差异。学生将结合具体实例，学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对随机现象的理解，能通过实验、计算模拟估计简单随机事件发生的概率。通过对概率统计的学习，学生可以充分体会到数学与我们的日常生活是紧密相连的，这样可以大大激发学生学习数学的兴趣，发展数学应用意识和创新意识，开阔学生的数学视野。虽然所讲授的概率和统计内容属于简单部分，但是它为中学生提供了一个很好认识数学应用性的平台，为学生以后进入大学阶段学习提供了一个理想的过度阶段。
二、高中数学新课程“概率与统计”的内容和特点分析
（一）统计部分内容：这一部分内容有不少于初中阶段所学重复，学生学习起来较轻松，这部分内容包括：（1）随机抽样 、（2）用样本估计总体 ，体会用样本估计总体的思想。（3）变量的相关性 ，这部分初中教学中并未涉及，要求学生利用散点图，来认识变量间的相关关系；知道最小二乘法的思想，根据公式建立线性回归方程。
（二）概率部分内容：：这一部分内容在必修和选修中都有涉及，学生刚刚涉及，需要通过一些实例去理解相关概念。
（1）随机事件的概念，频率与概率区别与联系
（2）随机事件的基本事件数和事件发生的概率，互斥事件的概率加法公式，古典概型及其概率计算公式，独立重复试验
（3）随机数的意义，能运用模拟方法估计概率，几何概型
（4）学习某些离散型随机变量分布列及其均值、方差及内容，初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法。加深对随机现象的理解，能用随机的观念认识并解释现实世界；能通过实验、计算器 （机）模拟估计简单随机事件发生的概率。
（5）“离散型随机变量”与“样本数据”存在定位上的区别。“离散型随机变量” 与“样本数据” 两者概念不能混为一谈。“离散型随机变量”是由实验结果确定的，“样本数据” 是由抽样方式确定的，导致了两者的差别。
（6）通过实例，理解所有的概念，避免过分注重形式化的倾向。
重点是理解“离散型随机变量及其分布列”、“均值”、“方差”、“正态分布”的概念。
（7）“随机观念”贯穿于这部分内容的始终。
首先要认识离散型随机变量的分布列对刻划随机现象的重要性；其次掌握超几何分布、二项分布是两个非常重要的应用广泛的概率模型。另外正态分布应用更广泛。通过这些“分布” 的学习，初步学会一种方法（即利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法），形成一种意识（用随机观念观察分析问题的意识）。但“方法” 和“意识”的培养，仍然离不开实例。
（三）高中概率统计的教材特点分析
（1）强调典型案例的作用 教科书无论在背景材料、例题和阅读与思考栏目的选材上都注意联系实际.
（2）注重统计思想和计算结果的解释
教科书中突出统计思想的解释，如在概率的意义部分，利用概率解释了统计中似然法的思想，解释了遗传机理中的统计规律.统计试验中随机模拟方法的原理就是用样本估计总体的思想.在古典概型部分，每道例题在计算出随机事件的概率后，都给出相应结果的解释或提出思考问题让学生做进一步的探究.
（3）注重现代信息技术手段的应用
由于概率统计本身的特点，统计需要分析和处理大量的数据，概率中随机模拟方法需要产生大量的模拟试验结果，并需要分析和综合试验结果，所以现代信息技术的使用就显得更为必要.
三、课程标准要求的具体化和深广度分析
1.如何提高学生对统计的兴趣
高中阶段统计教学应通过案例的进行，在对实际问题的分析中，使学生经历较为系统的数据处理全过程，在此过程中学习一些常用的数据处理的方法，运用所学知识、方法去解决简单的实际问题，体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用以及应用的广泛性。同时，具体的案例也容易帮助学生理解问题和方法的实质。例如：对于“最小二乘法”的学习，如果直接介绍一般的最小二乘的方法，学生往往体会不到这种方法的实质，也失去了一个分析问题、处理数据的机会。教学中，可以通过一个学生感兴趣的实例，比如学生身高和体重的关系，让学生收集到的数据做出散点图，利用散点图直观认识到变量之间存在着线形相关关系，然后鼓励学生自己想办法确定一条“比较合适”的直线描述这两个变量之间线形相关关系，在此基础上再引入最小二乘法，并给出线形回归方程。所以教师平时要细心收集生活中的素材、广泛涉猎各学科知识，更多地发动学生自己发现问题，以此积累案例开展统计教学，展示统计的广泛应用。
2.如何理解“取有限值的离散随机变量及其分布列” 的含义。
（1）通过实例比较并体会“离散型随机变量” 与“随机变量” 的区别。
若随机变量X至多可以取可数个值，则称X为离散型随机变量。
设X为离散型随机变量，其可能取值为x1x2……，则
pi=P（X=xi），i=1，2，3……
完全地描述了随机变量X的取值规律，称它为X的概率分布列。
例1：问题1 掷一枚均匀硬币，以X表示一次掷币过程中出现正面的次数，试求X的分布列。
思考：a、某人掷币一次的实验中，可能出现的结果（基本事件）是什么？ b、为什么可以由0，1这2个数字表示实验中可能出现的结果？
分析：因为实验中的可能出现的结果自然的对应着一个实数，根据这种对应关系，我们可以用结果对应的数量表示它。如0表示出现反面，1表示出现正面。
例2：问题2 某林场树木最高达到30米，林场树木的高度η一个随机变量。①随机变量η可以取那些值？②问题1中的命中环数ξ与问题2中的树木的高度η这两个随机变量取值有什么不同？
篇2
关键词：高中数学 选修内容 合理性 价值
从2003年4月《高中数学课程标准(实验稿)》正式出版发行以来，对于高中数学课程的价值的研究，大多是基于必修加选修这个总体框架的，这种研究对于课程编写者和大纲制定者来说具有一定的参考价值，但是作为一线教学的教师，经常会困惑于教学的内容，例如，为什么要教学生框图和算法，这部分选修内容有什么价值。因此，有必要来研究普通高中数学课程标准中关于选修内容的合理性及价值。
1、普通高中数学选修课的合理性分析
1.1从教学对象的角度分析普通高中数学选修课的合理性
我们经常说，“术业有专攻”。文科生和理科生在将来的学习和生活中所用的数学知识是不同的，因此，数学教育在文理科教学中应有不同。高中数学分文科数学和理科数学，分别为文科生和理科生所修。文理之间的区别主要体现在数学选修内容和要求的不同上。在系列1、系列2的课程中，有一些内容基本相同，但要求不同，如导数及其应用、圆锥曲线与方程、推理与证明；还有一些内容是不同的，如系列1中安排了框图等内容，系列2安排了空间中的向量与立体几何、计数原理、离散型随机变量及其分布等内容。《普通高中数学课程标准》(实验)
(以下简称《标准》)明确说明，选修1是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的；选修2则是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的。
1.2从教材广度分析普通高中数学选修课的合理性
可以大致地把高中数学选修课程的内容分为两类：一类内容是必修课程的后续。例如：(必修)平面解析几何与(选修)圆锥曲线与方程等，后续内容是必修课内容的补充或加深，可以使学生深入到了某一知识领域，进一步加深学生对该知识领域数学思想的体会。另一类内容是与必修课程无直接联系的(这里所说的无直接联系是指，这部分内容的设置可以与必修课同时开设，学生有没有必修课程的学习经验和知识储备，都可以学习其内容)，例如，选修1、2模块中的一些内容和选修3、4的专题内容。其中选修1、2模块中的内容是为了满足学生的不同数学需求，它仍然是学生发展所需要的基础性数学课程。专题内容的学习有利于学生的终身发展，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。依据《标准》来看，选修课程的安排，满足了学生的不同数学需求，适应个性选择。
1.3从教材深度分析普通高中数学选修课的合理性
教材的深度，即《标准》中对教材内容的要求。高中数学选修课程设计在深度上的不同体现在：选修1、2中有一些内容是相同的但要求学生完成或达到的程度不同，如导数及其应用、圆锥曲线与方程、推理与证明；选修1、2中有一些内容是不相同的，如系列1中安排了框图等内容，系列2安排了空间中的向量与立体几何、计数原理、离散型随机变量及其分布等内容。这样在内容和要求上的不同设计，不仅能使学生在高中三年有限的学习时间里，对自己感兴趣的专业集中精力，提高学生的学习兴趣、热情等，而且势必会使学生对所学习的知识进一步加深理解以及在某一知识领域有一定程度深入地探究。
2、普通高中数学选修课的价值分析
2.1基础教育的价值
必修课程与选修课程的相同价值之一就是基础教育的价值，即，使学生获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，为学生进一步的学习提供必要的数学准备。
2.2实际应用的价值
高中数学课程，不是一门技术课，它并不能直接转化为现实的生产力，因此只能说它体现了数学在实际应用中的价值。《标准》中指出“高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。”具体体现在：首先《标准》中提出“通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用”、“能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题”等要求。这些无不鲜明地体现了《标准》对数学在实际问题中应用的强调与重视。其次，设立了体现数学某些重要应用的专题课程，如，信息安全与密码、优选法与试验设计初步、统筹法与图论初步等。在选修课中重点介绍数学应用的内容，这对于培养学生的创新意识、实践能力可以起到很好的作用。
2.3数学文化价值
高中数学选修课程中处处渗透着数学文化。《标准》中指明：“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，这些内容不单独设置，渗透在每个模块或专题中”，这说明数学的文化价值是隐含在各个模块或专题中了。除此之外，《标准》中的选修内容在课程设计上还直接地引入了数学文化，例如，选修1、2的导数及其应用、推理与证明等内容与要求中明确提出数学文化和选修3-1“数学史选讲”。数学文化的介绍，可以使学生了解数学的发展过程及发展方向，提高学生的数学素养及能力，数学故事又是进行爱国主义教育很好的题材。
篇3
关键词：中日韩；高考数学试题；比较分析
中图分类号：G639.3/.7 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）12-0158-02
通过查阅中日韩三国的高中数学课程的相关文献，对中日韩三国若干年的高考数学试题的分析和研读三国的数学高考出题原则发现，三国的高中数学有所不一样，在课程的设置方面，中国的高中数学教材分必修和选修模块；日本的高中数学设置了7个科目：《数学基础》、《数学Ⅰ》、《数学Ⅱ》、《数学Ⅲ》、《数学A》、《数学B》和《数学C》；韩国的高中数学教材分数学一、数学二和选修部分，在高考数学的试题方面，三国的高考数学试题也存在比较大的差异性。本文主要从三国高考数学试题的试题形式、试题题量、试题内容、试题背景这四个方面进行对比分析。
一、试题形式的比较
从直观的题目的设计形式上来看，三国的试题形式都有所不同，日本的高考试题在形式方面比较单一，以简答题的形式出题，韩国的高考试题有选择题和简答题两种形式，而中国的高考试题分选择题、填空题、解答题这三大形式。在试题的设计形式上看，中国的高考试题显得比日韩两国的高考试题更全面和多样化，另外在设置选择题的备选项中，中国的高考试题每道选择题设置四个选项，分别是A，B，C，D选项，而韩国的选择题设置的是①，②，③，④，⑤五个选项，显然，这样增大了选择的难度。通过以上高考数学试题设计形式的比较，可以看出中国高考数学试题的形式相比之下多样化，从而可以更容易从不同的方面考查学生知识的掌握情况，选择题考查学生对知识的再认知的过程；填空题考查学生对知识的回忆过程；解答题考查学生对知识的应用过程，这些不同形式选择题、填空题、解答题从不同层次考查学生对知识的掌握情况，这样考查面更广、更全。
二、试题题量的比较
从高考出题的题量方面上看，中国的高考数学试题共有22道题，其中12道选择题，4道填空题，6道解答题，总分为150，客观题占60分，主观题占90分，韩国出题共40道题，必做题为25道，另外为15题中选5个的选做题，共需要做30个题，总分为100分，客观题占68分，主观题占32分。相比中国和韩国的高考试题，日本的高考试题的题量相对较少，试题题量越少，对所学知识的考查就越不充分，所以在题量方面设计时不宜太少。
三、试题内容的比较
关于试题内容方面，中日韩三国的高考数学考查的内容大部分是相同的，其中函数（对数函数、指数函数、三角函数）、数列（等差数列、等比数列）、排列组合、概率等都是重点考查的内容，不同之处在于中国的高考数学试题没有涉及到对矩阵、极限、正态分布、数列收敛、积分定理等的考查，在中国，概率正态分布只是作为阅读资料，不作为高考的考试范围，矩阵、积分定理在高中的教材也没有出现，它是高等数学中的内容。同样极限、条件概率也是在高等数学中才重点学习，而以上这些内容在日韩的高考试题中是常见的，另外韩国的高中数学内容有一小部分是在中国的初中阶段就已经学习了，可见日韩高考试题的覆盖范围要比中国的高考数学的范围大。中国高考数学的考查范围较小，但是考查的知识点比较细，试题注重知识的基础性，无论是函数还是立体几何，各个知识点考查得比较全面，比较细致，如概念、性质、定理等的应用。
例如考查函数的知识，函数的定义域或是值域这些基本概念在中国是常考的。
例：（中国）1.函数y=■+■的定义域为（？摇？摇）.
A.{x|x≥0} B.{x|x≥1}
C.{x|x≥1}∪{0} D.{x|0≤x≤1}
韩国的高考试题注重考查学生的计算能力、理解能力、推证能力、解决问题的能力，对于计算能力的考查，通常会以指数（有理数的指数运算）、对数的计算、矩阵的计算（矩阵的加法与乘法）、极限的计算形式出现.例如：
1.求（log327）×8■.
①12？摇？摇？摇②10？摇？摇？摇③8？摇？摇？摇④6？摇？摇？摇⑤4
2.已知A=-1 0 0 1，B=2 13 3，求（A+B）-1.
①1？摇？摇？摇②2？摇？摇？摇③3？摇？摇？摇④4？摇？摇？摇⑤5
3.求■■.
①1 ②■ ③3 ④■ ⑤3
四、试题背景的比较
中日韩三国的国情、社会发展的不同必然会导致三国的高考数学的出题背景不一样，总的来说，中国的高考试题很多是以课本的例题、习题为变式题，通过简单的变形、延展来改编，试题与现实生活结合得不够紧密.另外，每年的高考试题在题型方面几乎都一样，解答题一般都是考查6种题型：三角函数、立体几何、函数与不等式、统计与概率、圆锥曲线、数列，所以在试题的背景方面体现不出新颖性.相比之下，日韩两国的高考试题都是比较生活化的，同时也关注培养学生的数学文化素养.下面举例说明此问题.
1.对于指数与对数的考查.例（韩国）：某溶液的氢离子浓度为H■，该溶液的酸性度用pH值定义为pH=-logH■.在摄取1块糖以后提取唾液测得的pH值为6.6.10分钟以后再提取唾液测试氢离子浓度，其值是最初提取唾液时测得值的50倍，求此时的pH值.（其中log2=0.3）
①3.7？摇？摇？摇②4.0？摇？摇？摇③4.3？摇？摇？摇④4.6？摇？摇？摇⑤4.9
像以上这种结合实际生活考查对数与指数的题目，韩国的高考中经常出现.而在中国的高考数学试题中是没有，中国的高考题中对指数和对数的考查只局限于老形式，没有新情景.
例（中国）：若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x-1）=5，x1+x2=（？摇？摇）.
A.■ B.3 C.■ D.4
所以这也是中国的教育需要向韩国借鉴的.
2.在数列部分考查.例（中国）：已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10（？摇？摇）.
A.138 B.135 C.95 D.23
例（日本）：数列{an}满足下列条件，a1=1，a2=1，an+2=7an+1
+an（n=1，2，3…）
①请用数学归纳法证明a3n（n=1，2，3…）是偶数.
②证明a4n（n=1，2，3…）是3的倍数.
同样是考查数列内容，中国试题与课本上的形式基本一致，日韩的有利用数学归纳法证明的题，还有推测各项求数列和的题，可见日韩试题的载体和解答都比我国新颖.
3.再如对于概率知识的考查.中国历年都是考查离散型随机变量的概率分布和数学期望的概念和运算，也有部分考题将对相互独立事件的概率，二项分布或超几何分布等概念的考查融于对随机变量的概率分布和数学期望的考查之中.比起日韩，中国关于这部分内容所考查的知识点比较全面，对基本知识的要求比较高，但是在试题的覆盖面上和考题的类型上，日韩的试题的覆盖面更广，考题类型更多样化，而且试题的背景更加生活情景化.
例2（韩国）：一个电视100个频道，这个电视的遥控器的一部分如图，这个电视显示着50频道，若从增加和减少的两个按钮中任选一个按一下，这样一共按六次，则电视仍然显示50频道的概率为？（没按一下按钮电视会增加或减少一个频道）
①■ ②■ ③■
④■ ⑤■
总体上来看，中国高考数学试题的表现形式比较规范，考查的知识点比较精细，强调双基和运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，而日韩两国的试题更加强调考查学生的形象思维及理解能力、解决问题的能力，所以在高考数学编制试题方面，日韩两国的这些优点值得中国借鉴.
参考文献：
[1]赵荣夫.高考数学试题的背景研究[J].数学教学研究，2006，（12）.
[2]周莉莉.中日韩数学高考对比探究[J].中学数学教学参考，2001，（4）.
[3]刘文.日本数学课程改革的特点及其启示[J].教育科学，2000，（4）.
篇4
一、复数篇
复数是历年高考的必考内容，以选择、填空题为主，分值为5分左右，是送分题，近几年的广东高考重点考查了复数的除法运算，在注重对基础运算考查的同时，有意识地融合复数的基本概念、复数幂的运算的考查.
考点1. 复数的基本概念及基本运算
例1. 已知复数z=（1+i）2 （i为虚数单位），则z= .
分析： 本题考查复数的运算、复数的模. 把复数化成标准的a+bi（a，b∈R）形式，利用z=求得.
解析：z=（1+i）2=1+2i-1=2i，z=2.
点评：对复数有关概念的考查主要是与复数的运算相结合，一般为客观题，难度小，解题关键是准确把握有关概念，根据复数的运算法则准确进行简化运算.
考点2. 复数的运算几何意义
例2. 复数z=在复平面上对应的点位于第 象限
分析：本题考查复数的几何意义，一般来说，处理这类问题时一定要先将复数z化为代数形式，再利用复数的几何意义进行判断.
解析：z====，所以点（，-）位于第四象限.
点评：复数的几何意义是高考命题的一个重点，多结合复数的基本运算与复数对应的点所在象限进行考查，解决这类问题的关键是准确理解复数与复平面内点之间的一一对应关系，通过四则运算法则准确进行化简，确定其实部与虚部.
二、导数篇
通过认真研究这几年广东高考试题，发现以导数知识作为工具，考查函数的单调性、切线问题、最值（极值）、恒成立问题、零点（方程根）问题等是热点考点，常考常新，对这部分的考查，命题形式是一道大题（压轴题）或一道选择、填空题，分值在20分左右.
考点3. 求单调区间（取值范围）
例3. 求函数y=x2-lnx的单调减区间.
分析：这是一个非初等函数，应用定义法或复合函数单调性的方法不容易求出函数的单调减区间，我们不妨利用导数法来求可导函数的单调区间.
解析：由题意得函数的定义域为（0，+∞），y′=x-，令x-=0，解得x=±1，当x∈（-1，1）时，y′0，所以函数y=x2-lnx的单调减区间为（0，1）.
点评：应用导数求函数的单调区间的步骤是先判断函数的定义域，然后求出导函数f′（x），最后分别由f′（x）>0或f′（x）
考点4. 求函数的最值（极值）
例4. 求函数f（x）=x3-x2+1在区间[-2，2]上的最大值与最小值.
分析：解答本题的关键是求出函数f（x）的导函数，及使导函数的值为零的点，即求出可导点，然后判断在可导点两侧的单调性，求出函数的极值，再与两端的函数值比较即可.
解析：f′（x）=3x2-3x=3x（x-1），令f′（x）=0可得x=0或x=1.
列出关于x，f′（x），f（x）表格：
所以当x=0时，f（x）取得极大值1，当x=1时，f（x）取得极小值.
又f（-2）=-13，f（2）=3，故函数的最大值为3，最小值为-13.
点评：一般地，在闭区间[a，b]上的连续函数f（x）必有最大值与最小值，在开区间（a，b）内的连续函数不一定有最大值与最小值，若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上单调递增，则f（a）是最小值，f（b）是最大值;若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上单调递减，则f（a）是最大值，f（b）是最小值.
考点5. 含参不等式的恒成立问题
例5. 若对x∈[-1，2]，不等式x3-x2-2x+t
分析：构造函数f（x）=x3-x2-2x+t，再求出函数f（x）的最大值即可，即通过解不等式f（x）max≤t2求出t的取值范围.
解析： f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1），令（3x+2）（x-1）=0，得到x1=-，x2=1，当-1
所以函数f（x）在x=-处取得极大值，为极大值为f′（-）=+t.
又f（2）=2+t，f（-1）=+t，比较可知f（2）=2+t为最大值. 要使不等式x3-x2-2x+t
点评：应用导数解答函数的恒成立问题的基本步骤是先求出函数的最值，再转化成解不等式，求出参数即可.
考点6. 导数的几何意义（切线方程）
例6. 已知函数f（x）=ln（x+1）-，求曲线y=f（x）在x=0处的切线方程.
分析：本题考查了导数的几何意义，关键是注意函数定义域及对函数正确求导.
解析：函数f（x）的定义域为（-1，+∞），f′（x）=-=.
由题意，得f′（0）==-1，切点为（0，0），故切线方程为y=-x.
点评：解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法. 解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P（x0，y0），然后求其切线斜率k=f（x0）， 写出其切线方程.而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点.
三、圆锥曲线篇
直线与圆锥曲线位置关系问题是每年高考考查的热点.这类问题综合性强，运算量大，代数推理能力要求高.考查的热点问题主要有公共点问题、弦长问题、中点弦问题、最值问题、定点（定值）问题、对称问题.题型是一道解答题和一道填空题或选择题，分值为20分左右.
考点7. 公共点（交点）问题
例7. 若直线y=kx+1（k∈R）与椭圆+=1恒有公共点，求实数t的取值范围.
分析：公共点问题可以通过利用判别式法来求解.判别式法解题的主要步骤是（1）直线方程与方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程;（2）借助？驻来判断.
解析：由y=kx+1代入+=1得（5k2+t）x2+10kx+5-5t=0.
所以？驻=t-5k2-1≥0，得t≥5k2+1≥1，故t≥1且t≠5.
点评：判别式法是解答这类题的通性通法.
考点8. 弦长问题
例8. 已知椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A、B两点，求AB.
分析： 弦长问题一般利用弦长公式AB= x1-x2来定义来解答. 解答基本步骤是联立直线与圆锥曲线方程消去y（或x）得到关于的一元二次方程，再利用韦达定理求解即可.
解析：令A（x1，y1），B（x2，y2），将y=-2x-2代入+y2=1可得9x2+16x+6=0. 所以x1+x2=-，x1x2=. 故AB=x1-x2==.
点评：本题利用了弦长公式来求解，体现了通性通法.
考点9. 最值（范围）问题
例9. 椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e=，椭圆上各点到直线l∶x-y++=0的最短距离为1，求椭圆的方程.
解析：由e=，得e2=，即=，得a2=4b2.设椭圆的方程为+=1，则其参数方程为x=2bcos？兹，y=bsin？兹. 设椭圆上一点P（2bcos？兹，bsin？兹），则P（2bcos？兹，bsin？兹）到直线x-y++=0的距离为d==
其中tan？渍=2. dmin= =1，解得b=1，故椭圆的方程为+y2=1.
点评：参数法解题的关键是由已知条件，建立目标函数，结合函数的最值方法求最值.
四、常用逻辑用语篇
涉及常用逻辑用语的问题在近几年广东高考中出现的频率还是比较高的，一般以选择题、填空题的形式出现，分值为5分左右.也可能是大题，如2011年高考广东理科的21题.命题热点有三个方面：一是考查充分条件与必要条件的推理判断问题，如2010年高考广东卷第5题; 二是四种命题及其相互关系、含有逻辑联结词的命题的真假判断的考查，如2008年高考广东卷，对于命题的真假判断、给出一个命题写出它的其它三种命题并判断真假仍然是考试的热点;三是全称命题与特称命题的真假判断及其写出其否定形式.
考点10. 充分必要条件
例10. “m
分析：我们把“m0得到m的范围或利用配方法及非负数的意义得到m的范围，再借助充分、必要的含义来判断即可.
解析：设p：“m
点评：充分必要条件的判定方法有定义法、集合法、等价转换法，利用定义法判断命题充要条件的核心就是判断充分性及必要性是否成立.
例11. 已知命题p“？坌x∈R，x2≥0”，命题q：“若x>0，则lgx>0”则下列命题中为真命题的是（ ）
A. （ p） q B. pq C. （ p）（ q） D.（ p）（ q）
分析：先判断命题p、命题q的真假，再结合真值表逐一判断即可.
解析：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，则 p为假命题， q为真命题，对于A， p与q为假命题，故
（ p） q 为假命题;对于B，因为q为假命题，故pq 为假命题;对于C，因为 p为假命题，故（ p）（ q）为假命题;从而上述叙述中只有（ p）（ q） 为真命题，选D.
点评：本题是含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的真假性的判断问题，解决这类问题的关键是先判断命题p与q的真假，而pq，pq， p的形式的命题的真假性判断的诀窍分别是一真即真、一假即假、非假即真（非真即假）.
五、计数原理与排列组合篇
计数原理与排列组合知识是历年广东高考的重点内容之一，此类问题与实际联系紧密，常与概率问题结合起来进行考查，以选择、填空题为主，分值为5-10分左右，预测2015年高考对计数原理与排列组合知识的考查是稳中求变，力求创新.
考点11. 计数原理与排列组合
例12. 为了迎接年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同.记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 秒.
解析：每次闪烁时间秒，共5×120=600s每两次闪烁之间的间隔为5s，共5×（120-1）=595s.总共就有600+595=1195s. 故需要的时间至少是1195秒.
点评：本题主要考查计数原理的知识在实际问题中的应用，同时考查了考生分析问题、解决问题的能力，读懂题意是解决这类问题的关键，有一定的难度.
例13. 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.
解析：6节课共有A66种排法.语文、数学、外语三门文化课中间隔1节艺术课有A33A34种排法，三门文化课中都相邻有A33A34种排法，三门文化课中有两门相邻有C23C22C12C12A33，故所有的排法有2A33A34+C23A22C12C12A33，所以相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为=.
点评：解排列、组合混合题一般是先选元素、后排元素、或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本原理作最后处理.对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏.
六、二项式定理篇
二项式定理是近几年广东高考的命题热点考点，主要有：（1）利用通项公式求展开式的特定项;（2）利用二项式的性质求多项式的二项式系数和、各项系数和.题型为选择题或填空题，分值为5分左右.
考点12. 求展开式中项的系数（二项式系数）
例14. （x2+）6的展开式中x3的系数为 .（用数字作答）
解析：Tr+1=Cr6（x2）6-r（）r=Cr6x12-3r，令12-3r=3得r=3，所以C36=20.即x3的系数为20.
点评：本题主要考查二项式定理，熟练写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规方法，涉及系数问题要注意分清是求二项式系数还是某项的系数，否则易出错.
七、离散型随机变量及其分布列、均值与方差篇
随机变量的均值、方差的计算难度不会很大，对于一般分布可以根据均值、方差的定义直接求解，对于特殊分布（如超几何分布、二项分布等），则可以利用各自的计算公式来简化运算，高考对于这部分的 命题方式可以为选择题、填空题、解答题，分值在5-10分左右，其中考查离散型随机变量的均值与方差计算的 题目多出现在解答题中，属于低档题.
考点13. 离散型随机变量 ？孜的分布列、均值与方差问题
例15. 一盒中有4个正品和2个次品零件，每次取1个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数 ？孜的分布列、均值与方差.
分析：欲求离散型随机变量 ？孜的均值（数学期望）与方差，必须先求出 ？孜的取值，然后利用排列、组合与概率知识求出 ？孜取各个值的概率，再求出 ？孜的概率分布列，然后再根据有关公式求 ？孜的均值（数学期望）与方差.
解析： ？孜=0，1，2，则P（ ？孜=0）=×;P（ ？孜=1）=×=;P（ ？孜=2）=××=; ？孜的分布列为：
E？孜=0×+1×+2×=，
D？孜=（0-）2×+（1-）2×+（2-）2×=.
点评：求随机变量的均值与方差的关键是先求出它的分布列，正确理解离散型随机变量的两个基本特征：pi≥0（i=1，2，3…n）与p=1，它们是确定分布列中参数的依据.注意理解“在取得正品前已取出的次品数”，另外我们还要注意“不再放回”与“有放回”的区别.
考点14. 正态分布问题
例16. 某高三毕业班有60位考生，该班的一次英语听说考试成绩近似服从正态分布，平均分为70分，标准差为10，问从理论上讲该班成绩在80～90分的人数有多少人？
分析：对正态分布问题的关键是抓住两个参数？滋，？滓 ，理解两个参数的实际意义，再用三个基本概率值就能解决问题.
解析：因为？滋=70，？滓=10，P（60
点评：在解决正态分布问题若不能熟悉特殊范围的概率，在求解时容易出错.
八、变量的相关性及统计案例篇
变量的相关性及统计案例在近几年的高考中呈现增多的趋势，对于回归方程，要会根据最小二乘法求其方程，这里的关键是考查同学们的数据处理能力和计算能力;对于独立性检验问题，要理解其基本思想，根据给定的数据能够得到其2×2列联表，然后利用K2进行独立性检验.高考对于这部分的命题方式可以为选择题、填空题、解答题，分值在5-10分左右，其中考查2×2列联表计算的题目多出现在解答题中，属于低档题.
例17. 为考虑广告费用与销售额之间的关系，抽取了5家超市，得到如下数据：
现要使销售额达到6万元，则所需的广告费用为多少元？
解析：x=7，y=41.6，xy=1697，x2i=349. 所以b==48.2，
a=41.6-48.2×7=-295.8. 故回归直线方程为=48.2x-295.8. 当y=6万元=60千元时，60≈48.2x-295.8，解得x≈7.4千元.
九、推理与证明篇
推理与证明贯穿高中数学的每一个章节，是高中数学的主要内容，在高考中，涉及归纳推理和类比推理的题目在仅几年的新课标高考中时常出现，考查的形式以选择、填空题为主，分值为5分，难度中档.
例18. 用黑白两种颜色的正方形地砖按照下图拼成若干图形. 则按此规律第n（n∈N？鄢）个图形中有白色地砖多少块？
分析与解：我们不妨先从探讨n=1，2，3时的图形中有多少块白色地砖入手，从中找出它们满足的具体规律，通过观察所画的图形得到第1，2，3个图形中的白色地砖分别为8、13、18块的时候，我们还不能看出它们之间有什么规律，所以这时候需要我们将这些数据进行处理，因为8=3×3-1，13=3×5-2，18=3×7-3，从上面我们可以看到一定的规律，所以我们归纳推理得到第n（n∈N？鄢）个图形中有白色地砖块3×（2n+1）-n，问题也就得到了解答.
点评：本题要求考生通过阅读题目，认真观察已经给出的图形，得到数列的前几项的特殊值，再将它们进行分解，从中归纳推理数列所满足的规律，从而猜想得到数列的通项公式.
篇5
关键词：数学；科学；量化；抽象；严密；应用。
数学是什么，数学的研究对象是什么，数学有什么特点，对于这些问题，一直都有讨论和研究，许多学者发表了论述和观点，并成为数学教育的热门话题。确实，这些问题都既是重要的理论问题，也是重要的实践问题，对于这些问题的不同回答，会对数学教育各个领域产生一定的影响，会影响编制怎样的数学课程和教材，制订怎样的数学教学目标，提倡怎样的数学教学方法和数学学习方法。本文对与此相关的问题作初步的探讨。
一、数学的科学性与数学教学
1.1数学的研究对象和科学性
数学的研究对象是什么？对这个问题，曾有各种不同的回答，也一直为我国数学教育界所重视，并加以讨论研究。仅仅在莫里兹编撰的《数学家言行录》中，就列举了几十种关于数学及数学本性的描述：有的认为数学就是研究数量之间种种的度量关系，是为了发现表示种种数学规律的方程式；有的认为数学仅是关于数量关系的科学；有的认为，混合数学要研究诸如天文学、光学和力学之中的空间关系和数量关系，而不包含直接经验的几何或代数等则称为纯数学，等等。在此，我们仅考察作为几千年数学发展结晶的传统中小学数学课程的主体和基本内容来看数学的研究对象：算术——数学中最基础、最初等的部分,它研究的对象是自然数以及自然数在加、减、乘、除、乘方、开方运算中的性质、法则，在社会实践中有极广泛的应用；初等代数——主要包括有理数、实数及其运算，整式、分式和根式的运算和变形，解方程、方程组和不等式，以及指数、对数运算，排列组合、二项式定理等；初等几何——研究直线、圆、平面等基本图形的形状、大小和相关位置关系；三角学——以三角形的边角关系为基础，研究几何图形中的数量关系及其在测量方面的应用，并研究三角函数的性质及其应用的数学分支，中学数学主要学习其中与平面三角形相联系的部分，即平面三角学；解析几何——借助于坐标系用代数方法来研究一些简单几何图形，例如直线、二次曲线、平面和二次曲面等的一门学科，被分为平面解析几何与空间解析几何两个部分，中学数学以平面解析几何为主要内容。微积分学——是建立在实数、函数和极限等概念基础上研究函数的微分、积分及有关概念和应用的数学分支；概率论——研究随机现象的数量规律；统计学——研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。中小学数学课程虽然与现代数学科学前沿有很大的距离，但却是现代数学科学的基础。“数学研究的对象是现实世界中的数量关系和空间形式。数与形，这两个基本概念是整个数学的两大柱石。整个数学就是围绕着这两个概念的提炼、演变与发展而发展的。数学在各个领域中千变万化的应用也是通过这两个概念而进行的。社会的不断发展，生产的不断提高，为数学提供了无穷源泉与新颖课题，促使数与形的概念不断深化，由此推动了数学的不断前进，在数学中形成了形形式式、多种多样的分支学科。这不仅使数学这一学科日益壮大，蔚为大成，而且使数学的应用也越来越广泛与深入了。”⑴这里，吴文俊院士论述了数学的基本对象，同时也分析了数学的发展，很重要的是指出应该从发展的观点来认识数学的研究对象——数与形。
为什么说数学是一门科学？这就必须弄清科学的概念。科学概念有以下的几层涵义：(1)科学是人类对客观世界的认识，是反映客观事实和规律的知识，它指出了自然界和社会现象间必然、本质、稳定和在一定条件下反复出现的内在联系，科学具有客观真理性；(2)科学是反映客观事实和规律的知识体系，知识单元的内在逻辑特征和知识单元间的本质联系清楚了，建立起了一个完整的知识体系时才可以称为科学，因而科学具有系统性。只是点点滴滴、互不联系的知识还算不上科学；(3)科学是一项反映客观事实和规律的知识体系相关活动的事业，在人类实践活动中起着重大作用。数学就是一门科学。(1)数学的概念、定理、公式、法则都源于客观现实世界，正确反映了客观世界在数与形方面的规律性，数学结论经历了千锤百炼，被证明是经受了人类长期实践检验的客观真理；(2)数学已经建立了严密的科学体系，就整个数学学科而言，可以分为若干分支学科，数学理论的建立在逻辑上具有严密性，数学结论具有清楚性、确定性，不容半点疏忽马虎；(3)数学理论在实践活动中得到广泛应用，并在实践活动中不断丰富、发展。
1．2数学作为一门科学的教学
数学教学一个很重要的方面是应该强调数学教学是一门科学的教学。从这样角度思考问题，作为一门科学的教学，就要求我们在数学教学中重视揭示数学与客观现实的密切联系,揭示数学结论的真理性和真实性，揭示数学理论是怎样从现实世界中得到并不断发展；作为一门科学的教学，数学教学就必须重视数学知识体系的系统性与逻辑性；作为一门科学的教学，就必须重视数学在实践中巨大作用的教学，并重视数学探究活动过程的教学。下面着重就中学数学课程系统性问题作一探讨。
我国中学数学教育一直比较重视数学课程的系统性，根据一些重要的数学教学调查和国际数学教育比较的结论，长期以来我国中小学生数学成绩好的主要原因中首先就是我国中小学数学教学内容的系统性较强⑵。怎样使我国中学数学课程更加具有系统性，是我国中学数学教育应该研究的一个重要问题。数学各个分支学科之间有广泛的联系，并具有学科内在统一性，但不可否认，数学不同分支具有各自不同的研究对象、各自的分支体系。高等学校数学系的数学专业课程总是按照学科分支课程的形式呈现。初等数学中不同学科分支也具有一定的系统性，我国数学教育实践经验告诉我们，数学内容以分科形式呈现能够比较清楚地把蕴涵的思想方法表达出来，学生也容易比较系统、深刻地学到数学基础知识基本技能和其中蕴含的思想方法，更好地加以掌握和运用。回顾我国数学教育的历史，为我国中学数学教育界称道的一些中学数学教材也多釆取分科教学，并达到了较高的教学水平。良好的学科课程体系结构是学生有良好认知结构的基础。目前，高中数学新课程的实施给我国的高中数学教学带来了许多可喜的变化，高中数学课程大大拓宽了中学数学视野，教材内容的广度和深度都有了极大改观，一些传统内容的处理让人看到新的理念，高中数学课程釆用了模块化的结构设置，使教学更加具有灵活性。但另一方面，由于每个模块课时的确定性，使教学内容的选择与安排受到模块课时的限制，导致某些联系很密切的教学内容被安排到了不同的模块，而同一模块中教学内容又未必联系很密切，教学安排的逻辑脉络不够清楚，对于不同必修模块的教学顺序不作规定，就使实际教学产生一些困难，目前，对于这个问题老师们作了大量的研究，但仍没有太好的办法。根据教材试验，教材的模块化设计(尤其是必修模块仍用模块化设计的必要性问题)和系统性问题成为老师们研究最多、反映较多、意见也较多的一个问题，某些教学内容结构体系的变化导致了学生相关数学能力的下降。例如，相当数量的老师认为立体几何中点线面的空间基本关系应该先讲，几何体的体积、面积计算问题应该移到立体几何的后部，有些老师对于立体几何的有关直线、平面位置关系的教学顺序作了调整，老师们希望教材更加有系统性。
中学数学传统教学内容中如初等代数（含三角函数）、立体几何、解析几何和概率统计的基础知识是高中学生应该掌握的数学基础知识，这些内容应该作为高中数学的必修内容，按这些内容本身的逻辑体系安排这些学科分支的教材内容，并应考虑教学内容之间的互相联系，而必修内容则不必再设置模块，而是按照过去大纲教材一样按学期确定教学内容。在确定了必修内容以后的其他内容，如微积分的初步知识及目前的一些选修模块的教学内容，则可作为选修课程。这样，既保证了课程的灵活性和选择性，又兼顾了数学课程的必要的逻辑性和系统性，而教学内容的学分可根据相应教学内容的分量等因素加以确定。应该充分考虑数学教学内容之间的内在逻辑和联系，构建合理的知识体系，要充分考虑继承经过长时间教学试验的、已经比较成熟的体系结构。目前高中数学新课程试验中老师们在实际教学中对各部分内容的教学顺序作了许多研究，并作了部分调整(在一定程度上参考了传统的教学内容安排顺序)。例如一些教学对比实验发现，教学安排先讲映射后讲函数，学生对函数概念的理解要好一些，这说明概念的不同安排顺序必然会对学生掌握有关概念产生影响。当然，在对于内容体系结构作慎重选择后，对于内容的呈现还必须符合时展需要。
作为一门科学的教学，数学教学必须重视数学基本概念的教学，因为数学概念是数学理论的基本组成部分。要掌握数学理论，首先要弄清基本概念。对概念定义的叙述要釆取慎重的态度，如果没有充分的理由和实质性的改进，则不宜更新表述，而应该考虑我国数学教学传统的因素，避免引起不必要的混乱。另外，应该注意概念体系的完整性。在新高中数学课程的试验中，有相当比例的老师反映，新课标实验教材中反函数概念讲得不够完整，应该完整讲述反函数的定义域、值域、对应关系等，现在概念没有讲清，学生就常对于概念提出许多问题。另外，传统中学数学教学中反三角函数的最基本的内容，包括基本的概念和性质、定理、公式仍是数学的基础知识，也仍应该列入中学数学的教学内容。要掌握数学理论，首先要弄清基本概念。中学数学教学中以下的概念是极其重要的：集合、映射、运算、函数、方程、向量、概率、抽样、统计、概率，复数、导数、积分、极限，等等。作为一门科学的教学，数学教学还必须重视数学科学中丰富蕴涵的科学思想和方法（其中某些一般科学方法），包括抽象、公理化、演绎、归纳、符号、算法、数形结合、坐标、变换、优化、统计、随机，等等。
1．3量化思想
从数量关系角度来研究事物，使我们对于事物有数量上的把握，这就是基本的数量意识。量是事物存在和发展的规模、程度、速度，以及事物构成因素在空间上的排列等可以用数量表示的规定性。例如，物体的大小、质量的疏密、运动的快慢、温度的高低、颜色的深浅、物体的排列顺序、生产力的发展水平和配置等等，都是事物的量的规定性。质是和量相对应的一个基本范畴，任何事物都是质和量两方面的统一。数学研究的一个重要方面就是现实世界的数量关系，凡是要研究量、量的关系、量的变化，量的关系的变化、量的变化的关系，就少不了数学。不仅如此，量的变化还有变化（如导数以及导数的导数），变化仍用量刻画。对于客观世界的描述大致可以分为定性的描述和定量的描述，而定性描述与定量描述又密不可分。数学研究的最基本的问题是现实世界客观存在的事物的多与少、大与小、位置及位置的变化、可能性大小，等等，这样就产生了数以及表示数的字母，刻画位置的坐标，刻画可能性的概率，以及进一步的方程、不等式、函数、曲线的方程和方程的曲线、随机变量及其概率的分布、分布的函数，等等。解析几何的基本思想是引入坐标系从而借助于坐标对于几何对象作定量的研究，概率论则首先引入随机变量，借助于随机变量对随机现象作量化的处理，从而达到对于随机现象的研究。数学总是从量的方面来描述客观世界的，把客观事物进行量化的描述是数学的基本任务。所以，新高中数学课程提出了量化思想，这应该作为一种重要数学思想在教学中加以认识和重视。
二、数学科学的特点与中学数学教学
一般认为，数学科学具有三个显著特点，这就是抽象性，逻辑严密性，应用广泛性。数学的以上三个特点是互相联系，互相影响，密不可分的，认识数学的以上特点，并注意在中学数学教学中正确把握好数学的特点，具有重要意义。
2.1抽象性
所谓抽象就是在思想中分出事物的一些属性和联系而撇开另一些属性和联系的过程。抽象有助于我们撇开各种次要的影响，抽取事物的主要的、本质的特征并在“纯粹的”形式中单独地考察它们，从而确定这些事物的发展规律。数学以高度抽象的形式出现，首先是其研究的基本对象的高度抽象性。数学抽象最早发生于一些最基本概念的形成过程中，恩格斯对此作了极其精辟地论述：“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得到来的。人们用来学习计数，也就是作第一次算术运算的十个指头，可以是任何别的东西，但总不是知性的自由创造物。为了计数，不仅要有可以要有可以计数的对象，而且还要有一种在考察对象时撇开它们的数以外的其他一切特性的能力，而这种能力是长期以经验为依据的历史发展的结果。和数的概念一样，形的概念也完全是从外部世界得来的，而不是从头脑中由纯粹的思维产生出来的。必须先存在具有一定形状的物体，把这些形状加以比较，然后才能构成形的概念。纯数学是以现实世界的空间形式和数量关系，也就是说，以非常现实的材料为对象的。这种材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上掩盖它来源于外部世界。但是，为了对这些形式和关系能从它们的纯粹形态来加以研究，必须使它们完全脱离自己的内容，把内容作为无关紧要的东西放在一边；这样就得到没有长宽高的点，没有厚度和宽度的线，a和b与x和y，常数和变数；只是在最后才得到知性自身的自由创造物和想象物，即虚数。”⑶数的概念，点、线、面等几何图形的概念属于最原始的数学概念。在原始概念的基础上又形成有理数、无理数、复数、函数、微分、积分、n维空间以至无穷维空间这样一些抽象程度更高的概念。从数学研究的问题来看，数学研究的问题的原始素材可以来自任何领域，着眼点不是素材的内容而是素材的形式，不相干的事物在量的侧面，形的侧面可以呈现类似的模式，比如代数的演算可以描述逻辑的推理以至计算机的运行；流体力学的方程也可能出现在金融领域，数学强大的生命力就在于能够把一个领域的思想经过抽象过程的提炼而转移到别的领域，纯数学的研究成果常常能在意想不到的地方开花结果。有些外国数学家由于数学研究对象的抽象性，就认为数学是不知其所云为何物，这种认识是不妥的。
数学科学的高度抽象性，决定数学教育应该把发展学生的抽象思维能力规定为其目标。从具体事物抽象出数量关系和空间形式，把实际问题转化为数学问题的科学抽象过程中，可以培养学生的抽象能力。
在培养学生的抽象思维能力的过程中，应该注意从现实实际事物中抽象出数学概念的提炼过程的教学，又要注意不使数学概念陷入某一具体原型的探讨纠缠。例如，对于直线概念，就要从学生常见并可以理解的实际背景，如拉紧的线，笔直的树干和电线杆等事物中抽象出这个概念，说明直线概念是从许多实际原型中抽象出来的一个数学概念，但不要使这个概念的教学变成对直线的某一具体背景的探讨。光是直线的一个重要实际原型，但如果对于直线概念的教学陷入到对于光的概念的探究，就会导致对直线概念纠緾不清。光的概念涉及了大量数学和物理的问题，牵涉了近现代几何学与物理学的概念，其中包括对欧几里得几何第五公设的漫长研究历史，非欧几何的产生，以及光学，电磁学，时间，空间，从牛顿力学的绝对时空观，到爱因斯坦的狭义相对论和广义相对论，等等。试图从光的实际背景角度去讲直线的概念，陷入对于光的本质的讨论，就使直线的概念教学走入歧途。应该清楚，光不是直线唯一的实际原型，直线的实际原型是极其丰富的。
在培养中学生的抽象思维能力方面，要注意的一个问题是应根据中学生的年龄心理特点，对中学数学教学内容的抽象程度有所控制，过度抽象的内容对普通中学生来说是不适宜的(如某些近代数学的概念)。另外，对于抽象概念的学习应该以抽象概念借以建立起来的大量具体概念作为前提和基础，否则，具体知识准备不够，抽象概念就成为一个实际内容不多的空洞的事物，学生对于学习这样的抽象概念的重要性和必要性就会认识不足。
2.2严密性
所谓数学的严密性，就是要求对于任何数学结论，必须严格按照正确的推理规则，根据数学中已经证明和确认的正确的结论(公理、定理、定律、法则、公式等)，经过逻辑推理得到。这就要求得到的结论不能有丝毫的主观臆断性和片面性。数学的严密性与数学的抽象性有紧密的联系，正因为数学有高度的抽象性，所以它的结论是否正确，就不能像物理、化学等学科那样，对于一些结论可以用实验来加以确认，而是依靠严格的推理来证明；而且一旦由推理证明了结论，这个结论也就是正确的。
数学科学具有普遍的严格逻辑性特点，而在数学发展历史中则有许多非常典型的例子。例如，对于无限概念逐步深入的认识，毕达哥拉斯学派对于无理数的发现，牛顿、莱布尼兹的微积分及其严格化，处处连续却处处不可导的函数的构造，集合论悖论的构造，都很好地说明了数学的这种严格的风格和精神。
数学中严谨的推理使得每一个数学结论不可动摇。数学的严格性是数学作为一门科学的要求和保证，数学中的严格推理方法是广泛需要并有广泛应用的。学习数学，不仅学习数学结论，也强调让学生理解数学结论，知道数学结论是怎么证明的，学习数学科学的方法，包括其中丰富蕰涵的严格推理方法以及其他的思维方法。如果数学教学对于一些重要结论不讲证明过程，就使教学价值大为降低。学生也常常因为对于一些重要而基本的数学结论的理解产生困难而不能及时得到教师的指导解惑而对数学学习失去兴趣和信心。根据对于新高中数学课程教学的一些调查，新教材中对于某些公式的推导，某些内容的讲解方面过于简单，不能满足同学的学习要求，特别典型的立体几何中的一些关系判定定理只给出结论，不给出证明，方法上采用了实验科学验证实验结论的方法进行操作确认，就与数学科学的精神和方法不一致，老师们的意见比较大，是目前数学教学实践面临的一个问题。数学教学的一个重要目标是教学生思维的过程与方法，让学生充分认识数学结论的真理性、科学性，发展严密的逻辑思维能力。
严密性程度的教学把握当然应该贯彻因材施教的原则，根据学生和教学实际作调适，数学教材（包括在教师教学用书中）可提供严密程度不同的教学方案，备作选择和参考。例如，对于平面几何中的平行线分线段成比例定理，在实际教学中就可以根据教学实际情况采用三种不同的教学方案，第一种是初中数学教材(如人民教育出版社中学数学室编写的<<九年义务教育三年制初级中学教科书几何第二册>>)普遍采用的，即从特殊的情形作说理，不加证明把结论推广到一般情形；第二种是用面积方法来得到定理的证明(如人民教育出版社中学数学室编写的<<义务教育初中数学实验课本几何第二册>>的证明方法)；第三种则分别就比值是有理数、无理数的不同情况来加以证明，是严密性要求较高，对学生的思维能力要求也较高的一种教学方案(如前苏联的某些初中数学教材的教学要求)。可以肯定，长期不同程度的教学要求的差异也自然导致学生数学能力的较大差异。从培养人才的角度认识，当然应该为不同的学生设计不同的教学方案，才能有利于学生得到充分的发展。
此外，数学科学中逻辑的严密性不是绝对的，在数学发展历史中严密性的程度也是逐步加强的，例如欧几里得的《几何原本》曾经被作为逻辑严密性的一个典范，但后人也发现其中存在不严格，证明过程中也常常依赖于图形的直观。在中学数学教学中培养学生逻辑思维能力的问题上，要注意严密的适度性问题。在这方面，我国中学数学教材工作者和广大教师在初等数学内容的教学处理上作了许多研究，许多处理方式反映了中学生的认识水平，具有重要价值，例如，中学代数教学中许多运算性质的教学，其逻辑严格性不可能达到作为科学意义下数学理论的严格程度，一直以来的处理方法是基本合理的。
此外，在数学教学上追求逻辑上的严密性需要有教学时间的保证，中学生学习时间有限。目前，在实施高中数学新课程以后，各地实际教学反映教学内容多而课时紧的矛盾比较突出，教学中适当地减少了一些对中学生来说比较抽象，或难度较大，或综合性较强的教学内容，使教学时间比较充裕以利于学生消化吸收知识。在目前的高中数学新课程试验中，教学内容的量怎样才比较合理，让一部分高中学生能够学得了的新增的数学选修课内容(尤其是选修系列四的部分专题)切实得到实施，以贯彻落实新高中课程的多样性和选择性，也是值得继续探讨的重要问题。
与此相关的一个问题，数学教学要处理好过程与结果的关系。学习数学基本而重要的目标是会解决各种问题，过分地强调数学教学中的逻辑与证明又会导致知识面不宽，以致对于许多影响深远、应用广泛的数学方法了解不够。这说明，数学教育一方面应该重视逻辑思维能力的培养，还应该重视科学精神的培养，数学思想方法的领会。就数学结论的严格性和严密性，严格和严密的态度是需要的，但是，在一些特定的教学阶段，只要不导致逻辑思维能力的降低，不影响学生对于结论的理解，对于某些类同的数学定理的证明应该可以省略，这应该不会影响数学能力的培养。
再一个问题，在我们强调数学教学中要让学生理解数学过程的同时，不能混淆教材编制与课堂教学之间的界线。一方面，教材编制应该有利于老师组织教学，考虑为老师们优化教学过程提供设计的方案，另一方面，老师的实际教学本身是对教材使用的再创造，必须有一个研究教材，能动地设计符合学生实际的合理教学方案的过程。教材不能过分地引导甚至去限定实际教学方法，更不必把实际教学过程都予以呈现。数学教材有必要为学生的学习钻研以及老师的教学留有空间和余地，所谓让学生把数学书“读厚”，教师教学参考书则应该为老师的教学提供建议和帮助。让教与学有一个从薄到厚，从厚到薄的过程，这是教好数学、学好数学的一个必要的过程。另外，强调在数学教学中要讲过程，很重要的方面是针对的是在实际课堂教学中让学生简单记忆背诵数学结论而不重视数学结论的来龙去脉的教学的问题和现象。作为数学教科书，应该提倡简明扼要，经得起学生对于教科书的推敲和研究。
其他科学工作为了证明自己的论断常常求助于实验，而数学则依靠推理和计算来得到结论。计算是数学研究的一种重要途径，所以，中学数学教学必须培养学生的数量观念和运算能力。现在的计算工具更加先进，还可以借助于大型的计算系统，这使计算能力可以大大加强。新的高中数学课程增设了算法的内容，充实了概率统计、数据处理的内容，在高中技术课程中又增加了“算法与程序设计”模块，这体现了计算机和信息时代对于培养运算能力的新要求。从目前中学数学实际教学情况看，算法内容的教学由于技术条件的限制而存在落实不够的情况，应该解决教学中存在的实际困难，如算法在计算机上真正实现运算，使教学落到实处，这就涉及计算机语言的问题，但在中学数学课程中直接引入计算机程序设计语言又似乎使中学数学教学的内容过于技术化和专门化，这是值得研究的一个问题。
2.3应用广泛性
在日常生活、工作和生产劳动以及科学研究中，数量关系和空间形式方面的问题是普遍存在的，数学应用具有普遍性。数学这门历史悠久的学科，在第二次世界大战以来出现了空前的繁荣。在各分支的研究取得重大突破的同时，数学各分支之间、数学与其他学科之间的新的联系不断涌现，更显著地改变了数学科学的面貌。而意义最为深远的是数学在社会生活的作用的革命性变化，尤为显著的是在技术领域，随着计算机的发展，数学渗入各行各业，并且物化到各种先进设备中。从卫星到核电站，从天气预报到家用电器，高技术的高精度、高速度、高自动、高安全、高质量、高效率等特点，无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算控制来实现的。计算机软件技术在高技术中占了很大比重，而软件技术说到底实际上就是数学技术。数字式电视系统，先进民航飞机的全数字化开发过程，大量的例子说明了，在世界范围数学已经显示出第一生产力的本性，她不但是支撑其他科学的“幕后英雄”，也直接活跃在技术革命第一线。数学对于当代科学也是至关重要的，各门学科越来越走向定量化，越来越需要用数学来表达其定量和定性的规律。计算机本身的产生和进步就强烈地依赖于数学科学的进展。几乎所有重要的学科，如在名称前面加上“数学”或“计算”二字，就是现有的一种国际学术杂志的名字，这表明大量的交叉领域不断涌现，各学科正在充分利用数学方法和成就来加速本学科的发展。关于数学应用的广泛性问题，哈佛大学数学物理教授阿瑟·杰佛（ArthurJaffe）在著名的长篇论文《整理出宇宙的秩序───数学的作用》(此文是美国国家研究委员会的报告《进一步繁荣美国数学》的一个附录)中作了精辟的论述，他充分肯定了数学在现代社会中的重要作用：“在过去的四分之一世纪中，数学和数理技术已经渗透到科学技术和生产中去，并成为其中不可分割的组成部分。在现今这个技术发达的社会里，扫除‘数学盲’的任务已经替代了昔日扫除‘文盲’的任务而成为当今教育的重要目标。人们可以把数学对于我们社会的贡献比喻成空气和食物对于生命的作用。事实上，可以说，我们大家都生活在数学的时代──我们的文化已经数学化。在我们周围，神通广大的计算机最能反映出数学的存在，……，若要把数学研究对我们社会的实用价值写出来，并说明一些具体的数学思想怎样影响这一世界，那就可以写出几部书来。”⑷他指出：“（1）高明的数学不管怎么抽象，它在自然界中最终必能得到实际的应用；（2）要准确地预测一个数学领域到底在那些地方有用场不可能的。”⑷有许多数学家常常对自己的思想得到的应用感到意外。例如，英国数学家哈代（G．H．Hardy）研究数学纯粹是为了追求数学的美，而不是因为数学有什么实际用处，他曾自信地声称数论不会有什么实际用处，但四十年后质数的性质成了编制新密码的基础，抽象的数论仅与国家安全发生了紧密关系。“计算机科学家报告说每一点数学都以这样或那样的方式在实际应用中帮了忙，物理学家则对于‘数学在自然科学中异乎寻常的有效性’赞叹不已。”⑷
其次，数学教育应该注意培养学生应用数学的意识和能力，这已经成为我国数学教育界的共识。但应该注意的另一方面，数学的应用极其广泛，在中小学有限时间内，介绍数学应用就必须把握好度。数学的应用具有极端的广泛性，任何一个数学概念、定理、公式、法则都有极广的应用。而过量和过度的数学应用问题的教学必然影响数学基础理论的教学，而削弱基础理论的学习又将导致数学应用的削弱。在中学数学教学中，重在让学生初步了解数学在某些领域中的应用，认识数学学习的价值从而重视数学学习。另外，数学的应用也不仅限于具体知识的实际应用，很重要的是一些数学观念和思想在实际工作中的运用。中小学是打基础的时候，所谓打基础主要是打数学基本知识和技能的基础，要让学生有较宽广的数学视野,不应该以在实际中是否直接有用作为标准来决定教学内容的取舍，也不应该要求学生数学学得并不多的时候就去考虑过量的应用问题。初中数学教学实践反映，一些传统的教学内容被删减对于学生数学学习产生了不良影响；高中数学新教材实验回访也反映，高中数学教科书中某些部分实际问题份量“过重”，不少实际问题的例、习题背景太复杂，教学中需花很多时间帮助学生理解实际背景，冲淡了对主要数学知识的学习。实际上，学生参加工作后面临的实际问题会有很大的差异，学生的工作生活背景差异也很大，学生对于实际背景、实际问题的兴趣会有很大的差异，另外实际问题涉及因素常常较多，对于中小学生，尤其是对于义务教育中的学生而言常常显得比较复杂。数学在某一个特殊领域的应用就必然涉及这个领域的许多专门化的知识，对于学生成为较大的困难。此外，学校教育虽然是为学生今后参加工作和生产作的准备，但也不必让学生化过多时间去思考成人阶段才会遇到的一些实际问题，有些实际问题不如留给成年人去考虑。2001年，人民教育出版社中学数学室邀请北京大学数学科学学院田刚教授等谈数学教育的有关问题，他们在谈到对于数学科学及其教学的看法时指出：数学主要还是计算与推理，从数学中能学到的，最重要的是逻辑思维，抽象化的方法，这是一些普遍有用的东西；数学教育中逻辑思维能力的培养要加强，就应用而言，目前的信息技术中就非常需要很强的逻辑思维能力，尤其是编写程序，编程有长有短，短的出错的可能性小一些，怎样才能短一些又解决问题，不出现错误，这就需要逻辑思维；美国进行微积分的教学改革，用高级的图形计算器，能直观地看，用逼近的方法；技术能对直观地把握数学有一定的帮助，不过真正重要、有用的还是用逻辑推导公式；数学教育要教一些基本的东西。
第三方面，数学具有广泛应用，但并非所有学生都会去从事需要很深奥的数学知识的工作，单就直接应用数学的角度而言，不必每个学生都学习很高深的数学理论。普通百姓经常应用的是最基本的数学知识，学习数学很重要的目的是通过学习提高思维能力。所以，在中小学阶段，一方面数学教学要面向全体学生，使人人都有机会获得良好的数学教育，另一方面也应该根据学生的实际和他们的兴趣爱好，根据每个学生的学业、智能发展特长，让不同的学生在不同的方面得到不同的发展。当然，对于规划在科学和技术领域发展的学生必然应该打下良好的数学基础。人们注意到，大量在中学阶段打下了良好数学基础的学生，包括部分国际国内中学数学竞赛中的优胜者，却没有在后续学习阶段继续以数学作为自己的主要发展方向而选择其他的领域，而选择理工科专业的学生常常在大学阶段仍学习很多的数学科学的课程，这也说明了数学应用的广泛性和数学对于学生发展的重要价值。
[参考文献]
1．吴文俊.吴文俊文集[M].济南：山东教育出版社，1986.
2．课题组.国际初中学生数学和科学教育的现状和分析.北京：课程教材教法[J]，1993，(12)：51-54.
篇6
一、 与数列、不等式有关的应用问题
【背景材料】 企业利润，技术改造，经济转型是时下社会经济生活中的热点话题。
【命题分析】 利用等差数列和等比数列求和最终建立函数模型。
【试题设计】 某企业2011年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年(2012年)起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为5001+12n万元．
（1） 设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；
（2） 依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
解析 （1） 依题设，A1=480,d=－20.
An=480n+nn－12－20=490n－10n2.
Bn=5001+12+1+122+…+1+12n－600=500n－5002n－100．
（2） Bn－An=500n－5002n－100 －(490n－10n2)
=10n2+10n－5002n－100
=10n(n+1) －502n－10．
函数y = x (x+1)－502x－10在（0，+∞）上为增函数，
当1≤n≤3时，
n(n+1)－502n－10≤12－508－10
当n≥4时，
n(n+1)－502n－10≥20－5016－10>0．
仅当n≥4时，Bn>An，故至少经过4年，该企业进行技改后的累计纯利润超过不进行技改的累计纯利润．
点拨 本题的两个数学模型分别是：不进行技术改造的纯利润为等差数列，进行技术改造后的纯利润为等比数列，注意到，An，Bn分别是等差数列与等比数列的前n项的和，第（2）问解题时，能观察到关于n的函数10nn+1－502n－10是一个增函数是解题的关键。
二、 与解析几何有关的应用问题
【背景材料】 工程作业中如何操作最省时省力是较有现实意义的问题。
【命题分析】 将实际问题转化为距离差值为定值的双曲线问题。
【试题设计】 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如图所示）．已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，试说明怎样运土最省工．
解析 以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy，
设M（x，y）是沿AP、BP运土同样远的点，则|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，
|MA|－|MB|=|PB|－|PA|=50．
在PAB中，由余弦定理得|AB|2=|PA|2+|PB|2－2|PA||PB|cos60°=17 500，且50＜|AB|．
由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上，设双曲线方程为x2a2－y2b2=1 (a＞0，b＞0)．
2a=50,4c2=17 500,c2=a2+b2 解之得a2=625,b2=3 750,
M点轨迹是x2625－y23 750=1在半圆内的一段双曲线弧．
运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工．
点拨 本题是不等量与等量关系问题，涉及到分类思想，通过建立直角坐标系，利用点的性质，构造圆锥曲线模型（即分界线）从而确定出最优化区域。
三、 与概率分布、数学期望有关的应用问题
【背景材料】 随着私家车的不断增多，与车辆有关的问题迅速多了起来，比如保险问题。
【命题分析】 本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及二项分布的数学期望，考查学生分析问题、解决问题的能力。
【试题设计】 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
(1) 求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2) X表示该地的100位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．
解析 记A表示事件: 该地的1位车主购买甲种保险；
B表示事件: 该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；
C表示事件: 该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；
D表示事件: 该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．
(1) P(A)＝0.5，P(B)＝0.3， C＝A＋B,
P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2) D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2,
X～B(100，0.2),即X服从二项分布,
期望E(X)＝100×0.2＝20．
点拨 概率与数学期望是理科加试中的常考题，考查保险背景下的概率问题，要求考生熟练掌握独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及二项分布的数学期望。
牛刀小试
1． 某贫困乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，2007年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元．以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的23．根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2 000万元时可以解决温饱问题，达到8 100万元时可以达到小康水平．
（1） 若以2007年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？
（2） 试估算2015年底该乡能否达到小康水平？为什么？
2． 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m，要求通行车辆限高4.5 m，隧道全长2.5 km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．
（1） 若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2） 若最大拱高h不小于6 m，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S=π4lh，柱体体积为底面积乘以高．本题结果均精确到0.1 m）
3． 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为每车每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）．甲乙两人独立来该租车点租车骑游，各租一车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为0.25，0.5；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为0.5，0.25；两人租车时间都不会超过四小时．
（1） 求甲、乙所付租车费用相同的概率；
（2） 设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列与数学期望E(X)．
【参考答案】
1. （1） 设第n年该乡从两企业获得总利润为y万元．
y＝320×1.5n－1+720×23n－1
≥2320×32n－1×720×23n－1
＝960.
当且仅当n＝2时，即2008年总利润最少为y＝960万元，故还需筹集2 000－960=1 040万元才能解决温饱问题．
（2） 2015年时，n=9，此时y=320×1.58+720×238＝8 201.25＋28.09＞8 100,
即2015年底该乡能达到小康水平．
2． （1） 如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5），
椭圆方程为x2a2+y2b2=1．将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a=4477，此时l=2a=8877≈33.3．
因此隧道的拱宽约33.3 m．
（2） 由椭圆方程x2a2+y2b2=1，得112a2+4.52b2=1．
因为112a2+4.52b2≥2×11×4.5ab，即ab≥99，且l=2a，h=b，所以S=π4lh=πab2≥99π2．
当S取最小值时，有112a2=4.52b2=12，得a=112，b=922．此时l=2a=222≈31．1，
h=b≈6．4.
故当拱高约为6.4 m、拱宽约为31.1 m时，土方工程量最小．
3. （1） 所付费用相同即为0，2，4元．设付0元为P1=14•12=18，付2元为P2=12•14=18，付4元为P3=14•14=116，则所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=516.
(2) X＝0，2，4，6，8,P(X＝0)＝18，
P(X＝2)＝14•14+12•12＝516，
P(X＝4)＝14•14+12•14+12•14＝516，
P(X＝6)＝14•14+12•14＝316，
P(X＝8)＝14•14＝116.
分布列为：X02468
P18516516316116
篇7
【关键词】数学教学；信息技术；课堂；作用
信息技术的飞速发展，推动了数学教育从目的、内容、形式、方法到组织的全面变革。《基础教育课程改革纲要（试行）》指出：“大力推进多媒体信息技术在教学过程中的普遍应用，促进信息技术与学科课程的整合，逐步实现教学内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式和师生互动方式的变革，充分发挥信息技术的优势，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具。”教师运用现代多媒体信息技术对教学活动进行创造性设计，发挥计算机辅助教学的特有功能，把信息技术和数学教学的学科特点结合起来，可以使教学的表现形式更加形象化、多样化、视觉化，有利于充分揭示数学概念的形成与发展、数学思维的过程和实质，展示数学思维的形成过程，使数学课堂教学收到事半功倍的效果。
一、把信息技术和数学教学的学科特点结合，有利于提高学生的学习积极性
“兴趣是最好的老师”，有良好的兴趣就有良好的学习动机，但不是每个学生都具有良好的学习数学的兴趣。“好奇”是学生的天性，他们对新颖的事物、知道而没有见过的事物都感兴趣，要激发学生学习数学的积极性，就必须满足他们这些需求。而传统的教学和现在的许多教学都是严格按照教学大纲，把学生封闭在枯燥的教材和单调的课堂内，使其和丰富的资源、现实完全隔离，致使学生学习数学的兴趣日益衰减。将多媒体信息技术融于教学课堂，利用多媒体信息技术图文并茂、声像并举、能动会变、形象直观的特点为学生创设各种情境，可激起学生的各种感官的参与，调动学生强烈的学习欲望，激发动机和兴趣。
例如：我在教学《函数y=Asin（Wx+ ）的图象》一节时，先用《几何画板》创设好演示软件告诉学生本节课的学习目标，对W、 、A的不同值引起图象的变化，再让学生进行实验，对W、 、A的值自由输入，得出相应的图象，再变换三个值的先后输入顺序反复实验、探索，学生很快发现规律。可以让学生小组合作共同实验，互相交流、探讨，让每位学生都亲历实践、探讨，激发学生的求知欲，使学生自主学习的能力得以培养。又例如：离散性随机变量的正态分布曲线，可将典型的呈等腰分布的9行铁钉之均匀空隙下的玻璃球实验，通过flash软件制成课件搬进课堂屏幕轻快反复地演示实验，使学生对正态总体分布的规律和曲线有一个确信而深刻的认识，从而让学生学到知识。这也说明了多媒体信息技术在教学中的作用。
二、把信息技术和数学教学的学科特点结合，有利于帮助学生进行探索和发现
数学教学过程，事实上就是学生在教师的引导下，对数学问题的解决方法进行研究、探索的过程，继而对其进行延拓、创新的过程。于是，教师如何设计数学问题、选择数学问题就成为数学教学活动的关键。而问题又产生于情境，因此，教师在教学活动中创设情景就是组织课堂教学的核心。现代多媒体信息技术如网络信息、多媒体教学软件等的应用为我们提供了强大的情景资源。例如：我在《多面体和旋转体的基本概念》及《多面体与旋转体表面积和体积》的教学中，充分利用flash和PowerPoint制作动态的多面体和旋转体课件，学生通过探索，发现了空间几何体的基本概念，深刻的理解了空间几何体表面积和体积的计算公式。又例如我在讲解《空间四边形》的有关问题时，如果只利用模型让学生观察，在黑板上作出空间四边形的平面直观图，大部分学生在课后解决相关的问题的时候，总自然而然的认为空间四边形两条对角线是相交的。如果在教学中利用三维立体几何画板导入基本图形，现场制作旋转运动的空间四边形图形，现场添加线条，在旋转运动过程中让学生感受空间立体图形的形象，培养学生的空间观察和思维能力，从而使他们在观察过程中留下空间四边形两条对角线不相交的深刻印象，在解决其它有关问题时不致出错，同时学生在这个过程中发现了异面直线的概念，为后面的《异面直线》的教学奠定了基础。由此可见，多媒体信息技术创设情景产生的作用是传统教学手段无法比拟的。
三、把信息技术和数学教学的学科特点结合，有利于帮助学生获取数学解题技能和经验
数学是集严密性、逻辑性、精确性、创造性与想象力于一身的科学，数学教学则要求学生在教师设计的教学活动或提供的环境中通过积极的思维不断了解、理解和掌握这门科学，于是揭示思维过程、促进学生思考就成为数学教育的特殊要求。多媒体信息技术在数学教育中存在深藏的潜力，在教学中指导学生利用多媒体信息技术学习，不仅可以帮助学生提高获取技能和经验的能力，帮助学生提高思维能力和理解能力，还可以培养学生的学习主动性。例如：我在讲解《极限的概念》这一节内容之前，先要求学生自己利用网络查询并收集有关极限的资料，通过整理资料，提出与极限有关的实际问题，再通过我的动画课件，学生归纳出了极限的概念，同时揭示了极限的概念的内涵。更重要的是学生在通过网络查询并收集有关极限的资料的过程中，深深的体会到网络互动交流式的学习环境，视眼开阔，多彩多姿，浩瀚无穷。
四、把信息技术和数学教学的学科特点结合，可有效突破教学重点及难点
传统的教学中，数学知识的难点、重点主要靠教师讲解、启发、分析，学生理解的程度如何，关键看个人能力，而数学学科的逻辑性强，抽象思维要求高，传统教学手段很难利用黑板将这种复杂的情景展示出来，这就大大降低了学生理解和教师教学的难度。运用信息技术手段进行教学设计，通过信息技术搭建理解数学知识的平台，借助先进的数学软件，使学生一动就清楚明白，一看就豁然开朗。从感觉到理解，从意会到表达，从抽象到具体，从猜想到证明，促进教学方式的转变。对于数学概念的教学，利用先进的数学CAI软件可以创设有效的数学情境，将抽象的概念直观化，使学生理解更深刻。例如：我在教学奇函数图象关于原点呈对称性，传统的教学大多是成品观察命令接受，再利用函数式简要解释，若利用计算机动态演示，将图象绕原点旋转180度后，发现与原图象重合，学生看完后对这一性质心领神会。利用先进的数学软件可以将函数图象平移、旋转、对称、伸缩等等，使学生能在图形的变换中研究数学规律，提高应变能力。在讲对数函数的图像和性质时，因为对数函数和指数函数互为反函数，我们可利用《几何画板》或其它教学软件，让学生亲眼目睹教师用函数的对称性来画函数图像的过程；根据图像我们可以使学生得出函数的性质，可以用计算机的数字追踪功能进行函数性质的验证；这样，有计算机的辅助就可以用很少的时间取得显著的效果，这是其它教学手段不能比拟的。
五、把信息技术和数学教学的学科特点结合，有助于解放教师的繁重艰施，更多更好发挥学生的主体作用
为了在实际教学中更多更好的突出学生的主体作用这一特点，我们在考虑课堂教学结构的设计时，重点应研究四个方面：①科学安排一节课的各组成部分进行的顺序；②合理分配和使用时间；③精心设计安排练习；④要根据不同的教学内容和教学要求，有计划有步骤地引导学生进行各种认识活动，如操作、观察、测量、画图、解题等，引导学生在活动中思考，逐步放手让学生自己去探索。而电教手段的应用，可以节约传统的板书、画图等的时间，从时间上使有限的课堂40分钟“变长”了，使学生的主体作用可以得到更加充分的发挥。再例如一些优秀的计算机软件，如《几何画板》、函数作图器等等，利用这些软件提供的平台对高中数学相关内容进行教学，可以极大的解放教师的繁重艰施，其效果也是传统教学无法比拟的。例如我在讲授幂函数一节时，就充分采用了《几何画板》教学的优势。由于幂函数图象错综复杂，有11种之多，传统的讲授要列表作图再归纳，费时费力。而《几何画板》软件画图简易，方便快捷。首先，提出教学目标，第一阶段是根据幂函数y=x ，指数的不同取值归纳出幂函数的图象种类，第二阶段是归纳幂函数性质。笔者只要键入不同的 值，图象立刻出现，一时间学生的兴致非常高涨。很快有同学发现指数取奇偶数、指数取正负数时图象均是不同类型，接着，又有同学发现指数取小数（分数）对图象的影响等等。学生通过自已的探索，并观察思考，印象深刻，回味久远，教师只要稍加引导便较好地完成了教学任务。按照新课程的理念，教师要转变传统的教学方式，由传授知识者转变为课堂教学的设计者，与学生一同学习的合作者。
六、将多媒体信息技术融于教学课堂，有助于提高教师的业务水平和计算机使用技能
