初中数学问题解决策略探析

[摘要]问题是数学的心脏，问题解决是培养学生能力和素养的基本手段。发挥好初中数学问题解决的教学功能，就要着眼于提高数学问题解决策略的有效性。从创设初中数学问题的情景，注重数学问题分析的手段和现代信息技术手段的运用，引领学生问题解决中体验数学思想方法，引导反思归纳数学问题解决的触动切入点等方面，对初中数学问题解决策略进行了教学有效性探讨。这对初中学生学会数学问题解决的方法，提高问题解决的思维能力，实现数学问题解决策略的有效教学提供了有益的帮助。

[关键词]初中数学；问题解决；教学策略；教学有效性

学生的学习最终目的就是要适当的掌握部分知识，并以此为载体掌握分析问题，解决问题的方法，由此培养自己的思维能力，去解决更实际的问题。问题是数学的心脏，数学问题解决是学生提高能力，增长智慧和才干的基本手段。鉴于数学问题解决的重要性，问题解决已经成为了《义务教育数学课程标准》（2011年版）的重要内容和培养任务。数学问题解决教学一直以来都是教育工作者探讨和研究的主题。众多的教育专家从教育理论的角度进行了研究，一线工作者针对初中数学问题解决的教学模式进行了探讨，有的给出了问题解决的相关原则，有的给出了数学问题解决的策略，还有的就微课这一新的教学形式专门对问题解决的教学有效性进行了实验研究。教学有效性是教师遵循教学活动的客观规律，用最少的时间、精力和物力投入，取得尽可能好的教学效果。教学是否有效益，主要还是从学生成长角度，以学生为主体来衡量，看学生有无进步或发展，可以说这是教学有没有效益的唯一指标[1]。因此，在初中数学问题解决策略教学中要重视有效性的研究与实践，这样才能让学生的思维活跃起来，学生的数学智慧才能得到增长。

1在适宜情景中创设数学问题，激发学习动机

虽说问题贯穿数学教学的始终，但针对初中同学，如果问题来得突兀，不仅不利于激发学生的学习的好奇心和探究的动机，反而会让学生不着边际，失去兴趣甚至不屑一顾，这就产生了适得其反的作用。所以不论是想让学生掌握某个概念还是学会某种方法，都要创设适宜的情景——一个相关的数学问题融入其中的情景。该数学问题的解决要考虑学生思维的近邻发展区，知识点和方法是其跳一跳能够得着的，是和学生的身边所见所闻的生活体验像贴切的事物，唯有符合学生已有的认知水平，与学生实际的生活经验息息相关，所创设问题情境才适合学生且能激发他们兴趣，也才能激发学生的学习倾向，产生学习的动机[2,3]。如在开展“三角形中位线”教学时，可创设如下问题情境：一段高铁要以隧道的方式穿越一座小山，鉴于施工核算，工程队需要，准确测出从山的一侧A到另一侧B的距离，如图1。你有什么办法吗？工程测量员另外选择点C，E，F，使得点E，F分别位于AC，BC的中点处，他认为只要准确测量出EF的距离，就可以间接计算出A，B两地之间的距离。你认为这位测量员的做法稳妥吗？这里所呈现的数学问题情景源于生活，又与当前的热点问题融合，为学生自主探索和发现创造营造了良好氛围。

2在思维过程中展现分析手段，为数学问题的解决保驾护航

形式和内容是一个统一体，展现一个内容若能采用一个适宜的形式，对于内容的认识就可能变得容易甚而至于深刻起来。数学问题的解决同样如此，对数学问题本身的质的认识，若能借助于合适的形式，对于把握问题的实质，找到问题的解决方法有着不可忽视的作用。比如对数的认识往往通过图的直观演示来揭示其内在的规律，抓住问题解决的突破口。当然图的内容也是数学的重要研究对象。这也体现了数形结合的思想。一种知识方法的掌握后来就会成为学习另一种知识方法的手段。再如一个利用“二次函数求最大利润”问题：某超市的一种运动装原为每件60元，每个月可以销售300件。如果价格每上涨1元，则销售量减少10件，如果每下调1元，则每月可多卖20件。已知该运动装的进价为40元，那如何定价才能保证每月利润最大？该问题涉及的数据较多，解决过程中关键在于把握其中的量及其存在的关系。为了弄清问题蕴含的量和相应关系，我们就可以借助已经学过的数据处理与分析的方法，在弄清问题涉及的量有价格，其包括进价和不同的售价，然后就是与之对应的销量和利润之后，再采用表格的方式把它们列出来，如表1。因为行列分明，这对发现它们的关系无疑是有用的。学生在数据分析过程中提取出售价、单件利润、销售量、总利润。虽然数据关系复杂，表格呈现后就理顺了其中的关系，学生如果会用这种手段就不难发现解决问题的模型原来就是写出二次函数，然后求解二次函数的最大值。此过程中，学生其实经历了从复杂到简单的思维过程，发现解决问题的办法，列表进行数据分析手段起到了很好的辅助作用。我们根据数学问题的特点和需要，还可以运用先进的信息技术手段，如多媒体，几何画板，微课视频等，如探索运用面积法证明勾股定理的问题解决教学，文[4]就运用多媒体便利直观的图形切割拼合演示，这对于引导学生发现面积法有着显著的效果。文[5]就信息技术在初中数学问题解决教学中提出了六个方面的策略，但非常适宜的策略当属数形结合的这一项，另外对于一些数学问题情景，利用信息技术手段予以展现，在解答问题的同时能给予学生视觉的享受。

3在数学问题解决中揭示数学思维方法，体验和掌握数学问题解决的精髓

数学问题的解决总是伴有一定的方法的，数学问题解决的教学目的就在了学生在问题解决的过程中，能学会分析分析的方法，运用头脑中构建的知识体系和方法，探索发现解决问题的思路和方法，甚至生发出新的解决办法，即创新的方法，由此学生的心智得到了锻炼，思维能力得以提升。所以在解决问题的过程中，教师就不能直接把方法告诉学生，否则就是犯了大忌，数学问题解决教学就没有起到应用的效果，如果是这样，即使学生做再多的这样的题目，即所谓的题海战术，如果题目变换了，学生也会一筹莫展，不知如何下手，因为应该有的思维锻炼被扼杀在摇篮中了。但面对一个数学问题，学生往往并不是能一蹴而就的给出解答结果的，这时候教师就应该鼓励引导其做反复的尝试，坚持自己的信息，不断地探索，失败是成功之母，一种发放行不通或错了，可以试一试另一种方法。要知道，学生在真正的数学问题解决过程中，总会经历对问题的分析、判断等过程，此过程中总有失误的时候。为此，问题解决研究者提出了“可错性学说”，这一学说告诉我们错误是件好事情，解决问题地过程往往是一个在错误中成长的过程[6]。因此，在问题解决教学中教师要树立“容错教育”的理念，把学生试错当成问题解决的一个重要思路，对待学生错误的尝试，要耐心的鼓励和引导，并能在其成功后引导学生归纳正确的方法，在解决类似问题时避免错误的发生。如让学生解答问题，进而给出有理数的乘方的符号规律。问题解决中，学生面临着根据指数的奇偶判断幂的符号的问题，解决问题时，学生不一定会迅速建构起相关认知，尊重学生的知识建构过程，让学生对结果进行尝试探究，如果还不足以认知，还可以计算，由特殊到一般发现符号规律。通过这样的一个过程可以让学生沿着自己原有的思路进行数学语言的组织，经过这样的探究过程，学生在有理数乘方计算中对括号的认识与处理，就会深刻一些。而试错的价值在于可以让学生在试错、纠错的过程中内化对数学知识、规律的理解。再如“造桥选址问题”（如图2），这是一个几何问题，要用到轴对称知识建立模型找出最短路，但又不是直接地运用，期间要经过一个对其中一个点地平移操作，哪个点都可以，所以题目具有极大地灵活开放性，适宜于学生进行探索。为此，就动员学生在草纸上画图，但因为有“桥必须与河垂直”的要求，学生就面临尝试多次，一错再错地结局。但这种试错是有益的，因为学生在试错的过程中，必须完成数学抽象的过程，即将实物图转换为几何图形（如图3），在不断地尝试中明确了轴对称在问题解决中所发挥的作用，最终获得成功后学生就会发现此问题解决的过程中不仅需要轴对称，还需要平移，AB两村路程最短问题。学生通过尝试，对错分明，问题解决思路清晰，对方法的认识不但深刻，而且在探索的过程中，思维得到了训练，学生在一次次批判和否定中找出新方法，最终落实到通过平移转化的方法上来。数学问题解决教学中，教师还要把握学生的问题解决的最近思维发展区，搭建桥梁，做好铺垫和引导，以便学生能进行联想迁移或变换转化。这些都是思考解决数学问题的重要方法，在引导学生运用后，一次两次学生是无意识的，但这种熏陶，在潜移默化几次后也根据时机予以揭示，让其成为学生今后解决此类问题的自觉地行为，升华为一种思维能力。

4在数学问题解决后的反思归纳中，延伸解决数学问题的思维品质和能力

数学家乔治•波利亚就数学解题曾经说过：“数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径是进行有效的训练。”数学问题解决不仅是需要联结各知识，而且体现了数学思想和解题方法进行反复指导与推进的过程。过程进行的始终都要求学生进行不断地反思。反思解题，除了确定答案地对错，更重要地是能依据题目地的特点多角度，多层次，多方位地联想，纠正解答过程的错误，找出错误的根源；对于正确的解答，归纳用到的可行方法，进而反思该方法能否可以推广；或是反思该问题是否还有别的解答方法，从比较判断中获得最佳解题方法。如上述图2的河上搭桥问题，在学生梳理所用的方法后，可以进一步启发学生，题目的条件可以怎么改？看看河道能不能改为不平行的，改了怎样处理？可否中间有两条河道？让学生对自己提出挑战。通过引申和变式，使学生运用不同的知识和方法，多角度处理问题，准确解数学问题的解题规律和本质。学生的认识也提高了一个层次，在困难的挑战中，思维品质也得到了不断地优化。数学反思是纠错的重要手段，反思是数学思维活动的核心和动力，错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素。反思不仅能改善学生的思维能力和习惯，还能提高学生的解题能力。

【参考文献】

[1]杨启亮.课堂教学有效性的几个基础问题[J].教育发展研究,2012(8):26-30,52.

[2]崔保常.如何构建初中数学“问题解决”课堂教学模式[J].数学学习与研究,2016（4）:25.

[3]杨基华.初中数学问题解决的教学策略解析[J].数学学习与研究,2016（19）:53。

[4]颜科.初中数学问题解决教学的意蕴[J].数学教学通讯，2018,2(中旬):12-13.

[5]沈春梅.刍议初中数学“问题解决”[J].数学教学通讯，2018,9(中旬):28-29.

[6]王光生，何克抗.基于信息技术的数学问题解决教学策略[J].开放教育研究,2009(2):37-43.

作者:仓怀宝 单位:山东省临沭县第二初级中学数学教研室