结合数学史实解析数学课内容实践

作为以授课为主要任务的教师，学习和研究数学史的首要目的，自然应该是把数学的有关史实融汇到整个数学课程的内容中去。因为在数学课教学过程中，学生对有些内容的理解或者比较困难，或者比较浅浮，为解决此类问题，教师除了在论证推理或举例说明等方面下功夫改善之外，讲述与之相关的数学史，对所授课程内容进行解释和说明，也是一种重要途径。下面列述我们在讲授微积分和概率统计课程时的一些尝试。

一、极限理论和实数理论的发展简史

关于数列或函数的极限定义，课本上首先是用“无限趋近”的语言和表达式“lim”给出的，学生已经能够理解。紧接着又给出极限的第二个定义即“εN”、“εδ”定义，学生反而难以理解，甚至认为这后一定义是多余的。由于此时还未讲到无穷小的概念和导数的定义，我们暂时还只能用适当的数据（例如对1lim(1)1nn→∞+=，当ε依次取0.1、0.01、…，时，N相应取为10、100、…）和在数轴上描点等方式进行解释，以使学生对"εδ"定义先有一个初步的了解。后来讲到导数的定义，例如学生对此推导尚能接受，但在此时，教师就要讲述有关历史：首先是18世纪初贝克莱提出的悖论：他质疑x究竟是不是0？若是0就不能做分母，若不是0就不能消去。当时数学界无法回答这个问题，引起了所谓“第二次数学危机”。这说明初创时期的微积分虽然在应用上就已经获得了巨大成功，但在理论上是不严密的，贝克莱悖论切中了这一要害，刺激了数学家们努力建立微积分的严格基础。首先是柯西初创了极限理论，提出极限是变量“无限趋近”的确定目标；以0为极限的变量称为无穷小量，它不一定是真正的0，而是在其变化过程中具有无限接近于0，“想要多小就多小”的特点。但这种说法（即课本上的第一个定义）只是直觉的定性描述，虽然对澄清贝克莱悖论具有重大作用，却没有从根本上解决问题，例如未能区分函数的连续性和可微性，而当时已发现了很多连续但不可微的函数。直到19世纪中叶，维尔斯特拉斯明确提出了"εδ"方法，给极限概念以定量化的定义，用以重建严密的微积分理论体系，才从根本上解脱了“第二次数学危机”。所以"εδ"方法不是多余的，而是完善微积分理论和方法所不可缺少的。既然已介绍了“第二次数学危机”，于是学生自然会问什么是“第一次数学危机”？我们就索性进行解答：古希腊学者信奉“万物皆数”，而这些数只是整数及其比。但当时发现单位边长正方形的对角线长不是整数比，引起了恐慌，这就是“第一次数学危机”。所以从那时起，人们把整数及其比统称为“有理数”，而把非有理数称为“无理数”，有理数和无理数统称为实数。这次危机的解脱不在当时，而在两千多年后的19世纪，并且是在解脱第二次危机的同时，康德等人在极限理论基础上建立了严密的实数理论，才彻底认识了无理数。通过对这些数学史的简扼介绍，学生不仅对本课程的内容有了更深的了解，而且还对以前已熟知的有理数和实数概念有了进一步认识。

二、从古典概率论到近现代概率论的发展简史

从15世纪起数学家就开始研究以问题为主要内容的概率问题，到19世纪已经提出了大数定律、中心极限定理等重要内容，但概率论在理论上仍然很不完善，以致产生了一些悖论。例如，贝特朗悖论：求园内弦长超过圆内接正三角形边长的概率。依据“随机选择”的不同方式选取弦可以得到不同的答案；选择一组平行弦时，所求概率为1/2；选择从圆上某点引出的一组弦，则所求概率为1/2,等等。这种多值性揭示出“概率”这个基本概念本身就较模糊。同时，科学家们们把概率论应用于统计物理时，也感到需要先对概率论自身的基本概念和原理重新进行严密、准确的定义和论证。古典概率论的缺陷，缘由其概念和命题都是以实验为前提的，这种实验有时由问题本身明确规定，有时却不然，亦即概念和命题的建立都具有很大的随意性，缺乏足够的逻辑性、必然性和确定性。

直到20世纪初，柯尔莫果洛夫集前人之大成，运用刚问世不久的测度理论对古典概率进行公理化重建，开创了现代概率论。仅仅一个世纪以来，现代概率论无论在理论或应用方面，或在与其它数学分支的交融汇含方面，其发展的广度和深度，其所取得的成就，都是古典概率进所望尘莫及的。我们在讲授完第一章《概率论的基本概念》之后，向学生讲述概率论与数理统计发展的上述历史，是为了给学生如下启示：这门科学的基础是需要大量的重复的实验和观察（在其中存在着许多不确定因素），但为了能从实验数据中总结出正确的结论，并且要以较少的实验代价获得对一般规律的了解和掌握，即所谓“由局部推断整体”，就必须建立系统的严密的理论，从理论上进行推演。

也就是说，学习这门课程时，既要重视实际数据，又要重视理论推导，两者紧密结合不可偏废。关于这种基本研究方式和学习方式，在以后各章的教学中，仍需经常提醒学生。