结构实践与结论的桥梁

摘要：“操作”历来是数学课中促进学生理解概念而受教师青睐的学习方式，然而，许多老师在教学中错误地认为只要是“动手实践、实物操作”学生就能主动建构，而忽视了主动建构是学生学习过程中内在的思维活动。笔者根据自己的教学实践与体会提出了教师如何促进学生从直观的形象操作抽象到结论的三个策略，期望引起同仁的共鸣与得到行家的批评指正。

关键词：操作；内化；自主；结论

“儿童的智慧在他的手指尖上”，操作也历来是数学课中学生概念学习的好帮手，但是，如果教师未能帮助学生较好地去实现概念的形式定义与其已有的直观形象和经验的必要整合，那么通过操作给学生所建立的表象上的“认知基础”就很可能反而成为学生学习的“认知障碍”。本文中，笔者结合教学实践进行“如何促进学生通过操作帮助自己自主形成结论”的尝试研究，试图探索教师引导学生进行有效操作的教学策略。

策略一：语言内化——说说我是怎样操作的？

笔者先来介绍一位老师执教的《笔算除法》的过程：

学生根据教师创设的情境列出算式：52÷2，教师让学生口算，许多学生感到口算有困难或不方便，从而引导到本节课要学习的笔算。教师先让学生试算，学生出现了以下两种情况：

师：笔算除法怎样写正确呢？请同学们借助小

棒分一分，想一想怎样列竖式。

学生先独立操作后，教师让一位学生在投影上操作，教师边提问，学生边操作。即先把4捆平均分成2份，再把剩下的一捆拆开平均分成2份，每份5根，最后2根再分。

教师再让学生观察电脑课件：52根小棒先拿出4捆平均分成2份,每份2捆，再把余下的1捆拆开与2根合起来是12根，每份得到6棵。

师：结合小朋友与电脑分小棒的过程，说说竖式是怎样列的？然后师边列竖式边提问：“52”十位上的“5”除以2商2写在什么位置？……逐步完成竖式过程。

初看，教学中，教师设法激起学生探究欲望，注重数形结合，学生的认知基础也把握得非常准确（这节课学生已有的知识基础是表内除法的笔算，教师想让学生通过操作形成直观经验，如此设计理念笔者也是赞同的。），教学过程似乎无可非议！然而课堂练习中，近学生仍然采用先设法口算出得数然后列竖式的第一种错误的笔算方法，当然计算结果也是错误百出，一少部分学生更是无从下手，显然，课堂中的操作没有达到预期的帮助学生理解与掌握笔算除法方法的效果，即学生未能运用通过操作所建立的直观经验来指导自己学习笔算除法。

究其原因，笔者认为，最关键的地方是学生没有经历“自反抽象”的内化过程，投影上、电脑上的操作，所有的学生都是一个观察者，因而后继的竖式学习过程中，他们只能也是被动的接受者，这样，最后出现如此糟糕的学习效果也能在情理之中解释了。

纵上分析，一位学生在投影上操作后，教师应该让每位学生静下心来想一想自己是如何操作的，把操作的过程说给同桌（或组内交流）听听，当他们通过老师的引领与语言内化后，然后教师再引导他们自主思考，如果用竖式来表达分小棒的过程，那么自己是先分什么，在竖式上应怎样写，再分什么，在竖式上又怎样写？使他们感受到除法竖式也就像分小棒一样帮助自己解决“52÷2”这个问题。只有这样，学生将“素朴的”直观和经验转变为“精致的”直观和经验，学生才能很好地进行抽象的数学概念的学习。

策略二：表象提升——想想他人是怎样操作的？

我们知道，数学的对象并非物质世界的真实存在，而只是抽象思维的产物，如果我们始终只是停留于实际操作的层面，而未能让学生在头脑中实际地建构起相应的数学对象的话，则就根本不可能发展起任何真正的数学思维。即相对于具体的操作或活动而言，我们更应强调“活动的内化”。

例如，大多数老师在执教《长方形面积的计算》这一课时，都是先通过让学生用1平方厘米的正方形去摆出不同的长方形（或用相同多的如24个1平方厘米的正方形摆出不同的长方形），在相应的表格上分别记录自己所摆的长方形的长、宽与面积，然后经过大量的数据观察，即引导学生分析表格中面积与长、宽的关系，最后经过归纳推理得出长方形的面积等于长×宽。

如此过程，虽然学生对长方形面积的计算方法没有异议，但是没有“活动的内化”的做法笔者不敢苟同，当然，这种缺乏让学生深刻体验、反思与感悟所获得的结论给学生留下的记忆痕迹是也很浅显的。笔者在执教该课时，作了如下的尝试，得到了与会听课教师的一致好评。

当学生通过操作（我采用的是学生用1平方厘米摆出不同的长方形的操作探究方式）填好表格后，我没有马上引导学生去得出结论，而是利用投影的不足（即空间与时间都不可能允许展示很多学生的表格）让学生说说还有哪些跟投影上表格中不同的填法，当一位同学说他摆的长方形长是6厘米，宽是3厘米，我马上提问：“同学们猜猜，他是怎样摆出这个长方形的？一共需要多少个小正方形，这个长方形的面积是多少？”孩子们根据自己刚才的操作经验很容易地猜到“这位同学摆的长方形长边用了6个1平方厘米的正方形，宽边摆了3排，一共用了18个小正方形，面积是18平方厘米。”然后教师再让学生像刚才一样（教师将自己的提问呈现在投影上，方便学生进行交流）分别轮流猜猜组内其他同学其中一个长方形是怎样操作的；接着教师话锋一转，“操场上有一个很大的长方形，长是8米，宽是6米，老师想测量它的面积，你猜猜老师会用什么正方形去摆，怎样摆？一共需要多少个这样的正方形？”当学生回答后，我又说：“你们认为老师真的会这样去测量这个长方形的面积吗？”学生们都笑了，说老师一定是用“8×6”去计算出它的面积的！这时，我故意装糊涂：“怎么可以这样算呢？”一位孩子着急地说，“老师，告诉我们这个长方形长是8米，长边一定可以摆8个1平方米的正方形，宽是6米，就是可以摆6排，这样不是一共可以摆48个吗？所以面积是48平方米，想想就知道了，干吗要摆呀！”

好一个“干吗要摆呀！”实际上老师也就希望你不要摆呀，当我继续“装糊涂”地引导学生解读这位学生的意见时，几乎所有的学生都得出了“长方形的面积=长×宽”这个结论，这时我提出了一个难度非常大的问题：“谁能用自己的话说说长方形的面积为什么等于长×宽？”孩子们有的举例说明，有的孩子还能进行如此抽象地概括：“长方形的长就能说明长边可以摆几个面积单位，宽就告诉我们可以摆这样的几排，这样长×宽就计算出了这个长方形一共可以摆几个面积单位，也就是它的面积。”

笔者认为，这节课教学的成功，就是教师适时地让学生利用自己实践操作的直观经验，通过“想想他人是怎样操作的”进行了不自觉的表象提升，使学生在更高的层面对所得到建构的东西重新进行建构，从而使之成为一个更大结构的部分。

策略三：自主结论——如果没有了操作，我发现了什么？

先来介绍笔者执教《能被3整除的数的特征》的教学过程：

教师在激发了学生探究“能被3整除的数的特征”的兴趣后，让学生拿出数位顺序表和实验记录表（如下），用实验的方法来寻找能被3整除的数的特征。

实验的方法是用火柴杆在数位表上摆数。把1根火柴杆放在个位上表示1，放在十位上表示10，放在百位上表示100。每摆出一个数，就判断一下这个数能不能被3整除。如果这个数能被3整除，就在实验记录表的格子上打“√”，否则打“×”。例如用1根火柴杆摆出的数1、10、100都不能被3整除，就在用1根火柴杆摆出的数的右边格子里画一个“×”；而用3根火柴杆摆出的数102、111、120、201、210、300等都能被3整除，就在用3根火柴杆摆出的数的右边格子里画一个“√”。

使用火柴杆的根数摆出的数是否能被3整除

1×

2×

3√

学生通过操作，发现“凡是用3根、6根、9根、12根……火柴杆摆出的数都能被3整除”，教师继而引导学生提炼语言“凡是火柴杆根数是3的倍数的，摆出的数就能被3整除”、“凡是火柴杆根数能被3的整除的，摆出的数就能被3整除”。

根据操作的结论进行尝试练习，让学生根据教师所报的数，在数位表上用火柴杆表示出来，看看用了几根火柴杆，能不能被3整除；接着教师要求学生不要摆在心里想一想火柴杆的根数，判断下面的数（如“114，163”等）能否被3整除，这时学生回答“114需要用6根火柴杆摆，6能被3整除，所以114能被3整除”而“163需要用10根火柴杆摆，10不能被3整除，所以163不能被3整除”。

最后，教师提问：如果没有了火柴杆的帮助，你能说一说怎样的数能被3整除吗？你发现了什么？此时，学生对于能被3整除的数的特征呼之欲出，学生自主愉快地发现“一个数各个数位上数的和能被3整除，这个数就能被3整除。”教学也自然水到渠成。

在抽象的数学概念的教学中，我们应当努力去发现这样的问题情境或基础知识，它们是学生所熟悉的，同时又为新的抽象概念的学习提供了合适的基础，用火柴杆实验的方法来探索“能被3整除的数的特征”，用这样的操作来帮助学生形成直观经验的认知基础是非常恰当的。但是，数学中操作活动最终还是要促进学生的抽象思维，为学生形成概念或结论所用的。教学中，学生操作后，教师引导学生语言提炼、尝试练习，都是为学生“自主结论——如果没有了操作，我发现了什么？”层层铺垫，帮助学生以已有的直观形象和经验为基础并通过合理的抽象很好地建立相应数学概念的形式定义。学生虽然没有了操作，在其形成结论时，已经能够很好地将概念的形式定义与直观形象和感觉经验整合起来，因而课堂中，抽象的形式定义对学生而言变得如此的生动和丰富！

最后，笔者还要指出的是，上述三个策略是相辅相成、辨证的统一体，一节课中三个策略同时使用可以是一个教学流程，也可以是某一个策略的突出使用与两个策略有机结合的使用，使用的策略仅是一种方式或手段，是构筑学生操作与形成结论的桥梁，其最终目的是为了避免学生通过操作所获得的直观形象和经验与学生学习概念的形式定义互不相关甚至干扰，促进学生自主地进行“活动的内化”。

参考文献：

郑毓信：《国际视角下的小学数学教育》.人民教育出版社.2004年1月第1版.