统计力学时期数学物理学关系研究

摘要:以玻尔兹曼统计力学理论为主要研究对象，对统计力学形成时期的数学物理学关系进行探讨，研究此时期数学物理学关系以及其在整个历史时期中所起的重要作用。研究结果表明，物理学促进了数学方程和数学结构的形成，同时数学观念、方法、原理等的介入促进了物理学的发展，数学思想的引进带来了统计世界观的转变。此时期的数学物理学关系在数学物理学关系由经典力学到量子力学的转变中起到了承上启下的作用。

关键词:统计力学;数学;物理学

数学与物理学的关系在古希腊时期就开始被讨论，数学和物理学最初的研究对象都为自然界，二者在某种意义上存在着相互关联。统计力学是在经典力学的框架之下，运用统计学的方法和概念，通过研究大量微观粒子的运动来描述和解释宏观的现象和规律，物理学研究开始深入微观领域。狄拉克认为，物理学家研究自然现象有2种有效方法，一种是实验和观察，另一种则是数学理性［1］。当研究深入微观领域时，由于人类应用实验方法的局限性，数学开始占据主导方法的地位。统计力学在物理学上被称为经典力学到量子力学的过渡时期，那么，其在数学与物理学的关系上是否也成为一个重要的转折点，在此时期统计力学会对数学与物理学的关系产生什么样的认识论和世界观的转变?本文以玻尔兹曼统计力学为主要理论，对统计力学形成时期数学与物理的关系进行深入研究，探求二者关系发生的变化。

1统计力学形成时期的理论

统计力学形成时期主要是指以克劳修斯在1850年引入统计平均为起到1877年玻尔兹曼确定了熵与概念的关系(玻尔兹曼原理)为止。统计力学形成初期，克劳修斯定性地说明了气体运动论的基本思想，即以气体中大量分子无规则运动为起点，根据力学定律来描述微观分子的运动与宏观现象之间的联系。他认为气体分子运动是一个随机的过程，将分子集合速度的数值看作是平均数值。同时，引进了平均自由程这个统计概念来解决气体分子理论上的速度与气体扩散速度相差较大这一事实之间的矛盾。麦克斯韦基于气体性质的考察来弥补克劳修斯理论的缺陷。他用刚球模型来模拟气体分子，在动力学体系下，对分子碰撞进行数学分析，认为分子碰撞时能量的分配具有规律性，通过讨论分子的速度分布，推导出平衡态的速度分布函数。克劳修斯仅使用了平均值这个概念，麦克斯韦使用概率来定义速度分布函数的概念，描述了微观粒子的宏观状态，具有统计性质。在克劳修斯和麦克斯韦工作的基础上，玻尔兹曼在1872年，借助于麦克斯韦的刚球分子模型和统计分析，通过考虑在均匀空间中无外力作用的情况下，能量为x的分子在6N维相空间中碰撞后在某一位置上某一瞬间数量的变化，得出有关概率密度函数随时间的演化方程。然后考虑在外力作用之下的非均匀分布的情况，玻尔兹曼将物质的不连续性应用到能量上，推导出关于位形和速度的分布函数ft(r，v)随时间的演化方程，成为历史上第一个关于概率在时间上的演化方程［2］，被命名为玻尔兹曼方程［3］:ft+ξfx+ηfy+ζfz+Xfξ+Yfη+Zfζ+∫dξ1dη1dζ1∫bdb∫dψV(ff1－f'f'1)=0(1)玻尔兹曼用此方程推导出单原子分子系统的H定理，dHdt≤0，H定理从微观角度证明了宏观现象的时间不可逆性以及热平衡状态的存在，证明了麦克斯韦分布的唯一性。H定理虽然成功地解释了大量的物理现象，但同时也遭到物理学家和数学家的批评。1876年，洛喜密脱提出可逆性佯谬，说明在力学体系下用微观上的可逆性去解释宏观的不可逆性是矛盾的。1877年，玻尔兹曼在解决不可逆佯谬时开始意识到了热力学第二定律统计解释的意义。他考虑装在完全弹性的容器内的封闭气体，避免分子速度和位置的连续性，利用完全弹性刚球分子模型，依据先验的等概率性，同时对于分子的速度运用离散模型，将能量对分子进行配容，得到下式:m0+m1+m2+……+mp=Nm1+2m2+……+pmp=λ(2)这样，由置换论点的方法，可得一个确定状态分布的配容数p，配容数即为该状态的几率。取极限过渡到连续能量情形，利用斯特林公式和拉格朗日乘子方法求logP最大值，即可求得最可几的状态分布。接下来，玻尔兹曼将热力学第二定律与概率理论联系起来，在平衡态下进行考虑，得出熵与几率的对数成正比关系，后被普朗克以精确的公式表示出来，即S=κlogW(3)式中:S为熵，κ为玻尔兹曼常数;W为配容数或者状态的几率。以最可几状态来定义热平衡状态以及确定热力学第二定律与概率之间的关系，标志着统计力学基本形成。

2统计力学形成时期数学与物理学的关系

2.1物理学对数学的影响

玻尔兹曼坚持原子论，认为物质是由不连续的分子组成的，而连续的事物都是由不连续的事物极限过渡产生的。玻尔兹曼将物质的不连续性用于能量上，得出的玻尔兹曼方程不仅是玻尔兹曼统计力学理论的核心内容，首次给了我们以处理微观与宏观现象之间关系的工具，从而预测了宏观现象的不可逆性，而且已成为数学严密理论的研究对象。1994年，路易斯•莱昂因证明了玻尔兹曼方程的存在性获得了菲尔兹奖。玻尔兹曼方程对物理学也是一个有用的工具，尤其是在航空航天上的应用。熵与概率的关系式也是一种数学结构，维纳将此关系式应用到信息传递的过程中，从而发现了信息量其实就是负熵，熵增即代表信息损失。物理学的发展促进了新的数学方程和数学结构的形成，同时因探索描述物理过程而形成的数学方程，将物理学的思想上升到抽象的高度，反过来又促进和丰富物理学的发展。

2.2数学对物理学的影响

(1)数学中的想法可以发现新的物理定律。Vafa认为数学与物理学家之间存在“鸿沟”主要是基于一个事实:即使数学对象进入到物理中，但数学思考的模式对大部分物理学家仍然是陌生的［4］。这就在一定程度上限制了物理学的发展。而玻尔兹曼将数学中不连续的处理方法运用到能量中，形成离散能量模型，再通过取极限将其过渡到连续的情形，在此基础上推导出熵与概率的关系式，从而发展了经典统计力学。普朗克承认玻尔兹曼所使用的离散能量模型导致了他发现了能量子，而量子的概念则为量子力学理论的形成奠定了概念前提。数学不再单单是工具，数学的思维方式介入到物理学中，促进物理学的发展。(2)数学概念和原理的应用形成了新的世界观。在经典力学框架下，以统计学原理和熵概念为基础形成的统计力学改变了人们看待世界的方式，形成了统计世界观，即统计决定论:自然在统计的意义上具有决定性。我们所能观测的量是宏观可测量的量，这本身就存在着统计的性质。H定理中借用分子运动统计分布律推导出熵必然增加。在可逆性佯谬提出之后，玻尔兹曼将宏观量熵与概率联系起来，将系统的熵解释为“一种状态的概率量度”，对熵的概念作了统计解释，熵趋于最大时，趋于宏观平衡态所对应的微观态要比不趋于统计平衡态的微观态大得多。熵减少也存在可能性，只是可能性微乎其微。热力学平衡态是动态的，存在涨落，以此说明了热力学第二定律的统计本质，指出宏观世界运行方向的不可逆性，而微观世界分子运行的可逆性在宏观上的表征体现了自然界遵循的是统计规律。宏观现象可逆性是可以实现的，但由于单位体积内分子数目巨大，发生的概率极其小且经历的时间极其长，可以说自然过程在统计意义上是具有决定性的。(3)数学促进了物理学思想的形成，又反过来影响88了数学在物理学中的作用。在1872年之前，玻尔兹曼的理论都是建立在力学运动方程基础之上的，采用速度分布律对热力学第二定律作了系统的统计论证，而所提到的概率代表相对时间或者相对粒子数，是一种纯力学的解释，作为一种数学方法或者计算工具存在，所以在此之前形成的理论是一种唯象理论。之后，玻尔兹曼意识到统计解释的重要性，首次使用概率论证，将熵与概率联系起来。而概率开始作为一种“非力学要素”［5］，被定义为相空间中的相对体积，概率概念的转变标志着统计力学的诞生。玻尔兹曼以等概率假设为依据，对分子进行配容得出式(2)，确定了最可几分布;利用数学推理，得出熵与概率的关系式(3)，解释了热力学第二定律以及其与概率之间的关系;通过“自旋回波”效应的实验以及对具有大量自由度的系统进行数字实验，表明大量粒子的系统具有时间反演的可能性。由此，统计力学理论首先经历了从唯象理论到非唯象理论的转变［6］，即数学开始由描述物理现象转变为解释物理现象。

3结论

统计力学形成之前，在笛卡尔的机械自然观的引导之下，牛顿将力从物体与运动中独立出来，力具有了本体的位置，从而以力为基本概念发展形成经典力学。在此时期，数学与物理学相互作用，一方面，数学在整体过程中以观念和工具的方式融合进物理，对物理现象进行描述，促进了物理本体的形成，进而对自然进行解释和重构［7］，同时也促进了物理新思想的形成;另一方面，物理为数学提供概念和研究对象，物理学的发展也促进了数学体系的形成。在统计力学形成时期，数学物理关系延续了牛顿力学时期的发展，即数学作为物理的语言和物理计量与推理的工具，如理性力学中微积分的概念代表瞬时变化率，统计力学中用分子速度分布律来表示概率。同时物理学的发展也促进了数学的形成，如微积分、概率微积分方程。但随着数学物理学各自的发展，数学物理关系也发生了变化。从19世纪开始，数学的抽象影响了数学与物理学的关系，数学开始越来越独立于力学和物理，虽仍然相互作用，但开始平行发展，不再相互渗透［8］。在统计力学形成时期，数学观念的改变，数学方法和原理的介入都在物理学中起着重要的作用，甚至对物理学未来发展都有着一定的影响。因统计力学仍然是在经典力学的大背景之下形成的，所以数学物理学的关系没有发生根本性的改变，数学在物理学中的作用最根本还是工具性的运用。虽然玻尔兹曼在置换论点方法中使用了置换群的概念，但并没有产生数学结构的思想，以及意识到数学结构在物理学中的重要作用，使用的仅仅还是描述物理现象的数学模型或方法。但玻尔兹曼作为坚定的原子论者，他相信整数的实在性，因而认为自然界是不连续的。数为最简单基本的概念，对数以及数学的运用构成了自然科学的基础概念，进而认识空间、力、能量等其他概念。19世纪末的数学开始趋向于统一，数和形的区别在于数是离散的，而形是连续的。以统一的观点来看，数是零维的，而图形是一维到更高维的［9］。因此，按玻尔兹曼的观点来讲，数能推导出空间的概念，几何学也就可以用数来研究，体现了毕达哥拉斯万物皆数的思想。所以数学与物理学在一定程度上达到了统一。19世纪末，结构数学萌芽。根据对称性等原理构造数学方程以及利用数学结构来描述物理学成为20世纪物理学发展的惯用方式之一，这一时期数学与物理学的关系更加密切，数学不再仅仅是物理学的工具，很多人把本体论上的数学结构和世界结构关联起来，讨论由认识论更多地上升到了本体论的层次。我们现在回头审视统计力学发展的这一段历史，它在数学物理学发展中承上启下的地位得到了充分地展现。

作者:程瑞 许媛 单位:山西大学科学技术哲学研究中心

参考文献

［1］DiracPAM．Therelationbetweenmathematicsandphysics［J］．Resonance，2003，8(8):102－110．

［2］卡罗•切尔奇纳尼．玻尔兹曼:笃信原子的人［M］．胡新和，译．上海:上海科学技术出版社，2002．

［3］广重彻．物理学史［M］．李醒民，译．北京:求实出版社，1977．

［4］CumrunVafa．Onthefutureofmathematics/phys-icsinteraction［J］．MathematicsFrontiers＆Perspectives，2000，321－328．

［5］陈秉乾，胡望雨．玻耳兹曼传略［J］．物理教学，1993(8):20－24．

［6］钟海琴．玻耳兹曼的科学哲学思想研究［M］．北京:中国科学技术出版社，2011:81．