产品责任险契约设计思考

我国已有相关学者注意到了保险中的委托问题。梅广清等[1]分析了道德风险对自然灾害保险契约的影响。刘军[2]使用委托—理论对最优保险契约的性质进行了研究。产品责任保险[3]与上述文献所讨论的保险问题相比有其自身的特殊性。产品责任保险涉及三个参与方：生产经营者、消费者和保险公司。保险公司为了避免生产经营者承担风险型产品责任风险和经济赔偿责任的后果，开办了产品责任保险，将生产者和销售者经济赔偿责任转嫁给自己。由于从产品投保到保险合同实施过程中，存在交易双方、保险公司三方之间因信息不对称所导致的道德风险，所以产品责任保险的契约设计就显得十分重要，具有很强的实践意义和应用价值。现实中，企业的生产集中于固定的地点，与保险公司之间是一种长期重复博弈关系，因此企业相对于保险公司隐藏产品质量信息的道德风险较容易克服（通过监测制度和重复博弈机制）。所以在产品责任保险中，本文假设投保者（生产经营者）和保险公司都是守信的，不存在任何欺骗行为。消费者在使用风险型产品的过程中，风险损失的发生是受其保养或正确使用产品行为影响的，这些行为需要一定的努力（成本）才能完成。由于存在隐藏行动的道德风险的消费者就个体来讲是分散的，对其消费行为的监控客观上是不可能的，保险公司只能通过一个激励机制诱使消费者努力正确使用该风险型产品。本文试图解决这个问题。

1不存在消费者道德风险时的最优产品责任保险契约模型

首先我们假设消费者的使用行为不会影响风险型产品所带来的意外损失，然后再给出其行为能够影响意外损失的情况。假设市场中分别有生产者、消费者和保险公司。生产者手中有一件风险型产品，它给消费者带来连带的额外风险损失是一个随机变量π，π0，分布密度为f(π)，分布函数为F(π)。π=0即不发生意外损失时，F(0)>0；π>0时，f(π)是连续的。该风险型产品的生产成本为c，价格为p，它对消费者的价值为ω0。消费者的效用函数为u(x)，不妨设u(0)=0，且消费者为风险厌恶型的，即u′>0而u″<0。生产者应向保险公司支付的保险费为σ，当发生额外风险损失π时，保险公司支付给消费者的赔偿费为g(π)0，并且g(π)π（若g(π)=π，则称为完全保险；若g(π)<π，则称为部分保险；若g(π)>π，则称为过度保险），即不存在过度保险的情况。再设该风险型产品的市场和相应保险市场是完全竞争的，这意味着生产者与保险公司都不能赚取超额利润，如果存在交易的剩余，则完全被消费者占有。注意到以上假设，我们构建如下基于委托理论的最优契约模型。maxg(π)、p、σF(0)u(ω0-p)+∫π>0u(ω0+g(π)-π-p)f(π)dπs.t.ìíp-c-σ0(1)σ-∫π>0g(π)f(π)dπ0(2)ω0-p0(3)模型中条件(1)、(2)分别是生产者和保险公司的参与约束，注意到该风险型产品的市场和相应保险市场是完全竞争的，故(1)、(2)约束取等号。由于已经假设不存在过度保险的情况，注意到u′>0，一定有u(ω0-p)u(ω0+g(π)-π-p)，又u(0)=0，所以条件（3）是消费者的效用（即目标函数值）不小于0的必要条件，它是消费者的参与约束。令ω0-p-s+=0，即ω0-p=s+，其中s+是非负变量，于是上述模型可简化为maxg(π)、s+F(0)u(s+)+∫π>0u(s++g(π)-π)f(π)dπs.t.ω0-s+-c-∫π>0g(π)f(π)dπ=0为求解上述最优化问题，我们构造如下拉格朗日函数：L(s+,g(π))=F(0)u(s+)+∫π>0u(s++g(π)-π)f(π)dπ+λ(ω0-s+-c-∫π>0g(π)f(π)dπ)分别求L对g(π),s+的偏导数得：u′(s++g(π)-π)-λ=0(4)F(0)u′(s+)+∫π>0u′(s++g(π)-π)f(π)dπ-λ=0(5)根据库恩－塔克条件可知λ为一个正的常数(因为约束条件等号成立)[4]，由(1)式显然可得Pareto最优风险分担。注意到∫π>0f(π)dπ=1-F(0)与F(0)>0，将(4)式代入(5)式有：u′(s+)-λ=0(6)把(6)式代入(4)，注意到λ为一个正的常数且u(0)=0，所以s++g(π)-π=s+，即g(π)=π(7)将(7)式代入原模型分别得σ=∫π>0g(π)f(π)dπ，p=c+∫π>0g(π)f(π)dπ。于是可得如下定理。定理1在不存在消费者道德风险的条件下，最优产品责任保险契约可以实现Pareto最优的风险分担，最优契约要求完全保险，最优保险费为风险的期望值，消费者使用产品发生的风险成为生产者成本的一部分最终计入价格。

2存在消费者道德风险时的最优产品责任保险契约模型

一般来说，风险型产品所发生的风险是受消费者的使用行为影响的，比如锅炉，是否正确使用（需要付出学习成本），是否定期清理污垢（需要付出保养成本）等，因此设计保险契约时要考虑对消费者的激励问题。下面我们来分析此类保险契约的最优设计。用a表示消费者学习正确使用产品和保养该产品所付出的努力水平。理论上讲，努力水平a可以是任何维的决策向量，但为了讨论方便，这里我们假设a是一维变量。c(a)为消费者努力的负效用，是效用化成本，并且c′(a)>0，c″(a)>0。因为这里考虑消费者的努力会影响意外风险损失的大小，所以可以假设当产生额外损失π时的分布密度为f(π,)a（π0），分布函数为F(π,a)。显然，对于固定的π，消费者努力水平越大，达到π的损失的可能性越小，因此，我们可以假设一阶随机占优条件Fa(π,a)>0成立。再假设π=0即不发生意外损失时，F(0,)a>0且Fa(0,a)>0，Faa(0,a)<0，意为消费者的努力水平越高，不发生风险损失的概率越大，但不发生风险损失的边际概率递减；π>0时，f(π,)a对π连续、对a可导且fa(π,a|π>0)<0，即消费者的努力水平越高，发生风险损失π的概率越小。由以上假设，存在消费者道德风险的情况下，我们给出如下基于委托理论的最优契约模型：maxg(π)、p、σF(0,a)u(ω0-p)+∫π>0u(ω0+g(π)-π-p)f(π,a)dπ-c(a)s.t.ìíp-c-σ=0(8)σ-∫π>0g(π)f(π,a)dπ=0(9)a=argmaxa′[F(0,a′)u(ω0-p)+∫π>0u(ω0+g(π)-π-)pf(π,a′)dπ-c(a′)](10)ω0-p0(11)其中a′是指消费者的任何一个努力水平，因而(10)式是对消费者的激励约束；(8)、(9)、(11)式分别是生产者、保险公司、消费者三方的参与约束。我们可以用一阶条件来表示上述模型中的第三个约束条件[13]（即(10)式）有：Fa(0,a)u(ω0-p)+∫π>0u(ω0+g(π)-π-p)fa(π,a)dπ=c′(a)令ω0-p-s+=0，即ω0-p=s+，其中s+是非负变量，于是原模型可简化为：maxg(π)、s+F(0,a)u(s+)+∫π>0u(s++g(π)-π)f(π,a)dπ-c(a)s.t.ìíω0-s+-c-∫π>0g(π)f(π,a)dπ=0(12)Fa(0,a)u(s+)+∫π>0u(s++g(π)-π)fa(π,a)dπ=c′(a)(13)为求解上述最优化问题，我们构造如下拉格朗日函数：L(s+,g(π))=F(0,a)u(s+)+∫π>0u(s++g(π)-π)f(π,a)dπ-c(a)+λ(ω0-s+-c-∫π>0g(π)f(π,a)dπ)+μ(Fa(0,a)u(s+)+∫π>0u(s++g(π)-π)fa(π,a)dπ-c′(a))求L对g(π)的偏导数有：u′(s++g(π)-π)=λf(π,a)f(π,a)+μfa(π,a)=λaa+μafa(π,a)f(π,a)(14)求L对s+的偏导数并把（14）式代入有：u′(s+)=λF(0,a)F(0,a)+μFa(0,a)(15)引理原（简化后）模型的两个约束的拉格朗日乘子λ、μ均与π无关且都大于零。证明：由拉格朗日函数L(s+,g(π))的右端不含变量π（是积分变量，被积分掉）可知λ、μ均与π无关。求L对a的导数并且注意到(13)式有：λ∫π>0g(π)fa(π,a)dπ=μ(Faa(0,a)u(s+)+∫π>0u(s++g(π)-π)faa(π,a)dπ-c″(a))上式右端括号内的表达式是消费者激励相容约束的二阶条件，因此肯定小于0；又由假设π>0时fa(π,a)<0，所以λ、μ同号。显然μ≠0，否则对消费者的激励相容约束(12)不起作用，因此λ≠0。若μ<0，则λ<0，注意到π>0时fa(π,a)<0，由式(14)u′(s++g(π)-π)<0这与已知u′>0矛盾。综上只能λ、μ均大于0。为了讨论问题的需要，我们把消费者与生产者完成交易、还没有投入使用时产生的剩余ω0-p=s+称为交易的即时剩余。定理2在考虑消费者道德风险的产品责任保险契约模型下，消费者购买产品所获得交易的即时剩余s+只与其未来使用产品时为正确使用和保养该产品所付出的最优努力水平a有关，而与风险损失π无关；并且a越大，即时剩余s+越小。证明：注意到引理与(15)式，显然即时剩余s+与π无关。下面考察(15)式右端对a的导数并注意到Fa(0,a)>0、Faa(0,a)<0：[λF(0,a)F(0,a)+μFa(0,a)]′=λμF2a(0,a)-λμFa(0,a)Faa(0,a)[F(0,a)+μFa(0,a)]2>0因此(15)式右端的式子对a单调递增。又由于u″<0，所以努力水平a越大，即时剩余s+越小。π>0时，f(π,a)在a点的弹性函数为||||||afa(π,a)f(π,a)，它反映的是随a的变化f(π,a)变化幅度的大小，即随消费者努力水平a的变化，风险带来损失π的概率变化幅度的大小。现假设弹性函数||||||afa(π,a)f(π,a)对π是单调递增的。其经济含义是对于消费者固定的努力水平a，风险带来的损失π越大，消费者对其发生可能性的影响①越大。于是有如下定理。定理3在考虑消费者道德风险的产品责任保险契约模型下，若fa(π,a)<0即消费者的努力水平可降低任何风险损失发生的可能性，并且对于固定的努力水平a，弹性函数||||||afa(π,a)f(π,a)对π是单调递增的，则发生风险损失后，消费者所受的实际损失π-g(π)是π的递增函数，即最优保险契约要求部分保险。最优保险费小于损失的期望值，该保险费成为生产者成本的一部分计入价格。证明：注意到u′>0、u″<0、本定理的已知条件、引理及定理2，由(14)式易知π-g(π)是π的递增函数，即最优保险契约要求部分保险。此时，显然最优保险费σ=∫π>0g(π)f(π,a)dπ<∫π>0πf(π,a)dπ。由定理3可知，当考虑消费者道德风险时，最优契约要求随着风险损失π的增大，消费者的实际损失π-g(π)也随之增大，这正是针对现实生活中的道德风险行为提出的激励措施。如果保险公司预期到消费者的努力水平会影响到风险损失的发生，则最优契约要求部分保险，并且要求消费者所承受的实际损失随风险损失的增大而增大，从而有效地遏制消费者的道德风险行为。

3结束语

产品责任保险具有如下几个主要功能：

（1）积累资金。保险公司的主要获利手段并不是单纯的保险活动，赚取保险费和赔偿费之间的差价。而是通过保险把分散的保险金积累起来，再将聚集的巨额资金用于各类投资活动，以便从中获得收益。

（2）经济补偿。通过对发生风险损失的受保人进行一定的经济补偿，增强社会保障水平。

（3）分担投保人（生产者和销售者）的生产经营风险，提高企业承受风险的能力，促进风险型产品行业的发展。

（4）降低对风险型产品质量检测的道德风险，减少政府相关部门监督成本。由于保险公司对所投保的产品进行质量监测，是为自己工作，而不是为政府工作，市场机制下的质量监测，增强了对该风险型产品质量监测的积极性。

（5）信号传递功能。投保者借助于市场上具有良好声誉的保险公司的信誉，向相关消费者传递自己是守信者的信息，自己产品的质量信息是真实的，是低风险的。保险公司不会亏本经营，会随时对所投保的产品进行质量监测，这样就降低了生产经营者在产品质量上弄虚作假的道德风险，消费者因为相信保险公司而相信投保者，保险公司实际上起到了信誉担保的作用。质量责任保险实际上是投保人承担了产品使用过程中发生的连带损失，形成其风险成本。由于风险与质量总是负相关的，低质量则可能意味着产品的高成本，这种情况下投保则将意味着较高的产品价格，因而投保的积极性降低。生产经营者把产品责任保险作为产品质量的信号传递给消费者，以达成产品交易，避免逆向选择的影响，交易双方、保险公司三方都是该保险的直接受益者，它增加了社会福利。