圆柱与圆锥十篇

圆柱与圆锥篇1

1.通过学生自己在复习中的整理、练习、讨论、合作，让学生在复习中比较系统地掌握圆柱与圆锥的特征，能熟练运用圆柱表面积、体积及圆锥体积的计算方法。

2.进一步提高学生概括知识、运用知识解决实际问题的能力。

3.通过整理、交流、合作，培养学生学数学、用数学的意识。

教学重点：

圆柱表面积、体积和圆锥体积的计算。

教学难点：

圆柱表面积与体积的区别。

教学过程：

一、导入新课

师：谁来说一说在“圆柱和圆锥”这一单元的学习中，你学会了什么？

生1：我了解了圆柱和圆锥的特征。

生2：我掌握了圆柱表面积的计算方法。

生3：我发现了圆柱和圆锥的体积计算公式。

……

师：今天，我们就对圆柱和圆锥的知识进行整理与复习。（电脑出示课题：圆柱与圆锥的整理和复习）

二、知识梳理

师：谁来说一说，圆柱和圆锥各有哪些特征？（师生交流互动并形成如下表格）

师：圆柱表面积该怎样计算？圆柱和圆锥的体积计算公式分别是什么？圆柱与圆锥的体积之间有什么关系？

师根据学生的回答板书：

圆柱表面积=侧面积+底面积×2

S表=S侧+2S底

圆柱侧面积=底面周长×高

S侧=Ch=2πrh

圆柱体积=底面积×高

三、实际应用

师：刚才我们对圆柱与圆锥的知识进行了整理和复习，接下来老师为你们准备了几道闯关练习，有信心闯过吗？请看第一关。

1.选择练习，并说说你这样选的理由。

（1）求圆柱形水池的占地面积，就是求圆柱的（ ）。

A. 侧面积 B. 表面积 C. 底面积 D. 体积

（2）一个正方体的棱长是6分米，表面积为（ ）平方分米。

A.36 B.216 C.72 D.108

（3）冬天护林工人给圆柱形的树干的下端涂防蛀涂料，那么粉刷树干的面积是指（ ）。

A.底面积 B.侧面积 C.表面积 D.体积

（4）一个圆锥的体积是a立方米，和它等底等高的圆柱的体积是（ ）立方米。

A. a÷3 B. 2a C. 3a D. a的立方

（5）一个无盖的圆柱体水桶可以装水多少升？就是求它的（ ）。

A.表面积 B.体积

C.容积 D.既可以说体积也可以说容积

2.判断练习，讲讲你判断的依据。

（1）圆锥的体积等于圆柱体积的1/3。（ ）

（2）如果一个正方体和一个圆柱体底面周长相等，高也相等，则它们的体积也相等。 （ ）

（3）圆柱的底面半径扩大2倍，高缩小2倍，它的体积不变。（ ）

（4）圆柱体的体积和它的容积一样大。 （ ）

（5）圆柱的高是3厘米，与它底面积相等，体积相等的圆锥体的高是9厘米。 （ ）

师：恭喜大家闯过第一关，请大家一起来闯第二关。

3.抢答练习，请说出你的思考过程。

（1）一个圆柱形物体的底面积是9.42平方厘米，高是2厘米，它的体积是（ ）立方厘米。

（2）一个圆柱的体积是84立方厘米，高是7厘米，它的底面积是（ ）平方厘米。

（3）一个圆柱的体积是84立方厘米，底面积是12平方厘米，它的高是（ ）厘米。

（4）一个圆锥形物体的底面积是9.42平方厘米，高是2厘米，它的体积是（ ）立方厘米。

（5）一个圆锥体体积是6.28立方厘米，高是2厘米，它的底面积是（ ）平方厘米。

（6）一个圆锥体体积是6.28立方厘米，底面积9.42平方厘米，它的高是（ ）厘米。

（7）一个圆柱的体积是1.8立方分米，与它等底等高的圆锥的体积是（ ）立方分米。

（8）一个圆锥的体积是1.8立方分米，与它等底等高的圆柱的体积是（ ）立方分米。

4.列式计算（可以用计算器）。

（1）一个圆柱的侧面积是12.56平方厘米，底面半径是1厘米，那么，这个圆柱的高是多少厘米？

12.56÷（2×3.14×1）=2（厘米）

（2）一个圆柱形水池，池底直径是4米，水池的深度是1.5米，这个水池的容积是多少立方米？

3.14×（4÷2）2×1.5=18.84（立方米）

（3）一个近似圆锥形的沙堆，高是0.6米，底面周长是12.56米。每立方米沙重2吨。这堆沙重多少吨？

12.56÷3.14÷2=2（米）

3.14×22×0.6×1/3 =2.512（立方米）

2.512×2=5.024（吨）

（4）一个圆柱削成最大的圆锥，已知削掉部分的体积是60立方厘米，这个圆柱的体积是多少立方厘米？

60÷2×3=90（立方厘米）

（5）两个底面半径相等的圆柱，高的比是3∶5，第一个圆柱体积是48立方厘米，第二个圆柱的体积是多少立方厘米？

48÷3×5=80（立方厘米）

师：同学们轻轻松松地闯过了前两关，非常了不起，请看第三关。

4.拓展提高。

（1）将一个圆锥形铁块完全浸没在底面积为3.14平方分米的圆柱形水桶中，水面上升了2分米，求这块圆锥形铁块的体积？

师生讨论交流得到：圆锥形铁块的体积就是水上升的体积。

3.14×2=6.28（立方分米）

（2）一根圆柱形木材长20分米，把它截成4个相等的圆柱体。表面积增加了18.84平方分米。这根圆柱的体积是多少立方分米？

电脑出示：

师生共同分析题意后，学生列式计算，再全班交流汇报。

18.84÷6=3.14（平方分米）

3.14×20=62.8（立方分米）

（3）把一块长6.28分米、宽4分米的薄铁板做成一个圆筒，再给它配上适当的底，成为一个水桶，它最多能装水多少升？

师生分别拿出一张长方形纸卷一卷，再列式计算，然后全班交流汇报。

6.28÷3.14÷2=1（分米）

3.14×12×4=12.56（升）

圆柱与圆锥篇2

素质教育目标

（一）知识教学点

1．使学生了解圆柱的特征，了解圆柱的侧面、底面、高、轴、母线、过轴的截面等概念，了解圆柱的侧面展开图是矩形．

2．使学生会计算圆柱的侧面积或全面积．

（二）能力训练点

1．通过圆柱形成过程的教学，培养学生观察能力、抽象思维能力和概括能力；

2．通过圆柱侧面积的计算，培养学生正确、迅速的运算能力；

3．通过实际问题的教学，培养学生空间想象能力，从实际问题中抽象出数学模型的能

力．

（三）德育渗透点

1．通过圆柱的实物观察及有关概念的归纳向学生渗透“真知产生于实践”的观点；

2．通过应用圆柱展开图进行计算，解决实际问题，向学生渗透理论联系实际的观点；

3．通过圆柱侧面展开图的教学，向学生渗透化曲面为平面，化立体图形为平面图形的“转化”的观点；

4．通过圆柱轴截面的教学，向学生渗透“抓主要矛盾、抓本质”的矛盾论的观点．

（四）美育渗透点

通过学习新知，使学生领略主体图形美与平面图形美的联系，提高学生对美的认识层次．

重点·难点·疑点及解决办法

1．重点：（1）圆柱的形成手段和圆柱的轴、母线、高等概念及其特征；

（2）会用展开图的面积公式计算圆柱的侧面积和全面积．

2．难点：对侧面积计算的理解．

3．疑点及解决方法：学生对圆柱侧面展开图的长为什么是底面圆的周长有疑虑，为此教学时用模型展开，加强直观性教学．

教学步骤

（一）明确目标

在小学，大家已学过圆柱，在生活中我们也常常遇到圆柱形的物体，涉及到圆柱形物体的侧面积和全面积的计算问题如何计算呢？这就是今天“7．21圆柱的侧面展开图”要研究的内容。

（二）整体感知

圆柱是生产、生活实际中常遇到的几何体，它是怎样形成的，如何计算它的表面积？为了回答上述问题，首先在小学已具有直观感知的基础上，用矩形旋转、运动的观点给出圆柱体有关的一系列概念，然后利用圆柱的模型将它的侧面展开，使学生认识到圆柱的侧面展开图是一个矩形，并能将这矩形的长与宽跟圆柱的高（或母线）、底面圆半径找到相互转化的对应关系．最后应用对应关系和面积公式进行计算．

〔三〕教学过程

（幻灯展示生活中常遇的圆柱形物体，如：油桶、铅笔、圆形柱子等），前面展示的物体都是圆柱．在小学，大家已学过圆柱，哪位同学能说出圆柱有哪些特征？（安排举手的学生回答：圆柱的两个底面都是圆面，这两个圆相等，侧面是曲面．）

（教师演示模型并讲解）：大家观察矩形ABCD，绕直线AB旋转一周得到的图形是什么？（安排中下生回答：圆柱）．大家再观察，圆柱的上、下底是由矩形的哪些线段旋转而成的？（安排中下生回答：上底是以A为圆心，AD旋转而成的，下底是以B为圆心，BC旋转而成的．）上、下底面圆为什么相等？（安排中下生回答：因矩形对边相等，所以上、下底半径相等，所以上、下底面圆相等．）大家再观察，圆柱的侧面是矩形ABCD的哪条线段旋转而成的？（安排中下生回答：侧面由DC旋转而成的．）

矩形ABCD绕直线AB旋转一周，直线用叫做圆柱的轴，CD叫做圆柱的母线．圆柱侧面上平行于轴的线段都叫做圆柱的母线．矩形的另一组对边AD、BC是上、下底面的半径。

圆柱一个底面上任意一点到另一底面的垂线段叫做圆柱的高，哪位同学发现圆柱的母线与高有什么数量关系？（安排中下生回答：相等．）哪位同学发现圆柱上、下底面圆有什么位置关系？（安排中下生回答：平行）A、B是两底面的圆心，直线AB是轴．哪位同学能叙述圆柱的轴的这一条性质？（安排中等生回答：圆柱的轴通过上、下底面的圆心）哪位同学能按轴、母线、底面的顺序归纳有关圆柱的性质？（安排中上学生回答：圆柱的轴通过上、下底面的圆心，且垂直于上、下底，圆柱的母线平行于轴且长都相等，等于圆柱的高，圆柱的底面圆平行且相等．）

（教师边演示模型，边启发提问）：现在我把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，观察这个侧面展开图是什么图形？（安排中下生回答，短形）这个圆柱展开图——矩形的两边分别是圆柱中的什么线段？（安排中下生回答：一边是圆柱的母线，一边是圆柱底面圆的周长）．大家想想矩形面积公式是什么？哪位同学能归纳圆柱的面积公式？（安排中下生回答：底面圆周长×圆柱母线）大家知道圆柱的母线与高相等，所以圆柱的面积公式还可怎样表示？（安排中下生回答：）

幻灯展示［例1］如图，把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形ABCD．已知，求这个圆柱形木块的表面积（精确到）．

矩形的AD边是圆柱底面圆的什么？（安排中下生回答：直径．）题目中的哪句话暗示了AD是直径？（安排中上生回答：第一句，“把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形ABCD”．因圆柱轴过底面圆的圆心，矩形过轴则意味AD过底面圆圆心，所以AD是圆柱底面圆直径．）cm是告诉了圆柱的什么线段等于30cm？（安排中下生回答：圆柱的高等于30cm）什么是圆柱的表面积？哪位同学知道？（安排中上生回答：圆柱侧面积与两底面圆面积的和．）同学们请完成这道应用题．（安排一中上生上黑板做题，其余在练习本做）

解：AD是圆柱底面的直径，AB是圆柱母线，设圆柱的表面积为S，则

答：这个圆柱形木块的表面积约为．

幻灯展示［例2］用一张面积为的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的底面直径（精确到0.1cm）．

请同学们任拿一正方形纸片围围看．哪位同学发现正方形相邻两边，一边是圆柱的什么线段，另一边是圆柱底面圆的什么？（安排中下生回答：一边是母线，另一边是底面圆周长．）

此题要求的是底面圆直径，所以只要求出正方形的什么即可？（安排中下生回答：边长．）边长可求吗：（安排中下生回答：可求，因为已知中给了正方形的面积．）

请同学们完成此题．（安排一中等生上黑板完成，其余在练习本上完成）

解：设正方形边长为x，圆柱底面直径为d．

则，依题意（cm）

答：这个圆柱的底面的直径约为9.6cm．

（四）总结、扩展

本节课学习了圆柱的形成、圆柱的概念、圆柱的性质、圆柱的侧面展开图及其面积计算．

然后按总结顺序；依次提问学生，此过程应重点提问中下生．

布置作业

教材P．187练习1、2；P．192中2、3、4。

九、板书设计

2．难点：准确进行圆锥有关数据与展开图有关数据的转化．

3．疑点及解决方法：由于学生空间想象能力较弱，对圆锥的侧面展开图是扇形，用扇形一定可以围成一个圆锥的侧面有疑惑，为此安排学生课前或课上或课下自己动手剪剪看或围围看，通过实践解决疑点．

教学步骤

（一）明确目标

在小学，同学们除了学习圆柱之外还学习了一个几何体——圆锥，在生活中我们也常常遇到圆锥形的物体，涉及到这些物体表面积的计算．这些圆锥形物体的表面积是怎样计算出来的？这就是本节课“7．21圆锥的侧面展开图”所要研究的内容．

（二）整体感如

和圆柱一样，圆锥也是日常生活或实践活动中常见物体，在学生学过圆柱的有关计算后，进一步学习圆锥的有关计算，不仅对培养学生的空间观念有好处，而且能使学生体会到用平面几何知识可以解决立体图形的计算，为学习立体几何打基础．

圆锥的侧面展开图不仅用于圆锥表面积的计算，而且在生产中常用于画图下料上，因此圆锥侧面展开图是本课的重点．

本课首先在小学已具有圆锥直观感知的基础上，用直角三角形旋转运动的观点给出圆锥的一系列概念，然后利用圆锥的模型，把其侧面展开，使学生认识到圆锥的侧面展开图是一个扇形，并能将圆锥的有关元素与展开图扇形的有关元素进行相互间的转化，最后应用圆锥及其侧面展开图之间对应关系进行计算．

（三）教学过程

［幻灯展示生活中常遇的圆锥形物体，如：铅锤、粮堆、烟囱帽］前面屏幕上展示的物体都是什么几何体？［安排回忆起的学生回答：圆锥］在小学我们已学过圆锥，哪位同学能说出圆锥有哪些特征？安排举手的学生回答：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，从圆锥的顶点到底面圆的距离是圆锥的高。

［教师边演示模型，边讲解］：大家观察Rt，绕直线SO旋转一周得到的图形是什么？［安排中下生回答：圆锥．］大家观察圆锥的底面，它是Rt的哪条边旋转而成的？［安排中下生回答：OA］圆锥的侧面是Rt的什么边旋转而得的？［安排中下生回答，斜边］，因圆锥是Rt绕直线SO旋转一周得到的，与圆柱相类似，直线SO应叫做圆锥的什么？［安排中下生回答：轴．］大家观察圆锥的轴SO应具有什么性质？［安排学生稍加讨论，举手发言：圆锥的轴过底面圆的圆心，且与底面圆垂直，轴上连接圆锥顶点与底面圆心的线段就是圆锥的高．］圆锥的侧面是Rt的斜边绕直线SO旋转一周得到的，同圆柱相类似，斜边SA应叫做圆锥的什么？［安排中下生回答：母线．］给一圆锥，如何找到它的母线？［安排中上生回答：连结圆锥顶点与底面圆任意一点的线段都是母线．］圆锥的母线应具有什么性质？［安排中下生回答：圆锥的母线长都相等．］

［教师边演示模型，边启发提问］：现在我把这圆锥的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，哪位同学发现这个展开图是什么图形？［安排中下生回答：扇形．］请同学们仔细观察：并回答：1．圆锥展示图——扇形的弧长l等于圆锥底面圆的什么？扇形的半径其实是圆锥的什么线段？［安排中下生回答：扇形的弧长是底面圆的周长，即，扇形的半径。就是圆锥的母线］由于，圆锥半径已知则展开图扇形的弧长已知，圆锥母线已知则展开图扇形的半径已知，因此展开图扇形的面积可求，而这个扇形的面积实质就是圆锥的侧面积，因此圆锥的侧面积也就可求．当然展开图扇形的圆心角也可求．

［教师边演示模型，边启发提问］：如图，现在将圆锥沿着它的轴剖开，哪位同学回答，经过轴的剖面是一个什么图形？［安排中下生回答：等腰三角形．］这个等腰三角形的腰与底分别是圆锥的什么？［安排中下生回答：腰是圆锥的母线，底是圆锥的直径．这个等腰三角形的高也就是圆锥的什么？［安排中下生回答：高］．这个经过轴的剖面，我们称之谓“轴截面”，在轴截面里包含了有关圆锥的所有元素：轴、高、母线，底面圆半径．这个等腰三角形的顶角，我们称之谓“锥角”，大家不难发现圆锥的母线、高、底面圆半径及

锥角构成了一个直角三角形，它给定旋转一周得圆锥的那个直角三角形，当然给定半径、母线；圆锥侧面展开图——扇形的面积、圆心角可求、因此可以说有关圆锥的计算问题，其实质就是解这个直角三角形的问题．

幻灯展示例题：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长50cm，（1）计算这个展开图的圆心角及面积；（2）画出它的展开图．

要计算展开图的面积，哪位同学知道展开图扇形的弧长是圆锥底面圆的什么？［安排中下生回答：周长．［展开图形的半径是圆锥的什么？［安排中下生回答：母线．］

请同学们计算这个展开图的面积．［安排一中等生上黑板完成，其余学生在练习本上做．］

解：圆锥底面圆直径80cm，底面圆周长cm，又母线长50cm展开图扇形的半径50cm，弧长cm。

哪位同学到前面计算一下这个扇形的圆心角？［安排一名中下生上前，其余在练习本上做］

解：且，，（度）。

同学讨论一下这个扇形怎样画？［安排一中上学生回答：首先画一个半径为50cm的圆S．然后用量角器作出72°的圆心角，则为弧的扇形，r就是所要画的展开图．］

幻灯展开例题：图中所示是一圆锥形的零件经过轴的剖面，它的腰长等于圆锥的母线长，底边长等于圆锥底面的直径，按图中标明的尺寸（单位mm），求：

（1）圆锥形零件的母线长l；

（2）锥角（即等腰三角形的顶角）；

（3）零件的表面积．

图中给出等腰三角形的哪些尺寸？［安排中下生回答：高40，底边长34］哪位同学会计算圆锥形零件的母线长l？［安排一中等生上黑板，其余同学练习本上做］［答案：mm］锥角打算如何求？［安排一中等生回答：解Rt求出，的对边DB，邻边SD已知选的正切．］请同学们求出．［安排一中等生上黑板，其余在练习本上做］，［答案：］

零件的表面积等于什么？［安排中下生回答：圆锥的侧面积加上底面圆面积．］计算圆锥侧面积所需条件已具备了吗？计算底面圆面积所需条件呢？［安排中下生回答，］

请同学们把表面积求出来．［］

（四）总结、扩展

请同学们回顾一下，本堂课我们学了些什么知识？［可安排中下生相互补充完整：1．圆锥的特征；2．圆锥的形成及有关概念；3．圆锥的展示图；4．圆锥的轴截面。］

布置作业

教材P．191：练习1、2；P．193中5、6、7、8。

板书设计

第二课时

素质教育目标

（一）知识教育点

1．使学生了解圆锥的特征，了解圆锥的侧面、底面、高、轴、母线、过轴的截面等概念，了解圆锥的侧面展开图是扇形。

2．使学生会计算圆锥的侧面积或全面积。

（二）能力训练点

1．通过圆锥的形成过程的教学，培养学生观察能力、抽象思维能力和概括能力；

2．通过圆锥的面积计算，培养学生正确迅速的运算能力；

3．通过实际问题的教学，培养学生空间想象能力，从实际问题中抽象出数学模型的能

力．

（三）德育渗透点

1．通过圆锥的实物观察及有关概念的归纳向学生渗透“实践出真知”的观念；

2．通过应用圆锥展示图的计算解决实际问题，向学生渗透理论联系实际的观点；

3．通过圆锥侧面展示图的教学，向学生渗透化曲面为平面，化立体图形为平面图形的“转化”的观点；

4．通过圆锥轴截面的教学，向学生渗透“抓主要矛盾，抓本质”的矛盾论的观点．

（四）美育渗透点

通过学习新知，使学生进一步完整对几何美的认识，提高美育层次．

重点·难点·疑点及解决办法

圆柱与圆锥篇3

教学目标：

1.使学生理解和掌握圆锥体积的计算公式，会运用公式计算圆锥的体积并解决简单的实际问题。

2.在推导公式过程中，通过小组合作、动手实验的方法，培养学生分析、推理的能力及抽象概括能力。

3.在探究公式的过程中，向学生渗透“事物之间是相互联系”的，并通过活动，使学生形成良好的合作探究意识。

教学重点：掌握圆锥体积的计算公式。

教学难点：圆锥体积公式的推导过程。

一、提出问题，激发兴趣

师：揭示课题后，让学生自由地说一说用什么方法能求出圆锥的体积。

生1：变成圆柱体。

生2：变成长方体。

生3：放入水中求上涨的水的体积。

生4：把空圆锥装满水倒入量杯或量筒。

…………

师：这些方法都很好，都是把圆锥转化成我们学过的立体图形。今天，我们共同探究一种更为一般的计算圆锥体积的方法。你愿意选择哪一种立体图形来作为研究的工具？

生：圆柱体。

师：为什么呢？

生：因为它和圆锥的共同点很多，都有一个曲面，而且底面都是圆形。

生：我猜想它们的体积之间有一定的联系。

师：请各小组从实验器材（两只圆柱和两只圆锥容器）中选一只圆柱和圆锥，做实验来验证你们的猜想。

二、动手实验，合作探索

师：请小组合作，利用圆柱容器、圆锥容器、水进行实验，共同探究圆柱体积与圆锥体积之间的关系。

6个小组展开合作实验：有的拿着圆柱，有的拿着圆锥，用圆锥装水往圆柱里倒，有的用圆柱装满水再倒入圆锥，有的观察水的高度，有的记录实验数据。必须说明的是，其中三个小组使用的圆柱和圆锥分别是等底等高的，另外三个小组使用的分别是等底不等高、等高不等底、或底高均不相等的。

三、汇报交流，引出冲突

师：通过实验，你们有何发现？

组1：我们实验时，用圆锥三次装满水连续倒在圆柱里，圆柱正好装满。这说明圆锥的体积是圆柱体积的1/3。

组2：我们用圆柱装满水往圆锥里倒，等到圆锥第三次装满水，圆柱里的水也正好倒完。这说明圆柱的体积是圆锥体积的3倍。

组3：我们组实验的结果与前面两组基本一致。

组4：我们用圆锥三次装满水连续往圆柱里倒，圆柱并没有装满，所以，我们认为圆锥的体积不是圆柱体积的1/3。

组5：我们组实验时，用圆锥装满水往圆柱里倒，倒完第二次后圆柱就满了。

组6：我们还要快，圆锥第一次装满水倒入圆柱后，圆柱就满了。

师：根据这些实验组的汇报，把结论分成两大类：1、圆锥的体积是圆柱的三分之一 ；2、圆锥体积不是圆柱的的三分之一 。

师：这是怎么回事呢？同样的实验为什么会得到不同的结果呢？

学生陷入了沉思，开始对整个实验过程进行回顾。

生：是不是我们实验所用的圆柱和圆锥有什么差别呢？

“一语惊醒梦中人”，学生开始用各种方式比较各组所用的圆柱和圆锥，也有的拿起尺开始测量圆柱和圆锥的底和高……

四、柳暗花明，又一春

师：请小组相互间交流一下，找一找结论不一样的原因。

持有两种不同观点的实验小组互换实验器材，进行实验操作。

生再次汇报交流，经过辨析，得出结论：在等底等高的情况下，圆锥的体积是圆柱的1/3。如果不等底不等高，圆锥的体积有可能不是圆柱的1/3。

概括公式V锥=V柱=1/3sh

（等底等高）

五、巩固练习

（一）判断：用手势来回答

1.圆柱的体积是圆锥体积的3倍。（ ）

2.一个圆柱，底面积是12平方分米，高是5分米，它的体积是20立方分米（ ）

3.把一个圆柱木块削成一个最大的圆锥，削去的体积是圆柱体积的三分之二。（ ）

（二）思考题

你能想办法算出你手中圆锥体的体积吗？说说测量和计算的方法。

六、课堂小结：这节课你有什么收获？

板书：圆锥的体积

圆锥的体积=1/3×底面积×高

等底等高V=1/3Sh

七、反思

1.注重体验，引导发现

重视数学学习过程的体验是国家数学课程标准的一项重要指导思想。体验使学习过程不仅成为知识增长的过程，同时也是身心和人格健全、发展的过程。在圆锥体积公式的学习，关键是建构“圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的1/3”这一概念。而这一概念的形成，靠文字解释和直观形象的观摩演示，都是苍白无力的，它需要学生发自内心、倾心投入的亲身体验。于是便有了上述实验，学生们借助不同的学具得到了不同的结果。“同样的实验为什么会得到不同的结果呢？”再次发问引发了学生对实验材料的对比与反思。结果可想而知，学生对“等底等高”这一认知重点因充分体验而获得深刻领悟。

2.精心预设、有效指导

《数学课程标准（实验稿）》明确指出：“数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验的基础上。”这就要求教师在教学方案的预设中，必须对学生的直接经验有所估计，使教学成为学生已有的知识和直接经验的逻辑归纳和引申，增加学生学习的体验性和生成性。文中先通过发散性的问题，让学生运用“转化”的数学方法自由地想出求圆锥体积的方法，再加以巧妙引导，使学生自然想到选择“圆柱”作为研究工具。由此看出，我们不但要使学生能够进行某种目的和意义的实验操作，还要使他们懂得为什么要这样操作，这样才真正体现实验操作的价值。

圆柱与圆锥篇4

开学第一天回家，读六年级的女儿就带回一项预习作业：制作等底等高的圆柱和圆锥。

作为家长的我，收到的短信是这样的：用卡纸分别做一个圆柱和圆锥，要求它们的底面积和高都相等（不能和数学书后面大小一样）。大小和方法要孩子通过预习后自己发现，家长只能在制作中打下手。老师的意图是：只有让孩子亲身体验制作过程，才能深入理解两个立体图形的特征。

于是乎，晚上7点，全家总动员。

女儿首当其冲，拿出一张完整卡片，卷起，把两条短边粘贴在一起，成了一个筒状。接着打算做底时，停了下来，盯着底面周长发愣。我观察着：虽然是知道长边就是底面周长，可刚才没有经过深思，虽然是粘好了，可现在却无法确定圆周长到底是多少了？想直接就圆筒上量直径，可纸有韧性，一动，圆就可能大了，也可能小了，无法得出正确值。第一次尝试失败。

有些经验了，只见她干脆先画好三个等面积的圆（两个用于圆柱，一个用于圆锥）。在思考中，完成了3个半径为4厘米的圆。这样一来，圆周长就是25.12厘米。于是，圆柱就在粘贴中勉强完成（此处忽略圆柱的美观性）。

接下来开始攻克圆锥：取出另一张卡纸，开始动手。一会儿下面长边连住，可上面怎么也汇聚不到一点；一会上面卷出一个尖点，可下面又相差十万八千里。摆弄了一会，絮絮叨叨：我来剪成三角形试试看。说时迟，那时快，只见她一对折，找到长边中点，然后“咔嚓咔嚓”分别从中点剪到长边的两端，顿时出现了一个等腰三角形。这个倒符合圆锥无论从正面还是侧面，观察到的都是等腰三角形结果。可是，底面周长是围好了，顶点也有了，可怎么侧面成了个“大豁嘴”？

我在一旁，已经有些按捺不住：“我们参考一下书后面吧。”于是，三下五除二，一下子惊呼：哦，原来圆锥的侧面是应该一个扇形。那好吧，现在知道弧长是25.12厘米，也知道是某个圆周长的一部分，可这个圆的半径是多少呀？圆心角又是多少呀？一筹莫展中。

这时，孩子也已经完全知晓（当然我们之前早就知道），这内容已经完全超出她的理解范围。百度上明确指出求弧长及扇形面积，隶属于九年级数学上册第2章《对称图形――圆》。在半径为R的圆中，弧长L与所对的圆心角度数n之间有如下关系：L=π/360×2πR=ππR/180。看来，现在要想在已知弧长的基础上，求出半径、圆心角是不可能了。

于是，我们和孩子商量：慢慢来，不着急，我们先试着做做书上的。

尽管，孩子很不情愿（因为老师说不能做书上的圆柱、圆锥），不过在我们“不唯上，不唯书，只唯实”的理念感召下，也完成了圆锥的制作。

这时，她倒又不急不躁，开始把玩圆锥，说：“妈妈，我绝对做不出老师要求的圆柱和圆锥了。你看，圆锥这么矮，怎么可能会和圆柱一样高呢？”只见，她拿出另外一张完整的卡纸，随手在长边处划了条弧线，接着随手卷卷。我们理解她想要表达：圆锥不可能会和圆柱一般高了，因为圆柱的高已经到达了巅峰。这时，她的脸上已经明显呈现出不自信的神情。

最终方案如下：调整次序，先完成圆锥的侧面，然后，照着圆锥的底面描画出一个圆形底面；同样也以这个底面为准，估摸着完成圆柱的侧面。

在这样瞎弄弄（女儿这般说）中，我们全家在晚上9点完成了老师布置的等底等高的圆柱和圆锥的制作。

思考

“圆柱和圆锥”是日常生活中常见的几何体之一，也是小学阶段立体图形教学内容的重要组成部分。教材（苏教版《数学》六年级下册）第9页例1教学圆柱和圆锥的特征。教材先教学圆柱再教学圆锥。对于圆柱，安排了两个层次的活动，引导学生由浅入深、由表及里地探索圆柱的特征。第一层次，结合实物图初步感知圆柱。第二层次，通过对圆柱的进一步观察，认识圆柱的直观图及其底面、侧面和高。

鉴于学生此前没有认识过圆锥，生活中接触圆锥形物体的机会也相对较少，所以教材在出示了生活中一些常见的圆锥形物体的同时，直接告诉学生“这些物体的形状都是圆锥体，简称圆锥”，并通过底注说明这里所指的圆锥都是直圆锥，以帮助学生初步建立圆锥的表象。接着要求学生说说生活中还有哪些圆锥形状的物体，使学生对圆锥的特征获得更丰富的感知。在此基础上，引导学生进一步观察圆锥，说说圆锥有什么特征，在交流中明确圆锥的特征，同时结合圆锥的直观图认识圆锥的顶点、底面、侧面和高。最后，让学生找一个圆锥，指出它的顶点和底面，以进一步强化认识。

手和脑在一块儿干，是创造教育的开始；手脑双全，是创造教育的目的。作为同年级数学老师的我，非常清楚这位教师在本课提出动手操作预习的意图：要求同学在预习过程中亲自动手实践，通过剪、拼、折、画、量、观察、比较等活动，体验、感悟新知识。同学亲身经历了立体图形形成过程，对圆柱、圆锥各部分名称及其特征，肯定可以了然于胸，甚至对后续学习也能起到一定的帮助。

可光有美好的愿望就可以实现目标了吗？第二天进行对此班级的回访，发现绝大多数同学是制作了一个圆柱、一个圆锥，可并不是等底等高的圆柱与圆锥，甚至还有同学反映：根本没有留意到等底等高这个条件。甚至与这位教师的交流，自己都直惊呼：没有考虑这么多！这样的预习作业，如何讲评，效果几何？

要学生做的事，教师躬亲共做；要学生学的知识，教师躬亲共学；要学生守的规则，教师躬亲共守。教师布置预习任务，对学生有这样那样的要求，可对自己有这样那样的要求吗？我想教师对自己应该更有高标准严要求，必须对相关内容进行认真研读，提出既有一定的价值，又有吸引力，能促使同学产生浓厚的学习、探索兴趣的预习任务。我认为，此老师任意提高预习要求，提出要求圆柱、圆锥等底等高这类难以解决的要求（虽然是为了后续发现等底等高的圆柱与圆锥之间的关系），却没有考虑学生实际学情。“先生的责任不在教，而在于教学，而在于教学生学。教的法子必须根据学的法子。先生不但要拿他教的法子和W生学的法子联络，并须和他自己的学问联络起来。”陶行知先生的教学箴言字字珠玑。

设想

身为家长、教师的双重身份的我，深深觉得教师布置预习作业一定要谨慎，注意难度适中，操作性强。尽管教育时机已过，可先进行好教学设计的设想。

为什么不能就地取材采用书本后面的圆柱、圆锥展开图呢？是怕学生只会拿着现成资料制作成圆柱、圆锥，就不能很好完成预习任务了吗？学生自己独立制作圆柱、圆锥就能很好完成预习任务了吗？我就设想先利用好这两张展开图，完成圆柱和圆锥。

当然还不仅仅如此。学习活动和结果是外显的，便于观察和比较。然而，发生在大脑中的思维活动却是内隐的，看不见也摸不着。如何在预习中让学生的思维过程外显呢？我觉得通过布置制作书后的圆柱、圆锥任务后，梳理一张学习单是非常必要的。

圆柱和圆锥的认识学习单

1.下面哪些是圆柱？哪些是圆锥？是圆柱的画“”，是圆锥的画“”。

2.填一填。

（1）圆柱的上、下筛雒娼凶鳎 ），围成圆柱的曲面叫作（ ），圆柱的两个底面之间的距离叫作圆柱的（ ）。

3.量一量，圆锥的地面直径和高分别是多少厘米。

4.量一量，圆锥的底面和直径和高分别是多少厘米。

还有后续。教学做是一件事，不是三件事。我们要在做上教，在做上学。不在做上用功夫，教固不成为教，学也不成为学。利用实践课，在学生掌握圆柱、圆锥知识的基础上，进一步巩固已学知识，并验证圆柱和圆锥的体积关系：

1.制作一个底面直径为5厘米、高为6厘米的圆柱。

2.制作一个底面直径为5厘米、高为6厘米的圆锥。

（1）先剪一个侧面（扇形）

①扇形的半径多长？

老师先告知学生扇形的半径R=6.5厘米。说明：这个问题到了中学就可以自己计算，现在若有兴趣，也可以课后探询。

②扇形的圆心角多大？

老师再次告知弧长公式：扇形的弧长=2πR×n°/360n°=15.7÷（2×3.14×6.5）×360°≈138.5°

（2）再制作一个底面（圆形）

3.证实圆柱和圆锥体积的关系。

现在我们制作好了圆柱和圆锥，它们有什么相同之处？那么它们的体积有何关系？

圆柱与圆锥篇5

【案例】圆锥的体积教学片断

师：现在老师带来一个圆柱形的木头我把它平均锯成两段（截面和底面平行）。现在已知其中一段底面半径是7cm，高10cm，谁会计算它的体积？如果得数保留整百立方厘米数呢？

生： 圆柱的体积 3.14×72×10

=3.14×49×10

=1538.6（立方厘米）

≈1500（立方厘米）

教师结合学生回答板书算式。

师：同学们计算很准确。我们再来看另一端木头，我想把它削成一个圆锥，怎样削使这个圆锥的体积最大呢？

生：圆柱的底面积不变，圆锥的高和圆柱的高相等。

教师用多媒体课件展示圆柱削成圆锥的过程，交流提问：大家同意吗？

学生都表示就是这样削。

师：大家都是这样想的，我们就这么办。（教师课前削好，然后用橡皮泥贴补成圆柱体课堂上需要时揭掉）。现在老师按同学们的想法削好了，那么它的体积是多少呢？你能运用你所学的知识想办法算出来吗？

学生分组交流探讨。

生甲：把圆锥直接放入量筒灌满水，再取出圆锥看量筒刻度，最后用两个数相减就可以了。

生乙：刚才说的方法行。铁圆锥可以，但是木头的圆锥不能完全没在水里。可以将圆锥放入一个长方体或圆柱体容器，然后放入沙子，把容器装满，再将圆锥从容器里取出。接着先计算容器的容积，再计算取出圆锥以后容器中沙子的体积，最后用容器的容积减去沙子的体积就得出圆锥的体积。

生丙：可以用橡皮泥做一个和圆锥形木头完全一样的圆锥，再将圆锥改做成圆柱体或长方体测量出有关数据就可以算出圆锥的体积了。

生丁：用纸蒙在圆锥的曲面上做一个一模一样的纸圆锥模型，装满沙子，然后沙子把倒入量筒就可以了。

……

（学生发言积极踊跃，方法多样不一。）

教师适时引导学生用手中的工具测量计算圆锥的体积，并提出要求：结果保留整百立方厘米数。

学生分小组合作，测量计算。教师巡视指导。

学生测量计算完毕后，汇报交流计算结果。

教师结合学生的回答板书：圆锥的体积大约500立方厘米。

师：刚才同学们想了许多巧妙的方法，算出了圆锥木头的体积，现在先观察对比圆锥与原来未削之前的体积相比有什么变化？再观察对比圆柱体的体积和圆锥体的体积两个数据，圆柱1500立方厘米、圆锥500立方厘米，之间有什么联系和区别？你有什么发现和猜想？

多媒体课件展示两个等地等高的圆柱和圆锥，以及它们的体积近似值。

学生观察两个不同的物体和体积数据，小组讨论交流。

学生汇报交流，得出一种猜想：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的3倍，圆锥的体积是圆柱的1 3 。（教师板书）

师：同学们这个发现非常神奇。但是这个猜想是否正确呢？怎样验证这个猜想是否正确呢？你能用老师给你们提供的一些实验用具来解决这个问题吗？

又有了难题，学生们兴致勃勃讨论，然后小组合作实验操作。

接着教师再指名学生述说试验情况，汇报交流实验结果。

教师运用多媒体课件演示验证所得的结论，学生进一步验证明晰“等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的3倍，圆锥的体积是圆柱的1 3 ”。

接下来学生根据等底等高的圆柱和圆锥之间的联系很快找出计算圆锥体积的方法，并能熟练地运用知识解决了有关圆锥体积的问题。

以往教学“圆锥的体积”一课，一般来说都是教师先复习圆柱、圆锥的相关知识。然后教师再出示等底等高的圆柱和圆锥教具，教师独立演示或让学生按教科书提供的实验方法进行实验，引导学生发现“等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的3倍，圆锥的体积是圆柱的1 3 。”最后得出计算圆锥体积的公式。教学重点突出，教学难点也突破了，教学中采用了直观教学，加强了实验操作。看起来教学四平八稳，学生学得扎扎实实，但是这样的教学对学生来说依然是越粗代庖，地地道道的灌输式教学，只是被实验遮掩了，学生仍然是被动地接受“等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的3倍，圆锥的体积是圆柱的1 3 ”这一结论性知识。学生过的探究过程被老师的所谓的“先见之明”无情地删除代替了，这样何谈培养学生的自我探究意识和能力呢？

圆柱与圆锥篇6

《圆锥的体积》是教科书六年级下册的内容，在本课教学之前，学生已经掌握了圆锥的特征以及圆柱体积的计算方法。因此，依据教材内容和学生认知现状，执教者试图通过猜想、验证等数学活动过程，让学生发现等底等高的圆柱与圆锥之间的关系，最终推导出圆锥的体积公式。 

【案例】两次教学过程的对比与分析 

在教学展开前，我校同年级的两位教师均设计了前置性学习任务，引导学生先学，具体内容如下： 

在此基础上，两位教师都沿着“猜想—验证”的主线展开数学活动，但因验证过程的不同，收到了迥异的教学效果。 

【A教师课堂教学片段回放】 

（一）交流课前猜想情况 

师拿着学生的学具（等底等高的圆柱和圆锥）问：在做实验之前，你猜想圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的几分之几？ 

生1：我认为是1/2。 

生2：我认为是1/3。 

（二）交流课前验证情况 

师：在前置作业中，老师要求“在圆锥形的容器中装满水，再倒入圆柱形的容器中”，通过倒水实验你有什么发现呢？ 

生1：我发现在圆锥形的容器中装满水，往圆柱形的容器中倒了3次正好倒满。 

师：（满意地点点头）是的。 

生2：我在圆锥形容器中装满水，往圆柱形的容器中倒了3次没有倒满，再加了一些才倒满的。 

师：（略皱眉头）你在操作的时候肯定没有很注意，所以有了些小误差，应该是倒3次正好倒满。 

师：还有谁要说说自己的发现？ 

全班沉默不语。 

（三）归纳结论： 

师：通过课前实验，你现在认为圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的几分之几？（大部分同学认为是1/3，也有同学认为是1/4，师相机板书：圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的1/3）。 

教学效果分析：以上教学片段中，在归纳结论时，大部分学生“认为圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的1/3”。得出这样的结论，也许有些学生对于两者的关系已经有了清晰的认知，但也不排除一部分学生是被概念化地告知以及对于强势的认同。除此以外，一部分同学由于受操作实际结果的影响，认为“圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体的1/4”。综观A教师的教学，因为课前布置了前置任务，所以课堂上仅仅是对前置作业的交流，走了一个形式化的过程，并没有具体关注到学生已有的操作实际，更没有体现验证过程的科学性，学生这样的行为操作是低层次的，他们很难从这样的行为操作过程中真正领悟知识的本质。 

【B教师的课堂教学片段回放】 

（一）感知“等底等高” 

谈话：请同学们比一比课前准备的圆柱和圆锥，它们之间等底等高吗？你是怎么比的？请一位学生拿着学具上台展示比的过程。 

明确：像这样底和高分别相等的圆柱和圆锥，我们叫做等底等高。 

（二）实验明理 

1﹒第一次验证 

（1）师：课前，在做实验之前，你猜想圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的几分之几？ 

生1：我认为是1/3。 

生2：我认为是1/2。 

（2）师：课前，同学们在“圆锥形的容器中装满水，再倒入圆柱形的容器中”，在做倒水实验时你觉得要注意什么？ 

生1：装水要装满，要装到和圆锥的边口齐。 

生2：倒水的时候要小心，不能泼洒。 

师进一步明确了操作要点。 

师：通过倒水实验你有什么发现呢？ 

生1：我发现圆柱的体积是圆锥体积的3倍。 

生2：我发现圆锥的体积是圆柱体积的1/3。 

生3：我发现在圆锥形的容器中装满水，往圆柱形的容器中倒了3次没有倒满，再加了一些才倒满的，圆柱的体积好像是圆锥体积的4倍。 

（3）师：请每位同学拿出等底等高的圆柱和圆锥，根据刚才倒水实验的注意要点，再进行倒水小实验。 

（4）师：通过现在的倒水实验，你有什么发现呢？（问刚才的生3） 

生3：昨天我做倒水实验的时候不够细致，现在我按照老师说的注意点再做倒水实验，也觉得圆柱的体积应该是圆锥体积的3倍。 

2﹒第二次验证 

（1）师拿出准备的相对较大的等底等高的圆柱与圆锥的教具，让学生上台比一比，感受圆柱圆锥是否等底等高。 

（2）师：你猜想老师准备的这个圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的几分之几？（学生在下面纷纷回答说是1/3） 

（3）请一位学生上台做倒水实验，让全班学生看到操作结果“圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的1/3”。 

3﹒第三次验证 

（1）师（拿出学生第一次验证用的圆柱和第二次验证用的圆锥）：它们等底等高吗？（学生齐说“不”） 

（2）师：圆锥的体积是圆柱体积的1/3吗？（学生齐说“不是”） 

（3）归纳结论：圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的1/3。 

教学效果分析：以上教学片段中，学生在课前进行倒水实验的过程中，也出现了“在圆锥形容器中装满水，往圆柱形容器中倒了3次没有倒满，再加了一些才倒满的”现象。但B老师教学时不仅不回避学生实际操作时暴露出的问题，还特别放大了有些学生的错误，目的就是让全班同学都体会到行为操作的精准会影响到最后的结论。另外，老师舍得花时间让学生经历三次层层递进的验证活动过程，通过行为操作、数学思维，学生真正在探索与交流中理解“圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的1/3”。在这样的数学活动中，学生行为操作的技能是提升的，认知是清晰的，理解是深刻的。 

【延伸思考】数学基本活动经验获得的基本路径 

王林先生在《我国目前数学活动经验研究综述》一文中指出：“数学基本活动经验是学生个体在经历数学活动的基础上获得的经验，是学生经历数学活动的过程与结果的有机统一体，既包括经历数学活动所获得的经验本身，也包括经历数学活动获得经验的过程。”因此，数学活动的开展是否有效、充分，直接影响活动经验积累的质量。 

第一，数学活动经验的获得，应让学生的行为操作由粗略走向精细。 

本数学活动环节的设计，依据教材内容和学生的学习基础，让学生经历从“圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的1/2或者1/3”这一猜想到验证的过程。但学生常常受到认知水平和操作能力的限制，如果他们在没有教师指导的前提下开展操作活动，很可能会因操作过程的粗糙，导致操作结果不够精确，影响数学结论的正确性。在A教师课堂的师生交流中可以看到，学生在课前做倒水实验时，之所以对于归纳出的“圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的1/3”的结论不信服，是因为在装水、倒水的过程中没有注意操作要点。而B教师就关注到了这个细节。由此可见，操作过程中教师应该帮助学生纠正“大概、也许、差不多”这样的粗略操作行为，让学生获得不同活动阶段的经验内容，促使他们从“经历”走向“经验”。 

第二，数学活动经验的积累，应让学生的理解由浅表走向深刻。 

圆柱与圆锥篇7

课堂教学

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2013）11A-

0065-02

数学语言是表达数学思想的专用语言，具有抽象性、准确性、简约性和形象性等特点。数学语言可分为文字语言、符号语言、图表语言三类。自然语言常具有模糊性，而数学语言是严谨的，容不得含糊，所以数学中的文字语言常以数学概念、术语的形式出现；符号语言是数学中通用的、特有的简练语言，是在人类数学思维长期发展过程中形成的一种语言表达形式；图表语言是指包含一定数学信息的各种图形或表格，它们是数学形象思维的载体和中介，也是抽象思维的一个重要工具。三种数学语言在数学教学中并不是孤立存在的，它们可以相互转换、彼此促进，特别是在指导学生解决问题时，注重数学语言的相互转化，可以达到事半功倍的效果。

【案例1】

师：圆锥的体积是圆柱体积的■，圆锥和圆柱一定等底等高。请判断这句话是否正确。

生：对的，因为等底等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积是圆柱体积的■。

（大家默许，课堂沉默一片）

师：（出示四个立体图形）算一算这四个图形的体积，圆周率用π表示。

生：圆柱的体积是108π立方厘米，圆锥的体积都是36π立方厘米。

师：这几种圆锥的体积分别是圆柱体积的几分之几？

生：每个圆锥的体积都是圆柱体积的■。

（大家目瞪口呆！）

师：圆锥的体积是圆柱体积的■，圆锥和圆柱一定等底等高？

生：不一定，一个瘦瘦高高的圆锥也可能是一个矮矮胖胖的圆柱体积的■。

生：一个矮矮胖胖的圆锥也可能是一个瘦瘦高高的圆柱体积的■。

生：等底等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积一定是圆柱体积的■；但圆锥的体积是圆柱体积的■，圆锥和圆柱可能等底等高。

师：一句话正过来说是对的，但反过来说就不一定正确了，你还能想到含有这种关系的句子吗？

生：等底等高的平行四边形和三角形，平行四边形的面积是三角形面积的2倍；但平行四边形的面积是三角形面积的2倍，它们不一定等底等高。比如3×8=24，4×6÷2=12。

生：……

文字语言具有概括性，但太抽象了，仅凭直白的文字语言的叙述，有时学生的确无法准确把握其中所蕴含的数量关系。某种程度上，表述数量关系还是数字即符号、图形等数学语言更具说服力，所以教师应引导学生采用转化的策略，把文字叙述转化为具体可感图形，用举例的方法，让学生分别计算圆柱和圆锥的体积，发现即使它们的体积存在3倍的关系，但底面积不一定相等，高也不一定相等，彻底否定了判断题的说法。

发展学生的数学语言，增进学生对数学语言的理解，可以从以下几点来进行。

一是教学手段要多样化，促进各种语言之间的转换。如将文字语言转化为图表语言、字母语言转化为数字语言、数字语言转化为字母语言等等，发挥各种语言的优势，多种方式解读数学知识，帮助学生理解和运用数学语言，巧妙地解决问题。例如a÷b=■，a和b的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。a和b这样的关系很抽象，学生一下子难以领会a和b的大小关系，可以应用假设的思想，用具体数据说明a和b的大小关系，假设a是2，b是10，2和10的最大公因数是2，最小公倍数是10，所以a和b的最大公因数是a，最小公倍数是b，这样学生会很顺利地读懂数学语言，进而使问题得以解决。

二是教学思路开阔，倡导个性化的数学语言表达，鼓励学生根据自我构建知识的能力和特点创造性地组织数学语言，表达个人学习观点。案例中学生由观察图形发现：“一个瘦瘦高高的圆锥也可能是一个矮矮胖胖的圆柱体积的■。”“一个矮矮胖胖的圆锥也可能是一个瘦瘦高高的圆柱体积的■。”从形态特征上说明“圆锥的体积是圆柱体积的■，圆锥和圆柱不一定等底等高。”语言表达形象生动，易于理解。教学中也不乏这样的实例，如一道选择题“15克糖放在100克水中，这杯糖水的含糖率是（ ）。A.15% B.13% C.16.7%”一般学生根据“含糖率”的意义直接计算15÷（15+100）×100%≈13%，而一位学生巧用数学推理，精心组织自己的数学语言，快捷且巧妙地找到正确答案的选项。他说：“假如列式15÷100×100%=15%肯定是错的，含糖率表示糖的质量占糖水的百分之几，应该列式15÷（15+100）×100%，而此时的除数比100大，所以结果应该比15%小，只能选择B。”精巧的思维推理，省略了繁琐的计算，不能不说是学生数学思维和数学语言的一大发展。

圆柱与圆锥篇8

4 不等宽圆柱螺旋叶和圆柱轴毂型不等宽圆锥螺旋叶结构图的绘制方法探讨

绘制等宽螺旋叶的结构图时，纯手工绘制方法误差较大，绘制效率较低，劳动强度大。但其投影关系清晰，便于理解和阅读。随着计算机信息技术的推广应用，纯手工绘制方法已逐渐被计算机辅助绘图软件所取代，即采用AutoCAD二维软件辅助（设计）绘图时，由于AutoCAD二维软件具有绘制样条曲线、复制、阵列、快速捕捉、平移和缩放（缩小或放大）等功能，所以，采用AutoCAD二维软件提高了绘图精度和绘图效率。目前，机械设备制造厂家通常采用AutoCAD二维软件辅助（设计）绘图来指导生产，但由于工程图是通过一组具有规定表达方式的二维多面正投影，标注尺寸、表面粗糙度及形状位置公差以及公差配合等要求，没有显示空间的构造，需要人们根据工程图来构思三维模型，这就需要经过专业培训的人员才能读懂工程图，稍有疏忽，容易出错。而采用SolidWorks等三维软件直接构建三维模型（三维实体），直观性强，便于理解，而且能快速地转换成工程图。此外，SolidWorks三维软件所有的模块都是完全相关的，也就是说三维实体的某一处进行修改后，其工程图能自动进行更改。由此可见，三维模型（三维实体）转换成工程图的绘制方法是绘制真空挤压成形机螺旋叶最理想的方法。本文采用三维模型（三维实体）转换成二维工程图的绘制方法，重点介绍不等宽圆柱螺旋叶（如：螺旋推进器）和圆柱轴毂型不等宽圆锥螺旋叶（如：锥形螺旋叶）结构图的绘制方法。

4.1 圆柱轴毂型不等宽圆锥螺旋叶

在实践生产中，圆柱轴毂型不等宽圆锥螺旋叶俗称锥形螺旋叶，通常用于双轴真空挤压成形机上部搅泥装置的最末端锥形搅泥螺旋和下部挤泥装置真空室出口处的锥形挤泥螺旋，迫使陶瓷泥料向轴线聚拢，减少陶瓷泥料的孔洞率（孔隙率），促使其致密度和可塑性得到最大限度地提高，有利于陶瓷坯体的塑性挤出成形。为了描述方便，设锥形螺旋叶的轴向长度为237 mm，大端螺旋叶直径为φ388 mm，小端螺旋叶直径为φ250 mm，圆柱轴毂直径、轴孔直径、键槽尺寸规格（只有一个键槽）及叶片厚度等尺寸等同于上述等宽圆柱螺旋面的相关尺寸，其三维模型的绘制方法如下：

（1） 利用凸台/基体扫描特径生成圆柱螺旋面

在选定的基准面上插入草绘平面并绘制一个螺距的螺旋线（螺旋线的圆柱直径为螺旋叶轴毂直径φ112.5 mm，螺距为螺旋面的螺距237 mm），即扫描路径；再通过螺旋线的起点并与该点螺旋线的切线垂直的平面内插入绘制一个封闭的带外圆弧链接的矩形（即螺旋叶叶片的端面图，不包括螺旋叶的轴毂部分）的草绘平面，即需要扫描的外形轮廓，如图5所示。其中，137.75 mm =（388-112.5）÷2，扫描后获得一圆柱螺旋面。

（2） 利用拉伸凸台/基体特径生成锥形螺旋叶的轴毂圆柱面

在绘制螺旋线的基准面上，插入绘制一直径等于锥形螺旋叶轴毂直径Φ112.5 mm圆的草绘平面，拉伸深度为锥形螺旋叶的轴向长度237 mm，注意拉伸的方向即可。

（3） 利用切除拉伸特径生成轴孔键槽面

选取螺旋圆柱轴毂端面为基准面，插入绘制一直径等于锥形螺旋叶轴孔直径Φ70 mm的圆并且带键槽（键槽宽20 mm、键槽深4.9 mm）的草绘平面，并注意键槽的方向（相对螺旋轴毂圆柱两端面的叶片的角度），切除拉伸深度为螺旋叶的轴向长度237 mm，注意切除拉伸的方向即可。

（4） 利用切除拉伸特径生成螺旋圆柱轴毂内腔型面（即Φ85×137圆柱面）

选取平行并且距螺旋圆柱轴毂端面为50 mm处作一基准面，插入绘制一直径等于锥形螺旋叶圆柱轴孔空腔直径Φ85 mm圆的草绘平面，切除拉伸深度为锥形螺旋叶圆柱轴孔空腔的轴向长度137 mm，注意切除拉伸的方向即可。

（5） 利用切除拉伸特径生成螺旋圆柱轴毂两端面Φ116 mm的圆柱面

分别选取螺旋圆柱轴毂的两端面为基准面，插入绘制一直径为Φ116 mm的圆的草绘平面，切除拉伸深度一端为20 mm；另一端为35 mm，注意切除拉伸的方向即可。

（6） 利用切除拉伸特径生成锥形螺旋叶的外缘

选取与叶片平齐的端面为基准面，插入绘制锥形螺旋叶小端直径Φ250 mm圆的草绘平面，选取反向切除拔模拉伸，其中：切除拉伸深度为252 mm，切除拉伸拔模斜度为15.31°，即：arctg[（388-250）÷（2×252）]。

（7） 利用实体的圆角特径生成锥形螺旋叶圆柱轴孔内腔两端面的圆角

分别选取锥形螺旋叶轴孔内腔的拐角处进行半径为R5（mm）的圆角处理即可。

（8） 利用实体的倒角特径生成锥形螺旋叶的倒角

分别选取锥形螺旋叶轴孔φ70 mm的四个端面圆进行2（mm）×45°的倒角处理，即得一个螺距的不等宽圆锥螺旋叶（锥形螺旋叶）的三维模型（也称三维实体），其轴测图如图6所示。

（9） 将三维模型转变为二维的CAD零件图的绘制

将一个螺距不等宽圆锥螺旋叶（锥形螺旋叶）的三维模型（三维实体）转变成二维的CAD零件图，然后对其进行尺寸标注、粗糙度标注、形状位置公差标注、公差配合标注等技术要求及填写标题栏后，得其结构图如图7所示。

4.2 不等宽圆柱螺旋叶

不等宽圆柱螺旋叶，通常用于真空挤压成形机挤泥装置中最末端（从真空室算起）的挤泥螺旋（俗称螺旋推进器），通常采用双线、三线甚至四线螺旋面制成，一般属于圆柱圆锥组合轴毂，因此，陶瓷

泥料在螺旋推进器的作用下，向轴线聚拢并均匀推进挤压筒及机嘴（也称成形模具），从而最大限度地减少陶瓷泥料的孔洞率（孔隙率），促使其致密度和可塑性得到最大限度地提高，有利于陶瓷坯体的塑性挤出成形。为了描述方便，设双线螺旋叶的轴向长度为222 mm，其中半螺距为115 mm，圆锥轴毂的轴向长度为125 mm，大端轴毂直径为Φ112.5 mm，小端轴毂直径为Φ50 mm，小端紧固螺栓用孔为Φ30 mm，双线螺旋叶的直径为250 mm，键槽退刀槽尺寸为10×Φ85（mm）， 轴孔深度为101 mm，螺旋轴毂直径、轴孔直径、键槽尺寸规格（只有一个键槽）及叶片厚度等同于上述等宽圆柱螺旋面的相关尺寸，其三维模型的绘制方法如下：

（1） 利用凸台/基体扫描特径生成圆柱螺旋面

在选定的基准面上，插入绘制半个螺距的螺旋线（螺旋线的圆柱直径为圆锥轴毂的小端直径Φ50 mm，螺距为螺旋面的螺距2×115 mm =230mm）的草绘平面，即扫描路径；再通过螺旋线的起点并与该点螺旋线的切线垂直的平面内插入绘制一个矩形（即螺旋叶叶片的端面图，不包括螺旋叶的轴毂部分）的草绘平面，即需要扫描的外形轮廓，如图8所示。其中，100 mm =（250-50）÷2），扫描后获得一圆柱螺旋面。

（2） 利用拉伸凸台/基体特径生成双线螺旋叶的圆柱圆锥组合轴毂面

首先，在绘制螺旋线的基准面上，插入绘制一直径等于圆锥轴毂小端直径Φ50 mm圆的草绘平面，向外拔模拉伸，其中拉伸深度为圆锥轴毂的轴向长度125 mm，向外拔斜度为14.04°，即：arctg[（112.5-50）÷（2×125）]，注意拉伸的方向即可生成圆锥轴毂面。其次，选取圆锥轴毂面的大端面作为基准面，插入绘制一直径等于圆锥大端直径Φ112.5 mm圆的草绘平面，拉伸深度为97 mm（222-125=97），注意拉伸的方向即可生成圆柱轴毂面。

（3） 利用圆周阵列特径生成另一圆柱螺旋面

选取圆柱圆锥组合轴毂的轴心线作为圆周阵列的基准轴，然后选取圆柱螺旋面作为圆周阵列对象，选定圆周阵列的总数为2，及角度间距为180°即可生成另一圆柱螺旋面，从而获得双线螺旋面。如果是三线或四线螺旋面，那么选定的圆周阵列的总数分别为3或4，圆周阵列的角度间距分别为120°或90°，即可获得三线或四线螺旋面。

（4） 利用切除拉伸特径生成轴孔、键槽型面

选取螺旋圆柱轴毂端面为基准面上，插入绘制一直径等于双线螺旋叶轴孔直径Φ70 mm的圆并且带键槽（键槽宽20 mm、键槽深4. 9 mm）的草绘平面，并注意键槽的方向（相对螺旋轴毂圆柱两端面的叶片的角度），切除拉伸深度为螺旋叶的轴向长度101 mm，注意切除拉伸的方向即可。

（5） 利用切除拉伸特径生成退刀槽及紧固螺栓用孔

首先，选取轴孔直径Φ70 mm深度101 mm的端面作为基准面，插入绘制一直径等于键槽退刀槽直径Φ85 mm的圆的草绘平面，切除拉伸深度为键槽退刀槽的轴向长度10 mm，注意切除拉伸的方向即可。其次，选取圆柱圆锥组合轴毂的小端面作为基准面，插入绘制一直径等于紧固螺栓用孔直径Φ30 mm的圆的草绘平面，切除拉伸深度为紧固螺栓用孔的轴向长度111 mm，注意切除拉伸的方向即可，当然切除拉伸深度也可以选择完全贯通，也可以选用退刀槽底部Φ85 mm的圆柱端面作为切除拉伸基准面等。

（6） 利用实体的倒角特径生成双线螺旋叶的倒角

分别选取双线螺旋叶轴孔Φ70 mm的两个端面圆、紧固螺栓用孔Φ30 mm的两个端面圆及端面Φ70 mm的外圆进行2 （mm）× 45°的倒角处理，即得半螺距的不等宽圆柱螺旋叶（双线螺旋叶）的三维模型（也称三维实体），其近似轴测图（螺旋叶根部圆弧未画）如图9所示。

（7） 不等宽圆柱螺旋叶的三维模型转换成二维的CAD零件图的绘制

将不等宽圆柱螺旋叶（双线螺旋叶）的三维模型（三维实体）转换成二维的CAD零件图，再添加半径为R20的螺旋根部的连接圆弧，然后对其进行尺寸标注、粗糙度标注、形状位置公差标注、公差配合标注等技术要求及填写标题栏后得结构图如图10所示。

4.3 等宽圆锥螺旋叶、圆锥轴毂型不等宽圆锥螺旋叶及圆柱圆锥组合轴毂型不等宽圆锥螺旋叶

在实践生产中，即使等宽圆锥螺旋叶、圆锥轴毂型不等宽圆锥螺旋叶及圆柱圆锥组合轴毂型不等宽圆锥螺旋叶的应用较少。但其三维实体的绘制都可以参考不等宽圆柱螺旋叶及圆柱轴毂型不等宽圆锥螺旋叶的建模方法进行创建，因篇幅有限，本文不再赘述。值得注意的是，在它们生成螺旋面的扫描外形（轮廓）时，只能采用矩形截面（如图8所示，只是尺寸不同而已）。同时，在三维实体转换成二维的CAD零件图后，再添加螺旋叶根部的连接圆弧，然后对其进行尺寸标注、粗糙度标注、形状位置公差标注、公差配合标注等技术要求及填写标题栏后，即可获得其相应的结构图。

5 结语

三维设计绘图软件提供了一个基于过程的虚拟产品开发设计环境，使产品开发从设计到加工制造真正实现了数据的共享，优化了企业产品的设计及其加工制造。目前，机械设计制造行业应用广泛的主流三维设计绘图软件主要是SolidWorks、Pro/ENGINEER Wildfire（简称Pro/E）、UnigraphicsNX（简称UG）三维软件，其中SolidWorks三维软件不仅具有强大的实体造型功能、曲面设计功能、虚拟产品装配功能和工程图生成等设计功能，而且在产品的设计过程中可以进行有限元分析、机构运动分析及其仿真模拟等，从而提高了产品的设计可靠性。而且SolidWorks三维软件所有的模块都是完全相关的，也就是说在产品的设计开发过程中，某一处进行的设计修改能自动添加到整个机械设计加工制造过程中，也能同时自动更新所有的工程文件数据（包括：装配体、二维工程图以及加工制造数据等）。

一般来说，机械零件越复杂，其三维模型的稳定性、可靠性及可修改性就越差，在零件的建模过程中，特定的生成顺序是非常重要的。不同的建模过程虽然能构建出同样结构的零件实体，但其建模（造型）过程及实体的图形结构直接影响到三维实体模型的稳定性、可靠性、可修改性及可理解性。因此，在机械零件的造型过程中，应尽量简化实体零件的特径结构。同时，考虑到三维设计绘图软件能与其它CAD二维软件进行数据共享，快速绘制零件的工程图纸，以指导产品的加工制造，提高产品的设计制造效率，适应市场的需要，赢得更多的市场份额。由此可见，三维模型（三维实体）转换成二维工程图的绘制方法是设计绘制真空挤压成形机螺旋叶结构图（俗称零件图或工程图）的最佳选择。

参考文献

[1] 华东纺织工学院制图教研室等编. 画法几何及工程制图[M].

上海：科学技术出版社，1982，6.

[2] 成大先.机械零件设计手册第三版[M]. 北京：化学工业出版社

1998，4.

[3] 刘妮妮.AutoCAD 2007中文版应用教程[M]. 北京：国防科技大

学出版社，2009，2.

[4] 胡仁喜，温正，王渊峰.SolidWorks 2007中文版标准教程[M].北

京：科学出版社，2007，7.

圆柱与圆锥篇9

古希腊的几何学家对圆、球、柱、锥进行研究，而且还对其他的多种曲线如椭圆、抛物线、双曲线等等的性质进行研究，获得杰出的成果。[1]这三类曲线统称为圆锥曲线，是数学研究的重要对象。小学生认识圆柱与圆锥，学习相关的测量，为进一步研究圆锥曲线的性质打下基础。下面从概念引入、转化方法与学生理解三个方面，讨论教材的设计，比较不同教材的编排方式，分析学生的理解与掌握情况。

一、概念的引入：分类与抽象

不同教材引入圆柱与圆锥的方式大致可以分成两类：一类是从图形的分类中引入，一类是从实物的抽象中引入。

从分类中引入。教材提供众多的直柱体与正锥体，让学生按一定的标准进行分类，在分类的活动中认识圆柱与圆锥区别于其他柱体与锥体的特征。如韩国2006年修订的《数学课程标准》，在小学六年级图形的教学内容中，安排了角柱（棱柱，下同）与角锥（棱锥，下同）的性质、圆柱与圆锥的性质，[2]在认识棱柱与棱锥的基础上学习圆柱与圆锥。台湾版《国民小学数学课本》第十一册（南一书局企业股份有限公司，中华民国九十一年八月版），以“角柱与角锥”为单元标题，先是提供了各种各样的直棱柱与正棱锥，按照是否有尖顶分成柱体和锥体，再根据底面形状把柱体分成圆柱与角柱。如下图：

无论是研究问题还是认识图形，分类都是重要的。通过以上两级分类，学生可以把柱体与锥体、圆柱与棱柱清晰地区分开来。认识图形不仅仅是为了让学生知道哪一种图形叫什么名字，学会区别图形，更重要的是让学生学会对图形分类，认识某种具体图形的教学只是个案，只有让学生理解图形的分类才使教学具有一般性。[3]分类的核心是建立分类的标准，只有那些可以作为分类标准的性质才是图形的重要特征。在分类的过程中，既要关注图形的共性，也要关注图形的差异，而共性和差异都是抽象的结果，是抽象的具体体现。[4]因此，分类不仅是学生认识图形的手段，也是培养学生抽象能力的途径。

从抽象中引入。从实物图形中抽象出几何体，也是认识几何图形的重要方法。这个抽象的过程，舍弃了图形的颜色、材质等物理属性，只保留空间、大小、位置等数学属性。国内的教材大多采用这种方式来引入圆柱与圆锥。如人教版教材（下左图）与北京版教材（下右图）：

不过，抽象似乎并没有确切的定义，从实物图抽象到几何图，究竟哪些属性应当保持不变，不同教材其处理的方式也有差异。以上两个版本的教材，实物图与几何图形的大小是一致的，或者说抽象前后基本保持1∶1的大小比例关系。以前的教材似乎并不注意这一点。如下图：

笔者的理解是数学中的抽象也是分层次的。如果从不同大小的实物图形中抽象出一个几何图形，属于比较高层次的抽象，这时抽象得到的几何图形具有“类”的特征。换句话说，从大小不同的实物中抽象得到的几何图形，只是数学研究的对象，在现实世界中并不真实存在。

二、转化的方法：立体与平面

认识立体图形的基本思路是转化为平面图形。我国《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求：通过观察、操作，认识圆柱与圆锥，认识圆柱的展开图。[5]这些观察、操作的活动主要是图形的观察比较，图形的展开折叠，平面图形的旋转，立体图形的截面，等等。从教材的呈现上看，包括看一看、比一比、转一转、做一做、截一截。

看一看。观察是认识图形最重要也是最基本的方法。如下图人教版教材：

学生在认识图形的过程中，积累了许多观察图形的经验，比如分析平面直线图形可以观察它的边与角，分析长方体可以观察棱和面的大小与位置关系，这些经验不容易直接迁移到认识圆柱的活动中来，教材需要设计更加直观与丰富的活动。

比一比。圆柱与圆锥联系密切，同底等高的圆柱体与圆锥体的体积存在确定的倍数关系。通过对这两类立体图形进行比较，学生容易找到它们的相同点与不同点。北师大版教材把认识圆柱与圆锥安排在同一课时，使比较成为认识图形的现实途径。如下图：

转一转。由平面图形旋转得到立体图形，这是旋转体独有的特征，这种特征体现了平面与立体的奇妙关系，也为学生认识立体图形的特征提供了新的视角。许多教材都安排了将平面图形进行旋转的活动，浙教版教材在要求学生观察想象的同时，还要进一步思考平面图形的边长与立体图形底面半径的关系。如下图：

做一做。把立体图形转化为平面图形进行研究，比较直观的方式就是展开与折叠。人教版教材在学生初步认识圆柱的特征之后，通过展开与折叠的活动，发现立体图形的组成元素与平面展开图之间的关系，为学习表面积计算打下基础。如下图：

截一截。用一个平面去截立体图形，也是认识立体图形性质的一种途径。如下图北师大版教材：

朗文出版社出版的《小学数学》，在6A学段呈现了丰富多样的圆柱或圆锥截面。如下图：

对于圆柱，用一个垂直于旋转轴的平面去切割，所得的截痕是一个圆，如果割面和转轴不垂直，则截痕是一个椭圆。对于圆锥，用一个垂直于旋转轴的平面去切割，所得的截痕也是一个圆，如果割面和转轴不垂直，则截痕是椭圆、抛物线或双曲线。

三、学生的理解：特征与反例

为了解学生对圆柱特征的理解水平，笔者对浙江省某城镇小学六年级两个班的113名学生进行了测查。教学使用北师大版教材，两个班由同一个教师执教。测查安排在上完“面的旋转”这节新课之后进行，时间20分钟。测查题目为北师大版教材第4页的一道练习题，如下图：

测查的问题是：上面的图形哪些是圆柱体，哪些不是？想一想圆柱有什么特点，用自己的话写下来。

主要从两个方面进行分析：一是学生对图形特征的描述是否完备？二是反例是否支持学生改善特征描述？

圆柱的组成元素包括底面、侧面、高等，这些元素包括形状、大小、空间关系。这项研究主要考查学生从哪些角度描述圆柱特征，研究的方法是对学生描述的特征进行归类分析。主要包括：（1）底面是形状一样、大小相同的圆；（2）侧面是曲面，展开是长方形；（3）有无数条高，这些高都相等；（4）由长方形旋转得到，是圆平移的轨迹。结果如下：

可见，对于底面的特征学生比较容易把握，而对于圆柱的动态形成过程印象并不深刻。其中，特征描述中包含（1）（2）（3）这三项的有34人，占30.1%。可以这样说，这部分学生对于圆柱特征的描述比较完备。或者说，与那些“顾此失彼”（只描述一项或两项）的描述相比，约1/3的学生对圆柱特征的描述比较完备，可以理解为他们对图形特征的掌握比较好。

正例与反例对于概念学习有各自不同的价值，正例用于概括，反例推动反思。调查时先让学生独立写下圆柱的特征，然后提示学生：再想一想，你写的话有没有把上面不是圆柱的例子排除在外，如果没有排除外，应当怎样修改你写的话。对113名学生进行分析，描述中包含了许多错误或不够清晰、严谨的地方，但在教师提示学生对照反例后，对描述作了修改的有23人，占20.4%。这样看来，反例对学生改善图形特征的描述所起的作用比较小，这是在教学时需要引起注意的地方。

“透过现象看本质”是一句至理名言，它对数学概念教学也有启示意义。教材提供的实物或几何图形，各种属性是混杂在一起的，它是“现象”。抽象、分类、转化与概括正例、思考反例，这些活动就像一个个筛子，把本质属性与非本质属性分离开来，帮助学生“看透”概念的本质，形成对图形特征的理解。

（注：本文作者系朱乐平名师工作站一课研究组成员）

参考文献：

[1]项武义著.几何学的源起与演进[M].北京：科学出版社，1983：130～131.

[2]曹一鸣主编.十三国数学课程标准评介[M].北京：北京师范大学出版社，2012：224.

[3][4]史宁中著.小学数学教学中的核心问题――基本概念与运算法则[M].北京：高等教育出版社，2013：57.

圆柱与圆锥篇10

【关键词】分类与抽象 立体与平面 目标与干扰 圆柱 圆锥

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2017）05A-0078-02

在小学数学教学中，引导学生认识圆柱与圆锥，并且学习相关元素的测量，可以为今后研究圆锥曲线打下坚实的基础。本文以人教版数学六年级下册《圆柱和圆锥的认识》一课为例，从引入、转化与理解三个方面探析立体图形概念教学，通过对不同教学方式的比较，探寻学生对几何体概念掌握与理解的认知形态。

一、用分类与抽象引入概念

引入圆柱与圆锥的方式主要有两种：一种是分类图形引入，另一种是抽象实物引入。

图形归类法。教师展示许多不同的直柱体与正锥体图片，按一定的标准让学生分类，在分类过程中将圆柱与圆锥与其他柱体与锥体区别开来，并由此总结出圆柱与圆锥的主要特征。分类对问题研究和图形认识都很重要。通过逐级分类，学生先学会分辨柱体与锥体，然后在柱体范畴里再区分圆柱与棱柱。只知道图形名称还没有达到认识图形的目的，对个别典型、常见立体图形的教学只是抛砖引玉，因此，学生只有对正确的图形分类标准和方法做到了然于胸，才能牢固掌握柱体与锥体的系统理论。制订合理的标准是分类的根本意义所在，唯有图形的基本属性方能构成分类依据。分类时要同时比对图形的相同点与不同点，因为二者都能促进思维的抽象化，因此，分类不但能帮学生提炼出图形的主要特征，而且能培养学生的抽象思维能力。

但是，对于抽象提炼的模式与方向，学界并没有明确的规范，把实物图抽象成几何图，到底哪些要素要变，哪些要素不变，不同版本的教材有不同的诠释。在新版教材中，实物图与几何图的比例基本保持1∶1，而旧版教材则不是这样。（如下图）

抽象是分层储存在意识中的，如果能从体积差异很大的不同原型中抽象出同一个物象，那么这种抽象属于高级形态，这时抽象的思维依据是本质属性。

二、在立体与平面间交互转化

交互转化是认识立体图形经常用到的数学思想。“观察”“操作”“展开”等关键词在新课标关于《圆柱和圆锥的认识》一节中出现频率较高。从教材的编排设计来看，包括观察、比较、旋转、制作、截取。

^察。观察是认识图形的基本方法。

在观察图形的过程中，学生积累了很多经验，比如研究平面图形主要观察边、角等要素，研究长方体主要观察棱、面等要素。只有设计直观丰富的活动，才能将这些宝贵的经验迁移到认识圆柱的活动中来。

比较。圆柱与圆锥息息相关，圆锥体的体积是与它等底等高的圆柱体体积的[13]。通过比较它们的体积大小，学生很容易总结出圆锥体的体积计算公式。这种比较的现实意义是在学生不用接触微积分的前提下，就能掌握圆锥体这种不规则图形的体积计算公式。

旋转。立体图形由旋转平面图形得到，这是旋转体的典型特征，二维到三维的微妙关系在这种特征中充分得到体现，同时也为学生了解立体图形开创了新模式。旋转平面的学习模式被许多教材采纳，人教版明确要求学生观察想象的同时，进一步探讨平面图形的边长与几何体底面半径的关系。

制作。与旋转相反，制作是通过肢解立体图形的方式，将其分化为若干个平面图形后进行研究的，常见的方式有展开与折叠。人教版教材里，在学生掌握了圆柱的主要特征后，通过展开、折叠圆柱体的制作活动，研究几何体各要素与展开后平面图各要素之间的数量关系，为几何体表面积计算打下基础。（如下图）

截取。平面横截法也是研究几何体性质的常用途径。

对于圆柱，要想切面呈圆形，横截面须平行于底面，若想切面呈椭圆，横截须相交于底面所在平面；对于圆锥，若想切面是一个圆，横截面须平行于底面，若想切面交线是双曲线，截面须与底面垂直，若想切面是椭圆，截面须与母线平行且不过圆锥顶点。

三、在目标与干扰间理解

为检验学生对圆柱特征的掌握程度，笔者对六年级100名学生进行了测试。

测试题目是：上面6个图形，哪些是圆柱体，哪些不是？总结一下圆柱的特点，并用文字描述。主要从两方面进行考查：一是学生对圆柱体的特征把握是否全面到位？二是干扰项是否增强学生对这些特征的辨识度？

组成圆柱的要素主要包括底面、侧面、高等，以及它们的形状、大小、位置关系。测试主要从各要素的特征引起注意的主次强弱来考查，具体方法是对描述各特征的人数进行统计。描述项主要有：（1）底面是全等的圆；（2）侧面是长方形围成的曲面；（3）有无数条相等的高；（4）既可以看成是长方形的旋转体，又可以看成是圆的平移轨迹。

可见，引起注意最强烈的是底面特征，引起注意最弱的是动态形成。目标项与干扰项对于概念学习能够发挥不同的作用，目标项用于特征定位，干扰项用于稳固意志。调查时先让学生用文字正面描述圆柱特征，然后让学生从反面排除非圆柱特征，以此来补充完善圆柱概念内涵。