椭圆形面积计算公式十篇

椭圆形面积计算公式篇1

一、焦点三角形面积计算

结论1：已知椭圆方程为 + =1（a>b>0），两焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF1F2中∠F1PF2=θ，则SF1PF2=b2tan 。

证明：（2c）2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ

=（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1||PF2|（1+cosθ）

例1、已知P是椭圆 +y2=1的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=120°，则PF1F2的面积是_____。

由椭圆的焦点三角面积公式，这里θ=120°， =60°得PF1F2的面积是 3。

例2、椭圆 + =1的两个焦点分别是F1、F2，点P在双曲线上，且直线PF1、PF2倾斜角之差为 ，则PF1F2的面积为（ ）。

A、3 3B、C、16 3D、9 3

解：由三角形外角性质可得∠F1PF2= ，即θ= ，再由椭圆的焦点三角面积公式，S=b2tan =9tan =3 3。故选A。

例3、在椭圆 + =1上求一点P，使它与两焦点F1、F2的连线互相垂直。

解：由椭圆的焦点三角面积公式，其中θ= ，S=b2tan 20= ×2c×|x0|。

|x0|=4c=5，x0是点P的横坐标，将|x0|=4代入椭圆方程得|y0|=3，故P点的坐标为（4，3），（4，-3），（-4，3），（-4，-3）。

二、焦点三角形中张角计算

结论2：已知椭圆方程为 + =1（a>b>0），左右两焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF1F2，若∠F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点。

证明：法1：设P（x0，y0）,由焦半径公式可知：|PF1|=a+ex0，|PF1|=a-ex0。

x0=0时cosθ最小，P为椭圆短轴的端点。

法2：设P（x0，y0）则SF1PF2= |F1F2|・|y0|=c・|y0|=b2・tantan = 。

又|y0|≤b，0< < ，y0=±b，tan 最大，即张角θ最大 ，P为椭圆短轴的端点时，张角θ最大。

由这两种方法可以说明椭圆上的点P对两焦点张角变化情况。当P在长轴右端点，θ最小为0，P在向左运动过程中，角θ随之变大，运动到短轴端点达到最大。由对称性知P再向左运动，角θ又逐渐变小，P到达长轴左端点角θ为0。当椭圆的焦点在y轴结论2同样成立。

例1、F1，F2是椭圆C： + =1的焦点在C上满足PF1F2的点P的个数为______。

解：当点P在短轴上时sin = => > ，θ> 由结论2和对称性可知点P有4个。

例2、椭圆 + =1的焦点为F1、F2，点P为其上一个动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的横坐标的取值范围。

解：

法1SF1PF2= |F1F2|・|y0|=c・|y0|=b2・tan

|y0|=a2=9，b2=4，c= 5|y0|> =,y2> 即4（1- ）>

-

法2：以F1F2为直径的圆上的点为Q时，∠F1QF2= ，于是P在以F1F2为直径的圆的内部，同时P在椭圆上。易知以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=5。

坐标为±。

所以点P横坐标取值范围是－

例3，椭圆 + =1的焦点为F1、F2，点P为其上一个动点，当∠F1PF2大于 时，求点P的横坐标的取值范围。

椭圆形面积计算公式篇2

【关键词】广东省高职考，例说解析几何大题的命题方式

本文从以下几个方面做一些探讨

一、对近几年广东省高职考考试大纲的考试要求的浅析

考试大纲有四个层次。（1）掌握的内容有：掌握求曲线交点的方法、圆的标准方程和一般方程。（2）理解的内容有：理解曲线与方程的对应关系、直线的方向向量和直线的点向式方程、直线的法向量和直线的点法向式方程、直线的斜率和点斜式、直线方程的一般式、两条直线的交点和夹角的求法、两条直线平行与垂直的条件、椭圆的标准方程和性质。（3）了解的内容有：了解点到直线的距离公式、圆的参数方程、双曲线和抛物线的标准方程和性质。（4）能的内容有：能根据条件求出直线方程、判断直线与圆的位置关系、判断两圆的位置关系。

三、解析几何大题命题方式的基本规律

从近几年命题方式来看，大题命题主要有以下的基本规律：

（1）涉及的主要内容是三角形的周长、直线、圆、椭圆、抛物线，大题的内容几乎不涉及双曲线；

（2）常以椭圆为中心来设计问题；近年解析几何的大题常考的内容主线是直线――圆――椭圆。

（3）命题设计的方式一般分为两个层次：

第一个问题近年通常是由给定的条件，求椭圆 的方程。设计思路大致是：由 条件，确定椭圆的方程类型 由 条件，求出 、 的值 将 、 的值代入可得所求椭圆 的方程。而条件的设计就围绕着先给出以坐标原点为中心，接着设计怎样求出椭圆的长半轴 和短半轴 （常要用到半焦距 、长半轴 、短半轴 三个常数间的关系 ），进而可以求出椭圆的标准方程，这个问题是基础的问题，学生只要记住一些简单的知识、能基本的计算就能解决这类问题，难度一般。

第二个问题是综合性问题，常是圆与直线、椭圆与直线、椭圆与圆、椭圆与抛物线等的综合问题。设计思路大致是：通常以第一问题的结论为条件，设计它与直线、或它与圆等的一个综合性问题（如：求交点、距离或距离的最值、周长、面积等等） 由条件逐一求出需要解决的问题 最终得出结论。从上面问题的设计方式来看，大题的第二问难度显然提高了许多。以2015年的大题来看，首先，如果第一个问题解不出来或解决错误，显然就会导致第二个问题无法解或解错，另外，第二问又把直线、三角形的周长与椭圆的定义、长半轴、短半轴、比较数的大小、圆与椭圆的是否有交点的判断方法（若 时，则圆与椭圆有交点；若 或 时，则圆与椭圆没有交点），由于涉及知识点较多，要理解、要变形、要算，综合性较大，学生在理解题意上时已经是比较困难了，再加上职业学校的学生的变形、运算能力普遍偏低，因此，学生解第二问题难度较大，这就是许多学生见大题就无从下手，望而生畏的主要原因。

四、大题命题趋势分析

椭圆形面积计算公式篇3

最值问题在中学数学教材中占有相当重要的地位，而与“不等式”“函数值域”都有着密切联系。中学中我们学习了不少关于求最值的方法。本文利用我们学过的知识把复数,几何等知识融合在一起给出了求最值的几种巧妙方法，诣在归纳总结，给以后学习最值问题提供参考。

1.用比较半径法求最值。

此方法主要是从代换的角度出发，巧妙应用圆的半径来探索求最值。

这类题目的特点是所求函数和限制条件一般由一个是二次曲线形式的。利用坐标变换把二次曲线变成圆，再把目标函数变为直线，因在同一个坐标系内直线过圆，所以圆上的点到直线的距离小于等于半径。根据公式.

求得最值。

例1.已知求函数 的最值。

分析:此题限制条件是一个二次曲线—椭圆。目标函数为一直线，若令：

则恰能得到一个圆的方程，而目标函数12X-5Y是一过圆心的直线,这些恰好符合我们给出的条件,所以我们不妨用此方法去解.

解：令圆: 。

如图：显然圆上任一点P(X,Y)到直

线 ：12X-5Y=0的距离

即

例2.已知x+3y-10=0,求函数 的最小值。

解：设 则

直线 方程：

如图：圆：

从而本题变为求圆半径的最小值。

当直线 与圆相切时圆的半径取得最小值。

即： 故 .

1.切线法求最值。

①利用“直线关系法”求最值。

这类题目的特点是点 在平面上的二次曲线域（包括边界）上运动，求目标函数 的最值。此解法关键是把约束条件恒等变形，化成二次曲线上或形内的适合条件，再令 （ 为非零实数），转化成求 的最值，则可求出 的最值。

这种思路主要应用了斜率不变的直线系来解决问题。

例1. 若点 的坐标适合 求 。

分析:由题我们可以看出 所适合的条件是在这个圆形区域内,所求函数恰好为一直线,故我们可以用此方法去解.

解： 变形为，适合条件的点 为圆周上和圆内的点。

设目标函数 ，这是斜率为 的平行直线系，如图：

此题转化为求斜率为的直线与圆相切的方程。

又因为我们有

代入则得

即： ，解之得

所以 的最大值是5，最小值是 。

②斜率法求最值。

这类题的特点是所求目标函数一般为分式,如根据 的关系我们把它写成是二次曲线上点,从而这个式子可以看做是点(a,b)到曲线上任一点的斜率的最值,在根据二次曲线的切线求得最值 .此法能形象地说明该式最值的几何意义。解法关键是先把目标函数化成二次曲线上任意一点与曲线外一点（定点）连线的斜率k，再根据题意画出图形，构造切线，从而求得最值。

例1.若x为实数，求的最值。

解：目标函数可看作椭圆上任一点 ，与定点（4，3）连线的斜率 。如图：

设切线为 ，则，

解得

所以

备注：1.直线 与圆 相切充要条件：

2.直线 与椭圆 相切的充要条件：

。

3.直线 双曲线相切的充要条件：

。

4.直线 与抛物线 相切的充要条件：

3.用“动点求导法”求最值

这类题一般是以定线段为底某一曲线上的动点为顶点的三角形面积的最值问题.解此类提的一般步骤如下:

(1) 用导数法求出曲线到定线段距离的极值.

(2) 计算极值点和曲线端点到定线段的距离,并加以比较得出距离的最大值或最小值.

(3) 用三角形面积公式计算出三角形面积 的最值.

例1.椭圆 上有两点

及动点C，求椭圆内接 的最大面积。

解：设椭圆上点 到AB的距离取极值，

则过点C的切线AB平行，将方程

两边对y求导得： ，

所以切线斜率

以此代入椭圆方程，求得C点的坐标 和 。

直线AB的方程为： ,点 和

到AB的距离：

所以 ， 。

所以 最大面积为 。

4.令“坐标法”求最值

这类题目的特点是目标函数为若干个二次根式之和.解法关键是精心设计各点的坐标,使以原点为起点相邻两点的距离之和恰好构成目标函数,从而起点与终点间的距离正好是其最小值.

例1.若 为非负实数，求 的最小值。

解：设点 ，点 ，点 则

，由图可看出从O 到C的线段中，

OC 为最短的，即：

所以

所以得： 的最小值是 。

5.利用“参数法”求最值。

此方法主要是利用圆锥曲线的参数方程把所求问题转化为三角函数,最后再利用三角函数的最值来求出所要求的问题.

这类题一般为求一个闭合的圆锥曲线的内接矩形的面积最值问题.如椭圆,圆等.

例1:求椭圆的内接矩形的最大面积

解:如图:令

则椭圆方程变为

将此方程转化为参数方程:

那么第一象限内椭圆上一点C的坐标

为 则内接矩形的面积

是:

当 时

又 图一边为图二相当于对椭圆进行了平移变换,故椭圆的大小,形状完全没有变化,所以其内接矩形的面积也不变.

椭圆内界矩形的最大面积是

参考文献：

[1]吴高林等.双曲线切线存在性及引向[J].数学通报，1983，（9）

[2]何亚魂.一类最值问题的解法[J].湖南城市学院学报，1988，（5）

[3]益阳师专学院报（自然科学版）[J].1988，（1）

椭圆形面积计算公式篇4

关键词： 球缺 椭球缺 数学教育 实际应用

数学教育的基本功能有：实用、思维训练功能、选拔.其中最重要的是实用，数学在日常生活中有用，在今后就业中有用，在科学技术活动中有用.数学是科学的语言，数学模型是描述自然现象和社会现象的工具，数学是能够产生经济效益的技术.

下面我仅就如何通过学学数学分析课程，运用其中的知识解决实际生活中的难题，谈谈个人的体会和建议，供研究者参考.

在本科二年级的数学分析课程中，我学习了三重积分，其中联系到如何解决实际生活中计算油罐储油体积计算的问题.首先给出以下预备知识：

在空间几何学中，球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球冠也可以看作一段圆弧绕经过它的一个端点的直径旋转所成的曲面.

而用一个平面去截一个球所得的部分叫球缺.根据它们的定义，可以发现：球缺属于几何体，是“体”的概念，而球冠只是个“面”的概念.因此，球缺可以计算体积，而球冠只能计算面积.推而广之，用一个平面去截一个椭球所得的部分叫椭球缺，其表面积称为椭球冠.

结合以上预备知识，本文重点介绍球缺及椭球缺的体积计算公式，并应用于解决实际生活中的计算油罐储油容量计算问题.

一、球缺

由前面的预备知识可知：用一个平面去截一个球所得的部分叫球缺，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.球缺的体积计算公式为：

若球半径r，球缺高h，则球缺的体积为：π（rh-h）.

证明：考虑到体积计算可以用三重积分积分出来，而且这里用切片法更加容易计算，于是可以如下计算：

设球体的半径为r，球缺高度为h，液体的体积为V，则此时球体的方程为：

x+y+（z-r）≤r，则有：

Case 1：h

其中，D={（x，y）|x+y≤r-（z-r），z≤h}

上式?蘩π（r-（z-r））dz=π?蘩（2rz-z）dz=π（rh-h）

Case 2：h≥r时，球体下半部分体积为V，从中部到液面部分体积是V，则：

V=V+V

而V=×πr=πr

V=dxdydz=?蘩dzdxdy

其中D={（x，y）|x+y≤r-（z-r），r≤z≤h}

上式V=?蘩π（r-（z-r））dz=π?蘩（2zr-z）dz=π（rh-h-r）

因此V=V+V=πr+π（rh-h-r）=π（rh-h）

综上所述，液面高度为h时，对应的体积为π（rh-h）.

二、椭球缺

上述内容研究的是三维空间中球缺体积的计算，对于球缺的相关问题在三维空间中研究得比较多，这些都可以在很多资料和教科书上查到，在了解了三维空间球冠的相关定义、体积公式后，在此基础之上能否将其相关的问题平行或者相似地推广到三维空间中椭球上呢?

先给出椭球缺的定义：用一个平面去截一个椭球所得的部分叫椭球缺，其表面积称为椭球冠.

下面给出由一个平行于坐标轴的平面截一个椭球所得的椭球缺的体积计算公式：

设椭球体的标准方程为++≤1，在某一轴上取与轴垂直的平面d，则其体积计算公式为：

若平面d平行于x轴，则体积为：V=（1-）

若平面d平行于y轴，则体积为：V=（1-）

若平面d平行于z轴，则体积为：V=（1-）

证明：

设任意一个椭球体为++≤1，在轴z上取与轴z垂直的平面z=d，（d∈［0，c］）和平面z=c，求这两个平面之间的那部分椭球体的体积.

采用切片法，有V=dxdydz=?蘩dzdxdy，

其中，Dz是平行于xoy平面的椭圆形切片，

Dz=（x，y）|+≤1-，d≤z≤c，

即：Dz=（x，y）|+≤1，d≤z≤c

它的面积为：

S=π（a）（b）=πab（1-）

于是椭球缺的体积为：

V=?蘩πab（1-）dz

=πab?蘩（1-）dz

=πab・（z-）cd

=πab・（-d+）

若设该椭球冠的高度为h，则有d=c-h，代入上式得

V=（1-）（1）

同理可得，

在平面x=d，（d∈［0，a］）和平面x=a之间的那部分椭球体的体积为

V=（1-）（2）

在平面y=d，（d∈［0，b］）和平面y=b之间的那部分椭球体的体积为

V=（1-）（3）

注：因为球体是椭球体当a=b=c时的特殊情况，若令（1）（2）（3）式中a=b=c=r，则有

V=πh（r-）.

这跟上面所求的球缺的体积是相对应的.

三、球缺、椭球缺在实际生活中的应用

一般来说，从油田开采出来的石油需装入油罐运送到炼油厂，其产量一般靠流量计估测.而由于液态石油的特殊性，测量过程往往误差较大，导致产油量与输出量严重不符.这是各中小型油田一直没有解决的生产实际问题.

考虑到在液化石油气的储运过程中，用到的储油罐容器以球形和椭球形最为常见.为解决小型油田的问题，可事先在各类油罐安装上测定石油页面高度的容器，然后根据油罐的种类，对照其计算体积的公式，便可以通过计算机，直接由液面高度测出石油的体积.这就解决了采油厂的产油量与输出量之间较大误差的难题.

下面是实例：

先以球缺型油罐为例，油罐半径为3.5m，编入Excel中，计算结果如下表：（高度单位：米，体积单位：立方米）

因此油罐计量人员可以根据此类的表格来计算液体体积，在石油储运行业中此表也被称为仓容表.工作人员测量出液面的高度，就可以对照此表得出所储存的液体体积.

再若是椭球缺型油罐，若椭球型油罐的三个参数分别为5m、4m、3m，则同理可以得出其仓容表：（高度单位：米，体积单位：立方米）

这样可以很精确地得出储油的体积数值，再由密度可以求出储油的质量大小，也可以考虑温度的影响，因而更加精确地测量出了油罐储油量，从而解决了小型油库的问题.

参考文献:

［1］耿堤，易法槐，丁时进.数学分析（三）［M］.北京:科学出版社，2010.

［2］张奠宙，宋乃庆.数学教育概论［M］.北京:高等教育出版社，2009.

［3］德（Bird，J.O.）.数学手册［M］.北京:科学出版社，1990.

［4］联群，李莉.石油油罐体积计算方法的探讨［J］.吉林化工学院学报，1989.6，（4）.

［5］发龙.实用油罐体积的计算研究［J］.南方农机・科技之窗・研究与制造，2008，（3）.

椭圆形面积计算公式篇5

一、 椭圆中的定值问题

例1 徐州市2011―2012学年度高三第二次质量检测第18题

如图，已知椭圆C∶x24+y2=1，A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点

（1） 设P是椭圆C上任意一点，若OP=mOA+nOB，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动，并求出定圆的方程；

（2） 若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求OMN的面积是否为定值，说明理由.

解：（1） 点Q（m，n）在定圆x2+y2=12上.

(2) 设M（x1，y1），N（x2,y2）,则y1y2x1x2=-14.

平方得x21x22=16y21y22=(4-x21)(4-x32),即x21+x22=4.

因为直线MN的方程为(x2-x1)x-(y2-y1)-y+x1y2-x2y1=0,所以O到直线MN的距离为

d=|x1y2-x2y1|(x2-x1)2+(y2-y1)2,

所以OMN的面积

S=12MN・d=12|x1y2-x2y1|=

12x21y22+x22y21-2x1x2y1y2=

12x211-x224+x221-x214+12x21x22=12x21+x22=1.

故OMN的面积为定值.

评析：(2) 设M（x1，y1），N(x2,y2)，得出x21+x22=4是解题的关键.还可设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2,求出M,N的坐标；也可设M,N的坐标的参数形式.

例2 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点P62，12，离心率为22，动点M(2，t)(t>0)．

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 求以OM为直径且截直线3x－4y－5＝0所得的弦长为2的圆的方程；

(3) 设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值.

解： (1) 椭圆的标准方程为 x22＋y2＝1.

(2) 所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.

(3) 方法一：过点F作OM的垂线，垂足设为K，

由平面几何知识知|ON|2＝|OK||OM|.

则直线OM：y＝t2x，直线FN：y＝－2t(x－1)，

由y=t2x,

y=-2t(x-1) 得xK＝4t2+4，

|ON|2＝xK1+t24・xM1+t24＝4+t24・8t2+4＝2.

所以线段ON的长为定值2.

方法二：设N(x0，y0)，

则FN=(x0-1,y0)，OM=（2，t），MN=(x0-2，y0-t)，ON=（x0，y0）.

FNOM， 2（x0-1）+ty0=0， 2x0+ty0=2.

又 MNON， x0（x0-2）+y0(y0-t)=0,

x20+y20=2x0+ty0=2.

|ON|＝x20+y20=2为定值．

评析：方法一考察几何图形，由平面几何知识得到|ON|2＝|OK||OM的关系，目标转化为求xK；方法二设N(x0，y0)，利用向量垂直的性质得到2x0＋ty0＝2及x20＋y20＝2x0＋ty0＝2，整体代换求证目标.

二、 椭圆中的定点问题

例3 已知椭圆x24＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．

(1) 当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；

(2) 当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一个定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．

解答: (1) M-65,45.

(2) 设直线AM的斜率为k，则AM：y＝k(x＋2)，

则y=k(x+2)

x24+y2=1，化简得：(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.

因为此方程有一根为－2，所以xM＝2-8k21+4k2，同理可得xN＝2k2-8k2+4.

由(1)知若存在定点，则此点必为P-65，0.

因为kMP＝yMxm+65＝k2-8k21+4k2+22-8k21+4k2+65＝5k4-4k2，

同理可计算得kPN＝5k4-4k2.

所以kMP＝kPN，M、P、 N三点共线，

所以直线MN过x轴上的一个定点P-65，0.

评析：(2)实质是在(1)的基础上作出猜想然后证明M、P、 N三点共线；也可以求出M、N的坐标，写出直线MN的方程，然后整理成关于k的方程，进而求出定点坐标.

三、 椭圆中的定位问题

例4 ［2011・江苏卷］如图263，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆x24＋y22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.

图263

(1) 当直线PA平分线段MN时，求k的值；

(2) 当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；

(3) 对任意k>0，求证：PAPB.

解答： (1) k＝22.

(2) d＝223.

(3) 解法一：将直线PA的方程y＝kx代入x24＋y22＝1，解得x＝±21+2k2，

记μ＝21+2k2.则P(μ，μk)，A(－μ，－μk)，于是C(μ，0)，故直线AB的斜率为0+μ+kμ+μ＝k2，

其方程为y＝k2(x－μ)，代入椭圆方程得(2＋k2)x2－2μk2x－μ2(3k2＋2)＝0，

解得x＝μ(3k2+2)2+k2或x＝－μ，因此Bμ(3k2+2)2+k2，μk32+k2.

于是直线PB的斜率kPB＝μk32+k2-μkμ(3k2+2)2+k2-μ=k3-k(2+k2)3k2+2-(2+k2)=-1k.

因此kPBk＝－1，所以PAPB.

解法二：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，

设直线PB，AB的斜率分别为kPB，kAB，

因为C在直线AB上，所以kAB＝0-(-y1)x1-(-x1)=y12x1=k2.

从而kPBk＋1＝2kPBkAB＋1＝2・y2-y1x2-x1・y2-(-y1)x2-(-x1)＋1

＝2y22-2y21x22-x21＋1＝(x22+2y22)-(x21+2y21)x22-x21=4-4x22-x21=0.

椭圆形面积计算公式篇6

关键词：数学公式；推导；教学

数学公式是数学命题的重要组成部分，是数学学习的重要内容，其掌握的程度直接影响学生对数学概念的理解和数学理论的应用． 对公式的理解必须从数学的认知特征以及学生学习心理出发，促进学生对数学公式和法则的学习及其意义的内化． 但一些教师不注重公式的推导或者推导不到位，导致学生对所学的公式一知半解，没有弄清楚公式的来龙去脉，应用起来只会生搬硬套，不能理解掌握这些数学公式的结构特征、推导过程，更不能理解渗透在这些公式、定理中的数学思想与数学方法，从而严重影响了他们对数学知识的掌握和数学能力的形成． 教师应充分关注公式教学，注重公式的推导过程．本文结合教学实践谈谈对公式推导的一点体会．

“点到直线的距离”公式的推导

已知点P0（x0，y0），直线l：Ax+By+C=0，如何求点P0到直线l的距离？

人教版《数学2》P106分析了最普通的思路：设点P0到直线l的垂线段为P0Q，垂足为Q，由P0Ql可知，直线P0Q的斜率为（A≠0），根据点斜式写出直线P0Q的方程，并由l与P0Q的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出P0Q，得到点P0到直线l的距离为P0Q．?摇

课本说“上述方法虽然思路十分自然，但具体运算较繁．” 既然思路十分自然，那应该是一种好的解法，

不能因为计算烦琐而被放弃，本节的重点是公式的推导，花一定的时间和精力来推导此公式是值得的，由已知可以得到直线P0Q的方程是y－y0=（x－x0），解方程组得到垂足Q，，进而求出垂线段的长P0Q=．

1． 改进

上述解法有一定的计算量，这时要引导学生进行优化，由两点距离公式的P0Q=得到启发，是否可以用整体的思想求出呢？让Q点坐标“设而不求”，把直线P0Q的方程写成B（x－x0）－A（y－y0）=0 ①，直线l的方程Ax+By+C=0写成A（x－x0）+B（y－y0）= －Ax0－By0－C ②，由①②两式平方和得（A2+B2）［（x－x0）2+（y－y0）2］=（Ax0+By0+C）2，即P0Q=． 《想法是怎样形成的》一文介绍有九种解法，把点到直线的距离问题转化为我们熟悉的问题：转化为解直角三角形问题、求三角形的高、求两点的距离、求线段的最小值、求数量积、求两平行线间的距离、求原点到直线的距离、求直线与圆相切的问题．

2． “椭圆标准方程”的推导

人教版选修2-1P39先由椭圆的定义得P=｛M|?摇MF1+MF2?摇=2a｝，即得+=2a（2a>2c）①，

化简成（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2）②，

再由椭圆的定义可知，2a>2c，即a2－c2>0，令a2－c2=b2（b>0），

得到+=1（a>b>0）③．

从逻辑上讲，上述过程无懈可击，但学生会认为，为什么要令a2－c2=b2（b>0），仅仅是为了使方程变得简洁优美吗？教学设计要利用“学生的最近发展区”，引导学生自己去提出问题、解决问题． 为此，我们可以这样设计：将圆x2+y2=a2（a>0）沿纵向“压扁”得到椭圆，圆的方程可以写成+=1（a>0），（几何画板演示“压扁”的过程），请对照圆和椭圆与坐标轴的四个交点的坐标，你能猜想椭圆的方程吗？学生能得到椭圆的方程如③式，这样从②式到③式的转换就变得非常自然，学生对令a2－c2=b2（b>0）也会觉得非常合理，同时也培养了学生的合情推理能力． 当然整个推导过程要让学生切身体验，体验具体的计算过程． 章建跃老师曾指出：“‘老师板演学生看’的做法，忘记了‘饭要自己亲自吃’的常识，剥夺了学生自主实践、独立思考的机会，结果肯定是讲过练过的不一定会，没有讲过的肯定不会”．

1. 改进

学生学习的困难是椭圆标准方程的推导过程，带根式的方程的化简学生感到困难，也是教学的难点，特别是由M适合的条件所列出的方程为两个根式的和等于一个非0常数的形式，化简时要进行两次平方，方程中字母超过3个，且次数高、项数多．由于初中代数学习中这方面的知识准备不够充分，所以教学中要注意引导学生分析这类方程化简的方法． 化简过程的思路自然、直观，但运算量较大，学生觉得比较麻烦，那么我们是否可以改进呢？

由①+=2a我们能否得到

+=？如果能得到，计算量就会小了很多，通过思考得恒等式：［（x+c）2+y2］－［（x－c）2+y2］=4cx④，

由④÷①得：-=⑤，

由⑤+①得：=a+⑥，

将⑥两边平方，整理得（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2）．

这样通过“分之有理化”去掉了一个根号，只要一次两边平方就可以化简．

反思

将①式移项后两边平方得

（x+c）2+y2=4a2－4a+（x－c）2+y2，

即a2－cx=a，我们可以得到=，式子表示点M到定点F2的距离，而式子－x表示点M到定直线x=的距离，故动点M又可以描述为平面内到一定点F的距离和到一定直线l（F不在l上）的距离的比是一定值的点的轨迹是椭圆． （这是P47例题6所揭示的椭圆“第二定义”）．

将②式移项整理得，a2y2=（a2－x2）·（a2－c2），当x≠±a时，我们有

=，即·=（定值），故动点M还可以描述为平面内到两定点（不包括这两点）连线斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆（除去两点）． 只有我们对数学知识有全面深刻的理解，了解知识的来龙去脉，才能使学生在运用知识时领会知识的要领，达到真正的掌握． 数学思想是数学的灵魂，它可以迁移到数学以外的各门学科和各种工作中去． 数学思想方法的教学必须贯彻明确性的原则． 每一个数学公式的推导，都体现出某种数学思想方法，教学中必须揭示推导公式过程中隐含的数学思想和方法，指出它的名称、内容和规律，并有意识地对学生进行训练．

椭圆形面积计算公式篇7

关键词 电子邮件；椭圆曲线；机密性；完整性；不可否认性

中图分类号：TP393 文献标识码：A 文章编号：1671—7597（2013）041-080-02

1 概述

互联网的普及促进了电子邮件的广泛应用，而电子邮件采用SMTP和POP3协议进行发送和接收，由于这两个协议不提供加密服务，所以在没有采用任何保护措施的情况下邮件是以明文进行传输。为了防止电子邮件在互联网传输过程中不被篡改、泄漏，也出现了很多安全电子邮件产品，但是随着计算机的计算能力和黑客技术水平的不断提高，这些产品也需要不断完善和更新。本文提出了一种基于椭圆曲线来提供电子邮件内容的安全性、完整性以及身份的不可否认的方案。

2 相关研究

目前的大多安全电子邮件产品都是以PGP和S/MIME为框架。

PGP是一个完整的电子邮件安全软件包，它并没有引入新技术，而只是将RSA、MD5、IDEA等算法来进行“先签名后加密”的结构进行组合，提供加密、鉴别、数字签名等服务，由此可见，其安全性完全取决于所采用算法的安全强度，这使得PGP侧重于个人使用。

S/MIME与PGP功能类似，都是对电子邮件提供加密和鉴别服务，不同之处在于S/MIME增加了认证机构提供了不可否认性，其安全性要比PGP强，S/MIME倾向于商业和团体使用的工业标准。但由于整个信任关系是树状结构，最上级证书具有很高权限，它能够获得用户电子邮件的信息，这也给电子邮件的安全带来了隐患。

PGP和S/MIME都是以RSA公钥算法为基础，RSA算法的安全性取决于大素数的因式分解。密钥的产生和加/解密过程的计算都非常复杂，但是增强其安全性的方法是需要增大密钥空间，这无疑给本来计算缓慢的RSA雪上加霜。因此，为了解决RSA算法在速度和安全性方面不能兼顾的问题，本方案采用椭圆曲线实现密钥的产生、数字签名、加/解密。

weierstrass方程y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6所确定的平面曲线E和一个叫做无穷远点的特殊点O的集合。在椭圆曲线密码体制中，采用了定义在有限域上的椭圆曲线，其方程为：y2=x3+ax+b（mod n），其中判别式4a3+27b2（mod n）≠0，x、y、a、b∈Fn，这里n是素数，a和b为两个小于n的非负整数。由此满足此方程的点（x，y）和一个无穷远点O就组成了椭圆曲线E。

椭圆曲线的安全性取决于有限域上的离散对数问题的难解性。椭圆曲线的离散对数问题是：已知素数n和椭圆曲线E，计算方程Q=kP，在已知k和P的情况下计算Q比较容易，但由根据Q和P计算k是非常困难的。

3 算法设计

3.1 密钥交换

采用椭圆曲线来实现Diffie-Hellman密钥交换，已知椭圆曲线Eq（a，b）和基点G，用户A和用户B之间完成密钥交换过程描述如下：

1）A选择一个小于n的整数nA作为A的私钥，计算公钥PA=nA×G；且PA∈Eq（a，b）。

2）B也同样选择一个小于n的整数nB作为B的私钥，并计算公钥PB=nB×G，且PB∈Eq（a，b）。

3）A产生的秘密钥KA=nA×PB，B产生秘密钥KB= nB×PA，容易得出：KA=KB=K，将其作为对称密钥。

3.2 数字签名与验证

采用椭圆曲线来实现DSA数字签名，可以防止发信人抵赖和信件在传输中途被篡改。其工作原理是使用私钥进行签名，公钥进行验证。发送方A首先对电子邮件信息m进行Hash运算得到数字摘要后再用A的私钥对摘要进行加密，形成数字签名，然后将m和加密后的摘要一起发送给接受方。接受方B将收到的签名通过A的公钥对摘要进行解密后得到摘要1，另外将收到的m通过Hash运算产生摘要2，判断两个摘要是否相等，相等则表示签名成功，否则签名失败。具体的签名和验证过程描述如下：

签名过程：

1）A对电子邮件信息m，采用SHA-1计算e=H（m）。

2）选择一个伪随机数k∈[1，n-1]，计算kP=（x1，y1）。

3）计算r=x1 mod n，若r=0，返回第（1）步。

4）计算s=k-1（e+dr）mod n，若s=0，返回第（1）步。

5）生成数字签名（r，s），并发送数字签名和电子邮件m。

验证过程：

1）验证者B方收到数字签名（r，s）和电子邮件m，对m生成摘要e=H（m）。

2）计算（x1，y1）=s-1eP+s-1rQ（mod n），如果x1=r，验证签名成功，否则签名无效。

3.3 椭圆曲线加/解密

像密钥交换系统一样，加/解密知道椭圆曲线Eq（a，b）和基点G。若A要将消息Pm加密后发送给B，其具体的通信过程描述如下：

1）A的私钥nA，公钥PA=nA×G；B的私钥nB，公钥PB=nB×G。

2）A随机选择一个正整数k，产生密文Cm={kG，Pm+kPB}，（该密文是一个点对）。

3）B收到密文Cm后，计算Pm+kPB-nB（kG）=Pm+k（nBG）-nB（kG）=Pm（对密文的第二点减去第一个点与B的私钥之积得到消息原文）。

A通过将Pm+kPB来伪装消息Pm，因为只有A知道k，所以除A外的任何人均不能除去伪装kPB；但是，A也在伪装后的消息中包含PB，使得已知私钥nB的B可以除去伪装得到消息明文。而攻击者要想得到消息明文的前提是从G和kG求出k，但这几乎是不可行的。

4 方案设计

结合3节介绍的椭圆曲线的密钥生成、签名、加/解密算法，发送方A向接收方B发送电子邮件的流程简单描述如下：

发送方A：

1）对电子邮件信息m使用SHA-1生成摘要H（m）。

2）生成对称密钥对K，对m进行加密，生成密文EK（m）。

3）使用A的私钥进行签名，生成SA（EK（m））。

4）对签名SA（EK（m））再采用B的公钥进行加密，生成EB（SA（EK（m）））。

5）把EK（M）和EB（SA（EK（m）））发送出去。

接收方B：

1）接到A发送的EK（M）和EB（SA（EK（m）））。

2）用自己的私钥进行解密，得到SA（EK（m））。

3）使用发送方A的公钥解密得到EK（m）。

4）使用对称密钥K对EK（m）进行解密得到m，即电子邮件明文。

5 安全性分析

研究表明解决椭圆曲线上的离散对数问题被认为是指数级难度，而RSA是亚指数级，由此可见，其安全性要比RSA好，并且它还具有密钥短的优势，事实证明，采用160比特位的椭圆曲线算法与1024比特位的RSA安全强度相等，因此，椭圆曲线算法比RSA计算量小。

6 结论

本方案将椭圆曲线运用到密钥交换、数字签名、加/解密中，所需要的密钥短，算法速度快、安全性强度高。从算法上增强了电子邮件的机密性、完整性、不可否认性。我相信，在不久的将来，椭圆曲线密码体制将逐步代替RSA，不仅在电子邮件方面，在其它领域也将具有更广泛的实用性。

参考文献

[1]Wongoo Lee，Jeakwang，Lee.Design and implementation of secure e-mail system using elliptic curve crptosystem[J]. Future Generation Computer Systems.2004.

[2]（美）William stallings著. 密码编码学与网络安全——原理与实践[M].孟庆树，王丽娜，等译.电子工业出版社.

[3]陈鲁生，沈世镒.现在密码学，（第二版），科学出版社.

[4]刘宏伟，谢维信，赵超.基于身份的安全邮件认证体系设计与分析[J].计算机科学，2008，35（2）：84-86.

[5]郑玉丽，刘翠香.电子邮件系统中PGP的改进研究[J].网络安全技术与应用，2010（7）：23-25.

椭圆形面积计算公式篇8

关键词：椭圆； 参数编程； 手工编程

一、椭圆参数编程

1.椭圆参数

在数控编程加工中，遇到由非圆曲线组成的工件轮廓或三维曲面轮廓时，可以用宏程序或使用参数编程方法来完成。当工件的切削轮廓是非圆曲面时，就不能直接用圆弧插补指令来编程。这时可以设想将这一段非圆弧曲线轮廓分为若干微小的线段，在这每一段微小的线段上做直线插补或圆弧插补来近似表示这一非圆弧曲面。本题所要加工的椭圆外形，可以将椭圆的中心设为工件坐标的原点，椭圆轮廓上点的坐标值可以用多种方法表示。

椭圆标准公式表示 x2/a2+y2/b2=1

椭圆参数方程表示 x=acosθ y=bsinθ

编程加工时，根据椭圆曲线精度要求，通过选择极角 θ的增量将椭圆分别为若干线段或圆弧，利用上述公式分别计算轮廓上点的坐标。本题从θ=90°开始，将椭圆分为180段线段（每段线段对应的θ角增加2），，每个循环切削一段，当θ

2.椭圆极角的计算

对于椭圆的表示方法可以用标准方程表示，也可以用参数方程表示。当采用参数方程进行程序的编制时，要清楚的知道椭圆的角度极角θ的变化量。但图样上所给的角度值一般不是编程所需的极角值，这个在编写程序的时候需注意。极角的表示方法（如图1）

以椭圆的圆心为圆心，分别以椭圆长半轴a和短半轴b为半径作辅助圆。E点为椭圆上的任意一点，G F为过E点分别作X轴 Y轴平行线与辅助圆的交点。在编写程序中需要知道椭圆曲线上'点”的位置。必须知道该点的极角，根据椭圆参数方程x=acosθ y=bsinθ，即可算出椭圆曲线上“点”的位置。很明显，该图中E点正确的坐标值a=acos58°，y=bsin58°，图样上所标注的45°并不是真正意义上的极角，而是58°。如果图样上没有给定极角时，用参数方程进行反推即可，θ=arccos/a， θ=arcsiny/b.

图1极角示意图

3.椭圆编程采用的宏程序指令

使用宏程序指令或参数编程指令编写加工程序时，循环判断条件的不同设定方法，可以产生不同的加工程序指令。

如FANUC系统中B类宏程序转移指令起到控制程序流向的作用。

格式：IF【条件表达式】GOTOn；

对于有条件转移语句，如果条件成立，则转到n程序段执行，如果条件不成立，则执行下一句程序。

二、实例加工

图2例题

1.刀具选择

键槽铣刀

键槽铣刀有两个齿，圆柱面和端面都有切削刃，端面延至中心，也可以把它看成立铣刀的一种。按国家标准规定，直柄键槽铣刀d=2～22mm，锥柄键槽铣刀d=14～50mm。键槽铣刀直径偏差有e8和d8两种。键槽铣刀的圆周切削刃仅是靠近端面的一小段长度内发生摩擦，重磨时，只需刃磨端面切削刃，因此重磨后铣刀直径不变。键槽铣刀铣出键槽时一般先轴向进给达到槽深，然后沿键槽方向铣出键槽全长。

2.刀具主要参数选择

轮廓铣削最常见的刀具为立铣刀，下面主要对立铣刀的尺寸和刀齿数量的选择进行说明。

（1）立铣刀的尺寸

轮廓铣削加工中，需要考虑的立铣刀尺寸因素包括：立铣刀直径、立铣刀长度、螺旋槽长度。

尽量选用直径大的立铣刀，因为直径大的刀具抗弯强度大，加工中不容易引起受力弯曲和振动，但注意立铣刀的刀具半径一定要小于零件内轮廓的最小曲率半径，一般取最小曲率半径的0.8～0.9倍。

（2）刀齿数量

选择立铣刀时，尤其是加工中等硬度工件材料时，刀齿数量的考虑应引起重视。

小直径或中等直径的立铣刀，这些立铣刀通常有2个、3个和4个齿（或更多的刀齿）。被加工工件材料类型和加工的性质往往是选择刀齿数量的决定因素。在加工塑性大的材料，如铝、镁等，为了避免产生积屑瘤，常用刀齿少的立铣刀，如两齿（两个螺旋槽）的立铣刀。立铣刀刀齿少，螺旋槽之间的容屑空间较大，可避免在切削量较大时产生积屑瘤。

3.工艺分析

椭圆形面积计算公式篇9

关键词:椭圆曲线密码系统;加密;解密;数字签名

中图分类号:F224-39文献标识码:A文章编号:1007-9599 (2010) 07-0000-02

Application Principle Elliptic curve Password System

Lu Zhibin

(Zhaoqing Science&Technology Polytechnic,Zhaoqing526114,China)

Abstract:With the third generation mobile communication network of active construction and launched various application services of the communication network has been regarded as the star industry of the future,future e-commerce has become an important medium for further promotion.However,with the network access channel to the direction of diversification,network security incidents are frequent.

In this paper,the application of elliptic curve cryptosystem principle of detailed analysis,allowing network users to a comprehensive understanding of elliptic curve cryptography encryption theory,the correct attitude toward the security of network communications.

Keywords:Elliptic curve password system;Encryption;Decryption; Digital signature

一、通讯网络安全状况

在通信网路中,不同网络之间的所有通信都是透过网络接口来传输的。由于网络接口是开放的,因此在通信过程中非常容易受到侵犯,任何人只要有适当的联网方式接入该设备就可以对其进行攻击。一般来说,网络通讯存在的不安全因素主要有非授权访问、假冒合法用户、数据完整性受破坏、干扰系统的正常运行、病毒和通讯线路被窃听等。为了提供更稳定的通讯环境,网络安全问题越来越受到人们的关注

为了改善在通讯网络中移动用户与网络端之间的密钥管理,椭圆曲线密码系统近年来已被广泛地制订于国际标准如ISO 11770-3、ANSI X9.62、IEEE P1363、FIPS 186-2等,与传统RSA及DSA的相关技术在相同安全程度相比,椭圆曲线公开密钥密码系统的优点是所需系统参数与密钥长度较少,且计算速度也较快。目前以模数为1024位RSA与DSA的安全程度为基准,椭圆曲线密码技术在质数场只需160位便可达到相同安全性。依据RSA实验室的发现可得知,在椭圆曲线密码系统里,长度为192位的密钥,其安全强度与RSA的1020位密钥相同,并如果使用暴力破解法破解这样长度的密钥,将同时需要114台电脑,170G的记忆体及费时300年的时间才可能找出选用的密钥。这使得椭圆曲线密码系统非常适合在开放性的有限资源环境下使用。

二、椭圆曲线密码系统的优势

椭圆曲线密码系统是由Koblitz和Miller两位学者所提出来的。在有限区间F范围内,给定椭圆曲线E上的两个点P及Q,当点P的值够大时,要找出一个整数x,使得Q =x.P是很困难的,此问题称为解椭圆曲线离散对数问题

在RSA与ElGamal系统中需要使用1024位的模数,才能达到足够的安全等级,而ECC只需要使用160位的模数即可。椭圆曲线密码系统的运算效率,相较于使用大指数运算的RSA机制而言,其所运算的时间少了许多。此外,在RSA系统中每一个使用者Ui,其分别需要产生一组Ni = pi.qi,而在椭圆曲线密码系统中,椭圆曲线方程式及其生成数是可以重复使用,也就是系统中心对所有使用者只需储存一份公开信息即可,不像RSA对每一个使用者都必须个别储存一份公开信息。

三、椭圆曲线密码系统的原理

下面将介绍椭圆曲线密码系统的数学原理,以及几位学者基于此一理论所提出的加/解密程序、数字签名/数字认证程序。在有限域Fp约束下,其中p为一个大质数,则椭圆曲线可定义成

所有满足方程式E :y2=x3+ax +b (x,y,a,b∈F)的点(x,y)所构成的集合。若方程式x3+ax +b没有重复的因式或是4a3+27b2≠0,则E :y2=x3+ax +b 能成为群。定义:

(1)椭圆曲线中存在着一个无限远的点O,但它并不在椭圆曲线上。

(2)P 的负点称为−P ,则点P =(x,y)对X坐标轴反射的点为

−P =(x,−y)。

(3)若椭圆曲线上点P 的域为n,则n是最小的正整数使得nP =O。

(4)椭圆曲线上的运算结果可以生成椭圆曲线上所有的点,但点O除外。

(5)E (Fp )为在Fp之下,由椭圆曲线E上全部的点所构成的集合。

(6)有两个点P=(x1,y1)∈E (Fp )及Q =(x2,y2)∈E(Fp ),且P ≠±Q,则P +Q =R =(x3,y3)其中:

,

(7)有两个点P=(x1,y1)∈E (Fp )且P≠-P,则P+P=2P=(x3,y3),其中: ,

(8)对所有的点(Fp)P∈E ,则P +O =O +P =P 、P +(−P)=O 、O =−O.

(9)分配律成立,即若,n∈F,则(m+n)P =mP +nP.

(10)交换律成立,即若p m,n∈F ,则m(nP)=mn(P),其中kP =P +...+P.

(一)椭圆曲线密码系统在数据加密中的应用原理

1.加密

(1)要加密的信息M转化成椭圆曲线上的点,使其满足

(2)随机选取一整数w∈[2,q − 2]。

(3)计算: ,

(4)送 至接收者。

2.解密

接收者计算

(二)椭圆曲线密码系统在数字签名中的应用原理

1.数字签名

M:是要进行数字签名的信息

(1)随机选取一整数w∈[2,q −2]。

(2)计算: ,

如果r=0,则回到步骤(1)。

(3)计算

如果s=0,则回到步骤(1)。

(4)发送数字签名(r,s)到接收者

2.数字认证

(1)计算

(2)如果 ,验证成功。

四、椭圆曲线密码系统的原理分析

加/解密机制

M:要加密的数据。

Ue :加密者。

U d :解密者。

(一)加密

(1)Ue (e≠d)将要加密的数据转换成椭圆曲线上的点,即

。

(2)U d 任选一个随机整数w∈[2,q −2],并计算Vi、C1 与C2 如下:

(3)Ue将1 C 与2 C 传送给解密者U d 。

(二)解密

(1)U d取得C1和C2 。

(2)U d 计算

问题的关键是如何将明文转换成椭圆曲线上的点,为了更清楚的说明加密和解密过程,本文使用椭圆曲线方程式 ,在有限域Fp=23约束下,则点P = (0, 1)是椭圆曲线方程式E的运算结果,其所生成的点如下:

P=(0,1) 11P= (10, 4)21P= (19, 20)

2P= (12, 15)12P= (17, 10)22P= (5, 17)

3P= (13, 3) 13P= (14, 20)23P= (8, 1)

4P= (22, 8) 14P= (18, 14)24P= (15, 22)

5P= (4, 4)15P= (9, 4)25P= (21, 11)

6P= (21, 12)16P= (9, 19)26P= (4, 19)

7P= (15, 1) 17P= (18, 9)27P= (22, 15)

8P= (8, 22) 18P= (14, 3)28P= (13, 20)

9P= (5, 6)19P= (17, 13)29P= (12, 8)

10P= (19, 3)20P= (10, 19)30P= (0, 22)

假设明文M = 986125(10),我们将其转换成为字符串值,因此明文会转换成M = 11110000110000001101(2)。然后将其以8位作为一个分割单位,使其转换成M = 00001111 00001100 00001101(2)。

在明文经过适当的转换之后,将明文取成 位,将其调节成合适传递的明文。至于所附加的1个字节,是用以表示明文转换后之点P 在y轴的坐标值yp ,而剩余的 字节将转换成点P上x轴的坐标值xp。最后合适转换成点的明文,将表示成M’ =Y ||X,其中字节Y =02。第一个转换成点的明文为M =02||0D,接着将 等于1个字节的X =0D转换成有限域的值。因此,得到点P上的xp=13,而点P上的y p =0。也就是明文M0 =0D 转换后的点为P = (13,0)。而这样的转换形式所表示出的点是经过压缩的,传输效率上会较快。

那么,究竟真正在椭圆曲线上所代表的点是哪个?首先,将xp的值代入椭圆曲线方程式E中得到y'=3。

五、总结

基于ECC的密钥机制,以设计出既有效率又安全的密钥系统,发展相关的密钥交换机制、加/解密机制、数字签名/数字认证机制以有效率地实现行动电子商务的安全需求,用户在进行任何一种安全机制时,可以减少对身份的验证与公钥的正确性做检查的动作;在安全度方面,基于椭圆曲线密码系统可以更少的位数来达到相同的安全等级,因此非常适合应用于电子商务的环境上。

参考文献:

[1]孟彦.椭圆曲线加密算法的研究与应用.合肥工业大学,2007

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[4]汪彩梅.安全椭圆曲线选取算法及其应用;扬州大学,2006

椭圆形面积计算公式篇10

1．　考纲解读：

（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素（两个点、一点和方向）．

（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．

（3）根据斜率判定两条直线平行或垂直，根据两条直线平行或垂直的位置关系求直线方程中参数的值．

（4）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）的特点和适用范围；根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；体会斜截式与一次函数的关系．

（5）了解二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．

（6）探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式；会求两条平行直线间的距离．

2．　考场对接：

通过2012年的考点统计可以看出，在高考题中，本节内容主要以选择题、填空题为主要题型，考查两直线的位置关系，属于基础题，难度不大．对直线与方程的考查，还渗透在平面解析几何的解答题中，与其他知识（圆与圆锥曲线）结合出题．

3．　经典例题：

（2012浙江）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（ ）

A．　充分不必要条件

B．　必要不充分条件

C．　充分必要条件

D．　既不充分也不必要条件

失分警示 本题属于基础题，解题时注意判断充分必要条件的步骤，即先验证充分性，再验证必要性，最后综合起来下结论．　在表述的时候要弄清顺序关系，以防发生概念错误．

方法突破 在研究充分和必要条件时，可先求一者的等价条件，再和另一者作比较．

完美答案 当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0显然平行；若直线l1与直线l2平行，则有■=■，解得a＝1或a＝-2．　故选A．

4．　命题趋势：

直线的方程、两直线的位置关系、距离问题一直是高考考查的热点问题，单纯考查直线的知识一般在选择题、填空题中出现；直线和其他知识的交汇问题一般出现在解答题中，有一定的难度．

1．　考纲解读：

（1）回顾确定圆的几何要素（圆心、半径，不在同一直线上的三个点等），在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；根据问题的条件，选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的一般方程和标准方程之间的关系，会进行互化．

（2）根据给定直线和圆的方程，判断直线与圆的位置关系（相交、相切、相离）；根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）．

（3）用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

（4）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“数”与“形”的对立和统一；初步掌握数形结合的思想方法在研究数学问题中的应用．

（5）通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；掌握空间两点间的距离公式及其应用．

2．　考场对接：

圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的重点，在2012年高考试题中，主要在选择题、填空题中考查直线与圆、圆与圆的位置关系，尤其是含参数的问题，考题基本上属于中低档难度的题．

3．　经典例题：

（2012天津）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y－2=0与圆（x－1）2+（y－1）2=1相切，则m+n的取值范围为（ ）

失分警示 本题属于中档题，考查直线与圆的位置关系，不等式的性质.　注意不要忽略了m，n∈R这个条件，在运用基本不等式时注意其成立的条件，求取值范围时注意不要扩大或缩小范围．

方法突破 由直线与圆相切的条件可以得到一个关于m，n的等式，观察等式的性质，利用基本不等式的形式消除差异，化为关于m+n的不等式，解出其取值范围即可．

完美答案 因为直线（m+1）x+（n+1）y－2=0与圆（x－1）2+（y－1）2=1相切，所以■=1，化简得mn=m+n+1.　又当m，n∈R有不等式mn≤■■成立，所以mn=m+n+1≤■，即（m+n）2－4（m+n）－4≥0，解得m+n≤2－2■或m+n≥2+2■.　故选D．

■ （2012江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2－8x+15=0，若直线y=kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_________．

失分警示 本题属于中档偏难题，解答本题时不要被题中的表面意思所迷惑，要透过现象看本质，认真审清题意，将题意中的关系进行合理的转化．

方法突破 数形结合理解题意，将两圆的位置关系化为圆C的圆心到直线y=kx－2的距离的取值范围问题去处理．

完美答案 圆C的方程可化为（x－4）2+y2=1，若直线y=kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则圆C上的点到直线上的点的距离的最小值小于或等于1，则圆心C（4，0）到直线y=kx－2的距离小于等或等于2.　所以■≤2，解得0≤k≤■，故k的最大值是■．

4．　命题趋势：

预计2013年高考仍将在选择题、填空题中考查圆方程的求解，直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，特别是含参数的位置关系问题仍将是考查的重点和热点．　而在解答题中，则有可能考查以圆为背景的综合试题，特别是圆与圆锥曲线的整合问题．

1．　考纲解读：

（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．

（2）掌握椭圆的定义和几何图形及标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．

2．　考场对接：

纵观2012年高考数学试题可以看出，选择题、填空题主要考查椭圆的定义、标准方程和几何性质的理解与应用，椭圆的离心率等相关知识，难度中等；解答题主要考查椭圆的标准方程、几何性质的应用，特别地，直线与椭圆的位置关系问题是考查的热点问题，且有一定的难度．

3．　经典例题：

失分警示 结合图形，审清题意，注意三角形哪个角是底角，细心运算，避免发生运算失误．

方法突破 求解圆锥曲线的离心率（或其范围）的关键是根据已知条件寻求一个关于a，b，c的等式（或不等）关系，再结合a，b，c的固有关系消去b，最后得到a，c的等式（或不等）关系，从而求得离心率（或其范围）．

4．　命题趋势：

椭圆是命题的热点内容，预计2013年的高考仍将在选择题、填空题中考查椭圆的标准方程、离心率的求解等知识，难度中等；将在解答题中重点考查直线与椭圆的位置关系问题，可能还会出现一些创新题型，如新定义题型、探索性问题、定点定值问题等，此类问题难度较大．同时，会加强椭圆与圆，椭圆与双曲线，椭圆与抛物线等知识的交汇问题的考查力度．

1．　考纲解读：

了解双曲线的定义、图形和标准方程，会求双曲线的标准方程；会用双曲线的标准方程处理一些简单的实际问题；了解双曲线的简单几何性质．

2．　考场对接：

分析2012年高考试题可以看出，双曲线的考题基本上以选择题、填空题为主，主要考查双曲线的定义、方程和简单几何性质的应用，且出现了双曲线和圆、椭圆、抛物线等的整合问题，总体难度中等．

3．　经典例题：

（2012浙江）如图1，F1，F2分别是双曲线C：■－■=1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．　若MF2＝F1F2，则C的离心率是（ ）

失分警示 本题的解题思路并不难得出，但运算量较大，在认真审题的前提下避免发生运算错误，同时注意双曲线的离心率的取值范围，谨防增根．

方法突破 本题考查双曲线的几何性质的应用，离心率的求解，突破的关键是正确求出P，Q两点的坐标（用a，b，c表示），再求出PQ的垂直平分线的方程，进而用a，b，c表示出M的坐标，由MF2＝F1F2列出等式，最终化为a，c的关系．

4．　命题趋势：

预计2013年高考仍将在选择题、填空题中考查双曲线的标准方程的求法、定义和几何性质的应用，其中离心率的求解和渐近线问题是考查的热点．　此外，仍会加强将双曲线和其他知识（如圆、椭圆、抛物线）进行交汇出题，题目难度中等偏低．

1．　考纲解读：

（1）掌握抛物线的定义、图形和标准方程，会求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单性质，会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．

（2）了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；了解求曲线方程的一般步骤，能求一些简单曲线的方程；掌握求直线和圆锥曲线的交点坐标的方法；进一步体会数形结合思想．

2．　考场对接：

透过2012年高考数学试题可以看出，抛物线是考查的热点问题，考题既在选择题、填空题中出现，也在解答题中出现．选择题、填空题重点考查抛物线的标准方程的求法，抛物线的定义和性质的应用，以及抛物线在实际问题中的应用，同时还出现了抛物线与双曲线的交汇问题，难度中等．　解答题重点考查直线与抛物线的位置关系，抛物线与其他知识（如圆、不等式等）的整合问题，且出现了探索性问题，难度较大．而曲线与方程的考查则渗透在以上各大知识板块之中．

3．　经典例题：

（2012安徽）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若AF=3，则AOB的面积为（ ）

失分警示 本题属于中档题，有一定的思维量，认真审题，找准关系，运算准确，避免发生思维受阻和运算错误．

方法突破 显然AB是抛物线的焦点弦，且已知AF=3，若结合抛物线的定义，则可以求点A的坐标，从而直线AB的方程便可以得到解决，具体见如下的解法一．　本题也可以设角度（见如下的解法二），通过三角关系来表示线段的长度，从而求出三角形的两边及其夹角的正弦值，再求面积．

（1）求抛物线C的方程；

（2）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若点M的横坐标为■，直线l：y=kx+■与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当■≤k≤2时，AB2+DE2的最小值．

失分警示 本题难度较大，综合性强，涉及的知识点多，属于直线、圆和抛物线的综合问题，解答时要注意数形结合思想的使用，审清题意.　解答第（1）小题难度不算大，但第（2）小题是一个探索性问题，有较大的运算量，需要扎实的运算功底，第（3）小题将直线、圆和圆锥曲线综合起来，难度较大，需要较强的分析问题和解决问题的能力．

方法突破 第（1）小题结合抛物线的定义以及圆的相关性质可以列出一个关于p的方程，求解即可；第（2）小题可先假设存在点M，利用抛物线的切线斜率和直线MQ的斜率相等列等式求解；第（3）小题的解题目标是将AB2+DE2表示为关于k的函数，从而化为求函数的最值问题去处理，但求两线段的长度需要用到直线与圆锥曲线相交弦长公式AB=■，以及直线与圆的相交弦长公式DE=2■等．

完美答案 （1）x2=2y．