椭圆形面积十篇

椭圆形面积篇1

一、焦点三角形面积计算

结论1：已知椭圆方程为 + =1（a>b>0），两焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF1F2中∠F1PF2=θ，则SF1PF2=b2tan 。

证明：（2c）2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ

=（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1||PF2|（1+cosθ）

例1、已知P是椭圆 +y2=1的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=120°，则PF1F2的面积是_____。

由椭圆的焦点三角面积公式，这里θ=120°， =60°得PF1F2的面积是 3。

例2、椭圆 + =1的两个焦点分别是F1、F2，点P在双曲线上，且直线PF1、PF2倾斜角之差为 ，则PF1F2的面积为（ ）。

A、3 3B、C、16 3D、9 3

解：由三角形外角性质可得∠F1PF2= ，即θ= ，再由椭圆的焦点三角面积公式，S=b2tan =9tan =3 3。故选A。

例3、在椭圆 + =1上求一点P，使它与两焦点F1、F2的连线互相垂直。

解：由椭圆的焦点三角面积公式，其中θ= ，S=b2tan 20= ×2c×|x0|。

|x0|=4c=5，x0是点P的横坐标，将|x0|=4代入椭圆方程得|y0|=3，故P点的坐标为（4，3），（4，-3），（-4，3），（-4，-3）。

二、焦点三角形中张角计算

结论2：已知椭圆方程为 + =1（a>b>0），左右两焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF1F2，若∠F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点。

证明：法1：设P（x0，y0）,由焦半径公式可知：|PF1|=a+ex0，|PF1|=a-ex0。

x0=0时cosθ最小，P为椭圆短轴的端点。

法2：设P（x0，y0）则SF1PF2= |F1F2|・|y0|=c・|y0|=b2・tantan = 。

又|y0|≤b，0< < ，y0=±b，tan 最大，即张角θ最大 ，P为椭圆短轴的端点时，张角θ最大。

由这两种方法可以说明椭圆上的点P对两焦点张角变化情况。当P在长轴右端点，θ最小为0，P在向左运动过程中，角θ随之变大，运动到短轴端点达到最大。由对称性知P再向左运动，角θ又逐渐变小，P到达长轴左端点角θ为0。当椭圆的焦点在y轴结论2同样成立。

例1、F1，F2是椭圆C： + =1的焦点在C上满足PF1F2的点P的个数为______。

解：当点P在短轴上时sin = => > ，θ> 由结论2和对称性可知点P有4个。

例2、椭圆 + =1的焦点为F1、F2，点P为其上一个动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的横坐标的取值范围。

解：

法1SF1PF2= |F1F2|・|y0|=c・|y0|=b2・tan

|y0|=a2=9，b2=4，c= 5|y0|> =,y2> 即4（1- ）>

-

法2：以F1F2为直径的圆上的点为Q时，∠F1QF2= ，于是P在以F1F2为直径的圆的内部，同时P在椭圆上。易知以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=5。

坐标为±。

所以点P横坐标取值范围是－

例3，椭圆 + =1的焦点为F1、F2，点P为其上一个动点，当∠F1PF2大于 时，求点P的横坐标的取值范围。

椭圆形面积篇2

【关键词】类比思想;数学;圆;椭圆;类比教学

数学思想一直是中学数学教学的魁宝，是数学教学三重境界的最高境界。从新课程实施更多的自主学习、积极建构的理念来说，数学思想成为指导学生进一步前进的阶梯.笔者认为，数学思想有不同的种类区分，对于学生而言比较重要的思想如数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等在初中后期教学阶段已经开始积极渗透，这些对于学生解决数学问题有着较为重要的作用，可以称之为知识型思想方法。

另一方面来说，数学思想方法还有下面这些，如特殊与一般、具体与抽象、转化与化归、类比等等，这些思想方法明显比上述知识型的思想方法来得更为高端。为什么这么说？笔者以为，知识型的思想方法固然重要，但其依旧只解决了就题论题的层面，无法给予学生更多的学习能力上的提高，而特殊与一般、具体与抽象、转化与化归、类比等等思想方法却在更高的层面引领学生进行思维的开发，比如：从特殊到一般的思想可以帮助学生认识抽象问题的具体解决，可以采用先尝试特殊进而总结归纳一般的探索之路;类比思想可以用来将未知范畴内的问题通过已经所掌握知识比较解决，这是一种思想、意识形态上的提高.因此，本文将从类比思想的视角去审视教学的一些探索，以圆与椭圆的类比进行尝试，与大家交流。

1.圆和椭圆类比伸缩的认识

众所周知椭圆 + =1（a>b>0）可以看作是圆x2+y2=a2在纵向均匀压缩为原来的 倍，横向不变得到的――这就是“纵向伸缩变换”。（本文研究的椭圆均为焦点在x轴，焦点在y轴的类似）记：已知圆上点P（x，y）变换成P′（x′，y′），纵向变换为f：x=x′y= y′，显然这是一个一一映射（可逆的），且由于P，P′横坐标相等，因此PP′连线必垂直x轴。同理：有横向伸缩变换。

2.圆和椭圆类比伸缩的性质

性质1：f将直线变换为直线，且变换后直线斜率为原来直线斜率的 倍。

简证：设原直线斜为y=kx+m，经过变换后直线为 y′=kx′+m，即斜率k′= k。

说明：由此可知，变换前后两直线平行性保持不变。

性质2：f将分线段AB为定比λ的点P变换成分线段A′B′为同一分比的点P′。

说明：由定比分点公式可知证明易，不赘述.此性质说明变换前后同一直线上的点分线段所成的比是不会改变的。

性质3：一个面积为的三角形经变换后的三角形面积S′= S。

简证：设A1A2A3三个顶点坐标分别为Ai（xi，yi），则xi=xi′，yi=yi′（i=1，2，3），所以：

S′= x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1= ・ x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1= S。

说明：此性质可以推广到多边形的面积，即变换前后两个多边形面积之比为 = 。

3.圆和椭圆类比伸缩的运用

例1：已知椭圆 + =1（a>b>0），A，B分别为椭圆左右顶点，P为椭圆上任意异于A，B的点.求证：KAP・KBP是定值。

图1

证明：把纵坐标变换为原来的 倍，则椭圆变成半径为a的圆，如图1，已知圆中KAP・KBP=-1，由性质1得：kAP・kBP= KAP・ KBP=- 。（本性质可以再椭圆中进行证明，但是运算量比通过伸缩变换证明稍显复杂一些。）

例2：已知椭圆 + =1（a>b>0），P为椭圆上任意异于椭圆顶点的点，过P作倾斜角互补的两直线PA，PB交椭圆于A，B两点，求证：只要P点给定，则kAB为定值。

证明：把纵坐标变换为原来的 倍，则椭圆变成半径为a的圆，如图2，经过同样的伸缩变换，圆中

图2

两直线斜率KPA+KPB=0，在圆中作P关于x轴对称点D（恰在圆O上），则∠APD=∠BPD，故 = ，连接AB，OD，易知ODAB，显然KAB=- ，只要P点给定，即可知KAB为定值，由性质1，椭圆中kAB= KAB为定值。

注： 高三复习卷中时常出现为定点，求kAB为定值的试题，笔者将试题改编为只要P点坐标可知的任意点，均可求证kAB为定值.可以想象，任意的点P代数计算较繁琐，利用椭圆和圆的伸缩变换达到了简化计算的效果。

例3：点P（x0，y0）在椭圆 + =1（a>b>0）上，x0=acosβ，y0=bsinβ（0<β< ），直线l2与直线l1： + =1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ。

求证：点是椭圆 + =1与直线l1的唯一交点。（安徽高考数学09年理科20）

分析：问题的实质就是证明直线l1是椭圆在点P的切线方程。由过圆x2+y2=a2上一点（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=a2，可知利用伸缩变换得到直线l1： + =1即为过点P的椭圆切线。

证明：把纵坐标变换为原来的 倍，则椭圆变成半径为a的圆，则过圆上点Q（X0，Y0）（Q为P的一一对应点）的切线方程为：X0x+Y0y=a2，又伸缩变换f：X=xY= y，代入得x0x+ y0 y=a2，整理得： + =1即为直线l1的方程.因此，l1就是椭圆在点P的切线方程。证毕。

例4 求椭圆 + =1（a>b>0）内接n边形面积的最大值.

解析：把纵坐标变换为原来的 倍，则椭圆变成半径为a的圆，如图3，可知在圆中：

图3

记∠AiOAi+1=θ（1≤i≤n-1），∠AnOA1=θn，且 θi=2π，S=SA A …A = a2（ sinθi）…（*），因为f（θ）=sinθ在（0，π）上为凸函数，由琴声不等式（*）≤ a2（n・sin ）= a2・sin （当且仅当θ1=θ2=…θn= 等号成立），由性质3，椭圆中内接n边形面积S′= ・S≤ ・sin ，即为椭圆中内接n边形面积最大值。

4.类比教学探索的思考

上述运用类比性质进行的圆和椭圆问题的探索，是笔者教学中一些数学问题积累的总结。通过研究，笔者发现椭圆是圆的更为一般化的形态和情形。用一个形象的比喻来说，对于圆的研究是最基本、最为对称的图形深入思考，犹如三角函数中最基本的函数模型，那么类比研究经过伸缩变换的三角函数模型恰如椭圆般的图形，这种变换关系存在于数学知识的很多知识之中。

本文所阐述的是圆和椭圆的类比伸缩教学研究，其实从更高的角度而言，笔者思考了一个问题：从圆锥曲线第二定义的角度来说，椭圆、双曲线、抛物线本质是一个统一体，只不过是其到定点的距离与到定直线距离比值不同的曲线形态，那么圆既然可以类比到椭圆，那么圆应该也可以突破更高的限制（诸如曲线不需要封闭之类特性），类比得到相对应的双曲线、抛物线中去，得到相应的数学性质和更高的研究突破能力，值得有兴趣的教师做进一步的思考。

通过类比教学研究，笔者也有几点不成熟的思考与大家交流：

（1）上述几个例题，有少数来自学生的提出和探索，笔者觉得学生对于感兴趣的数学问题研究兴趣和热情远远在教师之上。教师的作用更在于进行良好的引导，给予这样的学生更宽松的学习环境，既提高了学生学习的兴趣，也有助于学生研究问题能力的提高。

（2）意识类的思想方法教学要更注重在教学中的渗透，尤其是特殊与一般、类比思想、转化与化归思想等等。这些思想看似无形， 却每时每刻出现在学生待解决的数学问题中，通过引导学生利用学过的指数类比解决未知范畴内的知识，这正是努力培养学生自主探索和积极建构的有效途径，而且从一定程度上对于教师的专业化水平提高有较为明显的帮助。

【参考文献】

[1]杨结东.深化分析培养能力[J].数学通报，2010.9

[2]张琴竽.活用伸缩变换巧解椭圆问题[J].中国数学教育（高中版），2009.10

椭圆形面积篇3

关键词： 椭圆 定义 张角 焦点 余弦定理

高中椭圆教学中，我们常会讨论与椭圆上点有关的问题，这时常会想到椭圆的定义.椭圆也是图形，有时通过图形的几何性质我们能很快地将问题求解，椭圆的定义应用很多，本文着重讨论某类张角的有关问题，并以其为基础进行题型的设置.

问题一：已知F、F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PFPF.若PFF的面积为9，则b＝ .

解析：设|PF|=m，|PF|=n，则由椭圆定义及勾股定理得：m+n=2am+n=4c

2mn=（m+n）-（m+n）=4a-4c=4b（其中b=a-c）

S＝mn＝b＝9

b＝3

本题巧用椭圆定义及直角三角形的勾股定理得到m，n的关系式，然后通过配方恰好发现三角形PFF的面积可用b表示，从而达到求b的目的.

（变式1）上题中若把条件“PFPF”更改为“∠FPF=”又作何解？

解析：设|PF|=m，|PF|=n，则由椭圆定义得：m+n=2a，

又在FPF中，由余弦定理得4c=m+n-2mncos=（m+n）-3mn=4a-3mn.

3mn=4a-4c=4b

S=mnsin=mn=b

S=9

b=3

细想一下，其实勾股定理只是余弦定理的特殊情况而已，利用上述方法即可设计一些与之有关的题型，如：

1.点P在椭圆C：+=1上，F，F是椭圆C的两个焦点，若∠FPF=，（1）求S;（2）求点P的坐标.

2.已知椭圆C：+=1，F，F分别是椭圆C的左，右焦点，过椭圆右焦点F作x轴的垂线与椭圆交于两点A，B，若FAB为等边三角形，求椭圆C的方程.

问题二：已知椭圆+=1（a＞b＞0），设Q是椭圆上任意一点，F，F分别是左、右焦点，求点P在何处时，∠FQF最大.

解析：设|FQ|=r，|FQ|=r，∠FQF=θ

r+r=2a，又|FF|=2c

cosθ===-1≥-1=-1

当且仅当r=r时，cosθ取最小值-1.点P在椭圆的短轴端点时，∠FQF最大.

此外，当点P在长轴端点时，∠FQF=0，则当点P从短轴端点沿着椭圆向长轴端点处移动时，∠FQF的变化情况又如何？

由上解得：r=2a-r，cosθ=-1=-1=-1，（a-c≤r≤a+c）

由复合函数性质可得：

r∈（a-c，a）时，θ随r的增大而增大；

r∈（a，a+c）时，θ随r的增大而减小.

r=a时，P在短轴端点处，此时θ最大；

r=a±c时，P在长轴端点处，此时θ最小为0.

故产生如下结论：当点P从短轴端点沿着椭圆向长轴端点处移动时∠FQF越来越小.

P在短轴端点处，此时θ最大；P在长轴端点处，此时θ最小.

下面根据上述结论即可设计如下一些题型.（以下例题中的F，F分别为对应椭圆的左右焦点；a＞b＞0）

1.若椭圆C的方程是+=1，点M在C上，求∠FMF的最大值.

解：由上述结论可得，当点M在短轴端点处时，∠FMF最大.

此时cos∠OMF==

∠FMF=2∠OMF=60°（O为坐标原点）

2.已知椭圆C的方程+=1，若存在曲线C上一点P使得∠FPF=，求椭圆离心率e的范围.

解析：此题可从最大角入手，P在短轴端点处∠FPF最大，此时sin∠OPF=≥sin=.

椭圆形面积篇4

关键词：椭圆；三角形面积；最大值

近日，笔者在奉贤中学上了一节《椭圆中的最值问题》的课，在讲解完一个例题之后，学生的一句反问让笔者对例题进行了推广，在探索的过程中，得到了椭圆中一类最值问题的一般结论．

题目为：已知椭圆C：+=1，斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，求AOB面积的最大值．

在课堂上，学生的方法很多，大致可分为以下三种．

方法一：设直线l为y=x+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），首先保证直线与椭圆C有两个交点，即Δ>0，得0

SAOB=ABh=?≤?=．

方法二：设直线l为y=x+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l在y轴上的截距为m，故SAOB=mx1-x2，通过计算可得AOB面积的最大值为．

方法三：设直线l为y=x+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l在x轴上的截距为m，故S=my1-y2，通过计算可得AOB面积的最大值为．

这时有学生提出疑问：是否对于任意的一条直线l交上述椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，都有AOB面积的最大值呢？

看到学生们的兴趣高涨，笔者便和学生们一起探索这个问题：

推广1：已知椭圆C：+=1，任意的一条直线l交上述椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，则AOB面积的最大值为．

证明：①若直线l的斜率k不存在，设该直线为x=n（－2

②若直线l的斜率k存在，设该直线为y=kx+m（k≠0，m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），此时直线l在x轴上的截距为－，故得SAOB=y1-y2． 又y1-y2=k?x1-x2，得SAOB=mx1-x2，将y=kx+m代入+=1，整理得，（3+4k2）x2+8kmx+4k2－12=0，由于直线与椭圆C有两个交点，即Δ>0，得0

SAOB=mx1-x2

故当m2=时，AOB的面积取到最大值，为．

看到我们提出的第一个疑问得到了解决，学生们的积极性也进一步高涨，这时学生开始思考，是否对于一般的椭圆，也有类似的结论呢？

推广2：已知椭圆C：+=1，（a>b>0），任意的一条直线l交上述椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，则AOB面积的最大值为．

证明：①若直线l的斜率k不存在，设该直线为x=n（－a

②若直线l的斜率k存在，设该直线为y=kx+m（k≠0，m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），此时直线l在x轴上的截距为－，故得SAOB=y1-y2． 又y1-y2=k?x1-x2，得SAOB=mx1-x2，将y=kx+m代入+=1，整理得，（b2+a2k2）x2+2mka2x+a2m2－a2b2=0． 由于直线与椭圆C有两个交点，即Δ>0，得0

椭圆形面积篇5

最值问题在中学数学教材中占有相当重要的地位，而与“不等式”“函数值域”都有着密切联系。中学中我们学习了不少关于求最值的方法。本文利用我们学过的知识把复数,几何等知识融合在一起给出了求最值的几种巧妙方法，诣在归纳总结，给以后学习最值问题提供参考。

1.用比较半径法求最值。

此方法主要是从代换的角度出发，巧妙应用圆的半径来探索求最值。

这类题目的特点是所求函数和限制条件一般由一个是二次曲线形式的。利用坐标变换把二次曲线变成圆，再把目标函数变为直线，因在同一个坐标系内直线过圆，所以圆上的点到直线的距离小于等于半径。根据公式.

求得最值。

例1.已知求函数 的最值。

分析:此题限制条件是一个二次曲线—椭圆。目标函数为一直线，若令：

则恰能得到一个圆的方程，而目标函数12X-5Y是一过圆心的直线,这些恰好符合我们给出的条件,所以我们不妨用此方法去解.

解：令圆: 。

如图：显然圆上任一点P(X,Y)到直

线 ：12X-5Y=0的距离

即

例2.已知x+3y-10=0,求函数 的最小值。

解：设 则

直线 方程：

如图：圆：

从而本题变为求圆半径的最小值。

当直线 与圆相切时圆的半径取得最小值。

即： 故 .

1.切线法求最值。

①利用“直线关系法”求最值。

这类题目的特点是点 在平面上的二次曲线域（包括边界）上运动，求目标函数 的最值。此解法关键是把约束条件恒等变形，化成二次曲线上或形内的适合条件，再令 （ 为非零实数），转化成求 的最值，则可求出 的最值。

这种思路主要应用了斜率不变的直线系来解决问题。

例1. 若点 的坐标适合 求 。

分析:由题我们可以看出 所适合的条件是在这个圆形区域内,所求函数恰好为一直线,故我们可以用此方法去解.

解： 变形为，适合条件的点 为圆周上和圆内的点。

设目标函数 ，这是斜率为 的平行直线系，如图：

此题转化为求斜率为的直线与圆相切的方程。

又因为我们有

代入则得

即： ，解之得

所以 的最大值是5，最小值是 。

②斜率法求最值。

这类题的特点是所求目标函数一般为分式,如根据 的关系我们把它写成是二次曲线上点,从而这个式子可以看做是点(a,b)到曲线上任一点的斜率的最值,在根据二次曲线的切线求得最值 .此法能形象地说明该式最值的几何意义。解法关键是先把目标函数化成二次曲线上任意一点与曲线外一点（定点）连线的斜率k，再根据题意画出图形，构造切线，从而求得最值。

例1.若x为实数，求的最值。

解：目标函数可看作椭圆上任一点 ，与定点（4，3）连线的斜率 。如图：

设切线为 ，则，

解得

所以

备注：1.直线 与圆 相切充要条件：

2.直线 与椭圆 相切的充要条件：

。

3.直线 双曲线相切的充要条件：

。

4.直线 与抛物线 相切的充要条件：

3.用“动点求导法”求最值

这类题一般是以定线段为底某一曲线上的动点为顶点的三角形面积的最值问题.解此类提的一般步骤如下:

(1) 用导数法求出曲线到定线段距离的极值.

(2) 计算极值点和曲线端点到定线段的距离,并加以比较得出距离的最大值或最小值.

(3) 用三角形面积公式计算出三角形面积 的最值.

例1.椭圆 上有两点

及动点C，求椭圆内接 的最大面积。

解：设椭圆上点 到AB的距离取极值，

则过点C的切线AB平行，将方程

两边对y求导得： ，

所以切线斜率

以此代入椭圆方程，求得C点的坐标 和 。

直线AB的方程为： ,点 和

到AB的距离：

所以 ， 。

所以 最大面积为 。

4.令“坐标法”求最值

这类题目的特点是目标函数为若干个二次根式之和.解法关键是精心设计各点的坐标,使以原点为起点相邻两点的距离之和恰好构成目标函数,从而起点与终点间的距离正好是其最小值.

例1.若 为非负实数，求 的最小值。

解：设点 ，点 ，点 则

，由图可看出从O 到C的线段中，

OC 为最短的，即：

所以

所以得： 的最小值是 。

5.利用“参数法”求最值。

此方法主要是利用圆锥曲线的参数方程把所求问题转化为三角函数,最后再利用三角函数的最值来求出所要求的问题.

这类题一般为求一个闭合的圆锥曲线的内接矩形的面积最值问题.如椭圆,圆等.

例1:求椭圆的内接矩形的最大面积

解:如图:令

则椭圆方程变为

将此方程转化为参数方程:

那么第一象限内椭圆上一点C的坐标

为 则内接矩形的面积

是:

当 时

又 图一边为图二相当于对椭圆进行了平移变换,故椭圆的大小,形状完全没有变化,所以其内接矩形的面积也不变.

椭圆内界矩形的最大面积是

参考文献：

[1]吴高林等.双曲线切线存在性及引向[J].数学通报，1983，（9）

[2]何亚魂.一类最值问题的解法[J].湖南城市学院学报，1988，（5）

[3]益阳师专学院报（自然科学版）[J].1988，（1）

椭圆形面积篇6

为了方便大家学习研究，我们先来介绍椭圆共轭直径相关的定义.

定义1 连接椭圆上任意两点的线段叫做弦.

定义2 经过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径.

定义3 平行于椭圆一条直径的弦的中点的轨迹和该直径叫做椭圆的一对共轭直径.

性质 已知AB，CD是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一对共轭直径，设A（x1，y1），C（x2，y2），则x1x2a2+y1y2b2=0.

图1

证明 如图1，设EF是与直径AB平行的任意一条弦，它与直径CD相交于P（x0，y0）点，则点P是线段EF的中点.

设E（x3，y3），F（x4，y4），则x23a2+y23b2=1， ①

x24a2+y24b2=1. ②

由①-②得

x23-x24a2=-y23-y24b2.

当x23-x24≠0时，y23-y24x23-x24=-b2a2.

直线EF与直线CD的斜率之积为kEF・kCD=y3-y4x3-x4・y0x0=y3-y4x3-x4・y3+y4x3+x4=y23-y24x23-x24=-b2a2.

即kAB・kCD=-b2a2，y1y2x1x2=-b2a2.

所以x1x2a2+y1y2b2=0.

当x23-x24=0时，即x3=x4或x3=-x4.

当x3=x4时，共轭直径AB，CD分别成为椭圆的短轴和长轴;当x3=-x4时，共轭直径AB，CD分别成为椭圆的长轴和短轴.显然有x1x2a2+y1y2b2=0.所以总有x1x2a2+y1y2b2=0.

从上面的证明可以看到，当一对共轭直径所在直线的斜率都存在时，它们的斜率之积为-b2a2;当一直径所在直线斜率为0，另一直径所在直线斜率不存在.这样我们可以把椭圆的共轭直径定义为：

定义4 （1）若椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两条直径的斜率之积为-b2a2，则称它们是椭圆的一对共轭直径.（2）当一直径所在直线斜率为0，另一直径所在直线斜率不存在，即椭圆的长轴和短轴，也把它们称为一对共轭直径.

反之，若AB，CD是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的直径，且x1x2a2+y1y2b2=0，可以证明AB，CD是椭圆的一对共轭直径.这样我们还可以把椭圆的共轭直径定义为：

定义5 若AB，CD是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的直径，设A（x1，y1），C（x2，y2），且x1x2a2+y1y2b2=0，则称AB，CD是椭圆的一对共轭直径.

由于现行的中学课本中没有椭圆共轭直径的定义，高考和竞赛的试题中往往通过直线的斜率之积或者坐标来反映.

命题1 A，B，M是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的三点.若OM=λOA+μOB，且A，B是一对共轭直径的两个端点，则λ2+μ2=1.

证明 设A（x1，y1），B（x2，y2），由OM=λOA+μOB，得到M（λx1+μx2，λy1+μy2）.

因为M在椭圆x2a2+y2b2=1上，所以（λx1+μx2）2a2+（λy1+μy2）2b2=1，即λ2（x21a2+y21b2）+μ2（x22a2+y22b2）+2λμ（x1x2a2+y1y2b2）=1.因为A，B在椭圆x2a2+y2b2=1上，所以x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1.所以λ2+μ2+2λμ（x1x2a2+y1y2b2）=1.由共轭直径的性质知x1x2a2+y1y2b2=0，所以λ2+μ2=1.

命题2 A，B是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一对共轭直径的两个端点，若ON=pOA+qOB（p，q是非零常数），则动点N的轨迹方程是x2a2+y2b2=p2+q2.

证明 设A（x1，y1），B（x2，y2），由共轭直径的性质知x1x2a2+y1y2b2=0.因为A，B在椭圆x2a2+y2b2=1上，所以x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1.由ON=pOA+qOB得N（px1+qx2，py1+qy2）.所以（px1+qx2）2a2+（py1+qy2）2b2=p2（x21a2+y21b2）+q2（x22a2+y22b2）+2pq（x1x2a2+y1y2b2）=p2+q2.所以动点N的轨迹方程是x2a2+y2b2=p2+q2.

命题3 A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一对共轭直径的两个端点，则

（1）x21+x22=a2;

（2）y21+y22=b2;

（3）x1y1+x2y2=0;

（4）x1y2-x2y1=ab;

（5）OA2+OB2=a2+b2;

（6）AOB的面积SAOB=12ab.

图2

证明 如图2，（1）由共轭直径的性质知x1x2a2+y1y2b2=0，即a2y1y2=-b2x1x2.

因为点A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C上，

所以b2x21+a2y21=a2b2， ①

b2x22+a2y22=a2b2， ②

即b2x21-a2b2=-a2y21， ③

b2x22-a2b2=-a2y22. ④

由③×④得b4（x21-a2）（x22-a2）=a4y21y22=b4x21x22，所以x21+x22=a2.

（2）由①+②得b2（x21+x22）+a2（y21+y22）=2a2b2，所以y21+y22=b2.

（3）因为（x1y1+x2y2）2=x21y21+x22y22+2x1x2y1y2=b2x21（1-x21a2）+b2x22（1-x22a2）-2b2a2x21x22

=b2（x21+x22）-b2a2（x21+x22）2=a2b2-b2a2a4=0，所以x1y1+x2y2=0.

（4）因为（x1y2-x2y1）2+（x1y1+x2y2）2=（x21+x22）・（y21+y22），所以（x1y2-x2y1）2=a2b2，x1y2-x2y1=ab.

（5）OA2+OB2=x21+y21+x22+y22=

（x21+x22）+（y21+y22）=a2+b2.

（6）SAOB=12x21+y21x22+y22sin∠AOB

=12x21+y21・x22+y22・1-cos2∠AOB

=12x21+y21・x22+y22・1-（x1x2+y1y2）2（x21+y21）（x22+y22）

=12（x21+y21）（x22+y22）-（x1x2+y1y2）2

=12（x1y2-x2y1）2

=12x1y2-x2y1=12ab.

本文得到的三个命题是椭圆中的基本的命题，用途十分广泛，下举例说明.

图3

例1 如图3，若AB、CD是过椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中心的两条直线，且直线AB与CD的斜率的积kAB・kCD=-b2a2，点E是椭圆上异于A、C的任意一点，AE交直线CD于K，CE交直线AB于L，求证：EKAK2+ELCL2为定值.

证明 如图3，过点E作EM∥AB交直线CD于点M，作EN∥CD交直线AB于点N，设ON=λOB，OM=μOD，则OE=ON+OM=λOB+μOD.设点B，D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）.因为kAB・kCD=-b2a2即kOB・kOD=-b2a2，故y1x1・y2x2=-b2a2，

所以x1x2a2+y1y2b2=0.

由命题1可知λ2+μ2=1.又因为EKAK=EMOA=ONOB=|λ|，ELCL=ENOC=OMOD=|μ|，所以EKAK2+ELCL2=|λ|2+|μ|2=1.

例2 如图4，已知椭圆C的方程为x24+y2=1，A，B是四条直线x=±2，y=±1所围成的矩形的两个顶点.若M，N是椭圆上两个动点，且直线OM，ON的斜率之积等于直线OA，OB的斜率之积，试探求OMN的面积是否为定值，并说明理由.

解 因为直线OM，ON的斜率之积kOM・kON=-b2a2=-14，所以由命题3得OMN的面积为定值SMON=12ab=12×2×1=1.

图4 图5

例3 如图5，已知A，B是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一对共轭直径的两个端点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.设OP=tOE，求实数t的值.

解 设OP=λOA+μOB，由命题1知λ2+μ2=1.因为E为线段AB的中点，所以OE=12OA+12OB.又因为OP=tOE，所以OP=t2OA+t2OB.因为OA，OB是不共线的向量，所以λ=t2，μ=t2.所以t24+t24=1，t2=2.因为t>0，所以t=2.

椭圆形面积篇7

关键词:椭圆、定义、应用

学习数学离不开数学定义的学习,而数学中的定义反映了数学中各个知识点特有属性及内在联系,对它们理解正确与否,会直接影响到数学公式、法则、定理的学习。椭圆学习过程中,我们学习了椭圆的第一定义和第二定义。

椭圆第一定义:平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距。

椭圆第二定义:到一定点与一定直线的距离之比等于定值(这个定值小于1)的点的集合为一椭圆(平面内到定点与到定直线的距离的比是常数e(e>0)的点的轨迹,当0

椭圆的定义在解题过程中有很重要的作用,正确地理解和使用,可以化繁为简,达到事半功倍的效果。下面是椭圆定义在数学解题中常见的应用。

一、 解方程

例1、■+■=20

分析:如果经过两次平方将两个根式的根号去掉求解,运算太繁杂,容易出错,浪费时间。观察两个根式,发现其特点,我们可将式子化■+■=20,令y2=4为则方程可看做是以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点,长轴长为20的椭圆,原方程的解等价于已知椭圆上点的纵坐标去求它们的横坐标。即:

■+■=1且y2=4.解得x=±■

二、求轨迹问题

例2:在ABC中,BC=24,AC、BA边上的两条中线之和为39,求ABC的重心的轨迹方程。

解:如图所示,以BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。

设ABC的重心G,由已知的|BD|+|CE|=39,由重心性质

|BG|=■|BD|,|CG|=■|CE|

■|BG|+■|CG|=39即|BG|+|CG|=26

又BC=24,26>BC。故重心G的轨迹是以B、C为焦点的椭圆(除去与直线BC的两个交点)。其方程为■+■=1(y≠0)。

点评:本题综合考察了椭圆的定义、重心的性质等知识。利用椭圆的定义求动点的轨迹是求轨迹问题中常用的解题方法。

三、求焦点三角形的面积

例3:已知:P点为椭圆■+■=1

上的点,F■,F■是椭圆的两个焦点,∠F■PF■=60°,求F■PF■的面积。

解:在椭圆■+■=1中,a=5,b=3c=4

点P在椭圆上,

|PF■|+|PF■|=10 (1)

在F■PF■中,由余弦定理得:

|PF■|■+|PF■|■-2|PF■||PF■|cos60°=64 (2)

(1)■-(2)得|PF■||PF■|=12,

S■=■|PF■||PF■|sin60°

=■×12×■=3■

点评:关于椭圆中的焦点三角形问题,常常用椭圆的定义,结合三角形中的正弦定理、余弦定理等来解决,本题中把|PF■||PF■|作为一个整体来求,减少了运算量,这种整体求解,整体代入的方法值得我们认真体会。

四、求离心率

例4、已知P是椭圆■+■=1(a>b>0)

上任意一点,F■,F■是两个焦点,若

∠PF■F■=α,∠PF■F■=β求e。

解:PF■F■中,由正弦定理有■=■=■?坜■

=■?坜e=■=■

五、判断方程表示的曲线

例5、已知■=■|x+y-2|,x∈R,y∈R试判断点M的轨迹是怎样的曲线。

分析:如果将原方程平方,化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线,注意式子结构的特点,左边可看成点M到点(2,0)的距离,从而可联想右边可化为点M到直线x+y-2=0的距离,即有■=■,由此联想到椭圆的第二定义就很简单的求出点M的轨迹是椭圆。

六、求参数的取值范围

例6、(2004年高考,全国卷Ⅲ)设椭圆

■+y■=1的两个焦点是F■(-c,0),F■(c,0),(c>0)且椭圆上存在点P,使得直线PF1与直线PF2垂直,求m的取值范围。

解:由题意知m>0,a=■,b=1,c=■,且|PF■|■+|PF■|■=|F■F■|■=4c■,|PF■|+|PF■|=2a,由两式可得,|PF■|・|PF■|=2a■-2c■=2b■,又

|PF■|・|PF■|≤■)■=a■,

所以2b■≤a■,即2≤m+1,所以m≥1

作者单位:

椭圆形面积篇8

椭圆是圆锥曲线中最重要的一类曲线，在高考中出现的次数也最多，是高考常考不衰的热点.统计表明，各地高考试卷一般都保持着一小一大的格局；小题通常设置在选填题的靠后位置上，一般为能力题.从考查内容上看，主要考查椭圆的定义、性质、方程，解答题中多与直线、向量、轨迹等综合出题，通常出现在最后位置上.难点是能否把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程解的问题，会根据韦达定理及判别式解决问题.学会运用数形结合和化归与转化的的思想解决问题.

命题特点

椭圆问题在选填题和解答题中均有出现，每年高考中基本上是一小一大抛物线在近年高考命题中有以下特点.（1）命题具有非常强的灵活性和新颖性.（2）灵活中强调基础.椭圆的定义及其性质的考查以基础题为主，椭圆大题属于中难度题，从涉及的知识上讲，常与函数，方程，最值，向量等综合命题.

1. 椭圆凸显定义，强调应用

例1 （1）已知[A（-12，0）]，[B]是圆：（x-[12]）2+y2=4（F为圆心）上一动点，线段[AB]的垂直平分线交[BF]于点P，则动点P的轨迹方程为________.

解析 如图，由题意知，[|PA|=|PB|，|PF|+|BP|=2].

所以|PA|+|PF|=2，且|PA|+|PF|>|AF|，

即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a=1，c=[12]，b2=[34].

所以动点P的轨迹方程为x2+[43]y2=1.

（2）椭圆[x225+y216=1]上一点[P]到左焦点的距离为6，F是该椭圆的左焦点，若点[M]满足[OM=12OP+OF]，则[OM]=________.

解析 设右焦点为[F′]，由[OM=12OP+OF]知，M为线段[PF]中点，

[OM=12PF=1210-6=2.]

点拨 涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解.

2. 椭圆中的几何性质应用

例2 在[RtABC]中，[AB=AC=1]，如果一个椭圆通过[A，B]两点，它的一个焦点为点[C]，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为________.

解析 在[RtABC中，AB=AC=1]，

[ABC]为等腰直角三角形.

设另一个焦点为[F]，如图所示.

由椭圆定义，[BF+BC=2a，AF+AC=2a]，设[BF=m]，则[AF=1-m].

则[2+m=2a，1+（1-m）=2a.]

两式相加得， [a=2+24.]

[AF=2a-AC=1+22-1=22.]

[RtACF]中，由勾股定理得，[2c2=32.]

[c=64.]

[e=ca=6-3.]

3. 椭圆中的弦长问题

例3 椭圆两顶点[A（-1，0），B（1，0）]过焦点[F（0，1）]的直线[l]与椭圆交于[CD]两点.当[|CD|=322]时.求[l]的方程.

解析 由题意知，[b=1，c=1].

[a2=b2+c2=1+1=2].

椭圆方程为[y22+x2=1].

若直线[l]的斜率不存在时，[|CD|=22]，不合题意.

若[l]的斜率存在时，设[l]的方程[y=kx+1]，

联立[y=kx+1，y2+2x2=2，]

得[（k2+2）x2+2kx-1=0].

设[C（x1，y1），D（x2，y2）].

[x1+x2=-2kk2+2]，[x1x2=-1k2+2].

[|CD|=1+k2|x1-x2|=1+k2][・（x1+x2）2-4x1x2]

=[22（k2+1）k2+2].

即[22（k2+1）k2+2=322]，

解得[k2=2].[k=±2].

直线[l]方程为[y=±2x+1.]

点拨 （1）由已知点设直线方程时，要注意斜率存在和不存在的情况，适当时候要分类讨论.

（2）在解决有关弦长问题时，常用设而不求思想.

（3）过定点被定点平分的弦所在直线的方程.

（4）平行弦中点轨迹；过定点的弦的中点的轨迹.解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”.

4. 椭圆中的最值与范围问题

例4 （1）设[P]是椭圆[x2a2+y2=1（a>1）]短轴的一个端点，[Q]为椭圆上的一个动点，求[|PQ|]最大值.

解析 依题意可设[P（0，1），Q（x，y）]，

则[|PQ|=x2+（y-1） 2].

又因为[Q]在椭圆上，所以[x2=a2（1-y2）].

[|PQ|2=a2（1-y2）+y2-2y+1]=[（1-a2）y2-2y+1+a2]

=[（1-a2）（y-11-a2）2-11-a2+1+a2].

因为[|y|≤1，a>1]，若[a≥2]，则[11-a2≤1]，

当y=[11-a2]时，[|PQ|]取最大值[a2a2-1a2-1].

若[1

（2）设[F1，F2]分别是椭圆[x24+y2=1]的左，右焦点，若[P]是该椭圆上的一个动点，求[PF1・PF2]的范围.

解析 易知[a=2，b=1，c=3]，

所以[F1（-3，0），F2（3，0）].

设[P（x，y）]，

则[PF1・PF2=（-3-x，-y）・（3-x，-y）]

=[x2+y2-3=x2+1-x24-3=14（3x2-8）.]

因为[x∈[-2，2]]，故当[x=0]，即点[P]为椭圆短轴端点时，[PF1・PF2]有最小值-2.

当[x=±2]，即点[P]为椭圆长轴端点时，[PF1・PF2]有最大值1.

点拨 最值与范围问题一般有两个思路：

（1）构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解（如本题第（1）问）.

（2）构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解.在解题过程中，一定要挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.

备考指南

1. 加强直线与椭圆的位置关系问题的复习，这类问题常涉及到椭圆的几何性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，常用设而不求法与弦长公式及韦达定理求解.

2. 圆锥曲线中探索性问题、范围问题要在复习中层层推进，逐步解决，从而攻克难点.

3. 注重数学思想方法的运用，如函数与方程的思想、化归与转化、数形结合的思想.

限时训练

1. 椭圆[x24+y25=1]的一个焦点坐标是 （ ）

A.[（3，0）] B.[（0，3）]

C.[（1，0）] D.[（0，1）]

2. 已知焦点在[y]轴上的椭圆[x2m+y21=1]，其离心率为[32]，则实数[m]的值是 （ ）

A.[4] B.[14]

C.[4]或[14] D.[12]

3. [c≠0]是方程[ax2+y2=c]表示椭圆或双曲线的 （ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.不充分不必要条件

4. 已知椭圆[E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的右焦点为[F（3，0）]，过点[F]的直线交椭圆于[A，B]两点.若[AB]的中点坐标为（1，-1），则[E]的方程为 （ ）

A. [x245]+[y236]=1 B. [x236]+[y227]=1

C. [x227]+[y218]=1 D. [x218]+[y29]=1

5. 若点[O，F]分别为椭圆[x24+y23=1]的中心和左焦点，点[P]为椭圆上的任意一点，则[OP?FP]的最大值为 （ ）

A. [6] B.[3]

C. [4] D.[8]

6. 若椭圆[x24+y23=1]上有[n]个不同的点[P1，P2，][P3，…，Pn，F]为右焦点，[PiF]组成公差[d>1100]的等差数列，则[n]的最大值为 （ ）

A.199 B.200

C.99 D.100

7. 已知椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的离心率为[32]，双曲线[x22-y22=1]的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为 （ ）

A. [x28+y22=1] B. [x212+y26=1]

C. [x216+y24=1] D. [x220+y25=1]

8. 已知椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右焦点分别为[F1（-c，0），F2（c，0）]，若椭圆上存在点[P]使[asin∠PF1F2=][csin∠PF2F1]，则该椭圆的离心率的取值范围为 （ ）

A. [（0，2-1）] B. [（22，1）]

C. [（0，22）] D. [（2-1，1）]

9. 如图所示，椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的离心率[e=12]，左焦点为[F，A，B，C]为其三个顶点，直线[CF与AB]交于[D]点，则[tan∠BDC]的值等于 （ ）

A. 3[3] B. [-33]

C. [35] D. [-35]

10. 椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左右焦点分别为[F1，F2]，若椭圆[C]上恰好有6个不同的点[P]，使得[F1F2P]为等腰三角形，则椭圆[C]的离心率的取值范围是 （ ）

A. [13，23] B. [12，1]

C. [23，1] D. [13，12?12，1]

11. 椭圆[x29+y24+k=1]的离心率为[45]，则[k]的值为________.

12. 椭圆的两焦点为[F1（-4，0），F2（4，0）]，[P]在椭圆上，若[PF1F2]的面积的最大值为12，则椭圆方程为________.

13. 已知椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上一点[A]关于原点[O]的对称点为[B，F]为其右焦点，若[AFBF，]设[∠ABF=α，]且[α∈π12，π4，]则椭圆离心率的取值范围是 ________.

14. 已知椭圆[C1：x2a12+y2b12=1（a1>b1>0）]和椭圆[C2：x2a22+y2b22=1（a2>b2>0）]的离心率相同，且[a1>a2].给出如下三个结论，其中正确结论的序号是________.

①椭圆[C1]和椭圆[C2]一定没有公共点；

②[a1a2=b1b2]；

③[a12-a22

15. 如图，已知[OFQ]的面积为[S]，且[OF]・[FQ]=1.设|[OF]|[=c（c≥2）]，[S=34c].以[O为中心，F]为一个焦点的椭圆经过点[Q]，当|[OQ]|取最小值时，求椭圆的方程.

16. [P]为圆[A：（x+1）2+y2=8]上的动点，点[B（1，0）].线段[PB]的垂直平分线与半径[PA相交于点M]，记点[M]的轨迹为[Γ].

（1）求曲线[Γ]的方程；

（2）当点[P]在第一象限，且[cos∠BAP=223]时，求点[M]的坐标.

17. 如图所示，设椭圆的中心为原点[O]，长轴在[x]轴上，上顶点为[A]，左、右焦点分别为[F1，F2]，线段[OF1，OF2]的中点分别为[B1，B2]，且[AB1B2]是面积为4的直角三角形.

（1）求该椭圆的离心率和标准方程；

（2）过[B1]作直线交椭圆于[P，Q]两点，使[PB2QB2]，求[PB2Q]的面积.

18. 如图，两条相交线段[AB]，[PQ]的四个端点都在椭圆[x24+y23=1]上，其中，直线[AB]的方程为[x=m]，直线[PQ]的方程为[y=12x+n].

椭圆形面积篇9

试题1 （2011年山东理22）已知动直线l与椭圆C：x23+y22=1交于Px1，y1，Qx2，y2两不同点，且OPQ的面积SOPQ=62，其中O为坐标原点.

（Ⅰ）证明：x21+x22和y21+y22均为定值;

（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求OM・PQ的最大值;

（Ⅲ）椭圆C上是否存在三点D，E，G，使得SODE=SODG=SOEG=62？若存在，判断DEG的形状;若不存在，请说明理由.

试题2 （2013年山东文22）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为22.

（Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足AOB的面积为64的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P，设OP=tOE，求实数t的值

试题3 （2015年山东文21）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，且点（3，12）在椭圆C上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）设椭圆E：x24a2+y24b2=1，P为椭圆C上任意一点，过P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q：（1）求OQOP的值;（2）求ABQ面积的最大值.

为了解答上述三题，现给出以下两个结论：

结论1 人教B版《数学・必修5》第10页“探索及研究”中的命题：

已知OA=（a1，a2），OB=（b1，b2），设OAB的面积为S，则S=12a1b2-a2b1.

证明 S=12OA・OBsinθ（θ为OA，OB的夹角），

所以4S2=OA2・OB21-cos2θ

=（a21+a22）・（b21+b22）・1-（a1b1+a2b2）2（a21+a22）（b21+b22）

=（a1b2-a2b1）2，

所以S=12a1b2-a2b1.

结论2 椭圆x2a2+y2b2=1的参数方程为x=acosθ

y=bsinθ.

试题1解析 （Ⅰ）由已知可设：

P（3cosα，2sinα），Q（3cosβ，2sinβ），

所以SOPQ=126cosαsinβ-6sinαcosβ

=62sin（α-β=62.

所以sin（α-β）=±1，即α-β=kπ+π2（k∈Z），

所以x21+x22=3（cos2α+cos2β）=3（sin2β+cos2β）=3，

y21+y22=2（sin2α+sin2β）=2（sin2β+cos2β）=2.

（Ⅱ）由已知M（32（cosα+cosβ），22（sinα+sinβ）），则：

OM2=14（3（cosα+cosβ）2+2（sinα+sinβ）2）

=14（5+6cosαcosβ+4sinαsinβ）.

PQ2=3（cosα-cosβ）2+2（sinα-sinβ）2

=5-6cosαcosβ-4sinαsinβ・OM2・PQ2=14（5+6cosαcosβ+4sinαsinβ）（5-6cosαcosβ-4sinαsinβ）

≤14（102）2=254.

所以OM・PQ≤52，

等号成立的条件是3cosαcosβ+2sinαsinβ=0.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知D、E、G中必有两点连线过坐标原点，故此椭圆上不存在满足条件的三点.

试题2解析 （Ⅰ）x22+y2=1.

（Ⅱ）设A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ）.

则S=122cosαsinβ-2sinαcosβ=

22sin（α-β）=64.

所以sin（α-β）=32，即sin（α-β）=±32.

E（2（cosα+cosβ）2，sinα+sinβ2），所以P（2t（cosα+cosβ）2，t（sinα+sinβ）2），代入x2+2y2=2得

t2（cosα+cosβ）2+（sinα+sinβ）2=4，

即：t2（2+2cos（α-β））=4.

因为cos（α-β）=±12，所以t2=4或t2=43，又因为t>0，所以t=2或t=233.

试题3解析 （Ⅰ）x24+y2=1.

（Ⅱ）（1）OQOP=2.

（2）设A（4cosα，2sinα），B（4cosβ，2sinβ），P（2cosθ，sinθ），所以SAOB=12|4cosα・2sinβ-4cosβ・2sinα|

=4sin（α-β）.

因为P，A，B三点共线，且P在A，B之间，所以OP=mOA+（1-m）OB（0<m<1），

即（2cosθ，sinθ）=m（4cosα，2sinα）+（1-m）（4cosβ，2sinβ），

所以cosθ=2mcosα+（1-m）cosβ， ①

sinθ=2msinα+（1-m）sinβ， ②

①②平方相加得

14=m2+（1-m）2+2m（1-m）cos（α-β）③

因为m2+（1-m）2≥m+（1-m）22=12，2m（1-m）≤m+（1-m）22=12，所以cos（α-β）<0.

由③，14≥12+12cos（α-β），所以cos（α-β）≤-12，所以sin2（α-β）=1-cos2（α-β）≤34，所以sin（α-β）≤32，所以SAOB≤23.

由（1）SABQ=3SAOB，所以（SABQ）max=63.

注 （1）由此法亦可得，当P为AB中点时SABQ的面积最大.

椭圆形面积篇10

一、 求角的最值

例1 椭圆x2a2+y2b2=1,F1,F2分别为椭圆的两个

焦点,在椭圆上任取一点M, 求∠F1MF2的最值.

解析：设椭圆一点M(x0,y0) 设|MF1|=r1,|MF2|=r2由椭圆定义得r1+r2=2a则：

cos∠F1MF2=r21+r22-(2c)22r1r2

=(r1+r2)2-2r1r2-(2c)22r1r2

=2b2r1r2-1≥

2b2r1+r222-1当且仅当r1=r2时，即x20=0时,也就是M在短轴的端点时

(cos∠F1MF2)min=2b2a2-1.

又x∈(0,π)时,cosx为减函数,cos∠F1MF2 取最小值时,∠F1MF2在(0,π) 取得最大值 ，

(∠F1MF2)max=∠F1PF2

评注：把求角的最值，转化为求角的余弦的最值，利用基本不等式即可.

二、 求距离的最值或距离最值条件下的参变量的值

例2 在抛物线y=4x2上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短.

解析：

设抛物线上的点P(t,4t2)，点P到直线4x-y-5=0的距离

d=|4t2-4t+5|17=

4t-122+417

当t=12时，dmin=417，故所求点为12,1.

例3 若椭圆x29+y24=1上点P到定点A（a ，0）（0＜a＜3）的距离最短是1，求实数a的值.

解析：设P(x,y)则：

d2=(x-a)2+y2=(x-a)2+4-49x2=59

x-95a2+4-45a2

-3≤x≤3

① 当95a≤3时，即0

d2min=4-45a2=1,a=±152（舍）

② 当95a>3时，即53

d2min=a2-6a+9=1,a=1或4（舍）.

综上所述：a=2.

评注：把求距离最值问题转化为求二次函数的最值，利用闭区间上二次函数最值的求法迅速得解.

三、 求几何特征量代数和的最值

例3 点M和F分别是椭圆x225+y29=1上的动点和右焦点，定点B(2,2).

(1) 求|MF|+|MB|的最小值.

(2) 求54|MF|+|MB|的最小值.

解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F′(-4,0)，离心率e=45，准线方程x=±254.

(1) |MF|+|MB|=10|MF′|+|MB|=10（|MF′||MB|）≥10|F′B|=10210.

故当M，B，F′三点共线时，|MF|+|MB|取最小值10210.

(2) 过动点M作右准线x=254的垂线，垂足为H，则|MF||MH|=e=45|MH|=45|MF|

.于是

54|MF|+|MB|=|MH|+|MB|≥|HB|=174.可见，当且仅当点B、M、H共线时，54|MF|+|MB|取最小值174.

评注：（1） 中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是最短的.

（2） 从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路.回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用.

例4 点P为双曲线x24-y2=1的右支上一点，M，N分别为(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为.

解析：由题意知：两已知圆的圆心分别为双曲线的左右焦点.对于双曲线右支上每一个确定的点P，|PF1|-|PF2|=4为定值，连结PF1，并延长PF1交F1于点Mo，连结PF2,交F2于点No.

|PM|-|PN|≤(|PF1+1|)-(|PF2|-1)=4+2=6

故|PM|-|PN|的最大值为6 .

评注：仔细审题，合理应用平面几何知识（三角形两边之和大于第三边.两边之差小于第三边），沟通条件与所求结论的内在联系，是解决本题的关键.

四、 求面积的最值

例5 已知平面内的一个动点P到直线l:x=433的距离与到定点F(3,0)的距离之比为233，点A1,12，设动点P的轨迹为曲线C.

(1) 求曲线C的方程；

(2) 过原点O的直线l与曲线C交于M，N两点.求MAN面积的最大值.

解析：(1) 设动点P到l的距离为d，

由题意PFd=32

根据圆锥曲线统一定义，点P的轨迹C为椭圆.

c=3,e=ca=32,可得a=2,

b2=a2-c2=4-3=1

故椭圆C的方程为：x24+y2=1

(2) 若直线l存在斜率，设其方程为y=kx,l与椭圆C的交点M(x1,y1),N(x2,y2)

将y=kx代入椭圆C的方程x24+y2=1并整理得(1+4k2)x2-4=0.

x1+x2=0,x1x2=-41+4k2

于是|MN|=(1+k2)(x1-x2)2

=(1+k2)［(x1+x2)2-4x1x2］

=(1+k2)・161+4k2=

41+k21+4k2

又点A到直线l的距离d=k-121+k2

故MAN的面积S=12|MN|・d=|2k-1|1+4k2

从而S2=(2k-1)21+4k2=1-4k1+4k2

① 当k=0时，S2=1得S=1

② 当k>0时，S2

③ 当k

得S≤2

若直线l不存在斜率，则MN即为椭圆C的短轴，所以MN=2. 于是MAN的面积S=12・2・1=1.

综上，MAN的最大值为2.

评注：本题将MAN的面积表示为l的斜率k的函数，其过程涉及弦长公式和点到直线距离等解析几何的基础知识，在处理所得的面积函数时，运用了分类讨论的思想方法.当然，也可以将该面积函数转化为关于k的一元二次方程，由Δ≥0求得面积S的最大值.

五、 求最值条件下的曲线方程

例6 在直线l：x－y＋9=0上任意取一点P，经过P点以椭圆C：x212+y23=1的焦点为焦点作椭圆E.

（1） P在何处时，E的长轴最短？

（2） 求E长轴最短时的方程.

解析：方法一：（数形结合的思想）

F1(-3,0)，F2(3,0),作F1关于l的对称点F′1(-9,6)

则2a=PF1+PF2=PF′1+PF2

所以P,F′1,F2三点共线时，(2a)min=F′1F2=65.

此时，由x+2y-3=0

x-y+9=0得P(-5,4)，同时可得椭圆方程为x245+y236=1.

方法二：（不等式的思想）

由题意知c=3，所以可设椭圆方程为x2a2+y2a2-9=1.

由x-y+9=0

x2a2+y2a2-9=1 （ ）

得(2a2-9)x2+18a2x+90a2-a4=0

令Δ≥0得a≥35，所以(2a)min=65，

将a代入（ ）得P(-5,4)，椭圆方程为x245+y236=1.