椭圆形面积公式十篇

椭圆形面积公式篇1

椭圆无论在天体上，还是在地球上的物体上，都是建立在斜平面上。在天体中，地球运行的椭圆轨道，是建立在过地心并与地轴垂直的平面（赤道平面）夹角为23°26′的斜平面（黄道平面）上。而在地球上的物体圆柱上，斜切面椭圆，是建立在过圆柱轴心并与圆柱轴垂直的平面（横切平面）夹角为某个角度的斜切平面是椭圆平面。根据上述，我们发明创造了以一个点为圆心能画各种椭圆形的椭圆规。下方椭圆（规照片）。本椭圆规已授予中华人民共和国知识产权局颁发了专利证书.所以椭圆规的发明，在工业应用上，天文学的行星运行上，物理学，数学和教育学等都有着重大的作用和历史意义。用椭圆规就可以根据赤道平面与黄道平面的夹角23°26′画出地球运行轨道的相似椭圆。

下面论述新创椭圆公式内容：

一、椭圆的类型和形状

1.标准椭圆，取一根标准的圆柱体，并在圆柱的圆心轴上O点横切圆柱是标准正圆，再过O点斜切圆柱这个斜切面就是标准椭圆。

2.基础椭圆，当在标准圆柱上过圆心轴的O点横切圆柱，横切面则是正圆。又过圆柱的圆心轴上的O点斜切圆柱这个斜切面就是标准椭圆。设：斜切面椭圆与横切面正圆经O点的交角为α 。当α=0时，斜切面就变成了横切面，椭圆也就变成了正圆。所以我们把圆柱的横切面正圆命名为基础椭圆（简称为基础圆）。

3.椭圆心，因为椭圆和正圆都是以圆柱的圆心轴上的O点为圆心，斜切和横切圆柱的。所以椭圆和正圆都只有一个圆心。

4.椭圆的形状，在标准圆柱上过圆心轴上的O点横切面正圆与斜切椭圆的交角α越大，椭圆的形状也就越长。α角越小，椭圆形状也就越短（越接近正圆）。当α=0时，斜切面重叠横切面，椭圆的形状就是正圆（基础椭圆）。（下图：圆柱体横切与斜切图）

二、画标准椭圆的方法

1.用以一个点为圆心的椭圆规画标准椭圆。（这种椭圆规是我们发明创造的，目前没有上市。因为目前高中数学、物理学里学的椭圆，没有椭圆的长半径公式、短半径公式和任意半径公式，也没有椭圆周率和椭圆周长公式，椭圆面积公式。）未来在教学方面椭圆规是非常有用的。

2.用标准椭圆模型画椭圆，如果你要画的椭圆的长半径是A，短半径是R形状的椭圆。你可以先用椭圆的长、短半径公式，计算出圆柱的横切面与斜切面的交角α，再以α角斜切以R为半径的圆柱，这个圆柱的斜切面就是你要画标准椭圆的模型。

3.标准椭圆的点式画法，如果你要画很大的椭圆，又找不到那么粗的圆柱做模型。你可以根据你要画椭圆的长半径和短半径，先计算出圆柱的斜切面与横切面的交角α。再用椭圆的任意半径公式，计算出由短半径开始某一角度的斜半径点上点。就这样把所有的斜半径都点上点，这些点就连成了标准椭圆。故称标准椭圆的点式画法。

三、太阳系定律

由以上论述得知，在太阳系内，所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆。太阳处在所有椭圆的中心点上（太阳系第一定律）。

四、椭圆的长半径公式和短半径公式

任何椭圆都是圆柱体的斜切面，它们的形状是过圆柱轴心上O点的横切面正圆与过O点的斜切面椭圆交角α的大小所决定的。斜切面椭圆的短半径就是圆柱半径。下面设：斜切面椭圆的长半径为A，短半径为R（也是横切面正圆半径R），斜切面椭圆与横切面正圆的交角是α。椭圆长半径A与正圆半径R的交角α所对的边为h。RhA三边又构成直角三角形。所以，根据三角函数：sinα=对边/斜边，cosα=邻边/斜边。

所以，椭圆长半径公式：A=R/cosα。

又因为正圆所有的半径都是R。

所以，椭圆的短半径公式：R=A·cosα

五、椭圆的任意半径公式

由椭圆的长半径公式和短半径公式得知，椭圆的长半径为A，短半径为R，圆柱的斜切面椭圆与横切面正圆的交角为α 。因为斜切面椭圆与横切面正圆相交处，即是正圆半径R点，也是椭圆的短半径R点。然后在正圆平面上过圆心O点做半径R的垂直半径。那么R半径与垂直半径的圆弧是0度—90度。设n为0度—90度的任意一个度数。椭圆的任意半径为L。经详细推论得出：

椭圆的任意半径公式：L=R/cos{（α/90）·n}

六、椭圆周率

我们经过多年的刻苦研究和推算，在我们画出的两垂一斜线坐标系中，经过多次的测量和推算，终于准确无误的推算出了椭圆周率是0.57079632675 。我们将椭圆周率的代号命名为尢（you）。

那么，椭圆周率：尢=0.57079632675。

七、椭圆的周长公式

设：椭圆的长半径为A，短半径为R，短直径为D，椭圆周长为C，过圆柱轴心上O点的横切面正圆与过O点的斜切面椭圆的交角为α，我们已经命名椭圆周率为尢（you）。

尢=0.57079632675。

那么，椭圆的周长公式：C=4（A+R尢）==4A（1+尢·cosα）=4R（1/cosα+尢）=2D（1/cosα+尢）。

八、椭圆周长公式也是正圆周长公式

前辈数学家早已推论出了正圆周长公式，是圆的直径乘以圆周率就等于正圆的周长。公式是C=dπ=2Rπ，π=3.14。

下面我们看看在什么情况下椭圆的周长公式能变成正圆周长公式。当椭圆公式中α=0时，椭圆的形状就是正圆（基础椭圆）。因为正圆所有的半径都相等，所以，A=R。我们把α=0，A=R代入所有的椭圆周长公式。得出的就是正圆周长公式：c=4（R+尢R）=4R（1+尢）=2D（1+尢）。

我们在把椭圆周率保留两位小数，尢=0.57代入正圆周长公式得：C=2R×3.14=D×3.14=D·π=2Rπ。

我们把推论的正圆周长公式续在前辈数学家的圆周长公式的后边。

圆周长公式就是：C=Dπ=2Rπ=4R（1+尢）=2D（1+尢）。

九、椭圆面积公式

若用圆周率π=3.1415926 ，计算椭圆的面积。椭圆的形状越长计算出椭圆面积的误差也就越大。所以用圆周率只能计算正圆（基础椭圆）的面积。不能计算所有椭圆的面积。因此，必须用椭圆周率才能计算所有椭圆的面积。

设：椭圆长半径为A，短半径为R，短直径为D，椭圆面积为S。过圆柱轴心上O点的横切面正圆与过O点的斜切面椭圆的交角为α。

已知：椭圆周率 尢=0.57079632675

椭圆面积公式：S=2（AR+AR尢）=2AR（1+尢）=2R2/cosα（1+尢）=2A2×cosα（1+尢）。当α=0，A=R时，椭圆面积公式就变成正圆面积公式S=2R2（1+尢）=1/2D2（1+尢）=πR2=1/4πD2

十、全等椭圆

1.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的长半径相等，它们的基础椭圆平面与椭圆平面交角α也相等，那么，这两个椭圆就是全等椭圆。

2.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的短半径相等，它们的基础椭圆平面与椭圆平面交角α也相等，那么，这两个椭圆也是全等椭圆。

3.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的周长相等，它们的椭圆平面与基础椭圆平面的交角α也相等，那么，这两个椭圆也是全等椭圆。

4.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的长半径相等，而且，它们的短半径也相等，那么，这两个椭圆就是全等椭圆。

5.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的长半径相等，而且，它们的周长也相等，那么，这两个椭圆就是全等椭圆。

6.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的短半径相等，而且，它们的周长也相等，那么，这两个椭圆也是全等椭圆。

椭圆形面积公式篇2

重点：（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及其简单几何性质.

（2）了解椭圆的简单应用；理解数形结合的思想.

（3）掌握直线与椭圆有关的各种题型的解决方法.

难点：（1）理解并掌握椭圆的基本概念、标准方程及其简单的基本性质.

（2）能解决直线与椭圆的有关综合问题.

（1）求椭圆的标准方程主要有定义法和待定系数法，对于用待定系数法求椭圆的标准方程，应学会从“定形、定位、定量”三方面来分析求解椭圆方程.

（2）焦点三角形问题，通常从以下几个方面入手：①定义；②正、余弦定理；③三角形面积公式.

（3）椭圆离心率问题，一般不直接求出a，c的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数a，b，c的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围.

 

（4）在椭圆中的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求量表达为其他量的函数，然后用函数的方法解决.　另外要注意考虑椭圆标准方程中x，y自身的取值范围.

（5）在直线与椭圆的问题中，常用韦达定理，“设而不求”，巧用公式，通过这些过渡变量使问题得以解决；而在解决弦中点及直线斜率的相关问题中，“点差法”的用处更不容小觑.

 

（椭圆定义的运用）一动圆与已知圆o1：（x+3）2+y2=1外切，与圆o2：（x-3）2+y2=81内切，求动圆圆心的轨迹方程.

思索 两圆相切时，圆心之间的距离与两圆半径有关，据此可得出动圆圆心满足的条件，进而利用椭圆的定义求出轨迹方程.

破解 设动圆的圆心为m，动圆的半径为r，由已知可得mo1=1+r，mo2=9－r，mo1+mo2=10>o1o2=6.　由椭圆的定义可知，点m的轨迹是在以o1，o2为焦点的椭圆上，其中a=5，c=3，b2=a2－c2=16，则所求的轨迹方程为■+■=1.

 

点评 利用圆与圆内切或外切时半径之间的关系，转化为用椭圆的定义来处理，这是解决此类问题的一种通法，类似也可得到如下变式.

①变式问题一：一动圆与已知圆o1：（x+3）2+y2=1及圆o2：（x-3）2+y2=81均内切，求动圆圆心的轨迹方程.

②变式问题二：一动圆与已知圆o1：（x+3）2+y2=1外切，与圆o2：（x-3）2+y2=4内切，求动圆圆心的轨迹方程.

③变式问题三：一动圆与已知圆o1：（x+3）2+y2=1内切，与圆o2：（x-3）2+y2=4外切，求动圆圆心的轨迹方程.

④变式问题四：一动圆与已知圆o1：（x+3）2+y2=1及圆o2：（x-3）2+y2=4均相切，求动圆圆心的轨迹方程.

（突破焦点三角形问题）已知f1，f2是椭圆的两个焦点，p为椭圆上一点，∠f1pf2=60°，求椭圆离心率的范围.

思索 研究椭圆离心率问题，关键是利用题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数a，b，c的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围.　另外，与焦点三角形有关的计算常利用圆锥曲线定义、正余弦定理、均值不等式，等等.

 

点评 此解法将所求离心率e表达为点p的横坐标x0的函数，但切记不能忽略x0的取值范围.　考虑到焦点三角形也属于解三角形问题，知道边角关系考虑正弦定理及和分比定理亦可求解，同学们不妨一试.

 

①变式问题一：已知f1，f2是椭圆的两个焦点，p为椭圆上一点，　∠f1pf2=90°，求椭圆离心率的范围.

②变式问题二：已知f1，f2是椭圆的两个焦点，p为椭圆上一点，若∠f1pf2为锐角，求椭圆离心率的范围.

③变式问题三：已知f1，f2是椭圆的两个焦点，p为椭圆上一点，若∠f1pf2为钝角，求椭圆离心率的范围.

点评 与弦中点有关的问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在的直线斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.　同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量之间的关系进行灵活转化，往往能事半功倍.

 

1.　夯实基础、落实基本技能

在复习时，首要的任务是准确地理解概念，牢记重要公式，熟练掌握基本方法，洞晓考试内容所涉及的各个知识点.　因此一定要精通课本.另外要有一个清晰的知识框架，积累常用模型（如求椭圆离心率和离心率的取值范围，焦点三角形的相关问题），熟练通用方法，落实基本技能.

 

2.　注重对数学思想方法的提炼

新课标高考讲究能力立意，对数学思想方法的考查贯穿始终，在复习时要注重强化数学思想方法，特别是函数方程、等价转化、分类讨论、数形结合等思想在题目中的渗透.

3.　注重加强运算能力的训练

椭圆的综合问题往往思路明确，但对数学运算能力的要求较高，不易算出结果.在备考过程中，要注意运算能力的训练，同时加强对算法、算理的训练及总结.

椭圆形面积公式篇3

一、 定义法

有些问题先利用圆锥曲线定义或性质给出关系式，再利用几何或代数法求最值，可使题目中数量关系更直观，解法更简捷。

例1.如图，椭圆C的方程为，A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为-1的直线交椭圆于B点，点P（1，0），且BP∥y轴，APB的面积为。

（1）求椭圆C的方程；（2）在直线AB上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程。

分析：同样，此题若采用函数观点，问题（2）将变得复杂化！若能利用双曲线的第一定义，则解答就容解易得多了。

简解：（1），又∠PAB=45°，

AP=PB，故AP=BP=3。

P（1，0），A（-2，0），B（1，-3）

b=2，将B（1，-3）代入椭圆得：

得，所求椭圆方程为

（2）设椭圆C的焦点为F1、F2，则易知F1（0，-）、F2（0，），

直线的方程为：，因为M在双曲线E上，要双曲线E的实轴最大。

只须||MF1|-|MF2||最大，设F1（0，-）关于直线AB的对称点为（-2，-2），则直线与直线的交点为所求M，因为的方程为：，联立得M（1，-3）。

又=||MF1|-|MF2||=||M|-|MF2||

==2 ，故，

故所求双曲线方程为：。

评注：这个问题是用椭圆第一定义中的数量关系进行转换，使问题化归为几何中求最大（小）值的基本模式，主要是利用三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等结论。

二、参数法

利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。

例2.椭圆的切线 与两坐标轴分别交于A、B两点，求三角形OAB的最小面积。

分析；写出椭圆的参数方程，设切点为，可得切线方程。

解：设切点为，则切线方程为。

令y=0，得切线与x轴交点；令x=0，得切线与y轴交点B（0，）

=。。

评注：利用圆锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题，再利用三角函数的有界性得出结果。

三、 函数法

将所求问题转化为二次函数最值问题，再利用配方法或均值不等式或判别式等方法求解。

例3.求定点A（a，0）到椭圆上的点之间的最短距离。

分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示︱PA︱，转化为x，y的函数，求最小值。

解：设P（x，y）为椭圆上任意一点

︱PA︱2=（x-a）2+y2 =（x-a）2+1-2=+1-a2由椭圆方程知x的取值范围是[-，]

（1）若︱a︱≤，则x=2a时︱PA︱min=

（2）若a>，则x=时︱PA︱min=︱a-︱

（3）若a

评注：把所求的最值表示为函数，再寻求函数在给定区间上的最值，但要注意函数定义域。

四、不等式法

列出最值关系式，利用均值不等式“等号成立”的条件求解。

例4.过椭圆的焦点的直线交椭圆A、B两点，求 面积的最大值。

分析：由过椭圆的焦点，写出AB方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，消去y，得关于x的一元二次方程，再利用根与系数关系，得到结果。

解：椭圆的焦点，设过焦点（0，1），直线方程为y=kx+1与联立，消去y，得，其中两根x1，x2为A，B的横坐标。 将三角形AOB由与组合而成，|OF|是公共边，它们在公共边上的高。，其中 |OF|=c=1。

==

=。 当即k=0时，取等号，

即当直线为y=1时，得到的面积最大值为。

椭圆形面积公式篇4

类比思维一直是数学学习中不可缺少的一种学习思维。它能让学生通过对A知识内容的学习进而激发出对B知识的学习热情。培养学生的类比思维能让学生猜想与发现结论，从而帮助寻找解题思路。

[关键词]

类比思维;联想;双曲线

从事高中数学教学以来，笔者发现，教师在课堂教学中不仅要创设教学情境，激发学生学习兴趣，还要培养学生诸如逆向思维、归纳思维、整体思维、类比思维等。基于高中数学知识点多且抽象复杂，其定理、概念、性质和解题方法要求学生具有一些数学思维，其中类比思维是学习数学知识与解题中运用较为普遍且有效的思维方式之一。类比思维能让学生通过A知识内容的学习进而激发学习B知识的引路学习方式。如何培养学生的类比思维，运用有效的方法学习高中数学与解题会取到很好的效果。

一、类比思维论述

类比就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比思维是从两个对象之间在某些方面的相似关系中受到启发，从而使问题得到解决的一种创造性思维。类比思维具有联想、启发、假设、模拟等多种功能，在创造性思维中居于重要的地位。

二、类比思维与高中数学学习的关系

类比思想由来已久，我国古代著名木匠鲁班看到带有齿轮状的树叶，他根据类比思想发明了一种砍树工具――锯;还有著名的物理学家牛顿运用类比思维将自由落体运动与天体的运动作比较，最终发现了万有引力定律。在高中数学教学与学习中，教师不妨培养学生的类比思维，运用类比思想深入分析和探讨类比方法在课堂教学中的应用。

首先，教师应当根据教材内容编排的特点，在传授新知识时，可以有意识地引导学生，通过类比思维方法得出所要讲授的新知识，以此慢慢让学生掌握类比推理的方法。其次，教师在对学生进行阶段性知识总结复习时，可以借助相关的知识进行类比，以培养学生对相关知识进行类比的习惯。最后，在对学生讲述如何解题的教学中，教师通过类比引导学生进行推广数学命题或者通过类比，从中寻找解题的途径，以达到深化对题目相关考查知识的理解，从而掌握这些数学思想方法。

三、类比思维的运用――以椭圆、双曲线教学知识为例

高中学习中，很多知识点学习时可以通过对比学习，这种对比就是常说的类比思维。下面将以圆锥曲线中椭圆、双曲线知识为例，谈谈如何进行类比思维。教师在讲解椭圆和双曲线教学内容的时候，可以展示如下表类比对象。

通过类比二者的不同和相同处，让学生透彻理解并掌握椭圆和双曲线这两个对象的表达式和图像及性质。为了更好的说明类比思维在数学学习中的运用，下面选取椭圆和双曲线部分性质给予论证。

（一）关于焦半径公式的运用

类比思维是创造性思维的一种形式，有时我们可以从一种研究对象的结论出发，往往能创造的喜悦不可思议。焦半径公式在圆锥曲线学习时，会经常使用到。下面用一道例题看看这两个知识有何区别。

例1、已知P（x0，y0）是椭圆[x2a2+y2b2=1]（a>b>0）上一点，[F1，F2]是椭圆的两个焦点，则有|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0;类比思考之后，你能得出双曲线类似的结论吗？

其实，在双曲线[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>o）[F1（-c，0）]，[F2（c，0）]中，经过论证，有|PF1|=|ex0+a|，|PF2|=|ex0-a|。为了去绝对值，还要再分两种情况：当P在双曲线左支上时，则|PF1||=-（ex0+a），|PF2|=-（ex0-a）;当P在双曲线右支上时，则|PF1||=ex0+a，|PF2|=ex0-a。

此外，对于焦点在y轴的标准方程，可相应将x0换成y0即可得出公式。

教师需要根据把椭圆与双曲线的知识点是紧密联系的，将知识点进行合理迁移，在通过类比得出另一种研究对象的许多意想不到的结论。正如现代美籍匈牙利数学家波利亚曾说过：“如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现。”

（二）根据基本概念与性质推导其他性质的运用

对于椭圆、双曲线的学习，学生一定要掌握这两大知识内容的基本性质。类比思维是合情推理中一种重要的思维方式，学生一定要能利用概念与性质推导出其他性质，从而在数学解题中让题目迎刃而解。下面两道题目对激发学生的解题兴趣很有帮助。

例2、设椭圆[x2a2+y2b2=1]（a>b>0），[F1，F2]是椭圆的两个焦点，点 M为椭圆上除顶点外的任一点，[∠F1MF2=α]，则三角形[F1MF2]的面积[S=b2tanα2]。请证明这个三角形面积。类比思考之后，你能得出双曲线有类似的结论吗？

证明：由椭圆定义得：[MF1+MF2=2a????（1）]

在[F1MF2]中，由余弦定理可得：

[MF12+MF22-2MF1?MF2cosα=4c2????（2）]

（1）式平方 -（2）式得，

[2MF1?MF2（1+cosα）=4a2-4c2，]

[MF1?MF2=2b21+cosα]，

S=[S=12MF1?MF2sinα=b2sinα1+cosα=b2tanα2]。

同理根据上述性质类比得到双曲线为，点M为双曲线上除定点外的任意一点，

设[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>o）[F1，F2]是椭圆的两个焦点，点 M为椭圆上除顶点外的任一点，[∠F1MF2=α]，则三角形[F1MF2]的面积[S=b2cotα2]。（证明过程略）

基于在这道题的结论中，椭圆与双曲线的两个面积公式的不同之处仅在三角形的正切与余切的区别，可以说这种形式的不单单是圆锥曲线性质规律性的一种反映，更是在对比学习中，运用类比方法能很好的让题目迎刃而解。

例3、已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为[kPM]、[kPN]时，那么[kPM]与[kPN]之积是与点P的位置无关的定值。试对双曲线[x2a2-y2b2=1]写出具有类似特性的性质，并加以证明。

解题分析：类似的性质为若MN是双曲线[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>o）上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、（下转第60页）（上接第53页）PN的斜率都存在，并记为[kPM]、[kPN]时，那么[kPM]与[kPN]之积是与点P的位置无关的定值。

证明：设点M、P的坐标为（[m ，n]）、（[x ，y]），则N（[-m ，-n]），其中[m2a2-n2b2=1]。

因为点M（[m ，n]）在已知双曲线[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>o）上，所以由[kPM]=[y-nx-m]，[kPN]=[y+nx+m]，得[kPM]・[kPN]=[y-nx-m]・[y+nx+m]=[y2-n2x2-m2]，

因为点M（[m ，n]）在已知双曲线[m2a2-n2b2=1]上，所以[n2=b2a2m2-b2]，因为点P（[x ，y]）在已知双曲线[x2a2-y2b2=1]上，所以[y2=b2a2x2-b2]，代入得[kPM?kPN=b2a2?x2-n2x2-m2=b2a2]（定值）。

四、反思与总结

瑞士数学家欧拉曾说过：“类比是伟大的引路人”。在高中数学学习中，学生能合理地运用“类比”方法，对数学学习是十分有益的。本文选取圆锥曲线中椭圆与双曲线的类比教学，不难发现两个教学内容有许多相似之处，案例中运用类比方法可以引导学生提出问题、进行探究，在学生思考中慢慢培养其类比思维。

[参 考 文 献]

[1]邓益阳.探究一类新型题的解题策略[J].高中数学教与学，2004（2）.

椭圆形面积公式篇5

圆锥曲线的定义

（1）你知道椭圆、双曲线、抛物线的第一定义吗？

作答：______________________

（2）椭圆、双曲线、抛物线的第二定义你掌握了吗？

作答：______________________

（1）平面内与两个定点f1，f2的距离之和等于常数（大于f1f2）的点的轨迹叫做椭圆；与两个定点f1，f2的距离之差的绝对值等于常数（小于f1f2）的点的轨迹叫做双曲线；与一个定点f和一条定直线l（l不经过点f）距离相等的点的轨迹叫做抛物线.

 

（2）已知点f是平面上的一个定点，l是平面上不过点f的一条定直线，动点p到点f的距离和它到直线l的距离之比是一个常数e．　当01时，动点p的轨迹是双曲线；当e=1时，动点p的轨迹是抛物线．

 

椭圆的几何性质

（1）你知道椭圆的焦半径公式吗？焦点弦公式还记得吗？

作答：______________________

（2）如何计算椭圆的焦点三角形的面积？

作答：______________________

（3）你知道如何求解椭圆的切线方程吗？

作答：______________________

以方程■+■=1（a>b>0）为例．

（1）①设p（x0，y0），f1，f2分别为其左、右焦点，则pf1=a+ex0，pf2=a－ex0；②过点f1（－c，0）的弦ab长为ab=2a+e（xa+xb），过点f2（c，0）的弦ab长为ab=2a－e（xa+xb），其中xa，xb分别为a，b两点的横坐标．

 

（2）设p点是椭圆上一点，f1，f2分别为其左、右焦点，则s■=b2tan■（θ为pf1，pf2的夹角）.　特别地，若pf1pf2，此三角形面积为b2．

 

（3）过椭圆■+■=1上一点p（x0，y0）处的切线方程是■+■=1；过椭圆■+■=1外一点p（x0，y0）所引两条切线的切点弦方程是■+■=1．

双曲线的几何性质

（1）双曲线的焦半径公式还会用吗？

作答：______________________

（2）如何计算双曲线的焦点三角形的面积？

作答：______________________

（3）与已知双曲线有同一条渐近线的双曲线方程如何表示？

作答：______________________

（4）你知道如何求解双曲线的切线方程吗？

作答：______________________

以方程■－■=1（a>0，b>0）为例．

（1）设p（x0，y0），f1，f2分别为其左、右焦点.　当点p在双曲线的左支上时，pf1=－ex0－a，pf2=－ex0+a；当点p在双曲线的右支上时，pf1=ex0+a，pf2=ex0－a．

 

（2）设p点是双曲线上一点，f1，f2分别为其左、右焦点，则s■=b2cot■（θ为pf1，pf2的夹角）.　特别地，若pf1pf2，此三角形面积为b2．

 

（3）与已知双曲线■－■=1有同一条渐近线的双曲线方程可以表示为■－■=t．　其中，当t>0时，焦点在x轴上；当t<0时，焦点在y轴上．

（4）过双曲线■－■=1上一点p（x0，y0）处的切线方程是■－■=1；过双曲线■－■=1外一点p（x0，y0）所引两条切线的切点弦方程是■－■=1．

抛物线的几何性质

（1）与抛物线的焦点弦相关的四条性质，你还记得吗？

作答：______________________

（2）你知道如何求解抛物线的切线方程吗？

作答：______________________

以y2=2px（p>0）为例．

（1）设过焦点f的弦ab的端点坐标为a（x1，y1），b（x2，y2），a，b在准线x=－■上的射影分别为a1，b1，则①y1y2=　－p2，x1x2=■p2；②af=x1+■，bf=x2+■，ab=x1+x2+p；③∠a1fb1=90°；④以ab为直径的圆与准线l相切．

 

（2）过抛物线y2=2px（p>0）上一点p（x0，y0）处的切线方程是y0y=p（x+x0）；过抛物线y2=2px（p>0）外一点p（x0，y0）所引两条切线的切点弦方程是y0y=p（x+x0）．

 

直线与圆锥曲线的位置关系

（1）如何判断直线与圆锥曲线的交点？

作答：______________________

（2）圆锥曲线与直线的弦长公式你还记得吗？

作答：______________________

（3）求轨迹方程的常用方法有哪些？

作答：______________________

（1）若直线斜率存在，则联立圆锥曲线方程和直线方程，消元后得到一元二次方程，可根据δ来判断交点个数，最多只有两个交点，最少无交点，可能为0，1，2个；消元后得到一元一次方程，只有一个交点．　若斜率不存在，则可用数形结合法判断.

 

（2）若设直线l与圆锥曲线f（x，y）=0交于a（x1，y1），　b（x2，y2），则当直线l垂直于x轴时，弦长容易求得；当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+b，则ab=■x2-x1=■■．

椭圆形面积公式篇6

椭圆上任意一点到F1，F2距离的和为2a，F1，F2之间的距离为2c。而公式中的b²=a²-c²。b是为了书写方便设定的参数。

又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx²+ny²=1（m>0，n>0，m≠n）。即标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ，y=bsinθ

椭圆形面积公式篇7

（）必做1 定义离心率e=的椭圆为“黄金椭圆”，已知F（-1，0），F（1，0）分别为椭圆Ω的左、右焦点，过F的直线与椭圆交于A，B两点，且+=2 .

（1）求证：椭圆Ω为“黄金椭圆”；

（2）求ABF面积的最大值.

[牛刀小试]

破解思路 第（1）问即证椭圆Ω的e=，可以直接利用题目中的关系得到，但是有一定的运算量，若知道极坐标方程，则可迅速解决.同时这也是圆锥曲线中的一个定点定值问题，即+是一个定值. 第（2）问将面积用函数表示出来，利用处理函数最值的方法进一步求解.

精妙解法 法1：（1）设椭圆Ω的方程为+=1（a>b>0），c=1，且设A（x，y），B（x，y）.

所以

AF=ex+a，

BF=ex+a，代入+=2得a（x+x+2a2）=2[xx+a2（x+x）+a4]（*）.

当ABx轴时，x=x=-1，代入（*）得（a2-1）（a2-a-1）=0，故a=.

当AB不垂直x轴时，由b2x2+a2y2=a2b2与直线y=k（x+1）联立得：

（a2k2+b2）x2+2a2k2x+a2k2-a2b2=0，从而x+x=，xx=，代入（*）得（k2+1）（a2-1）（a2-a-1）=0，故a=.

综上：a=，从而e==，即椭圆Ω为“黄金椭圆”.

法2：椭圆的极坐标方程为ρ=（P为焦准距）（以F为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，用椭圆的第二定义即可推出），设A（ρ，θ），B（ρ，θ+π）.

则ρ=，ρ=，故+=，所以eP=1，故a2-a-1=0，得a=，从而e=，即椭圆Ω为“黄金椭圆”.

（2）设直线AB：x=my-1，与椭圆方程b2x2+a2y2=a2b2联立得（a2+b2m2）y2-2b2my+b2-a2b2=0.

S=・2c

y

-y=

y

-y==.

设f（t）=（t≥0），而f ′（t）=

极速突击 此类题目是过焦点的弦与椭圆相交的问题，焦点弦本身具有很多性质，同学们在学习时要多加积累，注重用基本方法进行计算，最值问题转化为函数问题的研究，从而使问题得以突破.

误点警示 （1）有的同学容易在第（1）问的解答中，采用特殊位置求解，作为解答题，本题更需一般化；（2）对于最值问题的处理，手段单一，运算不过关极易导致错误；（3）极坐标参数方式虽是选修模块的内容，但笔者认为这是在圆锥曲线中必须补充的一块零界性内容，用它可以更好地处理有关线段长度和角度结合的问题.

（）必做2 已知椭圆C：+=1，过点P

，

-而不过点Q

，1的动直线l交椭圆C于A，B两点.

（1）求∠AQB；

（2）记QAB的面积为S，证明：S

[牛刀小试]

破解思路 第（1）问中，设出A，B两点的坐标，利用向量，的数量积求出其夹角，即为∠AQB，但是要注意直线l的斜率不存在的情况. 第（2）问中，结合分类讨论的思想，将QAB的面积用函数表示出来，可以结合函数导数、不等式、放缩法等处理最值或者取值范围问题.

精妙解法 （1）若直线l的斜率不存在，则l：x=，易得A，B两点的坐标为

，

±，∠AQB=90°.

若直线l的斜率存在，设它的方程为y=kx+b，因为点P在直线l上，所以 -=k+b，故b=-（k+1）.

联立直线l和椭圆C的方程，消去y，得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-4=0.

设A（x，y），B（x，y），则x+x= -，xx=，

y+y=k（x+x）+2b=-+2b=，

y・y=（kx+b）（kx+b）=k2xx+kb・（x+x）+b2

=k2・+kb・

-+b2=.

由=（x-，y-1），=（x-，y-1），

得・=（x-，y-1）・（x-，y-1）

=（x-）（x-）+（y-1）（y-1）

=xx-（x+x）+2+yy-（y+y）+1

=-・

-+2+-+1

=[3b2+2k2+2b（2k-1）-1]

=

（

k+1）2+2k2-

（

k+1）・（

2k-1）-1=0.

所以，显然A，Q，B三点互不相同，所以∠AQB=90°.

因此，∠AQB=90°.

（2）由（1）知∠AQB=90°，所以QAB是直角三角形.

如果直线QA或QB的斜率不存在，易求得QAB的面积为S=2

如果直线QA和QB的斜率都存在，不妨设直线QA的方程为y=m（x-）+1，代入椭圆C的方程，消去y，得（2m2+1）x2-4m（m-1）x+2（m-1）2-4=0.

由已知可得

QA

=・=・.

同理可得

QB

=・=・.

于是，QAB的面积为

S=

QA

・

QB

=・・・・

=4・・（m2+1）

= 4・（m2+1）・

= 4・.

令=cosθ，=sinθ，则S=4・.

注意到

cosθ

+sinθ=・

sin（θ+φ）

≤=，2+sin2θ≥2，且等号不能同时取得，所以S

对于解析几何中的最值和范围问题，一般可用建立目标函数的方法解决之.若能把所求参数表示成某一个变量的函数，则问题就可归为求这个函数的最值（或值域）.

解析几何中的定值问题，所涉及的量“照理”应是一个变量，即这个量应随某一个量的变化而变化，若它真的是一个定值，则它“恰巧”与这个量的变化无关；所以我们只须“装腔作势”地把它表示成关于这个变量的函数，化简以后必可得这个函数为常数，从而问题也得到解决.

利用方程思想破解解析几何问题

（）必做3 已知曲线C是以原点O为中心，F，F为左、右焦点的椭圆，曲线C是以O为顶点、F为焦点的抛物线，A是曲线C和曲线C的交点且∠AFF为钝角，若

AF=，

AF=.

（1）求曲线C和C所在的椭圆和抛物线的方程.

（2）过F作一条与x轴不垂直的直线l，与曲线C交于点B，E，与曲线C交于点C，D，若G为CD的中点，H为BE的中点，那么是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

[牛刀小试]

破解思路 根据椭圆和抛物线的定义结合图象得到曲线方程，注意∠AFF为钝角这个条件.对于解析几何中的探索性问题，我们可以用特殊位置尝试是否为定值，以及该定值为多少，以确定证明的方向，将线段的长度用弦长公式表示出来，注意式子中分子、分母的“齐次”性，以便方程联立，将韦达定理代入化简.

精妙解法 （1）由

AF+

AF=+=6，即有2a=6，解得a=3.

设A（x，y），F（-c，0），F（c，0），则有

AF=，即（x+c）2+y2=

2①.

同理，由

AF=，得（x-c）2+y2=

2②.

则由①-②可得：xc=③，而由抛物线的定义可知：

AF=x+c=④.

由③④可解得x=1，

c=或

x=，

c=1， 但∠AFF是钝角，故

x=，

c=1.

所以所求的椭圆方程为+=1，抛物线方程为y2=4x.

（2）设B（x，y），E（x，y），C（x，y），D（x，y），直线方程为y=k（x-1）且k≠0.

由y=k（x-1），

+

=1消去x整理可得：（9k2+8）y2+16ky-64k2=0，

所以，由韦达定理可得：y+y= -，yy=.

由y=k（x-1），

y2=4x消去x整理可得：ky2-4y-4k=0，

所以，由韦达定理可得：y+y=，y3y4=-4.

=====3， 故=3，即定值为3.

另解：由已知可得

GF =

CF -CG =（

x+1）

-=

，

且

HF =

BF

-BE =

3-

x -=

・.

将以上各值代入得==3.

（）必做4 已知椭圆C的中心为原点，点F（1，0）是它的一个焦点，直线l过点F与椭圆C交于A，B两点，且当直线l垂直于x轴时，・=.

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在直线l，使得在椭圆C的右准线上可以找到一点P，满足ABP为正三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由.

[牛刀小试]

破解思路 解析几何是用代数的方法解决几何问题，处处体现函数方程思想，本题第（1）问直接利用相应关系求解即可. 在处理ABP为正三角形时，注意转化与化归，将“角度”与“长度”有效结合，建立方程求解，利用方程的解的个数来反映直线的条数. 同时直线与方程联立，将韦达定理与“长度”方程有效结合起来是解决本题的关键，但是注意别忽视斜率不存在的情况. 另外，在练习时也可以将“等边三角形”变为“等腰三角形”.

精妙解法 （1）设椭圆C的方程为：+=1（a>b>0），则a2-b2=1①.

因为当l垂直于x轴时，A，B两点的坐标分别是1

，和1，

-，

所以・=1，

・1，-

=1-，则1-=，即a2=6b4 ②.

由①②消去a，得6b4-b2-1=0，所以b2=或b2=-（舍去）.

当b2=时，a2=. 因此，椭圆C的方程为+2y2=1.

（2）设存在满足条件的直线l.

①当直线l垂直于x轴时，由（1）的解答可知AB==，焦点F到右准线的距离为d=-c=，此时不满足d=AB. 因此，当直线l垂直于x轴时不满足.

②当直线l不垂直于x轴时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x-1）.

联立y=k（x-1），

+2y2=1?（6k2+2）x2-12k2x+6k2-3=0.

设A，B两点的坐标分别为（x，y）和（x，y），则x+x=，xx=.

由此可得AB=

x

-x=

==.

又设AB的中点为M，则x==.

当ABP为正三角形时，直线MP的斜率为k=-，因为x=，

所以MP=

x

-x=・

-

=・.

当ABP为正三角形时，MP=AB，即・=・，解得k2=1，k=±1.

因此，满足条件的直线l存在，且直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.

对定值问题的解题步骤可归纳为：一选，二求，三定值.具体操作程序如下：一选，选择参变量.需要证明为定值的量“照理”应该是变量，它应该随某一个量的变化而变化，可选择这个量为参变量（有时可选择两个参变量，然后由其他辅助条件消去其中一个）.二求，求出目标函数或目标方程，把需要证明为定值的量表示成关于上述参变量的函数或方程.三定值：化简函数解析式或求解相关方程得到定值.由题目的结论可知要证明为定值的量必与参变量的大小无关，故求出的函数必为常数函数，所以只需对上述函数的解析式进行必要的化简即可得到定值，如必做3.

利用不等式知识破解解析几何问题

（）必做5 已知直线l：x-my-=0，椭圆C：+y2=1（m>1）.

（1）是否存在实数m，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且AB=？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若原点O在以线段AB为直径的圆内，求m的取值范围.

[牛刀小试]

破解思路 第（1）问利用弦长公式建立方程求m.第（2）问原点O在以线段AB为直径的圆内转化为代数关系式・

精妙解法 （1）联立l：x-my-=0与C：+y2=1（m>1）整理得：

2y2+my+-1=0，Δ=m2-4×2・

-1=8-m2>0，所以1

y

-y==，解得：m2=3或m2=4.

又1

（2）原点O在以线段AB为直径的圆内等价于・

my

+

my

+=m2yy+（y+y）+，所以x1x2+y1y2=（m2+1）

-

+-

+

（）必做6 已知动点P与双曲线-=1的两个焦点F，F的距离之和为定值，且cos∠FPF的最小值为-.

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）若已知D（0，3），M，N在动点P的轨迹上且=λ，求实数λ的取值范围.

[牛刀小试]

破解思路 第（1）问利用椭圆中的焦点三角形的边角关系，利用余弦定理，建立不等式求解. 第（2）问由向量之间的联系，找到对应点坐标之间的关系，得出λ与k的等量关系，由k的取值范围，建立不等式求出λ的取值范围.

精妙解法 （1）双曲线的焦点的坐标为F（-，0），F（，0），则有

F

F=2，设

PF+

PF=2a.

在F1PF2中，可得cos∠FPF=

=-1.

由cos∠FPF有最小值，故4a2-20>0，而

PF

PF≤2=a2.

故有cos∠FPF≥-1= -，解得a2=9.

故点P的轨迹是以F，F为焦点，长轴长为6的椭圆，a2=9，c=，b2=4，故椭圆方程为+=1.

（2）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+3，M（x，y），N（x，y），

则由y=kx+3，

4x2+9y2=36消去y可得：（9k2+4）x2+54kx+45=0.

由Δ=b2-4ac=（54k）2-4×45（9k2+4）>0，解得：k2 >.

又x+x=，xx=，=λ，则有

x=λ

x，

y-3=λ（

y-3），

所以x+x=（λ+1）x，xx=λx，即xx=・

2=，整理可得：=+9.

因为k2>，所以0

所以9

而当直线的斜率不存在时，λ=或λ=5.

综上所述，λ∈

，1∪（1，5].

极速突击 解决此类问题的关键在于找到题目中存在的不等关系求出取值范围，一般根据方程联立有解得Δ≥0，以及题目中给定的条件. 在解析几何中，几何的关系是最为直接的，要善于发现其中的联系.同时要真正掌握变量消参的思想，使得在变量较多的情况下，清晰转化.

圆与圆锥曲线的综合

（）必做7 如图1，已知椭圆C：+y2=1（a>1）的右焦点为F（c，0）（c>1），点P是圆O：x2+y2=1上任意一点（点P在第一象限内），过点P作圆O的切线交椭圆C于Q，R两点.

[O][P][R][F][x][y][Q][图1]

（1）证明：PQ+FQ=a；

（2）若椭圆离心率为，求线段QR长度的最大值.

[牛刀小试]

破解思路 第（1）问利用直线QR为圆的切线，则OPQR结合焦半径公式证明PQ+FQ=a. 第（2）问是圆锥曲线中的线段最值问题，利用不等式解决.

精妙解法 （1）设Q（x，y）（x>0），得

FQ

=a-ex，由PQ是圆x2+y2=1的切线，

可得

PQ

==，注意到+y=1，

所以PQ===ex，所以

PQ

+

FQ

=a.

（2）由题意，e==，所以a=2.

设直线QR的方程为y=kx+m，因为点P在第一象限，所以k0.由直线QR与圆O相切，所以=1，所以m2=k2+1.

由y=kx+m，

+y2=1 消y可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0. 设Q（x，y），R（x，y），则x+x=-.

由（1）知，PR=ex，所以QR=e

x

+x=-

=4・=4・.

因为m2+3k2≥2mk，所以QR≤4・=2 .

当且仅当m=-k时，QR取最大值2，此时直线QR的方程为y=k（x-）.

另解：由（1）同理可求

PR

+

FR

=a=2，则QR+QF+FR=4，

QR≤QF+FR，2QR≤QR+QF+FR=4，所以QR≤2，

当且仅当直线QR过焦点F时等号成立，从而QR=2.

（）必做8 设椭圆E：+=1（a>b>0）过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求AB的取值范围；若不存在，请说明理由.

[牛刀小试]

破解思路 对于第（2）问，可以先通过特殊情况（切线斜率不存在时）将圆的方程解出，此时可得切线与圆的交点分别为（r，r），（r，-r），即为A，B两点，然后迅速解出r2=，之后在明确圆的情况下，再证明对于一般情况下是否能满足：切线与椭圆有两个交点A，B，使. 这两点在明确了圆的方程之后不难“验证”.这种做法的优势在于“早早明确了目标”.

精妙解法 （1）因为椭圆E：+=1（a>b>0）过M（2，），N（，1）两点，所以

+

=1，

+

=1，解得

=，

=，所以a2=8，

b2=4，椭圆E的方程为+=1.

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x，y），B（x，y），且. 设该圆的切线方程为y=kx+m，联立可得y=kx+m，

+

=1，即x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，则x+x= -，xx=.

Δ=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）>0，即8k2-m2+4>0.

yy=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km・（x1+x2）+m2=k2・-+m2=.

要使，需使x1x2+yy=0，即+=0，所以3m2-8k2-8=0，所以k2=≥0.

又8k2-m2+4>0，所以m2>2，

3m2≥8，所以m2≥，即m≥或m≤-.

因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r=，r2===，r=，所求的圆为x2+y2=，此时圆的切线y=kx+m都满足.

而当切线的斜率不存在时，切线x=±与椭圆+=1的两个交点为

，

±或

-，

±，满足.

综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且.

所以（x-x）2=（x+x）2-4xx=

-2-4・=，所以AB==.

当k≠0时，由此可得AB=，因为4k2++4≥8，所以0

1+≤12，

所以

当k=0时，AB=.

当切线的斜率不存在时，切线与椭圆的两个交点为

，

±或

-，±

，所以此时AB=.

综上，AB的取值范围为≤AB≤2，即AB∈

，

椭圆形面积公式篇8

1. 考纲解读

考试大纲要求考生了解圆锥曲线的实际背景，掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程和简单性质，了解双曲线的简单应用，理解数形结合思想.解答题以中档题和压轴题居多，主要考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力、综合运用数学知识解决问题的能力以及应用意识、创新意识.圆锥曲线部分注重对数形结合思想的考查，并且要求考生会对相关知识在更高层次上进行抽象概括，结合图形解决问题.然而多年的备考实践告诉我们，圆锥曲线也是考生较为棘手的内容，往往结果与期望值大相径庭.所以务实备考显得尤为关键，要科学规划、运筹帷幄，才能效益显著、决胜千里.

2. 备考策略

结合近几年广东卷对圆锥曲线的考查，各省市区的试题特点综合分析.如果我们能深刻领会考纲精神、准确驾驭广东卷的命题特点、注意各个相关考点的纵横联系，也许就能顺风顺水，甚至出奇制胜.下面给出备考的几个关键词.

2.1 回归定义

三种圆锥曲线的定义中，椭圆、抛物线要求考生掌握，而双曲线只要求考生了解，复习时应该准确定位.

例1 若点M到直线y=-2的距离比它到点A（0，4）的距离小2，则点M的轨迹为（ ）

A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线

解析 依题意，点M到直线y=-2的距离比它到点A（0，4）的距离小2，即点M到直线y=-2的距离与它到点F（0，2）的距离相等，即点M的轨迹是以F（0，2）为焦点，以直线y=-2为准线的抛物线，故选D.

点评 本题主要考查抛物线的定义，属容易题，面对所有考生.

例2 椭圆+的左焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点A、B，当FAB的周长最大时，FAB的面积是____________.

解析 当直线x=t过右焦点时FAB的周长最大，依题意椭圆+=1的右焦点坐标为（3，0），所以m=3.将x=3代入+=1解得y=±，所以SFAB=×6×=，故填.

点评 本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、，考查推理论证能力、基本运算能力，以及数形结合思想，难度适中.

2.2 几何性质

解析 几何主要研究曲线的方程和根据方程研究曲线，那研究曲线的什么？几何性质是很重要的方面，在圆锥曲线方程中的范围、对称性、离心率、准线以及双曲线的渐近线中，以离心率为平台的试题是以往高考命题的主要方式，因为离心率可以从公式切入，转化为解方程，也可以从图形切入，数形结合，还可以引入变量求离心率的取值范围转化为解不等式等等.

例3 已知F1、F2是椭圆的两个焦点.满足[PF1][]·[PF2][]=0的点P总在椭圆内部，则椭圆离心率e的取值范围是（ ）

A.（0，1） B.（0，]

C.（0，） D.[，1）

解析 考虑极端情况，当P点在椭圆上时，由[PF1][]·[PF2][]=0知PF1F2是等腰直角三角形，这时b=c=a，离心率e==，当点P在椭圆内时，由[PF1][]·[PF2][]=0，知离心率变小了，故离心率0

点评 选择题主要有两种题路，一是直接解出结果，二是间接得出结果，本解法属后者，椭圆离心率越大即越接近1，椭圆越扁，椭圆离心率越小即越接近0，椭圆越圆，直觉思维加逻辑推理更有利于问题的解决.

例4 已知椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则C椭圆的方程为（ ）

A. +=1 B. +=1

C . +=1 D. +=1

解析 因为椭圆的离心率为，所以e==，c2=a2，c2=a2=a2-b2，所以b2=a2，即a2=4b2，双曲线的渐近线为y=±x，代入椭圆得+=1，即+==1，所以x2=b2，x=±b，y2=b2，y=±b，则第一象限的交点坐标为（b，b），所以四边形的面积为4×b×b=b2=16，所以b2=5，所以椭圆方程为+=1，选D.

点评 本题以离心率为条件，用椭圆的隐含条件c2=a2-b2以及离心率e==，再结合图形利用四边形的面积公式得以解决，诠释了解析几何中的数形结合思想.本题考查考生运算求解能力，推理能力，属中等难度的试题，基本功不过硬的考生会混淆椭圆和双曲线中的数量关系a2=b2+c2与c2=a2+b2.

2.3 轨迹方程

宏观上讲，解析几何问题就两个，一是求曲线方程，而是根据方程研究曲线.求曲线方程有直接法、定义法、相关点法、参数法等基本方法，特别强调直接法，这是基础.

例5 已知曲线C上动点P（x，y）到定点F1（，0）与定直线l1∶x=的距离之比为常数，求曲线C的轨迹方程.

解析 （1）过点P作直线l的垂线，垂足为D.

=，=，化简得+y2=1，

所以曲线C的轨迹方程为+y2=1.

点评 站在教师角度肯定知道这是椭圆的第二定义，也就是圆锥曲线统一的定义，考生做此题，要求会用直接法，设动点P（x，y），在建立方程=，再化简方程这一系列步骤.

例6 在平面直角坐标系中xOy，已知椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率e=，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由.

解析 （1）由e=得a2=3b2椭圆的方程为x2+3y2=3b2，椭圆上的点到点Q的距离d===（-b≤y≤b）.

当-b≤-1即b≥1时，dmin==3得b=1.当-b>-1即b

（2）若存在点M（m，n）满足题意，易知SOAB=OA·OBsin∠AOB=sin∠AOB，当∠AOB=90°时，SOAB取得最小值，这时点O到直线l的距离dO-l==，所以m2+n2=2.又因为M（m，n）在椭圆+y2=1上，+n2=1，将两者联立解得m2=，n2=，所以点M的坐标为（，）或（-，）或（，-）或（-，-），对应的OAB的面积为.

点评 本题是一道综合性的题目，考查直线、圆与圆锥曲线的问题，涉及到最值与问题的探索性，立意为考查考生的综合分析问题与运算求解的能力，函数思想、转化思想、分类讨论以及数形结合都有所涉及.常规的题路，从过程来看的确不难，立意明确，第（1）小题是常规的代入并配方再分类讨论，考生容易因答题不严谨而丢分，第（2）小题结合图形更简单.

2.4 位置关系

直线和圆锥曲线的位置关系是历年高考的难点、热点，解析几何作为几何学的一个分支，不可缺少的是几何味道.而解析几何是用代数方法研究几何问题，如果太强调对方程不等式的研究，就失去了解析几何本身的几何味道.

例7 经过抛物线y2=x的焦点是和点M（1，1），且与准线相切的圆共有 个.

解析 因为抛物线y2=x关于x轴对称，点M（1，1）在抛物线y2=x上，其焦点为F（，0），准线方程为x=-，结合图形可知，满足条件的圆有2个，故填2.

点评 本题若用传统方法，设动点、列方程组、解方程组完成，是比较繁琐的，考虑到图形本身的几何特性，以及客观题只求结果不求过程的特点，主要解决时合理的.

例8 椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为2，并与直线y=x+2相切.

（1）求C椭圆的方程；

（2）如下图，过圆D：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线m，n. 求证：mn.

解析 （1）由2a=2知a=，依题意可设椭圆方程为+=1 .又直线y=x+2与椭圆相切，代入后方程（b2+3）x2+12x+12-3b2=0满足=0 .

由此得b2=1，故椭圆C的方程为 + y2=1.

（2）设P（x0，y0）.当x0=±时，有一条切线斜率不存在，此时，刚好y0=±1.可见，另一条切线平行于x轴，mn.

设x0≠±，则两条切线斜率存在.设直线m的斜率为k，则其方程为y-y0=k（x-x0）即y=kx+y0-kx0.代入+y2=1并整理得：

（1+3k2）x2+6k（y0-kx0）x+3（y0-kx0）2-3=0.

由=0，可得（3-[x][2]）k2+2x0y0k+1-[y][2]=0.

注意到直线n的斜率也适合这个关系，所以m，n的斜率k1，k2就是上述方程的两根，由韦达定理，得k1k2=. 由于点P在圆D：x2+y2=4上，3-[x][2]=-（1-[y][2]），所以k1k2=-1.这就证明mn.综上所述，过D圆上任意一点P作椭圆C的两条切线m，n，总有mn.

点评 本题两个小题都以直线和椭圆相切为切入点，把几何问题转化为一元二次方程根的问题，用代数方法解决几何问题很有创意，两条切线m，n从位置上看是同构的关系，所以m，n的斜率k1，k2也同构，可以使用同理可得，诠释了数形结合思想的灵活性.

2.5 方程研究

用方程研究曲线使解析几何试题的共同特点，需要考生有较强的运算求解能力，体现数形结合思想，特别是在研究直线和圆锥曲线的位置关系时，经常会联立直线与圆锥曲线的方程，通过方程的研究来确定其几何特性，值得重视.

例9 平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A，B两点，若N点是点C关于坐标原点O的对称点，则ANB面积的最小值为 .

解析 依题意，点N的坐标为（0，-p），可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程为：y=kx+p，则直线方程y=kx+p与x2=2py，联立得x2=2py，

y=kx+p，消去y得x2-2pkx-2p2=0，由根与系数的关系得x1+x2=2pk，x1x2=-2p2.于是SANB=SBCN+SACN=×2px1-x2=px1-x2=p=p=2p2.

所以当时k=0，ANB的面积最小，且（SANB）min=2p2，故填2p2.

点评 本题不仅联立方程解方程组，还将三角形的面积关于k的关系式转化为函数的最值来研究，即用方程研究曲线.

例10 在平面直角坐标系xOy中，直线m过抛物线 y2=4x的焦点F.且与该抛物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方.若直线m与直线n：x+y-2=0垂直.则OAF的面积为 .

解析 由y2=4x可求得焦点坐标F（1，0），因为直线m与直线n：x+y-2=0垂直.，所以直线m的斜率为km==-=，利用点斜式，直线方程为y=x-，将直线方程和抛物线方程联立y=

x-

，

y2=4x?A（3，2

），

B（

，-

），因此SOAF=×OF×yA=×1×2=，故填.

点评 将直线方程和圆锥曲线方程联立，方程的根即为两者交点的坐标，这时笛卡尔的第一个基本观念，用坐标表示点，将位置关系转化为方程的根的问题.

2.6 实际应用

新的考试大纲明确提出应用意识是对考生能力要求之一，要求考生能综合应用数学知识、思想、方法解决实际问题，传统观念觉得应用意识就是概率题和函数题，这种认识很片面，应用无处不在，可以渗透到数学的每个角落，当然也包括解析几何.

例11 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①a1+c1=a2+c2 ②a1-c1=a2-c2

③c1a2>a1c2 ④

其中正确式子的序号是（ ）

A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④

解析 因为椭圆的顶点和对应焦点间的距离PF=a-c，显然②正确，从直观上看轨道I比轨道Ⅱ更扁，故离心率e1>e2，即③正确，选B.

点评 本题强调几何直观，主要是判断，而非计算.

例12 下图是抛物形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米

解析 设水面与桥的一个交点为A，如图建立直角坐标系则，A的坐标为（2，-2）.设抛物线方程为x2=-2py，带入点A得p=1，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为（x0，-3），则[x][2]=-2x-3，x0=±，所以水面宽度为2，故填2.

点评 源于课本且高于课本是命题的特点之一，直觉加推理是解决此类问题的关键，把实际问题情境数学化，用方程表示曲线使几何问题在方程中得以解决.

2.7 综合应用

笛卡尔的两个基本观念是，用坐标表示点和用方程表示曲线，成熟的解析几何问题，首先它是一个几何问题，应该有浓厚的几何味道.研究方法可以通过方程研究，也可以从图形切入通过几何方法研究.从思想方法角度看，解析几何问题体现数形结合思想和转化思想，可以再数与形之间相互转化.因此可以联系函数、方程、不等式、平面几何、三角函数、平面向量等知识，命题的素材比较广泛，要求考生有扎实的基础和严谨的知识结构才能灵活运用.

例13 在直角坐标系xOy上取两个定点A1（-2，0），A2（2，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n） ，且mn=3.

（1）求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；

（2）已知点A（1，t）（t>0）是轨迹M上的定点，E，F是轨迹M上的两个动点，如果直线AE的斜率KAE与直线AF的斜率KAF满足KAE+KAF=0，试探究直线EF的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.

解析 （1）依题意知直线A1N1的方程为：y=（x+2）…①

直线A2N2的方程为：y=-（x-2）…②

设Q（x，y）是直线A1N1与A2N2交点，①×②得y2=

-（x2-4）.

由mn=3，整理得 + =1.

N1，N2不与原点重合，点A1（-2，0），A2（2，0）不在轨迹M上.

轨迹M的方程为 + =1（x≠±2）.

（2）点A（1，t）（t>0）在轨迹M上，+=1，解得t=，即点A的坐标为（1，），设KAE=k，则直线AE方程为y=k（x-1）+，代入 + =1并整理得（3+4k2）x2+4k（3-2k）x+4（-k）2-12=0.

设E（xE，yE），F（xF，yF）， 点A（1，）在轨迹M上，

xE=…③，yE= kxE+-k…④，又kAE+kAF=0得kAF=-k，将③④式中的k代换成-k，可得xF=，yF=-kxF++k.

直线EF的斜率kEF= =.

xE+xF=，xF-xE=，

kEF===.

即直线EF的斜率为定值，其值为 .

点评 本题立足于交轨法，第（1）小题注重几何特性，第（2）小题更加注重用方程的办法研究图形，要求考生会寻根溯源，回到知识的起点，学会基本方法.

3. 来年展望

加强数学探究能力和创新能力的培养，是新课标的重要理念，这个理念在近5年广东高考数学试题中体现得尤为深刻.特别是圆锥曲线，每年都有一些背景新颖、内涵深刻的试题出现，例如前几年的阅读型问题、操作类问题以及2012年探索型问题等，通过对近年尤其是近3年的高考题的研究，可以从中看出些端倪.展望2013年高考，圆锥曲线试题应该继续保持稳定，难度可能略有下降，应该体现在入手上，试题会有浓浓的几何味儿，体现数形结合思想.

1. 若双曲线C1：-=1（a1>0，b1>0）和双曲线C2：-=1（a2>0，b2>0）的焦点相同，且a1>a2给出下列四个结论：

①[a][2]-[a][2]=[b][2]-[b][2]；②>；③双曲线C1与双曲线C2一定没有公共点；④a+a>b+b2，其中所有正确的结论序号是（ ）

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④

命题立意 本题立足双曲线的标准方程，研究标准方程中基本量a、b、c之间的关系c2=a2+b2，因有相同的焦点，故c1=c2，即[a][2]-[a][2]=[b][2]-[b][2]，①正确. 又a>a，且[a][2]+[b][2]=[a][2]+[b][2]，所以b

2. 已知ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（ ）

A. 2 B. 6 C. 4 D. 12

命题立意 本题立足椭圆的定义，要求考生有一定的几何素养，会站在吉诃德角度看问题.即椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数2a，结合图形可知ABC的周长等于常数2a的2倍，即4a，依题意a=，所以4a=4，故选C.

3. 中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y=±2x，则该双曲线的离心率为 .

命题立意 本题是基本题，考查双曲线的离心率的基本运算，绝大多数考生都不成问题，但需要考生思维慎密，即考虑焦点的不同位置而进行分类讨论，当双曲线的焦点在x轴上时，易知离心率e=，当双曲线的焦点在y轴上时，易知离心率e=，故填或.

4. P为抛物线y2=4x上任意一点，P在y轴上的射影为Q，点M（4，5），则PQ与PM长度之和的最小值为 .

命题立意 本题立足抛物线的定义，抛物线上的点到其焦点的距离等于到其准线的距离，因为抛物线y2=4x焦点F（1，0）.用抛物线的定义知PM+PQ=PM+PF-1，从而PM+PF的最小值是MF=，所以答案为-1.

5. 设A、B分别为椭圆+=1（a>b>0）的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且直线x=1截椭圆所得弦长为2且点（1，）在该椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A的点M，证明：MBP为钝角三角形.

命题立意 本题立足圆锥曲线的基本方法，但切入点注重几何味道，将几何问题代数化是我省考生的薄弱环节，2012年第20题答题情况就是很好的说明，今年应该继续重视.

解析 ：（1）由题意可得：2a=4，可得a=2.这时椭圆方程可以简化为+=1，又直线x=1截椭圆所得弦长为，即点（1，）在该椭圆上，代入解得b2=1，所以所求椭圆的方程为+y2=1.

（2）由（1）知A（-2，0），B（2，0）.设P（4，t）（t≠0）.M（xM，yM），

直线PA的方程为：y=（x+2），由y=

（x+2），

x2+4y2=4，得（9+t2）x2+4t2x+4t2-36=0，直线PA与椭圆交于异于A的点M.

-2+xM=，所以xM=.由yM=（xM+2）得yM=，即M（，），从而=（-，），=（2，t）.

·=-+=-

6. 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为（，0），右顶点为（2，0）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l∶y=ky+与椭圆C恒有两个不同的交点A和B，且·>2（其中O为原点），求k的取值范围.

命题立意 本题立足圆锥曲线的基本方法，起点低，比较容易入手，第（1）小题面向全部考生，第（2）回归到解析几何的实质问题，用方程研究图形.

解析 （1）由题意可得：a=2，c=，b===1，

所求的椭圆方程为：+y2=1.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）由

+y2=1，

y=kx+

， 得（+k2）x2+2kx+1=0，

x1+x2=，x1x2=（?）.=（2k）2-4·（+k2）>0，

解得：k>或k2，可得x1x2+y1y2>2，x1x2+（kx1+）（kx2+）>2，整理得：（1+k2）x1x2+k（x1+x2）>0，

把（?）代入得：（1+k2）·+k·>0，

即>0，解得-

综上所得，k的取值范围是（-，-）∪（，）.

椭圆形面积公式篇9

一、 问题的探究

有这样两道题目请大家欣赏：

【例1】 已知P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1,F2是椭圆的左右焦点.若∠PF1F2=60°,∠PF2F1=30°，则椭圆的离心率是 .

分析 当研究椭圆上的点与两焦点组成的三角形问题时，常用椭圆定义及正余弦定理。

点拨 解法一属于通解通法，解法二精妙简单。

【例2】 已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点.若椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2=90°，则椭圆离心率的取值范围是 .

分析 例2与例1表面上好像是一样的，但实际上有很大区别。例1中的∠PF1F2=60°,

∠PF2F1=30°，其实点P已经确定，或者确切的说PF1F2的形状已经确定，因此椭圆离心率是个固

点拨 此种解法主要利用椭圆的有界性来建立起参数a,b,c中的不等关系，从而达到求解离心率范围的目的。对学生的计算推理能力要求较高。

解法二 由焦半径公式得|PF1|=a+ex,|PF2|=a－ex，

点拨 解法三无论在计算上还是在思维上都有优势。希望同学们能从不同的角度来分析问题从而感悟数学的奥妙――数学因探索而美丽!

解法四 由点P是椭圆上的点，则PF1+PF2=2a， ①

又PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2=90°，则PF21+PF22=4c2. ②

联立得PF1+PF2=2a,PF1•PF2=2b2.因此PF1,PF2是关于x的方程x2－2ax+2b2=0的两根，则Δ=(－2a)2－4×2b2≥0

ba2≤12，而e=1－ba2∈22,1.

点拨 解法四利用的是方程有实根，判别式必须要为非负的思想，计算简洁明了，但对思维的要求较高。

解法五 由椭圆的定义，有2a=|PF1|+|PF2|,平方后可得

4a2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|≤2(|PF1|2+|PF2|2)=2|F1F2|2=8c2，

得c2a2≥12，所以e∈22,1.

点拨 由于|PF1|，|PF2|和为定值，所以|PF1|，|PF2|积有最大值，由此可构造不等式。

解法六 由题意知点P在以F1F2为直径的圆上，所以此圆与椭圆必有交点，故c≥b，c2≥a2－c2，e∈22,1.

点拨 解法六利用的是数形结合的思想，需要同学们对数与形的思想能够灵活掌握。

二、 问题的推广

在问题（2）中，若问当“∠F1PF2=120°时，结论又如何呢？”对于这个问题的解答，可仿照上述几种解法进行求解。笔者在教学的过程中，又提出了当“∠F1PF2=θ，(0°

重要结论：已知P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，图2

解法七 若椭圆上存在一点P,使∠F1PF2=90°，则∠F1PF2可能取到的最大值必然大于等于90°，即∠OBF2≥45°，易得ca≥22，e∈22,1.

牛刀小试

1. 已知焦点在x轴上的椭圆x24+y2b2=1（b>0），F1,F2是它的左右焦点，若椭圆上存在一点P使PF1•PF2=0,则b的取值范围是 .

2. 已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点.若椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2=120°，则椭圆离心率的范围是 .

3. 椭圆x29+y24=1的焦点为F1,F2，点P为其上动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的范围是 .

4. 设F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P是以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2=5∠PF2F1，则该椭圆的离心率为 .

5. 设椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两焦点为F1、F2，长轴两端点为A、B，若椭圆上存在一点Q，使∠AQB=120°,则该椭圆的离心率为 .

【参考答案】

椭圆形面积公式篇10

一、 椭圆中的定值问题

例1 徐州市2011―2012学年度高三第二次质量检测第18题

如图，已知椭圆C∶x24+y2=1，A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点

（1） 设P是椭圆C上任意一点，若OP=mOA+nOB，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动，并求出定圆的方程；

（2） 若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求OMN的面积是否为定值，说明理由.

解：（1） 点Q（m，n）在定圆x2+y2=12上.

(2) 设M（x1，y1），N（x2,y2）,则y1y2x1x2=-14.

平方得x21x22=16y21y22=(4-x21)(4-x32),即x21+x22=4.

因为直线MN的方程为(x2-x1)x-(y2-y1)-y+x1y2-x2y1=0,所以O到直线MN的距离为

d=|x1y2-x2y1|(x2-x1)2+(y2-y1)2,

所以OMN的面积

S=12MN・d=12|x1y2-x2y1|=

12x21y22+x22y21-2x1x2y1y2=

12x211-x224+x221-x214+12x21x22=12x21+x22=1.

故OMN的面积为定值.

评析：(2) 设M（x1，y1），N(x2,y2)，得出x21+x22=4是解题的关键.还可设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2,求出M,N的坐标；也可设M,N的坐标的参数形式.

例2 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点P62，12，离心率为22，动点M(2，t)(t>0)．

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 求以OM为直径且截直线3x－4y－5＝0所得的弦长为2的圆的方程；

(3) 设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值.

解： (1) 椭圆的标准方程为 x22＋y2＝1.

(2) 所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.

(3) 方法一：过点F作OM的垂线，垂足设为K，

由平面几何知识知|ON|2＝|OK||OM|.

则直线OM：y＝t2x，直线FN：y＝－2t(x－1)，

由y=t2x,

y=-2t(x-1) 得xK＝4t2+4，

|ON|2＝xK1+t24・xM1+t24＝4+t24・8t2+4＝2.

所以线段ON的长为定值2.

方法二：设N(x0，y0)，

则FN=(x0-1,y0)，OM=（2，t），MN=(x0-2，y0-t)，ON=（x0，y0）.

FNOM， 2（x0-1）+ty0=0， 2x0+ty0=2.

又 MNON， x0（x0-2）+y0(y0-t)=0,

x20+y20=2x0+ty0=2.

|ON|＝x20+y20=2为定值．

评析：方法一考察几何图形，由平面几何知识得到|ON|2＝|OK||OM的关系，目标转化为求xK；方法二设N(x0，y0)，利用向量垂直的性质得到2x0＋ty0＝2及x20＋y20＝2x0＋ty0＝2，整体代换求证目标.

二、 椭圆中的定点问题

例3 已知椭圆x24＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．

(1) 当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；

(2) 当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一个定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．

解答: (1) M-65,45.

(2) 设直线AM的斜率为k，则AM：y＝k(x＋2)，

则y=k(x+2)

x24+y2=1，化简得：(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.

因为此方程有一根为－2，所以xM＝2-8k21+4k2，同理可得xN＝2k2-8k2+4.

由(1)知若存在定点，则此点必为P-65，0.

因为kMP＝yMxm+65＝k2-8k21+4k2+22-8k21+4k2+65＝5k4-4k2，

同理可计算得kPN＝5k4-4k2.

所以kMP＝kPN，M、P、 N三点共线，

所以直线MN过x轴上的一个定点P-65，0.

评析：(2)实质是在(1)的基础上作出猜想然后证明M、P、 N三点共线；也可以求出M、N的坐标，写出直线MN的方程，然后整理成关于k的方程，进而求出定点坐标.

三、 椭圆中的定位问题

例4 ［2011・江苏卷］如图263，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆x24＋y22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.

图263

(1) 当直线PA平分线段MN时，求k的值；

(2) 当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；

(3) 对任意k>0，求证：PAPB.

解答： (1) k＝22.

(2) d＝223.

(3) 解法一：将直线PA的方程y＝kx代入x24＋y22＝1，解得x＝±21+2k2，

记μ＝21+2k2.则P(μ，μk)，A(－μ，－μk)，于是C(μ，0)，故直线AB的斜率为0+μ+kμ+μ＝k2，

其方程为y＝k2(x－μ)，代入椭圆方程得(2＋k2)x2－2μk2x－μ2(3k2＋2)＝0，

解得x＝μ(3k2+2)2+k2或x＝－μ，因此Bμ(3k2+2)2+k2，μk32+k2.

于是直线PB的斜率kPB＝μk32+k2-μkμ(3k2+2)2+k2-μ=k3-k(2+k2)3k2+2-(2+k2)=-1k.

因此kPBk＝－1，所以PAPB.

解法二：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，

设直线PB，AB的斜率分别为kPB，kAB，

因为C在直线AB上，所以kAB＝0-(-y1)x1-(-x1)=y12x1=k2.

从而kPBk＋1＝2kPBkAB＋1＝2・y2-y1x2-x1・y2-(-y1)x2-(-x1)＋1

＝2y22-2y21x22-x21＋1＝(x22+2y22)-(x21+2y21)x22-x21=4-4x22-x21=0.