线性代数十篇

线性代数篇1

【关键词】应用性 线性方程组 坐标几何 结构问题

贯穿数学发展的思想有两个，即希腊贵族学院式的论证数学与平民化的实用数学。线性代数可以说是从应用中来到应用中去的一门学科，尽管其发展与表达形式，脱离不了欧几里得经典几何的模式与影响。

1 从应用中来

公元4世纪我国《孙子算经》中有鸡兔同笼问题如下：

“今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？”

该问题的求解方法有很多，不过，采用列方程组的方法求解是很方便的。设鸡和兔的个数分别为和，则可建立如下一次方程组：

x+y=35

2x+4y=94

容易求得x=23，y=25.

无独有偶，《张丘建算经》中的百鸡问题：百钱买鸡百只，小鸡一钱三只，母鸡三钱一只，公鸡五钱一只。问小鸡、母鸡、公鸡各多少只？通过建立三元一次线性方程组，可类似求得解。

以上两例表明，正是实际应用问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。同时，我国古代天文历法资料表明，一次同余问题的研究，明显地受到天文、历法需要的推动。可以说，历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题。

2 坐标几何促发展

线性代数 （linear algebra） 作为代数学的一个分支，以向量空间与线性映射为研究对象的近展，则与法国数学家费马 （Fermat，1601 — 1665） 和笛卡儿 （Descartes，1596 — 1665） 创立的坐标几何工作直接相关。因此，线性代数基本上出现于 17 世纪。

从古希腊时代到1600年，几何统治着数学，代数居于附庸的地位。1600年以后，代数成为基本的数学部门。笛卡尔与费马提出的坐标几何改变了数学的面貌，坐标几何把数学造成一个双面的工具，几何概念可用代数表示，几何的目标，可通过代数达到。反过来，给代数语言以几何解释，可以直观地掌握那些语言的意义。坐标几何的显著优点，在于它提供了科学久已迫切需要的数量的工具。

笛卡尔批评希腊人的几何过于抽象，而且过多地依赖于图形。在长期的数学家的实践中，笛卡尔不仅掌握了专门的代数知识，并且看到了在提供广泛的方法论方面，代数的力量，看到了代数作为一门普遍的科学方法的潜力。因此，他主张采取代数和几何中一切最好的东西，互相以长补短。他说：“所有人们能够知道的东西，也同样是互相联系着的。”

笛卡尔在用代数解决几何作图的问题中，提出了用方程表示并研究曲线的思想，根据方程的次数对曲线分类，取消了希腊人关于判定曲线是否存在以是否可以画出为判别的标准；接着又提出用同一个坐标轴来写出两个不同曲线的方程，并且联立地解出这两个方程来求出这两条曲线的交点。笛卡尔把代数提高到重要地位，这个关键思想使人们能够认识典型的几何问题并且能够把几何形式上互不相关的问题归在一起，代数给几何带来最自然的分类原则和最自然的方法层次，意义重大。因此，体系和结构就从几何转移到代数，代数比几何变得更为重要。当然， 随后，微积分和无穷级数进入数学，牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）都认为微积分是代数的扩展。比如微积分中研究曲线的各种性质时往往采用“以直代曲”的思想，这里的“直”，自然是一次线性函数所对应的直线，说明了线性方法应用的普遍性。

如果所研究的关联性是线性的，那么称这个问题为线性问题。线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。 在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力。这就是实数向量空间的第一个例子。?现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效。由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用 9 维向量来表示 9 个国家的国民生产总值。当所有国家的顺序排定之后，比如 （中国， 美国，日本，英国， 法国， 德国，澳大利亚，西班牙， 印度），可使用向量 （v1， v2， v3， v4， v5， v6， v7， v8， v9） 显示这些国家某一年各自的国民生产总值。这里，每个国家的国民生产总值都在各自的位置上。

因此，线性代数处理的是几何对象，它的研究对象是向量、向量空间、线性变换和有限维的线性方程组，具体来说是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。从这个角度来看的话，可以说线性代数正是代数方法应用于几何问题的产物。

3 到应用中去

科学以自然规律作为研究对象，亚历山大·蒲柏有诗赞：

自然和自然法则在黑暗中隐藏。

上帝说，牛顿诞生！于是一片光明。

由于牛顿揭示了自然法则，因此对人类来说，牛顿简直就是光明的使者。

人们通常将自然问题分为三类：变化问题、结构问题、或然性问题。变化问题就是研究事物变化的规律，研究变化问题的是微积分；或然性问题是研究事物发生的可能性大小，比如买中奖的可能性，或然性问题用概率研究；结构问题就是当时间固定的时候事物之间的关系，结构问题就是代数研究的对象，线性代数是代数中基本也是最重要的内容。因此，为理工科大学生开设的高等数学、概率统计、线性代数等三门数学课程，正是为了分别研究这三类自然问题的。

在科技实践中，从实际中来的数学问题无非分为两类：一类线性问题；一类非线性问题。线性问题是研究最久、理论最完善的，我们可以简单地说数学中的线性问题是最容易被解决的，如微分学研究很多函数线性近似的问题。而非线性问题则可以在一定基础上转化为线性问题求解。因此遇到一个问题，首先判定是线性问题还是非线性问题；其次如果是线性问题如何处理，若是非线性问题如何转化为线性问题。可见线性代数作为研究线性关联性问题的代数理论的重要性。随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。

法国哲学家、数学家笛卡尔通过三条途径来研究数学：作为哲学家，作为自然的研究者，作为一个关心科学的用途的人。所以，笛卡尔的科学工作的一个重要之点，就是把科学成果付之应用，为了人类的幸福而去掌握自然。正是由于他的这种思想观，才会有将代数方法应用于几何的坐标几何的诞生，而正是由于坐标几何的创立，才迎来了数学的新阶段，线性代数也才得以发展，因此线性代数具有广泛的应用特性，也就不足为怪了。

1973年第五届诺贝尔经济学奖得主为哈佛大学的教授Wassily Leontief ，他于1949年提出的投入产出模型 （Input-output Analysis） ，就是用线性方程组描述投入产出表所反映的经济内容的。作为一种科学的方法来说，投入产出法，是研究经济体系（国民经济、地区经济、部门经济、公司或企业经济单位）中各个部分之间投入与产出的相互依存关系的数量分析方法。

总之，线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。

举个例子，线性代数中的一个重要概念是线性空间：

定义 非空集合中的元素，若对“加法”和“数乘”运算满足八条规律，则称该集合为线性空间，其元素称为向量，满足八条规律的运算称为线性运算。

也就是说，只要满足那么几条公理，我们就可以对一个集合进行线性化处理。可以把一个不太明白的结构用已经熟知的线性代数理论来处理，如果我们可以知道所研究的对象的维数（比如说是n），我们就可以把它等同为。足见线性代数作为结构工具的威力！

线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，在各种代数分支中占据首要地位。在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。

总之，随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，因此，线性代数成为解决这些问题的有力工具。

值得强调的是，线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练、增益科学智能是非常有用的。

瑞典著名数学家L.戈定（Garding）说过，没有掌握线性代数的人简直就是文盲。他在自己的名著《数学概观》中说：要是没有线性代数，任何数学和初等教程都讲不下去。按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的。它是第二代数学模型，其根源来自于欧几里得几何、解析几何以及线性方程组理论。如果不熟悉线性代数的概念，像线性性质、向量、线性空间、矩阵等等，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多，甚至学习社会科学也是如此。

【参考文献】

［1］（美）莫里斯·克莱因. 古今数学思想. 上海科学技术出版社，2006.

线性代数篇2

“线性代数”是应用型本科院校工科专业的一门基础课程。在教学过程中，教师由于对课程任务认识不清晰，对专业需求认识不到位，对学生认识不全面，无法满足应用型本科院校人才培养的需求。在“线性代数”教学过程中，教师应整合教学内容，重新编排课程体系；将多媒体应用于教学中，强化学生的感性认识；增加实践环节，促进理论与应用的结合；创新教学模式，使用“项目教学+小组合作教学”的模式，提高学生的自主学习能力，并用MapleT.A.系统对学生进行评价,反馈学生的学习成果。

关键词：

应用型本科院校“线性代数”教学；MapleT.A.系统；在线测试

“线性代数”课程是应用型本科院校工科专业的一门重要的基础理论课，是学习相关专业课程的数学基础和工具。长期以来，它已形成比较稳定的内容体系，但传统的教学已无法满足应用型本科院校学生能力的培养要求,更无法突显线性代数知识作为有力数学工具的地位。

一、应用型本科院校“线性代数”教学中存在的问题

（一）教师对课程任务认识不清晰

“线性代数”课程的基本任务是使学生获得线性代数方面的基本知识、基本理论和基本技能；重要任务是培养学生的数学软件使用能力以及应用数学知识分析解决实际问题和专业问题的能力；潜在任务是培养学生良好的学习行为习惯，特别是学生自主学习的能力，使学生在学习课程知识的过程中逐渐学会学习。教师往往对基本任务较明确，对重要任务也有逐步的认识，但认识不深入，但对潜在任务的认识较少，能把潜在任务有意识地融入课程教学的就更少了。如何使三层任务有机结合并相互推动，是一个值得思考的问题。

（二）教师对专业需求认识不到位

“线性代数”课程在本科院校工科和理科各专业均开设。对于工科专业来说，线性代数是一种重要的工具，计算能力和应用能力培养的重要性远远大于逻辑思维能力培养的重要性。事实上，不同的工科专业由于其专业特点不同对线性代数知识也有着不一样的需求，应该针对需求各有侧重。然而，实际教学中，学校和教师往往忽视了不同专业在线性代数知识需求上的差异，大部分学校使用相同的教学大纲、相同的教材，甚至教师面对不同专业授课却使用相同的教案，布置相同的课业任务。

（三）教师对学生认识不全面

课堂教学过程中教师及时掌握学生的真实学习状况，对提高课堂教学质量起着重要作用。传统教学中教师往往只能通过抽查个别学生作答，从而对学生的整体学习效果做出判断。“线性代数”课程一般开设一学期，任课教师上课之初往往对学生较陌生，待深入了解学生的学习情况后，课程也即将结束，这就给通过抽查得到有效判断带来了很大的困难。课后作业批阅是除了课堂抽查以外教师了解学生的另一个主要途径，其优点是能获得对学生整体的了解，但现实中学生作业抄袭现象的存在，使得这种判断的有效性也大打折扣。

二、应用型本科院校“线性代数”教学改革的建议

（一）调整教学内容

目前，“线性代数”教学中普遍以理论知识讲授为主，注重基础知识、基本理论的学习，多侧重于课程内部概念，不了解各个学科和工业现代化对线性代数的需求，缺乏与实际生活或专业知识相关问题的研究。在教学中，教师可通过一些实际问题引出基本概念，帮助学生理解概念；通过了解工科各专业对线性代数的需求，增加应用实例，体现专业课程学习中线性代数知识的意义。线性代数中很多知识都涉及计算，对于一些比较繁杂的计算，如高阶行列式的计算、高阶矩阵的运算、大型线性方程组求解等，教师在讲解数学解法的同时还要适当介绍如何利用数学软件求解。国内大部分线性代数教材都是按照行列式、矩阵、向量组、二次型的顺序编排的，教师授课也大部分采用这种教学内容体系，学生看到的是抽象的概念和孤立的知识块，无法将所学知识融为一个有机的整体，更无法体会到线性代数的实质。教师可以对教材内容进行整合，以向量空间为背景，将矩阵作为工具，先介绍矩阵的知识并将行列式看做矩阵的运算，再介绍向量空间的基本知识、特征值问题和线性变换问题，帮助学生将琐碎的线性代数知识进行整合。

（二）改进教学手段

针对“线性代数”课程抽象的特点，教学中可以借助几何解释，以二维、三维的空间形象强化学生的感性认识。如在讲解线性方程组的解的三种情况时，可以把三元线性方程组作为例子。由于三元线性方程在三维空间中表示一个平面，将平面在同一坐标系下绘制出来，可以清晰地看出平面之间的关系以及三元线性方程组的解的情况，让学生直观地感受唯一解、无穷多解、无解，进一步帮助学生找到无穷多解之间的差别以及造成无解的原因。通过多媒体还可以将数学软件的应用贯穿于课堂教学中，一方面，借助数学软件进行可视化教学，如在讲解特征值和特征向量时，可在Matlab软件中编辑相关程序，通过演示动态图，展示特征向量在线性变换下方向的不变性，使学生认识到特征向量的意义；另一方面，在讲解数学理论时，讲解相关数学软件，帮助学生进一步理解和巩固所学数学理论，同时减轻实验课的负担。

（三）创新教学模式

教师应针对教学中不同的教学目标和对象寻找更有效的教学模式，如针对线性代数中某部分知识可以采用“项目教学+小组合作教学”的模式，教师下发项目任务后，学生3至4人组成一个小组自行收集资料，在完成项目的过程中小组成员之间互相交流学习，项目完成后进行小组汇报与交流，通过学生自评、组员互评、教师评分给出综合评价。整个过程中无论是项目的分析、问题解决还是成果的汇报、交流，都给了学生自主学习与探索的机会，在探索过程中，学生的自主学习能力会不断提高。教师还可通过运用现代教育技术手段为学生提供更多自主学习的机会。如利用MapleT.A.系统可进行有效的课外自主学习。基于MapleT.A.的课后练习为学生提供了丰富的在线练习任务，不仅可以避免学生之间的相互抄袭以及抄袭习题集上答案的情况，还可以利用系统的自动评分和反馈功能，让学生及时发现学习中的问题，并根据系统中的注释自行解决问题；教师通过设置练习时间，加强对学生课外作业的监管，并避免学生在课堂上补作业的行为发生；教师可将练习设置为允许多次答卷并提交试卷，即允许学生刷成绩，可激发学生练习的兴趣。同时由于学生提交试卷后可以实时得到本次作业的成绩和正确答案，但学生再次进入同一个作业时，参数和函数随机变化，使得试题内容变化，但知识点不变，所以学生只有真正掌握知识才能答对，从而提高了练习的效果。基于MapleT.A.系统的进阶测验，可以引导学生进行循序渐进的学习，当一部分知识掌握到一定程度后，才能进入另一部分知识的测试，有利于学生各部分知识的平衡掌握，强化薄弱部分的学习。此外，Maple软件的Student包和Task可分步展示解题过程，每个窗口中会给出重要的文字说明注释以及下一步执行的任务，给学生明确的引导，方便学生自主学习线性代数的相关知识。

作者：兰瑞平 雒晓良 单位：吕梁学院数学系

参考文献：

线性代数篇3

1线性代数教学现状有以下问题

1.1教学手段以教师为中心线性课程在教授时会有4~6个班级共同上课的情况，学生人数多，上课师生缺少互动，学生的主体性被忽略，教师没有给予学生足够的重视。教师过多地注意自身教学行为的设计和执行，上课主要就是教师讲，学生听，教师怎么讲内容，怎么提问，提什么问题，都是固定的，学生没有创造性，自主性。提问只是课堂互动的点缀，互动只停留在表面。一方面学生不会积极地回答问题，另一方面教师也调动不起学生的主观积极性。长期下来，学生感觉枯燥无味，教师觉得课堂教学效果甚微，教学过程变得比较牵强。学生不愿意学，教学效果差，双方互相抵触，学生怨老师，老师嫌学生。

1.2教学手段和考试方式单一线性代数教学手段主要是板书，线性代数设计矩阵、行列式、方程组，书写起来既费时又费力。黑板上写个题目就占不少空间，大教室还存在后面的学生看不清黑板等问题。线性代数考试仍采用闭卷完成一些填空题和计算题的形式，缺少对知识应用能力的考察，仅以学生的试卷分数作为评价教学的依据及学生线性代数课程的最终成绩。而结课考试安排也很紧张，一是要找各专业统一时间考试，统一印刷试卷；二是要数名教师帮忙监考，大量的人力物力都需要从主校区运送派遣过来。校区的特殊性造成人力安排的复杂情况，这些都是我们这次改革需要尽力解决的问题。

2教学内容的改革

2.1修订与完善教学大纲教学大纲是教学的指导性文件，它是教材和教学参考书的选编、授课计划的制订、成绩的考核、教学检查及课程评估等教学活动的重要依据。线性代数的教学是为后续课程的学习服务的，后继专业课程需要用到线性代数的知识，因此针对不同专业学生，我们有必要对教学内容进行调整。在实际教学中，首先要了解线性代数在该专业后继课程中的应用，其次找到该领域应用的典型案例，这样不但使学生能够理解抽象的基本概念，还为后继课程的学习打下基础。所以在制定大纲时要明确规定该课程在专业教学计划中的地位和作用，确定该课程教学的基本任务和要求，确定各章节要讲授的基本内容、重点难点内容等。同时根据内容组织实施教课手段原则和分配的教学课时数。特别为满足培养实践应用型人才的需要，大纲应在实践性的教学环节上增加教学分配，在重视理论传授时，加强实践的训练，教学大纲中应体现实验、实习、实践等教学形式的重要地位。

2.2适当降低行列式、线性方程组等计算的数学要求教学内容上注意学生的接受能力，要结合实际，注重思想方法的传授与讲解，切不可只图会解题，比如介绍行列式的计算的时候，重点是要讲好低阶的定义和计算，高阶的了解即可。因为工程实际中碰到的具体问题大都是求解阶数确定的行列式，而有限阶的计算都可以直接利用现成的数学软件通过计算机来完成。应降低计算的要求从而将重点放到实际应用方面。

2.3加强几何与代数的结合比如线性代数有向量与向量空间这一章节，为了解向量空间这一抽象概念，我们可以把高数中的空间解析几何与线性代数的内容相联系起来，最自然的联系就是空间直角坐标系下的向量的几何表示形式有向线段与代数表示形式坐标表示一一对应起来，从而方便学生更形象、更直观地理解线性代数的内容。

3教学方法与手段的改革

3.1建立以学生为中心进行教学方式以学生为中心，就是教师扮演一个组织者、领导者、协助者的角色，而把学生视为整个课堂教学过程的主体和主动构建者。以学生为中心侧重于站在学生的立场上，了解学生需要学什么，应该怎样学，并启发和引导学生自己探索，激发学生的学习兴趣。在教学活动中，可以选定内容或学生讲老师听，或学生提问老师答，或在解题过程中学生对题目事先做好准备，然后在课堂上讲，再回答老师或其他学生的问题，这样就大大给了学生自主性，从而大大加大了学生的参与性积极性。

3.2灵活使用多种教学手法将多媒体技术与板书进行有效的结合，发挥各自的优势，共同提高线性代数的教学质量，课件要做经典，比如图形概括思路，用流程图把本章节的知识构架做得清晰可见，一环扣一环，一问接一问，逐步展开学习。在教学中根据授课内容的需要进行选择。基本概念以及阶数较高的矩阵或行列式可以用多媒体进行呈现，但定理的推导过程及例题的计算需要在黑板上推演整个过程。

线性代数篇4

线性代数是大学的一门基础课程，并且在数学的各个分支和其他自然科学、工程技术及社会科学中都起着工具性作用。对于某些具有一定的概念理解和数学计算能力而抽象推理训练不足的大学生，学习线性代数是弥补这种缺陷的适宜的机会。本书的目的是为这类大学生在计算与推理之间架设桥梁，通过线性代数的学习进一步掌握逻辑论证技巧，以有利于学习其他抽象数学。本书以学生比较熟悉的线性方程组、复数计算和多项式因子分解等知识为起点，逐步深入地引进有限维向量空间线性映射的抽象概念，涵盖对角化，特征空间，行列式和谱理论等重要结果，是一本简明的线性代数的引论性教材。

全书由11章和4个附录组成：1.什么是线性代数？通过中学课程中的线性方程组和二次方程的求解直观地显示线性代数的某些特征；2.复数引论，是对中学代数有关知识的复习，也是课程展开的预洌3.代数学基本定理和多项式因式分解。也是复习性材料，其中涉及连续函数的极值性质；4.向量空间。在前面的背景材料的基础上并应用图解引进向量空间的概念和基本性质，指出引进向量空间本质上是为了叙述和解决线性代数问题；5.跨度和基地，建立空间维数概念和基本结果；6.线性映射。以第1章线性方程组为背景引进线性映射概念和有关性质，以及线性映射的矩阵，指出刻画线性方程组的解是线性代数的目的之一；7.特征值和特征向量。这是线性代数的最重要的概念之一，着重讨论了2维情形；8.置换和方阵的行列式。给出行列式概念、基本性质以及通过余因子展开的计算公式；9.内积空间。引进向量空间的抽象定义，给出内积空间的重要性质，包括Gram Schmidt正交化；10.基变换。给出有限维内积空间的基变换公式；11.正规线性映射的谱理论。研究有限维内积空间的上线性算子的谱分解以及对于对角化问题的应用，还讨论了正算子、极分解和奇异值分解。每章后配备习题，分为计算题和证明题两类。4个附录主要是关于矩阵的补充材料，以及关于集合论和抽象代数结构的概要。

本书可作为我国理工科大学数学教学参考书，特别适宜初学者阅读。

朱尧辰，研究员

（中国科学院应用数学研究所）

线性代数篇5

Abstract： According to the current situation of teaching of linear algebra， the innovative theoretical system is constructed by linear equations as the main line， and each chapter is closely related. As a teaching case，the determinant background and the geometric interpretation of the nature of the determinant are provided，and the Cramer's rule is derived in the way of before and after the echo ， and the computer software is introduced into the case analysis， the determinant chapter has embed cultivation of innovative thinking and innovative ability， the dialectical law from theory to practice to theory is followollowed. in the system of linear algebraic theory.

关键词： 线性方程组；行列式；创新思维

Key words： systems of Linear Equations；determinant；innovation thinking

中图分类号：G643.0 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2016）20-0144-04

0 引言

当前，在高校线性代数课程一般只有32个学时，课时相对较少。就线性代数教材来说，缺少概念的产生的实际背景，大部分性质定理都是描述性的，缺少相应的几何解释或公式化的表示，而且更为重要的是例题与习题数据简单、与实际脱节，缺少应用性题目和计算机应用。就教学手段上来讲，都以多媒体课件为主、以板书为辅的教学摸式，其内容上也是对行列式、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量等知识点的一些验证，这样的教学手段过于单一，应当把计算机软件引入课堂并处理一些实际问题。但是在实际问题中，往往由于数据偏大，小数位数多，造成笔算极易出错，效率极为低下，所以引进计算机必不可少。从教学效果上看，由于没有相应的几何解释和过多的叙述性语言，学生学起来就显得过于抽象，造成许多学生死记硬背，灵活应用更是无从谈起；由于缺乏知识背景和实际应用，这样枯燥教学内容根本无法激起学生的学习兴趣，更无法培养学生学习的积极性、主动性和创造性。从工科学生学习线性代数目的来看，学生学习就是为专业课程提供线性代数方法，学生非常注重线性代数在本专业的实例应用。

瑞典数学家戈丁（L.Garding）曾言：要是没有线性代数，任何数学和初等教程都讲不下去。同时，线性代数又是自然科学和工程技术等各领域的应用工具[1]。随着国家转型时期的发展，社会需要更多的创新性人才，线性代数的应用也会日趋广泛。如何改善线性代数知识架构，并把培养学生的创新思维和提高创新能力融合其中是一个亟待研究课题。

1 构建线性代数的创新体系

创新的本质就是打破固有思维定势，兼收并蓄，形成新的思维发展观[2]。线性代数课程也要适应时代的发展需求，把培养创新人才和提高创新能力与线性代数教学紧密接起来。首先要从线性代数的理论体系加以研究，以改变枯燥的理论为重点，把理论和实践紧密结合起来，从实践中导出线性代数理论，并把理论应用于实践。为此我们在现有的理论体系之下，在尊重历史研究的前提下，以线性方程组为主线，重新调整线性代数理论体系，将其改变为：

《线性代数》研究内容：线性方程组

一、线性方程组解的判断与求法

第一章 行列式―Cramer法则

第二章 矩阵――初等变换、逆与秩

二、线性方程组解的结构

第三章 向量组的线性相关性

――基础解系

三、线性方程组应用

第四章 矩阵对角化

――相似对角化、正交对角化

第五章 二次型

在这个理论体系中，遵从了实践到理论再到实践辩证规律。行列式和矩阵来源于实践，是研究线性方程组的工具，分别用了Cramer法则与初等变换对线性方程组进行判断和求解。为了更好地表示线性方程组的解，从线性相关性理论入手，探讨了极大无关组、基、基础解系，给出线性方程组一般解。最后，利用行列式和矩阵的理论，探讨矩阵相似性并给出其理论应用――矩阵对角化。二次型标准化都是通过线性齐次方程组求解而得到的，不仅仅是线性方程组求解的理论应用，也是将线性代数理论回归到了实践。这样一来，整个线性代数理论体系就不再是相互割裂的，而是通过线性方程组这个主线将线性代数各部分内容有机地紧密地串联起来。

为丰富上述线性代数理论体系，使得内容更加有趣生动，适当增加理论知识产生背景，了解它产生的前因后果，从中发现理论创新点，自觉不自觉地就培养了创新思维。例如，当1850年，西尔维斯特（James Joseph sylvester）在研究的m个方程n个未知量的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了“矩阵”一词后[3]，在1855年，凯莱（Arthur Cayley）将线性方程组写成矩阵形式Am×nx=b。这种表示更简洁明了，是一种思维的创新。而线性方程组的向量组形式x1？琢1+x2？琢2+……+ xn？琢n=b也是一种创新，随着向量组相关性深入研究，以Am×nx=0的基础解系解表示的一般解同样具有简洁和规律性特点。相应地，单纯从解法来说，Gauss-Jordan消元法是更具一般性，它扩大了求解线性方程组范围，方法也更加简单，是Cramer法则的一种创新。

创新可以将具体的规律性的东西概括出一般的抽象的结论；反之，把抽象的东西具体化，使其便于理解和应用，同样也是一种创新。中国当代数学家徐利治说：“无论是从事数学教学或研究，我是喜欢直观的。学习一条数学定理及其证明，只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思路弄明白了，我才认为真正懂了。”[4]其实，正是由于线性代数理论有了几何性的描述，才使得线性代数更贴近人们易于接受的范畴，才吸引了大批科研工作者投身于线性代数理论研究之中，致使线性代数在19世纪得到突飞猛进的发展。例如，任一正交变换x′=-xcos？兹+ysin？兹y′=ysin？兹+ycos？兹和二阶正交矩阵建立了―对应关系，而正交变换是旋转x″=xcos？兹-ysin？兹y″=ysin？兹+ycos？兹和反射x′=-x″y′=y″的乘积。故正交矩阵就是旋转与反射对应矩阵的乘积。推而广之，二次型正交标准化就是将二次型通过旋转和反射变换化成标准二次型的过程。

创新不仅仅是理论上推陈出新，更重要的是把这些理论应用到实践中去，在实践中体现它的价值，为实际生活提供线性代数的求解方法，并在实际应用中丰富线性代数理论。像动画的制作、降雨预测、物种群变化、通信加密与解密等都是矩阵应用的具体实例；而经济的投入产出、通路中的流量、多重反应物质摩尔数变化以及物理中的量纲分析都是线性方程组求解实例体现；新药配伍、天气预报监测等实例可用线性相关性理论加以解决。而这些现实实例在引进计算机后，即使再复杂数据也变得轻而易举。应用计算机还可以把某些抽象的概念、定理以绘图甚至动画方式表达出来，达到直观生动的效果。

2 典型章节―行列式（以思路为主）

行列式这一章共分三部分内容：行列式的定义、行列式的性质和行列式的应用。在这一章中，将以实例引入行列式定义，通过定义讨论行列式性质，最后又归结为实例应用，并将计算机应用与实例结合起来。为了凸显章节整体性，从行列式定义的引入到Crammer法则导出都是从同一个实例出发，做到了前后呼应。为了突出线性代数理论的整体性和可读性，在行列式这部分内容最后，从研讨Crammer法则局限性入手，探讨并引出了后续章节的研究内容，这种启发式的探讨不仅仅是一种思维的创新，同时这种探讨还串联了线性代数的各部分内容，使其更加紧凑完整。

3 结论

在现有教材体系下，提出以线性方程组为主线创新性理论体系，使得整个线性代数理论更加紧密地联系在一起，并且从总体到各章节都遵从从实践到理论再到实践的过程。并以行列式为典型案例，从线性方程组求解实例背景出发引出定义，由定义推出性质和定理，然后再把具体理论应用到最为经典的投入产出实例中，并用计算机软件简化计算，其间还融合了部分性质的几何意义。这些做法增加了对行列式认识的趣味性、直观性和应用性，这不仅仅理论体系结构的创新，同时也把创新思维融合到理论的形成与推导过程中，这都有利于创新性思维和创新能力的培养。

参考文献：

[1]Lars Garding . Encounter with Mathmatics [M].Springer Verlag New York.Inc， 1997.

[2]朱鹏.创新的本质就是突破[J].企业管理，2008（2）：61-62.

[3]Howard Anton，Chris Rorres. Elementary Linear Algebra： Applications Version [M]. John Wiley & Sons Inc， 2010.

线性代数篇6

Abstract： Because the classical linear Lie algebra over a field is a simple Lie algebra， but the classical linear Lie algebra over a ring with identity may not still be a simple Lie algebra， and the classification and structure of simple Lie algebras is critical to the study of the the structure and classification of the semi-simple Lie algebra， even solvable， nilpotent Lie algebra， here we give the necessary and sufficient condition on which the R-classical linear Lie algebra is R-simple Lie algebra.

关键词： 交换幺环；R-典型线性李代数；R-单李代数

Key words： commutative ring with identity；R-classical linear Lie algebra；R-simple Lie algebra

中图分类号：O151.2 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）21-0280-02

0 引言

在域上的李代数中每一（有限维）李代数都同构于某个线性李代数（Ado-Iwasawa定理）见文献[2]由此可知线性李代数研究的重要性，尤其是典型线性李代数他们是除例外李代数外的唯一的单李代数（同构意义下）。本文中我们将得出交换幺环上的典型线性李代数为单李代数的充要条件及相关结论。本文中R为交换幺环。

1 R-典型线性李代数简介

Sln（R），SOn（R），SPn（R）被称为R-典型线性李代数（因为对应于某些典型线性李群）。本节中设Mn（R）为R上的n阶方阵的集合，其中的矩阵用M，N等来表示。

（1）设RankM=l+1=n，则Sln（R）={A∈Mn（R）|trA=0}称为R-特殊线性李代数。

（2）令SOn（R）={A∈Mn（R）|YA=-AtY}，设RankM=2l+1=n是奇数时，其中

Y=e■+■ei，n-i+2=1 0 00 0 I■0 I■ 0 （1）

SOn（R）称为正交代数。

（3）设RankM=2l=n是偶数时，其中SPn（R）={A∈Mn（R）|XA=-AtX }，

X=■ei，n-i+1-■ei，n-i+1=0 I■-I■ 0 （2）

SPn（R）称为辛代数。

（4）设RankM=2l=n是偶数时，其中

Y=■ei，n-i+1=0 I■I■ 0 （3）

SOn（R）称为正交代数。

2 R-典型线性单李代数

易知，在方括号运算[A，B]=AB-BA之下，sln（R），spn（R）son（R）均为R上的李代数。我们用L（R）表示它们中的任意一个李代数。若R是特征零的域，我们知道，L（R）是典型的单的线性李代数。对R是有1的交换环时，一般来说，L（R）不是单的。文献[3]讨论了L（R）的理想的状况。

直接验证可知，sln（R）的中心={aIn|a∈R，na=0}。当n=2r为偶数时，spn（R）的中心=son（R）的中心={aE|a∈R，2a=0}，其中E=Ir oror -Ir 。当n=2r+1为奇数时，son（R）的中心是零。

设N是环R的理想，πN：RR/N是自然环同态。对？坌a∈R，简记πN（a）=a。设A=（aij）n×n∈L（R），易知（aij）∈L（R/N）我们简记为（aij）为A。令λN：L（R）L（R/N）使得λN（A）=A。易知λN（[A，B]）=[λN（A），λN（B）]，λN（aA）=aλN（A），其中A，B∈L（R），a∈R。于是λN是R上的李代数L（R）到L/N上的李代数L（R/N）的满同态。

定义1[3] 设N是环R的理想，则称L（R）的理想

L（R，N）={A∈L（R）|λN（A）=0}

为水平N的极小理想。称L（R）的理想

ML（R，N）={A∈L（R）|λN（A）∈C（L（R/N））}

为水平N的极大理想。

定义 2[3] 设Ω为L（R）的理想，若存在R的理想N，使得L（R，N）？哿Ω？哿ML（R，N）

则称Ω为L（R）的一个标准理想。

定理1[3] sln（R）的任一理想Ω均为标准的。

定理2[3] 设2∈R*，则spn（R）的每个理想Ω都是标准的。

定理3[3] 设2∈R*，则son（R）的任一理想都是标准的。

注[3] ①若R是特征p的域，并且p|n，则sln（R）不是单的。但它的理想均含在其中心（aIn|a∈R）之内。所以这种情况仍适合本文的定理1。

②设R是有1的交换环，若2不属于R*，则spn（R）的理想未必都是标准的。

3 R-典型线性李代数是R-单李代数的充要条件

定理4下列条件彼此等价：

（1）L（R）为单；

（2）L（R，N）=ML（R，N）={0}；

（3）L（R，N）={0}且L（R）的中心为{0}；

（4）L（R）的中心为{0}。

证明：由（1）？圯（2），（3），（4），显然。

下面分别证明（2），（3），（4）？圯（1）

（2）？圯（1）若L（R，N）=ML（R，N）={0}，则KerλN={0}，所以λN（A）=■是R上的李代数L（R）到L/N上的李代数L（R/N）的同构。或者说因为L（R，N）=ML（R，N）={0}即标准理想全为{o}，说明典型R-线性李代数的理想全为{0}，当然是单的了。

（3）？圯（1）由L（R，N）={0}，知KerλN={0}，所以λN（A）=A是R上的李代数L（R）到L/N上的李代数L（R/N）的同构。又由L（R）的中心为{0}，知L（R/N）的中心为{0}，即C（L（R/N））={0}，又？坌A∈ML（R，N），？坌B∈L（R），由λN（A）=A∈C（L（R/N））={0}，得λN（[A，B]）=[λN（A），λN（B）]={0}，即[A，B]∈KerλN={0}，故[A，B]=0，即[ML（R，N），L（R）]={0}，故ML（R，N）？哿C（L（R））={0}。所以有，ML（R，N）={0}，故L（R）为单。

（4）？圯（1）因为KerλN？哿C（L（R）），且由L（R）的中心为{0}，可知KerλN={0}。再由（3）知，L（R）为单。

推论 1 若R为无零因子环，则L（R）为R-单李代数。

证明：因为sln（R）的中心={aIn|a∈R，na=0}，而R为无零因子环，所以na=0？圯a=0？圯sln（R）的中心为{0}，由定理4知，sln（R）为单。同理spn（R），son（r）当R为无零因子环时为单。

进一步，只需2，n不是零因子即有下面的定理。

推论 2 若2，n不是R的零因子，则L（R）为R-单李代数。

定理 5 若R为局部环，则L（R）为R-单李代数。

证明：λN：L（R）L（R/N）是同构。而P/N是域，L（R/N）是域R/N上的典型线性李代数。故L（R）为R-单李代数。

参考文献：

[1]孟道骥.复半单李代数导引[M].北京大学出版社，1995.

[2]J. E.Humpherys. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory[M].New York：Springer-Verlag，1972.

[3]张永正.环上的典型的线性李代数的理想[J].纯粹数学与应用数学，1997，13（1）：103-108.

[4]Zhao Y X，Yao R P，Wang D Y.One Kind of Complete Lie Algebra over a Commutative Ring[J].Journal of Mathematical Research &Exposition， 2009，29（1）：85-90.

[5]Ellis， G.J. A non-abelian tensor product of Lie algebras.Glasgow Math[J]，1991，33：101-120.

线性代数篇7

关键词：线性代数 计算机 密码学 力学

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）09（b）-0220-01

线性代数是高等院校理工科以及经济管理类学生的必修基础课，其在开课面之广、影响和重视程度上仅次于高等数学，它具有较强的逻辑性、抽象性以及广泛的实用性。通过两年的线性代数教学工作，我主要有以下体会。

学生普遍反映线性代数较之高等数学更抽象，内容更枯燥，不容易理解，更不清楚学习线性代数的目的。这导致学生失去主动学习的热情和动力，多数学生纯粹为了考试而勉强学习，学了那么多理论，考完试搁置不用，实在很浪费。当然，这也不能全归责于学生，究其原因，主要有以下两点：一方面，从教材来考虑，大多线性代数教材均是以理论知识为主，很少列举一些与实际生活或专业相联系的例子，也就是太数学化了。另一方面，从教师角度来考虑，讲授线性代数的老师大多来自数学专业，数学功底都不错，但由于一些工程背景、知识面及课时的限制，大多数老师也只是传授课本上的数学知识，这样不能很好地引导学生学习的主动性，从而达不到好的教学效果。因此教师首先要拓宽自己的知识面，积极探索总结一些与线性代数相关的应用实例。这样为不同专业讲授本门课程时，可以多列举一些与其专业相关的例子。例如可以为经济学专业学生讲解一些生产成本投入产出的例子，为信息工程专业学生多讲解信息编码、编程的例子。在计算机广泛应用的今天，线性代数的理论知识为计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、力学等奠定了很好的基础。该文主要以线性代数在计算机、密码学、力学中的应用为例，分析了线性代数在专业知识中的应用，从而让学生更深入的了解线性代数的应用价值，进一步培养学生学习及应用线性代数的兴趣与意识。

1 线性代数在计算机中的应用

高教司曾用“用MATLAB和建模实践改造工科线性代数”项目的总目标就是推广线性代数与科学计算的结合，因此将线性代数与计算机计算结合起来是非常有必要的。计算机可以解决线性代数的一些难题而线性代数可以为计算机编程。特别是我们最常用的一种数学软件――Matlab软件，该软件具有强大的数值计算功能。例如把方程的阶次提高到3元以上时，计算步骤有可能会十分繁琐，如果将线性代数的计算应用到计算机里面则会节省很多时间。例如，Wassily Leontief教授把美国经济用500个变量的500个线性方程组描述，而后又把系统简化为42个变量的42个线性方程，经过几个月的编程，并利用当时的计算机运行了56个小时才求出其解。如果手算的话估计花费几倍的时间都不止，这体现了线性代数在计算机中强大的应用价值。将线性代数与计算机应用结合起来，既激发了学生学习线性代数的积极性，又培养了学生的动手实践能力。

2 线性代数在密码学中的应用

在早期密码研究中，有直接利用矩阵作为密码表的，比如将26个字母放在以下5乘5的矩阵里

，

这样，每个字母就对应了两个字符――分别是其所在的行数和列数，如对应32，对应44等，如果接受的密文为32 15 42 42 54 13 23 42 24 43 44 32 11 43，则对应的明文即为Merry Christmas。该加密方法简单直接，但也容易攻破。现行的加密算法则是建立在早期加密算法基础之上，大致可以归结为对明文代表的数据进行变换，比如置换、轮换、线性变换等。这样经过变换之后的算法更复杂，不容易攻破。我们举一个简单的例子，把英文字母用一个整数来表示，然后传送这组整数。这种方法是很容易根据数字出现的频率来破译，例如出现频率特别高的数字，很可能就对应于字母E。而我们可以用矩阵的乘法来进行加密。例如整数矩阵的行列式等于，则的元素也必定是整数。而经过如此变换过的消息，同样两个字母对应的数字不同，所以就较难破译。接收方只需将这个消息乘以就可以复原。当然还有在线性代数的基础上采用更复杂的加密算法，该文不再赘述。

3 线性代数在力学中的应用

在现代生产和日常生活中，机械已成为代替和减轻人类劳动、提高劳动生产率的主要手段。而在机械工程领域中经常会遇到复杂的线性方程组的数值求解问题。例如机器人机构树状解和设计方案的多解问题等。并且线性方程可以作为一种定量尺度，广泛用于设计或选择钢种，制定或修订标准、控制熔炼成分等方面。这在机械工程领域中起着十分重要的作用。

4 结语

在当前的信息化时代，我们尤其要注重学生能力与实践意识的培养，而线性代数作为理工科的基础课程之一，它的重要性是毋庸置的。因此，在线性代数的教学中，我们要尽量和学生的专业课相结合，使线性代数的知识更通俗易懂，以提高学生学习的积极性和主动性，真正做到学以致用。

参考文献

[1] 同济大学数学系.工程数学线性代数[M].5版.北京：高等教育出版社，2007.

[2] 李家，李援南.线性代数在密码学中的应用[J].北京电子科技学院学报， 2013，21（4）：74-79.

[3] 李艳晓，邵玉丽.线性代数在理工科专业课中的应用[J].数学学习与研究， 2014（1）.

[4] 王海侠，孙和军，王青云.改进线性代数教学方法的几点想法[J].高等数学研究，2010，13（6）：13-15.

[5] 王利东，刘婧.从应用实例出发的线性代数教学模式探讨[J].数学教育学报， 2012，21（3）：83-85.

[6] 马朝忠，邓西云.突出应用背景知识介绍彰显线性代数实用特性[J].中国科教创新导刊，2012（35）：113.

[7] 汤燕.矩阵在密码学中的应用[J].科教文汇，2010（8）：83-84.

[8] 李尚志.线性代数精彩应用案例（之一）[J].大学数学，2006，22（3）：1-8.

线性代数篇8

Abstract： Through analyzing the relationship between geometric model and linear algebra， this article focuses on the application of geometric model in linear algebra， and discusses the classroom teaching of linear algebra.

关键词： 线性代数；几何模型；课堂教学

Key words： linear algebra；geometric model；classroom teaching

中图分类号：O151.2 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）29-0278-02

0 引言

线性代数是理工科专业的一门重要的基础理论课，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化理工科专业学生的数学训练，工程实践能力有着不可忽视的作用。按照大学的教学大纲安排，线性代数一般都在大学一年级第一学期开设，大部分学生思维处于以求解题目为主，缺乏抽象的思维能力和逻辑推理能力。同时由于线性代数内容抽象、形式化程度高，而且教材中理论多、应用少，因此学生在学习这门课程时普遍感到有一定的难度。按照Frank Uhlig的观点[1]，线性代数的一个成功的教学方法应该是找到线性代数内容的一个平衡，可以用图1来描述。

线性代数的课程内容基本都涉及许多主题和概念，都是比较抽象的。作为大学一年级的新学生，我们如何能引导学生进入这一领域，如何能成功确保整个教学过程，这对于学生后续课程的学习至关重要，这也是教师在实施线性代数教学过程中必须面对和解决的关键问题。根据Frank Uhlig的观点，必须在具体教学中根据实际的内容实施不同的教学方法。结合我们的教学经验发现：线性代数基本概念的教学在整个教学内容中非常重要。如何让学生从具体的概念中抽象逻辑推理是教学过程开始最关键的一环。也就是说如何在教学过程中帮助学生建立线性代数的基本概念。中国当代数学家徐利治说：“无论是从事数学教学或研究，我是喜欢直观的。学习一条数学定理及其证明，只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思路弄明白了，我才认为真正懂了。”本文通过重点讨论几何模型在线性代数中的应用，并对线性代数课堂教学进行了初步探讨。

1 几何模型回顾

Joel Hillel 使用三种模式来描述线性代数：抽象模型、代数模型以及几何模型[2]。其中几何模型是使用两维和三维空间中的语言：点、线、面、矢量等等来给出一个直观的描述。几何模型有助于对线性代数基本概念的认识和感观，这对于初学线性代数的学生来讲是很有帮助的。学生可以使用几何模型来理解平面转换，进而使得他们可能从已有的思维和概念中找到相应的线性变换的基本对应。这种方式在帮助学生理解线性代数的基本概念以及建立简单的模型上很有帮助，这也为培养学生的抽象思维和逻辑推理能力提供了必要的基础。Guershon Harel试图将线性代数课程中的具体性原理与几何表示的向量空间建立关系。该方法有助于调动和影响学生在学习线性代数基本概念时的积极性和主动性，甚至使得学生有能力证明一般线性代数结果[3]。正如Harel指出的，几何概念仅仅是一个辅助作用，有些概念甚至要迟于线性代数。实际上理解几何的概念的难度可能有会超过理解线性代数的基本概念。因此，一个自然的问题是：如何使得几何模型在线性代数中得以很好的应用。著名数学家笛卡尔说：“没有任何东西比几何图形更容易印入脑际，因此用这种方式来表达事务是非常有意义的。”

2 几何模型在具体教学中的应用

在这里我们不涉及几何学中的专业术语和几何学的内容，我们更加愿意使用几何模型。主要原因是：大学课程的设置中，除了数学专业的学生外，其余理工科的学生几乎不开设几何学课程。因此，我们在教学的过程中仅仅是涉及到一些几何模型，使用一些初等的几何语言来直观的解释抽象的线性代数课程中的一些基本的定义，为了使得学生能在学习的过程中建立基本概念，为继续进一步的学习打好基础。以内积空间为例，阐述几何模型在线性代数具体课程中的应用。R2和R3是带有点积的向量空间，它们可以看作是带有点积和二次型的向量空间的几何模型。一般情况下可以将这两个空间上的一些简单的性质和结果推广到任意的内积空间上。

例 1.投影的定义。一个子空间上F的正交投影可以由R2或R3者表示。R2或R3中的任意的一个向量可以被唯一分解为：v=vF+vF，其中vF∈F，vF∈F。到子空间F上的投影P定义为：Pv=vF。这个定义完全可以推广到任意的内积空间上。

例 2.矩阵与线性变换。一个二阶的旋转矩阵可以表示为A=cosθ -sinθsinθ cosθ。在R2上，它对应的线性变换为x1=xcosθ-ysinθy1=xsinθ-ycosθ。它的几何意义为：以原点为中心，将R2中的向量P=（x，y）逆时针旋转θ度，得到向量P1=（x1，y1）。可以表示为：P1=AP。这个定义完全可以推广到任意的空间的线性变换的表示。如果有了矩阵的基本概念，这也为帮助学生理解矩阵提供了很好的几何意义。

在理工科线性代数课程的设置中，一般先学习行列式，然后学习矩阵，最后学习向量空间。在这个过渡中一部分学生会将行列式和矩阵的一些运算搞混。下面我们给出它们的几何解释，从几何模型的角度来讨论它们之间的关系。简单地说，行列式是由一些数据排列成的方形的数表经过规定的计算方法而得到的一个数。它的本质是一个数值，而矩阵是一个数表。以二阶行列式为例，二阶行列式的几何意义就是由行列式的向量所张成的平行四边形的面积。三阶行列式的几何意义是其行向量或列向量所张成的平行六面体的有向体积。显然，三阶行列式的几何模型相对比较复杂，涉及到一些专门术语，对于初学线性代数的学生来讲，这似乎有些过于抽象。矩阵的几何意义主要依赖于它的运算的几何解释。比如在一个直角坐标系中，一个有序的实数数组（x，y）和（x，y，z）分别表示平面上和空间上的一个点。如果在线性空间中确定了一个基，线性映射就可以用确定的矩阵来表示。从而可以说矩阵的几何意义为：线性空间上的线性映射。而如果单独来理解矩阵的几何意义，这就依赖于它对向量的作用。也就是说矩阵对一个向量是如何作用的，进而是对多个向量是如何作用的，等等。实际上矩阵不仅仅有几何意义，还具有物理意义。

3 结束语

目前线性代数的教学方式有很多，但采用哪种教学方式最后依赖于教师和学生的共同选择。教师的学识水平、课堂经验以及教材的选取，还有学生的基础以及理解能力等等。本文提出的几何模型在线性代数教学中的应用，正是我们在近年课程改革中实施的教学方式之一，目的是线性代数的课堂教学使得学生拥有直观的数学概念、帮助他们建立基本的数学概念体系。在具体的教学过程中，我们也发现这种几何模型的直观理解或多或少地限制了学生的抽象的思维的培养。主要原因是我们仅仅涉及到初等几何模型来解释高等代数学，过分强调了几何模型的重要性，忽略了线性代数一些本质的内容。因此，在线性代数教学中期，我们在课程辅导课程中，选讲一些高等几何的内容，使得学生将所学内容前后连贯起来。进而在后续的课程教学中起到很好的效果。

参考文献：

[1]Frank Uhlig. A New unified， bananced， and conceptual approach to teaching linear alagbra[J]. Linear Algebra and its Applications，2003，361：147-159.

线性代数篇9

关键词：线性代数；MATLAB；教学改革

线性代数是工程专业的一门必修课。它有抽象的概念，严密的逻辑推理，利用传统的教学方法进行教学，学生接受起来有一定的难度。由于计算过程烦琐，学生难以用它来解决实际问题及专业实践问题，不能学以致用。

一、当前线性代数教学中存在的主要问题

1.不能满足工程专业学生的后续课程学习

根据目前的教学方法，不能使后续课程用来解决高阶和复数矩阵的问题，后续课程一般不含有线性代数解问题。

2.涉及实际应用少

以往的线性代数课程改革，重点是内部概念的争论，但是忽视了以下两点问题：一是不注重与后续课程之间关系的改革，二是不注重新技术的引进，没有使用现代化的计算和教学工具，使线性代数不能解决实际问题，不涉及应用，不符合现代化课程的要求。

二、MATLAB引入教学的必要性

MATLAB是一个功能非常强大的软件，集数值计算、图形管理和程序开发于一体。它的设计理念与线性代数教学中理论与应用相结合的思想相吻合。线性代数教学过程中引入科学计算软件MATLAB，使学生解题的同时能感受到理论与实际相结合的特点，增强学生的应用意识，培养学生的实践能力，进一步体现出数学课程的实践意义。

当演绎数学转变为实验数学之后，将MATLAB引入工程线性代数课堂是顺应了教学发展的趋势。这样一来，在工程线性代数教学中，教师可以更好地解决传统教学中遇到的问题。

1.促进教学方式的改革

MATLAB引入工程线性代数教学，改变了传统的工程线性代数课堂仅仅有演绎教学的单一模式，有利于促进教学方式的改革，体现了数学既有推导性又有实验性的双重性质。在教学中，教师不仅要强调演绎的方法，而且还要注重归纳和实验的方法。针对定义等的教学，可以通过实例及MATLAB软件的应用，让学生观察、分析、总结规律，甚至提出命题，做一些探索工作，然后教师引导学生证明并验证。这样的实验教学不仅能培养学生的观察、归纳能力，也能让学生不仅知其然也知其所以然，体会学习过程中的乐趣。

2.以学生为主体的数学实验，缩短学生与数学之间的距离

MATLAB引入工程线性代数教学，学生可以通过实验的和实践的方式来学习和解决问题，从被动接受变成主动学习。而教师是学生学习知识的引导者，通过实验引导学生学习，充分发挥教师和学生的协同作用，以获得更好的课堂效果。

三、如何使用MATLAB

1.利用MATLAB软件求解线性代数问题

可以在每一章的学习中，利用MATLAB软件求解线性代数问题，提高学生对数学的学习兴趣。学生在学习的过程中以MATLAB软件为桥梁进行实际计算，使理论与实际相结合，让学生学有所用。当然，线性代数的基本理论不会因为MATLAB软件而改变，但是一些理论可以它来验证。因此，在现有的线性代数多媒体教学课件中可以选用MATLAB软件来计算和验证一些理论问题。例如，在计算矩阵的秩及线性方程组的求解中可以应用MATLAB软件，譬如rref（）、秩函数rank（）、齐次线性方程组的基础解系的函数null（）等的求证。

2.寻找一些简单实用的例子开发各类实验

通过一些简单直观的例子，让学生更容易理解矩阵、线性方程组、多项式等知识。如何更好地掌握MATLAB这一工具，如何寻找一些简单、实用的例子开发演示性实验、验证性实验、计算性实验和综合性实验，也是要研究的重要课题。实验可以包含以下几个方面：

（1）行列式的计算及性质；

（2）利用克拉默法则求解线性方程组；

（3）矩阵运算（包括加、减、数乘、矩阵乘法）的运算律；

（4）矩阵的秩的性质；

（5）齐次、非齐次线性方程组解的结构；

（6）向量内积的性质。

将MATLAB引入线性代数，对原有的教学模式进行改进，使之更加适合现代科学发展的需要，有效调动学生的学习积极性，使学生学到课本之外的知识且有效提高他们的综合能力。通过实践和探索，一定可以将工科线性代数的课程建设和教学改革推向一个更高的层次。

参考文献：

线性代数篇10

关键词：独立学院；《线性代数》教学；教学改革

目前，大多数独立院校教材选用同济大学编写的第四版及华中农业大学编写的第三版的教材。教材理论性强，但实践性少，造成了学生只会理论知识却不能应用于实践，不知“为什么学”，“有什么用”，“怎么用”的问题，基于这一点，我们探索如何利用数学计算软件工具，如Matlab，改造《线性代数》课程。改革教学方法、手段应用及考试方式等，提高独立院校学生理解、掌握和应用《线性代数》知识的能力及实践能力。

1 根据学生知识结构、专业和实际基础，综合运用如下多种教学方法

1.1 问题驱动教学

在我们的《线性代数》课堂教学中，以问题驱动教学模式来进行教学，引导学生思考，引导学生提问题，揭示《线性代数》的规律性，启发学生认知《线性代数》知识的内部联系，从而达到让学生认知抽象的、深层次的新概念、新思想。利用学生刨根问底的好奇心，引导学生进一步提出自己的问题，剥去抽象概念的层层外衣，露出概念的本质性内容，让学生最终认识知识的内涵本质和规律性。总之，一堂出色的《线性代数》课应该具有一套行之有效的问题驱动教学方法，主讲老师绘声绘色地引导和讲演，能让学生对《线性代数》的学习兴趣油然而生，并产生浓厚的兴趣和强烈的求知欲望。

1.2 换位教学

在《线性代数》课堂上，我们尝试采用“换位教学”模式，即在课堂上提出一些与本专业相关的知识来引导学生思考，作为课后作业，下次上课的时候，找同学到讲台上讲解自己的想法和观点，然后让其他同学评价台上同学的对错，陈述自己的观点，最后，老师集中讲解题目，指出学生的对与错，这样的教学方法使得课堂效率非常好，即能调动学生的学习积极性，又能培养分析问题、解决问题的创新能力。如此进行下去，学生的实践能力提高了，老师的教学水平也在提高。

1.3 案例教学

案例教学就是从实例入手，由学生找出数学问题；或以某个实例为基础，建立与《线性代数》有关的数学模型，介绍怎样用《线性代数》知识解决实际问题。根据课程内容，我们可以先讲解关于矩阵背景的案例，进一步说明《线性代数》知识的重要作用及把实际问题转化为数学问题的方法，通过案例引导学生进入矩阵概念，进行矩阵运算，分析矩阵的性质。案例教学的实质就是让教学内容理论联系实际，加强实例介绍，特别是对一些真实问题的解决方法的介绍，对传统内容的应用性问题进行更新和充实，增加某些工程问题中的应用题（比如通信规划、经济管理、人口理论、生物遗传和染色体等），有利于学生应用能力的培养，提高学生学习兴趣。

2 积极采用最新的技术成果，促进《线性代数》课程的教学现代化

2.1 多媒体教学

课程组开发研制《线性代数》电子教案，积极探索传统黑板粉笔教学与多媒体教学的最佳结合，不断积累利用多媒体进行教学经验。

2.2 网络教学

积极开发建设网上教学资源库，将教学大纲、电子教案、教学教学录像、习题、疑难解析等教学资源上网，不断建设完善网上教学辅导平台。

3 注重培养学生利用计算机解决实际问题的能力

重视《线性代数》与实际问题的联系，通过开设数学实验选修课程，介绍Mathematica，Matlab，Maple等数学软件，鼓励学生上机利用数学软件解决一些较简单的实际问题。学生通过参与计算机的编程进而增强学生的动手及思考的能力，从而来帮助学生理解《线性代数》中的抽象概念和定理。这对培养和提高学生使用数学软件来解决《线性代数》问题的意识和能力很有帮助。并通过组织学生参加全国及省大学生数学建模比赛，提高学生的应用能力。

4 严格考试命题要求，实现成绩考核合理化

对同一教学班级、同一专业，期末考试实行统一命题、评分，老师流水阅卷；建立《线性代数》习题库、试题库、实际问题库；慢慢实现考教分离；试卷命题要符合教学大纲，符合命题基本要求，符合难易适中；根据不同专业的特点要有题型变化，针对专业增加开放性的题型；建立考试成绩分析表，通过分析考试成绩的情况，指导教学工作进一步开展，从而提高以后的教学。

总之，独立学院《线性代数》教学的建设和改革是一项长期而又复杂的工作，需要在实践中不断地改进和完善。《线性代数》为解决实际问题提供了强有力的数学工具，并为进一步学习后继课程和将来工作实践提供必要的数学基础。

[参考文献]

[1]曾容.数学的教与学[J].数学教学，2009，（4）.

[2]夏方礼，孙惠，陈泽凡.数学互动式教学与创造性思维[J].数学理论与应用，2001，11（4）.