多边形内角和十篇

多边形内角和篇1

1、多边形内角和公式为：n边形内角和=180°×(n-2)(n大于等于3且n为整数）。

2、数学用语，由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的平面图形叫做多边形。按照不同的标准，多边形可以分为正多边形和非正多边形、凸多边形及凹多边形等。

（来源：文章屋网 ）

多边形内角和篇2

一、案例描述

1. 创设情境，设疑激思

师：展示生活中各种优美的图形，并提问：这些图形中，你知道哪几种图形的内角和？分别是多少度？生1：三角形内角和是180°. 生2：正方形、长方形的内角和都是360°. 师：那么不规则的四边形和其他多边形的内角和是多少度，大家想知道吗？这节课就让我们探讨多边形的内角和. （板书课题）

（设计意图：通过多媒体展示比较熟悉的图形，让学生形象直观地体会到数学图形在生活中处处可见，培养学生联系生活实际探讨数学问题的方法，同时激发学生学习的兴趣.）

2. 探索新知，延伸思考

① 画一个任意四边形，求其内角和. （学生独立思考，分组讨论，得出解决办法. ）

方法一：用量角器量出四边形的每个内角，然后把这些角加起来，得出内角和是360°. 方法二：连接四边形的一条对角线，把四边形转化成两个三角形，得出内角和是360°.

结论：任意一个四边形的内角和是360°.

师：比较方法一、二，哪种更好？你能类比求四边形内角和的方法求出五边形的内角和吗？生：探究五边形内角和. （学生先独立思考，再分组讨论，寻求方法，最后交流归纳得出可能的方法. ）

方法一：如图①，连接AD，AC，五边形内角和为3 × 180° = 540°.方法二：如图②，连接AD，则五边形内角和为360° + 180° = 540°.方法三：如图③，在AB上任取一点F，连接FC，FD，FE，五边形内角和为4 × 180° - 180° = 540°. 方法四：如图④，在五边形内任取一点O，连接OA，OB，OC，OD，OE，则五边形内角和为5 × 180° - 360° = 540°. 方法五：如图⑤，在BC上任取一点F，连接EF，则五边形内角和为2 × 360° - 180° = 540°.

② 师生共同小结：上面五种不同的求法，其共同特点是把五边形转化成三角形、四边形来解决.

师：同学们不妨用方法一求六边形、七边形、八边形……n边形的内角和，并填写下表.（学生分组计算，教师提问）

（设计意图：由于四边形内角和容易求得，所以采用略讲，五边形的内角和要重点探讨，为了训练学生思维的灵活性和广阔性，寻求各种不同的分割方法，使学生积极参与，尝试探索，体会转化思想. ）

探究：（1）表中三角形的个数与边数有怎样的关系？（2）多边形内角和的度数与三角形的个数有何关系？与边数有何关系？

师生共同分析归纳：

四边形内角和为：360° = 2 × 180° = （4 - 2） × 180°，

五边形内角和为：540° = 3 × 180° = （5 - 2） × 180°，

六边形内角和为：720° = 4 × 180° = （6 - 2） × 180°，

七边形内角和为：900° = 5 × 180° = （7 - 2） × 180°，

……

n边形内角和为：（n - 2） × 180°.

（设计意图：通过对表格中一组数据的填写以及（1）（2）两个问题的问答，让学生通过观察、分析、归纳、表达以及动脑、动口的经历，培养学生合情推理的能力，同时理解从特殊到一般的思维方法. ）

3. 例与练

例：课本例1.

练习：（1）计算正十五边形的每个内角的度数是多少？（2）一个多边形的内角和为1260°，那么它是几边形？（3）一个多边形的内角和比四边形的内角和多540°，并且这个多边形的各个内角都相等，这个多边形的每个内角等于多少度？

（设计意图：利用练习巩固新知，开阔学生思维，解决问题. ）

多边形内角和篇3

任意六边形的内角和是720度。六边形（Hexagon），多边形的一种，指所有有六条边和六个角的多边形。根据正多边形内角和公式S=180°·(n-2)，所有的正六边形的内角和都是720°，外角和为360°自然界中，苯与石墨的分子结构、龟壳、蜂巢等都呈现正六边形形状。

数学用语，由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的平面图形叫做多边形。按照不同的标准，多边形可以分为正多边形和非正多边形、凸多边形及凹多边形等。

（来源：文章屋网 ）

多边形内角和篇4

一、求多边形的内角或内角和

例1若八边形的每一个内角都相等，则每个内角的度数是( ).

解： 因为多边形的内角都相等，所以每个外角的度数是360°/8=45°,从而每个内角的度数是180°-45°=135°.

例2若一个多边形的每一个外角都等于72O，则这个多边形的内角和是( ).

解： 因为多边形的外角和是，所以这个多边形的边数n=360°/72°=5　，从而这个多边形的内角和是(5-2)×180°=540°.

二、求多边形的边数

例3若一个多边形的每一个内角都等于170°，则它的边数是( ).

解：因为该多边形每个内角都等于170°，所以每个外角都等于10°.因为多边形的外角和等于360°，故这个多边形的边数是360°/10°=36.

例4一个多边形的所有内角与它的一个外角的和是2400°，求这个多边形的边数.

解：多边形的外角和等于360°，根据题意可设这个多边形的边数为n，则2400°＜n・180°＜2400°+360°，即13.3＜n＜15.3.

因为为正整数，所以n为14或15. 当n=14时，(14-2)×180°=2160°则这个外角为2400°-2160°=240°＞180°不合题意，舍去；当n=15时，(15-2)×180=2340°则这个外角为2400°-2340°=60°符合题意. 故这个多边形的边数是15.

三、求多边形对角线的条数

例5若一个多边形的每一个外角都等于12°，则这个多边形的对角线有( )条.

解：设这个多边形的边数为，则由多边形的外角和定理，得n=360°/12°=30.

所以这个多边形的对角线的条数是[30×(30-3)]/2=405.

四、求最值

例6若一个凸边形的内角中恰有4个钝角，则的最大值是( ).

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

解： 因为凸边形的内角中恰有4个钝角，所以凸边形的外角中恰有4个锐角.由于凸边形的外角的和是360°，所以凸边形的外角中最多有3个钝角，从而的最大值是7.故选C.

例7在凸2006边形的内角中，钝角的个数至少有( )个.

多边形内角和篇5

关键词：多边形内角和；教学设计；构想

“中国学生发展核心素养”所指向的“学生应具备的能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”的意蕴和旨趣，彰显教师的教育智慧.数学核心素养要从教学行为与习惯的培养着手.

就拿“多边形及其内角和”来说，不论是概念的得出，还是公式的形成，都蕴含众多“关键能力”的形成要素.更进一步说，若教师舍弃“抓干的、来实的”的习惯做法，力透纸背，深入挖掘教材内容所承载的“关键能力”素材，将教学按照学生的认知逻辑展开，在“去粗取精、去伪存真、由表及里、由此及彼”的过程中，达成核心素养指向下的学生发展目标，课堂就会充溢智慧的霞光，绚丽而多姿.

一、在思辨中形成概念

本节课涉及众多相关概念，但“万物生长靠太阳”，再多的概念总有源头，这里的源头就是“多边形”，其关键点就是“多”.众所周知，“多”与“少”是相对的，此刻就需要教师指导学生认识“多”与“少”的辩证关系.多边形是新学内容，多到什么程度暂且不论，但“少”要少到什么程度呢？这就牵扯概念中的另一个关键字“边”.本节课是从“边”的多少出发研究图形，无边不成形，因此，从理论上讲，边（亦即线段）的数量最少是1，可以是2，学生也学过边数为3的三角形和边数为4的四边形.边数为1和2时，是开放式图形，属于“线段（直线、射线）”和“角”，三角形、四边形等才属于“多边形”意义下的“形”.从“少”出发，学生就会发现：多边形中的“边”，是线段；多边形是封闭图形；边数最少的多边形是三角形.

从“多”出发，学生就会发现，随着边数的增加，多边形中的一些元素也会发生一些变化：顶点增加；内角的个数增加；内角和会发生怎样的变化？有没有规律可循？（此时，学生的经验是三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°）由内及外，那外角和会发生怎样的变化？到此，又会牵扯出另一个问题：当多边形的边数无穷多时，多边形会发生什么样的变化？相关的要素又会发生怎样的变化？显然，这样的思考又是形成和发展极限思想的良好素材.

这样展开的教学，对学生发展来说因嵌入了学生的思考与发现，会比单纯按照学科逻辑（逐一交代概念）展开更使学生兴趣盎然.如果给予学生预习、讨论等“自由”的时间足够长，抑或是让每一个学生都把自己独立而独特的思考展示出来，说不定还能在凸多边形与凹多边形的比较中有更多的发现，求异思维的能力也会顺势得以培养.

有了这样的思考，学生理解教材中的多边形的概念及其相关内容――“在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形.多边形按组成它的线段的条数分为三角形、四边形、五边形、六边形……由n条线段组成的多边形就叫作n边形”，就会更透彻.同样，多边形的角――内角、外角――连同内角和、外角和以及正多边形、多边形的对角线等，也不会存在理解的难度了.此处不再赘述.

二、在化归中探寻策略

从上述分析可以看出，三角形是边数最少的多边形，随着边数的增多，相关要素都会发生变化.从变化的观点出发，有两种可能：有规律的变化和无规律的变化.这就会生发“多边形的内角和与边的数量”之间存有什么样的关系的思考.对于这样的问题，学生可能会有无从下手的思维症结，就需要从思维的角度出发，找到突破的办法.从思维角度来讲，不论哪个学科，哪个领域，遇到复杂问题的时候，都会采用“复杂问题简单化”这一策略.在科学实验中经常运用的“控制变量法”，就是将复杂问题简单化处置的典型.面对“多边形”这一复杂问题，就要思考“最简单的多边形是什么图形”.前已述及，三角形就是最简单的多边形.这就找到了破解多边形相关问题的思维原点――三角形，这也是解决问题的出发点，由此引发学生去思考“如何将多边形变为三角形”的问题.

三、在类比中突破重点

从三角形出发考虑多边形问题，就要找到多边形转化为三角形的办法.其实，学生在这之前已经接触到解决这一问题办法，那就是求四边形内角和时所采用的“通过连接对角线将一个四边形变为两个三角形”，用这种类比的思想，不难发现，把四边形的对角线一连，就会出现两个三角形，那四边形的内角和就是两个三角形的内角和，即360°；对于五边形，可以通过连接对角线的方式，变为三个三角形，其内角和就是540°；以此类推，个数有限的多边形，其内角和的度数是可以计算出来的.从以上解决方式可以看出，“对角线”以及通过连接对角线而形成的“三角形”，就是解决多边形内角和问题的关键，对角线则是撬动多边形内角和问题的支点.

有了以上分析作铺垫，再让学生完成表1中的要求，学生自然兴趣盎然.

当学生完成这个表格后，多边形内角和的公式也就得到了：n边形的内角和等于（n-2）×180°.

四、在发散中丰富智慧

一个问题的解决，不会只有一个办法，否则，就不会有“条条大路通罗马”之说.唯有从多个角度探寻解决同一个问题的办法，学生的思维才能发散开来，并不断促使学生穷尽思维，进而理顺思维，优化思维，实现由解决一个问题向解决一类问题的突变，达到思维跃迁、智慧丰富之目的，生发不断创新的力量.

前述方法是从对角线出发，找到了一个解决多边形内角和的办法，再探寻其他办法，又应该如何思考呢？这还要回到几何图形的构成要素上寻找突破.

构成几何图形的基本要素，无非就是点、线、面.有的要素一目了然，比如，多边形中的边、顶点，有的要素则隐含在图形中，需要思考才能找到，比如刚才用过的对角线，类似的还有一些图形的高、角平分线、中线等等.上述解决问题的过程中，就是从多边形的一个顶点出发，在不相邻的另一个顶点间画出对角线，从而化归到三角形而找到了解决问题的支点.如此，同样从“点”这一思考原点出发，只是改变“点”的原始位置，比如，选择一条边的任意一个点构造出三角形，或者在多边形内（外）任意一个点构造三角形，都不失为可以采用的办法.这样，原来的“固定点”就会变为“移动点”“任意点”，而中考题中的重头戏，也往往如此选择.限于篇幅，简述如下：

方法二：在n边形的一边上任取一点，把这一点与各顶点联结，把n边形分割为（n-1）个三角形，这些三角形的内角和比n边形的内角和多出了一个平角，因此，n边形的内角和=（n-1）×180°-180，即为：（n-2）×180°.

方法三：在n边形内任取一点，然后把这一点与各顶点联结，将n边形分割为n个三角形，这n个三角形的内角和比n边形的内角和恰好多了一个周角360°，因此n边形的内角和=180°×n-360°，即为：（n-2）×180°.

方法四：在n边形外任取一点，然后把这一点与各顶点联结，将n边形分割为n个三角形，这n个三角形的内角和比n边形的内角和恰好多出了两个三角形内角和，因此n边形的内角和=n×180°-2×180°，即为：（n-2）×180°.

形成了这样的思维习惯，学生在今后的学习、工作、生活中，也会主动寻求“由静到动”“由此及彼”的途径，豁然开朗的就不仅是学习过程，会更多地表现在人生的幸福中.

从以上分析可以看出，本节内容涉及众多利于学生核心素养发展的要素，诸如对立统一、量变质变、有限与无限、个性与共性、一般与特殊、绝对与相对等，都极富哲学意味，若一一展开，必定是一幅幅美丽的风景.

多边形内角和篇6

关键词：几何直观；“过程性”；阶梯；自主建构

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）17-0122

随着《数学课程标准》（以下简称“课程标准”）将“几何直观”作为“课程内容”提出，几何直观已经成为数学教育中的一个关注问题。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。《数学课程标准》要求让学生“经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观”。

几何直观是一种创造性思维，对于数学中的很多问题，灵感往往来自于几何直观。几何直观具有发现功能，同时也是理解数学的有效渠道。抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考的机会，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于学生探索解决问题的思路、预测结果。

《数学课程标准》的总目标要求让学生“经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程”，“体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”。而初中学生的数学分析推理能力和归纳总结能力都比较弱，所以就需要教师在授课时由浅入深、搭建阶梯，引领学生逐步体验知识的生成过程，在自主或小组合作的过程中，通过思考和探讨，阶梯式地自主构建知识体系。

下面，以一节“多边形的内角和”教学案例浅谈笔者如何搭建阶梯，帮助学生体验几何直观、自主构建新知架构。

一、教学过程

在讲授“多边形内角和”这一节内容时，理解多边形的内角和的计算公式的由来是本章的难点。在处理此难点时，笔者主要利用图形由特殊到一般、由浅入深，通过让学生动手画图、讨论、总结来推导公式。具体操作如下：

1. 第一步：提出问题。“学习了三角形的内角和是180°，而三角形是多边形的一种类型，那么其他的多边形内角和又是多少度？”承上启下，引发学生思考。

2. 第二步：探讨问题。

（1）搭建第一层阶梯：笔者让学生回忆正方形、长方形的各个角，并且算出这两种特殊四边形的内角和为360°。然后让学生画出一个一般的四边形，通过度量的方式算出内角和。学生发现此方法虽然可以得出四边形的内角和，但是过于麻烦，而且容易量错。引出学生的探讨欲望之后，因势利导，笔者在黑板上画出一个一般四边形ABCD，提出问题：能否利用基本图形和已有的三角形内角和知识推算出四边形内角和？（如图1）

学生很容易就能想到利用对角线能够将四边形分割成三角形（如图2）。让学生从图形上直观地感受：四边形的所有内角刚好被两个三角形的所有内角覆盖。

即四边形内角和=两个三角形内角和。

（2）搭建第二层阶梯：在黑板上给出一般的五边形，提出问题：“如何仿照四边形内角和的推导，也推导出五边形的内角和？”

（如图3）

此时，让学生展开小组讨论：利用“转化”的思想，将五边形分割成三角形。

学生们进行自主构建学习。

大部分学生一般会分割成如图4的情况，也有部分学生将五边形分割成图5的情况。

此时笔者适时引导：从一个点引出线段，与五边形的各个顶点连接，就能将五边形分割成若干个不重合的三角形。这个出发点的位置除了在五边形的顶点和内部之外，还可以在哪里？如何分割？

学生进行动手尝试，体验解决问题的多样性。

部分学生尝试在五边形的边上设置出发点，将其分割成图6的情况。

还有个别学生很有创新意识，将出发点设置在了五边形的外部（如图7）。这是连笔者都忽略了的一种情况。

（3）搭建第三层阶梯：

让学生观察四幅图象，寻找把五边形分割后，五边形的内角和与分割出来的三角形的内角和之间的关系。学生通过图形的直观感知，会很容易发现：

对于图4 五边形内角和=三个三角形内角和。

对于图5 五边形内角和=五个三角形内角和-一个圆周角。

对于图6 五边形内角和=四个三角形内角和-一个平角

对于图7 五边形内角和=四个三角形内角和-一个三角形内角和。

将所有结果化简后得最终结论：五边形内角和=三个三角形内角和。

（4）搭建第四层阶梯：拓展到多边形的内角和探讨：关键是将多边形分割成三角形。

前面的分割方法中，图4和图5的方法比较简单。故要求学生探讨：用上述两种方法，通过若干个特殊三角形，归纳总结出“一个n边形能够分割成几个三角形？”

有了前面五边形的内角和探讨方法和结果的铺垫，学生能通过图形的直观性，自主构建知识联系：一个n边形可以分割成（n-2）个三角形。

二、教学反思

利用几何直观，设置阶梯式的递进问题，学生就不需要死记硬背多边形的内角和公式，同时在进行推导的过程中，加深了学生对图形间相互联系、相互转化的理解，能够使学生在今后面对复杂图形或陌生情形时，可以将之转化为基本图形，从而直观地利用基本的图形性质来解决复杂图形的说理和计算问题。

几何直观是揭示现代数学本质的有力工具，有助于形成科学正确的世界观和方法论。借助几何直观，揭示研究对象的性质和关系，使思维很容易地转向更高级更抽象的空间形式，使学生体验数学创造性的工作历程，能够开发学生的创造激情，形成良好的思维品质。训练学生的图形直观，不仅仅是让学生能够很好地解题，更重要的是能够使学生通过建模、分割、转化等方式方法，对新旧知识进行梳理、整合、运用，让学生能够通过直观的感知自发地构建出图形与图形、图形与数量间的有机架构，从而将知识系统化、一致化。

按照《数学课程标准》的理念，教师在培养学生几何直观的时候，更应该通过各种不同的图象和方法，重现知识的生成过程，激发学生的主观能动性，让学生“积累数学活动经验”。而根据“最近发展区”的原则，教师更应该在教学环节中乐于做一个搭建精美“阶梯”的大师，创设符合学生认知能力的情景，设计层层深入的环节与问题，引领学生自主地攀登一个又一个数学高峰。

参考文献：

多边形内角和篇7

第一章 整式的运算一、整式1、单项式：表示数与字母的积的代数式。另外规定单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做单项式的系数。注意系数包括前面的符号，系数是1时通常省略， 是系数， 的系数是单项式的次数是指所有字母的指数的和。2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。 (几次几项式)每一个单项式叫做多项式的项，注意项包括前面的符号。多项式的次数：多项式中次数的项的次数。项的次数是几就叫做几次项，其中不含字母的项叫做常数项。3、整式;单项式与多项式统称为整式。(最明显的特征：分母中不含字母)二、整式的加减：①先去括号; (注意括号前有数字因数)②再合并同类项。 (系数相加，字母与字母指数不变)三、幂的运算性质1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。3、积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘。4、零指数幂：任何一个不等于0的数的0次幂等于1。 ( ) 注意00没有意义。5、负整数指数幂： ( 正整数， )6、同底数幂相除：底数不变，指数相减。 ( )注意：以上公式的正反两方面的应用。常见的错误： ， ， ， ，四、单项式乘以单项式：系数相乘，相同的字母相乘，只在一个因式中出现的字母则连同它的指数作为积的一个因式。五、单项式乘以多项式：运用乘法的分配率，把这个单项式乘以多项式的每一项。六、多项式乘以多项式：连同各项的符号把其中一个多项式的各项乘以另一个多项式的每一项。七、平方差公式两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。即：一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。八、完全平方公式两数的和(或差)的平方，等于这两数的平方和再加上(或减去)两数积的2倍。常见错误：九、单项除以单项式：把单项式的系数相除，相同的字母相除，只在被除式中出现的字母则连同它的指数作为商的一个因式。十、多项式除以单项式：连同各项的符号，把多项式的各项都除以单项式。第二章 平行线与相交线一、互余、互补、对顶角1、相加等于90°的两个角称这两个角互余。 性质：同角(或等角)的余角相等。2、相加等于180°的两个角称这两个角互补。 性质：同角(或等角)的补角相等。3、两条直线相交，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角;或者一个角的反相延长线与这个角是对顶角。 对顶角的性质：对顶角相等。4、两条直线相交，有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。 (相邻且互补)二、三线八角： 两直线被第三条直线所截①在两直线的相同位置上，在第三条直线的同侧(旁)的两个角叫做同位角。②在两直线之间(内部)，在第三条直线的两侧(旁)的两个角叫做内错角。③在两直线之间(内部)，在第三条直线的同侧(旁)的两个角叫做同旁内角。三、平行线的判定①同位角相等②内错角相等 两直线平行③同旁内角互补四、平行线的性质①两直线平行，同位角相等。 ②两直线平行，内错角相等。 ③两直线平行，同旁内角互补。五、尺规作图(用圆规和直尺作图)①作一条线段等于已知线段。 ②作一个角等于已知角。第三章 三角形一、认识三角形1、三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。2、三角形三边的关系：两边之和大于第三边;两边之差小于第三边。(已知三条线段确定能否组成三角形，已知两边求第三边的取值范围)3、三角形的内角和是180°;直角三角形的两锐角互余。锐角三角形 (三个角都是锐角)4、三角形按角分类直角三角形 (有一个角是直角)钝角三角形 (有一个角是钝角)5、三角形的特殊线段：a) 三角形的中线：连结顶点与对边中点的线段。 (分成的两个三角形面积相等)b) 三角形的角平分线：内角平分线与对边的交点到内角所在的顶点的线段。c) 三角形的高：顶点到对边的垂线段。 (每一种三角形的作图)二、全等三角形：1、全等三角形：能够重合的两个三角形。2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。3、全等三角形的判定：判定方法内 容简称边边边三边对应相等的两个三角形全等SSS边角边两边与这两边的夹角对应相等的两个三角形全等SAS角边角两角与这两角的夹边对应相等的两个三角形全等ASA角角边两角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等AAS斜边直角边斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等HL注意：三个角对应相等的两个三角形不能判定两个三角形形全等;AAA两条边与其中一条边的对角对应相等的两个三角形不能判定两个三角三角形全等。SSA4、全等三角形的证明思路：条 件下一步的思路运用的判定方法已经两边对应相等找它们的夹角SAS找第三边SSS已经两角对应相等找它们的夹边ASA找其中一个角的对边AAS已经一角一边找另一个角ASA或AAS找另一边SAS5、三角形具有稳定性，三、作三角形1、已经三边作三角形2、已经两边与它们的夹角作三角形3、已经两角与它们的夹边作三角形(已经两角与其中一角的对边转化成这种情况)4、已经斜边与一条直角边作直角三角形第四章 生活中的变量一、变量、自变量与因变量①两个变量x与y，y随x的改变而改变，那么x是自变量(先变的量)，y是因变量(后变的量)。二、变量之间的表示方法：①列表法②关系式法：能精确地反映自变量与因变量之间数值的对应关系。③图象法：用水平方向的数轴(横轴)上的点表示自变量，用坚直方向的数轴(纵轴)表示因变量。第五章 生活中的轴对称一、轴对称图形与轴对称①一个图形沿某一条直线对折，直线两旁的部分能完成重合的图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。②两个图形沿某一条直线折叠，这两个图形能完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴。③常见的轴对称图形：线段(两条对称轴)，角，长方形，正方形，等腰三角形，等边三角形，等腰梯形，圆，扇形二、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 ∠1=∠2 PBOB PAOA PB=PA三、线段垂直平分线：①概念：垂直且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。②性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 OA=OB CDAB PA=PB四、等腰三角形性质： (有两条边相等的三角形叫做等腰三角形)①等腰三角形是轴对称图形; (一条对称轴)②等腰三角形底边上中线，底边上的高，顶角的平分线重合; (三线合一)③等腰三角形的两个底角相等。 (简称：等边对等角)五、在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它所对的两条边也相等。(简称：等角对等边)六、等边三角形的性质：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质。① 等边三角形的三条边相等，三个角都等于60; ②等边三角形有三条对称轴。七、轴对称的性质：① 关于某条直线对称的两个图形是全等形; ②对应线段、对应角相等;② 对应点的连线被对称轴垂直且平分; ④对应线段如果相交，那么交点在对称轴上。八、镜子改变了什么：1、物与像关于镜面成轴对称;(分清左右对称与上下对称)2、常见的问题：①物体成像问题;②数字与字母成像问题;③时钟成像问题

多边形内角和篇8

【关键词】初中数学；目标；教学

《基础教育改革与发展纲要》确立了“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”的三维教学目标，三维目标的确立为基础教育顺应时展作出了科学的目标定位。教学目标是教学活动的起点和归宿，它是教学的灵魂，支配着教学的全过程。教师在教学实践中对课时教学目标的制定是否恰当，教学过程中目标的达成度如何，将直接决定一堂课的教学效果，进而决定教学质量。在初中数学教学中，如何落实教学目标呢？下面我就八年级人教版课本P21―23《多边形的内角和》这一节课的教学来谈谈我的做法。

1 认真阅读新的课程教学标准，结合教材和学生实际确定教学目标。

教学目标不仅是教学活动的出发点，也是教学活动的归宿点，它的基本要求是具备科学性、合理性、明确性以及可检测性。在课堂教学前教师如能根据学生的具体情况制定符合基本要求的教学目标，将了取得教学成功的先决条件之一。

新的课程标准注重学生所学内容与现实生活的联系，注重学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程。根据新课标和本节课的内容特点，在《多边形的内角和》这一节课的教学中，我确定以下教学目标：

【知识与技能】掌握多边形内角和与外角和定理，进一步了解转化的数学思想。

【过程与方法】经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法。

【情感态度与价值观】让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造。

2 教学过程中要清晰地展示教学目标。

新课程理念下的数学教学过程，应该是一个在三维目标指导下的精神生产活动。围绕学习内容，全面理解三维目标，即知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。使各项目与具体学习内容有机的整合，这既是顺利开展教学活动的前提，同时也是课堂教学取得预期效果的重要保证。

2.1知识与技能目标要清晰。新课程改革，“双基”仍是一个重要的目标，这一目标我们不是看教师的文本，也就是说，不应该看教师的教学设计，而应是看整个课堂是否落实。《多边形的内角和》这节书的主要知识点是多边形的内角和与多边形的外角和，加强多边形的内角和与外角和的计算训练，从让学生掌握知识“n边形内角和等于n-20×180o”、“多边形外角和等于360o”及“探究多边形的内角和都是通过转化为三角形来解决的转化思想”。因此在教学中我设计下面的习题和突出多边形的内角和探究过程，使整个教学过程围绕着学生的基础知识和基本技能进行训练。

例题1：如果一个四边形的一组内角互补，那么来一组对角有什么关系？

例题2：在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和，六边形的外角和等于多少度？

练习1：正八边形的内角和是多少度？每个内角多少度？

练习2：如果多边形内角和是3600o，求这个多边形是几边形？

练习3：木工师傅准备把长方形桌面截去一角，请问新得到的多边形内角和是多少度？

2.2 强调学生获取知识的过程与方法。

2.2.1 设计情景，激发兴趣。在《多边形的内角和》的教学中，我设置了“木工师傅在装修房屋时，为了使得房间更加经典美观，需要将一块三角形木板锯掉一个角，你能想办法求出锯掉一个角后的四边形的内角和的度数吗？再将四边形锯掉一个角后得到的五边形的内角和的度数吗？……”这个问题，激起学生学习的兴趣，为下边的探究做好铺垫。

2.2.2 动手操作，展开探究。

首先，让学生将一个四边形用多种方法剪成三角形，通过学生活动，得到下面几种类型的剪法：

其次，让学生将一个五边形、六边形剪成三角形。通过剪纸操作，为学生的探究指明了方向，让学生产生“多边形的内角和与三角形内角和联系在一起”的潜意识，构成了整节教材的探究脉络，同时培养了学生的数学转化思想。

最后，引导学生阅读、观察、实验、思考、联想、试探、验证等探究活动获得“n边形内角和等于n-20×1800”、“多边形外角和等于3600”知识。

这一个过程完全是由学生互动探究完成，实现了学生获得知识的过程，同时培养了探究能力。

2.3 让学生自我实现情感态度与价值观， 在《多边形的内角和》的教学中，我引进了生活情境，让学生在情境中提出问题，在情境中寻求解决问题的方法，这样拉近了数学与生活的联系，让学生感受生活中处处都有数学，真正体会到学习数学的价值和作用。课堂上教师还和学生加强交流与沟通，用一些激励的语言来鼓励学生，增强了师生之间的情感，为学生轻松而愉快的学习作了很好的铺垫，同时学生自我探究，获得知识，并且能用自己获得的知识解决生活中的问题，体验了学生成功喜悦。

3 教学过程中要根据课堂的实际对教学目标进行调整。

教学目标是教师在课前拟定的，这些目标并不是不可改变的，在实际的教学过程中，学生的学习状况往往并不是我们预期的那样，会偏离教师课前拟定的目标，所以，在这种情况之下，教师应根据具体情况适时进行调整。

在《多边形的内角和》的教学中，我发现学生对知识掌握得较好，学习兴趣较高，因此，我在原来设计的基础上留下一道具有一定难度的思考题，供他们思考。一个多边形截去一个外角后，形成另一个多边形的内角和是1620o，中原多边形的边数是多少？下课铃响了，学生思考、讨论的热情还是那么浓厚。

4 课后反思。

一节课结束后，我们应该静下心来细细想想：这一节课的目标是否够明确？每一个目标达成程度如何？需要哪些改进？对存在问题要及时解决。同时把这些问题记录下来，为今后的教学提供了可资借鉴的经验，经过长期积累，我们必将获得一笔宝贵的教学财富。

总之，在课堂教学中，我们要深入研究新的课程标准和教材，确定教学目，在课堂教学中，利用教学艺术，达成教学目标。

参考文献

多边形内角和篇9

《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：“教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。”总理在2005年9月9日指出：给孩子们讲的应该尽量少些，而引导他们去发现的应该尽量多些，这样就慢慢使学生懂得自己去钻研，自己去提高学习知识的本领。

数学被誉为“人类思维的体操”，思维是数学的核心，思维活动应贯穿于数学课堂的始终。而数学阅读能力是学生各种能力的基础，有效的阅读，有利于促进学生自我思考、自我探索、自我发现，从而提高数学思维能力和创新能力。在平时教学中注意加强培养学生的阅读能力，促进学生在阅读中发现问题、思考问题，从而悄无声息地提高学生思维品质。笔者结合自己的一节市优质课——浙教版八下《5.1多边形（1）》教学，谈谈初中数学阅读对学生思维培养的一点体会。

一、引入环节：阅读——温故，激活学生思维

柏拉图说过：思维是灵魂的自我谈话。在引入中，紧抓学生原有的知识经验，给出一个语段，通过阅读，将学生置身于原有的知识中，使曾经相识的面孔即刻熟悉起来，可以有效地激活学生的思维。在《5.1多边形（1）》教学中设置了以“忆”为主题的第一次阅读：

【忆】（阅读语段（七下部分知识），完成学习单的左列填空）

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做

三角形。“三角形”用符号“?”表示，如图，顶点为A，B，C的三角形记做“ΔABC”，读做“三角形ABC”。也可以记做“ΔBCA”“ΔCAB”等.它的三边分别是：AB，BC，CA，三个内角分别是∠A，∠B，∠C。关于三角形的内角和，我们通过剪拼、作平行线等多种方法得到如下重要结论在阅读过程中，学生不断地进行着文字与原有认知的对话，进行着积极的心理活动，激活了学生对原有的三角形相关知识的认知，形成了一定的思维基础。同时该语段为四边形的学习准备了对比明显的材料，为学生后续思维的发展奠定基础。

二、新课起始：阅读——学习，引发学生思维

教育心理学研究表明：面对新奇的信息，学习者会根据已有的知识进行选择，只有那些与已有旧知识建立起相似的信息，才会引起学习者的兴趣。从而产生积极有效的思维活动。学生在阅读完旧知识后，再阅读书本中关于四边形的相关内容，将学生置于2个相似空间中，引起学生自觉的对比，观察，促使学生自主的去探索、思考，发现，在同中求异、在异中求同，发现新事物的新特点，促使学生思维自觉发展、深化。在《5.1多边形（1）》教学中设置了以“读”为主题的第二次阅读：

【读】（阅读课文P94—95，完成学习单右边的填写。以下内容为节选。）

如图，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做四边形.请说出如图所示的四边形ABCD的各条边和各个内角.……

一般地，四边形有以下的定理：四边形的内角和等于3600……

根据上述定理，容易得到下面的推论：四边形的外角和等于3600。

至此，学生对四边形的概念及内外角和有了一个初步的了解。通过2个语段的阅读，学生已经不自觉地开始对两段话进行一定的对比，会主动思考其中一些关系，对三角形、四边形之间的关系有了初步的感知。

三、新课高潮阅读——思考，完善学生思维

数学知识不是孤立的，而是存在于系统之中。每一个体系它们有着类似的特征、类似研究方法。当教师依据数学思维的系统性特征，在教学过程中提供给学生研究数学问题的知识结构系统，就能会促使学生在头脑中形成一个经纬交织、融会贯通的知识网络，不但有助于学生对所学得知识的深刻理解，还能促使学生从中发现新的数学问题。

通过以上2次阅读及对表格的填写，笔者再次引导学生阅读表格，与学生一起进行了一系列积极有效的思考：

【思】

思考一：

1.对比三角形和四边形的定义，你发现有什么异同？

2.结合你的发现能给五边形下定义吗？六边形呢？

3.n边形的定义呢？

思考二：三角形四边形的边、内角的表示是否类似？由表格中三角形、四边形的表示方法，你能猜出五边形、六边形等的表示方法吗？

思考三：从表格中我们看到三角形的内角和是1800，四边形的内角和等于3600。你能解释四边形的内角和为什么等于3600？

因为有三角形的内角和对比，学生自觉通过对比三角形将四边形进行了分割。学生通过小组合作提供的方法如下：

1.连接四边形的1条对角线，把四边形分割成2个三角形，从而得到四边形内角和3600。（图1）

2.连接2条对角线，把四边形分割成4个三角形，再减去中间的周角3600，就得到了四边形内角和3600。（图2）

3.过A点作BC的平行线，将四边形分割成2个三角形，可以得到四边形内角和为3600。（图3）

4.延长四边形的两边，使它们交于一点E，ΔEAB的内角和为1800，在顶点A、D处分别形成2个平角，于是四边形内角和就等于3个1800减去1个1800，等于3600。（图4）

5.作了四边形的两条高线AE、DF，所以AE平行于DF，由同旁内角互补，∠DAE+∠ADF=1800，因此四边形内角和就等于∠DAE+∠ADF+ΔABE的内角和+ΔDCF的内角和减去2个直角=3600。（图5）

6.最重要的是有一位学生在图2的基础上展开了积极有效的猜想，他认为既然对角线交点可以将四边形分成4个三角形，那么在四边形内任意取一点O，然后连接AO、BO、CO、DO情况会怎样呢？学生的这个猜想实在太了不起了。它打开了全班学生的思路，于是学生在此基础上进行了积极的尝试，并同时发现O还可以在四边形外及四边形的边上（图6、图7、图8）。这种猜想和发现是学生思维的一次质的飞越。

思考四

结合三角形外角和思考为什么四边形的外角和等于3600？

波利亚在《怎样解题》中说过：数学教学的目的在于培养学生的思维能力，数学教学是进行训练、培养学生良好思维品质的有效途径。学生逐一阅读表格，通过对比、观察、思考，不仅主动从概念上对n边形知识体系进行了一次完善，更重要的是在三角形内角和的基础上，关注到知识间的联系，充分展开联想，运用多种方法证明四边形的内角和，并从中提炼出一个重要数学思想——转化思想，这是数学思维的高度概括。

四、新课余音阅读——反思，升华学生思维

在学生思维极度活跃的时候，戛然而止似乎少了点什么，于是在此基础上，引导学生进行方法的回顾反思，并继续将问题推广深化，将学生的思维推广到更大的空间中，使学生的思维得到了进一步的升华，创新也许从此开始。

拓展思考：

你是否可以求出五边形的内角和？六边形呢？能推广到N边形吗？外角和又怎样呢？请同学课外继续研究。

………

阿基米德曾经说过：“给我一个支点我就能翘起地球。”在数学教学中，教师最重要的是为学生提供足够的阅读材料，找准新旧知识的结合点，思维的生发点，相信学生的能力，放手让学生自己去思考、探索、发现，为学生的终身发展奠定基础。

参考文献：

1.《数学阅读在数学教学中的重要性》刘恒玥《少年智力开发报》2011年第26期

多边形内角和篇10

一、选择题（每小题3分，共36分）1．在下列长度的四根木棒中，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是( )A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm【考点】三角形三边关系． 【分析】易得第三边的取值范围，看选项中哪个 在范围内即可．【解答】解：设第三边为c，则9+4＞c＞9﹣4，即13＞c＞5．只有9符合要求．故选C．【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．2．已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于( )A．12 B．15 C．12或15 D．15或18【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【专题】分类讨论．【分析】从已知结合等腰三角形的性质进行思考，分腰为3，腰为6两种情况分析，舍去不能构成三角形的情况．【解答】解：分两种情况讨论，当三边为3，3，6时 不能构成三角形，舍去；当三边为3，6，6时，周长为15．故选B．【点评】题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．3．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的 玻璃，那么最省事方法是( ) A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去【考点】全等三角形的应用． 【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．故选：C．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．4．在ABC和A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，补充条件后，仍不一定能保证ABC≌A′B′C′，这个补充条件是( )A．BC=B′C′ B．∠A=∠A′ C．AC=A′C′ D．∠C=∠C′【考点】全等三角形的判定． 【分析】全等三角形的判定可用两边夹一角，两角夹一边，三边相等等进行判定，做题时要按判定全等的方法逐个验证．【解答】解：A中两边夹一角，满足条件；B中两角夹一边，也可证全等；C中∠B并不是两条边的夹角，C不对；D中两角及其中一角的对边对应相等，所以D也正确，故答案选C．【点评】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定，要认真确定各对应关系．5．下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是( )A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：根据轴对称图形定义可知：A、不是轴对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不符合题意．故选A．【点评】掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6．如图是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在( )两点上的木条． A．A、F B．C、E C．C、A D．E、F【考点】三角形的稳定性． 【分析】根据三角形具有稳定性选择不能构成三角形的即可．【解答】解：A、A、F与D能够组三角形，能固定形状，故本选项错误；B、C、E与B能够组三角形，能固定形状，故本选项错误；C、C、A与B能够组三角形，能固定形状，故本选项错误；D、E、F不能与A、B、C、D中的任意点构成三角形，不能固定形状，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查了三角形的稳定性，观察图形并熟记三角形的定义是解题的关键．7．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠CMD=35°，则∠MAB的度数是( ) A．35° B．45° C．55° D．65°【考点】角平分线的性质． 【分析】过点M作MNAD于N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得MC=MN，然后求出MB=MN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AM是∠BAD的平分线，然后求出∠AMB，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．【解答】解：如图，过点M作MNAD于N，∠C=90°，DM平分∠ADC，MC=MN，∠CMD=∠NMD，M是BC的中点，MB=MC，MB=MN，又∠B=90°，AM是∠BAD的平分线，∠AMB=∠AMN，∠CMD=35°，∠AMB= （180°﹣35°×2）=55°，∠MAB=90°﹣∠AMB=90°﹣55°=35°．故选A． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到角的两边距离相等的点在角的平分线上，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．8．如图，ABC≌AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】全等三角形的性质． 【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可．【解答】解：ABC≌AEF，AC=AF，故①正确；∠EAF=∠BAC，∠FAC=∠EAB≠∠FAB，故②错误；EF=BC，故③正确；∠EAB=∠FAC，故④正确；综上所述，结论正确的是①③④共3个．故选C．【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．9．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ) A．75° B．90° C．105° D．120°【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理． 【专题】探究型．【分析】先根据直角三角形的性质得出∠BAE及∠E的度数，再由三角形内角和定理及对顶角的性质即可得出结论．【解答】解：图中是一副直角三角板，∠BAE=45°，∠E=30°，∠AFE=180°﹣∠BAE﹣∠E=105°，∠α=105°．故选C． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．10．有一个多边形，它的内角和恰好等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是( )A．7 B．6 C．5 D．4【考点】多边形内角与外角． 【分析】n边形的内角和 可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．【解答】解：设多边形的边数为n，依题意，得：（n﹣2）•180°=2×360°，解得n=6．故选B．【点评 】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程求边数．11．在ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是( ) A．6＜AD＜8 B．2＜AD＜14 C．1＜AD＜7 D．无法确定【考点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质． 【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明ABD≌ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解．【解答】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．在ABD和ECD中， ，ABD≌ECD（SAS），CE=AB．在ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即2＜2AD＜14，1＜AD＜7．故选：C． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．12．如图，由4个小正方形组成的田字格中，ABC的顶点都是小正方形的顶点，则田字格上画与ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含ABC本身）共有( ) A．1个 B．3个 C．2个 D．4个【考点】利用轴对称设计图案． 【分析】根据轴对称图形的性质得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：符合题意的有3个三角形．故选：B． 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．二、填空题（每小题3分，共24分）13．在ABC中，∠A=60°，∠C=2∠B，则∠C=80度．【考点】三角形内角和定理． 【分析】根据三角形的内角和定理和已知条件求得．【解答】解：∠A=60°，∠B+∠C=120°，∠C=2∠B，∠C=80°．【点评】主要考查了三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．14． 如图，小亮从A点出发，沿直线前进100m后向左转30°，再沿直线前进100m，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了1200m． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据多边形的外角和为360°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，他需要转动360°，即可求出答案．【解答】解：360÷30=12，他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×100=1200米．故答案为：1200米．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．15．如图，将ABC沿射线AC平移得到DEF，若AF=17，DC=7，则AD=5． 【考点】平移的性质． 【分析】根据平移的性质得出AD=CF，再利用AF=17，DC=7，即可求出AD的长．【解答】解：将ABC沿射线AC平移得到DEF，AF=17，DC=7，AD=CF，AF﹣CD=AD+CF，17﹣7=2AD，AD=5，故答案为：5．【点评】此题主要考查了平移的性质，根据题意得出AD=CF，以及AF﹣CD=AD+CF是解决问题的关键．16．如图，在ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=66.5°． 【考点】三角形内角和定理． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义表示出∠CAE+∠ACE，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．【解答】解：三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∠CAE+∠ACE= （∠B+ ∠ACB）+ （∠B+∠BAC），= （∠BAC+∠B+∠ACB+∠B），= （180°+47°），=113.5°，在ACE中，∠AEC=180°﹣（∠CAE+∠ACE），=180°﹣113.5°，=66.5°．故答案为：66.5．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，整体思想的利用是解题的关键．17．如图，在ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点D到线段AB的距离是3cm． 【考点】角平分线的性质． 【分析】求D点到线段AB的距离，由于D在∠BAC的平分线上，只要求出D到AC的距离CD即可，由已知可用BC减去BD可得答案．【解答】解：CD=BC﹣BD，=8cm﹣5cm=3cm，∠C=90°，D到AC的距离为CD=3cm，AD平分∠CAB，D点到线段AB的距离为3cm．故答案为：3．【点评】本题考查了角平分线的性质；知道并利用CD是D点到线段AB的距离是正确解答本题的关键．18．如图，已知在ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DEBC于E，若BC=15cm，则DEB的周长为15cm． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】先根据ASA判定ACD≌ECD得出AC=EC，AD=ED，再将其代入DEB的周长中，通过边长之间的转换得到，周长=BD+DE+EB=BD+AD+EB=AB+BE=AC+EB=CE+EB=BC，所以为15cm．【解答】解：CD平分∠ACB∠ACD=∠ECDDEBC于E∠DEC=∠A=90°CD=CDACD≌ECDAC=EC，AD=ED∠A=90°，AB=AC∠B=45°BE=DEDEB的周长为：DE+BE+BD=AD+BD+BE=AB+BE=AC+BE=EC+BE=BC=15cm．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边 的夹角．19．如图，已知ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，ODBC于D，且OD=3，ABC的面积是31.5． 【考点】角平分线的性质． 【分析】连接OA，作OEAC，OFAB，垂足分别为E、F，将ABC的面积分为：SABC=SOBC+SOAC+SOAB，而三个小三角形的高OD=OE=OF，它们的底边和就是ABC的周长，可计算ABC的面积．【解答】解：作OEAC，OFAB，垂足分别为E、F，连接OA，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，ODBC，OD=OE=OF，SABC=SOBC+SOAC+SOAB= ×OD×BC+ ×OE×AC+ ×OF×AB= ×OD×（BC+AC+AB）= ×3×21=31.5．故填31.5． 【点评】此题主要考查角平分线的性质；利用三角形的三条角平分线交于一点，将三角形面积分为三个小三角形面积求和，发现并利用三个小三角形等高是正确解答本题的关键．20．如图所示，已知AB=AC，∠A=40°，AB=10，DC=3，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC=30度，AD=7． 【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到∠DBA的度数，计算即可．【解答】解：AB=AC，∠A=40°，∠ABC=∠C=70°，MN是AB的垂直平分线，DA=DB，∠DBA=∠A=40°，∠DBC=30°；AB=AC，AB=10，DC=3，DA=10﹣3=7，故答案为：30；7．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．三 、解答下列各题21．如图，写出ABC的各顶点坐标，并画出ABC关于y轴对称的A1B1C1，写出ABC关于x轴对称的A2B2C2的各点坐标． 【考点】作图-轴对称变换． 【分析】根据直角坐标系的特点写出各点的坐标，并作出各点关于y轴对称的点，然后顺次连接，写出坐标．【解答】解：如图： ABC各点坐标为：A（﹣2，5），B（﹣6，2），C（﹣3，1）；A2B2C2的各点坐标为：A2（﹣2，﹣5），B2（﹣6，﹣2），C2（﹣3，﹣1）．【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．22．已知：如图，AB∥CD，求图形中的x的值． 【考点】多边形内角与外角；平行线的性质． 【专题】计算题．【分析】根据平行线的性质先求∠B的度数，再根据五边形的内角和公式求x的值．【解答】解：AB∥CD，∠C=60°，∠B=180°﹣60°=120°，（5﹣2）×180°=x+150°+125°+60°+120°，x=85°．【点评】本题主要考查了平行线的性质和多边形的内角和，属于基础题．23．已知：如图，AB=DC，AE=BF，CE=DF，∠A=60°．（1）求∠FBD的度数．（2）求证：AE∥BF． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）求出AC=BD，根据SSS推出AEC≌BFD，根据全等三角形的性质得出∠A=∠FBD即可；（2）因为∠A=∠FBD，根据平行线的判定推 出即可．【解答】解：（1）AB=CD，AB+BC=CD+BC，AC=BD，在AEC和BFD中 AEC≌BFD，∠A=∠FBD，∠A=∠FBD，∠A=60°，∠FBD=60°；（2）证明：∠A=∠FBD，AE∥BF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．24．已知A村和B村坐落 在两相交公路内（如图所示），为繁荣当地经济，A、B两付计划合建一座物流中心，要求所建物流中心必须满足下列条件：①到两条公路的距离相等；②到A、B两村的距离也相等．请你通过作图确定物流中心的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【考点】作图—应用与设计作图． 【分析】作出两条公路夹角的平分线和张、连接A、B两村之间线段的垂直平分线，交点即是所求物流中心．【解答】解：如图所示：点P即为所求物流中心． 【点评】此题考查了作图﹣应用与设计作图，角平分线性质，以及线段垂直平分线性质，熟练掌握性质是解本题的关键．25．（1）如图（1），在ABC中，∠C＞∠B，ADBC于点D，AE平分∠BAC，你能找出∠EAD与∠B、∠C之间的数量关系吗？并说明理由．（2）如图（2），AE平分∠BAC，F为AE上一点，FMBC于点M，这时∠EFM与∠B、∠C之间又有何数量关系？请你直接说出它们的关系，不需要证明． 【考点】三角形内角和定理． 【专题】探究型．【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠EAC，再根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC，然后表示出∠EAD，整理即可得解；（2）过点A作ADBC于D，根据两直线平行，同位角相等可得∠EFM=∠EAD，再根据（1）的结论解答．【解答】解：（1）AE平分∠BAC，∠EAC= ∠BAC= （180°﹣∠B﹣∠C），又ADBC，∠DAC=90°﹣∠C，∠EAD=∠EAC﹣∠DAC= （180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）= （∠C﹣∠B），即∠EAD= （∠C﹣∠B）；（2）如图，过点A作ADBC于D，FMBC，AD∥FM，∠EFM=∠EAD= （∠C﹣∠B）． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，整体思想的利用是解题的关键 ．26．（14分）已知，如图1，ABC和EDC都是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上．（1）填空：∠AED=∠CDE=120度；（2）求证：AD=BE；（3）如图将图1中的EDC沿BC所在直线翻折（如图2所示），其它条件不变，（2）中结论是否成立？请说明理由． 【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【分析】（1）由DCE为等边三角形可知∠CDE=∠CED=60°，然后由邻补角的定义可知∠AED=∠CDE=120°；（2）证明BDE和AED全等即可；（3）由等边三角形的性质可知：AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠BCE，从而可证明ACD≌BCE，从而可得到AD=BE．【解答】（1）解：EDC都是的等边三角形，∠CDE=∠CED=60°．∠AED=∠CDE=120°．故答案为：∠CDE；120．（2）证明：ABC和EDC都是等边三角形，AC=BC，EC=DC．AC﹣EC=BC﹣DC即AE=BD．在AED和BDE中， ，AED≌BDE（SAS）．AD=DE．（3）AD=BE仍成立．理由：ABC和CDE都是等边三角形，AC=BC，EC=DC，∠ACD=∠BCE=60°．在ACD和BCE中， ，ACD≌BCE．AD=BE．【点评】本题主要考查的是等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．