二元一次方程十篇

二元一次方程篇1

一、一元二次函数与一元二次方程

一元二次函数是初中数学的重要内容 ，是初中、高中数学知识的衔接点，是中考中数学的重点考察内容之一，要全面掌握一元二次函数的基础知识和基本性质，并能分析和解决有关一元二次函数的综合问题，合理利用一元二次函数与一元二次方程的联系是十分必要的.

首先，从其形式上来看：

一元二次函数y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）与一元二次方程0 = ax2 + bx + c（a ≠ 0）（其中a，b，c为常数）：

① 它们都是关于x的二次式，从上面我们可以看出，y = 0时，便是一个一元二次方程. 所以，我们可以认为一元二次方程是一元二次函数的特殊形式，这是用函数的观点看一元二次方程.

② 条件上，都是在保证a ≠ 0的情况下，去认识一元二次函数和一元二次方程. 如果a = 0时，再谈便无意义.

③ 从其表达式上可知道，无论是一元二次函数y的值，还是一元二次方程的解x应该都与系数a，b，c有关.

其次，我们还可以从其内涵上来看：

① 一元二次方程是求ax2 + bx + c = 0时x的某确定值，即方程的根. 实质是用a，b，c来表示，如将x反代入表达式，则ax2 + bx + c值为0.

② 一元二次函数y = ax2 + bx + c是研究变量y随自变量x的变化情况，反应的是y的变化规律. 当x变化时，y也随着x以ax2 + bx + c变化. 而当y = 0时，求出方程x2 + bx + c = 0的两根x1，x2 . 而此时的x1，x2正是一元二次函数y = ax2 + bx + c与x轴的交点.

最后，我们知道，无论是一元二次函数还是一元二次方程，其交点或根都与系数a，b，c有关. 有交点就说明方程ax2 + bx + c = 0有根. 那么，是不是所有的一元二次方程ax2 + bx + c = 0都有根或者说所有的一元二次函数y = ax2 + bx + c都与x轴有交点呢？又是不是只要一元二次方程ax2 + bx + c = 0有根，一元二次函数y = ax2 + bx + c就与x轴有交点呢？

通过学习我们知道，并不是所有的一元二次方程都有实数根，也不是全部一元二次函数都与实数轴x轴有交点. 既然这样，那怎样的一元二次方程才有实数根，又是什么样的一元二次函数才与实数轴有交点呢？上面已经说过，无论是方程的根，还是函数与x轴的交点坐标都应该和其系数a、b、c有关. 所以，现在我们应该考虑，能否通过它们的系数关系来判断一元二次方程有根或一元二次函数有交点的问题. 有根，有几个根；有交点，又有几个交点；满足有根或有交点时，系数之间是否呈现一定的关系和规律呢？

综上，我们可以看到，无论a∈（-∞，+∞），且a ≠ 0时，①当b2 - 4ac > 0时，一元二次函数与x轴有两个不同的交点，且相应方程有两个不同的实数根；②当b2 - 4ac = 0时，一元二次函数与x轴仅有一个交点和对应方程有一对相等的根（即x1 = x2）；③当b2 - 4ac < 0时，一元二次函数与x轴无交点，对应方程无实数根. 亦说明一元二次函数与一元二次方程间是有着密切联系的. 它们都有一共同特征：就是一元二次函数与x轴有无交点和一元二次方程有无实数根都决定于b2 - 4ac与0的比较. 一元二次函数与x轴有无交点和一元二次方程有无根都与表达式b2 - 4ac有关，并把它作为判断有无交点和有无根的依据，所以叫它为判别式，记为[2]. （注：它只是一个记号.）

二、用一元二次函数的观点看一元二次方程

例4 如图-2，以40 m/s的速度将小球沿以地面成30°角的方向击出时，球的路线将是一条抛物线，如果不计空气阻力，球的飞行高度（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h = 20t - 5t2.

（1）球飞行高度能否达到15 m？20 m呢？20.5 m呢？

（2） 若能，需多长时间呢？

解 h = 20t - 5t2 = -5（t - 2）2 + 20

当t = 2s时h = 20 m，是球飞行的最大高度.15 < 20 < 20.5，即球不能达到20.5 m；能达到15 m，当h = 15，则t = 1 s或3 s.

此题实际上是求分别满足20t - 5t2 = 15、20或20.5时，t是否存在实数解，但这要分别对这三个一元二次方程进行讨论，这是很烦琐的. 如按以上的解法，就是充分运用了函数的性质，进而将问题简单化、明了化.

二元一次方程篇2

本节是在二元一次方程组的基础上进一步探究其解法，让学生通过解二元一次方程组了解其关键在于消元，即将“二元”转化为“一元”，不论是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解；还是将两个方程相加消元，变成一元一次方程，从而求得原方程组的解，都是学生必须掌握的基本方法。二元一次方程组是方程组的基础，是学习一次函数的基础，也是中考和竞赛的常见题目。

二、二元一次方程组解法的教材分析

（一）本节的主要内容

本节采用了两种教学方式进行讲解。一是在于灵活运用代入法，并且在求出一个未知数的值后，应将它代入到哪一个方程求另一个未知数的值比较简便；二是在于灵活运用加减法的技巧，以便将方程变形为比较简单和计算比较简便。不论是哪种方法，学生们都要了解解二元一次方程组的关键在于消元，即将“二元”转化为“一元”，把“未知”转化为“已知”。

（二）本节的教学要求

使学生会分析二元一次方程组中的两个方程，分析同一个未知数系数的关联，从而决定用哪种方法比较简便，再进行解答。

（三）二元一次方程组的解法

它的解法有很多种，但是常见的只有两种，即代入法和加减法。它们虽是两种不同的方法，但其目的相同---“消元”，都是把“二元”转化为“一元”，进而求解方程组。不同点是消元的方法不同，或通过“代入”或通过“加减”。对于一个方程组用哪种消元方法解都是可以的，但应根据方程组的具体形式选择比较简便的方法，对应不同的题目在解题时可采用不同的消元方法。

（1）代入法

用这种方法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元。选取的方法是：①选择未知数的系数是1或-1的方程；②若未知数的系数不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程，将要消的元用含另一个未知数的代数式表示，再把它代入到没有变形的方程中去。

（2）加减法

用这种方法求解关键是相加减哪个元。选取的方法是：①某个未知数系数的绝对值相等时，可直接加减消元；②若同一个未知数的系数绝对值不等时，则应选一个或两个方程变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，然后再直接用加减法求解，若方程组比较复杂，应先化简整理。

（四）本节应注意的问题

（1）“系数变形”时，应注意同一个方程的左、右两边每一项均应乘同一个适当的数，防止漏乘。

（2）“加减消元”时，由于是两个方程的左、右两边分别相加或相减，特别易出现漏项、变号（相减时）等错误。

（3）“回代求解”时，应代入系数相对较简单的一个方程。

（4）“加减消元”时，若同一个未知数系数的绝对值都不相等，则选取一组系数（选最小公倍数较小的一组系数），求出它们的最小公倍数（如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数），然后将原方程组变形，从而进行加减消元。

（5）对于比较复杂的二元一次方程组，应先化简（去分母、去括号、移项、合并同类项等），再进行消元。

（五）典型例题

例1.已知方程组 2x-y=7 ①和 x+by=a ③有相同的解，求a，b的值。

ax+y=b ② 3x+y=8 ④

[分析]由已知两个方程组有相同的解，可知方程2x-y=7和3x+y=8有相同的解，故将此两方程联立得二元一次方程组，其解又应满足由ax+y=b和x+by=a组成的方程组，进而求解。

解：依题意得 2x-y=7，解之，得 x=3，

3x+y=8， y=-1.

将它分别代入两个方程组的另两个方程，得到关天a、b的方程组 3a-b=1，

a+b=3.

解之，得 a=1，即为所求。

b=2

说明：此例须找每个方程组中都是已知数的方程组成新的方程组，得到的解，即是相同的解，再代入另一个方程一，从而求出参数的解。

例2. m取什么整数时，方程组 2x-my=6 ①的解是正整数？

x-3y=0 ②

[分析]将m看成已知数，求出含字母的x、y的值，再由解为正整数来决定m的取值。

解：由②得 x=3y

将它代入①中 2×3y-my=6

得 y=6/（6-m）.

x、y都是正整数

6-m的值为1、2、3、6；

即m的值为0、3、4、5.

说明：此例是把参数当作已知数求出方程的解，再依据已知条件求出参数的值。

三、结束语

二元一次方程篇3

根据b2-4ac的值的符号，可以确定一元二次方程根的情况. 反过来，也可由一元二次方程根的情况来确定b2-4ac的值的符号. 即有：

b2-4ac>0？圳方程有两个不相等的实根，

b2-4ac=0？圳方程有两个相等的实根，

b2-4ac

b2-4ac≥0？圳方程有两个实根.

例1 关于x的一元二次方程（m-1）x2+

2mx+m+2=0有两个不等的实数根，求m的取值范围.

【解析】根据已知条件应满足b2-4ac>0，m-1≠0.即（2m）2-4（m-1）（m+2）>0，m-1≠0.

解得-4m+8>0，m≠1. m

变式一 关于x的方程（m-1）x2+2mx+m+2=0有两个实数根，求m的取值范围.

【解析】有两个实数根，就说明此方程是一元二次方程，则有

（2m）2-4（m-1）（m+2）≥0，m-1≠0.

即-4m+8≥0，m≠1. m≤2且m≠1.

变式二 关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，求a的取值范围.

【分析】题目只讲有实数根，有可能有一个实数根，此时方程为一元一次方程；也有可能有两个实数根，此时方程为一元二次方程. 因此，本题应分两种情况解答.

解：关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，

①若此方程为一元一次方程，则a-5=0，a=5；

②若此方程为一元二次方程，则（-4）2-4×（a-5）×（-1）≥0，a-5≠0.

解得a≥1，且a≠5.

综上所述，a的取值范围为a≥1.

例2 已知关于x的方程x2-2（k+1）x+4k=0.

（1） 求证：无论k取何值时方程总有实数根；

（2） 若等腰ABC的一边长a=4，另两边b、c的长恰好是方程x2-2（k+1）x+4k=0的两个根. 求ABC的周长.

【分析】（1） 要证明无论k取何值时方程总有实数根，只要证明b2-4ac≥0即可.

（2） 因为ABC是等腰三角形，有可能a=b=4，即方程x2-2（k+1）x+4k=0有一根为4，将x=4代入方程求出k的值，再通过解方程，求出方程的两个根；有可能b=c，说明此方程有两个相等的实根，即b2-4ac=0，这样可求出k的值，再通过解方程，求出方程的根.需要注意的是两种情况都要考虑两边之和是否大于第三边.

解：（1） b2-4ac=4（k+1）2-4·4k=4k2-8k+4=4（k-1）2≥0，

无论k取何值时方程总有实数根.

（2） ABC是等腰三角形，a=4，分两种情况讨论：

①若a=b=4，则16-8（k+1）+4k=0，解得k=2，x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2.

a=b=4，c=2，此时b+c>a，ABC的周长=4+4+2=10；

二元一次方程篇4

1 二次函数与一元二次方程的建构的关系及其应用

1.1 二次函数与一元二次方程的建构的关系

通过构建一元二次方程解决抛物线y=ax2+bx+c相关问题,是解决二次函数的问题的常用方法之一。如构建一元二次方程ax2+bx+c=0解决抛物线y=ax2+bx+c与 x 轴交点问题;构建一元二次方程解决抛物线y=ax2+bx+c与其它函数的交点问题;构建一元二次方程解决其它与二次函数相关的的问题等等。

1.2 一元二次方程的建构在二次函数中的应用

通常解答二次函数的问题时,一元二次方程的构建及其求解是解决二次函数的问题不可缺少的工具。

例1 如图,抛物线y=x2+bx-2交x轴的正半轴于A点,交x轴的负半轴于B点,交y轴的负半轴于C点,O为坐标原点,这条抛物线的对称轴为x=.(1) 求A、B两点坐标,(2) 求证ACO∽CBO

略解:(1)由x=,可求b=故由一元二次方程x2+x-2=0易求B(-4,0),A(1,0)

(2)略。

2 二次函数与一元二次方程根的判别式的关系及其应用

2.1 二次函数与一元二次方程根的判别式的关系

由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式可知,① 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;② Δ=0时,方程有两个相等的实数根;③ 当Δ0 时,抛物线与 x 轴有两个交点;② 当Δ=0时,抛物线与x轴只有一个交点;③ 当Δ

2.2 一元二次方程根的判别式在二次函数中的应用

2.2.1 利用一元二次方程根的判别式解决二次函数与x轴的相交问题

例2 已知抛物线y=x2-(m2+4)x-2m2-12,求证:不论m为何值时,抛物线与x轴一定有两个交点,且其中一交点为(-2、0)

略证:=m4+16m2+64=(m2+8)2>0

抛物线与x轴一定有两个交点

又由求根公式可求x2-(m2+4)x-2m2-12=0的两根分别为x1=m2+6,x2=-2

因而抛物线与x轴两个交点中的其中一交点为(-2、0)

例4 已知直线y=(m+1)x-2与抛物线y=-(m+1)x2+(m-5)x+6有两交点

求m的取值范围

略解:由抛物线y=-(m+1)x2+(m-5)x+6可知,m≠-1

由直线y=(m+1)x-2与抛物线y=-(m+1)x2+(m-5)x+6有两交点,易列关于x的一元二次方程(m+1)x2+6x-8=0中,>0即36+32(m+1)>0,

m>-178

m>-178且m≠-1

2.2.2 利用根的判别式求二次函数的解析式

例3 已知:p、q为正整数,m≠n,关于x的一元二次方程-x2+2(p+1)x-(p2+4p-3)=0有两个不相等的实数根,抛物线y=(m2+n2-3)x2-6px+2mn+q与y轴的交点到原点的距离为2,且m2-2m-1=0,n2-2n-1=0,求抛物线的解析式

解:-x2+2(p+1)x-(p2+4p-3)=0有两个不相等的实数根

>0

p

p=1

m2-2m-1=0,n2-2n-1=0

m、n是x2-2x-1=0的两根

mn=-1,m2+n2=6

抛物线y=(m2+n2-3)x2-6px+2mn+q与y轴的交点到原点的距离为2, q为正整数

q=4

易求抛物线为:y=3x2-6x+2

3 二次函数与一元二次方程根与系数关系的关系及其应用

3.1 二次函数与一元二次方程根与系数关系的关系

3.1.1 由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根(设其两根为x1、x2)与系数关系可知: x1+x2=-ca,x1x2=ca由这两个公式可进一步探讨x1、x2的大小:当x1、x2都是正数,则0、-ba0、ca0;当x1、x2两根异号,则0、ca0;当x1、x2有一数为零,则0、ca=0;当x1、x2都是负数,则0、-ba0、ca0;…。进一步可知y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的一些情况。即① x1+x2=-ba>0且x1x2=ca>0,则y=ax2+bx+c(a≠0)交点都在x轴正半轴;② x1+x2=-ba0且x1x2=ca>0,则y=ax2+bx+c(a≠0)交点都在x轴负半轴;③ x1x2=ca0且x1x2=ca=0,则y=ax2+bx+c(a≠0)交点在原点及x轴正半轴;⑤ x1+x2=-ba

3.1.2 如果方程x2+bax+ca=0的两根是x1、x2,那么x1+x2=-ba,x1x2=ca, 易知两根为x1、x2的一元二次方程x2+bax+ca=0可化为x2-(x1+x2)x+ x1x2=0或者化为(x-x1)(x-x2)=0,也就是说一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可化为a〔x2-(x1+x2)x+ x1x2〕=0或者化为a(x-x1)(x-x2)=0。根据这一点,当抛物线经过x轴上两点(如果存在)A(x1、0)、B(x2、0)时,就不必分别将此两点代入一般式,再与第三个条件联立方程组去求a、b、c,只须令其解析式为:y= a(x-x1)(x-x2),再将第三个条件代入去求a。这样求解二次函数的解析式就显得简洁方便.

3.2 一元二次方程根与系数关系的应用

3.2.1 求二次函数的解析式

例4 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过点(6,0)、(-2,0),顶点的纵坐标为,求这个二次函数的解析式。

略解:令该二次函数的解析式为:y= a(x-6)(x+2),由顶点的纵坐标为,易求a=-,所以可求出该二次函数的解析式。

3.2.2 利用一元二次方程根与系数关系解决二次函数图像与x轴的两交点位置关系相关的问题

例5 函数y=ax2+bx+c,若a>0,b

A. 没有交点;

B. 有两个且都在x轴的正半轴;

C. 有两个且都在x轴的负半轴;

D. 有两个,一个在x轴的正半轴另一个在x轴的负半轴;

分析:(1)=b2-4ac>0可知该函数与x轴有两个交点;(2)由根与系数关系x1+x2=-ba>0,x1x2=ca

二元一次方程篇5

【案例描述】

一、教学目标

1. 知识与技能：理解加减消元法的思路，会用加减法解二元一次方程组. 进一步了解解二元一次方程组时的消元和化归思想

2. 过程与方法：通过探索加减消元法解二元一次方程组的过程，体会解二元一次方程组的解法本质，感悟“化归”思想，学会从已知中探索解决新问题的方法.

3. 情感、态度、价值观：通过探索加减消元法的活动，培养学生观察的能力、合作的意识、创新的精神.

二、教学重点

用加减法解二元一次方程组.

三、教学难点

对解二元一次方程组的基本思路――消元法的理解，和“化归”思想的渗透.

四、教学过程

1. 创设情境，复习导入

教师问：“上节课我们学习了什么内容？”

学生一起答：“学习了用代入法解二元一次方程组.”

请一名同学上黑板解二元一次方程组x + y = 4，x - y = 2，其他同学在练习本上写.

学生：x + y = 4， （1）x - y = 2， （2）

解 由（1）可得：

x = 4 - y. （3）

把（3）代入（2），得

4 - y - y = 2，

-2y = -2，

y = 1.

把y = 1代入（3），得

x = 3.

所以原方程组的解为x = 3，y = 1.

请一名学生检验.

教师问：用代入法解二元一次方程组关键是什么？

学生答：先写成用x的代数式表示y 或者写成用y的代数式表示x，消掉一个未知数.

教师：同学们说得很对，用代入法解二元一次方程组的关键是：把二元转化成一元，这个例题把（3）代入（2）的过程就是消掉未知数x，把二元转化成一元.

2. 探索新知，讲授新课

例1 解方程组x + y = 4，x - y = 2.

教师：同学们想一想除了用这种方法消掉一个未知数，还有其他方法也可以消掉一个未知数吗？

同学们认真地思考着，不时还交谈着.

教师提示：方程组中相同未知数的系数有什么特殊的地方？

学生：x的系数相同，y的系数互为相反数.

教师：能不能消掉一个未知数呢？

甲学生：把两式相加就能消掉一个未知数.

教师：为什么？

甲同学：y的系数一个是正1，一个是负1，两个式子相加，就把y消掉了.

教师：甲同学说得很对，他观察到未知数y的系数互为相反数，所以只要（1）式加上（2）就得到什么？

学生一起：2x = 6.

教师：这样我们就把二元转化为一元，我们就能解出这个二元一次方程组，还有其他方法吗？

乙学生：把两式相减也能消掉一个未知数x.

教师：为什么？

乙学生：x的系数相同，用（1）减（2）得2y = 2.

教师：乙同学说得很对，这就是我们今天要学习的内容，用加减法解二元一次方程组. 下面请两名同学分别用甲、乙两名同学的方法把板书过程写在黑板上. 教师强调每一步的过程，尤其是初学者把（1） + （2）得（x + y） + （x - y） = 4 + 2或（1） - （2）得（x + y） - （x - y） = 4 - 2这一步写出来.

练习：x + 2y = 1，3y - 2y = 5. x + 2y = 1，x + y = 5. 3x + 9y = 18，3x - 2y = 5.

2x + 6y = 18，9y - 6y = 15.

让学生总结在解二元一次方程组时在同一个未知数的系数相同时用减法消掉一个未知数，在同一个未知数的系数互为相反数时用加法消掉一个未知数.

例2 解方程组x + 3y = 9，3x - 2y = 5.

……

这节课把书上的例题x + 2y = 1，3x - 2y = 5改为x + y = 4，x - y = 2后比用书上的例题效果要好，四班用的书上的例题，而六班是用的改过的例题，在六班上课学生积极回答问题，做练习也比较快，在课后的测试中六班也比四班做得好.

【案例反思】

1. 过程组织得好.

2. 易错点强调得较好.

3. 例题改编得好.

二元一次方程篇6

【关键词】一元二次方程 特殊解法

中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2014.01.098

一、根的和、差、积法

这个方法一般用在一次项系数和常数项较大而二次项系数为1的方程上。

例1：解方程x2+14x-207=0

设：方程的两个根x1>x2，且x1-x2=k（k>0）

根据根与系数的关系可知x1+x2=-14，x1x2=-207

那么（-14）+k=2x，-14-k=2x2

（-14+k）（-14-k）=4x1x2=4x（-207）

（-14+k）（-14-k）=4x1x2=4×（-207）

即142-k2=4×（-207），k2=142-4×（-207）=4（72+207）=4×256

k=2×16=32

因此，2x1=-14+32，x1=9，2x2=-14-32，x2=23。

例2：解方程x2-3x-16=0

解：设x1-x2=k 那么x1+x2=3

那么 k+3=2x1 k-3=2x2

（k+3）（k-3）=-4x1x2=4（-16）

k2-9=4×16 k2=64+9=73 k=■

因此 2x1=3=■，x1=■，2x2=3-■，x2=■

用上述两例的解题方法可以推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式。

设x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根。

由根与系数的关系定理知道

x1+x2=-b/a ① x1x2=c/a ②

若x1-x2=k（k>0） ③

①-③得2x2=-b/a+k ④

④×⑤得（-b/a+k）（-b/a-k）=4x1x2 ⑥

②代入⑥得（-b/a+k） （-b/a-k）=4c/a

即（■）■-k2=4■ k2=■-4■=■

a=■将它代入④和⑤得

2x■=■，2x■=-■-■

所以x1=■，x2=■

二、新配方法

新配方法可避免复杂的分数运算，对于二次项系数不为1的一元二次方程用此方法最好。

例1：解方程49x■+28x-12=0

分析：本方程的特点是二次项系数49是7的完全平方数，并且一次项系数28有因数7，方程可变形为：

（7x）2+4×（7x）-12=0

解：对方程（7x）2+4×（7x）-12=0进行配方

（7x）2+4×（7x）+4=12+4

（7x+2）2=16， （7x+2）2-16=0

分解因式得（7x+2+4）（7x+2-4）=0

即（7x+6）（7x-2）=0 x1=-■，x■=■

例2：解方程 12x2-16x-11=0

分析：方程的二次项系数12不是完全方数，若方程两边都乘以3，则方程变为：

36x2-48x-33=0，再按例1的方法变形为（6x2）-8×（16x）-33=0

配方求解：（6x）2-8×（6x）+16=33+16

即（6x-4）2=49，（6x-4）2-49=0

分解因式（6x-4-7）（6x-4+7）=0

即（6x-11）（6x+3）=0 x■=■，x■=-3

例3：17x2-38x+5=0

分析：方程的二次项系数17是质数，方程两边只能乘以它本身才能使二次项系数成为完全平方数，就是：17×17x2-38×17x+5×17=0再写

（17x）2-38×（17x）+5×17=0

配方求解：（17x）2-38×（17x）+192=192-5×17

即（17x-19）2=361-85=4×69

（17x-19）2-4×69=0

分解因式得（17x-19+2■）（17x-19-2■）=0

x1=■，x2=■

新配方法解一元二次方程同样可以推导它的求根公式

方程ax2+bx+c=0（a≠0）的二次项系数a不是一个完全平方的形式。如果两边都以a，则方程变为a2x2+abx+ac=0，这时二次项系数虽然成为完全平方的形式，但一次项系数ab没有2年因数，所以配方时分式的出现仍不可避免，为了即使二次项系数为完全平方数，又要使一次项系数有因数2，我们给原方程两边都乘以4a，则方程成为：

4a2x2+4abx+4ac=0

移常数项，配新常数项，得：

4a2x2+4abx+b2=b2-4ac

即（2ax+b）2=b2-4ac，或（2ax+b）2-（b2-4ac）=0

分解因式（2ax+b+■）（2ax+b-■）=0

由2ax+b+■=0得x=■

二元一次方程篇7

1、会用代入法解二元一次方程组

2、会阐述用代入法解二元一次方程组的基本思路——通过“代入”达到“消元”的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。

此外，在用代入法解二元一次方程组的知识发生过程中，让学生从中体会“化未知为已知”的重要的数学思想方法。

引导性材料：

本节课，我们以上节课讨论的求甲、乙骑自行车速度的问题为例，探求二元一次方程组的解法。前面我们根据问题“甲、乙骑自行车从相距60千米的两地相向而行，经过两小时相遇。已知乙的速度是甲的速度的2倍，求甲、乙两人的速度。”设甲的速度为X千米／小时，由题意可得一元一次方程2（X＋2X）＝60；设甲的速度为X千米／小时，乙的速度为Y千米／小时，由题意可得二元一次方程组 2（X＋Y）=60

Y=2X

观察

2（X＋2X）＝60与　2（X＋Y）=60 ①

Y=2X

②　有没有内在联系？有什么内在联系？

（通过较短时间的观察，学生通常都能说出上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系——把方程①中的“Y”用“2X”去替换就可得到一元一次方程。）

知识产生和发展过程的教学设计

问题1：从上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系的研究中，我们可以得到什么启发？把方程①中的“Y”用“2X”去替换，就是把方程②代入方程①，于是我们就把一个新问题（解二元一次方程组）转化为熟悉的问题（解一元一次方程）。

解方程组　2（X＋Y）=60 ①

Y=2X

②

解：把②代入①得：

2（X＋2X）＝60，

6X＝60，

X＝10

把X＝10代入②，得

Y＝20

因此：　X＝10

Y＝20

问题2：你认为解方程组　2（X＋Y）=60 ①

Y=2X

②　的关键是什么？那么解方程组

X＝2Y＋1

2X—3Y＝4　的关键是什么？求出这个方程组的解。

上面两个二元一次方程组求解的基本思路是：通过“代入”，达到消去一个未知数（即消元）的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫“代入消元法”，简称“代入法”。

问题3：对于方程组　2X＋5Y＝－21　①

X＋3Y＝8

②　能否像上述两个二元一次方程组一样，把方程组中的一个方程直接代入另一个方程从而消去一个未知数呢？

（说明：从学生熟悉的列一元一次方程求解两个未知数的问题入手来研究二元一次方程组的解法，有利于学生建立新旧知识的联系和培养良好的学习习惯，使学生逐步学会把一个还不会解决的问题转化为一个已经会解决的问题的思想方法，对后续的解三无一次方程组、一元二次方程、分式方程等，学生就有了求解的策略。）

例题解析

例：用代入法将下列解二元一次方程组转化为解一元一次方程：

（1）X＝1－Y

①

3X＋2Y＝5

②

将①代入②（消去X）得：

3（1－Y）＋2Y＝5

（2）5X＋2Y－25.2＝0　①

3X－5＝Y

②

将②代入①（消去Y）得：

5X＋2（3X－5）－25.2＝0

（3）2X＋Y＝5

①

3X＋4Y＝2　②

由①得Y＝5－2X，将Y＝5－2X代入②消去Y得：

3X＋4（5－2X）＝2

（4）2S－T＝3

①

3S＋2T＝8

②

由①得T＝2S－3，将T＝2S－3代入②消去T得：

3S＋2（2S－3）＝8

课内练习：

解下列方程组。

（1）2X＋5Y＝－21

（2）3X－Y＝2

X＋3Y＝8

3X＝11－2Y

小结：

1、用代入法解二元一次方程组的关键是“消元”，把新问题（解二元一次方程组）转化为旧知识（解一元一次方程）来解决。

2、用代入法解二元一次方程组，常常选用系数较简单的方程变形，这用利于正确、简捷的消元。

3、用代入法解二元一次方程组，实质是数学中常用的重要的“换元”，比如在求解例（1）中，把①代入②，就是把方程②中的元“X”用“1－Y”去替换，使方程②中只含有一个未知数Y。

二元一次方程篇8

一、一元二次方程的概念

例1 （2011年兰州）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）.

A. x2 += 0 B. ax2 + bx + c = 0

C. （x - 1）（x + 2） = 1 D. 3x2 - 2xy - 5y2 = 0

分析 本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程须满足两个条件：（1）只含有一个未知数并且未知数的最高次数为2；（2）方程必须是整式方程. 答案：C.

例2 （2012年柳州）一元二次方程3x2 + 2x - 5 = 0的一次项系数是 .

分析 考查一元二次方程的一般形式是：ax2 + bx + c = 0（a，b，c是常数且a ≠ 0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项. 根据定义即可求解.答案：2.

二、一元二次方程的解法

例3 （2012年梅州）（1）已知一元二次方程x2 + px + q = 0（p2 - 4q ≥ 0）的两根为x1，x2；求证：x1 + x2 = -p，x1·x2 = q.

分析 本题考查了一元二次方程的公式法解法，先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可.

例4 （2012年常州）已知关于x的方程2x2 - mx - 6 = 0的一个根为2，则m = ，另一个根为 .

分析 本题考查了一元二次方程解的含义，将2代入求出m后，解一元二次方程. 当然本题也能应用一元二次方程的根与系数的关系求解.

三、一元二次方程根与系数的关系

例5 （2012年鄂州）设x1，x2是一元二次方程x2 + 5x - 3 = 0的两个实根，且2x1（x22 + 6x2 - 3） + a = 4，则a = .

分析 运用整体代入法及根与系数的关系求解.

解 x1，x2是一元二次方程x2 + 5x - 3 = 0的两个实根， x1 + x2 = -5，x1x2 = -3，x22 + 5x2 = 3，又 2x1（x22 + 6x2 - 3） + a = 2x1（x22 + 5x2 + x2 - 3） + a = 2x1（3 + x2 - 3） + a = 2x1x2 + a = 4， -6 + a = 4，解得：a = 10.

四、一元二次方程根的判别式

例6 （ 2012年河池）一元二次方程x2 + 2x + 2 = 0的根的情况是（ ）.

A . 有两个相等的实数根

B. 有两个不相等的实数根

C. 只有一个实数根

D. 无实数根

分析 由b2 - 4ac = 4 - 8 = -4 < 0得出方程没有实数根.

例7 （2011年南充）关于的一元二次方程x2 + 2x + k + 1 = 0的实数解是x1和x2.

（1）求k的取值范围；

（2）如果x1 + x2 - x1x2 < -1且k为整数，求k的值.

分析 本题先应用根的判别式求出k的取值范围，再应用根与系数关系求出k值.

解 （1）方程有实数根， Δ = 22 - 4（k + 1） ≥ 0，

解得k ≤ 0，

k的取值范围是k ≤ 0.

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1 + x2 = -2， x1x2 = k + 1，

x1 + x2 - x1x2 = -2 - （k + 1），

由已知，得 -2 - （k + 1）< -1，解得 k > -2，

又由（1）k ≤ 0，

-2 < k ≤ 0.

k为整数， k的值为-1和0.

五、一元二次方程与函数、实际问题等的综合运用

二元一次方程篇9

一、利用一元二次方程的性质解题

1.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0，（a≠0）。若满足：ac±b+1=0，则两根为x1=±c，x2=±■。

证明：如果ac+b+1=0，则ac=-b-1，

由求根公式得：x=■=■=■，

即：x1=■=■，

x2=■=■=■=c，

如果ac-b+1=0，则ac=b-1，

由求根公式得：x=■=■=■，

即：x1=■=■，

x2=■=■=■=-c。

例1 求解一元二次方程2x2-11x+5=0。

解析：这个一元二次方程显然有解，除了用十字相乘法，运用上述性质更加简便。根据原方程，系数a=2，b=-11，c=5。根据计算观察，ac+b+1=0。

根据上述性质，原方程的两根x1=■，x2=5。

2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0，（a≠0）。若满足，a±b+c=0，则两根为x1=±1，x2=±■。

证明：如果a+b+c=0，则a=-b-c，

由求根公式得：x=■=■=■，

即：x1=■=■=1，x2=■=■。

如果a-b+c=0，则a=b-c，

由求根公式得：x=■=■=■，

即：x1=■=■=-1 x2=■=-■。

例2 求解一元二次方程56x2+127x-183=0。

解析：这个方程的系数比较大，用传统的求根公式、十字相乘法等计算量大，容易出错。方程的系数a=56，b=127，c=-183，根据观察a+b+c=0。

根据上述性质，原方程的两根x1=1，x2=-■。

二、积差法求解一元二次方程

积差法就是把一元二次方程的二次项与一次项因式分解，常数项因式分解，使得等号两边各因式的差相等，根据大小写出等式进而求方程的解。

1.二次项系数变为1，常数项为正数，如x2+bx+c=0（c>0）的一元二次方程。

第一步：移常数项，x2+bx=-c；

第二步：提公因式，x（x+b）=-c；

第三步：观察因式的差，因式x和（x+b）相差b，若满足c=c1×c2（c1，c2为c的因数，c1

第四步：写成因式形式，x（x+b）=-c1×c2或x（x+b）=c1×（-c2）；

第五步：根据大小写出等式，若x>x+b，则x=c2或x=c1，否则x+b=c2或x+b=c1。

2.二次项系数变为1，常数项为负数，形如x2+bx+c=0（c

第一步：移常数项，x2+bx=-c；

第二步：提公因式，x（x+b）=-c；

第三步：观察因式的差，因式x和（x+b）相差b，若满足-c=c1×c2或-c=（-c1）×（-c2）（c1，c2为c的因数，c1

第四步：写成因式形式，x（x+b）=c1×c2或x（x+b）=（-c1）×（-c2）；

第五步：根据大小写出等式，若x>x+b，则x=c2或x=-c1。

三、数形结合求解一元二次方程

当一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0，（a≠0），a与c异号时，我们可以采用数形结合求解一元二次方程。构造一个边长为x和x+■的矩形，并且把四个相同的矩形拼成一个边长为（x+x+■）的正方形，如图，根据S正=4S矩+S小正，（x+x+■）2=4（-c）+（■）2，进而运用直接开平方，可以求解。

■

二元一次方程篇10

1考查对一元二次方程有关概念的理解与应用

与一元二次方程有关的概念主要指，能正确理解并能灵活运用一元二次方程的概念；会判断某一个数是否为给定一元二次方程的一个根；会利用一元二次方程的求根公式求方程的解；会利用根的判别式判别方程是否有实根、两个实根是否相等；会根据根的情况确定未知系数的取值范围；会利用根与系数的关系解答有关的问题等.

例1（济南市）已知x2-2x-8=0，则3x2-6x-18的值为（）

A.54B.6C.-10D.-18

解析因为x2-2x-8=0，x2-2x=8，所以3x2-6x-18=3（x2-2x）-18=3×8-18=6.所以选B.

例2（烟台市）已知实数a，b分别满足a2-6a+4=0，b2-6b+4=0，且a≠b，则b1a+a1b的值是（）

A.7B.-7C.11D.-11

解析本题考查一元二次方程根与系数的关系，可以把a和b看做方程x2-6x+4=0的两个实数根，所以a+b=6，ab=4，所以b1a+a1b=b2+a21ab=（a+b）2-2ab1ab=62-2×414=7.

点拨一元二次方程根与系数的关系常见的应用有：验根、确定根的符号；求与根相关的代数式的值；由根求出新方程等.

例3（潍坊市）关于x的方程kx2+（1-k）x-1=0，下列说法正确的是（）

A.当k=0时，方程无解

B.当k=1时，方程有一个实数解

C.当k=-1时，方程有两个相等的实数解

D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解

解析本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用.当k=0时，原方程变为一元一次方程x=1，故A项错误；当k=1时，原方程变为一元二次方程x2-1=0，方程有两个不相等的实数解：x1=1，x2=-1，故B项也错误；当k≠0时，原方程的判别式Δ=（1-k）2+4k≥0，方程总有两个实数解，只有当k=-1时，方程有两个相等的实数解.故C项正确，D项错误.选C.

2给定一元二次方程根的情况，求方程中某字母的值

例4（淄博市）关于x的一元二次方程（a-6）x2-8x+9=0有实根.

（1）求a的最大整数值；

（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2-32x-71x2-8x+11的值.

分析（1）利用一元二次方程有实根的条件Δ≥0且a-6≠0，列出不等式求出a的取值范围，即可得到a的最大整数值；（2）可把x2-8x的值整体代入求2x2-32x-71x2-8x+11的值.

解（1）由题意可知Δ=（-8）2-4（a-6）×9=-36a+280.

因为该方程有实根，所以Δ≥0，即-36a+280≥0，解得a≤7019.

因为a-6≠0，所以a≤7019且a≠6，所以a的最大整数值为7.

（2）当a取最大整数值时，①一元二次方程为x2-8x+9=0，所以x=8±2812=4±7，即得x1=4+7，x2=4-7.

②因为x2-8x+9=0，所以x2-8x=-9.

所以2x2-32x-71x2-8x+11

=2x2-32x-71-9+11

=2x2-16x+712

=2（x2-8x）+712

=2×（-9）+712

=-2912.

点拨当一元二次方程ax2+bx+c=0的二次项系数含有字母时，一定要注意隐含条件a≠0.

3与分式方程相结合

例5（济宁市）人教版教科书对分式方程验根的归纳如下“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.”

请你根据对这段话的理解，解决下面问题：

已知关于x的方程m-11x-1-x1x-1=0无解，方程x2+kx+6=0的一个根是m.

（1）求m和k的值.

（2）求方程x2+kx+6=0的另一个根.

解析本题考查了分式方程和一元二次方程根与系数的关系.（1）分式方程去分母转化为整式方程，因为分式方程无解，故得x=1代入整式方程，即可求出m的值，将m的值代入已知方程即可求出k的值.（2）利用根与系数的关系可求出方程的另一根.

解（1）分式方程去分母得m-1-x=0，由题意得x=1，将x=1代入得m-1-1=0，即m=2.因为方程x2+kx+6=0的一个根是m，所以将x=2代入方程x2+kx+6=0得4+2k+6=0，即k=-5.

（2）设方程的另一个根为a，则2a=6，a=3.

点拨解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程，解分式方程一定要验根.

4与函数相结合的有关问题

有些与函数有关的问题可以转化为一元二次方程的问题.

图1例6（威海市）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设P为对称轴上一动点，求APC周长的最小值；

（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为.

分析本题属于二次函数综合题.（1）根据抛物线对称轴是直线x=2，AB=2求出A（1，0），B（3，0）.所以1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根.可以求出b、c的值；

（2）连接BC交对称轴于点P，连接PA.根据轴对称的性质得到PA+PC的值为最小，此时APC的值最小，它的最小值等于AC+BC的值；

（3）当点D是抛物线顶点时，可得到以A，B，D，E为顶点的四边形是菱形.

解（1）抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3.

（2）如图2，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA.由（1）知抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3，A（1，0），B（3，0），所以C（0，3），所以BC=32+32=32，AC=32+12=10.因为点A、B关于对称轴x=2对称，所以PA=PB，所以PA+PC=PB+PC.此时，PB+PC=BC.所以点P在对称轴上运动时，（PA+PB）的最小值等于BC.所以APC的周长的最小值是AC+AP+PC=AC+BC=32+10；

图2图3（3）如图3，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线y=x2-4x+3的顶点坐标，即（2，-1）.故答案是：（2，-1）.5列一元二次方程解应用题

例7（重庆市）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程.其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍.

（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？

（2）略.

分析第（1）问考查了一元二次方程的实际应用.等量关系是：甲队单独完成的时间×乙队单独完成的时间=6（甲队单独完成的时间+乙队单独完成的时间）.

解（1）设甲队单独完成这项工作需要x个月，则乙队单独完成这项工作需要（x-5）个月，根据题意得

x（x-5）=6（x+x-5），整理得x2-17x+20=0，解得x1=2，x2=15，x=2不合题意，舍去.故x=15，x-5=10.