初等数学体系范文

导语：如何才能写好一篇初等数学体系，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公文云整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

关键词：导数；极限；不等式；联系.

1 导数的应用

导数是研究函数的工具，利用导数来研究函数的性质问题.可以比较容易地得到结果或找到解题的方向。

1.1 导数的单调性

定理1.1 设函数在上连续，在内可导

如果在内，那么函数在上单调增加；

如果在内，那么函数在上单调减少.

例1-1 确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.

解法一：设是上的任意两个实数，且，则

由得

要使，则.

于是 .

即 时，是增函数；时，是减函数.

解法二：

令解得；因此，当时，是增函数.

再令，解得，因此，当时，是减函数.

经过对两种方法的对比，我发现大学数学解决此问题更方便快捷.当我们再回来看一下高中学的方法，觉得它在解决一些问题上存在一些弊端.

2 极限的应用

学习极限是从一个“有限”到无限的飞跃.从数列极限或函数极限的变化趋势来理解极

限问题是认识和解决问题的需要.

2.1 数列极限

高中我们给出了数列极限的概念：

如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个常数（即无限地趋近于0），那么就说数列以为极限.或者说是数列的极限.

数学分析里也给出了数列极限的概念：

定义2.1 设为数列，为有限常数，若对总存在正整数，使得当时，有

则称数列收敛于，是数列的极限.并记作，或.若数列没有极限，则称不收敛或称为发散数列.

中学与大学的数列极限的概念虽相差不远，但大学的数列极限概念却引出了”收敛”这一词，也由此给出了收敛数列及其极限的准确定义.有了数列极限的精确定义，我们便可以用定义（又称定义）来证明高中数列极限中所用的结论.

例2-1 证明 （均为常数，且）

在中学，我们直观地知道，当时，这仅仅局限于直观得出结论.然而，在大学，我们可以通过极限的定义来证明这个结论的正确性.

证明 由有即

对，则当时，有

.即

利用定义，同样可以证明在中学常用的数列极限的四则运算法则.

例2-2 若数列与都收敛，则和数列也收敛，且

.

证明 设与.根据数列极限的定义，即

有

有

同时有

与

于是，有

即

在高中，我们就已经开始接触了数列极限.总的来说，高中阶段的数列极限注重的是利用所给结论来求解所给数列的极限值，重点是培养解题能力，注重的是理性思维培养和备考能力提高.而大学的数列极限，更多的是利用抽象定义来证明某一命题的正确性，强化锻炼的是抽象思维能力及逻辑思维能力.而且大学里对数列极限的深入介绍，不仅完善了我们对数列极限的认识，在求解一些极限问题上，思维也将越显灵活.

2.2函数极限

与数列极限一样，中学同样给出了无限地趋于时的函数极限定义.即：

如果函数无限趋于一个常数，就说当趋于时，函数的极限是，记作

也可记作

当时，

也叫做函数在点处的极限.

但中学课本给出的函数极限定义，只是一种定性的解释，并没有给出精确的量的刻画和描述.因此，我们只能根据定义，证明某一个常数是不是某一个函数的极限.

当趋于时函数极限的精确定义：

定义2.2 设函数在点的某一去心领域内有定义.如果存在常数，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式

那么常数就叫做函数当时的极限，记作

或（当）.

由于趋于时，有两个方向，大学数学还给出了单侧极限的定义，单侧极限是讨论函数在某一点事否连续的重要定理，这里不做过多的论述.

当趋于时，函数极限精确定义：

定义2.3 设函数当大于某一正数时有定义.如果存在常数，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在着正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式

那么常数就叫做函数（当时）的极限，记作

或（当）.

函数极限所具有的性质与数列极限极为相似，与数列极限一样，可以用其精确定义证明函数极限的四则运算法则及一些常用结论：

运用这两个结论，可以解决高中难以解答的问题.

例2-5 求的值.

解

令 当时，即

故

中学的函数中有提到过无穷大量，无穷小量以及它们之间的运算关系型，即但是在计算的时候，中学用的方法仍然只是运用简单的函数极限四则运算法则，其解答过程显得繁琐而又复杂.我们数学分析里引进了等价无穷小量代换及洛必达法则等重要解题方法.这使某些问题的解决更简便快捷.

例2-6 求的值.

我们先用中学的方法来求解：

解 =

这是中学最基本的求解极限的方法.当所给函数是连续函数时，先将复杂的分式通过因式分解的方法，化为最简分式后.利下转第页

上接第页

用函数的连续性将数值代入得到答案.而站在大学的角度，当时，所给分式的分子分母分别趋近于，可以运用洛必达法则求解.

运用洛必达法则，有：

此题似乎没有体现洛必达法则的优越性，但下面一题就可以看出，洛必达法则在解决一些复杂的问题时，显得极其方便简单.

例2-7 求的值.

在中学，我们可以这样求解

解 原式

现在用洛必达法则解答，可以比较一下：

解 由于当时，故是型

用洛必达法则有

在中学，关于数列极限与函数极限的讨论，我们基本上都是分开来讨论的，并没有特别强调其间的关系.但在大学，证明一些数列极限问题，我们往往可以将数列问题先转化为函数问题，使问题快速得到解答.

初等数学与高等数学有机地紧密结合着，以学习高等数学知识作指导，学习重温初等数学知识，可以达到一个新的高度.而以高等数学知识用以指导解题，常常可以居高临下地事先估测答案，确定解题思路.

通过对初等数学与高等数学在解问题时的对比，提高了数学和科学素养，并促进对数学分析、高等代数学科知识的进一步理解和掌握. 尽管我的水平还很有限，但通过这次训练，我有很大的进步，并且大大地激发了我的学习热情.

参考文献：[1] 同济大学应用数学系主编.高等数学（第五版 上册）.北京：高等教育出版社，2002.

[2]数学分析讲义. 上册/刘玉琏等编. ―5版.―北京：高等教育出版社.2008.5

[3]全日制普通高级中学教科书（必修）数学 第一册（上）人民教育出版社中学数学室 编著

篇2

22．（20分）如图甲，在x＞0的空间中存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于xoy平面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B．一质量为m，带电量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O处，以初速度ν0沿x轴正方向射入，粒子的运动轨迹见图甲，不计粒子的重力．

（1）求该粒子运动到y=h时的速度大小ν；

（2）现只改变入射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹（y-x曲线）不同，但具有相同的空间周期性，如图乙所示；同时，这些粒子在y轴方向上的运动（y-t关系）是简谐运动，且都有相同的周期T=．

Ⅰ．求粒子在一个周期T内，沿x轴方向前进的距离S；

Ⅱ．当入射粒子的初速度大小为ν0时，其y-t图像如图丙所示，求该粒子在y轴方向上做简谐运动的振幅Ay，并写出y-t的函数表达式．

试题公布后，中学物理教学界对该题的讨论很多，主要围绕三个问题：①该题中的带电粒子垂直入射正交的电磁场后做何运动，能否用初等数学进行分析；②初速度大小不同粒子的运动轨迹（y-x曲线）是否如原题中图乙所示，能否用初等数学进行分析；③本题作为压轴题利弊如何．针对以上三个问题，谈谈笔者的看法．

一、粒子入射后做何运动

要知道粒子入射后做何运动，一般方法是对粒子进行受力分析，再求合力，列牛顿方程，其后解方程求出粒子的速度和位移，但这一方法对于本题是有困难的，原因是电场力、洛伦兹力与粒子速度相互牵制，使牛顿方程的求解变得复杂．如果，我们能将电场力与洛伦兹力分割开，使两者互不干扰，这一问题就会变得柳暗花明，具体如下：

a．将粒子的入射初速度ν0看成由两个分速度ν10、ν20合成的，且ν10、ν20的方向均与ν0同在x轴上．即：ν0=ν10+ν20 ……①

b．选取ν10的方向沿x轴正方向，大小为：ν10=……②

c．粒子以ν10、ν20两个分速度入射复合场后，受ν10、ν20对应的洛伦兹力fB1、fB2及电场力FE的作用（如图1），我们将这五个决定粒子运动状态的因素ν10、ν20、fB1、fB2、FE分成两组．

第一组：粒子的初速度ν10及其对应的洛伦兹力fB1和电场力FE．当粒子仅在这三个因素影响下，因其此时所受合力F=fB1-FE

=Bqν10-qE=Bq-qE=0，粒子的加速度a=0，此时粒子以ν10=的速度沿x轴方向做匀速直线运动．其运动速度及位移在坐标轴x、y上的投影为：

νx1=ν10 ……③x1=•t ……④νy1=0 ……⑤y1=0 ……⑥

第二组：粒子的初速度ν20及其对应洛伦兹力fB2，当粒子仅在这两个因素的影响下，其运动为匀速圆周运动，fB2提供向心力，匀速圆周运动线速度大小为ν20，即：

Bqν20=m

据上式可求得圆周运动的半径r及周期T为：

r=……⑦

T=……⑧

将这一圆周运动在x、y轴上投影（如图2）为：

νx2=ν20 cosωt ……⑨x2=rsinωt ……⑩νy2=ν20 sinωt ……y2=r（1-cosωt） ……

d．根据运动的独立性原理：物体在许多因素共同作用下的运动，可以看成由各因素独立作用下的分运动的合运动．据此，本题中粒子的真实运动可以看成由上述第一组的直线运动和第二组的匀速圆周运动这两个分运动叠加而成，叠加后合运动的速度及位移在x、y轴上投影为：

νx=νx1+νx2=+ν20cosωtx=x1+x2=•t+rsinωtνy=νy1+νy2=ν20sinωty=y1+y2=r（1-cosωt）

将①、②、⑦、⑧代入得：

综上可见，像本题中的带电粒子垂直入射正交的电磁复合场后，粒子会绕沿入射方向匀速前进的圆心C做匀速旋转．（如图3）

两式显示，粒子在x轴上的运动为匀速直线运动和简谐运动的叠加，类似于固定在沿x轴匀速行驶的小车上振动着的弹簧振子相对地面的运动（如图4）．显示粒子在y轴上的运动为简谐运动，且周期T=．

二、粒子的运动轨迹是否如原题中图乙所示

一般说，要了解粒子的运动轨迹，可求出其轨迹方程（y-x方程）．但本题中，要由两式消去参数t是有困难的．不过，通过对－式的分析，仍然可以看出粒子的运动轨迹会随ν0的大小改变而改变，轨迹形状不完全如原题中图乙．

1．当ν0=时，由式得：y=0；由式得：x=t．此时，粒子沿x轴做匀速直线运动，其轨迹为沿x轴的一条直线．（此时第二分运动的圆周半径为零）

2．当＜ν0≤时，从式可见，粒子在y轴上做来回往复的运动；由式可见，无论t为何值，均有νx≥0，这说明，粒子一直保持向右移动，其轨迹形状应是一条从0点开始一直向右延伸，且在延伸中上下波动的曲线，具体图像如图6．与原题中图乙第一象限中的图线相似．

3．当ν0＞时，从式可见粒子在y轴方向做简谐运动，由式可见，t在某些时段，可以使νx=+（ν0-）cos（t） ＜0，而νx＜0时，意味着粒子会往左回拐，粒子在运动中时而向右，时而向左，上下方向又做波动，其轨迹形状应为螺旋状，不可能如原题中图乙所示．

不仅如此，从式可见，当ν0足够大时，t在某些时段，可使：x=t+（ν0-）sin（t）＜0，而x＜0意味着粒子飞离y轴右边的电、磁场区域，粒子的轨迹不可能如原题图乙所示，也不可能具有空间周期性．我们还可这样考虑，当ν0足够大时，粒子所受的洛伦兹力也足够大，使得Bqν0>>Eq，以至电场力可以忽略不计，这时，粒子所做的运动接近只受洛伦兹力作用下的圆周运动，粒子也就会在t略超于T/2时飞出y轴右边的电、磁场区域．

到底ν0何值时，可使x＜0呢？为研究这一问题，我们先依式，粗略画出x随t的变化图线如图5．

从图5可见，x随t显周期性变化，其周期与第二分运动的周期T相同．当t∈（，）时，x有最小值xmin，为方便，记x=xmin时t的值为t0，有t0=（+ζ）T……（其中0＜ζ＜）

当x=xmin时，νx＝0，由式得：

cos（t0）=-……

为方便，记ν0=（1+δ）E/B……

将式代入式得：cos（t0）=-……

将⑧代入得：cos（2πζ）=……

当xmin=0时，粒子刚好可以拐回y轴，由得：

t0+（ν0-）sin（t0）=0

将⑧代入上式得：

（+ζ）+δsin［2π（+ζ）］=0

即：2πζ=-π ……

将代入得：cos=- ……

下表为δ取不同几个值时，左右两边的值的比较：

可以看出式有两个大约的根：δ1≈2.26，δ2≈4.60将δ1、δ2代入式，求解ζ对应值X0如下：

因为ζ=0.22时，符合式的0

故式的真实解为：δ≈4.6，代入得

ν0≈5.6E/B ……

也就是说，当ν0≈5.6E/B时，xmin=0，粒子入射后又刚好会拐回y轴．从式及图5可见，ν0越大，xmin就越小，故当ν0＞5.6E/B时，xmin＜0，粒子就会飞离y轴右边的电磁场区域．综上有：

①当＜ν0≤5.6E/B时，粒子在运动过程中会向x轴左边回拐，其轨迹图像与原题图乙不同，而是如图7.

②当ν0＞5.6E/B时，t在区间（，）的某一时刻，粒子会飞到y轴左边，其运动轨迹不象原题图乙，而应如图8．

4.当0＜ν0＜时，由①②可见，ν20=ν0－ν10＜0，第二分运动的初速度方向沿x轴负向，其圆周运动的圆心在x轴下方．粒子在0点附近时，因受到的合力向下，轨迹的曲率半径的中心应在x轴下方，轨迹在0点附近的形状应向上凸起，而不是象原题图乙中的向下凹．（如图9）

5.为了让大家信服以上分析，我们依两式，用描点法画出不同ν0值下的轨迹图线．

画图时，取时间t每变化，相角t每变化描一点，即：t=n=（n∈N），相角t=将上面两式及式代入得：

x=n（）+（）sin（n）……

y=（）［1-cos（n）］……

取S0=……为坐标轴单位长度．

①当取ν0=1.52E/B时，由式得，此时δ=0.52，≈1．式为

x=nS0+S0sin（n）y=S0［1-cos（n）］

n取不同整数值时，x、y的值如下表．将各点在坐标中描出，画出粒子轨迹如图6

②当取ν0=2.52E/B时，由式得，此时δ=1.52，≈3．式为

x=nS0+3S0sin（n）y=3S0［1-cos（n）］

n取不同整数值时，x、y的值如下表．将各点在坐标中描出，画出粒子轨迹如图7

③当取ν0=6.23E/B时，由式得，此时δ=5.23，≈10．式为

x=nS0+10S0sin（n）y=10S0［1-cos（n）］

n取不同整数值时，x、y的值如下表．将各点在坐标中描出，画出粒子轨迹如图8

④当取ν0=0.48E/B时，由式得，此时δ=－0.52，≈-1．式为

x=nS0-S0sin（n）y=-S0［1-cos（n）］

n取不同整数值时，x、y的值如下表．将各点在坐标中描出，画出粒子轨迹如图9

6．概括地说：①ν0=时，粒子的轨迹为沿x轴的一条直线．

②≥ν0＞时，粒子的运动轨迹如原题中图乙第一象限的图线所示．也如本文图6所示．

③当≥ν0＞时，粒子的运动轨迹如本文图7所示．

④当ν0＞时，粒子的运动轨迹如本文图8所示，粒子在电磁场中运动不到一周期的时间就会飞到y轴左边．轨迹没有空间周期性．

⑤当ν0＜时，粒子的轨迹会落在y-x坐标空间的第四象限，但轨迹凹凸形状与原题图乙中第四象限的图线有所不同．

三、本题作为高考题的利弊

考后分析，本题的难度系数为0.1，多为第一步得分．全省近15万理科考生，只有大约60个同学得分超过18分．考后调查，较好同学多因对试题的正确性表示疑问，将宝贵的考场时间用于对试题提供的条件进行证实．中等及以下同学看不懂试题的意思．我们认为，本题有以下特点：

1.新颖性

作为每份高考卷必有的带电粒子在电、磁场中运动的试题，本题的情景的确让人耳目一新，对于考查学生创新应用能力是十分有益的．

2.有悖科学性，影响考试信度

本题所给的粒子运动轨迹有局限，对初速度的大小又没有界定，影响优秀考生的思维判定，对学生答题造成负面干扰，严重影响考试信度．

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关键词：初等数学；主要内容；教育价值

一、 主要内容

《初等数学研究》是高师院校数学教育系的专业必修课，它与学生毕业后所从事的中学数学教育工作联系密切。“初等数学”可以分为“传统的初等数学”以及“现代的初等数学”，本书所讨论的初等数学就是指现代的初等数学。“初等数学研究”所包括的内容：

其一，用现代数学、古典高等数学考察传统的初等数学，理解“中学数学”的理论基础；

其二，掌握与灵活运用数学思想方法；

其三，用“生长”的观念探讨与延伸一些初等数学问题。

本课程从中学数学教学的需要出发，把基本问题分成若干专题进行研究，在内容上适当加深与拓广，在理论、观点、思想与方法上予以提高，使中学数学教师具有严谨、系统的初等数学理论与基础知识，提高中学数学教师的解题技巧。

二、 主要教育价值

1. 利用《初等数学研究》中的内容，引导学生用高观点分析解决问题，提高学生认知结构的层次，激发学生的学习兴趣

初等数学中的内容必须在教学中有意识地进行引导，用高观点分析，才能提高学生对初等数学的认知结构的层次，从而掌握中学数学的规律。如数系这一章是初等代数的重要内容。学生基本上是在中学阶段已经学习过关于数概念的扩展的知识。在高师，除了在数学分析中学习实数理论外，关于数的概念扩展再也没有系统提到过，高师的学生仅靠这些知识是绝对不合格的，初等代数中数系这一章让学生掌握了数的发展规律，从而将来能适度地处理中学教材。

例如自然数理论的建立若用群、环、域的观点，可使学生对数系的发展有一个系统性的认识，并且使学生调整了对中学时代建构的认知结构，提高了认识层次，增强学习目的性，因而激发了学习的兴趣。

2. 利用《初等数学研究》的特点，突出课程的“研究”性质，从而培养学生科研能力

弗赖登塔尔曾提出，中学教师的基本要求是：（1） 能独立地运用当今数学的基本方法；（2） 能向学生提供理解当今数学结构所需的基本知识；（3）能对怎样应用数学知识作 一些讲解；（ 4） 对于如何进行数学研究有初步的概念。初等数学是一门综合性学科，它形数并举，方法多样，题型复杂，最适用于解题方法的研究；初等数学的发展，一直以来是和科学方法论有着密切的联系，从方法论的角度上看初等数学问题，又给初等数学的研究开辟了一条广阔的道路；此外，初等数学与高等数学的关系密切，都决定着初等数学领域中的科研课题，因此在《初等数学研究》的教学中，就应该充分利用它的特点，结合教学活动，提出课题，引导学生进行研究。

2.1 进行方法论的教育，引导学生从方法论的角度研究，把握初等数学的内容和方法

初等数学中的题目有很多，如何从分散的解题过程中，提炼出一般性的方法，反过来再用一般方法来指导解决具体问题，这些对于中学教师来讲都是非常重要的能力，在《初等数学研究》教学中就要培养学生的这种能力。

比如在初等几何部分，解决的关键在于“分析”，也就是分析关键点、线的位置。而有些图形需要进行几何变换，由于变换的思路以及规律不同，使部分教材失去它的作用。经过研究，笔者向学生推荐 R M I 原则，引导学生在分析时把思路集中在寻找一个恰当的映射上，提高学生的思想境界，那么许多难题也迎刃而解了。

2.2 正确指导学生解题，培养学生解题研究的能力

《初等数学研究》的初衷是为了改变学生被动地照搬照抄地做题为主动地去研究题。为此可利用波利亚的“怎样解题 ”表，引导学生按这个表探究问题。或是把问题分类，让学生进行专题研究。例如对于一题多解的题目，把低维变成高维，一元变为多元后，结论是否成立等等。学习初等几何证明，则研究数学的逻辑，采用多种证明方法进行研究、对比。在此基础上，再指导学生进行总结反思，使学生初步掌握解题研究的方法。

3. 利用《初等数学研究》在培养人的智能方面的作用，加强对学生思维的训练

3. 1 在教学中言传身教，加强合情推理的教学

初等数学虽然比不上高等数学抽象，但它的综合性强，比较灵活，形数并举可以多角度分析，因而在培养人的思维方面有着至关重要的作用。“定义―定理―证明”的学习模式是学生学习中的通病，抑制了学生的创造性思维。产生这个问题的原因主要是教学中过分重视逻辑推理而忽视合情推理。因此，

在《初等数学研究》教学中重点应放在培养学生合情推理的能力上。

在教学中，教师的言传身教尤为重要，这关键取决于教师对教材的处理。教材中的初等数学知识都是数学家创造性工作的结果，教师应当通过参考数学发展史、数学家传等揣摩数学家的创造过程，在课堂上再现数学家的创造过程，而具体的证明、计算过程则都在课本上，学生根据教师的引导自主完成。按数学家的创造过程进行教学，学生不仅能对这一部分知识进行活学活用，还受到了一次合情推理的训练。

3.2 在教学中加强联想，引导学生构建“思维块 ”，动用思维块

在初等几何的学习中，尽管你把定义、定理、公式都背得滚瓜烂熟，可遇到题目可能照样无从下手。经过研究，凡是解初等几何题的能手，在他们的头脑中都存在着许多基本题，也就是“思维块”，一遇新的问题，迅速联想，找到与思维块的联系，解题思路就很清楚了。这种构造、运用思维块的能力为培养创造性思维、灵感思维能力提供了坚实的基础。

例如，在ABC的两边AB、AC上分别向外侧作正方形ABEF和ACGH，连结BG，CF，则AFCCBG，这就是一个思维块，这个思维块可用旋转或三角形全等变换证明。在几何的学习过程中，教师要发挥引导作用，并通过学生自觉的总结，建立自己的“思维块 ”，充分发挥思维能力。

总之，在初等数学研究的教学思想、教学要求等各个方面及教学过程的各个环节只要充分发挥好课程与教师的引导作用，就能让学生体会到初等数学研究的教育教学价值，促进学生更加全面的发展。

[参考文献]

[1]葛军，涂荣豹.初等数学研究教程[M].南京：江苏教育出版社，2009：8-9.

[2]田果萍.解读《初等数学》的课程标准[J]. 教育技术及教学研究，2007（06）.

[3]杨之，劳格.初等数学研究问题三议[J].中等数学，1992（01）.

[4]梅向明.中学数学体系[J].数学教育学报，1992（01）.

[5]沈文选.高师数学教育专业《初等数学研究》教学内容的改革尝试[J].数学教育学报，1998，07（02）.

[6]徐利治，王前.数学哲学、数学史与数学教育的结合[J].数学教育学报，1994（01）.

篇4

【关键词】数学分析；绪论；教学设计；地方院校

【基金项目】山西省重点教学改革项目（J2014071），山西省高等学校特色专业建设项目，太原科技大学重点教学改革项目（2013007）.

一、引言

“数学分析”是数学专业的最重要的必修基础课，“数学分析”中体现的数学思想、数学方法、数学能力是数学在实际中应用和进行数学理论研究的基石，通过数学分析课程教学要使学生受到基本和严格的数学训练[1].“数学分析”绪论的教学是整个数学分析教学过程的序幕，其重要性不言而喻.一方面，“数学分析”绪论是“数学分析”课程的第一次课，其重要作用在于给学生初步搭建起“数学分析”课程体系的“森林”，让学生明白这门课要学习的主要内容及其相互关系，让学生先见到“森林”，能够纵观数学分析的大致面貌，这样在以后认识“树木”，也就是学习各章节的知识点的时候，学生心里才会知道这个知识点表示的“树木”处于森林中的什么地位，这样才能做到“既见树木又见森林”.另一方面，“数学分析”绪论也是学生由初等数学（从幼儿园到高中所学的数学）阶段进入高等数学（大学所学的数学）阶段的第一堂课，因此，“数学分析”绪论也承担着从数学发展史的角度给学生阐述高等数学和初等数学的联系与区别的重要任务.

然而，很多地方高校对于“数学分析”绪论的教学重视程度远远不够.有的教师在绪论课上只介绍了“数学分析”课程的主要内容，而忽略了初、高等数学的区别与联系.有的教师侧重于介绍数学发展史，而忽略了给学生搭建“数学分析”课程体系的框架.更有甚者，只把对学生的要求简单说罢便开始单个知识点的讲解，完全忽略了“数学分析”绪论的重要性，这样教出来的学生对“数学分析”的体系框架根本没有了解，学完课程也不知道学了些什么，只有各知识点，但是缺乏一条串起这些知识点的主线.本文作者多年从事“数学分析”课程教学，对“数学分析”绪论的重要性有深刻的认识，经过多年的探索，已经形成了“数学分析”绪论教学的特色，既给学生搭建起笛Х治龅目蚣芴逑担让学生了解数学分析各部分之间的关系，又让学生明白从幼儿园开始到高中所学的数学课程与进入大学中要学的高等数学课程的区别，使学生在学习过程当中不至于感到迷茫.以下详细给出“数学分析”绪论的教学过程.

二、“数学分析”绪论教学过程

同学们来到大学，选择了数学专业，要学习很多数学课程，“数学分析”就是其中第一门，同时也是最重要的数学基础课之一.在开始学习这门课的时候，大家自然要问，数学分析与中学已经学过的初等数学有什么不同？它的研究对象与基本思想方法是什么？下面就来简要地讲一讲这些问题.

总的说来，初等数学研究的是离散量的运算体系，包括加法与乘法以及它们的逆运算――减法与除法.而“数学分析”提供的是连续量的运算体系及其数学理论.“数学分析”的主要内容是微积分，研究对象是函数，立论数域是实数连续统，采用的研究工具是极限.

大家知道，现实世界中的万事万物，无一不在一定的空间中运动变化，在运动变化过程中都存在一定的数量关系.按照恩格斯的说法，数学就是研究现实世界中数量关系与空间形式的科学.简略地说，就是研究数和形的科学.时至今日，虽然数学的内容更加丰富，方法更加综合，应用更加广泛，但是关于数学的上述说法大体上还是正确的.只是随着人们对事物认识的逐渐深化，作为研究对象的“数”和“形”，在数学发展的不同阶段，它们的内涵和表现形式也不相同罢了！

历史上，数学的发展可以划分为三个阶段.

第一阶段是从古希腊时代（公元前5世纪―公元前3世纪）到17世纪中叶.在这长达两千多年的时期内，由于生产力的落后，人们把客观世界中各种事物看成是孤立的、静止不变的，因而，数学中研究的“数”基本上是常数或常量（即在某一运动变化过程中保持不变或相对保持不变、可以看作取固定值的量），研究的“形”也主要是简单的、不变的、规则的几何形体（例如，直线段、直边形与直面形等）.研究常量间的代数运算和规则几何形体内部及相互间的关系，分别形成了初等代数和初等几何，统称为初等数学.因此，这个阶段常被称为初等数学阶段或常量数学阶段.

第二阶段是从1637年法国著名哲学家、数学家笛卡尔（R.Descartes，1596―1650）建立解析几何到19世纪末.在这个阶段中，由于工业革命的兴起，推动了机械、造船、采矿、航海和修建铁路等新兴工业的建立和发展，大大拓宽了人们的视野.加深了人类对自然界的认识.意大利数学家、现代物理学奠基人伽利略（G.Galileo，1564―1642）和德国天文学家开普勒（J.Kepler，1571―1630）的一系列发现，导致了数学从古典数学向现代数学的转折.在25岁以前，伽利略就开始做了一系列实验，发现了许多有关物体在地球引力场运动的基本事实.开普勒在1619年前后归纳出著名的行星运动三定律.这些成就对后来的绝大部分的数学分支都产生了巨大影响.伽利略的发现导致了现代动力学的诞生，开普勒的发现则产生了现代天体力学.物理、力学和天文学等学科的迅速发展，产生了以下四类问题：

1.已知物体运动的路程与时间的关系，求物体在任意时刻的速度和加速度.反过来，已知物体运动的加速度和速度，求物体在任意时刻的速度和路程.

困难在于17世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化.计算平均速度可用运动的时间去除运动的距离.但对瞬时速度，运动的距离和时间都是0，这就碰到了0比0的问题.这是人类第一次碰到这样的问题.

2.求曲线的切线.这是一个纯几何的问题，但对于科学应用具有重大意义.例如，在光学中，透镜的设计就用到曲线的切线和法线的知识.在运动中也遇到曲线的切线问题.运动物体在它的轨迹上任一点处的运动方向，是轨迹的切线方向.

3.求函数的最大值和最小值问题.在弹道学中涉及炮弹的射程问题.在天文学中涉及行星和太阳的最近和最远距离问题.

4.求积问题.求曲线的弧长、曲线所围区域的面积、曲面所围的体积、物体的重心等.这些问题在古希腊就已经开始研究，但他们的方法缺乏一致性.

这些问题要求建立新的数学工具研究物体的运动变化规律，研究曲线和曲面的性质.在这种形势下，天才的英国物理学家、理学家、天文学家和数学家牛顿（I.Newton，1642―1727）和德国数学家、哲学家莱布尼兹（G.W.Leibniz，1646―1716）总结并发展了前人的成果，建立了连续量变化率的直观概念和计算方法，发现了求连续量累积综合的问题刚巧是求变化率的逆运算，从而各自独立地创立了微积分的运算体系.

牛顿建立了微积分的演算体系以后，受开普勒三定律和重力的启发，想到了行星间所受的力为万有引力.他最后成功地运用微积分，从开普勒三定律推导出万有引力定律，又反过来从万有引力定律推导出开普勒三定律，这就是人类历史上最伟大的自然科学著作之一――牛顿的《自然哲学的数学原理》的主要内容.从此，微积分逐渐应用到一切科学技术领域.像达朗贝尔（DAlembert，1717―1783）、拉格朗日（Lagrange，1736―1813）、欧拉（Euler，1707―1783）、拉普拉斯（Laplace，1749―1827）、高斯（Gauss，1777―7855），都是运用微积分在开拓新领域方面最卓越的数学家的代表.

牛顿与莱布尼兹当时建立的微积分概念与演算，是以直观为基础的，概念并不准确，推导公式有明显的逻辑矛盾.在微积分广泛应用的17―18世纪，人们没顾得及（也许是还不可能）解决这些题.到19世纪，矛盾已积累到非解决不可的程度，这就是第二次数学危机.经过人们的长期努力，最后由柯西（Cauchy，1789―1857）、波尔查诺（Bolzano，1781―1848）、威尔斯特拉斯（Weierstrass，1815―1897）等人，用极限把微积分的概念澄清.但随后极限的存在性问题开始出现，最终，戴德金（Dedekind，1831―1916）、康托（Cantor，1845―1918）、威尔斯特拉斯等人，又给出了连续量的数学表示，建立了实数连续统的理论，把极限理论建立在坚实的基础上.微积分基础的建立，和群论、非欧几何一起，被誉为19世纪数学的三大发现，它们改变了整个数学发展的进程，形成了近代数学与现代数学.

此后，数学的发展呈现出一日千里之势，形成了内容丰富的高等代数、高等几何与数学分析三大分支，并出现了一些其他的相关分支，它们被统称为高等数学.在这个阶段，数学中研究的“数”是变数或变量（即在某一运动变化过程中不断变化、可以取不同数值的量），研究的“形”是复杂的不规则的几何形体（例如，曲线、曲面、曲线形与曲面形等）.而且，由于Descartes直角坐标系的引入，使“数”与“形”紧密地联系起来，平面上的点可以用有序数偶表示，平面曲线（动点的轨迹）可以用代数方程来表示，因此，“运动和辩证法便进入了数学”（恩格斯著《自然辩证法》）.这个阶段被称为高等数学阶段或变量数学阶段.同学们在大学本科阶段学习的数学课程大多属于这个阶段的内容.

第三个阶段是从19世纪末开始，即现代数学阶段.至今，这个阶段还在发展之中.由于集合论的创立，不但为数学的发展奠定了坚实的基础，而且使得数学的研究对象――“数”与“形”，具有了更丰富的内涵和更广泛的外延，表现形式也更加抽象.

从研究常量到研究变量，从研究规则的几何形体到研究不规则的几何形体，是人类对自然界认识的一大飞跃，是数学发展中的一个转折点.由于研究的对象不同，研究的方法也不同.初等数学主要采用形式逻辑的方法，静止地、一个一个问题孤立地进行研究，而数学分析却不然，它是以极限为工具对连续量进行研究.

连续量在生活中随处可见，时间和位移是最基本的两个连续量，其他当然还有许多.一天中，气温随时间（连续）变化，这就是（连续）函数的概念.我们研究连续量，还要进一步研究一个连续量随另外一个连续量连续地变化的规律，这里涉及两个最基本的问题，即微分运算和积分运算.

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（一）缩小法实现内容的衔接

缩小法，就是将数学与互联网之间的一个“内容的交叠量”，具体而言，是减少交叠有序进行，针对现代互联网商业模式及发展前景在初等数学与高等数学实践应用过程中进行有序衔接的。面对互联网金融的强大竞争，大型商业银行应从宏观角度重视这种新兴业态，推动新技术与相关业务的结合，重视大数据的收集和利用，初等数学及高等数学的全面应用的稳定和有序性，初等数学及高等数学将会发挥十分重要的作用。

（二）浅深分解法实现内容的衔接

浅深分解法，顾名思义，就是将高中、大学之间的知识体系相关的或者具有重复的知识点，为了避免重复，将内容，按照难易程度进行梯度层级的分解。例如：数列以及极限的思想在大型商业银行的资产业务、负债业务、支付结算、资产管理方面，探讨其应对互联网金融的具体思路中就不能浅尝辄止，初等数学是简单的了解提及，而高等数学的数列与极限是必须要进行深入的讲解的，难度的深入推进，才能使学生由兴趣探求的渴望。

（三）错位法

浅深分解法关注的如果是同一维度的知识点的分析应用，那么对于错位法而言就是不同维度的视角上的关注，也就是要沿着不停方向上去处理问题沿循的方向有所不同。例如：“函数”的学习，不论是“一次函数”亦或是“二次函数”等强调的是对“函数”的性质、定理的运用能力，更广发地强调多远的理解与运用微积分部分的多元函数的学习，真正实现交叠的有效与可以接受。

二、互联网商业背景下初等数学与高等数学的发展、转变与衔接

（一）在思想观念上

互联网商业应用针对初高等数学由“要我学”变成“我要学”的自主学习。在具体实践环节中，互联网商业应用精心设计与创设和谐的课堂，引导理解深入的基础上进行新的知识的探讨，而不是简单的“灌输式”传递，打破死板的重复训练，在有意识地进行模式化的针对性培养，学生今后在学习其他知识时都会有良好的基础。

互联网和商业的结合当代商业发展，带来改变的典范，可以说没有互联网就没有现代商业的变革，而没有第三次技术革命就没有互联网，没有互联网商业如何与初等数学和高等数学衔接，当下互联网+和大众创业进行的如火如荼，数学和科技从来是不分家的，那么解决了数学怎样助力互联网商业的发展就是解决了互联网商业发展和数学的衔接问题。

数学当然可以运用到互联网商业中去，在核算信息传播时间，传播速度，传播范围和传播层级中，数学便有了自己的用武之地。在信息的传播所有的环节中每一个环节都充满了商机，把握住了这一点，抓住了互联网商机才能对创业有所帮助，这样的理念已经深入到所有创业人的心中。但是如果仅仅将数学和互联网商业背景衔接在互联网信息的传播的核算上，当真是大材小用。

目前还有一个新概念的兴起引起了人们极大的注意力，那就是“物联网”的兴起，物联网的兴起旨在用商业的习惯改变人们的生活习惯，包括出行、吃穿、住宿等各个方面，而物联网的应用需要完全的数学知识作为支撑。

物联网的背后必然是大型服务器的高速运转和各种各样的数据分享，在我们想当然的享受物联网为我们带来的便捷中，我们只会感叹科技发达了，可是我们没有往更深的层次想的是，数学计算才是支撑这一切的基础，虽然电脑计算的能力是人力的几百万倍甚至上亿倍，但是所有的方程公式演化和推算都是人力一步一步来完成的，然后设定了电脑程序之后，计算机才根据计算好的程序和公式一步步计算。

从互联网到物联网是一个过程，这个过程中，很多人在参与，很多环节会涉及各行各业的知识，也涉及到数学知识，而且数学知识是其中最根本的知识之一，没有这个基础，其他一切无从谈起，我们在今天取得的一切成就虽然不能归功于数学，但是人人都明白，数学是自然学科的基础。

（二）初等数学思维培养上

提出问题固然可贵，但是解决问题是最有价值的，现代商业中凭借大数据和电子商务优势，互联网公司兴起之初己深度影响大型商业银行的支付结算和资产两项核心业务。据阿里巴巴和腾讯的用户基础，及支付宝每日交易数据，平安公司可重新定义理财产品，设计个性化产品及服务，争夺商业银行的理财业务。伴随互联网移动终端的发展互联网金融渐入民众生活，P2P平台贷款、众筹，及芝麻信用、腾讯信用等个人征信业务的兴起，互联网金融将成为未来金融发展的新模式，传统大型商业银行若不能顺应交易平台网络化及业务经营模式创新，那么银行金融中介角色将受到挑战，研究商业管理才是关键，在初高等数学的衔接意识，数学与互联网的交叠中的“面积”尽量缩小到一个最为有效并且是可以接受的程度，运用好缩小法、浅深分解法和不同维度上的错位法自主积极地讲实际问题进行更好的解决在商业问题中数据问题。

三、结束语

综上所述，在互联网商业背景下，对于数学和互联网商业应用之间二者之间怎样相互连接，怎样转变互联网技术，然后影响商业模式，改变我们的生活习惯，我们用已有的观念进行审视，我们实实在在的发现在现有的互联网技术下全社会的商业模式已经完全改变了。在互联网背景下，我们怎样利用数学知识，衔接起商业模式，是未来互联网影响商业模式的最大发展动力，在当代互联网金融的背景下数学的应用性亦越发的明显。

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所谓数学活动是指把数学教学的积极性概念作为具有一定结构的思维活动的形式和发展来理解的。按这种解释，数学活动教学所关心的不是活动的结果，而是活动的过程，让不同思维水平的儿童去研究不同水平的问题，从而发展学生的思维能力，开发智力。

那么，要想使数学教学成为数学活动的教学主要应考虑哪几个问题呢？下面谈谈笔者一些想法。 一、考虑学生现有的知识结构

知识和思维是互相联系的，在进行某种思维活动的教学之前，首先要考虑学生的现有知识结构。

什么是知识结构？一般人们认为：在数学中，包括定义、公理、定理、公式、方法等，它们之间存在的联系以及人们从一定角度出发，用某种观点去描述这种联系和作用，总结规律，归纳为一个系统，这就是知识结构。在教学中只有了解学生的知识结构，才能进一步了解思维水平，考虑教新知识基础是否够用，用什么样的教法来完成数学活动的教学。

例如：在讲解一元二次方程[a(x)2＋bx＋c＝0a≠0]时，讨论它的解，须用到配方法，或因式分解法等等，那么上课前教师要清楚这些方法学生是否掌握，掌握程度如何，这样，活动教学才能顺利进行。

二、考虑学生的思维结构

数学教学是数学思维活动的教学，进行数学教学时自然应考虑学生现有的思维活动水平。

心理学早已证明，思维能力及智力品质都随着青少年年龄的递增而发展，学生的思维水平在不同的年龄阶段上是不相同的。斯托利亚尔在《数学教育学》中介绍了儿童在学习几何、代数时的五种不同水平，在这五个阶段上，学生掌握知识，思考方式、方法，思维水平都有明显差异。因此，要使数学教学成为数学活动的教学必须了解学生的思维水平。下面谈谈与学生思维水平有关的两个问题。

1．中学生思维能力之特点

我们知道，中学生的运算思维能力处于逻辑抽象思维阶段，尽管思维能力的几个方面的发展有所先后，但总的趋势是一致的。初一学生的运算能力与小学四、五年级有类似之处，处于形象抽象思维水平；初二与初三学生的运算能力是属于经验型的抽象逻辑思维；高一与高二学生的运算能力的抽象思维，处在由经验型水平向理论型水平的急剧转化的时期。从概括能力、空间想象能力、命题能力和推理能力四项指标来看，初二年级是逻辑抽象思维的新的起步，是中学阶段运算思维的质变时期，是这个阶段的关键时期。高一年级是逻辑抽象思维阶段中趋于初步定型的时期，高中之后，学生的运算思维走向成熟。总的来说，中学生思维有如下特点。

首先，整个中学阶段，学生的思维能力得到迅速发展，他们的抽象逻辑思维处于优势地位，但初中学生的思维和高中学生的思维是不同的。初中学生的思维，抽象逻辑思维虽然开始占优势，可是在很大程度上还属于经验型，他们的逻辑思维需要感性经验的直接支持。而高中学生的抽象逻辑思维则属于理论型的，他们已经能够用理论作指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。也只有在高中学生那里，才开始有可能初步了解对立统一的辩证思维规律。

其次，初中二年级是中学阶段思维发展的关键期。从初中二年级开始，中学生抽象逻辑思维开始由经验型水平向理论型水平转化，到高中一、二年级，这种转化初步完成，这意味着他们的思维趋向成熟。这就要求教师，要适应他们思维发展的飞跃时期来进行适当的思维训练，使他们的思维能力得到更好的发展。

2．学习数学的几种思维形式

（1）逆向思维。与由条件推知结论的思维过程相反，先给出某个结论或答案，要求使之成立各种条件。比如说，给一个浓度问题，我们列出一个方程来；反过来，给一个方程，就能编出一个浓度方面的题目。后者就属于逆向型思维。

（2）造例型思维。某些条件或结论常常要用例子说明它的合理性，也常常要用反例证明其不合理性。根据要求构造例子，往往是由抽象回到具体，综合运用各种知识的思考过程。例如：试求其反函数等于自身的函数。

（3）归纳型思维。通过观察，试验，在若干个例子中提出一般规律。

（4）开放型思维。即只给出研究问题的对象或某些条件，至于由此可推知的问题或结论，由学生自己去探索。比如让学生观察y＝sinx的图象，说出它的主要性质，并逐一加以说明。

了解了学生的思维特点和数学思维的几种主要形式，在教学中，结合教材的特点，运用有效的教学方法，思维活动的教学定能收到良好效果。

三、考虑教材的逻辑结构

我们现有的中学数学教材内容有的是按直线式排列，有的是按螺旋式排列。

如果进行数学活动的教学，教材的逻辑结构就应有相应的变化。比方说，指数、对数、开方三种不同形式都可表示为：a、b、N之间的关系a的b次幂等于N，是否可以把它们安排在一起学习。再比方说，关于一元一次方程应用题，中学课本里有浓度问题、行程问题、工程问题、等积问题，在讲解时，可用一个方程表示不同问题，使他们得到统一，只是问题形式不同而已，其方程形式没有什么本质差异，可一次讲完几个问题。而现有中学教材把它们分开，使学生觉得似乎几种问题毫不相干。因为这些问题具体不同的思维形式，要受小学、初中和高中学生各阶段思维发展不同特点的制约。

数学思维活动的教学，就是要尽量克服这些制约，使学生在短期内高质量获取知识，大幅度提高思维能力，完成学习任务。

在考虑教材逻辑结构时，还应明确的一个问题是教材内容的特点，即初等数学有些什么特点，对它应有一个总的认识。

1．初等数学是相对于抽象程度来说的，其内容方法都比较直观具体，研究的对象大多可以看得见、摸得着，抽象程度不深，离开现实不远，几乎直接同人们的经验相联系。

2．初等数学是一门综合性数学，它数形并举，内容多种多样，方法应有尽有，自然分成几个部分，各部分又相互渗透，相互为用。

3．初等数学处于基础地位。因为无论数学多么高深，总离不开四则运算，总要应用等式、不等式和基本图形分析。初等数学又是整个数学的土壤和源泉，各专业数学领域几乎都是在这块土壤中发育成长起来的。

4．初等数学的普通教育价值。对中小学生来说，它的智能训练价值远远超过了它的实用价值。

5．与高等数学相互渗透，相互为用。一方面，由于实践中某些问题的出现，使初等方法被深入研究和发展成专门的数学分支，另一方面是高等数学中许多专题的初等化、通俗化。

初等数学具有这样的特点，不仅为编写教材提供了依据，同时对数学活动教学的模式来说也是恰到好处的。比方说，特点1，对于经验材料的数学化有得天独厚的帮助；特点2、3，对数学标准的逻辑组织化也很适宜；特点4、5，是对理论的应用。由此看来，数学活动教学对于初等数学再合适不过了。

数学活动教学，不仅考虑初等数学之特点、教材的逻辑结构，而且具体的某段知识也要仔细研究，不同性质的内容用不同方法去处理，这就是下面要谈的积极的教学方法问题。

四、考虑积极的教学方法

目前关于教学方法的研究呈现出一派兴旺的局面，种类之多、提法之广是历史上少见的。如目前使用的自学辅导法、读读议议讲讲练练教学法、六单元教学法、五课型教学法、自学议论引导教学法、启发诱导效果回授教学法、研究法、发现法等等。可以把这些方法归结为一句话，那就是：积极的教学法。其宗旨是在传授知识的同时，重视发展智力、培养能力。它们的特点是：充分调动学生的积极性，让学生独立解决一些问题，注意能力的培养。从实践效果看，这些方法在某个阶段，对某部分学生，结合某部分内容确实有事半功倍功能，但这些方法哪个都不是万能的，不是教学通法。因为教法要受学生水平的差异，兴趣的不同，教材内容的变化，教师素质不平衡等各方面条件的限制。

我们主张，采用积极的教学法，因课、因人、因时、因地而异。比方说，对于教材内容多数是逻辑上分散的数学定义和公理等采用自学辅导法较为适宜；对于教材中的一般公式、定理等采用问题探索法较好；对于教材中理论性较强的难点，一般采用讲解法较好。教师要灵活掌握。

数学活动的教学实质上是积极性思维活动的教学，因此，在教学中调动学生积极性极为重要。一般来说，教学内容的生动性，方法的直观性、趣味性，教师和家长的良好评价，学习成绩的好坏，都可以推动学生的学习，提高积极性。另外，如课外活动，参观工厂、机房，介绍数学在各行中的应用，尤其是数学应用在各领域取得重大成果时，能够促进青少年扩大视野，丰富知识，增进技能，从而发展他们的思维能力，提高学习的积极主动性。也可讲一点数学史方面的知识，比如我国古代科学家的重大贡献及在世界上的影响，也能激发学生的积极性。

另外，从学习方法上看，随着学科多样化和深刻化，中学生的学习方法比小学生更自觉，更具有独立性和主动性。因此，在教学中教师就要注意启发学生的积极思维。

究竟怎样启发学生去积极思维呢？方法是多种多样的。比方说，创设问题情境，正确提供直观材料让学生从具体转到抽象，也可运用已有知识学习新知识，把新旧知识联系起来。还可以把语言和思维结合起来，达到启发思维的目的。

从上面几个方面来比较，数学活动教学的核心是教学方法，因此教学方法的采用，直接影响活动教学的效果。

为使数学活动教学收到良好效果，目前没有一个成熟的模式，具体做法也少见。南通市十二中李庚南在总结过去经验基础上，提出几种有效的方法。

首先，重视结论的探求过程。数学中的结论教师一般不直接给出，而是引导学生运用观察、实验、练习、归纳等方法发现命题，尔后深入研究探求的过程和论证的方法，进而剖析结论的内容，举实例将结论内容具体化。

其次，是沟通知识间的内在联系。她认为：数学有着严密的体系，学生揭示数学知识之间纵横交错的内在联系，是学生主动思维活动的过程，可引导学生按知识的发生、发展、变化关系或逻辑关系整理出一个单元的知识结构和基本的研究方法，进行知识的引申、串变，提高学生灵活运用知识的能力。

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Zhang Yamin

（宝鸡文理学院，宝鸡 721013）

（Baoji University of Arts and Sciences，Baoji 721013，China）

摘要： 针对高等数学面临的现状，本文通过举例提出一些具体可行的教学方法，目的为了提高高等数学教学质量，增强学生掌握本门功课的能力。

Abstract： Faceing for the status of higher Mathematics, this paper put forward some concrete examples of teaching methods. It's objective is to improve the quality of higher Mathematics teaching to enhance students' ability to master the subjects.

关键词： 高等数学 教学方法 传统教学 多媒体教学

Key words： higher Mathematics; teaching methods; traditional teaching; multimedia teaching

中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）15-0259-01

0引言

高等数学的理论性、逻辑性很强，内容丰富而抽象，公式多。近几年由于学生人数的扩招，导致学生基础知识偏差，再加上目前由于教学计划和课程体系都在不断改进，基础课程的学习时数不断减少，因此，高等数学课程的教学面临着严峻的挑战，本文就高等数学的教学方法谈谈一些体会。

1严格要求学生并重视第一节课

首先教师应该从第一节课开始入手，如果开了一个好头，那么对以后的教学大有裨益。第一节课给学生讲述大学毕业后一部分学生直接就业，一部分上研究生继续学习。大学毕业直接就业的学生中，专业课好的学生相对找相关工作容易，以后干工作也相对轻松。而现在学习高等数学是为以后的专业课学习做铺垫，专业课中的许多结论要借助于高等数学知识推导。将来继续上研究生的学生，高等数学在研究生入学考试中是一门重要的必考课。因此无论是大学毕业直接就业还是继续上研究生都应该重视高等数学的学习。接着介绍高等数学与初等数学的不同。研究对象不同，处理的方法也不同。初等数学主要研究常量，而高等数学以极限为工具研究变量。例如：求y=x2在[-1，3]曲边梯形的面积。用初等数学是无法计算的，而用高等数学里的积分运算s=■x■dx就求出面积了。最后介绍一些学高等数学的方法和对学生提一些要求。重点强调当天学习的内容当天要及时消化，课后习题要及时完成等等。

2理论的讲解尽量具体化让学生易懂

2.1 图形思维的运用充分利用直观集合图像，讲解概念、定理。

例1 证明[1]：极限的第一个重要公式■■=1。

在上图单位圆中，设∠AOB=x（0

由图可知，AOB的面积（■sin x）

由夹逼准则知■■=1，而■为偶函数，故■■=1，因此，有■■=1。例2 在讲分部积分法：■udν=uν-■νdu。借助于图1更好理解。

2.2 相似的知识进行对比在学习过程将相似的题型、定理、结论等进行对比。

如，■■=1与■■=1。■（1+x）■=e与■（1-x）■=■。

分析■x■dx与■x■dx的敛散性。

2.3 传统教学与多媒体教学相结合传统地在黑板上用粉笔写的教学模式，有其优点，一步一步地展示计算过程，这样学生的思维能够跟的上，有助于学生的理解学习。也有其缺点，课堂容量小，教学死板，有些抽象的知识不易表达。这样不容易激发学生的学习兴趣。而多媒体是拥有多种用途的综合性科技，它有着非常强大功能，如果应用到教学中，不仅可以通过形象的图表、动画阐述抽象的数学教学理论，帮助学生很好地掌握理解，而且也可以提高课堂的教学容量。但是多媒体教学[2]是一种新的教学手段，也存在不足之处。如，多媒体教学讲课速度快，学生往往来不及作课堂笔记，思路常常跟不上;另外，多媒体教学使得教师的手语、眼神等形体语言得不到很好的体现，教学互动性减弱。这样将传统的黑板加粉笔与现代的多媒体教学相结合，既能在有限的时间内增加教学内容，激发学生的学习兴趣，又能体现教师的语言的特点，让学生更容易理解抽象的知识。

3多举例子让学生更好地理解新学的知识点

每学到一个新的知识，给学生举例子运用此知识点，特别是重要的知识点尽量的多举例子。

定理：函数f（x）在x0点可导?圳函数f（x）在x0点的左右导数存在且相等。

例3[3] 已知f（x）=sin x，x

解：f■■（0）=■■=1，f■■（0）=■■=1，由于f■■（0）=：f■■（0），故f′（0）=1。

例4 已知f（x）=x■，x?叟0-x，x

解：f■■（0）=■■=■x=0，f■■（0）=■■=■（-1）=-1，由于f■■（0）≠f■■（0），故f′（0）不存在。

4及时归类进行复习并讲解综合性习题

每学完一章知识，对本章的内容进行小结，重点的知识进行反复强调，对本章出现的题型进行分析，归纳出常用的处理方法。接着对本章学生存在问题较多的题找一些同类型题进行练习，让学生熟练掌握。最后找一些综合性的题让学生练练。这样可以提高学生的理解力，同时学生以后碰到类似的问题也就有章可循。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第6版）[M].高等数学出版社，2007.

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“哲学”就是看法，数学哲学就是对数学的看法。十几年数学教学的经历使我对此深信不疑。我自己的“看法”就特别多，虽然也可能失之偏颇。

一、对数学的看法

我们教的是数学，天天在向学生“推销”数学，也“推销”自己对数学的看法。数学教育家波利亚把“不懂得你讲的课题”作为数学教师“十诫”的第二诫，我理解这里的“懂得”，不仅是当前讲授的内容，而且是整个学科的基本理论知识，以及对整个数学的看法，即数学观。对中学数学教师来说，至少包含如下几个方面。

一是对“数学真理性”的看法。传统上认为，数学是精密的科学，是绝对的真理，是各种科学真理的典范。有谁能把3+2=5呢?然而“非欧几何”使“三角形内角之和为180°”成为相对真理；哥德尔的不完全性定理说明任何一个数学系统中总存在不能判定的命题（从而使希尔伯特的彻底形式化的计划告吹）；悖论的出现，动摇了“一劳永逸地打好基础”的信念。因此，我相信数学是可变的、可争的相对真理。

二是对“数学是由什么构成”的看法。事实表明：“数学是由概念、真命题（结论）构成”的看法是片面的，而“数学是由知识和活动构成”的看法符合实际，这也使我们能够在数学教学中，除了结论以外，更注重活动和过程，更注重“做数学”在学习中的作用。

三是对“数学的逻辑结构”的看法。我认为，“数学是纯演绎体系”的看法（尽管很流行）是不对的，因为“定义―定理―例题”的纯演绎教学不受学生欢迎，而“数学既有演绎的一面，又有归纳的一面”，是符合数学本性的。既教猜想又教证明，普遍受学生欢迎，观察、实验、归纳、类比、推广等合情推理，有越来越多的教师用于教学，效果很好。

四是对“数学教学”的看法。以往只教“硬”数学，只关心它的工具性，而忽视它的人文价值，这是不正确的。

五是对“初等数学”的看法。以往认为初等数学（作为中学数学的主要背景和材源）是材尽能竭、发展停滞的学科。近年我国初等数学研究事业的发展证实了“初等数学是正在蓬勃发展的学科”的看法，这使得“发现法”、“探索式”的教学有了依据。

二、正确培养“数学观念”

“数学观念”就是人们通常所说的“数学头脑”，它是指人们运用数学的思维方式去考虑问题、处理问题与解决问题的自觉意识或思维习惯。然而，在日常教学活动中，往往只注重了数学习题训练的局部强化，而忽视了数学整体效能，忽视了数学观念的正确形成。“数学观念”的形成与培养，应该贯穿于教学过程的始终，教师应发挥主导作用。因为，对于“数学观念”的形成与培养，“理解是基础，培养是关键”。

由于数学具有概念的抽象性、推理的逻辑性、论证的严密性、知识的系统性，以及应用的广泛性，因此在教学过程中，老师应当有意识地培养学生具有抽象意识、推理意识、应用意识和整体意识，从而使学生在数学的学习过程中汲取一种理性精神，形成一种数学文化，逐步积累而形成学好数学必须具备的“数学观念”。

三、关于贯彻“二主方针”，即教师为主导，学生为主体

作为一条重要的教学指导思想，我认为至少要弄清两层意思：一层是从现代认知学说上看，学习、认知是主体的自主建构，知识、能力、思想都是学习者在建构过程中发生的生理、心理变化的结果，是旧结构向新结构的转化，是别人替代不了的。由此得出的一条原则是：在学习中，凡是学生自己能做的（或在教师恰当帮助指导下能做成的），都要让学生自己去做。依此审视我们的许多教学措施，就会发现，有许多（如在课堂上缺乏针对性的大量讲解，背着学生评试卷，判作业，等等）都是无效的（有的甚至是有害的，如老师背着学生判作业）教学措施。由此去认识现在提出的学生自主学习、合作学习、研究性学习、课堂讨论式等，就会认识到是完全正确的，当然，必须有具体恰当的组织和操作形式。但是，由此便否定“讲授”，也是不正确的。讲授也有一系列优势，可以是启发式、探索式，也可以发动学生参与（通过问题或妙语，启迪学生动口、动脑，留下悬念，引导学生进入较高的思维境界），讲授可体现教师的教学技艺。在两种形式下，教师都是在帮助学生这个主体亲历数学知识的发展过程。学生当演员，当主角，教师不过是导演、导游、教练。即使是“讲授”，也不能喧宾夺主。

另一层更为重要，关系到培养什么人（主人还是奴隶）的问题。试想，如果我们不尊重学生的主体地位，他不学，强迫他；考不好，批评他；不交作业，惩罚他，那么久而久之，他就“忘记”了是为自己，为国家而学习的，而误认为是为家长上学，为老师做题的。今天是学习的奴隶，明天也不会意识到自己是社会的主人，这是很严重的问题。

四、正确看待“解题训练”

著名的数学教育家波利亚（Polya）非常重视学生的解题训练。他把“解题训练”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。在他的名著《怎样解题》一书中，还特意列出了一张《解题表》（How to solve it）。其中心思想是谈：在解题过程中应当如何诱发灵感，对解题过程中的“审清题意、寻求思路、制订计划、进行回顾”这四个步骤，作出了详细的说明。对我们进行解题训练的教学，有很大的指导意义。他特别强调探索法，在解题过程中，要合情推理，要学会猜想。

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Investigation and Analysis about Comprehension Levels of Pre-service Mathematics Teachers on the Concept of Set

Mao Yaozhong Zhang Rui Li Mansheng

（School of mathematics，Lanzhou City College，Lanzhou Gansu，730070，China）

Abstract：Set theory is the foundation of the whole mathematics building.Investigation shows that Pre-service Mathematics Teachers do not have adequate level on the concept of set. The paper puts forward some suggestions to improve education quality of pre-service mathematics teachers.

Key words：Pre-service mathematics teachers；Set；Comprehension on concept；Investigation

职前数学教师的概念学习对于其专业发展至关重要。因此，评价职前数学教师的学习成就不仅要关注程序性的知识更要强调概念性的知识。值得注意的是，职前数学教师拥有的诸多概念知识当中，有很多并没有反应出概念的本真意义，甚至是完全错误的。简言之，职前数学教师的概念体系当中具有较多的迷思概念。迷思概念对于职前数学教师认知活动产生的危害难以估量，其会让职前数学教师的认知活动呈现出“劣币驱除良币”的状态，使认知结构产生严重偏差。集合理论是整个数学大厦的基础，通过问卷测试职前数学教师对于集合概念的理解情况，以管窥豹，发现问题，提出改进职前数学教师教育的建议具有重要的理论及现实意义。

1 研究设计

1.1 研究问题

论文主要围绕职前数学教师关于集合概念的理解水平是怎样的这样一个核心问题展开。

1.2 调查对象

调查选取了甘肃省三所师范类高校数学与应用数学专业的176名大三学生，其中男生62名，女生114名。

1.3 测试题

论文选取了7道有关集合概念的开放式问题作为测试题，依次如下：

（1）什么是集合？

（2）可以用哪些方式表征集合？

（3）整数集合与偶数集合等价吗？

（4）空集是有限集合吗？请说明理由。

（5）全集是永恒唯一的吗？

（6）一个集合的补集可以不同吗？

（7）区间是集合吗？请说明理由。

1.4 数据分析工具

Excel2003软件被用来处理调查得来的数据。

2 调查结果及分析

2.1 对于“什么是集合？”的调查结果及分析

对于问题“什么是集合？”的回答，65.9%的职前数学教师回答正确，1.1%的职前数学教师回答部分正确，33.0%的职前数学教师回答错误。集合是一些明确规定且彼此不重复的对象的全体。那些回答部分正确的同学仅仅认为，“集合就是明确规定的对象的整体”，缺少了“对象不能重复”这个关键点。

学生对于集合定义的错误理解其实与平时的集合定义教学存在很大的关联。在教学过程中，很多教师往往会直接教授集合的定义、规则及运算，缺少正反例证，没有细致分析哪些对象的全体能够或者不能够形成集合。比如，互相之间不存在共同特征的对象以及彼此不能够共存的对象的全体就无法构成集合。

2.2 对于“可以用哪些方式表征集合？”的调查结果及分析

集合有三种表征方式，分别是列举法、描述法和韦恩图法，缺少描述法是大多数部分回答正确学生的通病。总的来看，女同学的正确率（74.6%）明显高出男同学的正确率（56.5%）。

集合的不同表征往往能促使学生更加深刻、全面地认识集合。然而从调查结果看，不少学生对描述法表征集合的认识比较欠缺，这其实与描述法相对更加抽象有关。因此，在日常教学中教师应该加强集合表征方式的教学，不仅要让学生熟悉各种表征方式，而且要重点训练让学生学会在各种表征方式之间进行转换。

2.3 对于“整数集合与偶数集合等价吗？”的调查结果及分析

对于问题“整数集合与偶数集合等价吗？”的回答，绝大多数学生（89.2%）的回答都是错误的，认为整数集合包含奇数集合与偶数集合，偶数集合是整数集合的真子集，所以整数集合与偶数集合不等价。他们的疑惑体现在：与原集合不相等的真子集怎么能和原集合等价呢？部分怎么能等价于整体呢？事实上，根据一一对应的原理偶数集合与整数集合是等价的。相对来讲，男学生（17.7%回答正确）的结果好于女学生（7.0%回答正确）。此外，很多学生的答案答非所问，没有按照题目的要求作答。

集合中的元素如果能被数完就是有限集合，如果数不完就是无限集合。有限集合不能等价于除本身之外的任一子集，而无限集合可以等价于它的某个真子集（如通过一一对应就可以使整数集与偶数集等价）。将近九成的学生（89.2%）都对此做出了错误的回答，错误的原因主要是学生缺少集合等价的知识，不知何为集合的等价，把集合的等价与集合的相等混为一谈。在集合的教学活动中，教师应该补充集合等价的理论，并让学生明确区分集合的相等与等价。

2.4 对于“空集是有限集合吗？”的调查结果及分析

空集是一个有限集合，但是很多学生基于“空集中没有元素”这个事实，认为：“空集很含糊，不能讨论其有限性”；“空集中没有元素，不好做任何解释”；“空集既不是有限集合，也不是无限集合”。

学生对这个问题的回答不太理想（62.5%的学生回答错误）主要是因为学生对于什么是有限集合的定义理解不深。大多数学生只是感官上觉得集合中的元素如果能被数完就是有限集合，而空集中没有元素他们就主观地认为不能数数了，自然也就不属于有限集合。在今后的教学活动中，必须强化有限与无限集合定义的本质特征，以是否可以与其真子集等价作为判断有限集合与无限集合的标准。

2.5 对于“全集是永恒唯一的吗？”的调查结果及分析

全集并不是永恒不变或者唯一存在的，它随着处理问题的差别可以取许多不同的形式，甚至对于同一个问题由于所用数学方法或者看问题的角度不同都可以取不同的全集。但是，很多学生（69.9%）并没有理解全集的实质，做出了错误的回答。

对于全集的认识不能“望文生义”，很多学生的回答只是汉语意思的臆测，比如“全集是指包含所有个体及运算的集合”，“最大的集合”等。这主要是学生不理解全集的本原意义，不知道根本就不存在最大的集合这个事实。因为如果存在最大的集合，那么将其作为新的元素，又可以生出更大的集合。事实上，全集是应用一定方法讨论问题时关于对象范围的限定，问题不一样，方法不一样所选取的全集就可能不一样。

2.6 对于“一个集合的补集可以不同吗？”的调查结果及分析

对于问题“一个集合的补集可以不同吗？”的回答，虽然男同学的回答正确率（24.2%）高于女同学的正确率（9.6%），但是总体来看，回答正确率显著偏低（总体回答正确率为14.8%）。

补集确定的基础是全集，学生对于全集理解的偏差会导致对于补集的错误理解。数学是一门前后内容密切关联的学科，对于一些关键的核心概念一定要形成正确、牢固的认识，为后续概念的掌握提供支持，避免“错一处而乱全局”的困境出现。

2.7 对于“区间是集合吗？”的调查结果及分析

区间是一种特殊的集合，然而调查结果显示大多数学生（84.1%）并不知道这个事实或者曲解了这个事实。

区间是一类特殊的集合，它的元素均是实数，之所以很多学生否定这个事实，主要在于区间的写法与集合的描述法、列举法的写法存在形式上的不同。学生们在学习集合这个概念之初就熟悉用花括号的记法，而区间用的是圆括号和方括号，这个明显的差异导致许多学生认为区间不是集合。因此，对于集合概念的教学应该突出概念的本质，不要拘泥于概念的形式，也就是要“注重实质，淡化形式”。

3 建议

从前述的调查结果可以看出，职前数学教师对于集合概念的理解并不理想，与调查之初的预想存在较大的反差。职前数学教师所掌握的集合知识缺少完整度，知识与知识的联系比较松散；对于概念的理解主观腻断，往往会“望文生义”出现似是而非的错误理解；缺少数学探究的理性精神，学习中很少“打破砂锅问到底”；对于许多有关集合概念的知识存在学习盲区，欠缺部分必要的学科知识。基于存在的这些问题，笔者提出以下一些建议。

3.1 对高师课程改革的建议

基础教育课程改革如火如荼，但与之紧密联系的高师课程改革则严重滞后。基础教育课程改革的核心之一就是提升教师的知识与能力，需要高师院校培养适应新课程的新教师，高师课程改革迫在眉睫。2012年，教育部组织出版了各科的《中小学教师专业发展标准及指导》，[1]为高师课程改革提供了依据，广大高师院校应该认真落实，对自身的课程体系进行调整以适应新形势的需要。在具体操作中，职前数学教师教育课程应该消除高等数学与初等数学的界限，并针对当前绝大多数数学教师的数学史与数学文化知识整体欠缺的现状，[2]开设一些诸如《高观点下的初等数学》《数学史》《数学文化》等宏观理解整个数学体系的课程；同时，应该增加数学教学知识类课程的比重，使学生能够把中小学数学的学术形态转化为教育形态，从而体现出数学教师工作的专业性；最后，职前数学教师教育课程应设置实践性及研究性的课程，增强职前数学教师的学习主动性和探究性，达到对于特定专题的深刻理解与掌握。

3.2 对职前数学教师教育者的建议

作为职前数学教师教育者，首先应该在思想上重视日常的教学，不能把教学工作简单地理解为照本宣科，而应当想办法做实事，使整个教学过程更具有效性；其次，职前数学教师教育者在教学中应该告诉学生知识的来龙去脉，避免“烧中段”式的灌输教学；再次，职前数学教师教育者应该研究教学过程的规律，把教学与教学研究结合起来，促进自身教学水平的提高；最后，应该改变当前职前数学教师教育者过于偏重科研的现状，把教学绩效与科研绩效放在同等重要的位置，使其愿意投身教学及教学研究。

3.3 对职前数学教师的建议

作为一名职前数学教师，应当熟练掌握基础数学教育中的核心数学概念，对不同数学概念之间的关联应该深入理解，比如要知道基础数学教育中有哪些关键的数学概念，哪个概念是某一概念的上位或并列概念，采用怎样的形式设计某个数学概念的教学过程等。职前数学教师如果能弄清楚这些问题，就能够在将来的教学过程中游刃有余，进而避免复制粘贴式地教“教材”，做到因时、因地、因人地用“教材”教。[3]

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一、高等数学概念的特点

初等数学基本上是描述事物相对静止、相对稳定的状态，而高等数学却是描述客观事物的运动与变化过程。高等数学是变量数学，它主要研究运动，研究无限过程，研究高维空间，研究多因素的作用，从观点到方法都和初等数学有着质的差异。与初等数学的概念相比，高等数学的概念基本上都是以运动的面貌出现的，是动态的产物。正如恩格斯所描述的：“运动进入了数学，辩证法进入了数学。”了解高等数学概念的特点为我们引导学生由初等数学的思维模式进入高等数学的思维模式，并为其中部分学生日后学习现代数学做好准备是有指导意义的。因而，我们在教学中要研究高等数学概念的认识过程的特点和规律性，根据学生的认识能力发展的规律来选择适当的教学形式培养学生的思维能力。

二、在高等数学概念教学中培养学生思维能力的方法和途径

1.引入概念，剖析背景，培养学生创新思维能力。

创新是21世纪的“通行证”，正如同志所说：“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。”一个国家的创新能力，一个民族的创新能力是核心竞争力。它决定着一个国家、一个民族的兴衰成败。而在知识经济时代、信息化社会，一个人的创新意识、创新精神、创新能力是他的核心素质。小而言之，它关系到一个人的生存质量、生命质量；大而言之，它关系到一个民族的生存与发展。而创新精神和能力不是天生的，主要靠教育，最好的教育，就是有利于人的创新的教育。

作为数学教师，在数学教学中，应当注重学生创新思维能力的培养，体现发现问题、解决问题的思维过程，通过自己的思维过程，揭示数学家的思维过程，诱导学生的思维过程，这是数学教学活动成功进行的保证。数学的思维活动过程，大致可分为认识的发生和知识的整理这两个阶段，前者是指概念的形成、结论的发现过程，后者是指知识的理解与开拓过程。为此，在教学中要研究高等数学概念的产生背景和过程，深入剖析，引导和启发学生认识概念建立的必然性及概念体系的发展过程，从而重视认识发生过程的教学。如极限概念的教学，可以通过如下的几个步骤逐步深入启发：(1)介绍极限概念的发展史；(2)剖析古语“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，抽象出数列极限的直观性描述定义；(3)通过具体的数列例子，列表计算，引出“ε-N”的方法；(4)概括出用ε-N描述数列极限的精确定义；(5)对极限概念进行几何解析。这样教学，就可以清楚地揭示数列极限这一概念的发生以及形成过程，一方面有助于深化学生对这一重要概念本质的理解，另一方面有助于激发学生的兴趣，培养学生的创新思维能力。

2.设疑问难，培养学生的探索精神。

古人云：“学贵知疑，小疑则小进，大疑则大进。”思维起于疑问和惊奇，没有疑问和惊奇就没有思维！所谓质疑，就是学习者在强烈的好奇心驱使下，敢于独立思考，设疑问难，敢于大胆发言，热烈讨论，敢于追根究底，探索未知。爱因斯坦说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”受传统观念的影响，大多数学生重结果轻过程，重计算轻概念，这样造成了学生墨守成规、不敢标新立异、开拓进取，缺乏探索质疑精神。在高等数学的概念教学中，教师应善于利用概念的特点设置疑问，提出问题，然后从疑问入手，层层剥离，得出结论，从中培养大学生探索求异精神。

多元函数微分学是高等数学的重要内容，涉及大量的概念，对概念的讲述，不仅是拓展大学生思维的良好素材，而且是培养学生的探索精神的的上等材料。在教学中可与一元函数的相应概念作类比。如在讲二元函数的极限定义时，我们可提出问题：与一元函数的极限定义比较，区别在哪里？为什么会存在这种差异呢？又比如讲授偏导数概念时，可以对比提出：对于一元函数，可导则比连续，对于多元函数是否有类似的性质呢？混合偏导数是否都相等呢？具备怎样的条件才相等呢？等等。

在概念教学中如能利用学生已学的旧知识，充分启发，设疑问难，可以有效地培养和提高学生的探索意识和思维能力。

3.对于容易混淆相近的概念，运用对比的方法研究它们之间的区别与联系，培养学生类比分析、逻辑推理能力。

高等数学中的许多重要概念，既存在着联系，又有本质的差别。这对初学者来说，很容易产生混淆。例如导数与微分这两个概念，其定义本身有很大差别，虽然由关系式df(x)=f′(x)dx可见，它们之间又有相当密切的联系，但这一关系式不能作为微分的定义。

又如不定积分与定积分，是两个差别很大的概念。但由微积分基本定理，相当一部分定积分可以通过不定积分(原函数)来求。加之计算定积分时反复运用基本定理，渐渐地一些学生就忘了定积分概念的实质――具有特殊结构的和式的极限，而把微积分基本公式当成定积分的定义。一提起定积分，很多学生立即得出：不定积分加上积分限就是定积分。类似上面的例子是很多的，出现上述问题的关键是学生没有真正地把握住概念的本质。所以在教学时一定要注意抓住概念的本质，同时对不同时间出现的类似概念要引导学生加以比较，弄清它们之间的关系，从本质上认识不同概念之间的联系与差别，努力培养学生的类比分析、逻辑推理能力。

4.明确概念的内涵和外延以及概念间的关系，建立起完整的概念体系，培养学生思维的广阔性。

为了使学生真正理解认识、形成科学概念，教学中在引入概念的基础上还需准确、深刻地引导学生理解、明确其内涵和外延以及概念间的关系，逐步建立起概念体系。

如讲导数定义时，学生虽能背诵定义，但由于对其本质属性理解不够准确，计算常出错误。教学时要特别讲清：函数在某一点处的导数描述的是函数增量与自变量增量比值，当自变量趋于零时的极限，即函数在该点处的变化率，它反映了函数相对于自变量的变化快慢的程度。教学时也应适时引导学生跳出狭义的圈子，使学生认识到，导数与现实有着一般和特殊的关系，导数作为抽象思维的产物具有更为普遍的意义，它所反映的已不是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同特征。除瞬时速度、电流强度、线密度外，它还可以表示瞬时加速度、切线斜率等，而它的本质是变化率，这样既可使学生了解导数的实际意义，又能阻断学生对具体意义的过度依赖，从而培养学生思维的广阔性。

三、结语

人才培养模式的创新依靠课程改革，课程改革的基本途径是课堂教学。如何用有效的教学方法培养大学生思维能力是本文主要探讨的内容。本文给出了行之有效的利用概念教学培养大学生思维能力的教学方法及途径。概念教学，立足概念，放眼全局，是数学教育工作者手中的一把开启学生思维大门的金钥匙，是培养学生思维能力的敲门砖，值得我们重视。

参考文献：

［1］傅敏.高等数学教学中培养创新能力的有效方法及实现途径［J］.考试周刊，2008，(25)：48-49.

［2］姚芳.高等数学中的问题教学与思维能力培养［J］.广西教育学院学报，2005，(1):72-74.