矩阵在数学建模中的应用十篇

矩阵在数学建模中的应用篇1

关键词 模糊聚类分析；DNA分类；数学建模

中图分类号 O242 文献标识码 A 文章编号 1673-9671-(2012)052-0202-02

1 概述

2000年6月，人类基因组计划中DNA全序列草图完成。DNA序列由A、T、C、G4种碱基按一定规律排列而成。当前生物信息学最重要的课题之一是研究由这4种碱基排列成的序列中蕴藏的规律。目前在这项研究中最普通的思想是省略序列的某些细节，突出特征，然后将其表示成适当的数学对象。这种被称为粗粒化和模型化的方法往往有助于研究其规律性和结构。现已知20个人工序列1～10属于A类，11～20属于B类，要求运用数学建模方法发掘已知类别DNA序列的特征，从而据此对未知类别的20个DNA序列进行分类。本文对T和G碱基在各DNA序列中所占的比例数据进行标准化处理，放大两类DNA序列的差异，采用模糊相似矩阵，模糊等价矩阵，λ截矩阵方法对DNA序列进行分类。

2 模糊聚类分析模型

2.1 主要研究步骤

通过观察发现，A类DNA序列中G碱基含量较多，T碱基含量较少，而B类DNA序列则刚好相反。所以可用这20条DNA序列中T和G碱基在自身序列中所占的频率作为基本研究对象，并对T、G碱基所占的比例的原始数据进行标准化，放大差异。再建立相应的模糊相似矩阵，模糊等价矩阵和λ截矩阵，找出一个最优的λ值进行DNA序列分类并使分类准确度达到最高。最后用上述方法以及λ值对另外20个未明类别的序列进行分类。

2.2 原始数据标准化

先对T和G碱基频率作标准化处理。平移—标准差变换

（i=1,2…，20；j=2,4）

其中xi是第i个DNA序列，x'ij是指碱基A，G，C，T在第i个DNA序列中出现的频率，x"ij是对x'ij进行标准化后的标准频率值，

，，（j=2,4）。

进行平移—极差变换，（j=2,4），

可得到关于碱基频率的模糊矩阵

2.3 模糊聚分析法

相关系数刻画随机变量之间的线性相关性：相关系数绝对值越大，随机变量之间的线性关系越密切；相关系数为0，称随机变量线性无关。所以利用相关系数法对碱基频率模糊矩阵的元素进行处理，利用公式：

得到一个关于xi与xj相似程度的模糊相似矩阵rij。

如果xi与xj的相似程度为rij，那么模糊矩阵R=(rij)20×20，显然R是模糊相似矩阵，为

为了从模糊相似矩阵R得到模糊等价矩阵R=(rij)n×n，从n阶模糊相似矩阵R出发，依次求平方RR2R4…直到R2i×R2i=R2i(2i≤n,i≤log2n)，求出R传递闭包t(R)，则t(R)=R。对于已知分类的20条DNA序列，由大到小取一组λ∈[0,1]，确定相应的λ截矩阵Rλ=(λij)20×20，且λ截矩阵为一个对角线为1的对称0-1矩阵。即可将其分类：若λij=1，说明第i条DNA序列与第j条DNA序列属于同一类。若λij=0，说明第i条DNA序列与第j条DNA序列不属于同一类。对于未分类的DNA序列，利用已求出的λ值，得到相应λ截矩阵，再利用已知λ值便可对未分类的DNA序列进行分类。

2.4 分类结果及其分析

应用Matlab软件对第1-20个DNA序列数据进行处理，经平移-极差变得到类别A、B中A、T、C、G碱基的标准化频率（表1）。

可得到标准化矩阵：

那么得到表示这1-20个DNA序列之间的相关程度的模糊相似矩阵：

进而求得传递闭包t(R)及模糊相似矩阵RR=t(R)。对模糊等价矩阵R进行分析，发现选取λ∈(0.8714，0.9834)会得到最高的准确

率，高达100%，识别率为90%，没有出现误判。计算时可取平均值λ=0.9764，得到λ截矩阵Rλ=(λij)20×20。对于λ截矩阵Rλ=(λij)20×20，若λij=1，说明第i条DNA序列与第j条DNA序列属于同一类；若λij=0，则说明第i条DNA序列与第j条DNA序列不属于同一类。最后得到分类结果：

A{1，2，3，5，6，7，8，9，10}

B{11，12，13，14，15，16，18，19，20}

C类（无法识别）{4，17}。

采用以上方法对第1-20个DNA序列分类的准确率为100%，识别率为90%，没有出现误判。把标号为21-40的DNA序列添加到原来的数据中，采用同样的模型与已求出的λ值对其进行分类，结

果为：

A类{22，23，25，27，29，33，34，35，36，37，39}

B类{21，24，26，28，30，31，38，40}

C类{32}。

3 结论

本文运用数学建模模糊聚类分析法方法，对T和G碱基在各DNA序列中所占的比例数据进行标准化处理，放大两类DNA序列的差异，采用模糊相似矩阵，模糊等价矩阵，λ截矩阵方法对DNA序列进行分类，方法简单、实用，且分类结果准确率高达100%，识别率为90%，没有出现误判。

参考文献

[1]csiam.省略/mcm.2000网易杯全国大学生数学建模竞赛题.

[2]顾俊华,盛春楠,韩正忠.模糊聚类分析方法在DNA序列分类中的应用[J].计算机仿真,2005,10(22):108-129.

[3]刘焕彬,库在强,廖小勇,陈文略,张忠诚.数学模型与实验[M].北京:科学出版社,2008.

[4]徐晓秋,初立元,左铭杰,谭欣欣.DNA分类方法的探讨[J].大连大学学报,2001,8.

[5]岳晓宁,徐宝树,王竞波.基于聚类分析的DNA序列分类研究[J].沈阳大学学报,2008,20(6):104-106.

矩阵在数学建模中的应用篇2

关键词：研究生；矩阵论；教学

中图分类号：G423.07

在数学中，矩阵论是一门研究矩阵在数学上的应用的科目，在计算科学、控制理论、信息科学与技术、管理科学等学科中都发挥着举足轻重的作用。矩阵理论本来是线性代数的一个小分支，但其后由于陆续在图论、代数、组合数学和统计上得到应用，逐渐发展成为一门独立的学科。研究生教育是我国高等教育的最高层次，是为培养高素质高层次专业技术人才的。矩阵论课程作为数学理论基础课在研究生课程设置中为工科研究生的公共学位课，通过本课程的学习，掌握矩阵论的基本概念，基本理论和基本运算，培养学生在有限维线性空间的框架下分析和解决工程实际问题的能力。

矩阵论课程内容的模块

本文作者多年来一直为长春理工大学工科研究生讲授矩阵论课程，并参与编著了《矩阵论》教材及《矩阵论学习指导与习题解析》。该矩阵论教材是在2000年吉林科学技术出版社出版的教材《矩阵论》（戴天时、李延忠编著）基础上修订编写而成，其内容包括以下知识模块：

1、线性空间与线性变换模块，包括向量组的线性表示、线性相关和线性无关，线性空间的基、维数、向量的坐标，线性子空间，线性变换，线性变换的不变子空间等内容。

2、内积空间模块，包括欧氏空间和酉空间，Schmidt正交化方法，标准正交基，Hermite二次型，在一组基下的度量矩阵，欧氏子空间，正交变换，酉变换．

3、相似标准形模块，包括任意复方阵能相似成Jordan标准形，任意Hermite矩阵能酉相似成对角形，任意正规矩阵能酉相似于对角形矩阵等。

4、矩阵分解模块，包括满秩矩阵的正交三角分解，任意矩阵的满秩分解，正规矩阵和可对角化矩阵的谱分解，任意矩阵的奇异值分解等。

5、向量范数与矩阵范数模块，包括范数的等价性，向量范数与矩阵范数的相容性，函数对矩阵的导数、矩阵对矩阵的导数、函数矩阵的微分与积分等．

6、矩阵函数模块，包括矩阵级数，矩阵函数的Jordan表示，拉格朗日－西尔维斯特插值多项式表示，运用矩阵函数与矩阵微积分理论求解微分方程组等．

二、矩阵论课程教学中的实践

矩阵论课程具有概念抽象、理论性强的特点。如何提高这门课程的教学质量，激发研究生的学习兴趣，是理工科研究生数学课程教学改革的重要课题。

1、注重数学思想和数学思维的训练。

加强思维训练、学会用数学思维考虑问题，对培养理工科研究生的创新能力尤为重要。在教学过程中，注意加强研究生的数学思维训练，特别是注重培养研究生的逻辑思维、逆向思维和创造性思维。积极探索启发式教学，通过对一些结论产生过程的分析，揭示合情推理与论证推理的内在联系，丰富理工科研究生的数学思想，提高研究生的数学思维能力。

2、注重提高创新能力

要引导研究生“观察”、“发现”、“猜想”，发展直觉思维，同时又根据直觉思维得出的假设进行严格论证。在传授基本理论和方法的同时，把培养研究生的创新能力放在重要位置。“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”。

3、多媒体教学课件的合理使用

为了提升教学水平与提高教学效果，用黑板板书授课，书写量大，所以要重视多媒体技术现代教育技术手段在教学中的运用。但是在矩阵论教学中，多媒体的辅助手段要结合数学课程的特点，注意实效，恰当运用，不可过多，只能辅助教学，不能代替教学。比如，计算步骤是必不可少的，而且必须讲清计算过程的每一步。经过多年的教学实践，我们制作了适合长春理工大学学生授课使用的多媒体教学课件，并发现多媒体教学课件的使用必须结合大量的黑板板书，才能真正达到让学生掌握得很好。比如：矩阵分解内容需要大量的板书，而类似的内容就适合用多媒体教学课件，讲解矩阵的谱分解时，首先用黑板讨论可对角矩阵为什么能进行谱分解，证明过程需要在黑板时进行谱算子的获得，而讲授正规矩阵的性质及求解正交谱算子进行谱分解时，只需在课件上讨论正规矩阵的理论及正交谱算子的获得即可。此外，像线性空间与线性变换内容中涉及本科生线性代数已有的理论在课件上演示即清晰又节省了授课时间。

整合研究生数学类课程的教学体系

在讲授矩阵论课程的基础上，制定了矩阵论课程的新教学大纲，新教学大纲不仅注意课程内容的深度和广度，有利于研究生掌握坚实宽广的基础理论知识，培养研究生的抽象思维与逻辑推理能力，提高研究生的数学素质，而且注重培养研究生应用数学知识将实际工程技术问题转化为数学问题，并运用数学理论和方法解决问题的能力。由于研究生数学类课程体系的建设是伴随着研究生教育的不断发展、在实践中不断创新和前进的研究生教育活动，所以在课程体系改革中应遵循实践逻辑，致力于对具体情景的分析，在实践中不断平衡“学科”、“学生”、“社会”的需要，建立科学的研究生课程体系。因此，我们研究了非数学类博士、硕士研究生的各门课程教学内容的合理设置，对教学内容进行了整合和优化，更新和拓展了一些教学内容，将现代数学的思想、观点、概念、理论和方法融入教学内容，各门课程教学内容的合理设置，并把研究成果充实到教学内容。

目前，矩阵理论在自然科学，工程技术和社会经济等领域的应用日趋深广，越来越引起人们的重视。我们对数值的运用，如果定义了维度，那矩阵就是从多重维度的角度来解决了数值的运算。比如我们进行奇异值的分解，求逆或者线性变换等等，这些都是数值的运算。这样的运算除了理论上的作用，主要是为了更好的存储数据和计算。计算机存储数据存的就是一个矩阵，如果一个矩阵能奇异值分析，那么存的数据就很少，而且计算也很方便。所以，要重视矩阵论的教学，在矩阵论教学的实践中继续促进教学方法及教学手段的改革，以提高授课效益。

参考文献

[1]罗从文，王高峡。“矩阵论”课程教学中理论与应用相结合的思考与探索[J]。中国电力教育，2012，（26）：76-77.

矩阵在数学建模中的应用篇3

[关键词] 数控系统 质量优选 模糊数学

伴随着现代化大生产的发展，CNC系统生产厂家越来越多集中力量于自身的核心任务，而从外部大量购进配套产品，如开关电源、键盘、编码器、接插件、手摇脉冲发生器、板卡、可编程控制器等元器件。这些产品是CNC系统的重要组成部分，它们的质量对CNC系统质量有着直接影响，所以必须重视这些外构件的采购质量管理，以确保进厂产品符合产品设计规定要求。但在众多厂家生产的同类型产品中，如何选出质量上乘的产品却很不容易，因此，寻找一种可行的能够判断产品质量好坏、实现产品排序或优选、解决“多中选优”问题的实用方法，无论对消费者还是企业都是非常重要的。针对此问题，利用模糊数学的相关理论，本文提出一种实用的优选方法。

一、模糊综合优选模型

本法以模糊中学中隶属度及权函数为基础，建立模糊关系综合矩阵，按最大隶属度的原则进行产品质量优选或排序。

1.建立产品质量综合评价指标体系。在对产品优选过程中，应根据层次性、全面性、因果性、可靠性等原则，仔细考察、分类，构成产品质量综合评价指标体系,即按上级下级支配关系而建立体系图表。如图1所示：

2.建立目标集权重矩阵W。由于不同的目标集往往具有不同的性质和特点，不同目标在产品质量特性中重要程度不同，需决策者准确地对不同性质目标权重系数赋值。从而，建立目标集权重矩阵。通常可以采用直接给出法(DDM)、比较矩阵法（CMM）、层次分析法（AHP）、环比评分法（CCM）、模糊区间法（FIM）、重要性排序法（IOM）、二型Fuzzy子集法(TFM)等来确定权系数值,从而组成权重矩阵W=(wf)。

3.建立系统特征值矩阵X。设系统有n个待选优对象组成系统的选优集，又有m个质量指标或目标对选优对象进行评判组成系统的目标集，则有系统目标特征值矩阵

4.特征值矩阵X规格化,将特征值矩阵X转化为优属度矩阵R。为消除m个目标特征值量纲不同的影响，将矩阵X规格化，规格化原则如下：

(1)越大越优原则xij≥0

（2)越小越优原则xij>0;xij>=0时，rij=1

（3)归一化原则

其中，rij――对象j目标i对优的隶属度i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

将特征值矩阵X转化为优属度矩阵R

此矩阵即为下一条优势的

基础。

5.综合评定向量S。基于以上运算，在借助Fuzzy集理论中综合评定概念，当目标f隶属度向量为Ri=(ri1,ri2,…,rin);目标集权数分配向量为wf=(wf1,wf2,…,wfn),则综合评定向量S可通过矩阵运算获得,即S=wf* Ri=(s1,s2…sn)。

6.产品优选结果。得到综合评定结果后，按最大隶属度原则进行优选或排序，假如s1>s2>…>sn,即产品一质量最优、产品二质量次之、产品三质量最差。则在同等条件下应优先选用产品一，可使系统质量得到可靠保证。

二、应用举例

1.建立系统的目标、权重、特征值矩阵。根据用户要求，需要一开关电源来组成一台数控装备，现有五厂家生产的开关电源选择 。作为我们优选对象，组成优选集，又有若干项质量指标构成系统的目标集，并且，利用环比评分法确定了各质量指标的权重值。

2.优属度矩阵。按照规格化原则，将表1中内容进行处理，即将特征值矩阵转化成相应的优属度矩阵。

3.计算宏观层各指标的优属度矩阵。

4.总目标优属度向量S。

=(0.4690.4700.6210.3840.754)

按优属度越大越优的原则,得出结论:厂家五提供的产品质量最好,因而,对于消费者或CNC系统生产厂家来讲,应优先购买该产品。

参考文献:

[1]贺仲雄:模糊数学及其应用[M].天津:天津科学技术出版社,1984.1

矩阵在数学建模中的应用篇4

摘要：运用模糊层次分析法确定高校课堂教学质量评价体系各级指标权重，建立高校课堂教学质量模糊层次评价模型，利用具有严密逻辑性的数学方法，提高课堂教学质量评价的可靠性。

关键词：高校课堂教学质量评价模糊层次分析法模糊层次评价模型可靠性

0 引言

课堂教学是学校教学过程的重要环节，教师授课质量直接关系到人才培养的质量。有效的高校课堂教学质量评价，一方面促进教师科学合理地设计教学环节，不断优化教学过程，另一方面改进教学内容，提高课堂讲授水平和教学质量，确保课程教学目标的有效实现；同时为教学管理部门全面准确地掌握学校教学现状提供信息，促进本科教学管理水平的提高。高校课堂教学质量评价是一个多指标综合评价问题，目前常用的一些方法，如层次分析法、模糊综合评判法等都具有一定的局限性。

层次分析法((Analytic Hierarchy Process，简称AHP)是美国著名运筹学家，匹兹堡大学的A.L.Saaty[1]教授于20世纪70年代提出的一种定性分析和定量分析相结合的系统分析方法。层次分析法存在判断矩阵的一致性指标很难达到和判断矩阵的一致性与人类思维的一致性有显著差异等不足，针对层次分析法的不足，姚敏等[2]于1997年在层次深入研究层次分析法理论的基础上提出模糊层次分析法(Fuzzy Analytical Hierarchy Process，简称FAHP)。2000年张吉军[3]给出一种检验判断矩阵是否具有一致性更容易的方法证明了检验模糊矩阵是模糊一致判断矩阵的定理。

在FAHP中，核心问题是判断模糊矩阵是否具有一致性。如果模糊矩阵不具备完全一致性，那么改进模糊矩阵的一致性是必需的。姚敏等采用某种数学变换将初始判断矩阵变换成具有完全一致性的判断矩阵[2，8，9，11，12]。姜艳萍等[5-7，10]构造模糊判断矩阵的调和矩阵，给出将其改进为满意一致性矩阵的计算步骤。姜艳梅等[13]构造一个导出矩阵，并给出判定模糊一致矩阵的充要条件。

正因为FAHP所具备的相对优良特性使得许多专家、学者对FAHP进行深入的分析研究，并将其应用在处理复杂的决策问题中，特别是在评价有多指标、带有模糊性方案优选中能得到更加满意的优选结果。基于此，文章通过构造导出矩阵的FAHP研究高校课堂教学质量评价，利用Matlab编程确定高校课堂教学质量评价体系各级指标权重，建立高校课堂教学质量模糊层次分析评价模型，用具有严密逻辑性的数学方法，提高课堂教学质量评价的可靠性。

1 模糊层次分析法的相关预备知识

设某一准则层有n个因素，相对于上一层某元素由专家给出的重要程度判断矩阵为：

R=(rij)n×n=（1）

定义1.1[2]设矩阵R=(rij)n×n，若R满足0≤rij≤1，则称R是模糊矩阵。

定义1.2[2]设模糊矩阵R=(rij)n×n满足：rij+rji=1（i，j=1，2，…，n），则称R是模糊互补矩阵。

定义1.3[3]设模糊矩阵R=(rij)n×n，若R满足：rij=rik+rjk+0.5(i，j，k=1，2，…，n)，则称R是模糊一致矩阵。

定理1.1[4]设R是模糊一致矩阵，则存在一n阶非负归一化向量W=(w1，w2，…，wn)T及一正数a，使得对任意i，j

rij=a(wi-wj)+0.5

成立，其中a≥。

定理1.2[4]若R是模糊互补矩阵，则其因素权重由求解以下线性规划问题得出:

minZ=[0.5+a（wi-wj）-rij]2wi=1，wi>0，i=1，2，3，…，n

计算公式为：

wi=-+rik，i=1，2，…，n（2）

这里a常取。

定义1.4[13]设R是模糊互补矩阵，由（2）式得到一组权重W=(w1，w2，…，wn)T，我们定义R的导出矩阵R"，其中 r"ij=a(wi-wj)+0.5。

定理1.3[1]具模糊互补矩阵R是模糊一致矩阵的充要条件是任意指定两行的对应元素之差为常数。

2 模糊层次分析法在高校教学质量评价中的应用

2.1 建立教学质量评价指标体系模型 目前，各高校为了提高课堂教学质量，都制定了相应《课堂教学质量评价办法》，虽然评价的标准和内容因学校而异，但对课堂教学质量评价内容都包括教学态度、教学内容、教学方法、教学效果等方面的指标。结合广西北部湾高校的实际，我们建立了如表1所示课堂教学质量评估指标体系：

2.2 建立关于课堂教学质量评价指标体系的模糊判断矩阵 结合广西北部湾高校的实际和参考广西省其他高校课堂教学质量评估体系，一级指标有四项: 教学态度、教学内容、教学方法、教学效果和二级指标共十一项，则可得到如下各层次的模糊判断矩阵：

①课堂教学质量评估指标体系R

②教学队伍A

③教学内容B

④教学方法C

⑤教学效果D

显然，上述模糊矩阵除了课堂教学质量评估指标体系R外， 教学态度A、教学内容B、教学方法C、教学效果D都为模糊一致矩阵。因此只需将课堂教学质量评估指标体系R调整为具有一致性的模糊判断矩阵即可。根据文献[13]得到调整后具有顺序一致性和模糊一致性的矩阵R"为：

2.3确定评价指标的权值和课堂教学质量评价指标权值体系 一级指标A、B、C、D对目标R的权重向量为：

W＝（0.1833 0.3167 0.2500 0.2500）T；

二级指标A1、A2、A3对目标R的权重向量为：

W1=(0.0750 0.0825 0.0675)T；

二级指标B1、B2、B3对目标R的权重向量为：

W2=(0.0825 0.0963 0.0963)T；

二级指标C1、C2、C3对目标R的权重向量为：

W3=(0.0707 0.0875 0.0917)T；

二级指标D1、D2对目标R的权重向量为：

W4=(0.01125 0.1375)T。

于是可得到如表2所示的课堂教学质量评估指标权重体系：

2.4 课堂教学质量评价指标权值体系评价结果 由上表2可以看出，就课堂教学质量评价指标权值体系一级指标而言，教学内容的权值最大；就课堂教学质量评价指标权值体系二级指标而言，学生对知识和技能的掌握，课堂具有吸引力和学生的能力、素质得到提高两项指标的权值最大。因此，要提高课堂教学质量，应注重学生对知识和技能的掌握，课堂具有吸引力和提高学生的能力、素质。

3 结束语

应用模糊层次分析法(FAHP)对高校课堂教学质量评价体系进行分析，不仅对提高高校课堂教学质量评价体系的科学性和可靠性具有一定的合理性，而且能够很好地反映实际教学质量情况。广西北部湾地方新升本科院校把迎接国家教育部的本科合格评估，开展课堂教学质量评估作为教学质量监控的一种手段，其目的是“以评促建，以评促改”，一方面能起到监控的作用，保障学校较高的教学质量，另一方面能为教师具体改进教学提供有针对性的信息，促进教师改进教学工作，激励教师更好地发挥潜力。

参考文献：

[1]许柏树.层次分析法原理[M].天津:天津大学出版社，1998，15:1-100.

[2]姚敏，张森.模糊一致矩阵及其在软件科学中的应用[J].系统工程，1997，17(2):54-56.

[3]张吉军.模糊层次分析法(FAHP)[J].模糊系统与数学，2000，14(6):80-88.

[4]吕跃进.基于模糊一致矩阵的模糊层次分析法的排序[J].模糊系统与数学，2002，16(2):79-85.

[5]姜艳萍，樊治平.一种校正模糊判断矩阵一致性的新方法[J].模糊系统与数学，2002，16(2):74-78.

[6]宋光兴，杨德礼.模糊判断矩阵的一致性检验及一致性改进方法[J].系统工程，2003，21(1):110-116.

[7]樊治平，姜艳萍.互补判断矩阵一致性改进方法[J].东北大学学报(自然科学版)，2003，24(1):98-101.

[8]姚敏，黄燕君.模糊决策方法研究[J].系统工程理论与实践，1999，19(11):61-64.

[9]林钧昌，徐泽水.模糊AHP中一种新的标度法[J].运筹与管理，1998，7(2):37-40.

[10]姜艳萍，樊治平.模糊判断矩阵一致性的调整方法[J].数学的实践与认识，2003，33(12):82-87.

[11]徐泽水.一种改进的模糊一致性判断矩阵构造方法[J].应用数学与计算数学学报，1996，11(2):63-67.

[12]杜栋.基于0.1-0.9标度的AHP再研究[J].系统工程与电子技术，2001，23(5):36-38.

[13]王艳梅，赵希男，郭梅.一种调整模糊判断矩阵一致性的方法[J].模糊系统与数学，2006，20(3):89-94.

矩阵在数学建模中的应用篇5

关键词：高校教学质量 保障体系 层次分析法 多级模糊综合评价 数学模型

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）08（a）-0001-02

2010年7月的《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010―2020）》，将提高教育质量确立为教育发展的工作方针和教育改革发展的核心任务。建立高校教学质量保障与监控体系，在高校内部形成各具特色的自我评估和监控的机制，是一流大学的普遍做法。而我国目前的教学质量保障体系还不完善，而且出现许多亟待解决的现实问题。目前国内外相关的研究十分活跃[1-2]，但大部分研究只是基于教育理论的研究，也有部分学者将相关问题建立成数学模型进行研究[3-4]，该文建立了基于多级模糊综合评价的高校教学质量保障体系的数学模型，对该问题进行了研究。

1 基于多级模糊综合评价的高校教学质量保障体系的数学模型

1.1 层次分析法（AHP）具体步骤

1.1.1 建立层次结构模型

分析所研究的问题，把问题划分为目标层、准则层、方案层等，用框式图说明层次的递阶结构如图1。

1.1.2 建立两两比较的判断矩阵

在相邻的两个层次中，高层次为目标，低层次为因素。一般取判断矩阵（表1）形式。

在层次分析法中，为了使判断定量化，采用1-9标度方法如表2。

构造判断矩阵，判断矩阵B具有如下特征：

①；②；③

在层次分析法中，只要矩阵中的满足上述三条关系式，就说明两两判断矩阵具有完全的一致性。

1.1.3 层次单排序

利用和积法或方根法来计算满足的特征根与特征向量，其中为的最大特征根，为对应于的正规化的特征向量，的分量即是相应元素单排序的权值。该文只给出和积法。

（1）和积法：

①判断矩阵的归一化： ；

②归一化处理后，对判断矩阵按行相加：；

③对向量归一化处理：

即为所求的特征向量的近似解；

④计算判断矩阵最大特征根：。

（2）判断矩阵一致性指标 （Consistency Index）：。一致性指标的值越小，表明判断矩阵越接近于完全一致性。一般判断矩阵的阶数越大，人为造成的偏离完全一致性指标的值便越大。当时，判断矩阵永远具有完全一致性。

（3）随机一致性指标（Random Index）的对应值，如表3。

（4）判断矩阵一致性指标与同阶平均随机一致性指标之比称为随机一致性比率（Consistency Ratio）。当时，便认为判断矩阵具有可以接受的一致性。当时，就需要调整和修正判断矩阵，使其满足，从而具有满意的一致性。

1.1.4 层次总排序及一致性检验

由上步中层次单排序的计算结果，计算出对更上一层次的优劣顺序，类似的，当时，认为层次总排序结果具有满意的一致性。

1.2 模糊综合评价法的模型和步骤

（1）确定论域，其中表示个指标。

（2）确定评语集：评语集是评价者对被评价对象可能做出的各种总的评价结果组成的集合，用表示：其中代表第个评价结果，为总的评价结果数。

（3）进行单因素评价，建立模糊关系矩阵：对量化，即确定被评价对象对等级模糊子集的隶属度，得到矩阵，其中 表示某个被评价对象从因素来看对等级模糊子集的隶属度。而表示被评价对象在某个因素方面的表现。在确定隶属关系时即计算：其中，c可以适当选取，使得。

（4）确定模糊权向量：常见的确定权重的方法有：①层次分析法；②加权平均法；③专家估计法。

（5）多因素模糊评价：模糊综合评价的模型为

，其中是由与的第j列运算得到的，表示被评级对象从整体上看对等级模糊子集的隶属程度。

（6）分析模糊综合评价的结果：将综合评价结果转换为综合分值，对模糊综合评价向量的处理有两种方法。

①最大隶属度原则：如果模糊综合评价的结果向量满足关系式中的，则被评价对象总体上来讲隶属于第等级。

②加权平均原则：表达方式如下

其中，为待定系数（=1或2），当时，加权平均原则即为最大隶属原则。

1.3 教学质量保障体系评价模型的构建过程

（1）确定教学质量保障体系的评价指标体系和评语集。

依据教育部《普通高等学校本科教学工作水平评估方案（试行）》，选择反映教学质量的评价指标，一级指标7个、二级指标19个，建立评价指标体系如表4。其中，评价因素论域…

，评语集为：

。

（2）采用层次分析法确定指标对总体目标组合的权重。

首先，构造主观上的两两判断矩阵；然后，利用和积法对判断矩阵做处理，通过层次单排序和层次总排序，确定权重；最后，检验层次总排序的一致性。

（3）由模糊综合评价方法求得最终的结果。

根据评价指标体系和评语集，构造模糊评价矩阵；将层次分析法确定的评价指标权重和模糊评价矩阵作复合运算，确定评价等级。

2 结语

该文建立了基于多级模糊综合评价的高校教学质量保障体系的数学模型，可任意选取大学作为案例进行高校教育质量评估的实证分析。该文给出细化的分级评价体系，利用层次分析法和模糊综合评价结合避免了单一定性评价的粗糙，可得到最终综合评判的定量结果。

参考文献

[1]盛欣.高校教学质量保障体系的逆向思考[J].当代教育论坛，2014（6）：9-15.

[2]徐文俊.深化改革背景下的高校教学质量保障体系构建[J].南京航空航天大学学报（社会科学版），2014，16（4）：41-45.

矩阵在数学建模中的应用篇6

关键词:并联机器人；柔性连杆机构；运动弹性力学；计算机仿真

中图分类号:TP242　文献标识码:A　文章编号:1009-2374(201 1)24-0013-02

一、3一RRC机器人的结构组成

3 RRC机器人是一种空间连杆机构，全称为少自由度并联柔性连杆机构。RRC分别代表了不同的运动副，R为转动副，c为圆柱副。3表示机构具有三条支链。并联机构是指动静平台通过两个或两个以上相互独立的运动链链接，拥有两个以上自由度，同时在驱动方面也是并联执行的。

动静平台可以为四边形也可以为三角形，不同的平台类型所对应的运动特性与动力学特性均不相同，但是研究这些机构的特性可以发现其共同点。以常见的四边形结构为例，其动静平台均为矩形(见图1所示)。其中两路支链的运动副(A181C，)和(A282C2)轴线相互平行，且垂直与另一路支链运动副(A3B3C3)轴线。矩形结构在运动位置分析中较之其他结构简单，因此被广泛的应用。

图1中所示Ai为R副连接静平台，cj为c副连接动平台，两者之问通过Bi(R)副连接。三个运动副轴线彼此平行且均平行于静平台，三条支链的运动被限制在各自的平面之内，每条支链可看作独立的二副杆串连机构(SOC)连接动静平台。

每条支链可以看作由4个运动副组成(c副可分解为转动副和移动副)，分别对三条支链进行分析可以知道整个系统动平台的自由度为3，动平台平行于静平台，在运动过程中只能做平移运动。

二、3一RRC机器人的弹性力学模型

任何机械结构都是为了完成某一目的而设计的，并联机器人由于其空间特性而被应用多个自动化控制领域，为了分析其运动规律和力学特征而需要进行机构的动力学分析。

动力学分析是研究时变载荷对机构的影响，用来确定系统的动力学参数从而确定构件的位移及其误差、振动速度、振动加速度和杆件受力情况，为选择合适的材料，运动轨迹分析提供理论依据。

柔性并联机构正在向高速度、高加速度方向发展，虽然构件仍然使用钢结构甚至是高强度碳纤维材料，然而其动力学特征已经不能使用刚体机构来进行分析。将机构看成一个正在运动着的弹性系统，研究其在外力和惯性力激荡下的振动从中获得机构的位移、速度、加速度等运动学特征以及应力、应变等动力学参数的方法称之为运动弹性动力分析，其目的是确定系统的弹性运动响应。

为简化计算便于建模通常进行如下假设:各支链连杆为柔性杆，动静平台为刚性架，不计铰链弹性形变。同时将一条支链分为两个柔性单元，将与静平台相连的杆件作悬臂梁考虑。

建立坐标系统时应当分别定义单元坐标系I和系统坐标系S。以支链A181C1为例进行分析，如图2所示，分别在系统坐标和单元坐标下定义坐标。

对杆件A1B1分析，在系统坐标下定义坐标A1的变形δs11，B1的横向位移Ss11纵向位移Ss12，弹性变形九。…在单元坐标下A。的的变形δI11B1。的横向位移SI11，纵向位移SIl2，弹性变形λI11。

对杆件BlCl分析，在系统坐标下B1横向位移S11纵向位移Ss12，弹性变形λS12，C1的横向位移Ss13，纵向位移Ss14，弹性变形λS13；在单元坐标下B1横向位移sI13，纵向位移SI14，弹性变形λI12，c1的横向位移sI15，纵向位移SI16，弹性变形λI13。

对另外两条支链进行同样分析从而的到:

系统坐标矩阵s[δsi1，Ssi1，Ssi2，λsi1，Ssi3，Ssi4，λsi2，λsi3]T；

单元系统矩阵I[δIi1，sIi1，SIi2，入Ii1，SIi3，SIi4，λIi2，SIi5，SIi6，入I13]T。

考虑到系统的约束条件，动平台PM的自由度为3个，可知整个系统运动可以使用3组21个坐标描述其位移，其中动平台3个，支链18个。两个坐标系中存在s=[N]I(此处[N]为10×8变换矩阵)关系。

单元横向变形x，纵向y则得到单元动能E和势能G:

MI为单元质量矩阵、KI为单元刚度矩阵、FI为单元等效力矩阵，s为系统坐标矩阵。

利用系统运动约束条件，统一单元方程与刚性架方程，在引入阻尼参数建立系统弹性动力学方程。

此时建立的动力学方程为变系数二阶微分方程组:MS＋CS+KS=F

M为系统总质量矩阵、K为系统总刚度矩阵、F为系统等效力、Y为系统弹性位移列矩阵，c为微分方程系数矩阵。现在问题归结为解二阶微分方程组。

在实际的应用中简化计算时可以将时间离散化，然后将变系数方程组看作在离散的时问区间t内的常系数二阶微分方程组。

在数值计算中通常使用的方法有直接积分法、间接积分法、振型叠加法、线性逐步快速积分法。

振型叠加法由于其只能用于线性系统，在直接积分法则不受限制。New Mark积分法由于其误差较小一般广泛采用。

使用数值计算软件如MATHLAB仿真计算步骤和上述过程类似，必须先建立机构的运动学方程，然后利用拉格朗日方程推导出其动力学方程。只是最后的计算过程使用了软件仿真分析，可以同时得到系统的运动学和动力学参数。

另外也可以建立系统动力学关系矩阵，从而使得问题由解微风方程组转化为解矩阵方程。矩阵方程组可以方便的使用计算机编程求解，相对来说使用计算机求解矩阵向量比求解微分方程简单且结果可靠。

3-RRC并联机构可以看作一种新型的欠秩结构，每条支链可以当作一个二副杆串联系统，由此可以建立单支链的自由度方程从而得到其运动输出矩阵Ui。3 RRC是并联结构，可以得到其动平台输出矩阵为Up=IIUi。通过变换可以的得到系统的动力学参数矩阵，之后的计算就转化为求解矩阵方程了。

尤其是近年来有限元软件的发展，越来越多的计算都较于计算机完成，在计算机性能日益强大的情况下，单元的划分可以更加精细，积分计算时精度也越来越高，误差越来越小。

一些三维建模(造型)软件像常见的Pro/e，uG等都可以进行应力与应变分析，有时候也可以进行运动分析，一些动力学参数可直接的计算出，而且使用图形化的软件不但可以简化建模过程，而且因其直观明显，不同的应力与变形可以使用颜色区分。当然了，在考虑到精度和准确度方面三维建模软件的计算还是同专业的有限元分析软件有着一定的差距。然而使用建模软件在计算出运动参数的同时可以进行运动干涉分析，毕竟实际中使用的任何杆件和平台都有一定的体积，这是其他的建模方法不能相比的。

参考文献

[1]刘善增，余跃庆，杨建新，苏丽颖.3-RRC并联柔性机器人动力学分析[I].振动与冲击，2008，(27).

[2]郝秀清，陈建涛，郭宗和，胡福生3-RR.C并联机器人机构位置分析通用方法[J].中国机械工程，2006，(11).

[3]廖明，刘安生，张金林，芮挺，方虎生.新型欠秩并联机器人机构3-RRC仿真[J]计算机工程与应用，2005，(28).

矩阵在数学建模中的应用篇7

[关键词]高职教师绩效评价模糊综合评判数学模型

中图分类号:TP3文献标识码:A文章编号:1671-7597(2009)1120049-02

一、问题的引出

绩效,从管理学的角度看,是组织期望的结果,是组织为实现其目标而展现在不同层面上的有效输出,是一个组织或个人在一定时期内的投入产出情况,投入指的是人力、物力、时间等物质资源,产出指的是工作任务在数量、质量及效率方面的完成情况,它是人们在管理活动中最常用的概念之一。绩效评价是指运用一定的评价方法、量化指标及评价标准,对其职能所确定的绩效目标的实现程度,及为实现这一目标所安排预算的执行结果所进行的综合性评价。绩效评价是人力资源管理的核心职能之一,绩效评价是绩效管理循环中的一个重要环节,绩效评价的最终目的都是通过对绩效评价结果的综合运用,推动员工为单位创造更大的价值。

本文提出的绩效评价的模糊数学方法,对高职教师绩效评价的多种影响因素进行分析,构建数学模型,有助于对教师绩效作出更科学更合理的综合评判。

二、教师绩效评价指标体系的设置

根据高职教师的职业特点以及高职教育发展对教师素质的要求,高职教师绩效评价体系应包含教育、教学、教改、科研、学科建设、学生培养、服务工作和业务进修等几个方面,该评价体系从八个方面提出了27个指标层,形成了一个完整的教师绩效评价指标体系,具体见表1。

三、层次分析法确定各级指标权重

在确定合理的评价指标体系后,确定各个指标的权重成为评价绩效的关键,指标权重可根据指标的相对重要程度来确定,可以借助一些专门的方法,本文采用的是层次分析法。此方法用来处理多准则、多层次的复杂问题决策分析与综合评价的有效方法。首先利用层次分析法计算下一层中的每个因素占其所属上一层的权重。层次分析法主要包括判断矩阵的构建与判断矩阵的一致性检验。

(一)构建判断矩阵

运用层次分析法计算各不同层次因素的权重,关键是构建各层次中的所有判断矩阵。

层次结构反映了因素之间的关系,但准则层中的各准则在奴表衡量中所占的比重并不一定相同,在决策者的心目中,它们各占有一定的比例。

在确定影响因素的诸因子在该因素中所占的比重时,遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。Satty等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比矩阵的办法。即每次取两个因子和,以表示和对所属因素的影小大小之比即指标的标度,全部结果用矩阵表示,矩阵A称为判断矩阵。指标的标度由专家评审,根据专家各自的背景和经验分别给予他们权重,取均值修正后得到的指标的相对重要程度结果构造判断矩阵。关于如何确定的值,Satty等人建议引用数字1-9及其倒数作为标度,下表列出了1-9标度的含义:

从心理学观点来看,分级太多会超越人们的判断能力,既增加了作判断的难度,又容易因此而提供虚假数据,Saaty等人还用了实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性,实验结果也表明,采用1-9标度最为合适。

把所有元素都和某个元素比较,即只作 个比较就可以了。这种作法的弊端在于,任何一个判断的失误均可导致不合理的排序,而个别判断的

更多的信息,通过各种不同角度的反复比较,从而导出一个合理的排序。

(二)用特征向量法计算权重向量

权重向量是由判断矩阵的最大特征根对应的特征向量经归一化后得到的。可以采用matlab或方根法计算,方根法计算公式为:

式中 表示判断矩阵A中相对于的指标值。归一化后权重向量为

(三)判断矩阵的一致性检验

一致性检验是检查评估专家在判断过程中思维是否保持一致,是否出现诸如X>Y,Y>Z,而Z>X此类的错误。检验方法如下:引人一致性比率参数CR=CI/RI,其中:判断矩阵一致性指标,判断矩

断矩阵的一致性是可以接受的,否则应对判断矩阵作适当修正。对

Saaty给出了的值,如下表所示:

四、模糊综合评价模型

1.建立评价集

设评价可能结果为P个,建立评价集,其中

即为第K个可能的评判结果。

2.确定评价矩阵

设 是从各个指标层到评价集V的模糊关系集合。

表示指标层中对第i个指标做出的第j中评语的评价成员占总样本的比例。

3.一级模糊综合评价

由模糊评价矩阵和相对应的指标权重向量,计算出一级模糊综合评价的模糊分布值,计算公式为: 。

根据计算结果,然后按照模糊数学最大隶属度原则,可以得出一级模糊评价。

4.二级模糊综合评价

以准则层为元素,用 构造二级评价矩阵:

按照模糊数学评价模型公式,进行第二层次的模糊综合评价。计算公式为:。

根据最终的计算结果可以认定绩效评价对应的等级。赋予评价人员评价结果一定的分数,可以得出绩效综合评价的得分。

五、结束语

应用模糊综合评断模型评价教师的工作绩效,不仅能有效地将定性分析和定量计算结合起来,而且能多层次、多因素地进行综合评价,从而客观公正的真实地反映教师绩效情况,同时该方法思路清晰,便于编程进行计算得出评判结果,是一种比较科学而又实用的方法。

参考文献:

[1]朱康良,高职教师绩效评价的模糊综合评判,湖南广播电视大学学报,2007.

[2]许成鹏,基于层次分析和模糊数学方法的高校教师绩效评价,黑龙江教育,2007.

矩阵在数学建模中的应用篇8

关键词：拼接复原；二值化处理；Matlab；边缘矩阵

中图分类号：TP391.41

将破碎的文件拼接复原一般需要提取每一个破碎文件的关键信息，然后根据信息相似度来确定破碎文件之间的联系。这里的关键信息指能反映文件大部分信息的数据文件。传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。为了提高拼接的效率，需要应用计算机技术开发出碎纸片的自动拼接技术以提高拼接复原效率。目前有许多学者研究图片碎片的拼接技术[1-2]，给出了许多思想与算法。

为此本文中的方法为首先从每一个破碎纸片中提取相关信息，然后根据信息的相似度排出顺序。即基于纸张碎片的边缘性状等特征，搜寻到最可能匹配的纸张碎片对。

1 图像二值化处理

将k条规则矩形碎片复原。k条碎纸片对应k个图片，为了获取每一个图片的信息需要将图片转化为数值矩阵Akm×n。aijk是数值矩阵Akm×n的元素，对于黑白像素点像素值aijk介于0-255之间。

数值矩阵Akm×n的阶数是由分辨率决定的。论文针对分辨率为m×n的碎图片研究，即每一条水平线上包含有m个像素点，共有n条线。

假设我们处理的为灰度数字图像，则每个像素只有一个采样颜色的图像，只含亮度信息，不含色彩信息的图像。纯白代表了该色光在此处为最高亮度，亮度级别是255；纯黑代表亮度级别为0，其余亮度级别介于该两值之间。

为了易于计算机处理灰度图片，将其二值化处理。黑色的区域（像素值为“0”）与白色的区域（像素值为“1”）由封闭的边界相区分。

3 结束语

本论文提出了依次通过数值化、二值化和边缘信息提取将图片处理成二值图像矩阵的方法，其中对于规则破碎文件在二值化处理中应用全局阈值法。

具体方法：首先找出矩阵最上、最下二值矩阵，根据元素矩阵为1矩阵放置在首和尾。然后根据列矩阵分类。接着取出第一个行某个矩阵的最右边列向量依次与其他该行的矩阵最左边列向量两两比较，得到相似度最高的矩阵连在一起。用同样方法依次比较，左右相连，上下相连，必要时人工干预，最终获得排列好的矩阵顺序，进而获得整张纸的图像。

参考文献：

[1]侯舒维.一种图像自动拼接的快速算法[J].基金项目论文，2005（15）：70-72.

[2]Hei Wang Chan，Evan Gillespie，Delfino Leong，Design and Implementation of a Paper De-shredder[J].ECE 412 Term Project Report，2010.

[3]张庆英.基于边界特征的图像二值化方法应用研究[J].武汉理工大学学报，2005（02）：56-57.

[4]冯杰.数学建模原理与案例[M].北京：科学出版社，2007.

矩阵在数学建模中的应用篇9

关键词：谱聚类；非负约束；聚类；非负矩阵分解

中图分类号：TP311文献标识码：A文章编号：1009-3044(2011)17-4165-03

A Spectral Clustering Method with the Nonnegative Constraint

WANG Chun-teng1, FU Chuan-yi2, Xing Jie-qing2

(1.College of Electronic Information Engineering of Qiongzhou university, Sanya 572022, China; 2.Department of Modern education technology, Qiongtai teachers college, HaikoU 571100,China)

Abstract: Clustering is a challenging and active research topic in pattern recognition and machine learning. Spectral clustering is a new method for clustering. In this paper, the nonnegative constraint is introduced into the traditional spectral clustering. The NMF-based is proposed. The advantage of the nonnegative constrain has been conformed in many application fields. The results of the experiments in the paper evaluate the proposed method.

Key words: spectral clustering; nonnegative constraint; clustering; nonnegative matrix factorization

聚类分析是模式识别和机器学习中重要研究课题之一。所谓聚类(clustering)就是将给定数据对象集合划分为多个类或簇(cluster)，使得在同一簇中的对象之间具有较高的相似度，而不同簇中的对象差异较大。在现有的聚类方法中，k-均值聚类是最简单、使用最普遍的方法之一。类似于K-均值，这些传统的聚类算法大多是基于中心的方法，是建立在凸球形的样本空间上。当样本空间不满足凸形时，算法容易陷入局部最优。谱聚类算法(spectral clustering algorithm)避免了这个问题。该算法建立在图论中的谱图理论基础上，其本质是将聚类问题转换为图的最优划分问题。与传统的聚类算法相比，谱聚类算法将聚类转换为一个代数上的矩阵求解问题，具有能在任意形状的样本空间上聚类且收敛于全局最优解的优点[1]。

在现实世界中，许多信号数据是分非的，例如，图像、文本等。由这些现实领域收集的样本组成的数据矩阵是非负数据 矩阵。进过一般的谱运算，例如SVD、PCA等，得到的目标特征向量中通常含有许多负值。在许多应用中，非负约束被引入。我们希望得到的目标特征向量中仅含有非负的数据。这个约束在许多情况下是很有意义的。一方面，使得到的样本特征具有现实的物理意义；另一方面，这种约束的引入更有利于在目标映射中保持样本的局部特征。非负矩阵分解（Non-negative Matrix Factorization，简称NMF）正是为解决这个问题而提出的[2-3]。自提出以来，许多文献对其进行了研究。一些文献是基于算法和模型变形的[2-6]，而另一些是基于应用的，非负矩阵分解已经被成功地应用于许多领域，包括生物信息学[7-8]，物理学[9]，多媒体数据[10]，文本挖掘[11-12]等。其中最成功的应用是数据聚类[13]。

本文就NMF的这种优势引入到传统的谱聚类方法中，提出了一种基于非负约束的谱聚类方法NMFSC。

1 非负矩阵分解

给定一个n×m的非负矩阵V，其中n＜m。

目标问题：希望得到V的近似分解表示，即V≈WH。其中W和H分别为n×r和r×m的非负矩阵（W，H中所有元素均非负）。r是事先预定的参数并且通常应该满足r

算法1非负矩阵分解算法

步骤1初始化W和H使其元素是[0，1]间的随机数。

步骤2在EM框架下，采用梯度下降法优化目标函数||V-WH||2。固定W，更新H，然后固定更新后的H来更新W，不断重复这个过程直到收敛。

其中，H和W的计算规则如下：

(1)

(2)

文献[2]给出了该算法的更多细节和理论结果。

2 非负数据的谱聚类

本节研究基于非负约束的谱聚类方法。在NMF的基础上，结合K-均值算法，设计了一种满足非负约束的谱聚类算法――NMF based Spectral Clustering (NMFSC)。

假设给定一个样本集合，包含n个样本，每个样本用一个m维向量表示。这个样本集合表示为样本矩阵Xn×m={x1,x2,…,xn}。

传统的谱聚类算法（SC）简要框架如下：

1）构建邻接图（同NMFSC）

2）构建相似矩阵（同NMFSC）

3）计算归一化拉普拉斯矩阵：，其中D为对角阵，

4）计算L的最小的r个特征值对应的特征向量

5）对矩阵V进行归一化处理得到矩阵，

6）令yi∈Rk对应矩阵U的第i个行向量（i=1,…,n）

7）对于数据点y1,y2,…,yn，利用K-均值算法聚成s个类。

为使最终得到的数据点只包含非负数据，本文提出一种基于非负约束的谱聚类算法（NMFSC）。将非负矩阵分解过程引入到数据映射过程中，具体步骤如下：

1）构建邻接图：令G表示由n个节点组成的图。在节点i和j之间连一条边，如果i是j的k个最近邻之一，或者j是i的k个最近邻之一。

2）构造相似矩阵：由边的权构成的相似度矩阵W是一个通过高斯核函数计算得到的稀疏矩阵。如果节点i和j相连，则令：

3）在W矩阵上施行NMF算法，得到W的近似分解表示：W=VH。其中，V，H均为非负矩阵，V∈Rn×r，H∈Rr×n。

4）对矩阵V进行归一化处理得到矩阵，

矩阵在数学建模中的应用篇10

关键词：模糊综合评价法；民办高校；绩效评价

民办高校教育评价是一个多指标、多属性并且具有模糊性的综合评价过程。综合评价是指综合考虑受多种因素影响的事物或系统对其进行总的评价。在实际应用中，评价的对象往往受各种不确定性因素的影响而具有模糊性，将模糊理论与经典综合评价方法相结合得到的评价方法称为模糊综合评价方法，应用模糊综合评价法进行评价将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果。在模糊综合评价中，权值的分配主要靠人的主观判断，因素过多时就很难准确分配权重，利用层次分析法确定模糊综合评价法中的权向量来建立评价模型能够使权重分配更合理。本文提出的评价模型对民办高校教育综合评价能够更客观、更科学地反映其绩效状况。

一、模糊综合评价原理

（一）模糊综合评价的数学模型。设U={u1，u2，...，un}为待评价对象的n个指标构成的集合，称为指标集。设V={v1，v2，...，vm}为m个评语（或等级）构成的集合，称为评语。

由于各种指标所处地位不同，作用也不一样，可用权重W=（w1，w2，...，wn）来描述，它是指标集上的一个模糊子集，又称权向量。对于每一个指标Ui 单独作出的一个评判f（Ui），可看作是U到V的一个模糊映射f，由f可诱导出U到V的一个模糊关系Rf，由Rf可诱导出U到V的一个模糊线性变换TR（A）=AB=B。它是评判集V上的一个模糊子集，即为综合评判。（U，

V，R）构成模糊综合评价模型，U，V，R是此模型的三个要素。

上述的模型属于一级模糊综合评价。实际上，有许多复杂问题，不仅要考虑的因素多，同时各种因素往往又具有不同的层次。这种情况下要采用多级模糊综合评价。本文是应用二级模糊综合评价来建立高校教育绩效评价模型。

二、模糊层次分析法确定权向量的原理与步骤

首先建立优先关系矩阵。在模糊层次分析中，优先关系矩阵是每一层次中的因素针对于上层因素的相对重要性两两比较建立的矩阵，也称为模糊互补矩阵。作因素间的两两比较判断时，采用一个因素比另一个因素的重要程度定量表示，则得到的模糊优先关系矩阵A=（aij）n×m其具有如下性质：

依据上面的数字标度，因素x1，x2，...，xn相互进行比较，则得到如下模糊互补判断矩阵：

接下来，将优

三、民办高校教育绩效评价模型

（一）确立评价指标层次及评语集。 建立民办高校教育绩效综合评价指标层次，评价中主要涉及的三个方面的指标为中间层，依次建立递接层次结构，如表2。建立评语集为：V={优秀，良好，较好，一般，不合格}。

（二）构造优先关系矩阵并计算各因素权重值。在指标层次结构表的基础上建立优先关系矩阵，然后将优先关系矩阵改造为模糊一致矩阵如下。

A- B优先关系矩阵以及A-B模糊一致矩阵：

（三）建立评价矩阵进行综合评价。选取民办高校的三位教师的绩效情况进行综合评价，通过设计评价问卷，由院系直属领导、教学督导等10位领导填写评价问卷，建立评价矩阵R1、R2、R3。例如针对教师A的教学工作量情况，参加评价的10人有3人认为优秀、5人认为良好、1人认为较好，1人认为一般，没有人认为不合格。则评价矩阵R1的第一行为（0.3，0.5，0.1，0.1，0），针对课堂教学效果、学生评教、课外辅导、教学研究与改革情况建立R1的其他四行。同理，建立R2、R3，综合评价为B=WR，其中： 最后，教师

A的综合评价结果为0.915，教师B的评价结果为：0.882，教师

C的综合评价结果为：0.903，排名为：A、C、B。此评价结果与专家听课、学生评教、同行评分最终得出的结果是一致的。

四、结论

利用层次分析法确定模糊综合评价法中的权向量来建立评价模型能够提高评价指标权重分配的科学性和可信性，使得评价结果更合理。应用此评价模型来考量民办高校的绩效情况能够更科学地反映其实际情况，避免了传统的将各项指标分数相加求和的不合理性。

参考文献：