探索让数学课堂充满激情与智慧

《数学课程标准》提出“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”。课堂是教学主阵地，培养学生的创造力和探索能力，还得从课堂入手，放手让学生去探索、去发现，对学生潜能发展和数学思维能力的发展都起着重要的推进作用。因此，教师的任务主要在于指导学生探索获得知识、技能的途径和方法，领悟数学思想方法和精神，对于培养学生学会探索、学会学习是至关重要的。布鲁纳指出：“探索是数学教学的生命线”。

如何在数学课堂中引导学生开展探索活动？笔者就如下方面进行了探究。

1．探索问题的条件或结论，彰显学生智慧的个性

条件或结论开放的问题给学生留有足够的探索空间，为学生创造了探索的机会和提供了探索题材，并能激发学生的探索欲望。学生从多角度、多层次开展探索活动，表现出不同层次的思维水平，通过互动交流促使思维空间得以拓展，有利于培养学生的探索精神和激发学生的潜能，彰显个性思维，迸发智慧的火花。

例1如图(1)，⊙O的直径AB的延长线交切线TP于P，TH⊥AB于H，若TP=a，请你添上一个条件后，可以求出OH．

我提示：要求OH，关键是探究OH、PT、PH、OP、TH这些线段的关。经此点拨，学生依据已知条件，联想基本图形，通过添加辅助线，从而容易得到OH、PT、PH、OP、OT、TH这些线段的关系，进而发现只要线段(PH、OP、TH、半径或直径)中的任何一条线段已知，就可求出OH。此时学生的学习情绪高涨，充分感受到探索知识的无穷乐趣和成功的喜悦之情。我趁机提出：除添加以上条件外，还可以添加其它条件吗？这进一步激发了学生探索的激情．有的学生从角(∠P、∠PTH)入手添加条件，有的学生从线段(PA、PB)入手添加条件，有的学生从线段关系入手添加条件，如：PA=4PB、TH∶PH=1∶3、PH=3OH等。学生探究的角度越来越多，显然，这样的课堂是卓有成效的。

这里，问题结论明确而条件不给出或条件不完备，问题所要具备的条件需要学生探索才能获得。应点拨学生从所给结论、条件出发，逆向推理，逐步探索，获取最佳条件，常用方法是“执果索因”。

例2如图(2)，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于E，CB切⊙O于B.由这些条件，你能推出哪些正确的结论？

我提示：要仔细观察图形的特点，想一想，如何添加辅助线？从哪些方面获取结论？经此点拨，学生从判断三角形的形状及其三边的特殊关系、两角关系、两条线段关系、直线与圆的位置关系及线段之间的数量关系等方面探究获得结论，学生通过多层次、多方位的探索，活化了自己的思维。

问题给出条件而结论不给出或结论不确定，需要学生探索才能得到结论。常规策略是“综合法”。要点拨学生从问题条件出发，依据已知事实和数学知识，合理推断，大胆猜想，探索相应结论，并验证猜想的结论，从而获得正确结论。

2．探索解题中的错因，点燃学生智慧的火花

英国心理学家贝恩布里奇说：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。”是的，我们不仅要宽容错误，更要挖掘利用好学生的错误资源，学生有了错误，要给足学生思考的时间和空间，让学生自己去发现错误，探究错因，纠正错误。从认知冲突中产生思维碰撞，点燃智慧的火花，迈入知识的殿堂。

例4若（X+1）X²+3X+2=1,则X的值为（）。

A、0B、-2C、-1或-2D、0或-2

解答时，多数学生的解答是：由题意得：X2+3X+2=0,且X+1≠0,解得X=-2，故选B。

此时，我提醒学生再仔细想想。过一会儿，终于有学生提出答案为D。很多学生半信半疑地把X=0代入原式验证，结果发现等式也成立。对此，大家感到迷惑不解，表明上述解法有错，“到底错在哪里？”至此，学生产生了迫切的求知心和想弄清错因的强烈愿望。我再次提醒学生不要只注意“底”的条件（底数不能为零）而忽略其它情况，让学生在探索、交流中去发现错误，分析原因，真正弄懂错误的根源——没有全面地分析等式成立的所有可能性：①a0=1(a≠0),②1n=1(n∈N),③(-1)2n=1(n∈N)，通过引导学生类比发现：当等式成立属于情况①时，解答如上，得X=-2；当等式成立属于②时，有X+1=1，即X=0；当等式成立属于情况③时，有X+1=-1，即X=-2，此时，X2+3X+2=0，则等式为(-1)0=1，综合以上情况得X=0或X=-2。

教学中巧设富有内涵置陷且有启发性的问题，能起投石激浪作用。通过示错——纠错——顿悟的过程，让学生更好地在错误中寻找疑点，在误中思，在思中悟，让他们在自己常犯的错误和挫折的教训中变得“聪明起来”。

3．探索数学公式定理，叩开学生的智慧之门

建构主义认为：“学生数学学习是一个主动建构知识的过程，获得数学知识需要每个人再现类似的创造过程，数学学习是一种再发现、再创造的过程”。让学生探索定理、公式形成过程就是一个“再创造”的最好范例．为此，对公式、定理教学，我不是简单地呈现结论，而是突出公式定理的发生、发展和形成的过程，从具体背景材料出发，揭示知识背景和来源，创设动手实践、操作实验等情景和一系列探索性的问题，为学生建构新知识创设必要的平台，让学生从事观察、实验、探索、猜想、验证、推理与交流等活动，促使学生探索发现数学公式定理，闯入知识的殿堂，叩开学生的智慧之门。

例5“平方差公式”教学，可设置如下问题：

(1)计算并观察下列每组算式：

(2)已知25×25=625，那么24×26=？

(3)你能举出一个类似的例子吗？

(4)从上述过程，你发现了什么规律？

(5)你能用语言叙述这个规律吗？你能用代数式表示这个规律吗？

(6)你能验证并说明你所猜想的规律的正确性吗？

这样，通过“数组计算——比较归纳——感受方法——猜想一般规律”，让学生经历了根据特例进行观察、比较、归纳、猜想、验证，用数学符号表示，证明猜想，在探索过程中发现了“平方差公式”，从中尝试到成功的喜悦，诱发了学习数学的激情。

例6“三角形中位线定理”教学，我设计了“把一个三角形剪一刀拼成一个平行四边形”的操作活动。

问题1：图(5)是一个任意三角形，请在三角形上剪一刀，使得分成的两块正好拼成一个平行四边形．

问题2：若把图(5)中我们剪下的位置称为三角形的中位线，你能给出三角形中位线的定义吗？一个三角形有几条中位线？

问题3：通过活动和观察，你能发现三角形的中位线和第三边有什么位置和数量关系？想一想怎样验证你的猜想？

问题4：你能否对你的猜想进行证明？

这样，把数学知识的形成过程转化为学生亲自实验、操作、观察、探索、发现、验证、运用的过程，让学生历经探索发现了定理、公式，品尝知识探索过程中成功的喜悦，既实现数学教学对于学生主动发展的价值，又丰富了数学活动的经验，培养了学生探索能力，激活了创造潜能。

4．探索数学问题的规律，拓宽学生的智慧之路

波利亚指出：“学习任何知识的最佳途径是自己去发现”。数学问题的许多内容充满了用来表达各种数学规律的模型，如数列、代数式、方程、函数、不等式、图形等均蕴含一定规律，这无疑要学生通过探索才能发现其规律。这类问题一般是从特殊到一般，再到一般，观察它们的共同特征，猜想得出规律。学生在经历探索事物的数量关系、变化的过程中发现数学规律，拓宽了思维空间与知识空间，开启了智慧之门。

4．1探索数式所蕴含的规律

数式蕴含着什么的规律，通过探索才能发现其规律．关键要指导学生观察、分析、比较、抓住数式的共同特征，探索它们之间的相互关系，进而归纳、猜想得到规律。

例7请同学们先验证下列各个等式是否成立。

(1)；(2)；(3)；

(4)；…通过验证，你能发现什么规律呢？并用字母表示这一规律.

在上述各式中，根号“”像一个“牢笼”，它把数、式关在里面，使它们与“牢笼”外的数、式不能直接运算，给化简、合并带来障碍．但是，经过验算可以发现，上述各式中的整数部分可以冲出“牢笼”。于是，引导学生探索：

(1)是否任何一个分数开平方，整数部分都可以冲出“牢笼”呢？

(2)还有那些带分数开平方(或开立方…)，整数部分都可以冲出“牢笼”呢？

学生进行探索、试算、体验，进而观察分子、分母的特点，从而可以猜想得到：；

还可以引导学生进一步猜想出更一般的规律：.

这样，学生通过观察、猜想、类比、交流、归纳、证明等探索过程中获得成功的体验，进一步认识和理解数学探究的一般性方法。

4．2探索图形蕴含的规律

新教材编排（搭建、摆放、拼、铺设等）许多计数图形（案）均蕴含某种规律，也是近年中考试题的一个亮点，而且给学生提供了很好的探索素材。让学生探索一组图形变化所反映的规律，使学生经历观察、分析、探索、猜测、验证等发现探索过程，学会“问题——探索——发现——推广”的探索模式，从中让学生“悟出”道理、规律和思考方法等，能有效地提高学生分析解决问题的能力和探索能力。

例8某餐厅按下图方式摆放餐桌和椅子：

（1）1张餐桌可坐6人，2张餐桌可坐人。

（2）请你摆出5张餐桌的图形，6张餐桌呢？各能坐多少人？

（3）观察、分析、探索图中表示的人数是怎样随餐桌的变化而变化的，你发现什么规律？请写出n张这样摆放的餐桌可以坐的人数。

（4）如果按这种方式摆放100张餐桌，一共可以坐多少人？

这样，教师以数学规律的发生、发展的过程为主线，结合学生的认知特点，不断设置问题，激发学生的好奇心和探索欲望，能让学生变被动接受为主动探究，富有个性地自我建构，从而挣脱思维定势的束缚，激发自身的学习潜能。

多年的教学实践证明，数学课堂开展探索学习活动，还必须结合学生的知识水平创设探索性问题情景进行，只有这样，才能保证学生学习探索的可持续发展。