高中数学阅读与思考栏目教学探讨

摘要：高中数学教材中设有“阅读与思考”栏目，它是教材主体内容的延续和拓广，根植于学生知识的最近发展区，对开阔学生的思路，培养学生的阅读能力、创新能力都有很大的帮助。本文就“阅读与思考”栏目的教学目标、教学方式、教学手段进行探索。

关键词：阅读与思考；统计应用；教学设计

1引言

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：“高中数学教学以发展学生数学学科素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展。……不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。”［1］为了应对考试，一线数学常态课教学往往偏重于讲和练，这就导致大部分学生的主动阅读、自主学习和独立思考能力逐年下降。人民教育出版社依据课程标准编写的A版教材中增加了“阅读思考”“探究发现”“数学写作”“信息技术”等栏目，旨在改善这一教学现象。2006年版数学教材和2019年版数学教材（《数学》（必修第二册）、《数学》（选择性必修第三册））均设置了24个“阅读与思考”栏目，但后者在内容上做了较大调整，这24个学习材料大致可分为四类：丰富知识，开阔视野型，如《向量及向量符号的由来》；激发兴趣，提升思维型，如《对数的发明h爱国主义教育型，如《海伦与秦九韶》；拓宽知识，提升能力型，如《如何得到敏感性问题的诚实反应》。“阅读与思考”栏目作为教材正文内容的补充，为学生提供了选学素材。它篇幅短、内容新、阅读性强，集知识性、科学性、趣味性、教育性于一体，且根植于学生知识与能力的最近发展区，能很好地激发学生学习数学的兴趣，增强其应用数学的能力，进而提高学生的修养。

2教学设计

下面笔者以2019版《数学》（必修第二册）第208页“阅读与思考”栏目中《统计学在军事中的应用——二战时德国坦克总量的估计问题》为例，设计“阅读与思考”栏目的教学。材料1：俗话说，知己知彼方能百战百胜。在第二次世界大战期间，德国制造坦克的技术非常先进，坦克的大量使用使纳粹德国占据了战场主动权。因此，了解德军坦克的生产能力对盟军具有重要的战略意义。为此，除了通过常规情报收集信息外，盟军请来了统计学家参与情报的收集和分析工作。根据德国战后公布的生产记录显示，运用统计方法估计的结果与真实值非常接近，而通过常规情报进行的估计则与真实值相去甚远。表1是二战期间的三个月中，德国记录的生产坦克的数目和情报估计统计估计的坦克数量。统计估计有如此高的精确度，统计学家是怎样做到的？原来，盟军在缴获的德军坦克上发现了一个重要的线索——每辆坦克上都有一个独一无二的发动机序列号。据分析，序列号前面6位表示生产的年月，最后4位是按生产顺序从1开始的连续编号。统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法进行推断的。假设德军某月生产的坦克总数为JV，缴获的该月生产的n辆坦克的编号从小到大为X，，x2，…，，即最大编号为且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的。因为生产的坦克是连续编号的，所以缴获坦克的编号为工I，＾2，…，A相当于从［1，N］中随机抽取了》个整数。这n个数将区间［0，N］分成《＋1个小区间（如图1）。由于JV是未知的，除了最右边的区间外，其他《个区间都是已知的。由于这〃个数是随机抽取的，所以可以用前H个区间的平均长度＆估计所有n＋1个区间的平均长度71｜，进而得到N的估计值。例如，缴获坦克的编号71十1A，解得N＝15。当年，统计学家就是利用上述奇妙的方法估计出德军每月生产的坦克数。教师可设计如下问题引导学生思考。问题1：这种估计方法的统计学原理是什么？用样本估计总体。在搅拌均匀的总体中，每个个体被抽到的概率相等，随机抽取的样本近似地满足均匀分布。由于战争的需要，德国兵工厂每月生产的所有坦克都会按编号分成不同的批次，然后再输送到各地的战场投入战斗，相当于把样本总体进行分层。而各战场缴获的坦克编号类似于分层抽样的样本，因此，可以用样本的平均间隔来估计总体各层的平均间隔，从而估计出总体的个数。问题2：如果用样本编号的平均数作为每月生产坦克编号的平均数，与前面的方法相比，哪种方法更合理？用样本编号的平均数f＝5．75作为每月生产坦克编号的平均数，显然是不合理的。因为，虽然平均数涵盖了所有数据的信息，是这组数据的“中心”，但极端值对平均数的影响很大，即样本中的最大数A和总体中的最大数对各自的平均数影响较大。问題3：这种估计方法有什么现实应用？常用于搜集商业或军事中的数据情报。如：参考活动方案：先从鱼塘中捕捞50条这种鱼作记号，然后放回池塘。经过一段时间，等带记号的鱼完全混于鱼群中之后，再第二次捕捞这种鱼200条（捕捞鱼的数量尽量多些，越多预测结果越准确），找出其中作记号的鱼的条数《，则鱼塘中这种鱼的数目约为50＋。如果教学活动就此戛然而止，则师生都会感到意犹未尽，而且学生的兴趣和能力很难得到充分的发展，因此，教学时可以做如下拓展。材料2：2019版《数学》（必修第二册）第258页习题10．3第3题。在英语中不同字母出现的频率彼此不同且相差很大，但同一个字母的使用频率相当稳定。有人统计了40多万个单词中5个元音字母的使用频率，结果如表2所示：问题4：在每天都在增加的浩瀚文字中，某个元音字母出现的频率真是确定的吗？请你参与下面的实践活动：自主活动2：请三位学生统计髙中英语课文《雾都孤儿》（原著节选）中元音字母“e”出现的频率。某学习小组的统计结果：总字母数2685个，其中有309个e，出现频率为11．51％，接近于正常频率，但偏少，这也恰好反映了狄更斯独特的写作习惯。结论：当统计的字数不断增加，统计的次数越来越多时，就会发现这些字母的出现频率相当稳定。因为每一个样本（一篇文章）都由具有相似的元音字母构成，汇成庞大的文字总体后，元音字母就具有动态和稳定二象性，所以可以用样本去估计总体。问题S：你想了解自己的书面写作习惯吗？可以尝试下面的实践活动。自主活动3：请两位学生将自己考试作文中的“的”“了”出现的频率统计出来。学生1：总字数为794＋834＝1628，有16＋13＝29个“的”，0＋1＝1个“了”。“的”字出现的频率为1．8％，“了”字出现的频率为0．06％。学生2：总字数573＋826＝1399，有31＋30＝61个“的”，2＋7＝9个“了”。“的”字出现的频率为4．36％，“了”字出现的频率为0．64％。结论：上述结果说明对某个特定的人而言，他在写作时使用助词有固定的习惯。材料3：在实际生活中随机找一个数，这个数是1开头（说明：0．1也算是1开头）的概率是多少？某银行1〇〇〇名储户的存款金额的首位数字是1的概率是多少？一般，人们的回答是但实际上概率是lg2，约30．1％，如图2。这很令人费解，数学是不是在故弄玄虚？但它确实是这样，这就是首位数定理，也叫作本福特定律。它的数学表述为：在6进位制的数中，以数n（l＜W＜6l）起头的数出现的概率为l〇g6（／z＋l）l〇g6？。它的适用范围非常广泛，几乎所有日常生活中非人为规则的统计数据都满足这个定律。比如，世界各国人口数量、各国国土面积、账本上的数据、物理、化学中的常数等都符合本福特定律。审计学家依据这一定律发现了2004年美国总统选举中佛罗里达州的投票欺诈行为、2001年著名的“美国最大的能源交易商安然公司做假账案”等。审计人员发现，安然公司在2000年到2001年所公布的每股盈利数字不符合本福特定律，这证明了安然公司的高层领导可能改动过这些数据。自主活动4：请同学们阅读嘉言先生的网络文章《怎样通过概率，快速看出财务造假》和美国作家威廉？庞德斯通的《如何成为超级预测者》，并回答下面的问题：问题6：（1）小组合作，列举身边的一些数据，验证本福特定律；（2）你能否将本福特定律的内容及成因简明扼要地分享给你的同学、朋友和父母？（3）举例说明本福特定律在什么情况下不成立；你们班级某次考试的数学成绩符合本福特定律吗？为什么？问题7：通过本次“阅读与思考”的学习，你有什么收获？

3教学反思

如何开展“阅读与思考”栏目的教学工作，是新教材实施过程中的一个新课题，值得教师做深入的探索和尝试。通过上面的教学案例可以总结出“阅读与思考”栏目的基本教学策略。（1）因生施教。“阅读与思考”栏目是教材的内容，理应开展相应的教学活动。但怎样教，教学的深度如何把控呢？首先，“阅读与思考”的“教”，非以往的“教”，其核心是通过学生自主阅读唤醒学生临渊羡鱼之意，激发学生退而结网之志；其次，可以根据学生的基础和兴趣做出不同层次的目标要求，重在探究过程，不过度关注最终思考成果的层次。（2）因材施教。根据“阅读与思考”栏目内容的不同采用灵活的教学方式。如，自学交流式——学生先自学后集中讨论交流；学生讲座式——由某个学习小组准备材料，再从中选出一人主讲；自主探究式——以个人或小组的形式对材料内容进行证明和拓展；实验式——通过实际操作增强感性认识；等等。（3）择时而学。这部分内容的学习主要放在数学课堂之外，鼓励有兴趣的学生利用研究性学习课、自习课、课外活动自主探究，但也要有具体的学习计划安排，并在每个时间节点进行检查落实；同时，作为一个专题活动，时间也不要限制在一两次活动课内完成，可以给学生设定一个时间相对宽裕的环境，在切磋、探索、交流中完成。（4）贵在得法。“阅读与思考”栏目的学习可分为两个阶段：先是读，目的是培养学生的自学能力，个别不懂之处可以请教教师；后是思考，“学而不思则罔”，读懂了不是目的，应用、思考、探索，开阔视野，拓宽思维，用材料作为“酵母”让学习“发酵”，才是栏目设置的初衷和教学的出发点。教学形式也要打破教师讲学生听的模式，教师可以提供素材和思路，让学生去查数据、做实验，自主学习、分组讨论，以活动为学习的主线，重在激发学生学习的主动性和热情，让学生体会发现、创造的快乐，在潜移默化中提升素养。“阅读与思考”栏目对教师的知识结构提出了新要求，如果教师只是简单地布置学生去阅读，那么学生很难有深层次的思考。因此，教师要认真研究“阅读与思考”栏目的内容，准确定位“阅读与思考”的目标主体和方式，广泛搜集与内容匹配的各种素材，挖掘它们之间的内在联系和思维共性，做出髙屋建瓴的指导，促进学生创新意识和思维的养成。教师还要不断地更新知识储备，以应对学生提出的各种问题。这种备课模式是新课标对教师提出的新要求、新挑战。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］．北京：人民教育出版社，2020．

作者：李兵 单位：山东淄博实验中学