离散数学十篇

离散数学篇1

众所周知，高等数学有大家公认的经典和传统的教材，即使版本不同，内容也大同小异，而离散数学一般是学校根据自己专业的培养目标和方向自行定制教材，内容的侧重点也不尽相同，但无论哪一种教材，都会包括四部分内容：数理逻辑、集合论、代数系统和图论，这其实是数学专业需要分开学习的四门课程，相对比较枯燥，离散数学教材将这些放在一起，每一部分都介绍了与计算机技术相关的内容，不像数学专业学的深入，但涉及的面很广，对学生而言非常困难。和高等数学比较，由于学生从中学开始就接触函数，因此高等数学课程的入门相对容易，课程前后的内容联系紧密，开始学习时学生感觉不会太困难。但离散数学不同，学生以前基本没有接触过相关的知识，并且内容前后之间又没有必然的联系（充分体现了离散性），学习后面的经常忘记前面的，这就给学生的学习制造了很多的麻烦，他们普遍认为离散数学不好学，甚至有个别学生最后只能放弃。俗话说，兴趣是最好的老师，鉴于以上这些原因，本文根据这四部分内容，谈谈如何在课堂教学中提高学生的学习兴趣。

1 数理逻辑之趣

逻辑学简单地讲，就是研究推理的学科，数理逻辑也不例外，它是运用一套符号体系加上一些规则，研究我们生活中的一切与推理有关的问题，这不就让课堂生动起来了吗？比如生活中有这样的叙述：“情况并非如此，如果他不来，那么我也不去。”这句话如果说给外国人听，他们一定会觉得云山雾罩的，即便是中国人自己，能够理解清楚也不是很容易吧，到底是他来或不来，我去还是不去呢？现在我们用数理逻辑的理论去研究，看看到底说的什么意思？设P表示“他来”，Q表示“我去”，这句话翻译成逻辑语言是：（P？邛Q），利用推理规则得到与之等价的命题P∧Q，再将其还原回生活语言就是“他没来，但我去了”，如此之简单，学生恍然大悟，马上会兴趣倍增的。再有，课堂上如果让学生分析下面这段程序，结果会怎样呢？“If A then if B then X else Y else if B then X else Y”，就是对计算机专业的学生而言，理解程序的条件和结论也不容易吧，但程序肯定是正确的，计算机也是可以执行的，现在让我们用数理逻辑理论化简一下吧。执行X的条件：（A∧B）∨（A∧B），化简后等价于B；执行Y的条件：（A∧B）∨（A∧B），化简后等价于B，结果出乎人们的意料，A在程序中根本没起作用，纯属捣乱而已，此程序实际可以简化为：“If B then X else Y”。如此好玩的问题，与日常生活和学生的专业又有密切的联系，我们可以想象一下，学生学习起来会多么高兴，又怎么会在课堂上睡觉呢？

2 集合关系之趣

在生活中，存在着各式各样的关系，如父子关系、夫妻关系、朋友关系、上下级关系等等，这些关系看起来各不相同，但很多关系却可以用数学思想抽象出它们共同的性质。离散数学集合论部分涉及到的就是研究各种各样的关系，如等价关系、序关系等等，研究这些关系，也是非常有趣的事情。比如利用“同姓”关系，可以将人群分类：{张}、{王}、{李}、{欧阳}、{诸葛}……等等，如果要研究同一姓氏的人有什么共同特征时，可以分别从不同的姓氏集合中，任取一个人进行研究，这个人可以作为每一类姓氏人群的代表，他有的特征和他同类的人都有；再比如平常说的“家族”关系，可以理解为集合中的复合关系，如果R是“父子”关系，S是“兄弟”关系，那么RR表示“祖孙”关系、 SR表示“伯侄”关系等等，只要将条件设计好，红楼梦中的林黛玉和王熙凤之间的关系也可以用数学语言表示出来。事实上，生活中的所有关系都是可以用数学符号描绘出来的，这方面可以引导学生自己去探索，以便提高他们的学习兴趣。

3 代数系统之趣

代数系统是离散数学中最抽象的一部分，它在数学学科中属于抽象代数的内容，怎样用生活中有趣的例子解释、描述抽象的概念，是课堂教学需要认真研究的问题之一。事实上，在集合中定义运算，是构成代数系统的关键，而运算就是函数，比如一台自动售货机，它接受人民币，吐出各种商品，“两个一元对应一瓶橙汁，一个一元和一个二元对应一瓶可乐，两个二元对应一个冰淇淋”等等，这就是运算，如果再对运算要求具有封闭性，就构成了代数系统。再如定义代数系统的幺元和零元时，可以用“洗衣”的例子说明，用洗衣机洗衣服时，浅色和浅色混洗后，衣服还是浅色；浅色和深色混洗后，衣服变成了深色；深色和深色混洗后，衣服还是深色，可以令S={浅色，深色}，“*”代表“洗衣”这种运算，那么对于代数系统而言，“浅色”是系统的幺元；、“深色”是系统的零元，让学生想象浅色和深色的特征，就可以充分理解幺元和零元的概念了。还有，群的概念在代数系统中非常典型和重要，不了解群就等于没有学过代数系统，那么群到底有什么，换句话说，我们熟悉的什么样的事物可以是群呢？从群的概念考虑，群中对所定义的运算要有幺元，每一个元素还要有逆元，假设定义的运算是“加法”，幺元一定是0，那么每个元素的逆元应该是其相反数，也就是说，它的相反数也必须是集合中的元素，故集合必须是关于0对称的（对加法运算），由此得到，整数集合上定义加法运算构成群；实数集合上定义加法运算也构成群；但非负有理数上定义加法运算就不会构成群了，一句话，构成群的集合一定是对称的（关于运算），这时可以提问：如果换成乘法运算，什么样的集合对乘法运算构成群呢？这样的分析一环扣一环，让学生跟着教师的思路去思考，既有趣又有成就感，而且又将概念讲解的非常到位，学生怎么会不喜欢这样的课堂呢？

4 图论之趣

离散数学篇2

1.1教学内容改革

1.1.1精选部分章节详细讲解我认为应该详细讲述数理逻辑、集合论、图论三大部分，数理逻辑部分主要讲述命题逻辑推理的形式规则，学好此章节有利于培养学生的推理能力，此部分内容广泛应用于人工智能之中，早期的智能系统主要应用的是数理逻辑中的推理规则，将自然语言进行符号化，而语言的符号化就是数理逻辑部分要研究的内容。集合论中有一部分关于集合方面的知识，学生在高中的时候已经接触过，所以不用对此部分进行深入教学，但是集合论中有一部分关于二元论的知识，二元论知识是数据库知识的基础，关系数据库的逻辑结构是由行和列构成的二维表，表之间的操作需要用到离散数学中的笛卡尔积的知识。图论是数据结构的基础，如数据结构中的线性表、栈、队列等都要用到图论的知识，数据结构中的一些算法也会用到此部分的知识，如求最小生成树，最短路程，二叉树的遍历等，同时图论也可以应用到计算机网络中，如求节点间最短路径。所以我认为应在众多的内容之中，重点掌握这三部分知识，让学生在短课时深入理解这三部分内容。其余部分的内容，如果学生在以后的学习与研究中需要利用到离散数学中的知识，就可以再对其他部分的内容进行深入学习与研究。

1.2.2增加实验教学内容目前大多数院校的离散数学教学都是采用纯理论上课的形式，很少有实验部分，从而导致学生认为此门课程无关紧要。为了改变学生的这种错误认识，我认为可以在离散数学的教学中增加实验内容。计算机专业的大一学生已经开始学习C语言课程，有了一定的编程基础，可以设计一些与离散数学有关的题让学生进行编程实现。命题逻辑部分涉及公式的判定类型，可以让学生编写程序实现公式的判定算法；图论中涉及最短路径，可以让学生编写求带权最短路径算法；二元关系中关系的性质具有自反、反自反、对称、反对称、传递五种关系，可以让学生尝试通过编程实现判定关系的算法。通过实验部分增强学生的动手能力，不但可以让学生对所学的内容理解得更好，而且可以让学生将理论与实践相结合学有所用，更与我们院校朝应用型转型相符合。

1.2教学方法改革

为了达到改变学生对待离散数学的错误态度，培养出具有创新能力的学生，我认为很有必要对教学方法进行改革，引导学生自主学习，培养学生的自学能力，达到最终的教学目的。

1.2.1趣味教学教师是教学的主导者，对教学起着重要作用。由于离散数学是一门偏数学的教学，难免会有些枯燥，学生的兴趣度不是很高，因此如果教师能在教学过程中做到幽默风趣，给学生在传授知识的同时，能够把有些同生活密切相关的知识讲得生动具体形象，从而提高学生的学习热情。数理逻辑部分中的命题逻辑部分的知识就有很多和生活密切相关，在讲课的时候，可以告诉学生，我们在生活中每天都会涉及推理，我们判定他人讲的话是真是假的过程，其实就是一个推理的过程。判定一个人是否成熟、讲话是否经过深思熟虑，也可以从他讲话的严谨程度进行判断，这还是一个推理的过程。同时可以告诉学生逻辑推理在我们的公务员考试行政职业能力与测验中经常要用到，如果有对考取公务员感兴趣的同学能深入学习和理解这部分内容，对逻辑推理部分有很大的帮助，从而提高学生对此门课程的关注度。教师在教学过程中应该展现自己的个人魅力，让学生喜爱教师的讲话风格、教态等，从而提高学生的学习兴趣。

1.2.2板书与多媒体相结合目前高校教学普遍采用多媒体进行教学，利用PPT教学可以节约板书时间，更高效地进行教学，但是离散数学与其他学科相比有自己的特点，定理多、概念多、推理多，如果完全采用多媒体教学，则学生难以跟上老师的思路。建议定理和推理采用板书形式，一步一步进行演算，帮助学生理解。一些概念和定义采用多媒体教学，节约板书时间。同时对于一些难以理解的内容如图论中求最短路径可以采用动画的形式进行演示，使其更形象、具体，提高学生的学习热情。

1.3教学手段改革

鉴于离散数学课程不易理解、比较难学的特点，因此我们有必要改革教学手段，使得离散数学的教学更具体形象，让学生更易理解所讲内容，提高学生的学习热情。当今是互联网时代，大家都可以利用网络获取信息资源。建设一个离散数学学习网站，可以帮助学生利用课余时间学习。此网站可上传教师的教学视频，学生可以在课余时间根据自己的学习情况进行有针对性的学习，同时教师也可以将课后习题上传到网站上供大家练习，管理员给每个学生分配一个账号，让学生进行登录观看教学视频、做习题、建立讨论区共同学习探讨，也可以在留言板上给教师留言，等待教师就相关问题作出回答。同时在网站上把离散数学中的一些比较经典的算法和方法，鼓励学生编程实现，学生可以上传其实现的算法，供大家共同学习和探讨，提高大家的动手能力，这也是和目前院校转型为应用型本科是相符合的。通过网络这样一个平台，在课余时间增加同学、师生之间的交流和互动，带动学生学习。

2结语

离散数学篇3

一、引言

《离散数学》、《数据结构》均为计算机专业的必修课程。

《离散数学》是研究离散量的结构和相互关系的学科，内容包括：集合论、数理逻辑、代数结构、图论及递归关系等。作为计算机专业的一门核心基础课，它不仅在后续课程（如：数据结构、数据库原理、编译原理等）中有广泛的应用，而且对培养学生的严格逻辑推理、抽象思维能力有十分重要的作用。

《数据结构》则研究如何组织各种数据在计算机中的存储、传递和转换，内容包括：数组、链接表、栈和队列、递归、树与森林、图、堆与优先级队列、集合与搜索结构、排序、索引与散列结构等。课程采用面向对象的观点讨论数据结构技术，并以兼有面向过程和面向对象双重特色的C++语言作为算法的描述工具，强化数据结构基本知识和面向对象程序设计基本能力的双基训练，为后续计算机专业课程的学习打下坚实的基础。

在计算机专业的人才培养方案中，一般将《离散数学》与《数据结构》分设成两门课程先后开设，依次分配大约72学时、96学时或其他不等。

二、问题的提出

一般认为：《离散数学》为《数据结构》的先导课程。培养计划中预期：前者对后者的学习有比较大的、直接的帮助。但是，现实情况往往是：

《离散数学》概念多而抽象，教师在教学中往往会非常注重理论知识的讲解，而忽略了应用；学生在学习中往往看不到《离散数学》在计算机学科中的具体应用，学习积极性也不高，学生普遍认为：《离散数学》抽象、难、没用。

后续的《数据结构》除了具有一定的抽象性之外，还需要一定的实践。由于学生对前面所学的《离散数学》的知识已部分淡忘，加之《离散数学》教学时重视理论、忽略应用，容易导致：《数据结构》课堂教学中应用《离散数学》知识之时，学生的知识衔接出现结构性断裂（注：学习时注重的是抽象的理论、要用的是理论在实践中的应用，结构上必然难以衔接）、学生理解困难、严重影响教学进度。换言之，学完《离散数学》，并不能如预期地对《数据结构》的学习有很大的帮助。

造成学生理解困难、影响课堂教学进度的另外一个因素是：《离散数学》教学中严格的逻辑推理能力和抽象思维能力的训练也没有达到应有的程度。究其原因，不难发现：在人才培养方案中，很多学校普遍压缩了基础课程的学时数。这两门课程，各自的课时都非常紧张，严格的训练自然难有时间保证。

为了使学生有可堪持续学习的基础，势必要求任教这两门课程的教师在有限的课时内高质量地完成教学内容。为此，教师们一直在进行各种各样的教学改革：或从培养应用型人才的角度，将内容减缩到“够用”的程度、或从如何提高学生的学习效率着手―采用启发式等教学方式、或者组织分层教学，等等，各自取得了可资借鉴的经验。

毫无疑问：《离散数学》、《数据结构》之间有着深刻的内在联系、有不少内容甚至是重叠交叉的。而上述这些改革往往是立足于单独的课程，而并未曾涉及两门课程之间的关联，这样不仅不利于学生的理解吸收，也在一定程度上容易造成理论与实践割裂，同时又带来一定的学时浪费。

三、协同教学

针对上述现象，根据以往的经验，同时基于这两门课程之间的内在联系，借鉴“协同教学”形态，提出如下的解决思路：打破这两门课程之间的壁垒，将这两门课程合成为一个整体开设，充分考虑其教学内容及思想上的协同，制定交叉的教学计划，并进行实践尝试。

1.协同教学

“协同教学是指由两个或两个以上的教师及教学助理人员以一种专业的关系，组成教学团队，彼此分工合作，共同策划和执行某一单元、某一领域或主题教学活动的一种教学形态”。其起源于1950年左右的美国，现代教育理念把协同教学分成以下几种实践模式：

典型模式：教学团队全体成员共同对教学内容的设计和呈现、反馈和成绩评定负责。

支持模式：教学团队的全体成员共同设计教学内容，共同负责成绩评定，但轮流呈现适合于他们个人专长的教学材料。

平行模式：合作教师共同设计教学内容和教学过程，但分别对同班级两个小组进行教学。

嘉宾模式：教师之一作为主持人单独对内容设计和成绩评定负责，但定期邀请专门人士作为嘉宾合作者参与呈现。

2.协同教学在国内

缘于对教师的专业及知识面等要求较为苛刻，该模式一般在中学采用较多，在大学则较少。国内进行这种模式教学的非常少，只有极个别的学校就高等数学和大学物理课程的教学进行过类似的尝试，采用的方式是由同一位教师同时讲授高等数学和大学物理。

3.协同教学实践的原则

联合安排《离散数学》与《数据结构》课程的教学内容顺序、统筹同一知识主体在两门课程之间的分配，突出强调课程之间的联系与沟通，以突破课程之间壁垒而不改变各自的特色与主线索。遵循教学协同的“有序性、协调性、互趋性和渗透性”原则。

在此原则下，采用协同教学的支持模式和平行模式进行：合作教师共同设计教学内容和教学过程，根据教学内容安排，适时轮流安排适合于个人专长的独立的课堂教学。

四、教学计划及比较

以基本的教学内容（《离散数学》72、《数据结构》96学时）为例，比较单独开设两门课程的教学计划与协同教学的教学计划。

表1：独立的教学计划

表2：协同教学计划

比较表格1、2，不难看出：

①《离散数学》、《数据结构》确实有交叉重叠的内容：仅考虑图论（含树和森林、几类特殊图）、递归部分，《数据结构》中重叠的内容大约有30个学时，约占整个讲授学时的三分之一。

②按照协同教学计划，讲授学时为114，比分为两门课程的总讲授学时136减少了22学时.总学时减少了30学时。

五、实验教学及体会

实验在我校12级计算机本科班级中选一个班级进行，《离散数学》、《数据结构》的内容分别由两位协作良好的教师执教，而且：这两位教师对对方每次课程的教学内容都很清楚，并每周进行教学交流。《离散数学》占78学时，《数据结构》占60学时。

协同教学实验并非简单地将重叠内容取消、课程交叉讲授，任课教师（尤其是执教《离散数学》的教师）要积极贯彻“互趋性、渗透性”原则，在课堂教学中随时注意相互补充、相互支撑，以帮助学生较为轻松地完善对各个知识点的知识构建过程。比如：《离散数学》引入概念、例题时援用《数据结构》中的问题，把《数据结构》中问题的解决方法变为《离散数学》讲授中的例题。

离散数学篇4

关键词：计算机科学；离散数学；应用分析

之前是以微积分连续数学作为时代主流，随着科学技术的不断发展和计算机技术的广泛应用，离散数学逐渐出现在人们视野范围内并被重新认知。离散数学课程教学中所阐述的数学思想和数学学习方法被应用到计算机技术中并起到关键性作用。本文针对计算机离散数学发展现抓，对计算机科学中离散数学的应用进行具体分析和阐述，希望为我国计算机事业领域的发展的贡献出一份力量。

1.计算机科学中离散数学在关系数据库中的应用要点分析

1.1数据子语言

众所周知，我们通常所说的数据子语言就是关系数据库当中相应数据管理系统为计算机用户提供有利的数据库语言。而数据子语言以关系代数作为主要表示手段，其中谓词逻辑也是数据子语言表达的一种表达形式。上述内容主要是由数学方法进行详细阐述，并在此过程中使语言研究信息为关系代数研究以及相关逻辑谓词研究提供有利契机。

1.2笛卡儿积原理

因为在数据库子语言中会运用到数学表示方法，并且数学表示方法会使关系数据库条件变得更为优越，所以关系数据库的发展已是当前计算机信息时代中一种必然发展趋势。另外需要提到的一点是，离散数学学科中的笛卡儿积原理是一种较为正规的纯数学理论，并且迪卡儿积原理也是研究关系数据库系统中的一种极为重要的使用方法，其不可替代性是毋庸置疑的。

笛卡儿积可以为离散数学提供数学理论以及数学方法上的支持，更为重要的却是其也在一定程度上推动了数据库技术的研究以及数据库技术的发展等。此时相应关系数据模型是建立在有关集合代数基础之上的，且关系数据模型中的数据逻辑结构是由二维表来进行数据模型关系具体描述，而二维表则是由行和列进行表格组成。图为笛卡儿积关系代数运算示意：

图1 笛卡儿积关系代数运算示意图

各个实体集中域之间的可能性条件关系确定数据查询和各集中域域表结构设计维护功能以及各实体集中域件关系操作数据关系分析三者的查询实现与维护功能关系分解等问题都是由二元关系理论进行具体解决的。

2.离散数学在相关数据结构中具体应用要点分析

2.1数据结构知识应用

要想使得计算机正常平稳运行并能够合理解决其中要点问题，首先要做到的一点就是应该合理应用数据结构知识。而在处理问题信息数据问题的过程中，我们应从具体问题中进行详细数学模型抽取，之后在此基础上设计出能够解答数学模型问题的相应算法，只有这样才能对最后程序进行科学合理编排并能够通过测试环节以及调整环节等得到最后答案。

2.2数据模型选取

在对数据模型进行选取的过程其实质上就是对数据结构内容进行具体研究的一个过程，而对数据结构模型进行分析才是其中重点，从实质问题中进行操作对象提取并找出各个对象之间所包括的关系用数学语言对操作对象进行细节描述。我们通常所说的操作对象被相应数据结构将其关系分为四个种类，具体包含集合结构、线性结构和树形结构以及网状结构等。对数据库进行研究的过程中其内容主要包括数据逻辑结构和数据物理存数结构以及数据基本运算操作流程等。广义来讲，数据逻辑结构式数据结构操作对象中的重点针对环节，数据逻辑结构和数据基本运算流程二者操作方法是由离散数学理论中的数学离散结构来决定的。

2.3离散数学具体结构中结构知识要点

离散数学集合论、离散数学关系和离散数学图论以及离散数学树集体反映出了离散数学具体结构中的结构知识要点。最为重要的一点就是，离散数学集合元素组成中其元素实际上其是指较为客观的具体事物，离散数学关系则是指所集合各个离散数学元素之间所存在的一种特定关系。离散数学图论中的大多数古老题目还被现代离散数学所应用。离散数学树则是以反映事物对象关系为主的，离散数学树模型是组织结构图和二进制编码工作工程中主要模型基础，只有依照相应离散数学树型理论才能在一定程度上完备相应结构模型。

3.离散数学在社会编译原理中的相关应用要点分析

3.1编译系统程序

一般而言，编译系统程序中的计算机操作流程相对较为复杂，常用编译程序一般分为语法分析编译程序、中间代码生成编译程序和词法编译分析程序以及语义分析编译程序四种主要类型。需要提到的是，代码优化编译程序和错误检查处理编译程序以及目标代码生成编译程序等都是计算机编译程序中的重要组成部分。图为编译原理结构图示意：

图2 编译原理结构图示意

3.2文法计算模型

文法计算模型和有限状态机计算模型以及图灵机计算模型是离散数学计算模型中的主要模型讲解章节，而计算模型知识则是由语言识别知识、有限状态机知识、图灵机知识和语言知识以及文法知识等。短衣结构文法是按照相应生产类型来进行具体结构分类的，一般分为0型文法、1型文法和2型文法以及3型文法。综上所述，在运用上述知识点进行编译原理语法分析的过程中皆会起到关键性作用，所以我们应该了解到，要想对编译原理进行深入学习探究就必须对离散数学知识进行整体掌握。

结束语

综上所述，在我们进行语言程序设计、编译技术和数据结构以及相应算法设计分析时都会运用到离散数学。对离散数学进行具体学习，可以在对离散数学基本机构以及离散数据基本学习方法掌握的同时也可以为相应后续课程学习创造有利学习条件。其在关系数据库中和数据库结构中以及编译原理中都有着重要应用，本文根据离散数学在多个技术领域中的应用要点进行分析和阐述，希望为离散数学的探究和发展提供一些合理化建议。

参考文献

[1]王静.离散数学教学中关于命题符号化问题的讨论[J].科技信息（科学教研）.2008（25）

离散数学篇5

关键词：离散数学；概念；实例；教学方法

离散数学(Discrete Mathematics)，又称为离散数学结构(Discrete Mathematical Structures)，是现代数学的重要分支，整个计算机学科的专业基础课[1-2]，同时也是信息类专业的重要专业课程。离散数学属于专业数学的范畴，研究离散量的结构和相互间的关系， 充分描述了计算机科学离散性的特点。计算机求解的基本模式是：实际问题 Þ 数学建模 Þ 算法设计 Þ 编程实现。离散数学识培养学生运用离散结构作为问题的抽象模型，进而构造算法，解决问题。

1课程特点与教学难点

离散数学的课程内容高度抽象，并且强调证明问题。它的大多数应用来自于计算机科学，学习该课程的学生超过半数来自计算机专业。课程的特点决定了离散数学是一门既讲究基础理论，又注重实际应用的学科。课程特点如下，同时也是教学的难点[3-7]。

1) 内容抽象，概念众多。

离散数学使用数学化的表达方式，理论性强，逻辑严密。对于学生而言，从习惯其表达方式到熟练运用要经历一个较长的过程。离散数学理论表达的基础是大量严密的概念，对概念的理解程度决定了对课程内容的理解程度。大量抽象的概念也是学生学习的主要困难。往往在授课过程中，学生反映对以前的概念不理解，对新学的知识难以接受。学生感觉离散数学越学越难，理论在不断加深。因此要重视对概念的教学。

2) 在后续课程中应用多。

离散数学是计算机学科的专业基础课，所以教学安排在大学低年级，大部分高校从二年级开始离散数学的教学。虽然离散数学在很多后续专业课中有广泛应用，但是在学习离散数学的时候，大部分专业课尚未开课，所以部分学生对离散数学的应用认识不足，学习兴趣不高。因此在离散数学的教学，要特别强调其实际应用性，对抽象的知识要通过实例来具体化，让学生真正看到离散数学在计算机科学中的具体应用。

针对离散数学的基础概念众多而且抽象的特点，为了解决学生因为概念掌握不深入和缺乏实际应用带来的学习困难，我们特别侧重概念教学和应用引入，提出了以实例增强概念理解的教学方法。

2实例化概念教学方法

离散数学的教学目的是提高学生对实际问题的数学本质的表达能力，增强解决实际问题的综合能力。为了克服教学中理论和实际应用结合的困难，既要注重对理论进行细致分析，又要注重引入实际应用。在教学中，如果教师能够对基础概念做重点讲解，使得学生具备建模的基本能力，并通过实例进行强化，那么就能有效地提高教学效果。为了达到上述目标，我们着重对概念的教学进行挖掘，提出了“用实例增强概念理解”的教学方法。该教学法的主要出发点是让学生了解理论如何应用，提高学习兴趣。通过具体实例让基本概念立体化和实用化，强化具体理论细节，通过前后概念的比较形成知识的网络化。

2.1介绍应用背景，提高学生兴趣

在我们对学生的问卷调查中发现，学生对离散数学学习兴趣不高的原因之一是对实际应用背景不够明确。没有相关实际背景的概念仅意味着数学符号，印象不够深刻。针对这个问题，我们认为孤立引入概念的教学形式，不能提高学生的兴趣，不利于理论知识和实际应用的结合。在引入新概念的时候，应该首先介绍其应用背景，让学生对将要学习的知识有直观的认识。

图论是结合实际应用最多的一部分内容，课本中对相关内容的实际应用背景介绍比较丰富。例如哥尼斯堡七桥问题引出了图论的起源，通过漫游问题引出欧拉图和汉密尔顿图，通过地图着色直接介绍着色问题等。因此学生能从课本上了解图论的一些实际应用。在图论的教学中，在介绍完相关概念后，多引入实际问题，引导学生利用图论的知识进行建模，锻炼抽取实际问题的数学实质的能力。

又如，函数是离散数学中集合论的内容。虽然高等数学中也学习过函数，但是离散数学中介绍的函数更加抽象，覆盖面更广。由于这个特点，大部分学生感觉其理论性强，对函数应用的理解不够深入。实际上，函数在计算机科学中非常重要而且应用十分广泛，在课堂教学中应该向学生介绍这部分内容。例如，假设计算机需要存储查询大量的数据，则要确定每个数据的位置。通常，我们建立从存储表到数据编码的散列函数，用到最多的就是模n函数。散列函数在密码学中也被经常使用，如产生数字指纹和其他一些电子资源来验证消息的真实性等。在教学中，通过一些实例建立学生对抽象内容的理解，提高学生的学习兴趣。

2.2讲解新概念，注重老概念

虽然各个概念在教科书中独立出现，但其内容彼此关联。如果在教学中单独讲解新概念，而没有建立新概念与已学知识的联系，那么对学生而言，这些知识点就是一些孤立的片断，无法深入理解其内容。所以在讲解新概念的时候，要加强与已学概念的比较，让学生建立理论体系的完整印象。

例如，“等价”这个概念在数理逻辑和集合论中都出现过，两者本质相同，而定义的方法不一样，教材中没有把这两者联系起来讲解，大部分学生将其视为完全不同的概念。在讲课的过程中，我们通过前后概念的比较和联系，可以对“等价”进行更深入的分析。

数理逻辑研究两个命题公式的等价。“给定两个命题公式 A 和 B，设P1，P2，…， Pn为所有出现于 A 和 B 中的命题变元，若对于P1，P2，…，Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，则称 A和B等价，记作 AÛB。”集合论中考虑等价关系。“设R为定义在集合A上的一个关系，若R是自反的，对称的和传递的，则R称为等价关系。若∈R，称 x 等价于y，记做 x~y。”学习完等价关系，我们可以在更广义的集合关系范畴内讨论逻辑等价。设R为定义在所有命题公式集合上的关系，∈R当且仅当PÛQ，P，Q为逻辑公式，则很容易验证R是一个等价关系，P~Q。通过这样的比较教学，将数理逻辑和集合论中的两处概念联系在一起讨论，让学生加深了对等价的理论认识，同时也巩固了通过定义关系来讨论问题的方法。

2.3选择实例来阐述概念的理论细节和实际应用

一个新概念的引入，意味着可以用这个新概念来表达实际事物的数学实质，并通过这个新概念来延展对具体问题的建模手段。因此，我们在讲解离散数学中的概念时，不但要阐明其基本含义，更要引导学生使用离散数学的概念来表达实际问题，并从应用中掌握概念定义的具体细节。

以集合论中的二元关系为例。“A和B是任意两个集合，A×B的子集 R 称作A到B的二元关系。 A=B时称R为 A上的二元关系。”这个关系概念确定了A到B的关系R中元素的表达形式：序偶，其中 x∈A，y∈B。对于A上的二元关系，x，y∈A。这里集合A和序偶都是一般性的定义，根据具体问题会有不同的表达形式。在讲课的时候，可以举不同的例子，与学生展开论述具体的表达形式。例如，定义在复数集C上的关系R1，其序偶∈R1，x∈C，y∈C，序偶的具体表达形式可以写成, a, b, c, d∈R。定义在A×A上的关系R2，那么其序偶∈R2，x∈A×A，y∈A×A，序偶的具体表达形式可以写成，u, v, m, n∈A。介绍了上述两种具体关系后，那么考虑计算机中常见的字符串的处理，让学生写出定义在长度为n的字符串集合上的关系R的表达形式，以加深理解。通过对二元关系概念的展开讲解，学生能够较好地掌握如何表达具体的关系，为后续分析问题解决问题打下良好的基础。

2.4实例的选择要切合理论要点，体现实际应用

在讲课时，我们通过实例来加深学生对概念的理解，锻炼学生对问题的数学本质的表达能力。选择合适的实例是实现这一教学目的重要保证。实例要切合概念的理论要点，最好是有实际应用背景，能够通过概念来构造这个实例的数学模型。

在集合论中关系的闭包运算，尤其是传递闭包，在实际中有广泛应用。教科书在介绍这个概念的时候只给出了理论定义，没有给出实际应用的例子。为了加深学生的理解，我们在讲传递闭包之前，增加了通讯网络的应用例子。通讯网络是重要的实际应用模型，其中的一个问题即确定网中两个结点是否相连。

这里，结点相连的问题可以分为两类：第一类是结点直接相连，第二类是结点不直接相连但是经过中间结点相连接。我们可以把通讯网络的连接问题作为关系来处理。回顾已经学过的关系表示方式，无论是集合表示法，关系图，还是关系矩阵，都只能表述第一类结点间的信息，如果需要查找第二类结点，必须经过多步运算来得到结果，从应用的角度来看不够便捷。传递闭包的引入可以解决这个问题。通过这个例子，学生能够更深入理解选择不同关系表达方式的便捷程度，了解传递闭包的具体应用。在接下来介绍闭包运算和性质时，同学们带着问题学习，自然会提高兴趣。

3结语

离散数学的实际教学中往往难以把握如何结合理论与应用的问题。我们通过“用实例增强概念理解”的教学方法，学生通过学习概念背景进一步理解含义，提高数学建模的能力。在对实际问题的建模过程中，学生将自然地使用离散数学的相关概念和理论，对高年级的专业课程学习，起到了很好的促进作用。实际教学效果表明，实例化概念教学方法能有效帮助学生理解抽象概念，同时锻炼了学生把握问题的数学实质的能力，加强了解决实际问题的能力，

参考文献：

[1] 耿素云,屈婉玲,王捍贫. 离散数学教程[M]. 北京:北京大学出版社,2001:1-20.

[2] Kenneth H. Rosen. 离散数学及其应用[M]. 北京:机械工业出版社,2007:1-5.

[3] 廖伟志,李文敬,王汝凉. 基于培养学生计算思维的任务驱动式“离散数学”教学模式研究[J]. 计算机教育,2009(21):93-95.

[4] 王元元,陈卫卫,贺汛. 离散数学数理逻辑教学中值得关注的几个问题[J]. 计算机教育,2009(16):136-138.

[5] 文海英,廖瑞华,魏大宽. 离散数学课程教学改革探索与实践[J]. 计算机教育,2010 (6):100-103.

[6] 费文龙,吕红. 提高“离散数学”课程教学质量的探索[J]. 计算机教育,2008(24):140-141.

[7] 钟敏,时念云. 改革课程实验,提高离散数学教学质量[J]. 计算机教育,2008(18):29-30.

Enhancing Comprehension of Concepts via Real Examples in Discrete Mathematics

MA Hui, SHENG Yanxiu, XU Jianliang, LIU Yinjian

(College of Information Science and Technology, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

离散数学篇6

关键词：高职院校；离散数学；教学改革；实施方法

《离散数学》是近年来产生的一门新课程，它是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中专业基础理论的核心课程，它是以研究离散量的结构和相互关系为主要目标，主要介绍离散数学的各个分支的基本概念、基本理论和基本方法，给后继课程如数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等专业课程提供必要的数学基础。同时，该课程所提供的训练十分有益于培养学生的概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力，培养学生逐步增强如何实施“科学理论—技术—生产力”转化的观念和方法，提高学生利用数学方法解决问题的技能，提高学生在知识经济时代中的适应能力。因此，离散数学在计算机科学与技术中的地位如同微积分在物理学和工程技术中的地位一样重要，它为计算机科学与技术的发展奠定了重要的数学基础，对学生后续课程的学习和毕业以后的科学研究和实践有重要意义。

《离散数学》教学现状分析

离散数学是建立在大量定义上的逻辑推理学科，该课程具有“概念多、内容散、理论强且高度抽象”的特点，因而对概念的理解是我们学习这门学科的核心。离散数学中的定义非常抽象，初学者往往不能在脑海中建立起它们与现实世界中客观事物的联系，所以对于初学者来说学习离散数学确实比较困难。而且高职院校学生的数学基础薄弱，离散数学内容太散，学习时对内容的深浅难以把握。学生学习该门课程之后反映，一是抓不住知识的内在联系，不知道哪里是重点；二是对书上的例题一看就懂，但自己拿到题以后却不知从何处下手，没有解题思路；三是知道解题的大致思路，但不了解解题的规范与要求，不会表达，解答出来常常是漏洞百出，因而导致学生学习该门课程的兴趣不高，教学效果不理想。因此，如何组织课堂教学，挖掘学生的学习兴趣，充分调动学生的学习积极性，对于提高离散数学课程的教学水平和质量，为学生后续课程的学习和今后科学研究具有重要的意义。

以“三用”为原则，组织课堂教学

以“够用”为度，精选教学内容离散数学包括数理逻辑、集合论、代数结构、图论、组合分析初步和形式语言与自动机初步。本课程课堂教学中，应以“够用”为度，精选教学内容。由于高职院校学生的数学基础都比较薄弱，对于一些定理的证明都缺乏基本理论基础，学习起来比较困难，因此在教学中应淡化某些理论性的证明，注重介绍理论在实际中的应用。比如包含排斥定理，在课堂教学中一般只用文氏图形象地说明，不必做数学上的证明，只具体讲述该定理在实际生活中的应用。再如，在讲授图论这一章时，没有必要对欧拉图和哈密顿图存在的条件做详细的证明，只需对它们的实际应用做详细的介绍。另外，由于该门课程概念多，因此在课堂教学中，应通过多举例的方式让学生理解概念。如对极小项的概念阐述得很长，学生理解比较困难，因此，课堂教学时只需举例，让学生判断哪个是极小项就可以让学生对极小项的定义有深刻的印象。所以对于高职学生来说，精选教学内容是很必要的。

以“实用”为主，紧扣专业大量计算机专业课中都会用到离散数学的基础知识，教师必须了解离散数学这门课程与其他课程之间的关联，以及这门课程在整个计算机学科体系中的地位。如离散数学中的数理逻辑部分在计算机硬件设计中的应用尤为突出，我们可以用数学的方法来解决电路设计问题，使得整个设计过程变得更加直观，更加系统化；集合论为数据结构和算法分析奠定了数学基础，也为许多问题从算法角度如何加以解决提供了进行抽象和描述的一些重要方法，在软件工程和数据库中也会用到；代数结构的方法被广泛应用于许多分支学科，如可计算性与计算复杂性、形式语言与自动机、密码学、网络与通信理论、程序理论和形式语义学等，格与布尔代数理论成为电子计算机硬件设计和通讯系统设计中的重要工具；图论对开关理论与逻辑设计、计算机制图、操作系统、程序设计语言的编译系统以及信息的组织与检索起重要作用，其平面图、树的研究对集成电路的布线、网络线路的铺设、网络信息流量的分析等具有重要的实用价值。总而言之，离散数学提供的营养滋补了计算机科学的众多领域，学好了离散数学就等于掌握了一把开启计算机科学之门的钥匙.

以“应用”为目的，注意学生解决问题能力的培养学生在学习该课程时，往往看不到离散数学的知识在计算机科学中的具体应用，不重视离散数学的学习。在该课程课堂教学过程中可以帮助学生了解离散数学在相关专业课中的基础地位和重要性，可多讲解一些这方面的例子。如，命题逻辑知识在组合逻辑电路设计中的应用，在课堂教学中，可以采纳下面的例子达到很好的教学效果：设计一种保密锁的控制电路，锁上共有三个按钮a，b，c，当三个按钮同时按下，或只有a，b钮按下，或只有a，b中之一按下时，锁被打开，该控制电路的路线图怎样？在该问题中，如附加一个报警装置的控制电路，当出现不符上述开锁信号时，电铃报警，该控制电路的路线图怎样？通过这个例子，学生利用命题逻辑知识解决实际问题，帮助学生了解命题逻辑知识在相关专业课中的基础地位和重要性，从而体现出离散数学的作用。作为教师应多学习了解计算机其他专业课的内容，从中找到能应用离散数学的知识解决的实际问题，避免课堂的教学讲授陷入枯燥的泥潭。

改革教学方法，提高课堂教学质量

离散数学是由计算机科学与工程实践中所需要的数学理论和方法所组成，概念多、理论性强、高度抽象。因此在课堂讲授中不应依旧从理论到理论，从抽象到抽象。本课程课堂教学要突破传统数学教学思想方法与内容，弱化教学内容体系的系统性与严密性，强调在任务中学习的教育理念，以学习项目为驱动，以实际问题为导入，以学生应用为主题，突出应用能力的培养。

选取典型案例进行说明课堂教学中注意选取典型的案例来说明抽象的理论知识，使学生在轻松愉快的情境中领悟离散数学的精髓，达到对理论知识的真正理解。如讲授代数系统中的布尔代数时，为培养学生灵活运用布尔代数解决实际问题的能力，可根据教学内容设计出“每天教学安排问题”、“比赛名次问题”和“出国留学问题”等三个教学案例，以真实案例为切入点，通过分析讨论，给学生以强烈的印象，加深对所学知识的理解。

选取学生感兴趣的理论知识学生最感兴趣的理论知识与实际的项目相结合，如在设备更新的最优设计问题教学中，以如何制定设备更新计划，使某单位五年内购置新设备和维修旧设备的费用最少为工作任务。要求学生围绕该工作任务去收集数据和信息、完成优化指标的设计、实施对应优化指标下的设计方案并对该方案给出合理的评价。以实际工作任务为教学项目，绝大部分教学内容围绕完成工作任务的过程组织，突出知识的应用性，引导学生自主思考，训练学生的数学应用意识以及跨专业组织知识的综合能力。

采取多种形式的教学方法课堂教学中也可采用其他的教学方法，如在讲授中国邮路问题时，制作一个邮递员送报的flash情景动画，通过采用案例、情景引导学生思考问题，进而寻求具体邮路问题的解法。也可以利用离散数学中的一些富于历史趣味的故事或富于启发性的问题加以介绍，比如图论中的七桥问题、邮递员问题、四色问题、周游世界问题等。比如在代数系统中介绍凯撒密码、棋盘密码、维吉尼亚密码、爱尼格玛、数字水印等。还可以介绍数学家的生平事迹如图灵、欧拉、狄克斯特拉等。离散数学中的典故，典型实例，历史人物这些有趣的内容可激发学生的学习兴趣，让学生享受学习的乐趣，提高课堂教学质量。

解决实际问题，注重学生创新能力的培养

从当今社会发展和人才需求的角度来看，社会对人才的评价标准发生了变化，不但要求知识渊博，而且要求具备创新意识、创新能力。兴趣、情感、求知欲、积极性和主动性是帮助学生形成与发展创造性思维能力的重要条件，但是它们不会自动涌现，这需要教师在课堂教学中注重学生创新能力的培养。

采取灵活多变的教学方式启发学生学习兴趣灵活多变的课堂教学方法是培养学生创新能力的崭新途径，教师从课堂教学中启发学生学习的兴趣。教师要采用灵活多变的教学方法，创设情境，着力营造一种轻松愉快的学习氛围，从而培养学生的学习兴趣和热情，用妙趣横生的数学问题吸引学生去思考、去探索、去创新。

掌握学生心理启发学生学习兴趣利用“学生希望解决未知的、力所能及的问题”的心理处理课本的例题、习题、专业课中的案例、项目，发挥智力，深入挖掘创新素材和其潜在功能，培养学生的创新兴趣。如代数系统中可以布置关于密码方面的案例，要求学生进行破译。这样引发学生浓厚的学习兴趣和求知欲，自觉地去学习、解决和创新。

注重人文内容和精神启发学生学习兴趣课堂教学是一个启发、培养学生创造意识的重要场所，教师不能满足于具体的学科知识，还要揭示知识背后所凝结的历史、观念、方法、精神等，特别是其中的人文内容和创造精神，以及科学史上创新过程的介绍，使得课堂教学成为“多维营养”的源泉，利用离散数学中历史人物、典型实例、数学中的美（简洁美、形式美、方法美、抽象美等）给学生强烈的感知，引发学生不断探索的欲望，驱动他们创新，维持长久的创新兴趣。

运用发散性思维方式启发学生学习兴趣离散数学中的一些概念、公式、定理，或因内容相似相近，或因形式相似相近，易造成混淆，在教学中，要积极运用对比分析教学，促使学生在错综复杂的事物联系中发现问题的实质，学会客观地评价事物，加深对事物本质的理解。因此，教师在课堂教学中要从知识的顺延、从属、引申、互逆、相似等方面考虑和发掘类比因素，进行类比创新，培养学生思维的灵活性。

教学有法，教无定法。教学是一门艺术，教学过程对学生和教师来说都是一种享受，教师在教学过程中传授知识、培养能力，学生在学习过程中获得知识并使自己的能力得以提高。愿每一位数学教师都成为优秀的厨师，奉献给学生每一顿都饱含营养的美味大餐。

参考文献：

[1]屈婉林，耿素云．离散数学[m]．高等教育出版社，2006.

离散数学篇7

《离散数学》是研究离散结构和离散数量关系的数学分支的统称。它是计算机专业基础理论的核心课程，也是培养学生素质的核心课程，在计算机硬件和软件系统的设计和开发中有着广泛的应用和指导作用。在计算机科学中，离散数学有两个主要用途：一是描述计算机科学理论、方法和技术的主要工具，为理论计算机科学提供坚实的基础；二是为形式描述技术奠定数学基础，而形式描述技术则是描述和验证计算机系统的数学表示方法。因此，学好《离散数学》对计算机后续专业课程的学习有着举足轻重的作用。

然而，离散数学存在概念多、理论性强、抽象程度高等特点，现有的教学现状并不令人感到满意，不少学生错误地认为离散数学对计算机学科没有直接的指导作用和应用领域，学习积极性不高，对这门课程产生厌学情绪。因此，为了激发学生的学习积极性，让学生深刻体会到离散数学在计算机科学中的密切关系，本文将结合多年的教学实践，对《离散数学》课程教学中应用结构化教学、趣味性教学和应用型教学相结合的多元教学方法进行研究探讨，以期待取得更好的教学效果，提高课程的整体教学质量。

一、结构化教学

由于离散数学理论性强、概念抽象、定理繁多，在教学中应该注意引导学生层层递进地将分散的知识形成清晰完整的知识结构，在学习每块知识的时候可以适当采用结构化的教学方法。结构化教学方法首先要求教师从宏观的角度弄清整部教材的重点、难点以及各部分之间的联系。其次，要求教师明确知识的来龙去脉，在弄清各知识模块和知识点间联系的基础上，抓住主要的、本质的东西，静态(组成成分)和动态(运算、操作、推理)相结合地组织教学内容。最后，结构化教学方法能把教学内容及知识间的关系用“结构图”展示出来，以突出其基本结构，确保学生能学到主要的且富有连动性的基础知识。

例如，在命题逻辑“范式”这节，主合取范式和主吸取范式的求解过程是比较复杂的一个过程，涉及的概念多，有文字、简单析取式和简单合取式、极大项和极小项等。另外，合取范式并不一定是主合取范式，析取范式也并不一定是主析取范式，对于一个命题逻辑公式，它的合取范式和析取范式的形式可以是不唯一的，而主合取范式和主析取范式是唯一的。在实际教学中，在开始介绍这节前，可概括给出“范式”节知识结构图（如图1），让学生明白这么多概念之间的一个关系，以及最终要求解得到主合取范式和主析取范式是图1中从左到右的动态求解过程。

图1“范式”节知识结构图

二、趣味性教学

子曰：知之者不如好之者，好之者不如乐之者。在教学过程中应注重学生学习兴趣的培养，充分调动学生的积极性，发挥学生的主观能动性。结合离散数学知识在计算机专业中的应用，对《离散数学》中的一些知识点富于历史趣味的故事或启发性的问题加以介绍。例如，在介绍图论的几种特殊图的时候，特殊图包括了二部图、欧拉图、哈密顿图和平面图四种，教师可以相对应引入介绍任务分配问题、中国邮路问题、货郎担问题和地图着色问题（如图2）。每个问题的介绍不必全面和深入，而是侧重讲解它们的趣味性和启发性。结合这些经典的故事和应用，立即调动了学生的学习兴趣和积极性。

图2“图论”中“几种特殊的图”

三、应用型教学

在离散数学教学过程中，根据不同的知识点，给学生分析和讲解《离散数学》在计算机科学中的重要作用。离散数学的应用型教学是提高离散数学教学质量的重要手段，也是离散数学教学质量不可缺少的组成部分。建立完善的课程重要知识点案例体系，设计与开发一个课程案例展示系统（如图3），具体包括每个典型概念和理论的原理、例子、程序展示以及算法分析，然后在课堂运用此展示系统，从提高实际应用能力和课程兴趣度的角度对学生展开教学。在讲解理论的同时，注重其实际应用案例的分析与计算机算法的描述，通过把“基础实验、提高实验和综合实验”这三个层次的案例、课外研究课题等纳入课程教学内容，优化课内、强化课外，努力提高学生的综合能力。同时强调学生主动查阅文献、阅读大量与课程教学内容相关的参考资料，以培养学生掌握学科最新发展动态和开拓知识的能力。

图3课程实践案例展示系统

社会对大学毕业生的需求是全面的、复合的，是理论和实践的统一，是思维能力和动手能力的融合，是应用能力训练与创新活动的融合，只注重学习理论已经无法适应社会要求。这种融实践训练与创新活动于一体的教学活动为学生提供了自由发挥的空间，让学生成为活动的主体，可以提高学生学习自主性与积极性，消除学生对离散数学的消极性，发挥学生的创造性，培养创新能力。在学习离散数学的同时，又加强和提高学生的c和c++语言编程基础，巩固c和c++的编程能力，同时又为后继专业课程的学习打下良好的基础。

四、结束语

离散数学篇8

关键词 广谱哲学

离散数学

新视角

从一定的意义上说，广谱哲学的数学基础是离散数学，包括集合论、近世代数、图论、形式语言、自动机理论、范畴与函子理论等，但它又不是离散数学的简单应用，而是根据哲学的性质和特点，从新的视角对离散数学进行了深入的挖掘、拓展、赋予新的含义乃至于做了部分新的改造和制作，因而使离散数学具有了许多新质的特征。本文只从三个方面予以探讨。

一、哲学对象的视角：在离散数学的基本概念前加上“哲学对象的”定语，以此显化和模拟单纯数学观点下掩盖的哲学机理。

单纯数学的观点是把离散数学的概念、模型和方法看成是纯数学的对象，它们从数学的例子中抽象出来，再回到数学的例子中去。例如集合的概念从数学对象（如各种数系、无穷大量等）中抽象出来，集合的研究（集合的基数、势、幂、运算等）又回到这些对象中去。又如代数结构乃至于一般数学结构的概念起源于数学的对象（如代数方程可解性研究、数系封闭性研究、次序关系研究等），又回到这些对象中去。因此在一系列数学概念，如集合、关系、映射、 结构、状态等等之前是暗中加上了“作为数学对象的”定语的，这至少是离散数学研究的主流，正如人们公认的“集合论是全部数学的基础一样。尽管一些离散数学教科书为了通俗解释的必要，也偶尔列举个别非数学对象的例子，以说明某些离散数学的基本概念，但从来没有把这些基本概念当作具有一般事物机理意义的概念，更没有把它们看作是适用于哲学对象的概念。

应该肯定，这种做法从纯数学的角度上看没有什么错。但从另一个角度上看，能够作为“全部数学基础”的东西一定隐藏着比全部数学对象的内容更高一级的东西、能容纳更广泛的内容。这在逻辑上没有什么问题，一般来源于特殊，但一般决不等于各个特殊的简单求和。因此，从单纯数学的观点看待离散数学的基本概念隐藏着一个危险，即有可能限制了这些基本概念的应用范围，掩盖了可能容纳的广泛内容。广谱哲学正是从这样的角度来看待离散数学的基本概念的。

在广谱哲学的视野中，离散数学的基本概念，像集合、集合间的各种关系、性质（等价、半等价等），抽象的直积空间、映射、多元关系、结构、同态、同构等是适合于哲学对象的，即适合于描述任意的事物和一般事物机理的，而且经过某种改造或转化，可以用来描述辩证的机制（辩证的矛盾、对立面的转化、量变与质变等等）

例如，相交的运算不仅可以获得两个事物集中共同拥有的事物，而且当A和B是代表事物的不同性质类时， 就是事物 从一种性质类到另一种性质类转化时的过渡区。由此自然知道，若事物由 变到 ，且 （空集），则意味着某一事物在运动变化过程中发生了性质上的转变（质变）。

又如，在广谱哲学的视野中，映射 不仅是像源集 与像集 的单值对应，而且可以表示认识论意义上的主体对客体的反映（反映方式是 ）及能动反映（取决于 的多种形式及其选择）过程，这时由该映射诱导的等价关系 （通常定义为 所导致的双射 便可模拟人们从“观察窗口” （其中 ）反向单值地观察到子集 的过程。而由所有的观察方式 做成的集合 不仅反映了人们对事物的认识存在许多的观察、控制模式，而且可以据此引出对哲学本体论、哲学认识论等极有创新价值的多叶客观性定理。

应该指出，在离散数学的基本概念前加上“哲学对象”的定语，并不是广谱哲学的硬性指派或“强词夺理”，根源在于离散数学（至少其基础理论部分）已经抽象到这样的高度，以至于只要满足几条“公理”便可以“填进”任何内容。这正如中国古典诗词“格律体”一样，满足它们的平仄规则和对仗等规定便可以“填词”。，诚如大数学家希尔伯特所说“可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面”，这正是现代公理化、形式化方法潜在的巨大威力。广谱哲学不过是在形式化方法下的一般数学形式中找回与它相应的一般哲学内容罢了。如果离散数学本身没有抽象到这样的高度，而是像传统数学那样以纯粹的数量关系和直观的空间形式为对象（如解析几何、微积分、线性代数、数理方程等），那是无论如何都不能冠以“哲学对象”的定语的。

还应该指出的是，由于离散数学在公理化、形式化意义上的抽象性，使它在人文社会科学领域也得到了越来越多的应用和渗透，例如在经济学、心理学等领域。但后者与广谱哲学的视角不同，它们只是按照从一般到特殊的逻辑去论证与整理各学科的材料，而没有在“哲学对象”的层面上去理解离散数学的基本概念，没有把这些数学对象看成是与哲学机理相应相称的对象，更谈不到依据哲学的性质和特点去改进它们。

最后，广谱哲学对离散数学的基本概念之所以持有“哲学对象”的视角，也是唯物主义原则的一种应用。唯物主义认为任何观念的东西(数学概念亦不例外)不外是客观存在的反映。因此，广谱哲学极力追寻数学概念背后隐藏的一般事物机理就是毫不奇怪的了。

转贴于 二、动态流变的视角：引入真实的时间变量，在流变中考察离散数学的基本概念，使固定的、静态的数学框架成为流动的、变化的框架。

离散数学一般不研究客观世界的演变过程，它是从静态结构的角度刻划各类研究对象。例如，集合这个概念就是一个相对静态的、既存事物的整体，通常记为 （当 从1到无穷时， 便是无穷集合）。尽管这里的“既存事物” 除了现存事物外，还可以包括按一定必然性将要出现的事物（例如， 是星球演化诸阶段各种形态的全体组成的集合，或 是按一定概率出现的事件全体的集合），但一旦成为集合，它就把一个动态对象变成了一个静态的对象，或者把过程变为一个个离散的结果。

又如，半序结构（ ≤），其中半序关系“≤”满足自返性、反对称性和传递性，这里没有引入时间、环境等可变因素，那么，一种半序结构形成之后不再发生变化了吗？例如雇佣关系、控制关系、领导与被领导关系等都是半序结构，那么，这些关系是凝固不变的吗？显然不是，现实的客观世界是处处流变的，是按时间之矢展开为一个过程的。因此，广谱哲学在诸多基本数学概念中引入了时间概念，以描述各种集合、关系和结构的变化过程。

举个简单而富有启发性的例子。人们知道，等价关系 是满足自返性、对称性和传递性的序偶的集合，用等价关系可以对任何事物集 进行分类 ，其中 。为了描述等价关系对于研究事物流变的意义，广谱哲学引入了时间参量，提出了自等价的概念。所谓自等价就是自我等价，即在时间的推移中事物自己与自己等价。也就是说，随着时间的推移，一个对象事物可以经历种种变化，但可能有某些基本的性态（如性质、状态、结构、序关系等）保持不变，这时就称该事物相对于这些性态是自等价的。用数学形式表示，就是考虑事物的变域 （ 为时间参量集）， 为变域 上的某种等价关系，若在 的某个区间 内， 就称事物 对于 是自等价的。由于这种自等价性反映了事物在流变中的稳定性，因而又可引出 —自稳性等概念，由此可导出一系列用于研究事物、系统演化的重要结论。

广谱哲学对于离散数学中的自同构、自同态等概念也有类似的理解（它们可以看成是自等价概念的特殊情形）。例如，自同构是事物系统在时间推移中广义结构的不变性，而自同态则是事物系统在时间推移中基本特征的不变性。这些概念都可以成为观察、描述和分析任意对象事物的演化、稳定与控制问题的有力工具。例如，无论是资本主义国家还是社会主义国家、统治阶级对起主导作用的基本经济制度、基本政治制度、基本意识形态等都力图保持其稳定性，如果把它们抽象为一定的主序结构，那么，这就是一个主序结构的自同构或自同态问题。

显然，广谱哲学在离散数学的基本概念中引入时间参量，不是从纯数学的角度考虑的，而是从真实的客观世界的实际中考虑的，也是辩证法和辩证逻辑的一个必然要求。例如，在这一视角下，像上面所谈的等价性、同构性、同态性就不仅仅反映了不同事物之间的有差异的同一性，而且反映了同一事物在前后相继的状态改变中流变的同一性。熟悉列宁《哲学笔记》的读者应该知道，这是辩证逻辑的一个极好的应用例证。

三、反面转化的视角：显化或引入一定的数学程序，使不同的集合、关系和结构互相转化。

从广谱哲学的观点上看，离散数学中的一些重要概念和关系已经涉及到了“向对立面的转化”或“向自己的反面的转化”，只是传统的数学观没有这样看问题，具有不自觉性。例如，反序同构的概念，事实上是通过同构对应这一条件，实现了序与反序的对立面转化。如果把序关系理解为一种广泛存在于客观世界中的反对称关系，诸如统治关系、专政关系、矛盾的主次关系等等，那么，序与反序的转化就意味着事物性质的蜕变，是一事物向他事物的转化，因而是事物质变的一种典型形式。从这一观点看问题，则自对偶同构的概念就意味着同一事物在流变过程中自己向自己的对立面转化。例如，前苏联和东欧社会主义国家蜕变为资本主义国家，不管具体原因和内外条件如何，其实质都是主导序（统治与被统治，专政与被专政等）的自对偶同构，是社会主义国家向着自己的对立面——资本主义国家的转化。

广谱哲学的反面转化观点，不仅揭示了离散数学中一系列的对立统一关系(类似的有反序同态、自对偶同态、商集的内外转化等等)，而且开发了若干新的转化形式，诸如广谱演化论的同类变与异类变，广谱阴阳论的阴阳主序互转等等。这里我们只考察一个极简单的关系转化的例子，以了解广谱哲学令人惊奇的思维方式。

人们知道，集合的属于关系和包含关系是两种最基本、最简单的关系，但性质不同。属于关系 是元素 对集合 的关系，而包含关系 是子集 对母集 的部分对整体的关系。在广谱哲学看来，若 表示a是区域 中的一个点子，这时点子 相对于区域 而言相当于一个黑箱，即点子内部的信息是屏蔽的。但表达式 表示 是A的一个子集，表明 有可分辨的结构，相当于 是白箱或灰箱。譬如若A是一个平面区域，则 是平面上的部分区域。这样一来，一个对象事物 对于某一集合是属于关系还是包含关系就转化为人们视野中的黑箱和白箱（或灰箱）的关系，因而具有了对立面的性质。这样一种奇特的视角自然会引发这两种关系如何发生对立面转化的新思路。

不难设想，如果有某种机制 ，使 ，则表示 是对 的某种白箱化或灰箱化，使 由不可观测（内部信息）变为可观测（部分信息）。反之，若有另一种机制 ，使 ，则表示 是对A的黑箱化、“点子”化，使a由可观测变为不可观测。举个通俗的例子，假定 是某一个大城市的建筑布局， 表示这个城市的一部分（部分建筑布局或一个区域），则P-1是表示飞机上升到足够的高度后乘客对 的大范围投影，这时 ，即该城市（ ）被充分缩小（ ），而该城市的一部分 被龟缩成该城市的一个点子 。反之，若P是表示飞机下降到足够的高度后乘客对 的观察，则 ，即该城市（ ）被充分放大（ ），而其中的一个“点子” 被放大成该城市的一个区域 。

显然，在这里关键是转化条件（机制 或 ）如何数学地构造出来。对不同的问题，p或p-1有不同的表现形式。在广谱哲学中，从不同的观察水平上探讨“有”与“无”的相互转化，可观性与不可观性的互相转化等，都属于上面思路的具体应用。

综上所述，广谱哲学对离散数学的新视角，不仅使我们对离散数学的理解大大超出了纯数学的范围（已扩展到一般事物机理和哲学对象的范围），而且也使我们对离散数学的理解超出了静态的结构分析的范围，即使我们能够从动态流变的、辩证转化的角度深化和拓展离散数学框架的意义，从而在一定的意义上，促使离散数学成为适用于充分广泛知识谱系（包括哲学谱系）的、具有“无限变化玄机”的数学模式。当然，本文的分析还仅仅是初步的，但我们相信，广谱哲学的这种新的研究方式，将为开发离散数学、对离散数学在更大范围内的应用打开一个新的局面。

参 考 文 献

[1]张玉祥，关于广义数学观的探索，《华北水利水电学院学报》（自然版），1994年第1期。

[2]张玉祥《广谱哲学探索》，中国经济出版社，1998年版。

离散数学篇9

引言

离散数学是以研究离散量的结构和相互关系的学科，它在计算机理论研究及软、硬件开发的各个领域都有着广泛的应用[1]。作为计算机专业的一门核心基础课，它不仅在后续课程，如数据结构、数据库原理、编译原理等课程中有广泛的应用，而且对培养学生的严格逻辑推理、抽象思维能力有十分重要的作用[2]。

离散数学概念多而抽象，教师在教学中往往会非常注重理论知识的讲解，而忽略了应用；学生在学习中往往看不到离散数学的知识在计算机学科中的具体应用，学习积极性也不高。另外，在人才培养方案的制定过程中，各个学校普遍压缩了专业课程的学时数。以笔者所在学校为例，以前离散数学有64课时，从2008级开始已压缩为48课时。课时非常紧张，教师需要在有限的课时内高质量地完成教学内容，而如何提高学生的学习效率成为教学改革的关键。

近年来，针对离散数学课程教学现状，许多教师都在进行各种各样的教学改革[3,4]。本文结合笔者的教学体会，提出了轻理论重应用，从数学思想的高度整合课程内容，充分利用课程教学平台，适当介绍数学史等教学改革措施。

1 注重概念的理解与掌握，重视应用

1.1 案例教学，注重概念的理解

现行的大多数离散数学教材，主要是从纯数学理论角度讲授基本内容，这不利于学生的理解和掌握。离散数学中有很多定义、定理和规则，而课本的描述往往比较难懂。很多学生习惯于死记硬背数学概念，很容易产生枯燥和畏难情绪。因此，在教学过程中，教师要注重引导学生对问题的完整理解，而不是只告诉学生结论。教师可以选取典型案例来说明抽象的理论知识，或者改用比较通俗的语言来描述抽象的概念，使学生在轻松愉快的情境中理解离散数学的理论知识，下面用几个例子来说明。

例如本文由收集整理，对于关系的对称与反对称的性质，课文的定义如下：

在实际讲解时，教师如果能从学生身边的例子出发，再抽象出基本概念，学生就会对这些概念有更深刻的理解。比如，教师举例说班级里的同学关系是对称的，然后提问学生家庭里的父子关系是对称关系吗·学生一听这例子，就哈哈大笑，他们马上明白父子关系是反对称的关系。随后学生就可以举出许多例子，直线的平行关系是对称的，数的整除关系是反对称的。于是在教师引导下，学生参与对这些例子的关系图进行分析，一起得出以下利用关系图来判断关系性质的结果：

结论1 若g是关系r的关系图，假如g的不同顶点之间有边，若全是双向边，则关系r是对称的；若全是单向边，则关系r是反对称的；假如g的不同顶点之间没有边，则关系r既是对称也是反对称的。

在讲解三个特殊关系时，教师可以以班级学生为例，学生就不难理解特殊关系的相关定义了。

离散数学课堂教学要突破传统数学教学思想方法，弱化教学内容体系的系统性与严密性。以实际问题为导入，以学生应用为主题，突出应用能力的培养。在教学过程中，应穿插介绍一些知识点在计算机科学中的应用，将之与离散数学理论结合介绍给学生，使学生重视这一课程的学习，产生学习兴趣，主动地进行学习。

该课程命题逻辑公式的等值演算和主合（析）取范式是教学重点，前者在开关电路中可以化简电路，后者在逻辑设计方面有广泛的应用。

例2 学校要安排课表，教语言课的教师希望将课程安排在第一或第三节，教数学课的教师希望将课程安排在第二或第三节，教原理课的教师希望将课程安排在第一或第二节。试问该如何安排课表，使得三位教师都满意·

解：设l1，l2，l3，分别表示语言课排在第一、第二、第三节，设m1，m2，m3分别表示数学课排在第一、第二、第三节，设p1，p2，p3分别表示原理课排在第一、第二、第三节。于是三位教师都满意的条件是：

于是，或为真，从而可得两种不同的课程表排法。

另外，在讲授平面图时，教师可以介绍平面图在染色问题、集成电路等方面的应用。在讲授代数系统时，教师可以布置关于密码方面的案例，要求学生进行破译。教师可以布置课程大作业，要求学生围绕离散数学在计算机科学中的应用撰写课程论文，这不但会培养学生基本的论文写作规范和综合素质，更重要的是，能引起学生浓厚的学习兴趣和求知欲，使他们自觉地去学习、解决问题和创新。

2 “化零为整”，从数学思想的高度整合课程内容

离散数学主要包括数理逻辑、集合与关系、函数与映射、代数结构和图论等教学内容。这些内容从表面上看，内容多且散，不同教材对这些章节的次序安排也各有不同。但通过归纳可以发现，离散数学是以集合、映射、运算和关系为主线，各章节内容联系紧密，具有较强的逻辑性。所以教师要引导学生理清各章节之间的联系，提高学习效率。

2.1 集合公式是数理逻辑公式在集合论中的应用

显然逻辑公式的合取运算在集合论中表现为求交集的运算。同理逻辑公式的析取和求非的运算在集合论中分别表现为求并集和求补集的运算。至于特殊公式0和1，在集合论里分别表现为空集和全集。因此集合恒等式是命题逻辑等值式在集合论中的应用。

由于学生对集合公式比较熟悉，而且公式直观易懂，因此学生可以通过集合公式来记忆数理逻辑公式。

2.2 图的同构就是两代数系统同构的特例

尽管实际教学中不要求学生利用代数系统的同构来判别图的同构，但是教师应该从理论的高度向学生介绍图同构就是代数系统同构在图论中的应用。

类似的例子还有许多，这里不再一一赘述。

3 充分利用网络教学平台，增加师生互动

3.1 教学手段现代化

在离散数学教学中，适当利用多媒体教学，能使课堂容量增大，使讲解更直观、更清晰，特别是在图论中应用多媒体教学可以形象地生成不同形状的图形，可提高课堂教学效率。但是，教师不能用计算机辅助教学完全代替传统的授课方式，教师可以根据实际需要，在教学过程中灵活地、适当地应用板书，以起到其特有的点睛效果。例如对一些逻辑性较强的推理证明，应该使用传统的授课方式进行教学。因此，传统的教学方式与现代多媒体教学方式要有机地结合。

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3.2 开发教学网站

高校扩招后, 大部分学生在新校区学习，而教师的办公和居住地往往在老城区，传统单一的教学模式使学习受到了时间、空间的限制。如学生课外自学遇到问题无法随时找到教师；师生之间互动差，缺乏自由沟通的良好环境等等。这些因素影响了学生的学习热情和学习效率，因此需要拓展教学模式，建设教学网站。

2009年，笔者开始建设基于blackboard的离散数学教学平台，课程平台菜单如图3所示。利用教学网站，学生的学习方式更加灵活，学生可以根据需要下载教学课件、习题解答等课程资源，也可以参加在线测试和了解课程信息，教师可以组织课程讨论和进行在线答疑。离散数学网络课件既能辅助课堂教学，又便于学生进行自主深化学习。

外国语学院的学生外语水平比较高，根据这一特点，网站也设置了双语教学模块，列出了离散数学常用术语的翻译、国际知名大学的英文教材和相关学习网站等。通过三年的教学平台实践教学，取得了一定的效果。

另外，课程考核体系也需要改革，不能以单一的卷面考试作为标准，而是要结合平时作业、期中考试、课程小论文以及在线测试成绩等多方面进行综合考核，注重学生的综合素质。

4 适当介绍数学史，增加学生学习兴趣

通过数学史的介绍让学生了解知识的产生根源，这对增加学生学习兴趣、引导学生主动学习大有裨益。

例如，教师可以用“七桥问题”引出图论的起源，同时介绍数学家欧拉在图论上的成果，学生就容易记住相关的欧拉图的定义、判定条件。图论中有几种重要的特殊图，可由“环游世界问题”引出哈密尔顿图的起源；介绍与平面图相关的“四色定理”的由来；可介绍一些图论中悬而未决的问题，引发学生去思考。

在命题逻辑教学中，可以补充介绍“理发师悖论”等相关小故事，告诉学生这是当时引起第三次数学危机的“罗素悖论”，还可以介绍计算机最高奖——图灵奖。在代数系统中可以补充介绍hill密码、纠错码等。通过介绍离散数学中的典故、典型实例和历史人物等有趣的内容激发学生的学习兴趣，让学生享受学习的乐趣，提高课堂教学质量。

5 结束语

离散数学篇10

1.引言

离散数学课程中的基本概念、理论与方法被大量应用于数据结构、数据库系统、编译原理、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等计算机专业课程中。在该课程的教学中，应着重培养学生抽象思维和逻辑推理的能力，提高学生分析问题和解决问题的能力，引导学生形成严谨、规范的科学态度。

以往的教学实践表明，离散数学课程的教学效果并不理想。在传统的离散数学教学中，通常使用“纯数学”授课方法，学生不能深刻体会到离散数学对计算机科学的重要性，因此学习兴趣不高。此外，离散数学知识结构分散，且处理问题手法比较特殊，这都让众多学生较难应用所学知识处理具体问题[1]。

因此，离散数学教学亟待通过改进教学方法与教学手段，激发学生的学习兴趣，进而培养学生的创新思维与能力。

2.教学方法的改进

在日常教学中，首先要注重培养学生的学习兴趣。各章节中都可以多讲解一些能激发学生学习兴趣的问题。例如，讲前缀码时可以举一个译码的实例，顺带讲一些关于二战时期军事密码的精彩小故事（如猎杀u571等）。

其次，授课时要强调学科间的联系。课程不是纯粹的讲授知识，应当将知识、情感、意志、社会习俗等因素融为一体。教学中可以介绍一些相关的数学史。如在讲图论时可以多介绍些欧拉的数学贡献及人格魅力，学习群论时讲讲数学家伽罗瓦关于近世代数的凄美故事。

世界万物皆有关联，自然美是数学美的体现。如介绍斐波那契数列时说明自然界很多事物都与斐波那契数有关，蜜蜂在蜂房中的行走路线，花瓣的生长顺序，树木的叶序等，另外相邻斐波那契数之比的极限即为黄金分割。

对离散数学中的有些内容，特别是一些抽象的概念、结论和证明，学生较难理解。这时，尽量先从直观意义、直观解释或具体实例着手，举一些生动形象的例子往往可以收到事半功倍的效果。因此在教学过程中应多举例，多解释，多画图。

如在讲授图的同构问题时，可对两图同构作如下直观解释：图中的点可移动，边具有弹性，可任意拉伸或压本文由收集整理缩，但不能折断，若能将当前图通过移动顶点、拉伸（或压缩）边得到同样的图即与原图同构。这样的讲解可使两图同构这一抽象概念产生一种立体感，使学生易于接受。

如讲平面图的面的概念时，形象比喻为用剪刀剪。定义：设g为一平面图，若由g的一条或多条边所界定的区域内部不含图g的结点和边，这样的区域称为g的一个面，记为f。如右图沿虚线部分剪下部分为面f。

在传授知识的同时，介绍和感受知识的来龙去脉，不仅讲解其内容本身，更要将研究问题的思路和方法传授给学生，即不但要“知其然”，还要“知其所以然”。在解题教学中也同样如此，不但要给学生答案，而且更重要的是要把解题思路或是教师的思索过程展示出来。在教学中，教师的创造性劳动和个性化精神必然会影响学生的个性化发展。

在各知识转折点或跳跃点，由浅入深，因势利导地设计一些富有启发的疑问，引起学生的学习兴趣。并配合适当的提示来引导学生给出问题的答案，从而诱导学生深入思考，实现教与学的互动，调动学生学习的主动性，激发学生的创造性，达到培养创新能力和增强教学效果的目的。

如在讲命题逻辑中的析取连结词时，为什么自然语言中的“或”具有二义性？如果直接给出结论，学生就会感到较为抽象，难以理解和接受。此时，通过这样一个例子来适当引导：（1）甲爱跳舞或爱听音乐；（2）甲是河南人或河北人。让学生自己思考比较二者的区别，然后给出相应的结论。通过这样一个从特殊到一般，从具体到抽象的逐步启发过程之后，往往能够达到很好的效果。

3.教学手段的改进

离散数学概念多、结论多，有些是基本的，应重点学好；有些则可由基本概念、结论推导出来，不一定非要学生记忆不可，重要的是教给他们分析问题的方法。重点讲授要强调粗细结合。对于学生理解有困难、自学有困难的内容必须讲细讲透。同时说明对课程、对问题，要多问一个为什么，要挖掘深层的东西。

在教学中，常常会遇到一些难点，即学生不易接受的知识。难点处理不好，会引起学生学习上的畏难情绪，降低积极性，影响教学效果。教师要善于分析引起疑难的原因，找到解决的办法。对于知识抽象引起的难点，可以通过实例、图形、利用多媒体教学等手段来增加感性认识。

充分利用现代化教学手段，利用教学网站建立离散数学教学栏目，可提高教学效率、增加课堂互动时间、增强学习兴趣和教学效果[2]。

虽然计算机网教平台提供了良好的辅助教学空间，但根据离散数学自身的特点，如果把公式推导及定理证明过程也以幻灯片的形式显示出来，教师只是看着屏幕讲，学生就只是在看证明，而不会追踪教师的思维过程，不利于学生数学能力的培养。离散数学的教学，应以板书讲解为主、课件演示为辅。

教材建设是课程建设的重要内容，它反映了教学内容和教学组织方面的演变。随着计算机学科的发展及现在对计算机人才需求的变化，要求对计算机科学与技术学科及相关专业理论基础的数学教学格局作适当的调整。我们必须不断更新、充实原有教材的内容，推出有特色的离散数学教材。

4.结语