高一数学集合十篇

高一数学集合篇1

一.知识归纳：

1.集合的有关概念。

1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素

注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互异性(若a?a，b?a，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

4)常用数集：n，z，q，r，n*

2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1)子集：若对x∈a都有x∈b，则a b(或a b);

2)真子集：a b且存在x0∈b但x0 a;记为a b(或 ，且 )

3)交集：a∩b={x| x∈a且x∈b}

4)并集：a∪b={x| x∈a或x∈b}

5)补集：cua={x| x a但x∈u}

注意：①? a，若a≠?，则? a ;

②若 ， ，则 ;

③若 且 ，则a=b(等集)

3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。

4.有关子集的几个等价关系

①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;

④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。

5.交、并集运算的性质

①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a;

③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub;

6.有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。

二.例题讲解：

【例1】已知集合m={x|x=m+ ,m∈z},n={x|x= ,n∈z},p={x|x= ,p∈z}，则m,n,p满足关系

a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m

分析一：从判断元素的共性与区别入手。

解答一：对于集合m：{x|x= ,m∈z};对于集合n：{x|x= ,n∈z}

对于集合p：{x|x= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以m n=p，故选b。

分析二：简单列举集合中的元素。

解答二：m={…， ，…}，n={…， , , ，…}，p={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

= ∈n， ∈n，∴m n，又 = m，∴m n，

= p，∴n p 又 ∈n，∴p n，故p=n，所以选b。

点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

变式：设集合 ， ，则( b )

a.m=n b.m n c.n m d.

解：

当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选b

【例2】定义集合a*b={x|x∈a且x b}，若a={1,3,5,7},b={2,3,5}，则a*b的子集个数为

a)1 b)2 c)3 d)4

分析：确定集合a*b子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合a={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。

解答：a*b={x|x∈a且x b}， ∴a*b={1,7}，有两个元素，故a*b的子集共有22个。选d。

变式1：已知非空集合m {1,2,3,4,5}，且若a∈m，则6?a∈m，那么集合m的个数为

a)5个 b)6个 c)7个 d)8个

变式2：已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.

解：由已知，集合中必须含有元素a,b.

集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

评析 本题集合a的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .

【例3】已知集合a={x|x2+px+q=0},b={x|x2?4x+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

解答：a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.

∴b={x|x2?4x+r=0}={1,3}, a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a

a∩b={1} ∴1∈a ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，

∴ ∴

变式：已知集合a={x|x2+bx+c=0},b={x|x2+mx+6=0},且a∩b={2},a∪b=b，求实数b,c,m的值.

解：a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5

∴b={x|x2-5x+6=0}={2,3} a∪b=b ∴

又 a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合a={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合b满足：a∪b={x|x>-2}，且a∩b={x|1

分析：先化简集合a，然后由a∪b和a∩b分别确定数轴上哪些元素属于b，哪些元素不属于b。

解答：a={x|-21}。由a∩b={x|1-2}可知[-1,1] b，而(-∞,-2)∩b=ф。

综合以上各式有b={x|-1≤x≤5}

变式1：若a={x|x3+2x2-8x>0}，b={x|x2+ax+b≤0},已知a∪b={x|x>-4}，a∩b=φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)

点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。

变式2：设m={x|x2-2x-3=0},n={x|ax-1=0}，若m∩n=n，求所有满足条件的a的集合。

解答：m={-1,3} , m∩n=n, ∴n m

①当 时，ax-1=0无解，∴a=0 ②

综①②得：所求集合为{-1，0， }

【例5】已知集合 ，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为q，若p∩q≠φ，求实数a的取值范围。

分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用参数分离求解。

解答：(1)若 ， 在 内有有解

令 当 时，

所以a>-4,所以a的取值范围是

变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。

高一数学集合篇2

职业学校不同于普通高校，职业学校相较与理论知识更注重实践，提高技术技能人才培养质量是发展现代职业教育的基本任务，是构建现代职业教育体系的关键所在，是主动适应经济发展新常态、服务产业促进就业的重要抓手。建立中等职业学校教学工作诊断与改进制度，引导和支持学校全面开展教学诊断与改进工作，切实发挥学校的教育质量保证主体作用，不断完善内部质量保证制度体系和运行机制，是持续提高技术技能人才培养质量的重要举措和制度安排，也是教育行政部门加强事中事后监管、履行管理职责的重要形式，对加快发展现代职业教育具有重要意义。

2教学案例定义

教学案例是真实而又典型且含有问题的事件。简单地说，一个教学案例就是一个包含有疑难问题的实际情境的描述，是一个教学实践过程中的故事，描述的是教学过程中“意料之外，情理之中的事”。在中职数学教学案例中，一般由背景、主题、反思这几个部分组成。数学案例中首先要交代背景，这节课要学习的理论知识，要学习的数学原理是什么。其次是主题，由背景展开细化到各个小的知识点。最后是反思，反思这堂课的主要内容，并查漏补缺，发现学生还有没不懂的地方。

3中职数学教学案例实践

以中职数学第一章集合为例:课题:集合－集合的概念(1)

3．1教学目的

(1)使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法;(2)使学生初步了解“属于”关系的意义;(3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义教学重点:集合的基本概念及表示方法教学难点:运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。

3．2教学过程

3．2．1复习引入

(1)简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数;(2)教材中的章头引言;(3)集合论的创始人———康托尔(德国数学家);(4)“物以类聚”，“人以群分”。

3．2．2讲解新课

阅读教材第一部分，问题如下:(1)有那些概念?是如何定义的?(2)有那些符号?是如何表示的?(3)集合中元素的特性是什么?集合的有关概念:由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的．我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．集合中的每个对象叫做这个集合的元素。定义:一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合。3．2．2．1集合的概念(1)集合;(2)元素;(3)常用数集及记法;(4)非负整数集(自然数集)N。3．2．2．2元素对于集合的隶属关系(1)属于:如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A。(2)不属于:如果a不是集合A的元素，就说a不属于A。

3．2．2．3集合中元素的特性

(1)互异性:一个给定的集合中的元素都是互不相同的;(2)无序性:一个给定的集合中的元素排列无顺序;(3)确定性:一个给定的集合中的元素必须是确定的。不能确定的对象，不能组成集合。例如:某班个子高的同学，不能组成集合，到底多少身高才算高个子，没有确定的标准;某班个子高于180cm的同学，可以组成集合。关系:元素a是集合A的元素，记作a∈A(读作“a属于A”);如果a不是集合A的元素，记作aA(读作“a不属于A”)。

3．2．2．4集合的类型

(1)由有限个元素组成的集合，叫做有限集;(2)由无限个元素组成的集合叫做无限集;(3)由数组成的集合叫做数集。方程的解集与不等式的解集都是数集;(4)所有自然数组成的集合叫做自然数集，记作N(最小的自然数0);(5)所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N或Ζ;(6)所有整数组成的集合叫做整数集，记作Z;(7)所有有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q(有理数包括整数和分数);(8)所有实数组成的集合叫做实数集，记作R。

3．3小结

本节课学习了以下内容:(1)集合的有关概念:(集合、元素、属于、不属于);(2)集合元素的性质:确定性，互异性，无序性;(3)常用数集的定义及记法。

4结语

在中职数学教学课堂中，教师不但要有好的教案，还要做到语调清晰，教态得体，使学生积极主动的学习数学知识。中职学校各教师不断改进教育教学方法，凝练教育智慧，形成独特的教学风格。教师在课堂上要有一双慧眼，要时刻想着捕捉学生点点灵光的闪现、挖掘学生的兴奋点、记录课堂上的亮点，只有这样才能帮助低起点的中职生改变学习态度，树立好信心和成才决心，成就他们精彩的人生。

作者:龙志芳 单位:铜仁市交通学校

参考文献:

［1］施良方．学习论［M］．北京:人民教育出版社，2001:383～392．

高一数学集合篇3

[关键词]

初中阶段，学生已经学习过函数概念，但到了高中，函数概念发生了变化。此时，数学教师要帮学生理清概念，解析问题。

一、对“函数”概念的理解

在初中，学生已经学习过函数概念，建立的函数概念是：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数。其中x称为自变量。这个定义从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系。从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式。进入高中，学生需要建立的函数概念是：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f（x），x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 f（x）|x∈A叫做函数的值域。这个概念与初中概念相比更具有一般性。其实，高中的函数概念与初中的函数概念本质上是一致的。不同点是表述方式不同──高中明确了集合、对应的方法；初中虽然没有明确定义域、值域这些集合，但这是客观存在的，也已经渗透了集合与对应的观点。且高中引入了抽象的符号f（x），f（x）指集合B中与x对应的那个数，当x确定时，f（x）也唯一确定。另外，初中并没有明确函数值域这个概念。

函数概念的核心是“对应”，理解函数概念要注意：1.两个数集间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x，数集B中都有唯一确定的y和它对应。2.涉及两个数集A、B，而且这两个数集都非空；这里的关键词是“每一个”“唯一确定”。也就是，对于集合A中的数，不能有的在集合B中有数与之对应，有的没有。而且，在集合B中只能有一个与之对应，不存在两个或者两个。3.函数概念中涉及的集合A、B，对应关系f是一个整体，是集合A与集合B之间的一种对应关系，应该从整体的角度来认识函数。

二、目标解析

1.通过丰富实例，建立函数概念的背景，使学生体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。能用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的三个要素。2.会判断两个函数是否为同一函数，会求一些简单函数的定义域和值域。3.通过从实例中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力。

教学的重点是，在研究已有函数实例（学生举出的例子）的过程中，感受在两个数集A、B之间所存在的对应关系f，进而用集合、对应的语言刻画这一关系，获得函数概念。然后再进一步理解它。

三、教学问题诊断分析

1.学生对函数概念中的“每一个”“唯一确定”等关键词关注不够，领会不深。教学中，可以通过反例让学生加以认识。如有学生的考试情况是这样的：集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{90，93，98，92}，f：每次考试成绩。这里就不能表示一个函数。因为对于集合A中的元素“4”，在集合B中就没有元素与它对应。

2.忽视“数集”二字，把一般的映射关系理解为函数。如：高一（2）班的同学组成集合A，教室里的座椅组成集合B，每个学生都有唯一的一个座椅，班上还有空椅子。这能否算作一个函数的例子，为什么？

3.对为什么集合B不是函数的值域不理解．让学生感受到，有时，为了研究方便或者确定一个函数的值域暂时有困难，使得B＝{f（x）|x∈A} 更加合理。

4.当函数关系具有解析式表示时，f（x）当然可以用x的解析式表示出来。学生会因此而误以为对应关系f都可以用解析式表示。可以通过所举实例的类型，引导学生，明确表示对应关系f并非解析表达式不可。但这不是本节课的重点，应该放在下一节课“函数的表示”中解决。只要注意所列举的例子不光是有解析式的即可。

5.本课的难点是：对抽象符号y＝ f（x）的理解。可以通过具体函数让学生理解抽象的f（x）。比如函数f（x）＝x2，A＝x|－2≤x＜2 ．f(－1)＝1，f(1.5)＝2.25，f(－2)＝4，

高一数学集合篇4

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。

2、教学目标及确立的依据：

教学目标：

（1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。

（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。

（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。

教学目标确立的依据：

函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。

3、教学重点难点及确立的依据：

教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。

教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。

重点难点确立的依据：

映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。

二、教材的处理：

将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。

三、教学方法和学法

教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。

依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。学法：

四、教学程序

一、课程导入

通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。

例1：把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？

二.新课讲授：

（1）接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：AB，及原像和像的定义。强调指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从A到B的对应是否为映射的关键是看A中的任意一个元素通过对应法则f在B中是否有唯一确定的元素与之对应。

（2）巩固练习课本52页第八题。

此练习能让学生更深刻的认识到映射可以“一对多，多对一”但不能是“一对多”。

例1.给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射进而给出函数的近代定义（设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及从A到B的对应法则f），并说明把函f：AB记为y=f（x），其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f（x））值叫做函数值，函数值的集合{f（x）：x∈A}叫做函数的值域。

并把函数的近代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系。（函数是非空数集到非空数集的映射）。

再以让学生判断的方式给出以下关于函数近代定义的注意事项：

2.函数是非空数集到非空数集的映射。

3.f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。

4.f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。

5.集合A中的数的任意性，集合B中数的唯一性。

6.“f：AB”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）。

三.讲解例题

例1.问y=1（x∈A）是不是函数？

高一数学集合篇5

关键词：高等数学；数形结合；抽象

中国分类号：O13

1引言

高等数学是高校中理工以及财会等专业的一门公共基础课，教学内容很多，但教学课时往往安排的偏少，再加高等数学是一门高度抽象的学科，在知识的广度和深度上，在思维能力上，都有极高的要求，这就给教学带来了很大困难。这就要求教师在教学过程中要把抽象的知识点形象化、具体化，引入数形结合思想有助于这一问题的解决。通过数形结合思想培养学生多方面的思维能力，例如形象思维和逻辑思维等，数形结合有助于加强对概念、定义的深入理解，提高解题效率。另外，数形结合思想体现了数学的实用价值，通过形象的图形来描述数学问题，达到了解题的求简目的，增加了学生的学习兴趣，增强学习的信心。

2数形结合在高等数学中的应用实例

利用数形结合可以增加高等数学解题的求简意识。数学知识来源于对实践的感性认识，在对数学的认识过程中，也是这样。通过数形结合可以提高对数学知识的认知能力，通过数形结合可以从直接体验数学知识，加强对概念、定义、定理的理解，更好的掌握数学知识的内涵和外延，提高对高等数学的自主学习能力。

2.1利用数轴解决集合的相关问题

当两个集合的解是不等式时，要求其并集或者交集，可以用过数轴表示来把不等式的解集表示出来。

例1：已知集合A={X|-2

（1）若A B，求a的范围

（2）若B A，求a的范围

解：

（1）用数轴来表示集合A，根据题意得，集合B覆盖集合A，如图（1），则a≥2，且2a≥6，

得出a≥3。

（2）若集合A覆盖集合B，如图（2）所示，则-a≥-2， 且6≥2a，且2a>-a，得出0

-a -2 6 2a -2 -a 2a 6

（1） （2）

通过上述例题充分利用了数轴，把抽象的数学问题反映到图形上，清晰的表达各集合之间的关系，从而得解答集合运算、求解参数值等一系列的问题。

2.2函数图像的应用

函数图像是高等数学的重要内容，充分利用函数图像可以简化解题过程。

例2：已知方程|x2-2x-1|=k有4个根，求实数k的取值范围。

解析：此题目是讨论根的个数，不用求具体的解，该题可以转化为求两个曲线交点的个数。

解：方程|x2-2x-1|=k根的个数讨论可以转化为函数y=|x2-2x-1|和y=k两图像的交点情况。根据题意画函数图像得4个交点，如图（3），则当0

y=|x2-2x-1|

y=k

（3）

该类题型的解答，如果当作方程式求解，来求参数的取值，难度会很大，但是转化为函数图像问题，则转化为定性讨论，利用函数图像，此问题就迎刃而解了。因此，函数图像可以作为根的个数讨论的重要方法。另外，函数图像还可以解决函数单调区间的讨论问题、抽象函数问题等。

3小结

在数形结合的过程中，“数”的代数性质与“形”的几何性质可以互相表达，二者保持一致的等价性，从根本上保证了数形结合思想的统一发展。直观的几何图形能够把抽象的数学知识形象化、简便化，从而给我们良好的视觉感受，增强对高等数学学习的乐趣。

在进行几何直观的分析的同时还要进行代数抽象的探索，代数表达及其运算比起几何图形及其结构有着自身固有的优越性，能克服几何直观方法的许多局限性，“数”与“形”各有其优缺点，我们就要尽量做到删繁就简，去粗取精，从而扬长避短，尽可能地发挥它们各自的优势。最后，数形转换时尽可能构图简单合理优美，从而可使代数计算简洁、明了，这样还能给我们良好的视觉感受，增添我们的学习乐趣。

参考文献：

[1]牛海军.关于某些抽象函数原型问题的研究[J].河南教育学院学报（自然科学版）.2014（01）

[2]王建平，张香伟.积分的轮换不变性在重积分计算中的应用[J].河南教育学院学报（自然科学版）.2014（02）

[3]吴雪莎.高等数学在高职院校中分层教学的实践与思考[J].重庆电子工程职业学院学报.2014（02）

[4]郭志林.关于一个定积分计算公式的改进[J].菏泽师范专科学校学报.2003（04）

高一数学集合篇6

【关键词】函数概念；变量；对应；数集

自17世纪近代数学产生以来，函数概念一直处于数学的核心位置。函数概念是近代数学的重要基础，在现代数学和科学技术领域有着广泛的应用。同时，函数是中学数学中的核心内容，以函数思想来贯穿中学数学内容更容易形成体系。另外，由于函数概念的抽象性以及学生的思维水平处于很不成熟的阶段，初、高中学生在学习函数概念时，往往感到困难，用函数思想分析问题和解决问题就显得更困难，因此，对函数概念的深刻理解就显得非常重要。

现就初、高中教材中函数概念的定义我们来作全面地分析。

1 初中“函数概念”

初中数学课本中函数概念的定义：在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定x一个值，就能相应地确定y的一个值，那么，我们就说y是x的函数，x叫做自变量。

对于这个定义，我们应从以下三个方面认真领会其含义：

（1）首先看一看这一定义的描述：“在某个变化过程中，有两个变量x、y”这个前提条件。

例如：圆的面积公式：S=πr2中，若指明S是一个定值。那么π和r可以构成函数关系吗？显然不能构成函数关系的，事实上，r是变量，而π是一个常量。它们之间不具备函数关系的条件。又如，给定了一个圆柱体，其圆柱体公式为V=πr2h，当圆柱体积V、h一旦确定，即都为定值时，r和π能构成函数关系吗？其实，这两个量是不能构成函数关系的，因为π是一个固定不变的数，即一个常量，而r是一个变量。这两个量不具备函数关系的前提条件。

（2）反复琢磨、思考函数和自变量这个两量在定义中的“角色”

我们看一看这样一个变化过程：骑自车从甲地到乙地的过程中，自行车速度设定为20千米/小时，随着时的增加路程也在增加，在这一过程中涉及到的是时间和路程这两个变量，如果给定时间一个值。相应地就确定了路程的一个值，那么我们就说路程是时间的函数，时间就是自变量。又如，骑自行车从甲地到乙地路程已知是80千米，车速越快，用时就越短；相应的车速越慢，用时就越长。在这个过程中，速度和时间就是两个变量。如果给定时间一个值，相应地就确定速度的一个值，那么，我们就说，速度是时间的函数。时间叫做自变量。又如：骑自行行从甲地到乙地路程已知为80公里，车速越快，用时就短；车速越慢，用时就越长。在这个过程中，速度和时间就是两个变量。如果给定时间一个值就能相应地确定速度的一个值。那么，我们就说，速度是时间的函数。时间叫做自变量。在前一变化过程中路程是变量，而后一过程中路程是常量。同样，在后一变化过程中换一个角度，给定速度一个值就能相应地确定时间一个值，那么我们就说时间是速度的函数，速度叫自变量。即使在同一变化过程中，谁是函数谁是自变量也是相对的，而不是固定的。

从以上分析可知：变量和常量是相对于某一过程而言，没有绝对的变量和常量。把一个变量称做函数，也是相对的。这里一方面指它必须是依赖于某个称为自变量的变量，另一方面，一个变量是某个变量的函数，也是相对于某个过程而言的。对于自变量和函数来讲，决不能认为只要自变量变化了，函数理应随着变化。事实上，如，符号函数就是一个典型的例子：sgn=-1，x0 ，当x0时，同样函数值始终为1，定义中明确指出；对于给定每一个自变量的值，就有确定的一个函数值和它对应。事实上，从上例可知，对于不同的自变量的值，函数可以取到相同的值，并且可以是多个。

2 高中教材里“函数概念”的剖析

有了“集合论”以后，函数的定义就改用了“集合”和“对应”这两个原始概念来叙述，即“给出了两个非空数集D和M，对于集合D中每一个元素x，可以依照某一法则使之对应于集合M中的某一个元素y ，假定这种对应关系确定了，那么在集合D上就确定了一个函数。记作：y=fx。分析这个定义，我们可以得出如下几点：

（1）对于上述的定义，很明显就抓住了函数概念的本质属性。要确定两个变量之间是否构成函数关系，必须事先给定：属于两个数集D和M的x，y，而且它们之间还要有一个确定的法则。对于D中的每一个x值，在M中有一个唯一确定的y值和它相对应。不管给定的法则是用公式，图形，表格和其它任何形式，。显然定义带有了普遍性和广泛性。

对于概念中的“每一个”、“唯一确定”等这些关键词一定要认真理会。例如，给10位编了学号的同学测量身高，但遇到刚好其中有一位同学没有参加，可以想象得到，学号与身高之间是不能构成函数关系的。因为对于学号构成的集合中的一个学号，在身高构成的集合中就没有元素与它对应；概念中给出的集合是“数集”，它不是“点集”，也不是由图形构成的集合。如，由某班全体同学构成的集合记作A，教室里的座位组成的集合记作B，每一位同学都有唯一的一个座位，班上还有空座位，这能否算作一个函数的例子吗？。对于概念中的集合B，它是不是函数的值域，事实上，函数的值域是集合B的子集。

（2）从定义可以看出，确定一个函数实际上包括了以下的三要素：①自变量集合（即定义即定义域）；②函数的集合M（即值域）；③对应关系。

3 关于初、高中教材 “函数概念”的比较

初中教材中的“函数”定义是从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系。从历史的角度看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式。如，学习函数概念后，虽然明确地给出了函数的表示法：解析法，图像法，表格法。但接下来所学习的函数都是用解析式表达出来的。如，正比例函数，一次函数，二次函数，反比例函数等等，这明显给我们一个映象――函数就是解析式。后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，一个函数存在，还必须看定义域。如：y=■，若不给x≠1出这一条件，那么这个函数就无意义了。事实上讨论它也就失去它应有的价值了。而要弄清变量以及两个变量间的变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制。如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入讨论。如，迪里赫里函数，fx=10，当x是有理数时，函数值为1，当x为无理数时，值为0，对这一函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强。也说不出x的物理意义是什么。但用集合、对应的观点来解释，就十分明了，进入高中，学生需要建立的函数概念是：设A、B是两个非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应，那么就称f：AB为集合A到集合B的一个函数。这个概念与初中概念相比更具有一般性。实际上，高中的函数概念与初中函数概念本质上是一致的，不同点在于，表述方式不同，高中明确了集合、对应的方法。初中虽然没有明确定义域、值域这些集合，但这是客观存在的，也已经渗透了集合与对应的观点，与初中相比，高中引入了抽象的符号fx。fx指集合B中与x对应的那个数。当x确定时，fx也唯一确定，另外，初中并没有明确函数值域这个概念。

函数概念的核心是“对应”，理解函数概念要注意：

（1）两个数集间有一种确定的对应关系f。对应关系f是一个整体，是集合A与B之间的一种对应关系，应该从整体的角度认识函数。

（2）涉及两个数集A、B，而且这两个数集都非空。

（3）定义中的关键词是“每一个”“唯一确定”。也就是，对于集合A中的数，不能有的在集合B中有数与对应，有的没有，每一个都要有，而且，在集合B中只能有一个与其对应，不能有两个或者两个以上与其对应。

4 加强函数的实际应用

函数在数学这个大家庭中是一个必不可少的成员，而且在生活中他也同样随处可见。正如我们学习过的一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数，这些形形样样的函数，都在用不同的表示方法，不同的角度来表示着自然界中变量与变量之间的关系。因此，数学中函数的知识与我们的生活实践有着不可分割的联系。如：

（1）一次函数的应用？ 购物时总价与数量间的关系，是最基本的一次函数的应用，由函数解析式可以清楚地了解到其中的正比例关系，在单价一定的条件下，数量越大，总价越大。此类问题非常基本，却也运用最为广泛。

（2）二次函数的应用

当某一变量在因变量变化均匀时变化越来越快，常考虑用二次函数解决。如细胞的分裂数量随时间的变化而变化、利润随销售时间的增加而增多、自由落体时速度随时间的推移而增大、计算弹道轨迹等。二次函数的解析式及其图像可简明扼要地阐述出我们需要的一系列信息。如增加的速度、增加的起点等。

（3）反比例函数的应用

反比例函数在生活中应用广泛，其核心为一个恒定不变的量。如木料的使用，当木料一定时长与宽的分别设置即满足相应关系。还有总量一定的分配问题，可应用在公司、学校等地方。所分配的数量及分配的单位即形成了这样的关系。

（4）三角函数的应用

实际生活中，我们常常可以遇到三角形，而三角函数又蕴含其中。如建筑施工时某物体高度的测量，确定航海行程问题，确定光照及房屋建造合理性以及河宽的测量都可以利用三角函数方便地测出。

（5）在生活中的利润问题

总利润=每件利润×销售量、人口增长率问题、个人所得税问题、市场预测问题、运货调配问题、经济图标问题、平衡价格问题、工程造价问题，这些生活常见的问题在计算、应用方面离不开函数的知识。利用函数就可以把各种数据都放到表格里，然后再绘制成函数图像，从平面直角坐标系中观察出事情发展的趋势以及计算出他们之间的函数关系式，来进行合理的预算。有时还可以利用某些函数的函数图像来求最值。由此可见，函数是十分重要的一部分。

（6）涉及函数的应用题

这些应用题更是与生活实际联系密切，他不仅能培养我们分析问题和解决实际问题的能力，还能提高我们的思维素质。同时利用函数也可以更简便地解决问题。所以，学会了解和应用函数也是十分重要的。

高一数学集合篇7

关键词：三螺旋模型专业群；专业集群；数字资源加工中心

中图分类号：G717 文献识别码：A 文章编号：1001-828X（2016）028-000-03

三螺旋理论由美国学者埃茨科威兹于20世纪90年代提出，该理论从知识资本化过程中公共、私有和学术等多元重叠关系，以及创新发展所涉及的制度安排、市场及知识等多元因素出发，探索如何加强政府、产业和大学三方相互合作，进而优化创新制度安排，提高创新效率。近年来，将三螺旋理论用于官产学合作、产业集群升级以及高职专业群建设等研究都有成果出现，但三者结合的本土化研究特别是案例分析并不多见，本文试图作出初步探索。

一、三螺旋模型下的产业集群―专业群―专业集群驱动机制

（一）三螺旋理论的内涵

三螺旋理论的基本内涵，是指政府、产业及以大学为主的科研机构等行为主体，依据市场需求，围绕知识的生产和转化，相互作用、密切合作，在保持各自原有功能和独特身份的同时，也表现出其他两个机构范畴的部分能力，从而构建起一个相互影响、相互促进、螺旋上升的三螺旋创新发展模式，使得政府、产业和科研机构在其独立初级机构的基础上，衍生出一系列新的二级机构，如高新技术开发区、大学生产业园、科技孵化园等。如图1所示，R所处的圆环代表大学及相关研究机构的创新边界，G代表政府的创新边界，I代表产业的创新边界。

从这个角度看，产业集群具备成为一个小规模创新系统的基本要素，产业集群内的企业、科研机构、政府、金融机构、中介机构等各类参与者之间的相互依赖、相互作用，进而影响产业集群的创新能力和竞争力。关键是从何处切入，扩大和深化知识、趋同、和创新这三个空间的重叠范围和程度。一般认为，企业、高校和科研院所、政府、中介机构是区域创新体系的四个执行主体，四者之间有着双向联系。旨在打通企业与高校、科研院所知识生产与运用之间“篱笆墙”的产业集群―专业群―专业集群建设，是形成区域创新体系的一种简约而切实有效的途径。

（二）三螺旋模型与产业集群――专业集群的成长演变

1.从专业群到专业集群

目前，对于专业群和专业集群的认知和界定，存在一些差异。从与产业集群发展的关系看，一些文献认为，专业群是以学科本身之间的关联性为基础而建立的专业群体，仅以适应学科内部相互配合、形成整体合力的需要而产生。专业群是“具有某一共同属性的一组学科形成的专业集合”，而很少或很难达到不同学科门类之间的整合。专业群与产业集群之间没有直接联系，即使没有产业集群，也可能形成专业群。

所谓专业集群，是指由若干个专业技术基础相同或紧密相关，表现为具有共同的专业技术基础课程和基本技术能力需求、并能涵盖某一服务领域的、由若干个专业组成的一个集合。专业集群与专业群的根本区别，在于专业集群是基于产业集群而形成的，它与地方集群产业经济相对应，可以是跨学科、跨校甚至跨地域的，实现了真正意义上的大跨度学科之间的专业融合。专业集群在促进产业集群竞争力提升、满足服务产业集群技术创新活动和人才培养的需要方面，愈加显示出招生和市场优势。

2.专业集群对接产业集群的形式和阶段

（1）专业集群对接产业集群的形式

专业与产业对接，按复杂程度可以分为三个层次：第一层次为单体对接，即单门学科与单个企业的孤立项目对接，比如单个学科对集群内某个企业的科研项目服务，这种对接是产业链环节上零星松散的、孤立的、不成体系的对接。

第二个层次为链式对接，指以链状形式出现的专业链与产业链的对接，是高校、科研机构以专业为基础对集群内产业链各环节企业技术创新活动进行的技术创新科技服务。

第三个层次为集群式对接，是指在链式对接的基础上，高校、科研机构除为集群企业提供技术创新服务外，还通过课程群的设置，为产业集群培养所需的人才；同时，产业集群企业为高校和科研机构提供人才培养的相关实践场所、工器具及学生实践活动提供便利。集群式对接是成体系、全面的对接。[1]

（2）专业集群对接产业集群的阶段

在案例研究中，作为典型的内生型产业集群，海盐标准件集群起步于20世纪60年代的一家木螺钉厂，快速发展于改革开放后。目前海盐标准紧固件产业集群已我国重要的标准件生产和交易基地，集聚企业1200多家，特别是拥有部级标准紧固件产品质量监督检验中心和国内唯一一家省级标准紧固件技术研发机构（浙江海泰克），使海盐标准件产业成为传统产业集群升级的一个成功样本。

内生型集群多数产生于草根民众的敢想敢干，初期发展迅速，但当市场环境、经济政策发生变化时，又很容易陷入瓶颈，难以升级，这种情况已屡见不鲜。海盐标准件集群的升级，很大程度上源于集群企业与知识性机构持续发生了积极的良性互动。集群中生产性企业与知识机构的互动大致经历了点对点互动（2001-2006年）、全流程互动（2006-2008年）和创新循环互动（2008年-今）三个阶段。在集群发展的初始阶段，生产性企业集聚数量较少，再加之该阶段企业以生产低端产品（标准紧固件）为主，产品技术含量较低，简单的知识需求通常通过内部化处理。因此，技术和知识的市场需求较小，没有专门的知识机构；当对知识服务需求的规模能够满足知识机构在市场化运作条件下生存发展的需要，且知识机构从生产领域分离出来效率更高时，专门的知识机构（标准紧固件产品质量监督检验中心）就应运而生。[2]

借鉴以上理论和案例研究，本文认为，在传统产业集群发展、演化和升级的过程中，在企业集群化的初始阶段，企业自发寻求技术、知识支持与合作，形成企业――知识性机构（含高职院校）点对点对接，企业发挥主导作用；当产业集群演化至市场竞争加剧、资源环境要素制约、低成本优势难以为继的瓶颈阶段，政府加大基础设施投入、提供公益性的半公共产品和公共服务，促进高职院校等与企业全流程对接，实现专业群设置与产业链需求匹配，在这一过程中，政府起驱动作用；当产业集群与高职院校专业集群有效对接，出现循环累积、自我强化、互利共赢的变化趋势时，政府应合理运作，让位于企业、高职院校互动共进，创新发展，螺旋式融合、升级。

3.服务于战略性新兴产业的专业集群创设机制

从“十二五”规划开始，我国明确将发展战略性新兴产业作为新的经济增长点，目标是培育成为国民经济的先导产业和支柱产业。在“十二五”规划中，对战略性新兴产业进行了明确界定：就是以重大技术突破和重大发展需求为基础，对经济社会全局和长远发展具有重大引领带动作用，知识技术密集、物质资源消耗少、成长潜力大、综合效益好的产业。从这个概念出发，此类产业应存在三要素：“战略性”是体现在满足市场全局性、长周期的需求；“新兴”则表明其背后有重大的技术创新作为支撑；而“产业”则说明这种科技创新已经过中试和工业化，转化为现实的生产力。从供给层面看，它是向更高效能的供给升级跃迁的载体，它能创造新的需求。

如何创设满足战略性新兴产业发展的专业，提升专业服务产业的能力，成为摆在高职院校内涵建设中的现实而紧迫的问题。新兴产业是在新兴技术发展的基础之上建立的，新兴技术呈现出的复杂性、迁移性、多学科交叉融合等特点，不仅要求各产业部门之间的深层次协作，更在客观上对相关学科的高层次人才培养提出了迫切需求。由于新兴产业具有高投入、高风险、不确定性等特征，一般认为，在产业培育期，政府应发挥主导作用。以美国为例，联邦政府通过立法、财政资助、科研项目支持等多种手段，引导高校根据经济社会与科技的发展对学科结构做出灵活、适时的调整，使之与新兴产业成长、国家战略需求相匹配。而我国尚未形成成熟的校政企、产学研合作机制与模式，高校，特别是高职院校，在体制内预算拨款、项目申请等方面都远远逊于本科院校的情况下，应以更加积极主动的姿态，开拓性、创新性地对接国家项目，依托政府平台，工学结合，校企合作，在实践中摸索建设新兴专业的可行途径，继而随着不断扩大的市场容量，近距离、全方位把握人才需求的脉络，对接企业需求，形成专业群―专业集群的设置和动态调整机制。

二、高职院校开设数字内容专业的途径：以邯郸职业技术学院为例

邯郸职业技术学院（邯郸大学）图书馆始建于1983年9月，是在全国创建较早的高等职业技术院校图书馆，系联合国教科文组织图书资料文献中心。但是，图书馆基础差、起步晚、馆藏少、馆舍面积有限，是制约其进一步发展的短板。经过调研，决定集中资源，建设数字图书馆，以数字资源的海量优势弥补纸质藏书之不足。在建设数字图书馆的过程中，开拓了数字图书馆―数字加工中心―数字媒体技术专业三者联动，校政企合作的创新之路。

（一）建设区域实用性数字图书馆

2000年11月6日国家文化部、国家图书馆和中国数字图书馆有限公司在考察、评估后与学院签订协议书，建立中国数字图书馆邯郸职业技术学院分馆（以下简称“分馆”），这是中国数字图书馆工程在高职院校落地的第一家分馆。在此基础上，分馆局域网、校园网与清华大学、中央音乐学院远程教育卫星网有机结合，图书馆联合学院相关部门，为教师、本校、远程学生定期举办网络资源导航、电子期刊、电子图书数据库检索与使用的讲座和培训，积极有效地为远程教育服务，取得了良好的效益。

（二）建立数字信息资源共享与加工中心

2003年，学院图书馆成为“全国文化信息资源共享工程”的基层节点。2004年6-9月，三方合作建立“中国数字图书馆邯郸数字资源加工基地”（以下简称加工基地），甲方：邯郸职业技术学院；乙方：中国数字图书馆有限公司；丙方：北京北鑫辰科技发展有限公司。三方以各自的品牌、资源、资金、设备、场地以及人员作为投入，以甲方为主体，采用项目合作的方式运作加工基地。加工基地隶属于学院图书馆，第一批引进计算机、服务器、快速扫描仪等30多台（件）设备，招聘计算机专业毕业生20-30名从事加工业务，共加工数字图书2000余册。

（三）开设数字媒体技术处理相关专业

在开展数字加工业务的同时，发现必须招聘相关的专业技术人员，学院数字图书馆遂与计算机系整合教育、实训资源，开设数字媒体技术处理专业，为数字内容加工项目定向培养实用型、复合型技术人才。师资配备采取双向流动的方式，派馆员到中国数字图书馆有限公司培训，同时邀请数图专家到校培训指导；由计算机系教师、数图专家和图书馆相关人员共同拟定课程，自编讲义；同时建立仿真性实训室，实时安排数字媒体技术、数字内容加工的项目实训，做到学中做，做学合一，切实提高学生的职业技能。

随后，学院与同方知网（北京）技术有限公司和中国电子出版社合作，承揽数字期刊加工和电子书出版等业务。学院数字图书馆与本校赵文化研究所、邯郸学院等单位合作，整理加工建立“赵文化数字信息资源库”，“成语之乡典故集录”等，可在数字图书馆服务器上直线浏览，亦可供邯郸及中原地区用户通过教育科研网，访问邯郸职业技术学院数字图书馆网站。通过检索、集成邯郸丰富的历史文化资源，为开发旅游产业服务，促进中原经济区经济文化建设。随着校企合作的范围扩大，数字图书馆、计算机应用专业又联合艺术系，开办数字媒体艺术设计专业，初步形成数字内容加工专业群，并出现集群化趋势。

三、专业集群的构建与动态调整

（一）实训基地转型是专业集群化的必然要求

校内实训基地建设，应按照“基地建设企业化”和“实践教学生产化”原则，建设生产型教学车间，紧跟技术发展，装配先进的生产设备，引入企业管理模式，营造真实的生产环境。在此基础上，校内实训基地应由注重生产性实训基地建设向注重多功能服务平台建设转变。校外基地建设，应在合作发展联盟的平台上进一步摸索数量、质量和合作共赢的关系。以实训基地建设、转型为载体，推动专业群向专业集群演化。

（二）工作室制是新兴数字媒体专业集群的基本载体

“工作室制”人才培养模式是以工作室为依托，以专业教师为主导，学生为主体，以校企合作或产学研项目任务为载体，引进企业管理模式，强化教、学、做有机结合，突出学生职业能力的培养，促进教学与就业自然衔接的新型人才培养模式。

信息类产品是数字产品，这决定了其生产过程可以远程化，可与企业空间分离。工作室的课程项目内容分为三个方面：一是教师自拟的学习研究课题任务；二是来自于外面企业的实际课题和项目；三是工作室与企业合作设计开发的课题和项目。以数字内容加工专业人才培养为例：以出版社、期刊社、文化传播公司数字出版、有线电视数字化的生产流程为依据，培养学生学习与工作的方法，掌握从事数字出版、数字电视增值业务的制作到等一系列的职业技能，具备数字化加工和管理的能力。根据就业方向所对应的具体岗位，分别设立“传统资源加工与管理”、“互动式书报刊数字内容制作与”、“互动式数字电视内容制作与”、“虚拟现实媒体内容制作”四个工作室，每个工作室的学生规模为二十人左右。以工作室建设整合实验室、实训室和实训基地的建设，强化一体化工作室实践性教学资源的建设。

参考文献：

[1]赵丽洲，李平，孙敏.学科集群对接产业集群的嵌入机理及策略――基于学科链嵌入产业链的视角[J].现代教育管理，2014（12）.

[2]佘明龙，杨黎明.产业集群中生产性企业与知识机构互动机理研究――以海盐标准紧固件产业集群为例[J].嘉兴学院学报，2015（3）.

[3]温金海.扶持大学生创业的海盐模式[J].中国人才，2010（10）.

[4]范杰.融合发展是新闻出版产业做大做强的必由之路[EB/OL].中国产经新闻，2016-06-07.

高一数学集合篇8

【关键词】数码钢琴；集体教学；对策

数码钢琴将现代电子技术与传统的乐器进行结合。一方面保留了传统钢琴的外部结构特征、基本功能及演奏方式，另一方面增加了自动化演奏和多样的音色变化。数码钢琴集体教学模式的出现弥补了传统钢琴教学模式的缺陷，帮助学生实现对钢琴课程的学习目标，大力推动音乐教学的改革。

一、数码钢琴集体教学模式的优势效应及革新发展存在的问题

1.数码钢琴集体教学模式的优势效应分析

（1）节省大量师资成本。传统的钢琴教学只能一次给一名学生上课，针对相同的教学内容需要对不同的学生反复讲解，而数码钢琴集体课能够同时给十几甚至几十名学生上课。另外，数码钢琴的应用也大量减少了购置钢琴的成本。因此，通过数码钢琴集体教学能够在很大程度上提高教师的工作效率，大幅度减少教师的工作压力，进而降低学生的培养成本。

（2）提高现有的钢琴教学水平。传统的钢琴教学模式需要依靠硬件设备来实现教师教学与学生学习的过程，而数码钢琴的应用不仅具有钢琴的基本功能，而且能够帮助学生学习其它乐器，锻炼学生对音色辨别能力。因此，通过数码钢琴集体教学模式，一方面提高了学生的综合素质，另一方面激发学生的创作热情。

（3）活跃课堂气氛。在课堂教学中，学生容易产生紧张的情绪。因此，通过数码钢琴集体教学模式，可以组织学生在一起学习，帮助紧张的学生被活跃的课堂气氛感染，积极参与课堂活动，在不知不觉中掌握学习技能。同时数码集体教学模式属于活动教学，需要学生的积极参与，有利于学生学习更主动、更积极。

（4）学生集体练琴而不互相干扰。数码钢琴集体教学，学生可以利用耳机监听自己的钢琴练习声音，学生之间不会产生干扰，提高了学生的学习效果。

（5）进一步加快教学的深化改革。虽然现阶段的数码钢琴集体教学模式还处于探索阶段，对数码钢琴硬件设施的深层次开发与利用受到一定的限制，但是数码钢琴集体课与作曲课、音乐欣赏课等课程联合开展，能够大幅度提高教学效果。因此，通过数码钢琴集体模式，可以在很大程度上深化教学改革。

2.数码钢琴集体教学模式革新发展存在的问题

要想实现数码钢琴集体教学模式的革新，首先要认识到革新过程中出现的主要问题，明确问题产生的原因，才能在未来的工作中进一步解决，大力推动数码钢琴集体教学模式的改革进程。

（1）在教材设计方面还有待进一步加强。数码钢琴集体教学模式无论在教学内容还是教学方法上都与传统的钢琴教学模式有一定的区别，它丰富了教学内容，加入了乐理、和声、即兴伴奏等内容，结合了重奏等演奏形式，将最新的教学理论体系融入其中。而当前的教材中，作缺少相应的教材资料，导致教师对教学改革持有疑问的态度。

（2）教师的现代教学能力仍然需要提高。数码钢琴集体教学模式的目标，不仅要求学生掌握熟练的钢琴技能，还要求学生利用数码钢琴的特色功能，开展一系列有关音乐表现的体验，同时综合其它感官接触增强对数码钢琴的应用功能的理解。但是，教师对于数码钢琴集体教学模式的功能探索有一定的局限性，无法达到理想的教学目标。

二、数码钢琴集体教学模式革新发展的对策与建议

1.做好数码钢琴集体教学模式革新发展的基础性工作

（1）加速教材的变革步伐。推进数码钢琴集体教学模式进程的首要任务就是将教材进行重新编写。教师要适应将数码钢琴集体课教学与作曲课教学、钢琴伴奏课教学及音乐欣赏课等课程相结合的教学方式改革，帮助教师认识到综合教学的重要性与必要性，大力支持数码钢琴集体教学模式的革新。

（2）全面提升教师的综合素质。教师的综合素质会对数码钢琴集体教学的实践成果产生直接的影响。因此，为了全面配合教学改革的要求，钢琴教师一方面提高自身数码钢琴应用专业的综合素质，一方面提高教学的综合素养。教师需要统筹规划数码钢琴集体课教学与作曲课教学、钢琴伴奏课教学及音乐欣赏课之间的关系，保证相关的课程设计的合理性。

（3）建立科学的课堂教学评价体系。由于数码钢琴集体教学模式不同与传统的教学方式，因此传统的教学评价体无法对其进行全面、科学的评价。因此，针对数码钢琴集体教学模式，要建立科学的课堂评价体系，并制定详细的考核细则，监督教师与学生能够严格遵循。新的课堂教学评价体系，不能仅仅根据课堂的进程来评价学生的学习效果，而是综合考虑学生的学习态度、课堂出勤情况及钢琴技能的掌握程度和实际运用能力。

（4）加大教育支持力度。仅仅从教材的改革及教师综合素质提高方面还难以大力推进数码钢琴集体教学模式的改革进程。因此，还需要相关的部门加大政策改革支持，为数码钢琴集体教学与作曲课教学、钢琴伴奏课教学及音乐欣赏课等课程的结合教学提供良好的教学环境，从而达到促进数码钢琴集体教学模式改革的目的。

2.数码钢琴集体教学模式革新发展的具体对策

在教材、教师、考核制度及政府政策等基础性工作的改革推动下，数码钢琴集体教学模式具有坚实的改革基础。因此，在数码钢琴的集体教学课中要从学生的学习水平等方面考虑，帮助开发学生的潜能。

（1）将数码钢琴集体教学模式与钢琴课教学课相结合。这样的教学方式以学生学习钢琴技能为主，在数码钢琴的帮助下，引起学生对钢琴特点的注意力，同时配合曲目的练习，使学生熟练掌握钢琴的基本技能。另外，针对学生的选修课程，教师适当调整学习的难易程度，从学生学习效果角度考虑，加强数码钢琴与钢琴的互补练习。

（2）将数码钢琴集体教学模式与视唱练耳课教学结合起来。实现数码钢琴集体教学模式与视唱练耳课教学相结合的目标，能顾帮助学生实现音与声的融合，达到帮助感官器官协调统一的目的，提高学生的声乐技能，进一步提高学生对音乐艺术的整体表现力。

（3）将数码钢琴集体教学模式与配器课教学结合在一起。数码钢琴集体教学是一项系统性的工作，需要与其他相关声乐课进行结合。因此，在数码钢琴集体教学过程中，增加其他乐器的使用，让学生感受到钢琴与不同乐器之间的协调效果，锻炼学生鉴别声色的能力。另外，教师也能够在数码钢琴集体教学中，针对学生不同的专长，进行分工组合，完成曲目的练习，帮助学生挖掘自身的潜力。

（4）将数码钢琴集体教学模式与音乐欣赏课结合起来。培养学生对音乐的审美能力的主要任务是培养学生的音乐欣赏能力。在数码钢琴集体教学过程中，学生需要通过对曲目进行欣赏，增强对数码钢琴的体会与认识，发现其中的艺术特色，进而提高今后在数码钢琴集体教学课堂中的学习能力。

近几年，越来越多的学校认识到数码钢琴集体教学的重要性及必要性，并陆续完善学校的数码钢琴教室设备。同时，经过多年的教学实践发现，发展与完善数码钢琴集体教学模式，一方面保证了钢琴教学质量，另一方面在很大程度上提高教师的教学效率，有力推动了钢琴教学的改革进程。

参考文献：

[1]熊奕萍，水琳.浅谈高等师范院校数码钢琴教学[J].科教文汇，2007（05）

高一数学集合篇9

一、集合

（一） 知识定位及复习策略

集合这部分的主要内容是集合的概念、表示方法和集合之间的关系和运算。纵观近几年高考题，集合的考查以选择题、填空题为主要题型。集合的概念和基本运算是本章的重点内容，也是高考的必考内容。

复习中首先要把握基础知识，深刻理解本章的基础知识点，重点掌握集合的概念和运算。

本章常用的数学思想方法主要有：数形结合的思想，如常借助于维恩图、数轴解决问题；分类讨论的思想，如一元二次方程根的讨论、集合的包含关系等。复习时要重视对基本思想方法的渗透，逐步培养用数学思想方法来分析问题、解决问题的能力。

（二） 规律方法总结

1、集合中元素的互异性是集合概念的重点考查内容。一般给出两个集合，并告知两个集合之间的关系，求集合中某个参数的范围或值的时候，要特别验证是否符合元素之间互异性。

2、考查集合的运算和包含关系，解题中常用到分类讨论思想，分类时注意不重不漏，尤其注意讨论集合为空集的情况。

3、新定义的集合运算问题是以已知的集合或运算为背景，引出新的集合概念或运算，仔细审题，弄清新定义的意义才是关键。

二、函数

（一） 知识定位及复习策略

函数是高中数学的核心内容，函数的思想方法贯穿了高中数学的始终。近几年高考试题函数热点之一是考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性以及函数的图象。函数、方程、不等式关系密切，要学会对具体问题抽象概括、分析探索、透彻理解，从而构造函数，借助方程、不等式的知识，最终解决问题。实现函数、方程、不等式的沟通与转化，是高考的又一热点。考查函数内容的同时，用函数的思想观点研究问题，以及数形结合思想、分类讨论思想的灵活熟练应用，也是高考的一个重点。

（二） 规律方法总结

1、求函数解析式时，针对条件的特点可选用换元法、待定系数法、凑项法、列方程组法等进行求解。其中换元法是常用的方法，但要特别注意正确确定中间变量的取值范围，否则就不能正确确定函数的定义域。

2、判断函数单调性主要的方法有定义法、导数法、图象法。

（1）用定义法判断单调性的步骤是：①任取x1,x2 M，设定x1

（2）用导数法判断单调性的步骤是：①求f、(x)，令f、(x)=0，解此方程，求出它在定义域区间内的一切实根；②把函数的间断点（包括f(x)无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；③确定f、(x)在各小开区间内的符号，根据f、(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。

（3）利用图像法求函数的单调区间要注意找准关键点，判断好函数图象的特征，如对称性。

3、判定函数奇偶性要注意先判断定义域是否关于原点对称，再根据f(-x)与f(x)的关系继续判定。偶函数f(x)=f(-x) 可以延伸为：f(-x)=f(x) =f(｜x｜) ，可以免去讨论符号的麻烦。

4、二次函数求最值的方法一般是配方法或应用二次函数的单调性。二次函数在某闭区间上的最值有三种情况：轴定区间定；轴定区间动；轴动区间定。给定二次函数的定义域求其最值或值域是基本题型，一般要结合其单调性及对称性画出图象解决。要注意所给定义域与对称轴的关系。

5、利用函数的零点研究方程根的问题主要注意数形结合思想方法的应用。方程f(x)=0有实根函数f(x)的图象与x轴有交点函数f(x)有零点。

三、基本初等函数

（一） 知识定位及复习策略

基本初等函数的内容是函数的基础，也是研究其他较复杂函数的转化目标，掌握基本初等函数的图象和性质是学习函数知识的必要的一步。与指数函数、对数函数有关的试题，大多以考查基本初等函数的性质为依托，结合运算推理来解题。所以这部分内容更注重通过函数图象读取各种信息，从而研究函数的性质，熟练掌握函数图象的各种变换方式，培养运用数形结合思想来解题的能力。

（二） 规律方法总结

高一数学集合篇10

[关键词]教学资源；整合；整合模式；数字校园环境

[中图分类号]G40-057　[文献标识码]A　[论文编号]1009-8097(2012)05-0046－06引言

随着教育信息化的深入，数字化学习(E-learning)方式的盛行，国内各高校通过自建、购买等多种渠道积累了海量的教学资源。特别是教育部分别于2003年启动国家精品课程建设工程，2005年开展实验教学示范中心建设与评审工作以来，催生了大批优秀的精品课程网站、实验教学中心网站，同时也产生了数量可观的教学资源。这些异构的教学资源在发挥重要作用的同时，共享度低、可用性差、低水平重复建设等问题也逐渐显露出来，阻碍了高校信息化事业的进一步发展。在当前高校建设数字校园环境下，通过怎样的机制与途径，将分散的教学资源集中起来，向用户提供“一站式”服务，更好地服务于教师的“教”与学生的“学”，已成为我国各高校亟待研究并解决的问题。本文将针对数字校园环境下高校教学资源的整合运行策略进行探讨。一　高校教学资源整合现状与整合方式

1　整合现状

为了解我国高校教学资源整合现状，笔者选取39所“985工程”高校中的20所作为调查样本，从教学资源整合程度、主导教学资源整合工作的主体、推广情况、数字校园集成等角度对各高校的门户网站以及图书馆、教务处、现代教育技术中心、院系等教学资源建设单位的网站进行了访问调查，调查情况如表1所示。通过表1的调查情况我们不难看出，仍然有相当一部分的高校在教学资源建设与整合工作中还存在着一些问题，需要我们去思考并解决。

(1)教学资源缺乏系统全面的整合

目前国内高校都比较重视教学资源的建设与管理。经过多年的积累，各高校所拥有的教学资源相当丰富且种类繁多，主要分布于图书馆、教务处、现代教育技术中心、院系等部门。教学促进职能部门都建设有各类教学资源管理系统，如一般高校的图书馆建设有多媒体资源系统(一般为购买商业资源)，教务处建设有网络课程管理系统，现代教育技术中心建设有教学课件管理系统等。由于教学资源系统的异构，致使用户查找困难，大大降低了用户使用教学资源的热情。许多用户查找教学资源的首选不是校内的教学资源平台，而是选择“百度一下”，致使海量的教学资源处于“建而不用”的尴尬境地，高校教学资源整合工作势在必行。那么从笔者对20所“985工程”高校的调查结果来看，目前许多高校对教学资源仍然缺少系统全面的整合。在所调查的高校中，没有对教学资源进行整合的高校有11所，占55％；对部分教学资源进行局部整合的高校有4所，占20％；通过多个平台对校内教学资源进行整合的高校有3所，占15％；通过建设一个功能强大的资源管理大平台，对校内教学资源进行全面整合，向用户提供一站式服务的高校仅有2所，占10％。从以上数据不难看出，国内大多数高校在教学资源管理工作上还处于缺乏长远考虑的“点式”建设阶段，资源的优化与整合、扩大共享面、基于网络的教学资源平台的统一管理与服务及其运行维护等方面还有待进一步挖掘、完善与开拓[”。

(2)高校未能在教学资源整合工作中起到主导作用

笔者对已进行教学资源整合的9所高校调查发现，其中版权信息部分署名为学校的仅有3所，占33％，其余的署名均为职能部门。从这个细节我们可以窥见目前国内高校主导资源整合工作的主体还是以相关职能部门为主。教学资源整合工作仅靠一两个职能部门的热情去推动，其结果往往是不彻底的，甚至会出现中途停滞，半途而废的局面。

(3)高校对教学资源平台的推广力度不够

目前许多国内高校对教学资源整合平台的推广工作不够重视。在所调查的9所已经进行资源整合的高校中，有4所高校门户网站提供了教学资源整合平台的链接，超过半数高校教学资源整合平台的访问链接只能从相关职能部门的网站中找到。以南京大学为例，南京大学网络教育学院利用“数字化教学资源库”这个教学资源整合平台，较好地将学术讲座、网络课程、教学案例等众多数字化教学资源进行面向用户的整合，通过统一的门户界面为用户提供了多样化的资源导航与检索服务。但是这样优秀的教学资源整合平台，在南京大学门户网站上却难觅其踪影，用户只能通过域名或者南京大学教务处网站提供的链接才能够辗转访问到。

(4)教学资源平台与数字校园系统缺少必要的集成

笔者调查的20所“985工程”高校均已建成数字校园环境，其中已进行教学资源整合的9所高校中仅有3所将教学资源整合平台与数字校园系统进行集成。目前在实现教学资源整合平台与数字校园系统集成的高校中，大都是进行统一身份认证集成，实现单点登录，而教学资源在个人信息门户中的个性化定制与推送的集成工作，还有待进一步开展。

2　整合方式

数字资源整合方式的分类是多样化的。马文峰教授将数字资源整合方式归为数据整合、信息整合和知识整合三种不可或缺逐次递进的方式。笔者认为在数字校园环境下，教学资源在进行数据、信息以及知识整合的基础之上，还应当与数字校园系统灵活集成，为用户提供更为人性化的服务。

(1)数据整合

数据整合是将异构于不同资源系统中的教学资源进行逻辑上或物理上有机的集中，提供统一的表示与查询，方便用户对教学资源的获取，扩大教学资源的互联共享。数据整合的对象是教学资源实体，可实现数据的联机检索，但没有语义。当前主要的数据整合方式有基于数据仓库的整合、基于中介模式的整合等。

(2)信息整合

信息整合是基于一定的机制与标准，对不同性质、不同来源以及不同格式的教学资源通过详细的元数据描述，并通过链接实现资源间的联系，实现对教学资源的全方位整合与一步到位的获取。信息整合可揭示教学资源实体间的关系。根据教学资源整合的范围与应用需求不同，信息整合方式主要有基于信息链接的整合、基于教学资源管理信息系统的整合等。

(3)知识整合

知识整合是以知识组织方法为指导，以数据整合、信息整合为基础，以知识组织为支撑，组织资源知识结构中概念与概念关系的整合方式。当前主要的知识整合方式为基于主题图与基于本体的资源整合。