因数的定义十篇

因数的定义篇1

【关键词】 地心坐标系 地球椭球 地理空间 制图区域 制图物体 地图符号

地理系统研究人类赖以生存与生活和影响所及的整个自然环境与社会经济环境[1]。人类为了生存和发展的需要，必须以各种技术手段，采集和获取地理空间的相关信息。现代测绘学，是信息科学的一个分支，是获得物体的空间位置和属性信息[2]。地图作为空间信息的一种载体，它通过人们创设的地图符号集合，能把制图区域内复杂的空间存在压缩为二维的简单关系，从而使广域空间内的自然现象和社会经济现象的空间分布、地理特征和相互关系跃然纸上。二维地图是人类认识上的飞跃，是人类原始思维向抽象化发展的结果[3]。地图总涉及到地理空间、制图区域和制图物体等基本概念。在现行的大中专教材及有关地图学文献中，尚未见这些基本概念的数学定义，因而不能从理论的高度对其概括和阐释。本文是笔者对地理空间、制图区域、制图物体数学定义的研究及其关联的地图符号的数学分析。

1 地理空间事物的椭球面定位

1.1 地心坐标系

以地球质心为大地坐标原点的坐标系，即地心坐标系。这种坐标系统是阐明地球上各种地理和物理现象，特别是空间物体运动的本始参考系。但长期以来，由于人类不能精确确定地心的位置，因而较少使用。目前利用空间技术等手段，已可在cm量级上确定它的位置，因此采用地心坐标系在当今既有必要性也有了可能性。现在利用空间技术得到的定位和影像等成果，客观上都是以地心坐标系为参照系[4]。使用地心坐标系，在国际上已成为一种明显的趋势。

地球空间事物的定位，涉及地球的形状和一定的坐标系。全球范围内，可用地心大地坐标系和地心笛卡尔坐标系表示点的空间位置。

1.1.1 地球椭球

大地水准面包围的地球形体比较接近真实的地球形状，但仍是一个有100m起伏幅度的复杂曲面，不能用简单的数学方程表示，更难以在此面上进行简单而又精密的坐标和几何计算[5]。为此，测绘科学中常以一个接近地球整体形状的旋转椭球代替真实的地球形体，这个旋转椭球称为参考椭球。在现代大地测量中，规定参考椭球是等位椭球或水准椭球，即参考椭球与正常椭球一致。一个等位旋转椭球由四个常数定义，这四个常数常是赤道半径a，地心引力常数gm，动力形状因子j2，旋转速度ω。考虑到便于利用gps与国际兼容，我国建议采用参考椭球：a=6378137m；f=1∶298.257222101；gm=3986004.418×；ω=7292115×。根据这四个常数，可以得出一系列导出常数[6]。根据地球的扁率f，可以求出椭球短半径b，从而可用数学方程表示一个已知长半径a和短半径b的椭球。

1.1.2 地心大地坐标系dl

地心大地坐标系是使地球质心作椭球中心，以过所求点c的椭球面法线与赤道面的夹角φ为纬度，以过c点的子午面与初始子午面的二面角λ为经度，以c点沿法线到椭球面的距离为大地高h，用c点的三个分量φ、λ、h表示其空间位置。地心大地坐标也即三维地理坐标系，记作dl。对于任何地球空间点c，总存在c=（φ、λ、h）∈dl|φ[0°～±90°]， λ∈[0°～±180°]，h∈[-h～+h]。已知地球椭球的长半径a和短半径b，可定义椭球面。

定义1　 地球椭球面 对c∈（φ、λ、h）∈dl，存在c1=（0°，λ，o）， c2 =（0°，-λ，o），c3 =（90°，λ，o），c4=（-90°，λ，o）∧d1（c1，c2）/2=a∧d2（c3，c4）/2=b，若点集满足：

s={c|c=（φ、λ、h）∈dl，φ∈[0°～±90°]，λ∈[0°～±180°]，h=0} （1）

则称s为以a为长半径，b为短半径的椭球面。若a，b分别为地球参考椭球的长、短半径，则称s为地球椭球面。

1.1.3 地心笛卡尔坐标系dk

以地心o为坐标原点，选择一个以赤道平面上一组相互垂直的直线为x、y轴，而以地轴为z轴，这样的坐标系称地心笛卡尔坐标系，记作dk。若以地球参考椭球的长半径a和短半径b作常数，则地球椭球面也可定义。

定义2　 地球椭球面 存在地球椭球的长半径a和短半径b，若点集满足：

s=｛c|c=（x，y，z）∈dk∧ =1｝

（2）

则称s为以a为长半径，b为短半径的地球椭球面，其中2b即地轴兼旋转轴[7]。

1.2 地理空间

地理科学研究的对象是地球的表层，具体地讲，上至同温层底部，下到岩石圈的上部，指陆地住下5～6公里，海洋往下4公里。设地球表层的上限为h1，下限为h2，从而得h的定义域（适用于“地球表层”概念）为h∈[-h2，h1]。根据h的取值，以h=0的椭球面为界面，可定义地球内空间和外空间。

定义3　 地球内空间 满足条件

intk=｛p|p=（φ，λ，h）∈dl∧-h2≤h＜o｝

（3）

的点集，称为地球内空间。

地球内空间即指岩石圈顶部至地球椭球面之间部分。由椭球面与真实地球表面之间的差异，因此存在虽在地表之上却因其处于椭球面内侧而属于地球内空间的点集。

定义4 　地球外空间 满足条件

extk=｛p|p=（φ，λ，h）∈dl∧o＜h≤h1｝

（4）

的点集，称为地球外空间。

地球外空间即是地球椭球面到同温层底部的空间。由于椭球面与自然面之间的差异，同样存在虽在地表之下却因处于椭球面外侧而属地球外空间的点集。

定义5 　地理空间 地球内空间entk、地球椭球面s和地球外空间entk的并集，称为地理空间，即

k=entk∪s∪extk|entk，s，extk∈dl

（5）

由于地理空间的上下限h1和-h2的选择与地球表层概念相适应，因此，地理空间的定义也就是地球表层的数学表述。

2 制图区域和制图物体

2.1 同胚

定义6 　同胚 设x和y是两个随意的拓扑空间，并设f：xy。如果f是连续的双一一函数，并且它的反函数f -1也是连续的，那么，f就叫做空间x到空间y上的同胚或拓扑映射或拓扑变换；此时空间x与空间y叫做同胚的，记作x≈y。

如果f是空间x到空间y上的一个同胚，ax，并且b=f（a），则称点集a与点集b是同胚的，记作a≈b；此时又称点集b是点集a在同胚f之下的同胚象或拓扑象。如果f是空间x到空间y上的一个同胚，g是空间y到空间z上的一个同胚，则复合函数gf是x到z上的一个同胚。空间的同胚关系≈是一个等价关系[5]。地貌等高线图形，也就是其上覆地貌的同胚象[6]。

2.2 覆盖空间

定义7　 覆盖空间 设e和b是连通且局部道路连通的拓扑空间，f∶eb是连续满射，如果对于每个c∈b，存在c的道路连通开域u，使得f把f -1（u）的每个通路连通分支同胚地映射成u，则称（e，f）是b的覆盖空间，这种u称为容许邻域，b称为底空间，f称为覆盖投影[10，11]。

2.3 制图区域和制图物体

2.3.1 椭球面上点c与过c点的椭球面法线hc的双一一函数关系

设c为椭球面s上的任意点，c∈s，过c点能且仅能作一条法线hc指向地理空间k。由于大地高h以椭球面为起算面，故地球外空间extk=｛hc|0＜hc≤h1｝，地球内空间intk=｛hc|-h2≤hc＜0｝。显然，地球空间的椭球面法线hc与椭球面上的投影点c是双一一函数。现把覆盖空间定义应用于地球外空间extk与地球椭球面s：令覆盖定义中的e=extk，b=s，f是连续满射，c∈s，|f -1（c）=hc∈extk，这里s是底空间，（f， extk）是s的覆盖空间，f为覆盖投影，c是hc在f下的同胚象或拓扑象。同理可说明地球内空间与地球椭球面的关系。

2.3.2 制图区域和制图物体的椭球面定位

定义8 　制图区域 设a为s的子集，as，如果a是s中一个连通的开集，那末，a就叫做s中的一个区域。点c∈a，c的邻域u的原象f -1（u） ∈f -1（a）被作为制图对象时，则称f -1（u）为制图物体。f -1（a）在椭球面上的投影a称为制图区域。c的邻域u在球面上的外在特征有三种：

1） 当u=c为单一点时，称c为f -1（u）的点状定位；

2） 当u=lc，lc表现为线状连通集时，称lc为f -1（u）的线状定位；

因数的定义篇2

一、定义域问题

求定义域问题多为简单函数与复合函数的定义域互求，一般有两种类型：

（1）已知 的定义域是A，求 的定义域；

（2）已知 的定义域是A，求 的定义域；

例1 已知函数 的定义域是 ，求函数 的定义域。

解： 的定义域是 ， 的定义域由下列不等式组的解集确定：

故函数 的定义域为 。

例2 已知函数 的定义域是 ，求函数 的定义域。

解： 的定义域是 ，是指 ， 中的 满足

故函数 的定义域为 。

点评：求抽象函数定义域问题，实际上就是以函数的定义为背景，正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题要抓住两点：

（1）函数定义域是指函数自变量 的取值范围；

（2）复合函数特点：将函数 中的 看做 中的 ，它们的取值范围相同。

二、求值问题

例3 已知定义域为 的函数 ，同时满足下列条件：① ；② ，求 的值。

解：取 ，得 ，又 ，

又取 ，得 。

点评：赋值法是解此类问题的常用技巧。而怎样赋值？需要明确目标，细心研究，反复实验。如例3中通过观察已知与未知的联系，可以巧妙地赋值，取 ，这样便把已知条件 与欲求的 沟通了起来。

三、奇偶性问题

例4 （1）已知 对一切实数 都成立，且 ，求证 是偶函数。

（2）已知函数 （ 且 ），对任意不等于零的实数 都有 ，试判断 的奇偶性。

分析：函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑 与 的关系。

解：（1）取 ，得 ，取 ，得 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，即 是偶函数。

（2）取 ，得 ，取 ，得 ，取 ，得 ，所以 ，所以 ，所以 ，即 是偶函数。

点评：判断抽象函数奇偶性的关键是理解函数奇偶性的定义，明确目标（探究 与 的关系），活用抽象式，巧妙赋值。

四、单调性问题

例5 已知偶函数 （ 且 ），对定义域内的任意实数 都有 ，且当 时， ， ，

（1）求证： 在 上是增函数；（2）解不等式 。

解：（1）取 ，则

因为 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ，即 在 上是增函数；

（2）因为 ，所以 ，因为 是偶函数，所以不等式 等价于 ，又 在 上是增函数，所以 ，解得 。

点评：抽象函数的单调性问题多用定义法解决，而解不等式的关键是利用函数单调性去掉符号“ ”。

五、周期性与对称性问题

由抽象式简单判断：同号看周期，异号看对称。常用结论如下表：

周期性 对称性

例6 已知定义在R上的奇函数 满足 ，则 。

解：因为 是定义在R上的奇函数，所以 ，又 ，所以 是周期为4的周期函数，所以 。

因数的定义篇3

关键词：抽象函数；定义域；周期；对称；平移；解析式

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）03-0114

抽象函数的有关内容一直是学生学习的一个难点，关于抽象函数题目类型较多，形式灵活多变，考查内容无论从深度和广度，给人耳目一新的感受，现就其中几个主要问题加以分类解析。

一、求抽象函数的定义域

1. 若已知函数f [g（x）]的定义域为x∈（a，b），求函数f（x）。

解决这类问题的方法是：利用a

例1. 已知函数f（x+1）的定义域是[-2，3]，求y=f（x）的定义域。

解：因为函数f（x+1）的定义域是[-2，3]，所以-2≤x≤3

所以-1≤x+1≤4， 因此y=f（x）的定义域是[-1，4]

2. 若已知函数f（x）的定义域为x∈（a，b），求f [g（x）]函数的定义域。

解决这类问题的方法是：a

例2. 已知函数f（x）的定义域为（0，1]，求函数g（x）=f（x+a）+f（x-a）（-

解：因为函数f（x）的定义域为（0，1]

所以0

由于-

所以不等式组（Ⅰ）的解为-a

即g（x）=f（x+a）+f（x-a）（-

二、抽象函数的周期性和奇偶性

1. 抽象函数的周期性

例3. 定义在R上的函数f（x）满足f（x）=-f（x+2），且当x∈（-1，1]时，f（x）=x2+2x，

求当x∈（3，5]时，f（x）的解析式。

解：f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x）

f（x）是以4为周期的周期函数

设x∈（3，5]时，则-1

f（x）=f（x-4）=（x+4）2+2（x-4）=x2-6x+8（3

评注：若对函数f（x）定义域内的任意，恒有下列条件之一成立（以下式子分母不为零，a≠0）

①f（x+a）=-f（x） ②f（x+a）= ③f（x+a）=-

④f（x+a）=- ⑤f（x+a）=- ⑥f（x+a）=f（x-a）

则函数f（x）是以2a为周期的周期函数①

2. 抽象函数的奇偶性

奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，有时为了便于判断函数的奇偶性，也往往需要先将函数进行化简，或运用定义的等价形式，但对于抽象函数的奇偶性的判断主要是用赋值法，构造出定义的形式。

例4. 已知定义在上的函数f（x），对于任意x，y∈R都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）・f（y），且f（0）≠0

（1）求f（0）的值

（2）判断函数f（x）的奇偶性

解：（1）令x=y=0，则有2f（0）=2[f（0）]2 f（0）≠0 f（0）=1

（2）令x=0，得f（y）+f（-y）=2f（0）・f（y）=2f（y）

所以f（-y）=f（y）这说明函数f（x）是偶函数。

三、抽象函数图像的对称变换

结论1：①函数y=f（-x）与函数y=f（x）的图像关于y轴对称；

②函数y=-f（x）与函数y=f（x）的图像关于轴对称；

③函数y=-f（-x）与函数y=f（x）的图像关于原点轴对称；

④函数y=f-1（x）与函数y=f（x）的图像关于直线y=x轴对称。

结论2：若对定义域内的一切x均有f（x+m）=f（n-x）成立，则函数y=f（x）的图像关于直线x= 对称。

结论3：函数y=f（x+a）与y=f（-x+b）的图像关于直线x=对称（a，b为常数）。

例5. 设函数y=f（x）的定义域为，则函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图像关于（ ）

A. 直线y=0对称 B. 直线x=0对称

C. 直线y=1对称 D. 直线x=1对称

错解：因为函数y=f（x）的定义域为R，且f（x-1）=f（1-x），所以函数y=f（x）的图像关于直线x=0对称，故选择B。

错解分析：错误的原因是将两个不同的对称问题混为一谈，即将两个不同函数图像的对称问题，错误地当成一个函数的图像对称问题，从而导致错误。

正解：因为函数y=f（x）的定义域为R，而y=f（x-1）的图像是y=f（x）图像向右平移1个单位而得到的f（1-x）=f[-（x-1）]的图像是y=f（-x）图像向右平移1个单位而得到的，又因为f（x）与f（-x）的图像关于y轴对称，因此函数y=f（x-1）与y=f（1-x的图像关于直线x=1对称，故应该选择D。

四、求抽象函数的解析式

解决抽象函数解析式的问题，关键是构造出函数f（x）。通常采取赋值法，赋予恰当的数值或代数式后，通过合理运算推理，最后得出结论。

例6. 已知f（0）=1，f（a-b）=f（a）-b（2a-b+1），求函数f（x）的解析式。

解：令a=0，则 f（-b）=f（0）-b（-b-1）=1+b（b-1）=b2-b+1

因数的定义篇4

一、定义域问题

多为简单函数与复合函数的定义域互求。分两大类：

1.已知的定义域，求的定义域

其解法是：若的定义域为，则在中，，从中解得的取值范围即为的定义域。

2.已知的定义域，求的定义域

其解法是：若的定义域为，则由确定的的范围即为的定义域，也就是说的值域就是的定义域。

例1. 已知函数的定义域为，求的定义域.

分析：该函数是由和构成的复合函数，其中是自变量，是中间变量，由于与是同一个函数，因此这里是已知，即，求的取值范围.

解：的定义域为，，.

故函数的定义域为.

例2.若的定义域为，求的定义域.

解：由的定义域为，则必有解得.

所以函数的定义域为.

二、解析式问题

一般使用替代法。如果把x和-x分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，使一个变量在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

例3. 已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）=，

求f（x），g（x）的表达式.

三、单调性问题

一般采用赋值法，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。直接利用函数单调性的定义证明，进一步解决不等式问题。

例4. 设f（x）定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。

证明：在中取，得

若，令，则，与矛盾

所以，即有

当时，;当时，

而

所以

又当时，

所以对任意，恒有

设，则

所以

所以在R上为增函数。

四、奇偶性问题

抽象函数的奇偶性的判断需利用函数奇偶性的定义，找准方向，巧妙赋值，合理，灵活地变形配凑，找出与的关系。

例5. 已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f（x）的奇偶性。

解：取得：，所以

又取得：，所以

再取则，即

因为为非零函数，所以为偶函数。

五、周期性问题

判断一个函数是否为周期函数;一是根据定义，二是记住一些重要的结论：如果函数对定义域中任意满足或等，则是周期函数，是一个周期等等，根据这些条件可以快速获得周期。

例6. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-2）=- f（x），给出下列四个结论：

①f（2）=0;

②f（x）是以4为周期的函数;

③f（x）的图像关于直线x=2对称;

④f（x+2）=f（- x）

其中所有正确命题的序号是___________。

解析1：（1）因为y= f（x）（x∈R）是奇函数，所以f（-x）=- f（x）

令x=0，得f（-0）=-f（0）

所以f（0）=0

又已知f（x-2）=- f（x）

令x=2，得f（0）=- f（2）

所以f（2）=- f（0）=0

故①成立。

（2）因为f（x-2）=- f（x），所以

由x-（x-4）=4（两自变量相减得常数）

所以f（x）是以4为周期的周期函数。

故②成立。

（3）由f（x+2）= f（-x）得：（x+2）+（-x）=2（两自变量相加得常数）

所以f（x）的图像关于直线x=1对称。而不是关于直线x=2对称。

故③是错误的。

（4）由（2）知，f（x）应满足f（x+2）= f（x-2）

而f（x-2）=-f（x）

所以f（x+2）= -f（x）= f（-x）

因数的定义篇5

解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高．所以近几年来高考题中不断出现，在2009年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花．但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心．下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法．

一、抽象函数的定义域

例1已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a) （a＞0）的定义域．

解析：由由a＞0 知只有当0＜a＜1时，不等式组才有解，具体为{x|1+a＜x≤3-a；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0＜a＜1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为（1+a,3-a]．

点评：1.已知f(x)的定义域为[a,b]，则f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解；

2.已知f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域即是g(x)在x [a,b]上的值域． 　 二、抽象函数的值域

解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定．

例2若函数y=f(x+1)的值域为[-1，1]求y=(3x+2)的值域．

解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则 完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为[-1，1]．

三、抽象函数的奇偶性

例3若y=f(x)是偶函数,y= f(x-1)是奇函数，求 f(2007)=?

解析：因为y=f(x-1)是奇函数,所以y=f(-x-1)=-f(x-1){为什么？}；因为 y=f(x)是偶函数，所以f(-x-1)=f(x+1){为什么？}；因为f(x+1)=-f(x-1), 所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x);因为y=f(x-1)是奇函数,所以f(0)=0=f(-1)=f(2007)

四、抽象函数的对称性

例4已知函数y=f(2x+1)是定义在r上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+ g(-x)的值为（ ）

a、 2 b、 0 c、 1 d、不能确定

解析：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=[f （x）-1]/2， y=f(2x+1) 是奇函数，

y=[f （x）-1]/2也是奇函数，[f （x）-1]/2+[f （-x）-1]/2=0 f （x）+f （-x）=2，而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称，g(x)+ g(-x)= f （x）+f （-x）故选a ．

五、抽象函数的周期性

例5、（2009全国卷ⅰ理）函数的定义域为r，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则( )

(a) f(x)是偶函数 (b) f(x)是奇函数

(c) f(x)= f(x+2) (d) f(x+3)是奇函数

解: f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，，

函数关于(-1,0)点，及点(1,0)对称，函数是周期为4的周期函数.，所以f(x+3)= f(x-1)，即f(x+3)是奇函数．故选d

关于抽象函数的周期性有如下的几个定理和性质，由于篇幅问题，推导就省略了．

定理1.若函数y=f (x) 定义域为r，且满足条件f (x＋a)=f (x－b)，则y=f (x) 是以t=a＋b为周期的周期函数．

因数的定义篇6

一、用多媒体激发学生兴趣感悟定义

教学中,要充分运用直观的方法,使抽象的数学定义成为看得见、摸得着、想得来的东西,成为学生能亲身体验的东西;这样既可以帮助学生理解定义,又有利于激发学习的兴趣。有了兴趣了,经过引导学生观察、分析、比较,就能找出事物的本质特性。

二、激发学生的数学思维全面掌握定义

定义的引出是进行定义教学的第一步,这一步走得如何,将影响学生对数学定义的学习。而初中数学教材展现给学生的往往是“由定义到定理、由定理到公式、由公式到例题”的三部曲,这一过程掩盖了数学思想方法的形成。因此,教学中教师不应只简单地给出定义,而应加强对定义的引出,使学生经历定义的形成和发展过程,加深对新定义的印象。初中生正处于由形象思维发展阶段,抽象思维能力较差。因此,教师在定义教学时,切忌直截了当就定义而讲定义,应更多地从定义的产生和发展过程中为学生提供思维情景,让他们通过观察、比较、概括,由特殊到一般,由具体到抽象,这样不仅能帮助学生理解和掌握新定义,而且也使他们的抽象思维得到发展。

三、培养学生散发性思维渗透定义

为防止学生断章取义,培养其发散性思维,就应充分运用变式从各个角度、各个方面加以补充说明。根据学生的年龄特征,认知规律与知识特点,在教学中一些重要的数学定义应遵循逐级递进,螺旋上升的原则。例如在一元一次方程的教学中渗透函数思想:某移动通讯公司开设了两种通讯业务。“全球通”:使用者先缴50元月租费,然后每通话1分钟,再付费0.2元;“快捷通”:不缴月租费,每通话1分钟,付话费0.6元(本题的通话均指市内通话)。(1)一个月内通话多少分钟,两种移动通讯费用相同?(2)某人估计一个月内通话300分钟,应选择哪种移动通讯业务合算些?通过在不同阶段渗透函数思想,使学生对函数定义理解呈螺旋上升,有利于学生不断加深对函数思想的理解。说明:本例根据学生已有的一元一次方程的知识,根据给出的两种通讯业务的话费与通话时间的关系列方程与列代数式解决,这里隐含了两种通讯业务的话费与通话时间两个变量之间的一次函数关系,渗透了函数思想。

四、增强运用定义进行推理判断的思维能力

因数的定义篇7

【关键词】求解；错解；错因分析；正解；反思

函数是描述客观世界中量与量之间对应关系的一种重要的数学模型，因而是中学数学主干知识之一。高中新生初学函数时，由于对函数的概念、性质理解不透，应用不熟，造成错解。本文就结合自己的教学实践，参考历年高考题型,谈谈函数解题中易忽略的几个问题，引起教师重视，供大家参考。

一、忽略定义域的存在与作用

例1 求函数f(x)=log0。5(x2-2x-3)的单调区间。

错解 u(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4在(-∞,1］上是减函数，在［1，∞)上是增函数。结合复合函数性质知：函数f(x)的递增区间是(-∞,1］，递减区间是［1，∞)。

错因分析 上述解法忽略了函数f(x)的定义域(-∞,-1)∪（3，+∞），将(-∞,+∞)错误地应用为函数f(x)的定义域，得出错误结论。

正解 函数f(x)=log0。5(x2-2x-3)的定义域是(-∞,-1)∪（3，+∞），u(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4在(-∞,-1)上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，所以据复合函数的单调性，函数f(x)的递增区间是(-∞,-1)，递减区间是（3，+∞）。

反思 定义域是建立函数关系、研究函数性质的基础，解题中若忽略函数定义域的存在去研究函数的有关性质，往往会出现错解。

二、忽略对应法则的意义与作用

例2 将函数y=log3(2x+1)的图像如何变换，可得到函数y=log3(2x)的图像？

错解 把函数y=log3(2x+1)的图像上所有点向左平移1个单位长度，就可以得到函数y=log3(2x)的图像。

错因分析 函数图像左右平移变换有一定的规律。把函数y=f(x)的图像上所有点向左(h>0)或向右(h

正解 因y=log3(2x+1)=log32x+12，故把函数y=log3(2x)的图像上的所有点向左平移12个单位长度，就可以得到函数y=log32x+12的图像，即y=log3(2x+1)的图像。因此把函数y=log3(2x+1)的图像上所有的点向右平移12个单位长度，就可以得到函数y=log3(2x)的图像。

反思 在研究函数图像变换时，必须弄清楚具体函数中的对应法则的意义及作用对象，才能得到正解。

三、忽略判别式的适用范围

例3 求函数y=x2-x-1x2-x+2的值域。

错解 由y=x2-x-1x2-x+2得

(y-1)x2-(y-1)x+2y+1=0。

①

x∈R,Δ=［-(y-1)］2-4(y-1)(2y+1)≥0,即(y-1)(7y+5)≤0,解得-57≤y≤1。

故函数值域为-57,1。

错因分析 判别式的适用范围是针对一元二次方程的。当y-1=0时，①式不是一元二次方程，则上述求解过程错误。

正解 由y=x2-x-1x2-x+2

得(y-1)x2-(y-1)x+2y+1=0。

②

当y-1≠0，即y≠1时，x∈R，

Δ=［-(y-1)2］-4(y-1)(2y+1)≥0，即(y-1)(7y+5)≤0，

解得-57≤y≤1。当y-1=0即y=1时，②式为3=0，显然不成立，此时无实根，因此y=1不是此函数值。

综上所述，函数的值域为-57,1。

反思 判别式的适用范围是针对一元二次方程的，离开一元二次方程就没有判别式。

四、求反函数时，忽略原函数的值域

例4 求函数y=1-x+1的反函数。

错解 由y=1-x+1，得1-x=y-1，即1-x=(y-1)2，则x=-y2+2y。

因数的定义篇8

关键词：多数统治多数暴政无限权威权力制约

关于民主制度下的统治方式有着各种不同的认识。一般认为，民主统治是所有人全体参与的公共决策制度，民主的公共决策应该采用全体一致的决策规则。但是，由于交易成本的问题，民主制度往往采用多数决策的规则，根据这一规则，占据多数的人们可以随心所欲，至少是少数人必须无条件地服从多数人的意志和裁决。不过，由于多数人的意志并不一定符合理性，他们的利益表达与要求亦并非时时合理，所以多数统治（majority rule）的民主可能退化为多数暴政(majority tyranny)。真正的民主政治不应该只是屈从于多数人的意志，保护多数人的利益要求，而对少数人的意志和利益要求视而不见，否则多数人就有可能依照有规律的过程如选举、立法和多数规则而采取行动，剥夺少数人的自然权利，损害少数人的利益，从而转变为令人恐怖的多数暴政。本文的任务是探讨多数统治的理论假设、多数统治何以退化为多数暴政的逻辑，并探索促使多数善政(good majority governance)的制度建设逻辑。

一、多数统治的理论假设

实际运作的民主制度大都是多数人的统治，这是勿容置疑的事实，因此可以说多数统治是民主的实际制度形态。多数统治有以下两个方面的内涵：体现多数规则的多数裁定或多数裁决，即在意见分歧的情况下由多数做出决定；由人民中的大多数来统治国家。多数统治构成了民主社会公共决策的制度基础，但是，这并不意味着它就是真正的民主制度。多数统治能够成为多数善政的实际民主制度，有许多理论假设。古代的先贤和当今的思想家们都对此问题进行了不少探讨和研究，如果考诸思想史，那么我们就会发现多数统治主要建基于以下一些理论假设之上。

首先，多数统治理论假设集体智慧超过个人的智慧。

个人具有更大的智慧还是集体具有更大的智慧，这历来是一个颇具争议的问题，相信前者往往会在政治上导致精英（专制）统治的出现，而相信后者必然在政治上产生多数统治。实际上，这个疑难问题在历史上曾经普遍存在过。例如，在民主制度最早实验地的古希腊，当时就存在着是把统治权交给少数好人（贤良、哲学王）还是交给多数平民的争论。最早对政治学进行规范和系统研究的亚里士多德（Aristotle）就认为，“就多数而论，其中每一个别的人常常是无善足述；但当他们合而为一个集体时，却往往可能超过少数贤良的智能”，并用多人出资举办的宴会可以胜过一人独办的宴会为例来说明多数人的智慧超过少数贤良的智慧。[1]据此，亚里士多德所理解的“平民政体”就是自由而贫穷同时又为多数的人们所控制的政体，反之则为“寡头政体”。由此可知，统治方式决定于智慧的高低，因为多数人拥有更大的智慧，所以应该由多数人进行统治。

其次，多数统治理论假设，正义在多数人一边。

“正义”是一个古老而又经久不衰的问题，历来被视为人类社会的美德和崇高理想，是人类生生不息的追求。西方的思想家从各种角度赋予正义以多种含义，如：正义即各人得其所应得、正义即“和谐”、正义即“自由”、正义即“安全”、正义即法治或合法性、正义即“共同幸福”，等等。亚里士多德则认为政治学上的善就是“正义”，它以公共利益为依归，是某些事物的“平等”（均等）观念。[2]

美国著名哲学家罗尔斯（J.Rawls）可以说是当代正义理论的集大成者，认为正义指的是“自由与平等”。他将正义系统地分为实质正义、形式正义和程序正义三大类。实质正义是关于社会的实体目标和个人的实体性权利与义务的正义，它包括政治正义（或宪法正义）、经济正义（或分配正义）和个人正义，其中政治正义和经济正义又合称社会正义。形式正义又叫“作为规则的正义”或法治，其基本含义是严格地一视同仁地依法办事。程序正义介于实质正义与形式正义之间，要求规则在制定和适用中程序具有正当性，它包括纯粹的、完善的和不完善的程序正义三种形式。罗尔斯指出由于在政治事务中不可能获得完善的程序正义，立宪过程在相当大的程度上必须依赖于某种形式的投票。因此，虽然多数人可能由于缺乏知识和判断力，或者由于偏狭和自私的观点，肯定要犯错误，有着许多不完善的地方，但是要支持一种正义宪法，某种适当限制的多数裁决规则在实践中是必不可少的，因为它被证明是用来保障正义而有效的立法的可行的最佳方法，也是实现由正义原则预定的某些目的的最可行方法。[3]由此可知，多数统治是确保和实现正义的一种手段，是达到某些民主目的的最佳方法。

第三，多数统治理论假设，人民主权就是多数人主权。

人民主权思想是近代以来许多思想家所竭力提倡的。人民主权理论的提倡者之一卢梭(J.J.Rousseau)，就将人民的意志或主权的意志称之为公意，认为公意是高于一切的意志，永远是公正的和以公共利益为依归的。因此“我们每个人都以其自身及其全部的力量共同置于公意的最高指导之下”，受这种公意指导的约束，接受体现公意的多数统治：“投票的大多数是永远可以约束其他一切人的。”如果共同体的任何人拒不服从公意或者主权，“全体就要迫使他服从公意”。既然主权来自人民，那就应该由人民掌握，“正如主权是不能转让的，同理，主权也是不能代表的……因此，人民的议员就不是、也不可能是人民的代表，他们只不过是人民的办事员罢了”。[4]

人民主权理论在法国大革命中得到了充分的实践。大革命时期的人民主权观念在当时的含义就是多数统治是没有限制的，也是不可限制的。法国人民相信，既然所有的权力已被置于人民之手，一切用来制止滥用这种权力的保障措施就变得不再必要,民主的实现会自动阻止对权力的专断使用。大革命时期信奉人民主权观念的雅各宾分子就认为公意高于纯粹的个人利益，主张既然“公意”是更为民主的原则，是“新社会”的基础，任何破坏新社会有机统一的因素本身就是反民主的。据此，雅各宾分子及其革命的继承者在实践中依靠瞬时的多数来建立共识。由此可知，人民主权观念在导致多数统治上起了重要的作用。

第四，多数统治理论假设，多数规则是简便易行的民主规则。

决议规则是多种多样的，但是在所有决议规则中，多数裁定规则可以说是与民主政治紧密相连的最普通和最重要的规则，因为它使民主政治变得具有可行性。而在可能选择的多数规则中，简单多数规则又有着一种特殊的好处，即它本身既能防止少数人代表整体采取行动，也能防止少数阻碍整体采取行动，因此多数裁定规则能够集效率与保护作用于一体，常常被选定为最合适的折衷办法。根据洛克(J.Locke)的自然法学说，人们一旦让渡了自己的一部分权利给共同体，那么个人就有服从大多数的义务，多数也有替少数作出决定的权利。他指出，任何人要放弃其自然自由并受制于公民社会的种种限制，以谋取他们彼此间的舒适、安全和和平的生活，安稳地享受他们的财产，唯一的办法就是同其他人协议联合组成为一个共同体。一旦人们同意" 建立一个共同体或政府，并结合起来组成一个国家，那里的大多数人就享有替其余的人作出行动和决定的权利，因为共同体具有作为一个整体而行动的权力，而这必须要经过大多数人的同意和决定。因此，“当每个人和其他人同意建立一个由一个政府统辖的国家的时候，她使自己对这个社会的每一成员负有服从大多数的决定和取决于大多数的义务；否则他和其他人为结合成一个社会而订立的那个原始契约便毫无意义”。[5]在洛克看来，个人的同意只对合法的公民政府的最初建立具有关键作用，此后，“同意”就来自于“人民”的代表以多数原则作出的决定，只要这些被治者的人遵守起初的社会契约和契约义务来保障“生命、自由和财产”。否则，建立新政府的暴动是正义和难免的。

二、多数暴政的产生

如果多数统治的理论假设是充分的，那么多数统治就是合理的，不会出现任何问题。但是，事实是多数人的智慧并非在任何时候都一定超过少数人或个人的智慧，正义也不可能只掌握在多数人手里，人民主权也不应该只是多数人的主权。法国大革命的实践也表明，多数人有时比少数人更愚蠢，正义也往往不在“狂妄”的多数人一边，以不受限制的人民主权原则为基础的多数统治常常会变成武断的、压迫性的多数暴政：多数人不受制约地肆意滥用公共权力并侵犯少数人的利益。民主制度下的多数暴政的结果与个人专制下的暴政对于受害者来说是一样暴虐的。多数统治之所以可能变成多数的暴政，其原因是多数统治的理论假设是不完全现实的，多数统治的许多方面都容易使多数统治走向多数暴政，而不是走向多数善政。

首先，多数人的决策不一定具有一种更高的超个人的智慧。

多数统治理论认为，人越多智慧越高，多数人的决策相对而言会更加理性一些。然而事实并非完全如此，多数人的决策有时也是非理性的，难以显示出具有一种更高的超个人的智慧。如果人民的参与能够常常达到令人满意的程度，某种多数裁定规则或许就是实现公众要求的合理手段。但是多数裁定规则不能作为衡量民主程度的标志，因为它并不能保证人民的参与能够达到满意的广度；另外，即使人民的参与非常广泛，在错综复杂的社会里，人民的多数以及他们的代表们并不一定总是具有解决疑难问题的必备知识。同时，多数有超过半数、比较多数、限定多数这样一些分别，有出席者的多数和包括未出席者的多数，因此多数的智慧和知识也是不稳定和充满变数的，多数裁定规则也是可以作多种解释的规则。

事实上，多数裁定规则只是实现政治立法和行政决策的一种制度安排，是实现民主的一种手段而非民主的实质。它与各种各样的决议规则一样有其优点和局限性，在效率上甚至还不如其它手段更具优势，原因在于多数裁定规则常常不能将权力置于那些最为明智和更具个人理性的精英的手中。英国著名学者哈耶克（F.A.von Hayek）就对多数人的智慧一定超过少数人提出了质疑，指出认为多数决策具有一种更高的超个人的智慧是没有理由的，因为“只有自生自发的社会发展所达致的成就才可能具有这种智慧”[6]。正因为如此，多数的意见难以完全是有益的或明智的，多数人的统治完全有可能导致多数暴政的出现。例如，在美国，导致多数决定一切的多数的道义观念就假定许多人联合起来总比一个人才智大，因此多数以为自己有权管理社会，其利益应当优于少数人的利益，等等。由此，美国社会的多数不但拥有强大的管理国家的实权，而且拥有强大的影响舆论的实力，多数一旦提出一项动议，那么一般不会遇到阻止通过动议和推迟表决动议的障碍。[7]这样的多数决定也就难以听到反对者的声音，更不可能关注到少数者的利益，并常常会对少数者做出不公正的决定，对后者来说这无异于实施了事实上的专制和暴政。

其次，多数人的交易规则对少数人具有强制作用，少数人无法以退出抗拒多数人的损害行为。

在一定意义上，我们可以把民主过程视作一个多人达成交易的谈判过程，其通行的规则与市场交易规则一样是一致同意。实际上，构成民主社会的根本规则是大家对某些共同原则的广泛同意，是认识上的一致同意而不是多数投票，因此民主政治是在一种共识的范围内运行的，这些共识包括关于程序规则、关于政策选择范围、关于政治活动合法范围等方面。这些共识程度越深，民主就越能够得到保障，在某种程度上其作用甚至大于三权分立这样的制度安排。不过，相对自由的市场交易而言，由于参与民主过程谈判的人数比较多，而多人之间要取得一致同意和完全的共识的实际难度比较大，因此人们被迫采用了前述的多数规则来做出决定，其结果就必然要引起自由与民主之间的分歧。在市场交易过程中，一旦任何一方发现对方的最好出价有悖于自己的利益要求时，可以以自由退出市场交易过程来表示抗议，并维护自己的利益。可是，在通过多数投票进行公共选择的民主过程中，每当多数人表决通过一项公共决策时，少数人尽管可以自由表达自己的意志和投票表示反对，但在实际行动中却不能自由退出这个过程，因为人们退出一个社会的交易成本要远远高于退出一个市场的交易成本。

因此，多数投票原则可以使多数能够作出对少数具有约束力的决策，这直接意味着政治权威和决策能力在二者之间的配置是不平等的，“人数最多的党派，或者换句话说，最有力量的党派当然会占优势”[8]。如果不适当的多数统治原则一旦在政府体制中占据了主导地位，那么就难以有任何力量来挑战和打破多数派的统治，这时多数派就完全可以滥用政治特权而牟取私利，并牺牲共同体和他人的利益，因为他们能够通过多数投票规则在政治游戏中先发制人，获取共同体的各种收益。而投票程序的合法性使得政府或其他的组织可以正当地使用强制性手段，去执行多数人的决定并压迫他人屈服。在这种情况下少数人就不得不默默忍受多数人通过的决策对自己造成的损害，并很容易发生多数人损害少数人和个人的权利的多数暴政。

第三，不受法律制约的多数的无限权威容易趋向专制。

根据人民主权学说，多数人的力量是十分强大的，因为该学说不仅认为少数人应该同意多数人的决定，“人民”的权力是一元的和不受制约的，而且对于多数的范围并未加以限制。然而，不受法律制约的多数人的多数裁决具有很大的随意性和强烈的倾向性，容易为人们的意志所左右。亚里士多德就曾指出在古希腊某些采取多数制的平民政体中，由群众而不是由法律来最后裁决政务，民众在这种政体里往往成为一位集体的君主，他们在进行政治活动时不以“法律”为依归，包含着专制君主的性质，并渐渐趋向于专制。[9]造成专制的原因在于不受法律制约的多数的无限权威容易趋向于多数暴政，并对少数人和社会带来一系列危害。例如，法国著名思想家托克维尔(A.de Tocqueville)在上个世纪认为美国民主的最大危险来自美国多数的无限权威，因为不关心少数派利益的多数派联盟在由大众选举的立法机关、行政官员和法官中占据主导了地位，特别是在州一级政府中更是如此，所有的东西都可以多数的名义得以正当化，法律也可以以正义的名义制定出来并得到批准。因此，多数派能够支配不受制约的权力工具，统制公共舆论的运用，并使非主流的舆论鸦雀无声。

在这种情况下，多数的无限权威实际上对美国人的思想、民情、公务等方面产生了许多负面的影响。每当一个人或党派在受到不公正待遇之后，常常无处去诉苦，原因在于舆论是多数制造的，立法机构代表并盲目服从多数，行政首长是由多数选任的百依百顺的工具，警察是由多数掌握的军队，陪审团是拥有宣判权的多数。多数的无限权威实际上帮助了立法者的合法专" 制，增加了公务员的专断权，加强了思想界的专制，助长了国民性的软弱和巴结大多数的心理。即使法律职业人员的品性、法官审判、地方政府在执行法律方面的地位以及其他许多因素都缓和了多数的暴政，但是暴政的危险依然存在。因此，托克维尔认为多数的无限权威是一个坏而危险的东西，危及到每一个共和政体。政府的垮台通常是由于无能或暴政造成的，前者使权力自行离开政府，后者使权力被人夺走。民主政府的垮台几乎总是肇始于滥用民主的资源，无政府状态的形成也总是来源于暴政或管理不当。[10]如果对美国多数的无限权威不加以制约，多数派就能够运用其支配地位来追求自己的私利，其所行使的专制将会使少数忍无可忍，并通过结盟来试图使其损失最小化，在没有其他更为合理的办法时，会被迫运用武力在内的极端手段来解决冲突，民主社会就会很快退化为各种力量相互战争的无政府状态，最终导致民主共和政体解体。

三、多数善政的制度安排

从以上论述可知，多数统治的民主政治可能退化为多数暴政，并对民主政体本身带来现实与潜在的威胁。要避免多数统治退化为多数暴政，而成为多数善政，就要确立各种各样的制度安排，其中重要的制度安排包括限制多数权力的制度安排、给少数人以自主治理的制度安排、以司法救济限制多数并保护少数、用社会力量制约多数权力之机会的制度安排等。

首先，要对多数的权力进行有效制约。

有许多因素，包括政治代议制和大的选民集体，特别是适当的宪法设计，可以限制和缓和多数的权力，从而避免发生暴政的危险。美国的联邦宪政体制就是根据多种制衡机制来制约权威运作的，它极大地减少了多数派支配所有决策结构的可能性。如果宪法限制了无限权威的运用，并对权力进行分散配置，那么所有的权力特别是多数派的权力就会受到制约。如麦迪逊所设想的那样，治理的权力根据“相反的和敌对的利益”来组织，这样就能够利用权力来制约权力。[13]通过分权，把政府的权力配置在若干个公职的手中，每一方都为相互竞争的其他方所制约，这样多种多样的决策结构有利于寻求符合正义标准和普遍利益的决策。同时，分立的决策结构也为个人提供了多种多样的机会，使个人能够个别地和集体地表达其偏好和疾苦，并对政府权威机构提出要求：通过国会议员、总统、副总统的任期限制可以得到政治救济；通过参众两院大量的议席可以得到立法救济；通过忠实地执行法律的行政责任制可以得到行政救济；依据正当的法律程序，任何人有权要求考虑其申诉状以及要求判决以纠正错误，以此可以获得司法救济；最后，通过变更和修正宪法本身的活动，可以得到宪法救济。[14]

不过，在多数的人数很多而且决心要为所欲为时，任何对多数的外部限制都无法长期地起到作用。所以，必须在制度上允许人民普遍参与管理能够得到继续，必须在推行多数裁定规则时发展一种惯例上的平衡，即在某一问题上作出裁定的多数不一定就是社会面临的其他许多问题上作出裁定的多数，真正有最后裁定权的是成员经常改变的不同的多数，[15]因为固定或永久的多数可能滥用权力进行压迫，妨碍普遍参与的实现，甚至彻底破坏许多对立利益集团之间的微妙平衡。

其次，建立和充分利用司法体系和法官的制衡作用。

从以上论述可知，政治制约能够带来约束多数暴政的理性和正义，但它尚不足以保证这种理性和正义。历史与现实表明，司法体系和法官阶层都对多数暴政的出现具有某种制衡作用。亚里士多德早就指出，法律可使事物合于正义（公平），“较之公民的统治，法律统治更为确当”。按照他的理解，古希腊凡不能维持法律威信的城邦都不能说它已经建立了任何政体，因此他竭力谴责那种“由人民统治而非法律统治”的政治体制，“如果将所有权力都集中于人们的表决，那么严格说来，它就不可能是一种民主制”。[16]所以，如果我们的认识只停留在以为民主就是多数决定，认为多数决定就天然地代表正义，那会葬送民主。民主与法治有着天然联系，法治不仅不会对民主形成侵犯和压抑，反而是民主制度能够有效存在的条件。法律能够保证人的基本权利，司法体系能够成为制约立法机构和行政机关的力量。例如，美国立法机关、法院和各行政机关的多重批准和多重上诉的主张，就是要防止民主退化成暴民政府。[17]

法学家精神和陪审制度对多数统治也能起到平衡的作用。举例来说，美国法学家一方面因其爱好而自然倾向于贵族和君主，另一方面又因其利益而自然倾向于人民；加之其职业要求他们在两个互相冲突的个人之间寻求公正，在两个原则间裁定正义，在经济上又是比较富裕的阶层，因此法学家比其他人更有可能在两个人、团体、机构以至原则之间持公平和超脱的立场。这样法学家虽然喜欢民主政府，但没有民主政府的偏好，没有承袭民主的弱点；与此同时，人民也信任法学家，深知其利益在于对人民的事业服务，所以不会危害民主政府。由于美国没有旧式贵族、文人，人民又不信任富人，因而法学家就成为一个高等政治阶级，是社会上最有知识和最具理性的部分，是美国能够平衡民主的最强大甚至可以说是唯一的力量。此外，美国的陪审制度是作为司法制度而存在，但却作为政治制度而起作用的。托克维尔认为陪审制度、特别是民事陪审制度，能使法官的一部分理性思维习惯进入所有公民的头脑，而这正是人民为使自己自由而要养成的习惯，如权利观念、做事公道、对己行为负责、对社会负责和提高知识等等。作为使人民实施统治的最有力手段的陪审制度，也是使人民学习如何进行统治的最有效手段。[18]

第三，给予少数人更大程度的自主治理。

不容否认，多数统治问题是一个永久性的问题，因为一个社会的全体或绝大多数成员永远不会有同样的利益、爱好和价值，所以多数裁定原则在一定意义上是道义上一种过得去的决策方式。不过，在某些情况下，少数人是难以容忍多数裁定原则的，尤其是在诸如语言、宗教和财产权这样涉及少数人和个人基本权利的问题上实行多数裁定原则，就容易导致国家分裂和民主毁灭等严重后果。实践证明，保护公共利益和私人权利免遭多数派的侵犯，解决多数统治与少数人不自由的矛盾，主要途径是通过给予少数人更大程度的自主治理。所以，在少数人的自由受到民主过程威胁时，允许少数人拥有更大程度的自主治理空间，可以满足少数人对于自由（包括信仰、结社、" 迁移、就业、尊严以及政治参与等等）、权利等方面的要求。基于以上理由，每当源于民主程序的结果，少数公民被多数公民剥夺了某些基本权利、自由或者机会时，少数人必须得到某种程度的自主治理以进行补偿，这也是对民主程序本身存在的偏差进行的一种修正。[19]由此可知，少数人和个人需要有一些不可侵犯的基本权利和自主治理的领域。某些制度安排是有利于少数人的自主治理和对多数暴政的限制。

同时，美国的乡村自治传统，成为托克维尔称之为“人民主权”的自主治理体制的基础，是构建美国的力量，限制了美国多数暴政的发生。乡镇组织将自由带给人民，教导人民安享自由和学会让自由为他们服务，使人民养成了爱好自由和掌握运用自由的艺术，使美国大多数人有了自由的精神，在一定程度上限制了中央的行政集权和多数的专制。因此，民主体制的长期活力靠的是人民的自治能力。麦迪逊也指出，“一切政治实验”都应该“寄托于人类自治能力的基础上”[22]。由此可知，联邦政府形式、乡镇自治制度以及司法结构等等，非常有助于美国人的自主治理。

第四，充分利用社会力量对多数的权力进行制约。

除了利用政治体系与司法体系这些以权力制约权力的手段之外，也存在着充分利用诸如民情、宗教文化和社会伦理这类社会力量，来制约多数的权力和防止多数暴政。诚如大家所知，以权力制约权力的思想是自由主义思想家洛克和孟德斯鸠(Montesquieu)所提倡的，它对美国形成以政治分权为基础的宪法来制约多数人的统治方面有过重要的作用。但是，在缺少一定的社会分权的情况下，任何宪法的制度性安排都不可能产生一个非暴政的民主共和国。许多照搬美国宪法的拉丁美洲国家的长期动乱史就是这方面的明证。实际上，某些社会因素在加强民主方面，可能远比任何特殊的宪法设计还来得重要。比如，一个利益多样化的多元社会体系，可以解决多数人与少数人在偏好不同时发生的利益冲突；而多元组织的存在，可以防止少数统治者对社会的全面控制，因为不同的竞争性利益的存在，是民主的均衡和公共政策顺利发展的基础。

因数的定义篇9

Institutional Foundations of Democratic Politics

提要： 实际的民主制度是多数人的统治，这是人民主权原则和正义原则的体现。但是多数人的统治并不就是真正的民主制度，它并不意味着多数人可以滥用权力，因为集体的智慧是有限的，多数的无限权威容易导致专制，加上多数的交易规则对少数人的强制作用，多数的权力如果不受制约，常常会产生多数人践踏少数人权益的多数暴政。因此，要使多数统治不退化为多数暴政，而成为多数善政，就要对多数投票决定问题的范围需要加以限定，少数人应当被给予更大程度的自治，司法体系和社会力量要充分利用来对多数的权力加以制衡。这样，民主政治就有了适当的制度基础。

关键词： 多数统治 多数暴政 无限权威 权力制约

关于民主制度下的统治方式有着各种不同的认识。一般认为，民主统治是所有人全体参与的公共决策制度，民主的公共决策应该采用全体一致的决策规则。但是，由于交易成本的问题，民主制度往往采用多数决策的规则，根据这一规则，占据多数的人们可以随心所欲，至少是少数人必须无条件地服从多数人的意志和裁决。不过，由于多数人的意志并不一定符合理性，他们的利益表达与要求亦并非时时合理，所以多数统治（majority rule）的民主可能退化为多数暴政(majority tyranny)。真正的民主政治不应该只是屈从于多数人的意志，保护多数人的利益要求，而对少数人的意志和利益要求视而不见，否则多数人就有可能依照有规律的过程如选举、立法和多数规则而采取行动，剥夺少数人的自然权利，损害少数人的利益，从而转变为令人恐怖的多数暴政。本文的任务是探讨多数统治的理论假设、多数统治何以退化为多数暴政的逻辑，并探索促使多数善政(good majority governance)的制度建设逻辑。

一、多数统治的理论假设

实际运作的民主制度大都是多数人的统治，这是勿容置疑的事实，因此可以说多数统治是民主的实际制度形态。多数统治有以下两个方面的内涵：体现多数规则的多数裁定或多数裁决，即在意见分歧的情况下由多数做出决定；由人民中的大多数来统治国家。多数统治构成了民主社会公共决策的制度基础，但是，这并不意味着它就是真正的民主制度。多数统治能够成为多数善政的实际民主制度，有许多理论假设。古代的先贤和当今的思想家们都对此问题进行了不少探讨和研究，如果考诸思想史，那么我们就会发现多数统治主要建基于以下一些理论假设之上。

首先，多数统治理论假设集体智慧超过个人的智慧。

个人具有更大的智慧还是集体具有更大的智慧，这历来是一个颇具争议的问题，相信前者往往会在政治上导致精英（专制）统治的出现，而相信后者必然在政治上产生多数统治。实际上，这个疑难问题在历史上曾经普遍存在过。例如，在民主制度最早实验地的古希腊，当时就存在着是把统治权交给少数好人（贤良、哲学王）还是交给多数平民的争论。最早对政治学进行规范和系统研究的亚里士多德（Aristotle）就认为，“就多数而论，其中每一个别的人常常是无善足述；但当他们合而为一个集体时，却往往可能超过少数贤良的智能”，并用多人出资举办的宴会可以胜过一人独办的宴会为例来说明多数人的智慧超过少数贤良的智慧。[1]据此，亚里士多德所理解的“平民政体”就是自由而贫穷同时又为多数的人们所控制的政体，反之则为“寡头政体”。由此可知，统治方式决定于智慧的高低，因为多数人拥有更大的智慧，所以应该由多数人进行统治。

其次，多数统治理论假设，正义在多数人一边。

“正义”是一个古老而又经久不衰的问题，历来被视为人类社会的美德和崇高理想，是人类生生不息的追求。西方的思想家从各种角度赋予正义以多种含义，如：正义即各人得其所应得、正义即“和谐”、正义即“自由”、正义即“安全”、正义即法治或合法性、正义即“共同幸福”，等等。亚里士多德则认为政治学上的善就是“正义”，它以公共利益为依归，是某些事物的“平等”（均等）观念。[2]

美国著名哲学家罗尔斯（J. Rawls）可以说是当代正义理论的集大成者，认为正义指的是“自由与平等”。他将正义系统地分为实质正义、形式正义和程序正义三大类。实质正义是关于社会的实体目标和个人的实体性权利与义务的正义，它包括政治正义（或宪法正义）、经济正义（或分配正义）和个人正义，其中政治正义和经济正义又合称社会正义。形式正义又叫“作为规则的正义”或法治，其基本含义是严格地一视同仁地依法办事。程序正义介于实质正义与形式正义之间，要求规则在制定和适用中程序具有正当性，它包括纯粹的、完善的和不完善的程序正义三种形式。罗尔斯指出由于在政治事务中不可能获得完善的程序正义，立宪过程在相当大的程度上必须依赖于某种形式的投票。因此，虽然多数人可能由于缺乏知识和判断力，或者由于偏狭和自私的观点，肯定要犯错误，有着许多不完善的地方，但是要支持一种正义宪法，某种适当限制的多数裁决规则在实践中是必不可少的，因为它被证明是用来保障正义而有效的立法的可行的最佳方法，也是实现由正义原则预定的某些目的的最可行方法。[3]由此可知，多数统治是确保和实现正义的一种手段，是达到某些民主目的的最佳方法。

第三，多数统治理论假设，人民主权就是多数人主权。

人民主权思想是近代以来许多思想家所竭力提倡的。人民主权理论的提倡者之一卢梭(J. J. Rousseau)，就将人民的意志或主权的意志称之为公意，认为公意是高于一切的意志，永远是公正的和以公共利益为依归的。因此“我们每个人都以其自身及其全部的力量共同置于公意的最高指导之下”，受这种公意指导的约束，接受体现公意的多数统治：“投票的大多数是永远可以约束其他一切人的。”如果共同体的任何人拒不服从公意或者主权，“全体就要迫使他服从公意”。既然主权来自人民，那就应该由人民掌握，“正如主权是不能转让的，同理，主权也是不能代表的……因此，人民的议员就不是、也不可能是人民的代表，他们只不过是人民的办事员罢了”。[4]

人民主权理论在法国大革命中得到了充分的实践。大革命时期的人民主权观念在当时的含义就是多数统治是没有限制的，也是不可限制的。法国人民相信，既然所有的权力已被置于人民之手，一切用来制止滥用这种权力的保障措施就变得不再必要, 民主的实现会自动阻止对权力的专断使用。大革命时期信奉人民主权观念的雅各宾分子就认为公意高于纯粹的个人利益，主张既然“公意”是更为民主的原则，是“新社会”的基础，任何破坏新社会有机统一的因素本身就是反民主的。据此，雅各宾分子及其革命的继承者在实践中依靠瞬时的多数来建立共识。由此可知，人民主权观念在导致多数统治上起了重要的作用。

第四，多数统治理论假设，多数规则是简便易行的民主规则。

决议规则是多种多样的，但是在所有决议规则中，多数裁定规则可以说是与民主政治紧密相连的最普通和最重要的规则，因为它使民主政治变得具有可行性。而在可能选择的多数规则中，简单多数规则又有着一种特殊的好处，即它本身既能防止少数人代表整体采取行动，也能防止少数阻碍整体采取行动，因此多数裁定规则能够集效率与保护作用于一体，常常被选定为最合适的折衷办法。根据洛克(J.Locke)的自然法学说，人们一旦让渡了自己的一部分权利给共同体，那么个人就有服从大多数的义务，多数也有替少数作出决定的权利。他指出，任何人要放弃其自然自由并受制于公民社会的种种限制，以谋取他们彼此间的舒适、安全和和平的生活，安稳" 地享受他们的财产，唯一的办法就是同其他人协议联合组成为一个共同体。一旦人们同意建立一个共同体或政府，并结合起来组成一个国家，那里的大多数人就享有替其余的人作出行动和决定的权利，因为共同体具有作为一个整体而行动的权力，而这必须要经过大多数人的同意和决定。因此，“当每个人和其他人同意建立一个由一个政府统辖的国家的时候，她使自己对这个社会的每一成员负有服从大多数的决定和取决于大多数的义务；否则他和其他人为结合成一个社会而订立的那个原始契约便毫无意义”。[5]在洛克看来，个人的同意只对合法的公民政府的最初建立具有关键作用，此后，“同意”就来自于“人民”的代表以多数原则作出的决定，只要这些被治者的人遵守起初的社会契约和契约义务来保障“生命、自由和财产”。否则，建立新政府的暴动是正义和难免的。

二、多数暴政的产生

如果多数统治的理论假设是充分的，那么多数统治就是合理的，不会出现任何问题。但是，事实是多数人的智慧并非在任何时候都一定超过少数人或个人的智慧，正义也不可能只掌握在多数人手里，人民主权也不应该只是多数人的主权。法国大革命的实践也表明，多数人有时比少数人更愚蠢，正义也往往不在“狂妄”的多数人一边，以不受限制的人民主权原则为基础的多数统治常常会变成武断的、压迫性的多数暴政：多数人不受制约地肆意滥用公共权力并侵犯少数人的利益。民主制度下的多数暴政的结果与个人专制下的暴政对于受害者来说是一样暴虐的。多数统治之所以可能变成多数的暴政，其原因是多数统治的理论假设是不完全现实的，多数统治的许多方面都容易使多数统治走向多数暴政，而不是走向多数善政。

首先，多数人的决策不一定具有一种更高的超个人的智慧。

多数统治理论认为，人越多智慧越高，多数人的决策相对而言会更加理性一些。然而事实并非完全如此，多数人的决策有时也是非理性的，难以显示出具有一种更高的超个人的智慧。如果人民的参与能够常常达到令人满意的程度，某种多数裁定规则或许就是实现公众要求的合理手段。但是多数裁定规则不能作为衡量民主程度的标志，因为它并不能保证人民的参与能够达到满意的广度；另外，即使人民的参与非常广泛，在错综复杂的社会里，人民的多数以及他们的代表们并不一定总是具有解决疑难问题的必备知识。同时，多数有超过半数、比较多数、限定多数这样一些分别，有出席者的多数和包括未出席者的多数，因此多数的智慧和知识也是不稳定和充满变数的，多数裁定规则也是可以作多种解释的规则。

事实上，多数裁定规则只是实现政治立法和行政决策的一种制度安排，是实现民主的一种手段而非民主的实质。它与各种各样的决议规则一样有其优点和局限性，在效率上甚至还不如其它手段更具优势，原因在于多数裁定规则常常不能将权力置于那些最为明智和更具个人理性的精英的手中。英国著名学者哈耶克（F. A. von Hayek）就对多数人的智慧一定超过少数人提出了质疑，指出认为多数决策具有一种更高的超个人的智慧是没有理由的，因为“只有自生自发的社会发展所达致的成就才可能具有这种智慧”[6]。正因为如此，多数的意见难以完全是有益的或明智的，多数人的统治完全有可能导致多数暴政的出现。例如，在美国，导致多数决定一切的多数的道义观念就假定许多人联合起来总比一个人才智大，因此多数以为自己有权管理社会，其利益应当优于少数人的利益，等等。由此，美国社会的多数不但拥有强大的管理国家的实权，而且拥有强大的影响舆论的实力，多数一旦提出一项动议，那么一般不会遇到阻止通过动议和推迟表决动议的障碍。[7]这样的多数决定也就难以听到反对者的声音，更不可能关注到少数者的利益，并常常会对少数者做出不公正的决定，对后者来说这无异于实施了事实上的专制和暴政。

其次，多数人的交易规则对少数人具有强制作用，少数人无法以退出抗拒多数人的损害行为。

在一定意义上，我们可以把民主过程视作一个多人达成交易的谈判过程，其通行的规则与市场交易规则一样是一致同意。实际上，构成民主社会的根本规则是大家对某些共同原则的广泛同意，是认识上的一致同意而不是多数投票，因此民主政治是在一种共识的范围内运行的，这些共识包括关于程序规则、关于政策选择范围、关于政治活动合法范围等方面。这些共识程度越深，民主就越能够得到保障，在某种程度上其作用甚至大于三权分立这样的制度安排。不过，相对自由的市场交易而言，由于参与民主过程谈判的人数比较多，而多人之间要取得一致同意和完全的共识的实际难度比较大，因此人们被迫采用了前述的多数规则来做出决定，其结果就必然要引起自由与民主之间的分歧。在市场交易过程中，一旦任何一方发现对方的最好出价有悖于自己的利益要求时，可以以自由退出市场交易过程来表示抗议，并维护自己的利益。可是，在通过多数投票进行公共选择的民主过程中，每当多数人表决通过一项公共决策时，少数人尽管可以自由表达自己的意志和投票表示反对，但在实际行动中却不能自由退出这个过程，因为人们退出一个社会的交易成本要远远高于退出一个市场的交易成本。

因此，多数投票原则可以使多数能够作出对少数具有约束力的决策，这直接意味着政治权威和决策能力在二者之间的配置是不平等的，“人数最多的党派，或者换句话说，最有力量的党派当然会占优势”[8]。如果不适当的多数统治原则一旦在政府体制中占据了主导地位，那么就难以有任何力量来挑战和打破多数派的统治，这时多数派就完全可以滥用政治特权而牟取私利，并牺牲共同体和他人的利益，因为他们能够通过多数投票规则在政治游戏中先发制人，获取共同体的各种收益。而投票程序的合法性使得政府或其他的组织可以正当地使用强制性手段，去执行多数人的决定并压迫他人屈服。在这种情况下少数人就不得不默默忍受多数人通过的决策对自己造成的损害，并很容易发生多数人损害少数人和个人的权利的多数暴政。

第三，不受法律制约的多数的无限权威容易趋向专制。

根据人民主权学说，多数人的力量是十分强大的，因为该学说不仅认为少数人应该同意多数人的决定，“人民”的权力是一元的和不受制约的，而且对于多数的范围并未加以限制。然而，不受法律制约的多数人的多数裁决具有很大的随意性和强烈的倾向性，容易为人们的意志所左右。亚里士多德就曾指出在古希腊某些采取多数制的平民政体中，由群众而不是由法律来最后裁决政务，民众在这种政体里往往成为一位集体的君主，他们在进行政治活动时不以“法律”为依归，包含着专制君主的性质，并渐渐趋向于专制。[9]造成专制的原因在于不受法律制约的多数的无限权威容易趋向于多数暴政，并对少数人和社会带来一系列危害。例如，法国著名思想家托克维尔(A.de Tocqueville)在上个世纪认为美国民主的最大危险来自美国多数的无限权威，因为不关心少数派利益的多数派联盟在由大众选举的立法机关、行政官员和法官中占据主导了地位，特别是在州一级政府中更是如此，所有的东西都可以多数的名义得以正当化，法律也可以以正义的名义制定出来并得到批准。因此，多数派能够支配不受制约的权力工具，统制公共舆论的运用，并使非主流的舆论鸦雀无声。

在这种情况下，多数的无限权威实际上对美国人的思想、民情、公务等方面产生了许多负面的影响。每当一个人或党派在受到不公正待遇之后，常常无处去诉苦，原因在于舆论是多数制造的，立法机构代表并盲目服从多数，行政首长是由多数选任的百依百顺的工具，警察是由多数掌握的军队，陪审团是拥有宣判" 权的多数。多数的无限权威实际上帮助了立法者的合法专制，增加了公务员的专断权，加强了思想界的专制，助长了国民性的软弱和巴结大多数的心理。即使法律职业人员的品性、法官审判、地方政府在执行法律方面的地位以及其他许多因素都缓和了多数的暴政，但是暴政的危险依然存在。因此，托克维尔认为多数的无限权威是一个坏而危险的东西，危及到每一个共和政体。政府的垮台通常是由于无能或暴政造成的，前者使权力自行离开政府，后者使权力被人夺走。民主政府的垮台几乎总是肇始于滥用民主的资源，无政府状态的形成也总是来源于暴政或管理不当。[10]如果对美国多数的无限权威不加以制约，多数派就能够运用其支配地位来追求自己的私利，其所行使的专制将会使少数忍无可忍，并通过结盟来试图使其损失最小化，在没有其他更为合理的办法时，会被迫运用武力在内的极端手段来解决冲突，民主社会就会很快退化为各种力量相互战争的无政府状态，最终导致民主共和政体解体。

三、多数善政的制度安排

从以上论述可知，多数统治的民主政治可能退化为多数暴政，并对民主政体本身带来现实与潜在的威胁。要避免多数统治退化为多数暴政，而成为多数善政，就要确立各种各样的制度安排，其中重要的制度安排包括限制多数权力的制度安排、给少数人以自主治理的制度安排、以司法救济限制多数并保护少数、用社会力量制约多数权力之机会的制度安排等。

首先，要对多数的权力进行有效制约。

有许多因素，包括政治代议制和大的选民集体，特别是适当的宪法设计，可以限制和缓和多数的权力，从而避免发生暴政的危险。美国的联邦宪政体制就是根据多种制衡机制来制约权威运作的，它极大地减少了多数派支配所有决策结构的可能性。如果宪法限制了无限权威的运用，并对权力进行分散配置，那么所有的权力特别是多数派的权力就会受到制约。如麦迪逊所设想的那样，治理的权力根据“相反的和敌对的利益”来组织，这样就能够利用权力来制约权力。[13]通过分权，把政府的权力配置在若干个公职的手中，每一方都为相互竞争的其他方所制约，这样多种多样的决策结构有利于寻求符合正义标准和普遍利益的决策。同时，分立的决策结构也为个人提供了多种多样的机会，使个人能够个别地和集体地表达其偏好和疾苦，并对政府权威机构提出要求：通过国会议员、总统、副总统的任期限制可以得到政治救济；通过参众两院大量的议席可以得到立法救济；通过忠实地执行法律的行政责任制可以得到行政救济；依据正当的法律程序，任何人有权要求考虑其申诉状以及要求判决以纠正错误，以此可以获得司法救济；最后，通过变更和修正宪法本身的活动，可以得到宪法救济。[14]

不过，在多数的人数很多而且决心要为所欲为时，任何对多数的外部限制都无法长期地起到作用。所以，必须在制度上允许人民普遍参与管理能够得到继续，必须在推行多数裁定规则时发展一种惯例上的平衡，即在某一问题上作出裁定的多数不一定就是社会面临的其他许多问题上作出裁定的多数，真正有最后裁定权的是成员经常改变的不同的多数，[15]因为固定或永久的多数可能滥用权力进行压迫，妨碍普遍参与的实现，甚至彻底破坏许多对立利益集团之间的微妙平衡。

其次，建立和充分利用司法体系和法官的制衡作用。

从以上论述可知，政治制约能够带来约束多数暴政的理性和正义，但它尚不足以保证这种理性和正义。历史与现实表明，司法体系和法官阶层都对多数暴政的出现具有某种制衡作用。亚里士多德早就指出，法律可使事物合于正义（公平），“较之公民的统治，法律统治更为确当”。按照他的理解，古希腊凡不能维持法律威信的城邦都不能说它已经建立了任何政体，因此他竭力谴责那种“由人民统治而非法律统治”的政治体制，“如果将所有权力都集中于人们的表决，那么严格说来，它就不可能是一种民主制”。[16] 所以，如果我们的认识只停留在以为民主就是多数决定，认为多数决定就天然地代表正义，那会葬送民主。民主与法治有着天然联系，法治不仅不会对民主形成侵犯和压抑，反而是民主制度能够有效存在的条件。法律能够保证人的基本权利，司法体系能够成为制约立法机构和行政机关的力量。例如，美国立法机关、法院和各行政机关的多重批准和多重上诉的主张，就是要防止民主退化成暴民政府。[17]

法学家精神和陪审制度对多数统治也能起到平衡的作用。举例来说，美国法学家一方面因其爱好而自然倾向于贵族和君主，另一方面又因其利益而自然倾向于人民；加之其职业要求他们在两个互相冲突的个人之间寻求公正，在两个原则间裁定正义，在经济上又是比较富裕的阶层，因此法学家比其他人更有可能在两个人、团体、机构以至原则之间持公平和超脱的立场。这样法学家虽然喜欢民主政府，但没有民主政府的偏好，没有承袭民主的弱点；与此同时，人民也信任法学家，深知其利益在于对人民的事业服务，所以不会危害民主政府。由于美国没有旧式贵族、文人，人民又不信任富人，因而法学家就成为一个高等政治阶级，是社会上最有知识和最具理性的部分，是美国能够平衡民主的最强大甚至可以说是唯一的力量。此外，美国的陪审制度是作为司法制度而存在，但却作为政治制度而起作用的。托克维尔认为陪审制度、特别是民事陪审制度，能使法官的一部分理性思维习惯进入所有公民的头脑，而这正是人民为使自己自由而要养成的习惯，如权利观念、做事公道、对己行为负责、对社会负责和提高知识等等。作为使人民实施统治的最有力手段的陪审制度，也是使人民学习如何进行统治的最有效手段。[18]

第三，给予少数人更大程度的自主治理。

不容否认，多数统治问题是一个永久性的问题，因为一个社会的全体或绝大多数成员永远不会有同样的利益、爱好和价值，所以多数裁定原则在一定意义上是道义上一种过得去的决策方式。不过，在某些情况下，少数人是难以容忍多数裁定原则的，尤其是在诸如语言、宗教和财产权这样涉及少数人和个人基本权利的问题上实行多数裁定原则，就容易导致国家分裂和民主毁灭等严重后果。实践证明，保护公共利益和私人权利免遭多数派的侵犯，解决多数统治与少数人不自由的矛盾，主要途径是通过给予少数人更大程度的自主治理。所以，在少数人的自由受到民主过程威胁时，允许少数人拥有更大程度的自主治理空间，可以满足少数人" 对于自由（包括信仰、结社、迁移、就业、尊严以及政治参与等等）、权利等方面的要求。基于以上理由，每当源于民主程序的结果，少数公民被多数公民剥夺了某些基本权利、自由或者机会时，少数人必须得到某种程度的自主治理以进行补偿，这也是对民主程序本身存在的偏差进行的一种修正。[19]由此可知，少数人和个人需要有一些不可侵犯的基本权利和自主治理的领域。某些制度安排是有利于少数人的自主治理和对多数暴政的限制。

同时，美国的乡村自治传统，成为托克维尔称之为“人民主权”的自主治理体制的基础，是构建美国的力量，限制了美国多数暴政的发生。乡镇组织将自由带给人民，教导人民安享自由和学会让自由为他们服务，使人民养成了爱好自由和掌握运用自由的艺术，使美国大多数人有了自由的精神，在一定程度上限制了中央的行政集权和多数的专制。因此，民主体制的长期活力靠的是人民的自治能力。麦迪逊也指出，“一切政治实验”都应该“寄托于人类自治能力的基础上” [22]。由此可知，联邦政府形式、乡镇自治制度以及司法结构等等，非常有助于美国人的自主治理。

第四，充分利用社会力量对多数的权力进行制约。

除了利用政治体系与司法体系这些以权力制约权力的手段之外，也存在着充分利用诸如民情、宗教文化和社会伦理这类社会力量，来制约多数的权力和防止多数暴政。诚如大家所知，以权力制约权力的思想是自由主义思想家洛克和孟德斯鸠(Montesquieu)所提倡的，它对美国形成以政治分权为基础的宪法来制约多数人的统治方面有过重要的作用。但是，在缺少一定的社会分权的情况下，任何宪法的制度性安排都不可能产生一个非暴政的民主共和国。许多照搬美国宪法的拉丁美洲国家的长期动乱史就是这方面的明证。实际上，某些社会因素在加强民主方面，可能远比任何特殊的宪法设计还来得重要。比如，一个利益多样化的多元社会体系，可以解决多数人与少数人在偏好不同时发生的利益冲突；而多元组织的存在，可以防止少数统治者对社会的全面控制，因为不同的竞争性利益的存在，是民主的均衡和公共政策顺利发展的基础。

因数的定义篇10

高等院校学生成绩的综合评价是一项非常重要的常规工作，我们经常要评定奖学金、评定优秀、推荐研究生等，解决这些问题的关键是如何对学生在校期间的表现给予科学地、合理地综合评价，而评价的基础一般是学生在校期间通过多门课程的学习所获得的多方面的知识和能力以及掌握的技能情况。在我国现行的教学体制中，学生的这些知识和能力具体表现在对所学课程的掌握程度上，通常就是考试成绩。几十年来一贯实行的学生成绩的评定模式随着教育改革的不断深化，日益显示出它在思想和实践上的缺陷。目前，主要采用的是多门课程的平均分排名的方法以及学分制方法。用因子分析法对学生成绩进行综合评价，比较有效的解决了其它方法存在的问题。

1 因子分析基本思想和模型[1]

因子分析是多元统计分析中的一种重要方法，它是把多个变量化为少数几个综合变量的多变量分析方法，其目的是用有限个不可观测的隐变量来解释原始变量之间的相关关系。因子分析主要用于：（1）减少分析变量个数；（2）通过对变量间相关关系探测，将原始变量进行分类。即将相关性高的变量分为一组，用共性因子代替该组变量。可以通过数学模型①来表示。设有多个观测变量，每个变量可作如下分解：

①

上式为因子模型，用矩阵表示为，其中叫做公共因子，它们是在各个变量中共同出现的因子，表示影响的独特因子。为因子载荷矩阵，叫做因子载荷，它是第个变量在第个主因子上的负荷，它反映了第个变量在第主因子上的相对重要性。因子分析的基本问题就是要确定因子载荷。

2 应用SPSS软件进行因子分析的过程及结果分析

该文以兴义民族师范学院数学科学学院数学教育专业2008级的138名学生所学24门必修课的考试成绩为原始数据，用因子分析方法对学生的成绩进行综合评价。

2.1 指标的选取

原始数据来自学院的学生学籍管理档案（注：此处没有考虑每门课程的教学时数；不及格的科目按第一次考试成绩计算）。各科成绩在进行因子分析之前SPSS会自动对原始变量进行标准化。选取如下24个指标：初等几何（X1）、初等代数（X2）、初等数论（X3）、大学英语（X4）、概率论与数理统计（X5）、高等代数（X6）、高级语言程序设计（X7）、贵州省情（X8）、计算机辅助教学（X9）、计算机基础及应用（X10）、教育学（X11）、解析几何（X12）、离散数学（X13）、毛泽东思想概论（X14）、普通物理学（X15）、数学分析（X16）、数学建模（X17）、思想品德修养与法律基础（X18）、心理学（X19）、形势与政策（X20）、运筹学（X21）、中学数学教材教法（X22）、中学数学专题讲座（X23）、教师职业基本技能（X24）。

2.2 检验原始指标变量是否适合因子分析

采用KMO样本测度及Bartlett球形检验法进行检验。检验结果在表1，结果显示KMO统计量为0.878，>0.5，说明变量间的偏相关性比较强，因子分析的效果非常好。因此认为此数据适合作因子分析。

2.3 旋转后因子载荷矩阵

由于初始因子的综合性较强，各因子在哪些变量上的载荷较高很难看出，这样就难以找出因子的实际意义，故需进行因子旋转，该文采用方差极大法得到旋转后因子载荷矩阵，见表2。

由表2可知第一因子变量中概率论与数理统计、离散数学、初等代数、初等几何都有较大的载荷，反映了学生解决实际问题的专业数学能力素质和能力水平，因此定义为解决实际问题数学能力因子；第二因子变量中计算机辅助教学、教育学、心理学，这些课程是教育教学基础理论课，可以定义为教育教学素质因子；第三因子变量在高等代数、解析几何、数学分析上的载荷较大，这说明高等代数、解析几何、数学分析对第一因子变量的影响较大，可以定义为数学专业基础理论因子；第四因子变量中中学数学专题讲座，可定义为中学数学专题能力；第五因子变量中计算机基础及应用较大的载荷，可定义为计算机能力；第六因子变量中在普通物理学上有较大载荷，可定义物理因子；第七因子变量中在数学建模上有较大载荷，数学建模是数学知识的具体应用，定义为数学应用能力因子；第八因子变量在贵州省情上有较高的载荷，说明大学生掌握本省的省情和地方基本常识是非常有必要的，可定义为地方基本常识因子；第九因子变量在思想品德修养与法律基础上有较高的载荷，定义为思想品德素质因子；第十因子变量在毛泽东思想概论上有较大的载荷，定义为思想理论素质因子；第十一因子变量在形势与政策上有较大的载荷，可定义为形势与政策因子，高等学校形势与政策教育是高校大学生思想政治教育的重要内容。

2.4 因子提取结果

如果根据特征值大于1选取公因子，只需选取7个公因子即可，但在解释因子的实际意义时不容易区分，且有几门课程变量的信息大量流失，没有被充分提取，该文是根据累积方差贡献率超过75%选取的，共选取了11个公因子，见表3。

2.5 计算因子综合得分

把11个公因子对应的方差贡献率作为权数计算如下综合统计量：

。

计算出的综合得分结果和学习成绩平均分按从高到低进行了排序，如表4。

根据表4中的因子综合得分排名可以对这些学生进行综合评价，也可以只针对某个因子得分进行排序，针对这个因子进行评价，例如只针对第一因子得分进行排序，就可以知道这些学生中哪些学生的解决实际问题的数学能力素质较高，指导他们积极参加数学实践活动，这在全国大学生数学建模比赛中就得到体现，36号、112号学生参加数学建模比赛就取得了优异的成绩；对第二因子得分进行排序，就可以知道这些学生中哪些学生的教育教学素质较高，指导他们从事中学数学的教育教学活动，并向重点中学推荐教育教学素质较高的学生等等。