一元一次方程组十篇

一元一次方程组篇1

一、重点、难点分析

本节教学的重点是使学生了解二元一次方程、二元一次方程组以及二元一次方程组的解的含义，会检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解．难点是了解二元一次方程组的解的含义．这里困难在于从1个数值变成了2个数值，而且这2个数值合在一起，才算作二元一次方程组的解．用大括号来表示二元一次方程组的解，可以使学生从形式上克服理解的困难；而讲清问题中已含有两个互相联系着的未知数，把它们的值都写出来才是问题的解答．这是克服这一难点的关键所在．

二、知识结构

本小节通过求两个未知数的实际问题，先应用学生以学过的一元一次方程知识去解决，然后尝试设两个未知数，根据题目中的两个条件列出两个方程，从而引入二元一次方程、二元一次方程组（用描述的语言）以及二元一次方程组的解等概念．

三、教法建议

1．教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和二元一次方程组的概念．

2．通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及二元一次方程组．

3．通过二元一次方程组的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验二元一次方程组的解的问题．

4．为了减少学习上的困难，使学生学到最基本、最实用的知识，教学中不宜介绍相依方程组如

和矛盾方程组如

等概念，也不要使方程组中任何一个方程的未知数的系数全部为0（因为这种数学中的特例较少实际意义）当然，作为特例，出现类似

之类的二元一次方程组是可以的，这时可以告诉学生，方程（1）中未知数的系数为0，方程（1）也看作一个二元一次方程．

教学设计示例

一、素质教育目标

（－）知识教学点

1．了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念．

2．会将一个二元一次方程写成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式．

3．会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解．

（二）能力训练点

培养学生分析问题、解决问题的能力和计算能力．

（三）德育渗透点

培养学生严格认真的学习态度．

（四）美育渗透点

通过本节的学习，渗透方程组的解必须满足方程组中的每一个方程恒等的数学美，激发学生探究数学奥秘的兴趣和激情．

二、学法引导

1．教学方法：讨论法、练习法、尝试指导法．

2．学生学法：理解二元一次方程和二元一次方程组及其解的概念，并对比方程及其解的概念，以强化对概念的辨析；同时规范检验方程组的解的书写过程，为今后的学习打下良好的数学基础．

三、重点·难点·疑点及解决办法

（－）重点

使学生了解二元一次方程、二元一次方程组以及二元一次方程组的解的含义，会检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解．

（二）难点

了解二元一次方程组的解的含义．

（三）疑点及解决办法

检验一对未知数的值是否为某个二元一次方程组的解必须同时满足方程组的两个方程，这是本节课的疑点．在教学中只要通过多举一系列的反例来说明，就可以辨析解决好该问题了．

四、课时安排

一课时．

五、教具学具准备

电脑或投影仪、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和二元一次方程组的概念．

2．通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及二元一次方程组．

3．通过二元一次方程组的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验二元一次方程组的解的问题．

七、教学步骤

（－）明确目标

本节课的教学目标为理解二元一次方程及二元一次方程组的概念并会判断一对未知数的值是否为二元一次方程组的解．

（二）整体感知

由复习方程及其解，导入二元一次方程及二元一次方程组的概念，并会判断它们；同时学会用一个未知数表达另一个未知数为今后的解方程组埋下伏笔；最后学会检验二元一次方程组解的问题．

（三）教学过程

1．创设情境、复习导入

（1）什么叫方程？什么叫方程的解和解方程？你能举一个一元一次方程的例子吗？

回答老师提出的问题并自由举例．

【教法说明】提此问题，可使学生头脑中再现有关一元一次方程的知识，为学元一次方程做铺垫．

（2）列一元一次方程求解．

香蕉的售价为5元／千克，苹果的售价为3元／千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？

学生活动：思考，设未知数，回答．

设买了香蕉千克，那么苹果买了千克，

根据题意，得

解这个方程，得

答：小华买了香蕉3千克，苹果6千克．

上面的问题中，要求的是两个数，能不能同时设两个未知数呢？

设买了香蕉千克，买了苹果千克，根据题意可得两个方程

观察以上两个方程是否为一元一次方程，如果不是，那么这两个方程有什么共同特点？

观察、讨论、举手发言，总结两个方程的共同特点．

方程里含有两个未知数，并且未知项的次数是1，像这样的方程，叫做二元一次方程．

这节课，我们就开始学习与二元一次方程密切相关的知识—二元一次方程组．

【教法说明】学生自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程的概念，比直接定义印象会更深刻，有助于对概念的理解．

2．探索新知，讲授新课

（1）关于二元一次方程的教学．

我们已经知道了什么是二元一次方程，下面完成练习．

练习一

判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由．

①②③

④⑤⑥

练

分组练习：同桌结组，一人举例，一人判断是否为二元一次方程．

学生活动：以抢答形式完成练习1，指定几组同学完成练习2．

【教法说明】这样做既可以活跃气氛，又能加深学生对二元一次方程概念的理解．

练习三

课本第6页练习1．

提出问题：二元一次方程的解是惟一的吗？学生回答后，教师归纳：一元一次方程只有一个解，而二元一次方程有无限多解，其中一个未知数（或）每取一个值，另一个未知数（或）就有惟一的值与它相对应．

练习四

填表，使上下每对、的值满足方程．

师生共同总结方法：已知，求，用含有的代数式表示，为；已知，求，用含有的代数式表示，为．

【教法说明】由此练习，学生能真正理解二元一次方程的解是无限多的；并且能把一个二元一次方程定成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，为用代入法解二元一次方程组奠定了基础．

（2）关于二元一次方程组的教学．

上面的问题包含两个必须同时满足的条件，一是香蕉和苹果共买了9千克，一是共付款33元，也就是必须同时满足两个方程．因此，把这两个方程合在一起，写成

这两个方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．

方程组各方程中，同一字母必须代表同一数量，才能合在一起．

练习五

已知、都是未知数，判别下列方程组是否为二元一次方程组？

①②

③④

【教法说明】练习五有助于学生理解二元一次方程组的概念，目的是避免学生对二元一次方程组形成错误的认识．

对于前面的问题，列二元一次方程组要比列一元一次方程容易些．根据前面解得的结果可以知道，买了香蕉3千克，苹果6千克，即，，这里，既满足方程①，又满足方程②，我们说

是二元一次方程组

的解．

学生活动：尝试总结二元一次方程组的解的概念，思考后自由发言．

教师纠正、指导后板书：

使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．

例题判断是不是二元一次方程组的解．

学生活动：口答例题．

此例题是本节课的重点，通过这个例题，使学生明确地认识到：二元一次方程组的解必须同时满足两个方程；同时，培养学生认真的计算习惯．

3．尝试反馈，巩固知识

练习：（1）课本第6页第2题目的：突出本节课的重点．

（2）课本第7页第1题目的：培养学生计算的准确性．

4．变式训练，培养能力

练习：（1）P84．

【教法说明】使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念，并为解二元一次方程组打下基础．

（2）P8B组1．

【教法说明】为列二元一次方程组找等量关系打下基础，培养了学生分析问题、解决问题的能力．

（四）总结、扩展

1．让学生自由发言，了解学生这节课有什么收获．

2．教师明确提出要求：弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解．

3．中考热点：中考中有时会出现检验某个坐标点是否在一次函数解析式上的问题．

八、布置作业

（一）必做题：P73．

（二）选做题：P8B组2．

（三）预习：课本第9～13页．

一元一次方程组篇2

一、直接设元

例1夏季，为了节约空调用电，常采用调高设定温度和清洗设备两种方法.某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再清洗乙种空调的设备，使得乙种空调每天的节电量是只将温度调高1℃时节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度.求只将温度调高1℃，两种空调每天各节电多少度？

分析：本题有两个等量关系：只将温度调高1℃，甲种空调每天节电量－乙种空调每天节电量＝27度；将温度调高1℃，并清洗乙种空调的设备后，甲种空调每天节电量+乙种空调每天节电量＝405度.根据这两个等量关系式，采取直接设元的方法列二元一次方程组求解比较简单.

解：设只将温度调高1℃，甲种空调每天节电x度，乙种空调每天节电y度.

根据题意，得x-y=27，x+1.1y=405.

解方程组，得x=207，y=180.

即只将温度调高1℃，甲种空调每天节电207度，乙种空调每天节电180度.

二、间接设元

例2太极体育器材厂今年上缴国家利税4600万元，与去年同期相比增加了15%，其中上半年减少了25%，下半年增加了25%.问今年上半年和下半年各上缴国家利税多少万元？

分析：本题已知今年上缴的利税总额，以及和去年同期、上半年、下半年相比变化的百分数，根据这样的等量关系，可以采用间接设元的方法，分别将去年上半年和下半年上缴的利税额设为未知数列方程组，能更方便地解决问题.

解：设去年上半年上缴国家利税x万元，下半年上缴国家利税y万元.

根据题意，得（x+y）（1+15％）=4600，x（1-25％）+ y（1+25％）=4600.

解方程组，得x=800，y=3200.

则今年上半年上缴国家利税为

800×（1-25%）=600（万元），

今年下半年上缴国家利税为

3200×（1+25%）=4000（万元）.

三、直接设元与间接设元结合

例3某商场购进甲、乙两种服装后，都加价40％后标价出售.春节期间该商场搞优惠促销活动，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售.某顾客购买甲、乙两种服装各一件，共付款182元.两种服装标价之和为210元.问这两种服装的进价和标价各是多少元？

分析：本题已知两种服装的进价和标价的关系，要求两种服装的进价和标价，共四个要求的量，因此可采取直接设元与间接设元相结合的方法，设两个要求的量为未知数，列方程组求解.另外，求解本题还要注意弄清楚打折、标价、进价、利润等商业术语的含义.

解：设甲种服装的标价为x元，则其进价为 元；乙种服装的标价为y元，则其进价为 元.

根据题意，得x+y=210，80％x+90％y=182.

解方程组，得x=70， y=140.

则甲种服装的进价为

=50（元），

乙种服装的进价为

=100（元）.

四、设辅助元

例4甲、乙两个公共汽车站相向发车，两车站发车的间隔时间相同，各车的速度也相同.一人在街上匀速行走，他发现每隔4分钟有一辆公交车迎面开来，每隔12分钟有一辆公交车从背后开来.求两车站发车的间隔时间.

分析：本题是行程问题，要求间隔时间，但与其相关的速度、路程等量都未知，所以需要增设辅助元，使数量关系易于表达，方便求解.

解：设两车站发车的间隔时间为t分钟，公交车的速度为x米/分，人步行的速度为y米/分，同一车站发出的相邻两车开出车站后相距m米.

根据题意，得4（x+y）=m，12（x-y）=m.

解关于x、y的方程组，得24x=4m.

即=6.

一元一次方程组篇3

关键词：代入法；讲课稿；二元方程

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）02-205-01

一、教材分析

1、教材的地位和作用。本节是七年级数学第八章第二节的内容，也是在学习一元一次方程及其解法的基础上学习的。本节课不但有着广泛的实际应用，而且起着承上启下的作用。

2、学情分析。这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，引发学生的兴趣，为他们创造条件和机会，发挥学生学习的主动性，体现其自身价值。对于代入消元法解方程组的理解，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，层层深入的分析。

3、教学目标分析。知识与技能：用代入法解二元一次方程组。

过程与方法：

（一）通过代入消元法，使学生体会把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法。

（二）让学生自主探索，经历解方程组过程，体会解方程组基本思想是“消元”，化二元一次方程组为一元一次方程。

情感、态度和价值观：通过由解方程组探索的独立思考与合作学习的过程，培养学生化归思想以及善于分析，思考的良好的学习习惯。

4、教学重难点

重点：用代入消元法解二元一次方程组。

难点：探索如何用代入消元法将“二元”转化为“一元”的过程。

关键：用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的方程变形是代入消元的前提，也是突破难点的关键。

二、教法分析

本节课我采用启发式、自主探究式、讨论式以及讲练结合的教学方法，在教学中还注重激发学生数学思维的灵活性，避免陷入思维定势。与此同时，利用多媒体课件进行教学。

三、学法分析

根据本班实际，可以创设情境，在教师的引导启发下通过共同探究活动，让学生感受知识形成过程，主要采用“观察---对比---讨论---归纳---应用”的探究式的学习方式。教会学生“动手做、动脑想、大胆猜、严说理、学致用”增加学生参与的机会，使学生在掌握知识形成技能的同时，培养其学习数学的方法，增强学好数学的信心。

四、教学过程分析

1、创设情境，复习导入。提出一个实际问题：市场上1斤苹果售价3元，1斤梨售价2元，小明妈妈买了苹果x斤，买梨y斤，共用18元钱，问苹果和梨之间的等量关系是什么？

学生找出等量关系：苹果的总价+梨的总价=18元

列出方程为：3x+2y=18

（一）教师提问：上式是一个二元一次方程，他有无数个解，那么怎么让解唯一呢？

学生讨论时会发现缺少条件，教师巡视时去发现与以下几个添加条件类似的，让学生写在黑板上。

增加一个条件1：已知妈妈买了苹果2斤（还可以改为3斤、4斤等）

学生可以列方程组为

（二）再提出问题：如果不知道一个未知数的值，而只知道两个未知数的一种关系式时，即如果增加条件2为：妈妈买的苹果比梨多1斤，可列方程组： ，那又如何解呢？

学生：就是把方程①代入方程②，就可以得到3（y+1）+2 y =18、这样，我们就把二元一次方程组转化为一元一次方程，就可以求出y了。

教师再问：求出y后，代入哪个方程求x较为简单？

学生经过比较，得出：求出y后，代入方程①中求x较为简单。

（三）添加条件3：妈妈买的苹果的2倍比梨多5斤。可列方程组为： ，那又如何解呢？

分析：比较一下这个方程组的形式与上一个方程组的形式有什么区别？如何转化？

师生共同归纳：上面解方程组的基本思路是“消元”----把“二元”变为“一元”

主要步骤是：（1）将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，

（2）并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。

（3）把求出的解代入表达式，求出另一个未知数的解。

（4）写出方程组的解并且口算检验。

即：1、变形2、代入3、求解4、写出（双元形式）5、检验。这种解方程组的方法称为“代入消元法”，简称“代入法”

设计意图：在课前引例中通过选取学生添加的3个问题，由简到繁，由易到难，层层深入分析，先是直接代入消元，然后是经过方程的变形才能代入消元。学生经过探索得出解二元一次方程组的思路和方法。

2、运用新知，简化运算。让学生会选择合适的方程进行变形，进而简化计算，通过对比，可以加深对它的理解。在解题过程中着重强调、矫正、理清思路和步骤，对生成性的问题进行点评，然后师生一起“解后思”。

3、联系实际，贴近生活。将生活实际问题与列、解二元一次方程组结合起来，体现应用方程组分析、解决问题的全过程，增强应用意识。同时感受数学源于生活又服务于生活，体会到我们身边处处有数学。

4、课堂小测，提升自我。通过自我反省、小组评价来克服解题时的错误。加强对所学知识点的巩固提高，加深对所学知识的理解与应用。

5、教学小结，知识回顾。让学生畅所欲言谈本节课的得失，感到困惑和疑难的地方、解题的关键和步骤等。教师在学生发言的基础上再进行提炼：①解二元一次方程组的主要思路是“消元”；②解二元一次方程组的一般步骤是：一变形、二代入、三求解，最后写解并检验。

五、教学反思

1、这节课知识点并不难，主要体现消元和转化的数学思想；在课堂上的亮点是学生的编题练习，训练了学生的逆向思维，再有对学生采用了多种评价，有互评、自评、教师评等多种形式，充分发动学生的民主精神。

一元一次方程组篇4

【关键词】三元一次方程组 ； 唯一解 ； 无穷组解 ； 无解

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2014）22-0210-01

初中数学教学过程中，有时，会碰到一些无法解决的问题。举例如下：

例1.解方程组

3x+2y-z=1……1x-3y+z=3 ……22x+4y-z=o……3

①+②，得4x-y=4……（4）

②+③，得3x-y=3……（5）

（4）-（5），得 x=1

将x=1代入（4），得y=0

将x=1，y=0代入（2）得z=2，故方程组有唯一的一组解，x=1y=0z=2

例2.解方程组

3x+2y-z=4……16x+4y-2z=8 ……22x+4y-z=o……3

①×2-（2），得0=0，说明（1）与（2）是同解方程，可以去掉（2），则原方程组变为3x+2y-z=4……12x+4y-z=o……3

（1）×2-3，得4x-z=8……（5）

（1）×2-3×3 ，得：-8y+z=8……（6）如果令z=t，则有：4x=8+t-8y=8-tz=t

这里，t为任意实数，当时t=0，得x=2y=-1z=0是方程组的一组解；

当t=1，则得x=2+■y=-1+■z=1；当t=k，则得x=2+■y=-1+■z=k

故原方程组有无穷多组解。在这无穷多组解中，如果要求位于[0，20]区间内而且z都是8的倍数的正整数解，则需

例3.解方程组

3x+2y-z=4……16x+4y-2z=9……22x+4y-z=o……3

解：（1）×2-（2），得0=1，于是①与②是矛盾方程，无解，因此，例3是一个无解方程组。

关于多元一次方程组的解的存在性讨论：

（1）如果方程组的所有方程都不是同解方程――其特征为：所有方程的未知数系数与常数均不成比例，则方程组有唯一的一组解。

（2）如果方程组中至少有两个方程是同解方程――其特征为：这两个方程的未知数系数与常数项成比例，则方程组具有无穷多组解。

（3）如果方程组中至少有两个方程是无解方程（即矛盾方程）――其特征为：这两个方程的未知系数成比例，而与常数项不成比例，则方程组无解。

参考文献

[1]全国九年义务教育（数学）七年级教本[M]中国教育出版社，2012，8月

[2]全国九年义务教育（数学）七年级教师用书[M]中国教育出版社2012.8月

一元一次方程组篇5

二、重点、难点分析

本节教学的重点是幂的乘方与积的乘方法则的理解与掌握，难点是法则的灵活运用.

1.幂的乘方

幂的乘方，底数不变，指数相乘，即

(都是正整数)

幂的乘方

的推导是根据乘方的意义和同底数幂的乘法性质.

幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把的结果错误地写成，也不能把的计算结果写成.

幂的乘方是变乘方为(底数不变，指数相乘的)乘法，如;而同底数幂的乘法是变(同底数的幂)乘为(幂指数)加，如.

2.积和乘方

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.即

(为正整数).

三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质.例如：

3.不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆.幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算(底数不变);同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变).

4.同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的三个运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据.对三个性质的数学表达式和语言表述，不仅要记住，更重要的是理解.在这三个幂的运算中，要防止符号错误：例如，;还要防止运算性质发生混淆：等等.

三、教法建议

1.幂的乘方导出的根据是乘方的意义和同底数幂的乘法性质.教学时，也要注意导出这一性质的过程.可先以具体指数为例，明确幕的乘方的意义，导出性质，如

对于从指数连加得到指数相乘，要根据学生情况多作一些说明.以为例，再一次说明

可以写成.这一点是导出幂的乘方性质的关键，务必使学生真正理解.在此基础上再导出性质.

2.使学生要严格区分同底数幂乘法性质与幂的乘方性质的不同，不能混淆.具体讲解可从下面两点来说明：

(1)牢记不同的运算要使用不同的性质，运算的意义决定了运算的性质.

(2)记清幂的运算与指数运算的关系：

(同底)幂相乘指数相加(“乘”变“加”，降一级运算);

幂乘方指数相乘(“乘方”变“乘法”，降一级运算).

了解到有关幂的两个重要性质都有“使原运算仅降一级运算”的规律，可使自己更好掌握有关性质.

3.在教学的各个环节中，注意启发学生，不仅掌握法则，还要明确为什么.三种运算法则全讲完之后，学生最易产生法则间的混淆，为了解决这个问题除叫学生熟记法则之外，在学生回答问题和写作业时，注意解题步骤，或及时发现问题，说明出现问题的原因;要注意防止两个错误：

(1)(-2xy)4=-24x4y4.

(2)(x+y)3=x3+y3.

幂的乘方与积的乘方(一)

一、教学目标

1.理解幂的乘方性质并能应用它进行有关计算.

2.通过推导性质培养学生的抽象思维能力.

3.通过运用性质，培养学生综合运用知识的能力.

4.培养学生严谨的学习态度以及勇于创新的精神.

5.渗透数学公式的结构美、和谐美.

二、学法引导

1.教学方法：引导发现法、尝试指导法.

2.学生学法：关键是准确理解幂的乘方公式的意义，只有准确地判别出其适用的条件，才可以较容易地应用公式解题.

三、重点·难点及解决办法

(-)重点

准确掌握幂的乘方法则及其应用.

(二)难点

同底数幂的乘法和幂的乘方的综合应用.

(三)解决办法

在解题的过程中，运用对比的方法让学生感受、理解公式的联系与区别.

四、课时安排

一课时.

五、教具学具准备

投影仪、胶片.

六、师生互动活动设计

1.复习同底数幂乘法法则并进行、的计算，从而引入新课，在探究规律的过程中，得出幂的乘方公式，并加以充分的理解.

2.教师举例进行示范，师生共练以熟悉幂的乘方性质.

3.设计错例辨析和练习，通过不同的题型，从不同的角度加深对公式的理解.

七、教学步骤

(-)明确目标

本节课重点是掌握幂的乘方运算性质并能进行较灵活的应用

(二)整体感知

幂的乘方法则的应用关键是判断准其适用的条件和形式.

(三)教学过程

1.复习引入

(1)叙述同底数幂乘法法则并用字母表示.

(2)计算：①②

2.探索新知，讲授新课

(1)引入新课：计算和和

提问学生式子、的意义，启发学生把幂的乘方转化为同底数暴的乘法.计算过程按课本，并注明每步计算的根据.

观察题目和结论：

推测幂的乘方的一般结论：

(2)幂的乘方法则

语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘.

字母表示：.(，都是正整数)

推导过程按课本，让学生说出每一步变形的根据.

(3)范例讲解

例1计算：

①②

③④

解：①

②

③

④

例2计算：

①

②

解：①原式

②原式

练习：①P971，2

②错例辨析：下列各式的计算中，正确的是()

A.B.

C.D.

(四)总结、扩展

同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：

一元一次方程组篇6

【关键词】二元一次方程组；估算；教学评价；数学思想；教学方法

人民教育出版社七年级下学期数学教材在第八章“二元一次方程组”第三小节中，又特别安排了“再探实际问题与二元一次方程组”的内容，选择了三个具有一定综合性的问题：“牛饲料问题”、 “种植计划问题”、 “成本与产出问题”。

；提供给学生利用方程组为工具进行具有一定深度的思考，增加运用方程组解决实际问题的实践，将全章所强调的以方程组为工具，把实际问题模型化的思想提到了新的高度。

这一小节内容的问题形式包括：估算与精确计算的比较，如探究1；开放地寻求设计方案，如探究2；根据图表所表示的实际问题的数据信息列方程组，如探究3。

安排这节的目的在于：一方面，通过实际生活中的问题，进一步突出方程组这种数学模型应有的广泛性和有效性；另一方面，使学生能在解决实际问题的情境下运用所学知识，进一步提高分析问题和解决问题的综合能力。

下面就这一小节的第一课时，即探究1的教学过程设计谈一点自己粗浅的想法。

1.关于新课引入的设计

建议播放反映新疆美丽自然风光和介绍新疆畜牧业发展较好的短片或照片，并配上巴哈尔古丽的演唱的歌曲《新疆好》。其目的有三：一是激发和增强学生学习数学的兴趣；二是教师借机可对学生进行热爱祖国、热爱家乡的德育教育；三是为本节课的引入、探究活动中问题的展示，做了一个很好的引子。

2.关于讲授新知的设计

探究1：养牛场原有30只母牛和15只小牛，1天约需饲料675kg，一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时一天需用饲料940kg，饲养员李大叔估计平均每只母牛一天需要饲料18～20kg，每只小牛一天约需用饲料7～8kg，你能否通过计算检验他的估计？

2.1先给学生充足的时间（大约5分钟～8分钟）进行独立思考、小组讨论，探索分析解决这个问题的方法。

2.2请学生汇报各小组讨论的结果。

教材编排本节课的目的之一在于，使学生最终认识到判断李大叔的估计是否正确的方法有两种：

方法一：先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系来检验；

方法二：根据问题中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛一天各约需用饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确。

学生小组讨论的汇报结果，可能会出现与教材编排预期不一致的情况，建议教师，在面对学生汇报结果时，一要做好对个体或部分个体的评价；二要因势利导，顺着学生发现解决这个问题的方法实施教学。

其一，学生可能会说出方法二，即利用二元一次方程组这个有效的教学模型来求解。在这种情况下教师就顺其自然。

首先及时把利用二元一次方程组这个有效的数学模型来解决实际问题的步骤框图复习一遍 。

其次，教师引导学生陈述题目中蕴含的两个相等关系，并且强调指出这也是列方程组解决实际问题的难点和关键点。

建议教师在这时注意关注个体差异，注意照顾学习困难学生，注意对不同个体及时作出不同的评价。

能说出第二种关系式的同学，教师要给予赞赏，能说出这种方法说明学生洞察力强，因为这给我们下一步解方程组提供了一种较为简便的方法。

再次，请同学上黑板，规范解题步骤，解、设、根据题中的相等关系列出对应的方程组。

最后，请同学们探究上述两个方程组的最简解法，即或直接求解，或约去系数的最大公约数再求解，，确定好最佳方案后，请一位同学上黑板板演，而后教师通过幻灯加以规范，并且由此给出探究1完整的解答过程。

其二、学生可能会采用方法一，即估算的方法，也可能根本不会想到使用估算的方法对李大叔的估计做出一个评判。

若学生的独立思考、合作交流的结论中未提及估算的方法，教师要做适当引导，让学生学会这种数学方法，感受这种数学思想。

2.3这里存在以下问题：

2.3.1学生缺乏估算的经验和估算的方法怎么进行？因为李大叔的估计是一个范围，母牛每天约需饲料18～20kg，小牛每天约需饲料7～8kg，代哪一个确定的值进行检验呢？

教师引导学生分别代入18～20和7～8之间任意数检验均可。

2.3.2学生的意见不会统一。

a）学生会代入增加奶牛头数之前进行检验；（片面性）

b）学生会代入新增加奶牛头数和新增饲料量进行检验；

c）学生会代入增加奶牛头数之后，总奶牛头数与总需饲料量中进行检验。

2.3.3而作为教师，这节课这部分内容追求的就是这个教学效果，即：

a）用估算的方法，达到学生纷纭，意见不一的现象；

b）教师在学生对本题已有认识的基础上，给出较为规范的估算方法；

c）体现出估算这种方法的特点：使解题途径较为清晰，代入检验即可，具有一定的实用价值，但多了一些数据计算和数据比较的过程，另外估算会产生误差；

d）教师在这里应该是加强学生估算方法的教学，而不是忽略。

2.4请学生在探究和教师评议以后，对估算和精确计算两种方法做出比较。学生可以称述个人的真实意见和感受。

3.关于课堂练习的设计

教师可在这里编排一道古代数学名题，如：大约1800年前，我国有一本世界著名的算术书，名叫《孙子算经》，书中有一道留传久远的名题，原题是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；曲绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩1尺，问长木长多少尺？

3.1请学生先独立思考，而后相互交流，试着给出此问题的解答过程；

3.2教师在学生思考、解答的基础上，给出规范准确的解答过程。

教师编排这道题在此的主要目的有三：

其一，是对本节课教学效果的一次检验，使学生进一步熟练构建二元一次方程组模型解决实际问题的方法。

其二，是让学生感受到数学文化的熏陶，进行民族自豪感、数学历史知识的教育。

其三，是激发和培养学生学习和继续学习的兴趣。学生们现在很容易解决的古代有名数学问题，古人之所以当时难以解答，就是因为当时数学领域还没有构建起方程组这些积极有效的数学模型，所以使许多在当今用方程思想很容易解答的问题，在古代人们用算术方法来解，就显然极其困难或解答不上，所以古今中外数学史上遗留下不少的古代数学“名”题。

4.关于课堂小结的设计

4.1要给学生尽量多的时间谈他们自己在本节课的收获。

4.2教师在学生较为充分地陈述各自感受和认知的基础上，给予归纳性的概括。

建议主要从以下几个方面进行本节课的小节：

4.2.1认识了“估算”的这种数学方法，了解了这种方法的特点。

4.2.2进一步熟练了构建二元一次方程组这个数学模型解决实际问题的方法与步骤，再次强调检验的必要性。

4.2.3学生要对“估算”的算术方法和“精确计算”的代数方法做出比较。

5.关于布置作业的设计和教学评价的设计

我们数学教学是面向全体学生的，而学生之间存在着明显的个体差异，所以在教学活动中和布置作业时应对不同层次的学生给予不同的训练，真正体现对每位学生的学习过程、学习效果进行适时的、及时的不同层次的评价，使每位学生都学到有用的数学，使每位学生的数学学习都得到不同的发展以及学生现在掌握的数学知识对学生将来的生活和参加生产劳动起到积极的指导和服务作用。

6.关于本节课的板书设计

表1板书设计

8.3再探实际问题与二元一次方程组

1.估算方法（算术方法）

2.构建二元一次方程组的精确方法（代数方法）

3.估算方法与精确方法的比较

探究1的解答过程课堂练习的解答过程利用二元一次方程组解决实际问题步骤的模式图

以上关于“再探实际问题与二元一次方程组”的课堂教学设计，是本人的一些粗浅认识。如有不妥之处，恳请诸位专家、同仁给予批评指正﹗

参考文献

[1]义务教育课程课程标准实验教科书《数学》（七年级下册），人民教育出版社，2004年6月第一版

一元一次方程组篇7

关键词：二元一次方程 一次函数 图象 方程组解

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）08-187-02

如果我们在教学过程中，注意引导学生用二元一次方程的知识和观点来看待一次函数，往往会收到意想不到的效果。

一、用二元一次方程的解理解一次函数图象

一个二元一次方程 （m、n都是常数，且m、n都不为0）是一个不定方程，有无数组解。如果把x看作横坐标、y看作纵坐标，那么每一组解就是一个点的坐标。以二元一次方程组 的解为坐标的所有的点集中在一起，就构成了直线 。也就是说，直线 的点与二元一次方程 的解是一一对应的。这样理解后，下面的问题就容易理解了。

求直线 与坐标轴的交点。这问题相当于知道x（或y）的值为0，求y（或x）的值。

例：直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，求A、B的坐标。

解：当y=0时，代入直线解析式方程 ，得 ，解得 所以A点的坐标是 。

当x=0时，代入直线解析式方程 ，得 ；所以B点的坐标是 。

二、利用二元一次方程组来判断对应的两个一次函数图象的位置

设二元一次方程组的一般形式为 ，可转化为 ，令 ，则上述形式又可以写成 。这就对应着两个一次函数。

（1）当 时，二元一次方程组 有唯一解，此时直线 和直线 相交。

（2）当 时，方程组 无解，此时直线 和直线 平行，没有公共点。

（3）当 时，方程组 有无数组解，此时直线 和直线 重合，有无数个公共点。

三、二元一次方程组解决一次函数问题

在学习过程中，不少一次函数的问题可以转化成二元一次方程组的问题来解决，下面这种题型就是很好的例子。

如何求两个一次函数图象交点坐标。这个交点，同时在这两个函数图象上，所以同时满足这两个函数解析式方程。我们可以通过解这两个解析式组成的方程组来解决问题。

例：求两个一次函数 和 图象的交点坐标。

解：由题意可得： ；解方程组得： ；所以交点坐标是（1，1）。

四、二元一次方程与一次函数的综合应用

实际问题一直是个难点，应根据具体情况把一次函数和二元一次方程组有机地结合，灵活运用，从而顺利解决问题。

例：中国移动公司开设两种通讯业务，“全球通”使用者先缴50元月租费，每通话1分钟再付0.4元；“神州行”不缴月租费，每通话1分钟付话费0.6元。现在小明想开通其中一种通讯业务，请问他应该开通哪一种更省钱？

分析：每月付话费的多少与小明每月通话时间有关，我们可设小明每月通话x分钟，付的话费为y元，分别建立起两种通讯业务方案的函数模型，然后再进行比较。

解：设小明每月通话x分钟，付的话费为y元。

全球通每月付款为y=0.4x+50；神州行通每月付款为y=0.6x

在同一直角坐标系中画出这两个函数的图象

解方程组 ；解之得： ；所以两图象交于点（250，150）

由图象易知：

当 时， ，此时选择神州行更省钱；

当 时， ，此时两种方案没有区别；

当 时， ，此时选择全球通更省钱。

总之，在一次函数教学过程中，教师要引导学生把一次函数和二元一次方程有机联系起来，给予学生充分的时间和空间来体验数学知识的学习过程，适当的练习来熟练应用各知识点。这样，相信学生学好一次函数不成问题。

参考文献：

一元一次方程组篇8

第六章知识点

一、函数：

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

二、自变量取值范围

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式(取全体实数)，分式(分母不为0)、二次根式(被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑。

三、函数的三种表示法及其优缺点

(1)关系式(解析)法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式(解析)法。

(2)列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

(3)图象法

用图象表示函数关系的方法叫做图象法。

四、由函数关系式画其图像的一般步骤

(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

(3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

五、正比例函数和一次函数

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成(k，b为常数，k0)的形式，则称y是x的一次函数(x为自变量，y为因变量)。

特别地，当一次函数中的b=0时(即)(k为常数，k0)，称y是x的正比例函数。

2、一次函数的图像：所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数 的图像是经过点(0，b)的直线;正比例函数 的图像是经过原点(0，0)的直线。

第七章知识点

1、二元一次方程

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程的解

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组

含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

4、二元一次方程组的解

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

5、二元一次方程组的解法

(1)代入(消元)法(2)加减(消元)法

第八章知识点

1、刻画数据的集中趋势(平均水平)的量：平均数、众数、中位数

2、平均数

(2)加权平均数：

3、众数

一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

一元一次方程组篇9

二元一次方程7年级学的，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。所有二元一次方程都可化为ax+by+c=0（a、b≠0）的一般式与ax+by=c（a、b≠0）的标准式，否则不为二元一次方程。

但是，若在平面直角坐标系中，例如直线方程“x=1”，直线上每一个点的横坐标x都有与其相对应的纵坐标y，这种情况下“x=1”是二元一次方程。此时，二元一次方程一般式满足ax+by+c=0（a、b不同时为0）。

适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。每个二元一次方程都有无数对方程的解，由二元一次方程组成的二元一次方程组才可能有唯一解，二元一次方程组常用加减消元法或代入消元法转换为一元一次方程进行求解。

（来源：文章屋网 ）

一元一次方程组篇10

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一元一次方程是最简单的方程，例如，___________________. 解一元一次方程的步骤是__________________________________________________. 解二元一次方程组的基本思想是__________________，方法有________________________. 若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式=b2-4ac，则当_________时，方程有两个不相等的实数根；当__________时，方程有两个相等的实数根；当__________时，方程没有实数根. 若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）两个根为x1，x2，则x1+x2=______，x1x2=_______.

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例1 （2011广东湛江）若x=2是关于x的方程2x+3m-1=0的解，则m的值为____________.

分析：本题主要考查的是一元一次方程解的意义以及解一元一次方程. 根据解的意义，得4+3m-1=0，解这个关于m的方程，得m=-1.

例2 （2011福建泉州）已知x，y满足方程组2x+y=5，x+2y=4，则x-y的值为_______.

分析：本题可分别求出x，y，也可以观察两个方程的特点，将两个方程相减，直接得到x-y=1.

例3 （2011湖北襄阳）关于x的分式方程■+■=1的解为正数，则m的取值范围是________________.

分析：本题先求分式方程的解，再求取值范围. 分式方程■+■=1的解为x=m-2. 由m-2＞0，得m＞2. 注意到分母不能为0，所以x≠1，即m≠3. 故所填结果为m＞2且m≠3.

例4 （2011甘肃兰州）用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（ ）

A. （x+1）2=6 B. （x-1）2=9 C. （x-1）2=6 D. （x-2）2=9

分析：本题主要考查的是用配方法解一元二次方程，这是初中阶段必须掌握的学习内容. 本题选C.

例5 （2011江苏苏州）下列四个结论中，正确的是（ ）

A. 方程x＋■=-2有两个不相等的实数根

B. 方程x＋■=1有两个不相等的实数根

C. 方程x＋■=2有两个不相等的实数根

D. 方程x＋■=a（其中a为常数，且|a|＞2）有两个不相等的实数根

分析：本题利用一元二次方程根的判别式进行求解，将方程x＋■=a化为一元二次方程x2-ax＋1=0，要使方程x2-ax＋1=0有两不相等的实数，则=a2-4＞0，解得|a|＞2. 故选D.

注意：方程x＋■=a与一元二次方程x2-ax＋1=0是同解的.

例6 （2011年湖北孝感）已知关于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根x1，x2，

（1） 求k的取值范围；

（2） 若|x1+x2|=x1x2-1，求k的值.

分析：本题是一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的综合题，考查的数学思想方法是分类讨论.

（1） 因为方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根，所以=［-2（k-1）］2-4k2=-8k＋4≥0，解得k≤■.

（2） 依题意，得x1+x2=2（k-1），x1x2=k2. 分两种情况讨论：① 当x1+x2≥0时，则有x1+x2=x1x2-1，即2（k-1）=k2-1，解得k1=k2=1. 由（1）知，此解不合题意，舍去. ② 当x1+x2＜0时，则有x1+x2=1-x1x2，即2（k-1）=1-k2，解得k1=1，k2=-3. k≤■， k=-3. 综上所述，k的值为-3.

注意：在分类讨论时，不能有遗漏.

例7 （2011江苏无锡）十一届全国人大常委会第二十次会议审议的《中华人民共和国个人所得税法修正案（草案）》（简称“个税法修正案草案”），拟将现行个人所得税的起征点由每月2 000元提高到3 000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1～5级税率情况见下表：

注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额. “速算扣除数”是为了快捷简便计算个人所得税而设定的一个数.

例如，按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2 600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算：

方法一：按1～3级超额累进税率计算，即500×5%+1 500×10%+600×15%=265（元）；

方法二：用“月应纳税额×适用税率-速算扣除数”计算，即2 600×15%-125=265（元）.

（1） 请把表中空缺的“速算扣除数”填写完整；

（2） 甲今年3月缴了个人所得税1 060元，若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少元？

（3） 乙今年3月缴了个人所得税三千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴纳的税款恰好不变，那么乙今年3月所缴税款的具体数额为多少元？

分析 这是一道来自于现实生活的试题. 本题有一定的阅读量，只有读懂题目，才能解题正确. （1） 在纳税的范围内，任意取一个数，用两种不同的方法计算应缴税款，即可得到75，525；（2） 判断在“现行征税方法”下，缴个人所得税1 060元对应的税级为4级. 设甲的月应纳税所得额为x元，根据题意得20%x-375=1 060，解得x=7 175. 甲这个月的应纳税所得额是7 175元. 再按“草案征税方法”计算，则他应缴税款为（7 175-1 000）×20%-525=710元；（3） 判断缴个人所得税三千多元，两种纳税方法的税级都是4级. 设乙的月应纳税所得额为x元，根据题意得20%x-375=25%（x-1 000）-975，解得x=17 000. 乙今年3月所缴税款的具体数额为17 000×20%-375=3 025元.

说明：全国人大常委会6月30日通过关于修改个人所得税法的决定. 根据决定，个税起征点将从现行约2 000元提高到3 500元.

注意：（1） 本题的两种纳税方法的个人所得税的起征点不一样；

（2） 理清并能正确判断所缴个人所得税的金额所对应的税级.

例8 （2011湖北宜昌）随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性提高员工当年的月工资. 尹进2008年的月工资为2 000元，在2010年时他的月工资增加到2 420元，他2011年的月工资按2008到2010年的月工资的平均增长率继续增长.

（1） 尹进2011年的月工资为多少？

（2） 尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2011年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校. 请问，尹进总共捐献了多少本工具书？

分析：（1） 要计算尹进2011年的月工资，必须先计算出尹进从2008年到2010年的月工资的平均增长率. 因此设尹进2008到2010年的月工资的平均增长率为x，则2 000（1＋x）2=2 420. 解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1. 所以尹进2011年的月工资为2 420×（1＋0.1）=2 662元；（2） 根据题意，可设甲工具书单价为m元，第一次选购y本；设乙工具书单价为n元，第一次选购z本. 这样得到含4个未知数的3个方程，即m+n=242，ny+mz=2 662，my+nz=2 662-242.目标是求y＋z，故用整体代入计算出y＋z的值为21. 这只是第一次算错单价购置的两种工具书的和，因为尹进又用剩下的242元购置了2本工具书，所以尹进捐出的这两种工具书总共有23本.

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1. 将含有分数或分式的方程去分母时，注意不要漏乘

例1 （2011四川绵阳）解方程■-■=1.

误解：去分母，得2x（2x＋5）-2（2x-5）=1. 整理，得4x2＋6x＋9=0. 此方程无解.

正解：去分母，得2x（2x＋5）-2（2x-5）=（2x＋5）（2x-5）. 整理，得x=-■.

2. 方程解的概念要清晰

例2 方程组x+y=25，2x-y=8的解是（ ）

A. x=10，y=15 B. x=5，y=2 C. x=11，y=14 D. x=10，y=15或x=5，y=2

误解：D.

剖析：二元一次方程组的解是组内两个方程的公共解，而x=10，y=15或x=5，y=2只是方程组x+y=25，2x-y=8中的一个方程的解，所以它们都不是方程组的解. 正确答案是C.

3. 在方程有实数根的前提下，才能利用一元二次方程根与系数的关系解题

例3 （2011湖北荆州）关于x的方程ax2-（3a＋1）x＋2（a＋1）=0有两个不相等的实根x1，x2，且有x1-x1x2＋x2=1-a，则a的值是（ ）

A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 2

误解：由题意可知x1＋x2=■，x1x2=■，则■-■=1-a. 整理，得a2=1，解得a=±1. 所以选择C.

剖析：本题所给条件是“两个不相等的实数根”，所以求出方程中a的值必须代入判别式检验，使≤0的a的值要舍去.

正解：当a=1时，=0，方程有两个相等的实数根，a=1舍去；当a=-1时，=4，方程有两个不相等的实数根. 故选择B.

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例1 （2011湖北荆州）对于两个非零的实数a，b，规定a?茚b=■-■，若1?茚（x+1）=1，则x的值为（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. -■

分析：本题是一道自定义试题，需要根据规定列出方程，然后求解. 即■-1=1，解得x=-■. 故选择D.

例2 （2011上海）解方程组x-y=2，x2-2xy-3y2=0.

分析1：本题常规解法是由x-y=2，得y=x-2. 把y=x-2代入x2-2xy-3y2=0，整理，得x2-4x＋3=0. 解这个方程，得x1=1，x2=3. 将x的值代入y=x-2，得y的值. 则原方程组的解为x1=1，y1=-1；x2=3，y2=1.

分析2：运用整体思想，将x-y看作一个整体，把x2-2xy-3y2=0变形，得（x-y）2-4y2=0，即y2=1. 解得y=±1. 然后代入求出x的值.

例3 （2011山东威海）解方程■-■=0.

分析：本题右边是0，可以将左边进行通分，得■=■，则2x=0且x2-1≠0，解得x=0.

例4 （2011台北）若一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）=2的两根为0、2，则|3a+4b|之值为多少？（ ）

A. 2 B. 5 C. 7 D. 8

分析：条件“根为0”对解题没有用处，只要将“根为2”代入一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）・（x＋2）＋bx（x＋2）=2，得6a+8b=-10，则3a+4b=-5. 故选择B.

例5 （2011四川绵阳）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（ ）

A. x1＜x2＜a＜b B. x1＜a＜x2＜b C. x1＜a＜b＜x2 D. a＜x1＜b＜x2

分析：由于（x-a）（x-b）=1＞0，且x1＜x2，a＜b，所以x1＜a，x2＞b. 故选择C.

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1. （2011湖南邵阳）请写出一个解为x=2的一元一次方程：___________.

2. （2011湖南益阳）二元一次方程x-2y=1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）

A. x=0，y=-■ B. x=1，y=1 C. x=1，y=0 D. x=-1，y=-1

3. （2011山东枣庄）已知x=2，y=1是二元一次方程组ax+by=7，ax-by=1的解，则a-b的值为（ ）

A. -1 B. 1 C. 2 D. 3

4. （2011江西南昌）已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）

A. 1 B. 2 C. -2 D. 1

5. （2011湖南株洲）食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输. 某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？

6. （2011福建福州）一元二次方程x（x-2）=0根的情况是（ ）

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根

C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

7. （2011重庆）已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）

A. a

8. （2011江苏苏州）已知a，b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根，则代数式（a-b）・（a＋b-2）＋ab的值等于_____________.

9. （2011湖北黄石）设一元二次方程（x-1）（x-2）=m（m＞0）的两实根分别为α，β，则α，β满足（ ）

A. 1

10. （2011广东中山）解方程组y=x-3，x2-xy-6=0.

11. （2011四川南充）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2.

（1） 求k的取值范围；

（2） 如果x1+x2-x1x2＜-1且k为整数，求k的值.

12. （2011四川广安）广安市某楼盘准备以每平方米6 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，将价格两次下调后，决定以每平方米4 860元的均价开盘销售.

（1） 求平均每次下调的百分率.

（2） 某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：① 打9.8折销售；② 不打折，一次性送装修费每平方米80元. 试问哪种方案更优惠？

■

1. 答案不唯一，比如，x-2=0或2x-2=2等等. 2. B. 3. A. 4. B.

5. 解法一：设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了（100-x）瓶，依题意，得2x+3（100-x）=270. 解得x=30. 则100-x=70. 解法二：设A饮料生产了x瓶，B饮料生产了y瓶，依题意，得x+y=100，2x+3y=270.解得x=30，y=70.答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶.

6. A. 7. C. 8. -1. 9. D. 10. x=2，y=-1.

11. （1） k的取值范围是k≤0. （2） k的值为-1和0.

12. （1） 平均每次下调的百分率为10%. （2） 方案①更优惠.

不等式（组）部分

■

不等式的性质1：______________________________________________，不等式的性质2：__________________________________，不等式的性质3：______________________________. 一般地，___________________ 叫做由它们所组成的不等式组的解集. 若a＜b时，则不等式组x＞a，x＞b的解集为_______________，不等式组x

■

例1 （2011上海）如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（ ）

A. a＋c＞b＋c B. c-a＞c-b C. ac＞bc D. ■＞■

分析：本题主要考查不等式的性质，选择A. 在运用“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”这一性质时，要注意不等号方向.

例2 （2011福建福州）不等式组x+1≥-1，■x

分析：本题是先求不等式组的解集，再判断其在数轴上表示的正确性. 解不等式组x+1≥-1，■x

例3 （2011湖北武汉）如图1，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ ）

A. x+1＞0，x-3＞0 B. x+1＞0，3-x＞0 C. x+1

分析：本题是由解集在数轴上表示的选择对应的不等式组. 解题方法与例2相同. 故选择B.

例4 （2011山东威海）如果不等式2x-1＞3（x-1），x

（ ）

A. m=2 B. m＞2 C. m＜2 D. m≥2

分析：求得不等式2x-1＞3（x-1）的解集为x＜2，因为不等式组x

例5 （2011山东泰安）不等式组3-x＞0，■+■＞-■的最小整数解为（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 1

分析：本题要求不等式组3-x＞0，■+■＞-■的最小整数解，首先要求出它的解集. 不等式组3-x＞0，■+■＞-■的解集为-1＜x＜3，则它的最小整数解为0. 故选择A.

例6 （2011江苏盐城）解不等式组■

分析：分别求得不等式组中的每个不等式的解集，即x

然后得到不等式组的解集为-■≤x＜1. 将它在数轴上表示出来，如图2.

注意：画数轴时，一定要画出它的三要素，即原点、正方向、单位长度.

例7 （2011四川乐山）已知关于x，y的方程组x-y=3，2x+y=6a的解满足不等式x+y＜3，求实数a的取值范围.

分析：这是一道方程与不等式的综合题. 利用方程组，用含a的代数式分别表示x，y的值，即x=2a+1，y=2a-2.然后解不等式2a+1+2a-2＜3，得a＜1.

例8 （2011内蒙古乌兰察布）某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧. 已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆.

（1） 某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来.

（2） 若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明（1）中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？

分析：本题是要求利用不等式组解决实际问题.

（1） 可设搭建A种园艺造型x个，则搭建B种园艺造型（50-x）个. 根据题意，得8x+5（50-x）≤349，4x+9（50-x）≤295.解得31≤x≤33. 这样可以得到三种方案，即方案1：A种造型31个，B种造型19个；方案2：A种造型32个，B种造型18个；方案3：A种造型33个，B种造型17个.

（2） 由于搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，所以搭配同样多的园艺造型A种比B种成本低，即方案3的成本低. 最低成本为33×200+17×360=12 720（元）.

注意：本题中的（2）也可列出成本和搭配A种造型数量x之间的函数关系，即成本=200x

+360（50-x）=-160x+18 000. 由一次函数的性质可知，当x的取值越大时，成本就越小，即取x=33. 或直接算出三种方案的成本进行比较也可.

例9 （2011四川凉山）为了让我州出产的苦荞茶、青花椒、野生蘑菇这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会. 现有A型、B型、C型三种汽车可供选择. 已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满. 根据下面两表给出的信息，解答问题.

（1） 设A型汽车安排x辆，B型汽车安排y辆，求y与x之间的函数关系式.

（2） 如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案.

（3） 为节约运费，应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费.

分析：本题是方程、不等式、函数的综合题，但核心问题是解不等式组. 要使解答正确，必须要读懂表格. 第一张表是每辆不同型号的汽车装运2种土特产的吨数，第二张表是每辆不同型号汽车的运费.

（1） 利用“21辆汽车装运这三种土特产共120吨”，可得y=-3x+27.

（2） 由“三种型号的汽车都不少于4辆”，得不等式组x≥4，y≥4，21-x-y≥4.解得5≤x≤7■. 所以x=5，6，7. 故车辆安排有三种方案，即方案1：A型车5辆，B型车12辆，C型车4辆；方案2：A型车6辆，B型车9辆，C型车6辆；方案3：A型车7辆，B型车6辆，C型车8辆.

（3） 利用函数的性质计算比较，求得当x=5时，运费最小为37 100元.

■

1. 不等式两边乘以（或除以）同一个负数时，必须改变不等号的方向.

例1 解不等式3x-6＜1+7x.

错解：移项，得3x-7x＜1+6，即-4x＜7，所以x

诊断：将不等式-4x＜7的两边同除以-4时不等号没有改变方向，因此造成了错解.

正解：移项，得3x-7x

2. 注意字母的取值范围.

例2 解关于x的不等式m（x-2）＞x-2.

错解：化简，得（m-1）x＞2（m-1）. 所以x＞2.

诊断：产生错解的原因是默认m-1＞0，实际上还可能小于或等于0.

正解：化简，得（m-1）x＞2（m-1）. 当m-1＞0时，x＞2；当m-1＜0时，x＜2；当m-1=0时，即m=1时，无解.

3. 注意对“≥（或≤）”中“=”正确取舍

例3 如果不等式3x-m≤0的正整数解是1，2，3，那么m的取值范围是______________.

错解： 3x-m≤0的正整数解是1，2，3， 3≤■≤4. 9≤m≤12.

正解： 3x-m≤0的正整数解是1，2，3， 3≤■＜4. 9≤m＜12.

■

例1 （2011山东日照）若不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a-1）x＜a+5成立，则a的取值范围是（ ）

A. 1＜a≤7 B. a≤7 C. a＜1或a≥7 D. a=7

分析：本题的常规解法是解不等式2x＜4，得解集为x＜2. 由题意可知，只有a-1＞0，即a＞1时，才有x＜■. 所以■≥2. 所以a+5≥2（a-1），解得a≤7. 故选择A. 还可以在每个选项中任取一个数a的值，代入（a-1）x＜a+5中，求得x的解集，然后与不等式2x＜4进行比较，得到解集.

例2 （2011湖北鄂州）若关于x，y的二元一次方程组3x+y=1+a，x+3y=3的解满足x＋y＜2，则a的取值范围为_______________.

分析：本题运用整体思想，两式相加，再除以4，得x+y=1+■，再由1+■＜2，解得a＜4.

■

1. （2011江苏无锡）若a＞b，则（ ）

A. a＞-b B. a＜-b C. -2a＞-2b D. -2a＜-2b

2. （2011浙江金华）不等式组2x-1＞1，4-2x≥0的解集在数轴上表示为（ ）

3. （2011山东烟台）不等式4-3x≥2x-6的非负整数解有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

4. （2011江苏苏州）不等式组x-3≥0，■

A. 9 B. 12 C. 13 D. 15

5. （2011贵州安顺）若不等式组5-3x≥0，x-m≥0有实数解，则实数m的取值范围是（ ）

A. m≤■ B. m＜■ C. m＞■ D. m≥■

6. （2011江苏南通）求不等式组3x-6≥x-4，2x+1＞3（x-1）的解集，并写出它的整数解.

7. （2011四川宜宾）解不等式组■

8. （2011广东广州）某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案. 方案1：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案2：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠. 已知小敏5月1日前不是该商店的会员.

（1） 若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？

（2） 请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案1更合算？

9. （2011四川内江）某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器. 若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7 000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4 120元.

（1） 每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？

（2） 该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22 240元. 根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元. 该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4 100元. 试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？

■

1. D. 2. A. 3. C. 4. B. 5. A.

6. 不等式组的解集为1≤x＜4，其整数解为x=1，2，3.

7. 不等式组的解集是6≤x

8. （1） 120×0.95=114（元）.

（2） 设购买商品的价格为x元，由题意，得0.8x+168＜0.95x，解得x＞1 120. 所以当购买商品的价格超过1 120元时，采用方案1更合算.