排列组合例题十篇

排列组合例题篇1

一、相异元素不许重复的排列组合问题

1. 若对元素无特殊要求，这类问题比较简单，直接运用排列数、组合数定义就可以解决，只需分清是组合问题还是排列问题即可.

例1 有北京、上海、广州三个车站，需准备几种车票？有几种票价？

解析 车票与起点、终点顺序有关，故是排列问题；而票价与顺序无关，故是组合问题. 因此有[A23=6]种车票，有[C23=3]种票价.

2. 相异元素有限制条件的排列问题，常用方法有：特殊元素优先法、相邻问题捆绑法、相邻问题插入法等.

例2 6人站成一排，其中甲既不站在最左端也不站在最右端，有多少种不同的站法？

解析 因为甲不能站在左、右两端，故第一步考虑甲，除去两端位置甲有4种站法；

第二步让其余的5人站在其他5个位置上，有[A55=120]种站法.

故满足题目条件的站法共有[4×A55=480]种.

例3 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？

解析 将3个女生看成一个元素，与5个男生进行排列，共有[A66=720]种排法；

然后女生内部再进行排列，有[A33=6]种排法.

故共有[A66A33=4320]种排法.

点拨 对于某些元素要求排在一起的问题，可用“捆绑法”将这些元素看作一个整体、看作一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素间内部再进行排列.

例4 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？

解析 先将其余4人排成一排，有[A44=24]种排法，

再将甲、乙、丙3人插入其余4人之间和两端的5个缝隙中，有[A35=60]种排法，

故共有[A44A35=1440]种排法.

点拨 对于某些元素要求间隔排列的问题一般运用插入法. 在插入时，要先排无限制条件的元素，再将不相邻的元素插入已排好元素位置间的缝隙中.

例5 有9本不同的书，分成3堆.

（1）每堆3本有多少种不同的分法；

（2）一堆5本，其他两堆各2本，有多少种不同的分法；

（3）若一堆4本，一堆3本，一堆2本有多少种不同的分法.

解析 （1）此分堆属于平均分组问题，并且不计每堆顺序，所以分堆方法共有[C39C36C33A33=560]种.

（2）分堆中，有两堆是均匀的，故有[C59C24C22A22=378]种.

（3）非均匀分堆，由于不知3堆中哪一堆4本，哪一堆3本，哪一堆2本，故有[C49C35C22]=1260种.

点拨 对于分组、分堆问题，要注意是“均匀分”还是“非均匀分”，均匀分组要除以分组数的全排列数（堆与堆之间没有顺序），而不均匀分组则不用除以分组数的全排列数.

二、 相异元素允许重复的排列组合问题

不能直接用[Amn]解决，因元素可重复出现，往往需分步考虑，运用计数乘法原理来解决.

例6 有3封信和4个邮筒，则将信投入邮筒的所有不同投法种数有（ ）

A. [A34] B. [43] C.[34] D.[C34]

解析 [Amn]，[Cmn]只能表示没有重复的排列组合问题，而本题中明显可以将多封信投入到一个邮筒中，是一个可重复问题，应考虑运用分步原理来做. 每封信都有4种可能的投法，故有[4×4×4=64]种不同的投法.

答案 B

例7 用5种不同的颜色给图中4个区域涂色，若每一区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，共有多少种涂色方法.

[1][2][3][4]

解析 这是一道染色排列组合问题，很容易错误地认为就是[A45=120]，但仔细分析可知，1，3区域可以同色，故应分步考虑. 先涂区域2有5种方法，再涂区域4有4种方法，剩下三种颜色涂区域1，3各有3种方法，故共有[5×4×3×3=180]种涂法.

点拨 对于这类染色问题，一般采取分步或分类计数的方法进行解决.

三、不尽相异的元素的排列组合问题

这类排列组合问题，直接考虑很难解决，分类讨论又十分麻烦. 有些排列组合问题，从表面上看是不尽相异的元素排列组合，但若交换元素与位置关系，运用转化思想，变换角度来考虑，问题就可能转化为相异元素的排列组合问题.

例8 有2个a，3个b，4个c，共9个字母排列成一排，有多少种排法？

解析 将9个字母看作元素，1～9位置作为位子，这是一个不尽相异元素的全排列.若转换角度，将1～9号位置作元素，字母作位置，那么问题就转化为一个相异元素不许重复的组合问题，故有[C29C37C44=1260]种不同的排法.

例10 3面红旗、2面黄旗，全部都升上旗杆作信号，共能表示多少种不同的信号？

解析 由于同色旗间没有顺序，因此只用考虑红旗或黄旗中的一种在5个空处的位置即可，故有[C35=C25=10]种信号.

例11 从5个班中选10人组成校篮球队，每班至少1人，有多少种选法？

排列组合例题篇2

关键词：概率；排列组合基本原理；推广；应用

互斥事件发生的概率和相互独立事件同时发生的概率是“排列、组合和概率”这一章中的两个重要概念，教材用两个简单的实例给出了相应的计算公式：若A、B为互斥事件，则 P（A+B）=P（A）+P（B），若A、B为相互独立事件，则P（A・B）=P（A）・P（B）。这种处理方法将抽象的问题具体化，使问题的解决简单明了，比较符合我们的认知水平。如果能结合排列组合的基本原理来解释这两个概念，那么我们对这两个概念及相应的计算公式会有更深刻的理解。

一、排列组合基本原理在概率问题中的推广

1.概率的加法原理。完成一个试验，含有2个“类事件”，这两个类事件中所含的基本事件中没有一个基本事件是相同的，第1类事件A发生的概率为P（A），若第2类事件发生的概率为P（B），则 P（A+B）=P（A）+P（B）。由此可以推广至n类事件，即互斥事件发生的概率的实质是分类。

2.概率的乘法原理。完成一个试验，需要2个“步事件”，且一个步事件的发生与否不会影响另一个步事件发生的概率，若第 1 步事件A发生的概率为P（A），第2步事件发生的概率为P（B），则P（A・B）=P（A）・P（B）。由此可以推广至n步事件，即相互独立事件同时发生的概率的实质是分步。

二、实际应用举例

将互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件同时发生的概率问题转化为分类和分步问题，可以使概率问题借助排列、组合中较常用的“树图”得到直观的解决。

例题 1：如果猎人射击距离为100米处的动物，假如第一次未命中，则进行第二次射击，但由于枪声惊动动物，动物逃跑，从而使第二次射击时动物离猎人的距离变为150米，假如第二次仍未命中，则进行第三次射击，而第三次射击时动物离猎人的距离为200米。假如击中的概率与距离成反比。求猎人最多射击三次命中动物的概率。

分析：根据分类和分步原则，画出“树图”

例题2：开关闭合后，便有红灯和绿灯闪动，设第一次出现红灯的概率是1/2，出现绿灯的概率也是1/2，从第二次起，前次出现红灯后接着出现红灯的概率是1/3，接着出现绿灯的概率是 2/3；同样，前次出现红灯后接着出现红灯的概率是 3/5，出现绿灯的概率是 2/5。问：（1）第二次出现红灯的概率是多少？（2）三次发光，红灯出现一次，绿灯出现两次的概率是多少？（3）红、绿灯交替发光的概率是多少？

分析：画出树图

例题3：甲、乙两位同学做摸球游戏，游戏规则规定：两人轮流从一个放有2个红球，3个黄球，1个白球且有颜色不同的6个小球的暗箱中取球，每次每人只取一球，每取出一个后立即放回，另一人接着取，取出后也立即放回，谁先取到红球，谁为胜者，现甲先取。

（1）求甲摸球次数不超过三次就获胜的概率；

（2）求甲获胜的概率；

排列组合例题篇3

【关键词】排列组合 问题 解题方法

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）07-0146-02

排列组合问题和实际生活密切相关，排列组合知识又是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学好概率的基础，因此排列组合问题成了近几年高考的必考内容之一。很多高中生对这部分知识的学习感到吃力，碰到此类问题常无从下手，是学习中的一个棘手问题。解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确问题是属于排列问题还是组合问题；其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答；同时还要注意讲究一些方法和技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。现笔者根据多年来教学教研中积累的一些解题思路与方法，结合实例介绍几种常用的解题方法与技巧供大家参考。

1.合理分类与准确分步法

解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，作到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

例1:安排5名同学担任5种不同的班干部 ，如果甲同学不担任班长，乙同学不担任学习委员，那么共有多少种不同的安排方法？

分析:由题意可先安排甲同学，并按其分类讨论：（1）如果甲同学担任学习委员时有A■■种安排方法；（2）如果甲同学不担任学习委员时，则有A■■A■■A■■ 种安排方法，由分类计数原理，安排方法共有A■■+ A■■A■■A■■=78种。

2.特殊位置（或元素）“优先安排法”

对于带有特殊位置（或元素）的排列组合问题，一般应先考虑特殊位置（或元素），再考虑其它位置（或元素）。

例2： 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）

A. 300种 B. 240种 C. 144种 D. 96种

分析 ：因为甲、乙不去巴黎，故从其余4人中选1人去巴黎有C■■种方法，再从剩余5人中选3人去其余3市，有A■■ 种方法，所以共有方案C■■A■■=240（种），故选B。

3.总体淘汰法

对于含有否定字眼的问题，可以从总体中把不符合要求的除去，此时需注意不能多减，也不能少减。

例3：从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（ ）

A． 108种 B． 186种 C． 216种 D． 270种

分析：此题虽然没有否定词语，然而选出的3人中至少有1名女生，说明不能全是男生。因此选出3人有C■■种，其中都是男生的有C■■种不合题意，因此共有（C■■-C■■）A■■=186，故选B。

4. 相邻问题“捆绑法”

对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个大元素与其他元素一起排列，然后再对相邻元素内部之间进行排列。

例4：书架上有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，全部竖起排成一排，如果不使同类的书分开，一共有多少种排法？

分析：由于同类书不分开，即把4本数学书，5本物理书，3本化学书分别捆成一捆，看作3个大元素进行排列有A■■种，每捆内部的排列分别有A■■种，A■■种，A■■种，由分步计数原理共有排法：A■■A■■A■■A■■=103680（种）。

5．不相邻问题“插空法”

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙中插入即可。

例5:一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,若舞蹈不能挨着,则节目顺序有多少种不同的排法？

分析:先排2个相声和3个独唱，有A■■种排法，再在这些节目之间及两端的6个“空”中选4 个让舞蹈插入，有A■■ 种排法，这样共有 A■■A■■=43200种不同排法。

6.顺序固定问题用“除法”

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。

例6:5男3女列成一队，若女的顺序一定，则共有多少种不同的排法？

分析：因8人的全排列数为A■■种，3女的全排列为A■■，而3女顺序一定，则所求排列数为■=6720种。

7.分排问题“直排法”

把几个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其它的特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理。

例 7 某班48 位同学坐在8排座位上，每排坐6人，则不同的坐法有多少种？

分析 48位同学可以在8排座位上随意就坐，再无其它条件，故8排可看作一排来处理，不同的坐法共有A■■种。

8.正难反易“转化法”

对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难的问题，从正面入手情况较多，不易解决，这时可从反面入手，将其转化为一个简单问题来处理。

例8：用1～6这六个数字，可组成比200000大且百位数不是3的无重复数字的六位数多少个?

分析：乍读起来，比较乱，但细想起来，比200000大其实就是最高位不是1就可以了，因此，把问题想成“1”不在最高位，“3”不在百位，念着念着，你便恍然大悟。这不和例1甲同学不担任班长，乙同学不担任学习委员一样吗? 因此可转化成例l方法来解决，共有A■■+A■■A■■A■■ = 504个。

9．混合应用问题“先选后排法”

对于排列与组合的混合问题，可采用先选出元素后排列的办法。

例9：某学习小组有5名男生3名女生，要从中选取2名男生1名女生参加数学、物理、化学三科竞赛，要求每科均有一人参加，共有多少种不同的选法？

分析 （1）选：从5名男生中选2名有C■■种选法，从3名女生中选1名有C■■种选法；（2）排：3名学生分别参加三科竞赛，即进行全排列有A■■种，故所求选法有C■■C■■A■■=180种。

10.构造模型 “隔板法”

对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来帮助解决问题。

例10：高中二年级8个班，组织一个12人年级学生分会，每班至少1人，名额分配有多少种不同方法？

排列组合例题篇4

智慧技能的教学是学校教学的中心任务．著名认知心理学家加涅认为，智慧技能主要涉及概念和规则的掌握与运用，它由简单到复杂构成一个阶梯式的层级关系：概念（需要以辨别为先决条件）规则（需要以概念为先决条件）高级规则（需要以规则为先决条件）．因此，对于中学数学的每个单元，学生应该按照加涅关于智慧技能由简单到复杂构成的这个层级关系去学习，以便按照这个层级关系把所学的知识组织到大脑当中，形成具有良好层级性的认知结构．

据此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，将教材内容的顺序进行了调整．调整后的结构如图1所示．排列、组合p概念从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手，得出排列与组合的概念，进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示．

排

列

、

组

合

概念

从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手,得出排列与组合的要领进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示.

专题一

算法

在解释p1n＝n，c1n＝n（n∈z＋）的基础上，介绍加法原理和乘法原理（引例和例题的处理均须用由p1n或c1n组成的算式来解答）．

专题二

排列数公式与计算

专题三

组合数公式、计算与性质??

应用

用直译法解决纯排列与组合问题（同时用分步法解答纯排列问题）．题型如1990年人教版高中《代数》下册（必修）（简称：高中《代数》下册．下同）第234页例3、第245页例2.

专题四

用分类法解决加法原理的简单应用题．题型如高中《代数》下册第234页例4（此例还可用分步法）、第245页例3．

专题五

用分步法、分类法和排除法解综合性排列与组合问题．题型如高中《代数》下册第235页例5、第246页例4．

专题六

图1

于是该单元的教学次序是：基本概念的形成（排列与组合的概念、排列数与组合数的概念）基本算法规则的掌握（原理与公式）概念和算法规则相结合的应用（这里是以解题规律为主线，把排列应用题和组合应用题一并按其解法由易到难分层次集中而对偶地解决的），完全符合加涅关于智慧技能的学习必须按从概念到规则，再到高级规则的层级顺序去进行的规律，理顺了学生学习排列、组合内容的认知层次，加强了该单元认知结构的层级性．

2．运用先行组织者，促成认知结构的稳定性

运用先行组织者以改进教材的组织与呈现方式，是提高教材可懂度，促进学生对教材知识的理解的重要技术之一．其目的是从外部影响学生的认知结构，促成认知结构的稳定性．

因为高中生首次面对排列、组合单元的学习任务时，其认知结构中缺乏适当的上位观念用来同化它们，因此，我们在该单元的入门课里，在没有正式学习具体内容之前，先呈现如图2所示的组织者，能起到使学生获得一个用来同化排列、组合内容的认知框架的作用．

排

列

、

组

合

概念

排列、组合的概念

算法

算法原理、计算公式

应用

解排列、组合问题

图2

值得一提的是，安排在本文的入门课——专题一中的飞机票和飞机票价等具体问题，以及安排在基本原理课题中的两个引例，它们也分别起到了学习相应内容的具体模型组织者的作用．

3．实行近距离对比，强化认知结构的可辨别性

如果排列概念和组合概念在学生头脑中的分离程度低，加法原理和乘法原理在学生头脑中的可辨别性差，则会造成学生对排列和组合的判定不清，对加法原理和乘法原理的使用不准，从而严重影响学生解排列、组合问题的正确性．因此，在教学中我们必须增强它们在学生头脑中的可辨别性，以达到促使学生形成良好的“排列、组合”认知结构之目的．

按调整后结构的顺序教学，很自然地实行了近距离对比，加大了排列与组合、加法原理和乘法原理的对比力度，从而强化了它们在学生头脑中的可辨别性．

（1）在入门课里，开篇就将排列概念和组合概念进行近距离对比，有利于引导学生得到并掌握排列和组合的判定标准：看实际效果与元素的顺序有无关系．

（2）专题二首次近距离比较加法原理和乘法原理，并运用其判定标准——是分类还是分步，去完成对实际问题的处理，以加强学生对它们的理解与辨别．

（3）专题四、五、六里，把排列、组合问题按其解法分层次对偶地解决，在没有单独占用课时的情况下，很自然地为排列和组合的近距离比较，为加法原理和乘法原理的运用对比，提供了切实而尽可能多的机会．

4．及时归纳总结，增强认知结构的整体性与概念性

我们知道，认知结构是人们头脑中的知识结构，也就是知识在人们头脑中的系统组织，它具有整体性和概括性．认知心理学认为，认知结构的整体性越强、概括水平越高，就越有利于学习的保持与迁移．因此，在每个单元的教学中，我们必须随着该单元教学进度的推进，及时归纳总结已学内容的规律，以促进学生认知结构概括水平的不断提高，最终促使学生高效高质地整体掌握该单元，从而形成整体性强、概括程度高的认知结构．

于是对于“排列、组合”单元，笔者就随着教学进度的深入，引导学生不断归纳、及时总结出以下各规律：

（1）排列与组合的判定标准（见前文）．

（2）加、乘两原理的判定标准（见前文）．

（3）排列数公式的特征（略）．

（4）组合数与排列数的关系（略）．

（5）解排列、组合问题的基本步骤与方法：

①仔细审清题意，找出符合题意的实际问题．

所有排列、组合问题，都含有一个“实际问题”，找出了这个实际问题，就找到了解题的入口．

②逐一分析题设条件，推求“问题”实际效果，采取合理处理策略．

处理排列、组合问题的常用策略有：正面入手；正难则反；调换角度；整、分结合；建立模型等．但不管采用哪个策略，我们都必须从问题的实际效果出发，都必须保证产生相同的实际效果．因此，实际问题的实际效果，就是我们解排列、组合问题的出发点和落脚点，因而也可以说是解排列、组合问题的一个关键．

③根据问题“实际效果”和所采取的“处理策略”，确定解题方法．

解排列、组合问题的方法，不同的提法很多，其实归根到底，不外乎以下五种：枚举法；直译法；分步法；分类法；排除法．如所谓插空法，推究起来也只不过是在调换角度考虑的策略下的分步法而已．

5．注意策略的教学与培养，增大认知结构的可利用性

智育的目标是：第一，通过记忆，获得语义知识，即关于世界的事实性知识，这是较简单的认知学习．第二，通过思维，获得程序性知识，即关于办事的方法与步骤的知识，这是较复杂的认知学习．第三，在上述学习的同时，获得策略知识，即控制自己的学习与认知过程的知识，学会如何学习，如何思维，这是更高级的认知学习，也是人类学习的根本目的．

所谓策略，指的就是认知策略的学习策略，认知策略是个人用以支配自己的心智加工过程的内部组织起来的技能，包括控制与调节自己的注意、记忆、思维和解决问题中的策略．学习策略是“在学习过程中用以提高学习效率的任何活动”，包括记忆术，建立新旧知识联系，建立新知识内部联系，做笔记、摘抄、写节段概括语和结构提纲，在书上评注、画线、加标题等促进学习的一切活动．

在中学生的数学学习中，如果学生的认知结构中缺乏策略或策略的水平不高，那么学生的学习效果就不好、学习效率就不高，特别是在解题过程中，就会造成不能利用已学的相关知识而找不到解题途径，或造成利用不好已学的相关知识而使解题思路受阻，或造成不能充分利用好已学的相关知识而使解题方法不佳，以致解题速度不快、解答过程繁冗、解答结果不准确等．因此，中学数学教学，必须重视策略的教学和培养，让学生学会如何学习和如何思维，以增大学生认知结构的可利用性．

为此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，除注意一般性学习策略（如做笔记、画线、注记和写单元结构图等）的培养以外，更注重解排列、组合问题的培养和训练．

（1）在专题二、四、五、六里，对排列、组合问题解法的教学，始终按“仔细审清题意，找出符合题意的实际问题逐一分析题设条件，推求问题实际效果，采取合理处理策略根据问题实际效果和所采取的处理策略，确定解题方法”的基本步骤进行，以培养学生在解排列、组合问题时，有抓住“实际问题的实际效果”这个关键的策略意识和策略能力．

（2）重视一题多解和错解分析（多解的习题要有意讲评，例题讲解可故意设错）．

一题多解能拓宽解题思路，让学生见识各种解题方法和处理策略．另外，一题多解又能通过比较各种解法的优劣，使学生在较多的思路和方法中优选．同时，因为解排列、组合问题，其结果（数值）往往较大，不便于检验结果的正确性，而一题多解可以通过各种解法所得结果的比较，来检验我们所作的解答是否合理、是否正确，从而起到检查、评价乃至调控我们对排列、组合问题的解答的作用．

错解分析能使学生注意到解答出错的原因所在，同时使学生体验到解题策略调节的必要性和方法，防止今后犯类似的错误，增强学生解题纠错力．

故意设错如高中《代数》下册第246页例4的第（3）小题：如果100件产品中有两件次品，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种?

错解：由分步法得c12c299＝9702（种）．

略析：像该题一样的“至少”问题最好莫用分步法，这里分步出现了重复计算（以上错解是学生易犯错误，教学中必须注意）．

参考文献

1 邵瑞珍主编．学与教的心理学．上海：华东师范大学出版社，1990

排列组合例题篇5

（大同市卫生学校，山西 大同 037004）

【摘　要】本文以排列与组合的相关概念、原理及方法为基础，系统的分析了学生学习过程中存在的问题，并通过对“两步骤法”的总结，以期达到理清学生思路、高效求解的目的。

关键词 排列组合；教学；原理；方法；两步骤法

排列与组合这部分内容，具有内容独特，比较抽象的特点。我们在给学生讲解这部分内容的时候，应从学生的实际出发，紧扣基础概念，基本思想方法，着眼于对学生能力的培养，达到根据典型题型而举一反三的效果。

1　排列与组合

本章主要内容有：两个基本原理，即加法原理和乘法原理，两个基本概念排列与组合，组合数的两个性质，排列组合应用题。这四个方面是教材的重点，而解应用题是难点。通过复习来引导学生进一步掌握好以下几个关键环节。

1.1　扣住原理，把握“四分”

加法原理：完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2钟不同的方法，…在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1＋m2＋…mn种不同方法。乘法原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…mn种不同方法。加法原理和乘法原理是解排列，组合的基础[1]。只要立足于这个基础，才能以原理应万变。排列是从n个不同元素中，任取m个元素按照一定顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法。与顺序有关。而组合是从n个不同元素中任取m个元素，不管顺序如何并成一组，（m≦n)。“四分”即仔细分析题意、正确区分排列与组合、科学分类、合理分布，以保证不重、不漏、不错、不乱。

说明：（1）通常把完成题设事件的所有方式分成相互排斥的若干“互斥”类，又在同一类中将完成事件的方式分成若干相互不影响的“独立步”。

（2）鉴别排列、组合的有效方法是将同一“独立步”中的两个元素交换位置，看完成事件的方式是否发生变化。若发生变化是排列问题，否则，是组合问题。一般先作组合处置，在鉴别，确定是否是排列问题。

（3）排列组合应用题中条件基本上是以文字给出的，特别是一些关键字眼，如“至多”、“不少于”、“恰好”、“至少”等，常常一字之差，面目全非，务必仔细审题。

1.2　题组归类、掌握典型

解排列组合应用题时，学生常感到变化多、复杂，以至产生为难情绪。由于教材所涉及内容可归结为几种典型模式，通过题组，由浅入深，引导学生分析对比，归纳总结，使学生手中有典型，有利于学生掌握规律，增强信心，提高解题技能。

例1、现有4名男同学，5名女同学。问：（1）全体排成一行，有多少种不同的排法？

1.3　切实掌握基本分析法[2]

审题后一般应先确定着眼于“因素”或“位置”，再采用直接解法或间接解法或两者兼顾。可从不同角度给出几种解法。（如例1中3）解法一：若甲在最右边位置有

说明：（1）以上的解法中第一种是直接解法，第三、四种是间接解法，第二种二者兼有。不少问题正面复杂，而反面分析简单易解。（2）问题中的元素的位置常不是明确的，这就需要根据题意建立相对应关系，再依据确定的“元素”或“位置”去进一部求解。（3）因分析角度不同，常可一题多解。在排列组合的问题中一题多解，有助于活跃学生的思维，提高解题技巧，也是检验解题正确与错误的重要手段。

1.4　化难为易

是指将问题在不改变实质的前提下变抽象为具体，变一般为特殊，变大数据为小数据，经过剖析将复杂的问题退回到最简单最基本的几个类型上去，优先安排那些受条件限制的特殊元素，特殊位置。

例2、 11名学生中5名只会英语，4名只会日语，另外二人即会英语又会日语，11名中选4名参加英语比赛，4人参加日语比赛，问有多少种不同的选法？此例是一较困难的问题（很明显与顺序无关是组合问题），然而学习和生活经验告诉我们一种简单合理的方法是先选参加英语（日语）比赛学生，后选参加日语（英语）比赛的学生，会两国语言的学生地位特殊，优先被考虑，即得出以下三类选法。(1)会两国语言

初学排列组合的学生难免会把排列组合应用题神秘化，而盲目的去猜套公式，经过学习总结经验，使得他们学会把具体问题抽象为排列组合问题，正确的代入公式。

2　理解公式的“两步骤法”

此公式是在推导组合数计算公式的过程中，从排列与组合的概念出发，根据乘法原理得到的组合数与排列数之间的一个重要关系式，它的重复性不只表现在组合数计算公式的推导方面，反之，还可以帮助我们复习巩固排列与组合的概念，对于我们解决一些有关排列与组合的应用题有着重要的启示作用。应该这样理解该公式：求从n个不同的元素中取出m个不同元素的排列数

，可以分一下两步来完成：第一步，求从这n个不同元素中取出m个不同元素的组合数；第二步，求每一组合中m个元素的全排列数。我们把这两个步骤形象的称之为“先分组，后排序”，按照这样的两个步骤可以更容易理解排列与组合的概念及关系。定义中的“从n个不同的元素中取出m个不同元素”，我们理解为“先分组”，将取出来的一组m个元素“按照一定的顺序排成一列”正是“后排序”。这里的“先分组”就是先得到一个组合，“后排序”则反映出排列与组合的根本区别。根据上述对排列与组合的概念的理解，我们在解决一些应用问题的时候也可以用这个“两步骤法”去进行分析，分析过程如下：（1）弄清要求的排列中有几个元素（2）这几个元素来自于哪一组元素，然后由乘法原理得出结果。下面举一个简单的例子来说明“两步法”的具体应用。

例3、从5名同学中任取3名同学分别担任3中不同的职务，共有多少种不同的排列方法？

分析:（1）3名同学分别担任3种不同的职务共有种方法。（2）这3名同学是从这5名同学中选出的，共种方法。由乘法原理可得，共有不同方法。由此例子可以看出“两步骤法”对于解决一般的排列组合问题很有效，可以帮助学生迅速找到问题结点，快速解答[3]。而对于复杂的问题而言，“两步骤法”也可以很好的帮助学生缕清思路，作为分析的基础。

综上所述，在带领学生复习排列组合这部分内容的时候，要努力使学生夯实基础、理解概念，并通过对典型题型的分析以及重要公式的剖析加深体会，以达到灵活运用知识进而举一反三的目的。

参考文献

［1］管宏斌.解排列、组合题的常见误区[J].中学生数理化(高考版),2012(01).

［2］袁发启.浅谈直接法与间接法在排列组合应用题中的应用[J].周口师专学报,1994(04).

排列组合例题篇6

【关键词】高考 排列组合 解题技巧

排列组合问题是高中数学的重要内容，又是衔接初等数学与高等数学的纽带，也是高考的必考内容。明确高考中排列组合与概率统计问题的命题特点，掌握其解题策略，对于在高考数学中取得优异成绩尤为重要。数学教学中，提高学生解排列组合题的有效途径是将一些常见题型进行方法归类，构建模型解题，这样有利于学生认识解题模式，进而熟练应用。

一、相邻问题捆绑法

所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间的顺序。捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。

例1 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？ A.240 B.320 C.450 D.480 正确答是B。

解析：采用捆绑法把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有 A（6，6）=6x5x4x3x2种，然后3个女生内部再进行排列，有A（3，3）=6种，两次是分步完成的，应采用乘法，所以排法共有：A（6，6） ×A（3，3） =320（种）。

二、不相邻问题插空法

对于要求某些元素不能相邻，其他元素将其隔开的问题，可以先把其他元素排好，再将要求不相邻的元素插入它们的间隙或两端的位置。

例2 七个人并排站成一行，如果要求甲、乙两个人必须不相邻，那么不同排法的种数是（ ）

A.1440种 B.3600种 C.4820种 D.4800种

分析：除甲、乙外，其余5个人的排列数为种，再用甲、乙去插6个空位有种，不同排法种数是3600种，故选B。

三、无差别问题隔板法

把无差别的元素分配到有差别的位置，常用隔板模型法。

例3 将12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有（ ）种。

分析：将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若记“|”看作隔板，则如图00 | 0000 | 0000 | 00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有165种。

四、定位问题优先法

对于有限制条件的排列问题，首先考虑受限制的元素（或位置），再考虑其余元素（或位置）。

例4 从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ） A.280种B .96种 C.180种 D.240种 正确答案是D。

分析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C（4，1）=4种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A（5，3）=10种不同的选法，所以不同的选派方案共有C（4，1）×A（5，3）=240种，所以选D。

五、定序问题缩倍法

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序称为定序问题，这类问题可用缩小倍数的方法求解较为方便。

例5 A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果B必须站A的右边（A、B可不相邻），那么不同的排法种数有（ ） A.24种 B.60种 C.90种 D.120种

分析：若不考虑限制条件，则有Ai种排法，而A、B之间排法有种，故B站A右边的排法只有一种符合条件，故符合条件的排法有60种，故选B。

六、交叉问题集合法

某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n（AUB）=n（A）+n（B）-n（AnB）来求解。

例6 从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？

分析：设全集I={6人中任取4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有： n（I）-n（A）-n（B）+n（AnB）（种）。

七、“至多”“至少”问题分类、排杂法

关于“至多”“至少”类型的组合问题，可用分类的方法或排杂的方法。

排列组合例题篇7

关键词：排列 组合 加法 乘法 顺序 重复

在《概率与统计初步》一章中，排列与组合的题目灵活多变，极易出错。下面的几个具体问题，在教学过程中必须很好地加以解决，学生才能学好用好。

一、排列与组合的区别问题

排列与顺序有关，组合与顺序无关，所以在处理问题时要根据条件做出正确判断。

例1 一个小组20人，假期中每两人互通电话一次，各通信一次，共通了几次电话，几封信？

前者甲与乙通话即是乙与甲通话，因为与顺序无关，故为组合问题。后者甲给乙一封信和乙给甲一封信是两回事，因为与顺序有关，故为排列问题。

二、和与积的区别问题

加法原理（分类计数原理）和乘法原理（分步计数原理）反映的都是做一件事，并完成它的种数问题。加法原理是完成这件事共分几类方法。乘法原理是完成这件事物分几个步骤，只有这几个步骤都完成，事物才完成。

例2从7名男生和8名女生中选出4人组成一个小组，若男生和女生各2人，有几种不同的选法？

选出2名男生的方法是C27，选出两名女生的方法是C28，由于选出2名男生后必须再选出2名女生方能组成一个4人小组，因此它们是完成这件事的两个不可少的步骤，故根据乘法原理得C27·C28种不同选法。

例3 有1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元邮票各一枚，可以组成多少种不同的邮资？

从7枚邮票中每次选出1枚可得 C17种不同的邮资，每次取2枚邮票可得C27种不同邮资…，每次取6枚可得C67种不同邮资，7枚全取可得C77种邮资，由于毎取一次都能组成一种邮资而完成任务，且所得邮资均不相同，故根据加法原理得 C17+ C27+…+ C67+ C77种不同的邮资。

三、重复排列与非重复排列的区别问题

重复排列与非重复排列的区别在于确定一种排法时元素是否允许重复。对此有些问题必须做出交代，有些则不用。解题时要细心分析进行判断。

例4 0、1、2、3能组成多少个没有重复数字的四位数？

这个四位数的千位上的数字不能是0，可从1、2、3中选一个排上，有3种不同的排法，由于数字可重复，故百、十、个位上的数字各有4种不同的选法，根据乘法原理得3×43个可重复的四位数。

四、直接求法与间接求法的问题

直接求法是直接求出符合题意的所有不同方法，间接求法是从符合题意和不符合题意方法数的总和数中扣除不符合提议的方法数从而间接求出符合题意的所有不同方法数。

例5 用0、1、2、…、9十个数字可以组成多少个无重复数字的三位数？

直接求法：先从0、1、2、…、9中选1个排在百位，再从所剩的9个数字中选取2个分别排在十位和个位上，这样就可得到A19·A29个无重复数字的三位数。

间接求法：先从这十个数字中选区三个排成一排，有A310种排法，减去以0为百位的假三位数，有 A29种排法，因此可组成A310- A29个无重复数字的三位数。

五、重复与遗漏问题

重复与遗漏是学生在解题过程中常犯的错误，教师应有意识地结合实例讲解，以提醒学生注意，培养学生对事物细心分析周密思考的良好习惯。

例6以一个正方体的顶点为顶点的四面体有多少个？

从正方体的八个顶点中任取四个顶点，取法为C48，而正方体的每个面的顶点不能构成四面体，则减去6个对面，四面体的个数为：C48-6=70（个），这就产生了遗漏现象，因为位于正方体每个对角面上的四个顶点也不能构成四面体，因此还应减去6个对角面，于是共有： C48-6-6=64（个）

例7 从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要有甲乙型各一台的不同取法有多少种？

从甲乙型电视机中各取一台的方法有C14 、 C15种，从余下的7台中人取一台的取法有 C17种，由乘法原理知共有C14 C15 C17种不同的取法。这就产生了重复现象，因为设甲型4台电视机分别为A1、A2、A3、A4 ，乙型5台电视机分别为B1、B2、B3、B4，则A1 B1和A2 B2是相同的取法，还有许多重复取法。

排列组合例题篇8

【关键词】和与积；排与组；和与差；积与商；重与漏

1.和与积的区别

分类计数原理和分步计数原理是解决排列组合应用题的最基本的工具，可以说对每道应用题我们都要考虑在计数的时候进行分类或分步处理，至于一些较复杂的事件，那么两个原理还要综合起来应用.而分类和分步的区别就是是否能独立完成一件事，正确掌握这两个工具，对解决排列组合应用题至关重要.

2.排与组的区别

排列和组合是计数问题中的两类主要问题，它们形同实异，一字之差，能否正确的加以区分是解决问题的第一道坎. 排列与组合的实质是顺序问题. 排列是讲顺序的，组合则不讲顺序. 在理论上二者容易区别，但一碰到具体问题就不大好区分了，这就需要根据问题的条件和要求，结合生活经验做出判断.

例1 平面内有10个点，以其中每两个点为端点的线段共有多少条？以其中每两个点为端点的有向线段共有多少条？

分析 前者中线段AB与线段BA是同一线段，与端点的顺序无关，因此前者为组合问题；后者中有向线段AB与BA是不同的，因此与顺序有关，是排列问题.

例2 由3个3和4个4可以组成多少个不同的七位数？

分析 由于许多组数、排队问题都是有顺序的，所以学生误以为是排列问题. 实际上，交换相同的3 或4仍是原数，因此这是一个组合问题.

3.和与差的区别

即直接法和间接法.“和”指直接法，即直接求出符合题意的所有不同方法数，可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地，特殊者优先考虑，其余则“一视同仁”；“差”指间接法，采用“正难则反”的策略，从反面剔除不符合题意的部分.

例3 过三棱柱任意两个顶点的直线中，异面直线共有多少对？

分析1 直接法，对各种情况的异面直线分类讨论，侧棱的条数为3条，且和每一条侧棱异面的直线有4条；侧面的对角线条数为6条，且和每一条侧面对角线异面的直线有6条，且和每一条边异面的直线有5条.已知直线l1与l2构成异面直线，则l2与l1也构成异面直线，因此异面直线共有12（3×4+6×5+6×5）=36（对）.

分析2 间接法，一个三棱锥可以确定3对异面直线，一个三棱柱可以组成C46-3=12个三棱锥，所以共有36对异面直线.

显然，上例中间接法比直接法简洁得多，那么是否不管什么问题用“减”法都比用“加”法简单吗？

4.积与商的区别

积、商问题指的是排列组合中一种重要的又不易区分的问题——分组与分配问题，部分定序问题.

（1）分组问题

例4 6本不同的书，分成三组，每组至少一本，有多少种不同的分法？

可见，在教学中一定要使学生注意“积”、“商”问题，即均匀或部分均匀分组时要用“商”，分配问题时要注意用“商”.

5.重与漏的区别

排列组合例题篇9

关键词： 排列组合应用题 基本解法 发散思路，一题多解

中学阶段学习的排列组合，既是为学项式定理、概率初步作准备，又是今后学习高等数学所必须具备的基础知识。这部分内容具有较抽象，应用题结论难以验算、易重复和遗漏、不易发现等特点。但是，只要在内容上合理安排，抓住关键，善于诱导、启发，教法灵活多样，遵循由浅入深、从易到难、循序渐进的原则，着重逻辑思维的培养，就能克服这些难点。

我在排列组合应用题教学中，狠抓四个环节（即“两个原则，两个概念，基本解法，发散思路、一题多解”）的教学，颇有收效，下面我重点就后两个环节谈点体会。

一、基本解法

对于排列组合的应用题解法有：

直接法分步法（用乘法原理相乘得）分类法（用加法原理相加得）

间接法：排除法（不受条件限制的总排列数减去不合条件的排列数）

关于排列组合应用题可大致分为三类：

（1）单纯的排列（组合）题。

（2）有附加条件的排列（组合）题。

（3）排列组合综合题。

下面分别进行讨论。

1.单纯的排列（组合）题

这一类型的应用题可直接依据排列（组合）公式得出或利用乘法原理得出。

例1：10个座位，5个人去坐，每人坐一个座位，有几种坐法？

解法一：以人当“位子”，座位当“元素”，以从10个元素里每次取5个元素的一种排列对应一种坐法，因此共有种A种坐法。

解法二：以人为主来考虑，设5个人为甲、乙、丙、丁、戊，甲去坐位子的方法有10种；甲坐好后，乙的坐法只有9种，甲、乙两人不论哪一种方法坐好后，丙去坐的方法只有8种……依乘法原理，共有10×9×8×7×6种，这恰好是A种坐法。

2.有附加条件的排列（组合）题

这一类型的应用题关键在于引导学生如何处理特殊元素（被条件限制的元素）与特殊位置（被条件所限制的位置）的关系问题。这一题型以“排队”、“组数”等问题为多见。下面就一题谈其解法，并试图揭示其技巧。

例2：用0、1、2、3、4、5这6个数字组成多少个不重复的六位奇数？

解法一：要构成这样的六位奇数，可先考虑末位，其次考虑首位，最后考虑中间四位。末位的排法有A个，首位的排列有A个，中间排法有A个，由乘法原理可知，合乎条件的排法有A・A・A=288（个）。

这是分步法，它的思路是：

（1）找出特殊位置（条件限制）；（2）求出特殊位置上的排列数；（3）求出其它位置上的排列数；（中间四位A种）（4）利用乘法原理求出总排列数：A・A・A。?摇?摇

解法二：要构成这样的六位数，可分为三类：个位为1；个位为3；个位为5。这三类的各自排列数都是A・A个，故用加法原理可知：合条件的排列总数为A・A+A・A+A・A=288（个）。

从解法中，我们可以看出，以特殊元素出发，把特殊元素在特殊位置上分类排出，再加而成。这就是我们常说的分类法，它的思路是：

（1）找出特殊元素；（2）考虑特元在特位上的排列数；（3）考虑分类各自的排列数；?摇?摇（1?摇?摇3?摇?摇5）?摇?摇?摇?摇?摇?摇

（4）再用加法原理。（都是A・A种）

在分类中，一般都是以限定条件来分类，故应注意：

（1）各种情况相互之间无重复部分。

（2）各类都必须合乎题目要求。

（3）必须没有遗漏部分。

解法三：若无条件限制则总排列数应该是A个，其中不合条件的可看作四类：

①“0”在首位，排列数为A；

②“0”在个位，排列数为A；

③“2”在个位，排列数为A・A；

④“4”在个位，排列数为A・A；

所以合乎条件的排列为：A-（A+A+A・A+A・A）=288（个）

从上述解法三可以看出：总的排列数减去不合条件的排列数等于合乎条件的排列数，这种方法就是我们常说的间接法。

以上三种方法是解这类题目的常用方法，教师若教学有方，训练得当，学生是很容易掌握的。

3.排列组合综合题

这类题目是包含排列和组合的混合题，特别要求学生概念清楚，解题时，“分步”和“分类”合理。

例3：以6个男同学和4个女同学里，选出3个男同学和2个女同学分别承担A、B、C、D、E五项工作，一共有多少种分配方法？

解法一：此题显然用“分步法”较易，根据题目要求，必须依次完成“选出3个男同学”、“选出2个女同学”、“对选出的人分配不同的工作”三个步骤。可把同学当元素，工作看作位置，因选人是组合问题，所以男同学和女同学的选法分别为C和C种，将元素安排位置是排列问题，故选出的5个同学分配不同的工作有A种方法，根据乘法原理知，分配方法的总数为C.C・A=14400（种）。

解法二：也可把工作当作元素，同学看作位置，即把完成分配工作这件事分成为“先给男同学（女同学）分配工作，再给女同学（男同学）分配工作”两个步聚进行。所以第一步以5种工作里任选出3种（组合问题）分给6个男同学所选出的3人（排列问题），有C・A种，再将余下的工作分给4个女同学的任2位，有方法A种，根据乘法原理知，分配方法总数一共有C・A・A=14400（种）。

二、发散思路，一题多解

发散思路、一题多解，是培养学生牢固掌握知识，灵活运用知识的一种好办法，而一题多解更是培养学生发散性思维的一条重途径（它具有流畅、变通，独立等特征，是从多渠道中不拘泥常规，寻求解答的一种思维形式），所以在教学中鼓励学生一题多解，不只对双基训练会收到事半功倍的效果，更会增强学生实际生活中的应变能力。

例4：0、1、2、3、4、5这6个数字可组成多少个不重复且能被5整除的五位数？

解法一：要构造这样的五位数可分两步：先挑个位和首位，再排中间三位。而个位的排法有A种，首位的排法有A种，故第一步共有排法A・A种。但此时包括个位和首位同时为5的情况，故合乎条件的首未两位共有排法（A・A-1）种。中间三位的排列有A种。据乘法原理知，合乎条件的五位数是（A・A-1）・A=216（个）

解法二：可分两类：

①个位是“0”的五位数有A个；

②个位是“5”的五位数有A・A个。

由加法原理知：合乎条件的五位数有：A+A・A=216（个）

解法三：若无条件限制选出五个数字的总排列为A个，即A排列中不合乎条件的可分为两类：

①“0”在首位的排列有A个；

②个位为1、2、3、4的排列有A・A・A个

故符合条件的排列为：A-（A+A・A・A）=216（个）

解法四：也可这样考虑：A个总排列中不合条件的排列有：

①个位为1、2、3、4的排列A×A（个）

②“0”在首位且个位为“5”有A个

故合乎条件的排列为：A-（A・A+A）=216（个）

解法五：合乎条件的个位是“0”和“5”，故有排列A个，合乎条件中的首位是1、2、3、4、5，故有排列A个，中间三位有排法A个，这样的排列有A・A・A个，但这时“5”同时在首未两位且“0”不在内的排列有A个（因为A・A・A个排列中“0”在内的排列都是合乎条件的排列）。故合乎条件的排列有A・A・A-A=216（个）。

排列组合例题篇10

一、先总再分法

这个模板主要针对相邻的排列组合题. 具体方法是先把相邻的元素当作一个整体和其他的元素进行全排，然后将相邻的元素进行全排.其模型为：有[m+n]个元素排成一排，其中[n]个元素必须排在一起，共有[Am+1m+1?Ann]种不同的排法.

例1 利民商场计划在一柜台上展出10种不同的茶叶，其中1种白茶，4种红茶，5种青茶，排成一行陈列，要求同一品种的茶必须排一起，并且白茶不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）

A. [A44?A55] B. [A33?A44?A55]

C. [C13?A44?A55] D. [A22?A44?A55]

解析 红茶整体、青茶整体、白茶个“元素” 先排，考虑到白茶不能排两端，所以有[A22]种方法，又红茶的不同陈列方式有[A44]种，青茶的陈列方式有[A55]种.

因而柜台上茶叶的不同陈列方式有[A22?A44?A55]种.

答案 D

二、相间穿插法

这个模板主要针对相间的排列组合题. 具体方法是先把不要求相间的元素排好，再将相间的元素插空排列.其模型为：有[m+n][n≤m+1]个元素排成一排，其中[n]个元素不能相邻，共有[Amm?Anm+1]种不同的排法.

例2 某高中今年秋季有6项课改活动需要先后单独完成，其中活动乙必须在活动甲完成后才能进行，活动丙必须在活动乙完成后才能进行，活动丁又必须在活动丙完成后才能进行，那么安排这6项活动的不同排法种数是 （用数字作答）.

解析 依题意，只需将剩余两个活动插在由甲、乙、丙、丁四个活动形成的5个空中，可得有[A25]=20种不同排法.

三、“客人住店”法

这个模板主要解决“允许重复排列问题”，解题时要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复. 把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.

例3 某次田径运动会上，有7名运动员要争夺5项冠军，请问获得冠军的可能的种数有（ ）

A. 75 B. 57

C. [A57] D. [C57]

解析 因同一运动员可同时夺得几项冠军，故运动员可重复排列，将7名运动员看作7家“店”，5项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得75种.

答案 A

点拨 对此类问题，有同学会有疑惑：为什么不以5项冠军作为5家“店”呢？因为几个运动员不能同时夺得同一冠军，即冠军不能重复.

四、先排后除法

这个模板主要针对定序类的排列组合题. 具体方法是，对于某些元素的顺序固定的排列问题，可以先全排，再除以定序元素的排列数.其模型为：分别有[m]，[n]，[r]个相同的元素排成一排，共有[Am+n+rm+n+rAmm?Ann?Arr]种不同的排法.

例4 张三、李四和王五3位爱心人士要安排在周一至周五的5天中参加一项慰问活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求张三安排在李四和王五之前.不同的安排方法共有（ ）

A. 20种 B. 30种

C. 40种 D. 60种

解析 将5天选出3天进行全排列，然后再除以张三在李四和王五前面、中间和后面的排序数3，共有[A353=20]种排法.

答案 A

五、隔板处理法

这个模板主要针对隔板类的排列组合题. 具体方法是，把[n]个相同的物放到[m][（m

例6 某工厂准备组建一支由18人组成的志愿者队伍，这18人由工程部的12个小组中的人员组建，每个小组至少挑选1名成员参加，问有多少种不同的分配方案？

解析 这18个人当作18枚棋子，即先将18枚棋子排成一排，在相邻的两枚棋子形成的17个间隙中选取11个插入隔板，将这18枚棋子分隔成12个区间，第[i（1≤i≤12）]个区间的棋子数对应于第[i]个小组成员的分配名额.因此，名额分配方案的种数与隔板插入数相同. 故共有[C1117=12376]种.

六、特定位置处理法

这个模板主要针对甲、乙不在指定位置问题的排列组合题，可以转化成模板“[n]个元素[a1，a2，…，an]排成一排，其中[a1]不在排头，[an]不在排尾，共有多少种排法？”. 具体解法是，逆向思维，先将[n]个元素全排有[Ann]种方法，再减去[a1]在排头的[An-1n-1]种方法，减去[an]在排尾的[An-1n-1]种方法，最后加上重复减去的[a1]在排头且[an]在排尾的[An-2n-2]种方法.故共有[Ann][-2An-1n-1][+An-2n-2]种不同的方法.

例6 某公司安排5名劳动模范的演讲顺序时，要求某名模范不第一个出场，另一名模范不最后一个出场，不同排法的总数是 .（用数字作答）

解析 [A55-2A44+A33=78].

七、间接处理法

这个模板主要针对“至少问题”的排列组合题.其模型为：在[m]个元素中选出[n]个元素，其中指定的[r]个元素至少有1个入选，有多少种不同的挑选方法？其解法是：在[m]个元素中选出[n]个元素的组合数减去在[m-r]个元素中选出[n]个元素的组合数，即[Cnm-Cnm-r]种不同的挑选方法（其中[n+r≤m]）.

例7 高三（5）班要从张丽、王娟等10名同学中挑选4名参加区教育局举办的庆元旦联欢晚会，要求张丽、王娟中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有 种.