排列与组合十篇

排列与组合篇1

（大同市卫生学校，山西 大同 037004）

【摘　要】本文以排列与组合的相关概念、原理及方法为基础，系统的分析了学生学习过程中存在的问题，并通过对“两步骤法”的总结，以期达到理清学生思路、高效求解的目的。

关键词 排列组合；教学；原理；方法；两步骤法

排列与组合这部分内容，具有内容独特，比较抽象的特点。我们在给学生讲解这部分内容的时候，应从学生的实际出发，紧扣基础概念，基本思想方法，着眼于对学生能力的培养，达到根据典型题型而举一反三的效果。

1　排列与组合

本章主要内容有：两个基本原理，即加法原理和乘法原理，两个基本概念排列与组合，组合数的两个性质，排列组合应用题。这四个方面是教材的重点，而解应用题是难点。通过复习来引导学生进一步掌握好以下几个关键环节。

1.1　扣住原理，把握“四分”

加法原理：完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2钟不同的方法，…在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1＋m2＋…mn种不同方法。乘法原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…mn种不同方法。加法原理和乘法原理是解排列，组合的基础[1]。只要立足于这个基础，才能以原理应万变。排列是从n个不同元素中，任取m个元素按照一定顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法。与顺序有关。而组合是从n个不同元素中任取m个元素，不管顺序如何并成一组，（m≦n)。“四分”即仔细分析题意、正确区分排列与组合、科学分类、合理分布，以保证不重、不漏、不错、不乱。

说明：（1）通常把完成题设事件的所有方式分成相互排斥的若干“互斥”类，又在同一类中将完成事件的方式分成若干相互不影响的“独立步”。

（2）鉴别排列、组合的有效方法是将同一“独立步”中的两个元素交换位置，看完成事件的方式是否发生变化。若发生变化是排列问题，否则，是组合问题。一般先作组合处置，在鉴别，确定是否是排列问题。

（3）排列组合应用题中条件基本上是以文字给出的，特别是一些关键字眼，如“至多”、“不少于”、“恰好”、“至少”等，常常一字之差，面目全非，务必仔细审题。

1.2　题组归类、掌握典型

解排列组合应用题时，学生常感到变化多、复杂，以至产生为难情绪。由于教材所涉及内容可归结为几种典型模式，通过题组，由浅入深，引导学生分析对比，归纳总结，使学生手中有典型，有利于学生掌握规律，增强信心，提高解题技能。

例1、现有4名男同学，5名女同学。问：（1）全体排成一行，有多少种不同的排法？

1.3　切实掌握基本分析法[2]

审题后一般应先确定着眼于“因素”或“位置”，再采用直接解法或间接解法或两者兼顾。可从不同角度给出几种解法。（如例1中3）解法一：若甲在最右边位置有

说明：（1）以上的解法中第一种是直接解法，第三、四种是间接解法，第二种二者兼有。不少问题正面复杂，而反面分析简单易解。（2）问题中的元素的位置常不是明确的，这就需要根据题意建立相对应关系，再依据确定的“元素”或“位置”去进一部求解。（3）因分析角度不同，常可一题多解。在排列组合的问题中一题多解，有助于活跃学生的思维，提高解题技巧，也是检验解题正确与错误的重要手段。

1.4　化难为易

是指将问题在不改变实质的前提下变抽象为具体，变一般为特殊，变大数据为小数据，经过剖析将复杂的问题退回到最简单最基本的几个类型上去，优先安排那些受条件限制的特殊元素，特殊位置。

例2、 11名学生中5名只会英语，4名只会日语，另外二人即会英语又会日语，11名中选4名参加英语比赛，4人参加日语比赛，问有多少种不同的选法？此例是一较困难的问题（很明显与顺序无关是组合问题），然而学习和生活经验告诉我们一种简单合理的方法是先选参加英语（日语）比赛学生，后选参加日语（英语）比赛的学生，会两国语言的学生地位特殊，优先被考虑，即得出以下三类选法。(1)会两国语言

初学排列组合的学生难免会把排列组合应用题神秘化，而盲目的去猜套公式，经过学习总结经验，使得他们学会把具体问题抽象为排列组合问题，正确的代入公式。

2　理解公式的“两步骤法”

此公式是在推导组合数计算公式的过程中，从排列与组合的概念出发，根据乘法原理得到的组合数与排列数之间的一个重要关系式，它的重复性不只表现在组合数计算公式的推导方面，反之，还可以帮助我们复习巩固排列与组合的概念，对于我们解决一些有关排列与组合的应用题有着重要的启示作用。应该这样理解该公式：求从n个不同的元素中取出m个不同元素的排列数

，可以分一下两步来完成：第一步，求从这n个不同元素中取出m个不同元素的组合数；第二步，求每一组合中m个元素的全排列数。我们把这两个步骤形象的称之为“先分组，后排序”，按照这样的两个步骤可以更容易理解排列与组合的概念及关系。定义中的“从n个不同的元素中取出m个不同元素”，我们理解为“先分组”，将取出来的一组m个元素“按照一定的顺序排成一列”正是“后排序”。这里的“先分组”就是先得到一个组合，“后排序”则反映出排列与组合的根本区别。根据上述对排列与组合的概念的理解，我们在解决一些应用问题的时候也可以用这个“两步骤法”去进行分析，分析过程如下：（1）弄清要求的排列中有几个元素（2）这几个元素来自于哪一组元素，然后由乘法原理得出结果。下面举一个简单的例子来说明“两步法”的具体应用。

例3、从5名同学中任取3名同学分别担任3中不同的职务，共有多少种不同的排列方法？

分析:（1）3名同学分别担任3种不同的职务共有种方法。（2）这3名同学是从这5名同学中选出的，共种方法。由乘法原理可得，共有不同方法。由此例子可以看出“两步骤法”对于解决一般的排列组合问题很有效，可以帮助学生迅速找到问题结点，快速解答[3]。而对于复杂的问题而言，“两步骤法”也可以很好的帮助学生缕清思路，作为分析的基础。

综上所述，在带领学生复习排列组合这部分内容的时候，要努力使学生夯实基础、理解概念，并通过对典型题型的分析以及重要公式的剖析加深体会，以达到灵活运用知识进而举一反三的目的。

参考文献

［1］管宏斌.解排列、组合题的常见误区[J].中学生数理化(高考版),2012(01).

［2］袁发启.浅谈直接法与间接法在排列组合应用题中的应用[J].周口师专学报,1994(04).

排列与组合篇2

关键词：数学教学；排列与组合；顺序

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）23-0139

在排列组合问题中，由于元素的顺序已定，即使是“没有差别的元素”，但由于其顺序不同，导致这些元素也应该看作不同的元素；如在进行的十次射击中，第一枪、第二枪都命中目标，但由于它们的顺序不同，故应看作不同的元素；在解决这些与顺序有关的计数问题时，可用排列、组合的常规模型进行求解，但在求解方法种数时，由于受到顺序的影响，可根据实际情况灵活运用排列、组合的常规模型。

一、排列与组合在与顺序有关的问题中的区别

例1. 飞碟（隶属射击项目），是奥运会射击比赛项目之一，由于其近似狩猎活动，趣味性强，深受人们的欢迎。某人在飞碟射击项目中射击8枪，命中4枪。

（1）命中的4枪中有恰好有两个两枪连续命中（不能出现四枪连续命中），有多少种不同的情况？

（2）命中的4枪中有且仅有三枪连续命中，有多少种不同的情况？

分析：（1）因为是两枪连续命中，可把连续命中的两枪“捆绑”在一起.由于两个“捆绑”在一起的“大元素”不相邻，可以采用插空法解决问题，但由于射击的顺序已定，不需对没有命中目标的射击（即不受限制的元素）再进行排列，又由于“捆绑”在一起两个的“大元素”之间没有差别，属组合问题；（2）解法同（1），但由于“捆绑”在一起的“大元素”与另一命中目标的一枪不相同，属于排列问题。

解：（1）把两个连续命中目标的两枪“捆绑”在一起，形成两个“大元素”，且这两个“大元素”不相邻，使用插空法。命中目标的4枪除外，还剩没有命中目标的4枪。

第一步，这剩余的4枪都是没有命中目标，元素相同，其排法只有一种；

第二步，把两个相同的“大元素”插入已经排好的4枪形成的5个空中，有C2种插法。

（如图所示，

如选中第一、第三个空位，则相当于第1，2，5，6枪命中目标）

根据分步乘法计数原理，其所有情况数有C2=10种。

（2）把连续命中目标的三枪“捆绑”在一起，形成一个“大元素”，且这个“大元素”与命中目标的另一枪不相邻，使用插空法，命中目标的4枪除外，还剩没有命中目标的4枪。

第一步，这剩余的4枪都是没有命中目标，元素相同，其排法只有一种；

第二步，把“捆绑”在一起的“大元素”和命中目标的另一枪共两个不相同的元素，插入已经排好的4枪形成的5个空中，有A2种插法。

（如图所示，

如选中第一、第三个空位，则相当于第1，2，3，6枪命中目标）

根据分步乘法计数原理，其所有情况数有A2=20种。

点评：本题实际上还是考查了不相邻问题，对于不相邻问题，我们往往利用了“插空法”使问题顺利地解决。

二、与顺序有关的最短距离问题

例2. 如图是由12个小正方形组成的3×4矩形网格，一质点沿网格线从A点到B点的不同路径之中，最短路径有多少条？

分析：从A点走到B点最短路线的做法，即只能向右或向下走，且只能走7步。这7步的顺序一定，向同一方向的可看着相同元素，所以只要在7步中确定哪些步向下即可解决问题。

解：总揽全局：把质点沿网格线从点A到点B的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向下，不同走法的区别在于哪三步向下，

因此，本题的结论是：C3=35。

点评：观察分析并能通过分析得出解决问题的模型是解决此类问题的关键。

三、可转换为与顺序有关的排列组合问题

例3. （1）在连续自然数100，101，102，……999中，对于0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，取三个不同且不相邻的数字按递增或递减的顺序排成的三位数有 个。

分析：要完成这件事情需分两大步，第一步，从0到9这十个数字中选出三个不同且不相邻的数字，第二步，把选出的数字按递增或递减的顺序排列。难点在于第一步，但我们可以先借鉴例1的经验解决此问题。

解：第一类，选出的三个数字中含有“0”。

第一步，从剩余的9个数字中选出另两个数字，如图所示，

从可插空的8个位置中选出2个（如选第一、第五个空相当于选择数字1，5）共有种选法；

第二步，由于有数字“0”，所以只能按递增进行排列，各组数字各有一种排法，

根据分步乘法计数原理，可得含有数字有“0”且满足题意的数字共有C2×1个。

第二类，选出的数字不含数字“0”

第一步，从剩余的9个数字中选出另三个数字，如图所示，

从可插空的7个位置中选出3个（如选第一、第二、第五个空相当于选择数字1，3，7）共有C3种选法；

第二步，选出的数字按照题意有递增和递减两种排列方法，

根据分步乘法计数原理，可得含有数字有“0”且满足题意的数字共有C3×2个。

根据分类加法计数原理，可得满足题意的数字共有C2×1+C3×2=98个。

排列与组合篇3

症状一 ＞＞

概念记忆有误

表现不清楚排列组合与概率统计的思维误区，导致错解基本概念问题（如分步问题错解成分类问题，分类问题错解成分步问题等）.

症结对概念的理解不到位，对必要的基础知识不能完整地保留在头脑里，致使记忆发生了偏差，从而不能正确解题.

突破之道应加强对基础知识的系统化记忆，以及对解题模式和解题方法的归纳，并对相关知识进行对比记忆.

例1甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙两人依次各抽一题.

（Ⅰ）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？

（Ⅱ）甲、乙两人中至少有1人抽到选择题的概率是多少？

解析：甲、乙二人依次抽题是分步问题而不是分类问题，在解题时需要注意.

（Ⅰ）甲从选择题中抽到一题的可能结果有C个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有C个，故甲抽到选择题，乙依次抽到判断题的可能结果有CC个，又甲、乙依次抽一题的结果有CC个，所以甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率为＝，即所求概率为.

（Ⅱ）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为＝，故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为1－＝，即所求概率为.

例2在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？

解析：本题则是分类讨论问题. 通过分析个位数字，可得个位是9，则十位可以是1，2，3，…，8中的一个，故有8个；同理，个位是8的有7个；…个位是2的有1个. 由分类计数原理知，满足条件的两位数有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36个.

症状二 ＞＞

缺乏对公式的应用能力

表现不会应用公式，拿到题目时不知从何处下手.

症结没有正确理解公式的应用条件，遇到具体题目时不能准确判断事件的类型（如相互独立事件、互斥事件等），从而分不清什么情况下该用哪个公式.

突破之道正确理解公式的应用条件，重视对公式的对比分析，并加强对比题目的练习.

例3某会议室用五盏照明灯，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同，假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为P1，寿命为2年以上的概率为P2，从使用之日起每满一年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.

（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要更换灯泡的概率和更换两只灯泡的概率；

（Ⅱ）求在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡的概率；

（Ⅲ）当P1＝0.8，P2＝0.3时，求在第二次灯泡更换工作中，至少需要更换4只灯泡的概率. （结果保留两位有效数字）

解析：（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，不需要更换灯泡，意味着这五只灯泡都使用一年以上，且每只灯泡好坏相互独立，所以不需要更换灯泡的概率为P15. 因此，在第一次灯泡更换工作中，需要更换两只的概率为CP13（1－P1 ）2.

（Ⅱ）对该盏灯来说，分为两类. 一类是第一、二次都更换了灯泡，概率是（1－P1）2；二类是第一次未更换灯泡而第二次需要更换，即该灯泡的使用寿命超过一年且没超过两年的概率为P1（1－P2）. 所以，所求概率为P＝（1－P1）2＋P1（1－P2）.

（Ⅲ）当P1＝0.8，P2＝0.3时，在第二次灯泡更换工作中，每只灯泡更换的概率为P＝（1－0.8）2＋0.8（1－0.3）＝0.6. 至少换4只灯泡应包括换5只和换4只. 换5只的概率为P5，换4只的概率为CP 4（1－P）. 所以，至少更换4只灯泡的概率为P3＝P 5＋CP 4（1－P）＝0.65＋5×0.64×（1－0.6）≈0.34，即满两年至少需要更换4只灯泡的概率为0.34.

例4已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球. 现从甲、乙两个盒内各任取2个球.

（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；

（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率.

解析：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.

由于事件A，B相互独立，且P（A）＝＝，P（B）＝＝，故取出的4个球均为黑球的概率为P（A・B）＝P（A）・P（B）＝×＝.

（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.

由于事件C，D互斥，且P（C）＝・＝，P（D）＝・＝，故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P（C＋D）＝P（C）＋P（D）＝＋＝.

症状三 ＞＞

缺乏对题意的理解能力

表现求解数学期望时，找不准随机变量及其可能的取值，导致解题出错.

症结对题意的理解不够深刻，对题型也不够熟悉.

突破之道认真理解随机变量的概念，平时做题时应加强对题意的理解，多做题，多总结.

例59粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若1个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若1个坑里的种子都没有发芽，则这个坑需要补种. 假定每个坑至多补种一次，每补种一个坑需10元，用ξ表示费用，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望. （精确到0.01）

解析：因为某个坑内的3粒种子都不发芽的概率为（1－0.5）3＝，所以该坑不需要补种的概率为1－＝. 故3个坑都不需要补种的概率为C×

所以随机变量ξ可能的取值为0，10，20，30. 故分布列为

[ξ \&0\&10\&20\&30\&P\&0.670\&0.287\&0.041\&0.002\&]

故数学期望Eξ=0×0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002=3.75.

例6一名者放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规则：凡愿意摸彩者，每人交1元钱作为“手续费”，然后可以一次从袋中摸出5个球，情况如下表：

[摸5个球\&中奖发放产品\&有5个白球\&1个帽子（价值20元）\&恰有4个白球\&1张贺卡（价值2元）\&恰有3个白球\&纪念品（价值0.5元）\&其他\&同乐一次（无任何奖品）\&]

试计算：（Ⅰ）摸一次能获得20元奖品的概率；

（Ⅱ）按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，求出净赚多少钱. （精确到1元）

解析：在一次摸球中，者获得的收入是不确定的，故可将其作为一个随机变量，而他能否赚钱，就看该随机变量的期望是否大于0.

（Ⅰ）摸一次能获得20元奖品的概率为P＝＝.

（Ⅱ）如果把摸到白球的个数作为随机变量ξ，则P（ξ＝5）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝2）＋P（ξ＝1）＋P（ξ＝0）＝.

由于者的收入这一随机变量η（可能是负数值）有－19元，－1元，0.5元，1元四种可能，故分布列为

排列与组合篇4

1. 五个人排成一排，甲、乙不相邻，且甲、丙也不相邻的不同排法的种数为（ ）

A. 60 B. 48 C. 36 D. 24

2. 某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为[n]的样本. 如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则样本容量[n]为（ ）

A. 6 B. 6，12，18

C. 12，18 D. 12

3. 如图，第（1）个图有1个黑球；第（2）个图为3个同样大小球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；第（3）个图为6个同样大小球叠成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色；…；则从第（[n]）个图中随机取出一个球，是黑球的概率为（ ）

…

（1） （2） （3） （4）

A. [1n] B. [2n]

C. [2n-1] D. [2n+1]

4. 若自然数[n]使得作竖式加法[n+（n+1）+（n+2）]均不产生进位现象，则称[n]为“可连数”. 例如：32是“可连数”，因32+33+34不产生进位现象. 23不是“可连数”，因23+24+25产生进位现象. 则小于1000的“可连数”的个数为（ ）

A. 27 B. 36 C. 39 D. 48

5. 一篮球运动员投篮一次得3分的概率为[a]，得2分的概率为[b]，不得分的概率为[c]，其中[a]，[b]，[c∈（0，1）]，且无其它得分情况.已知他投篮一次得分的数学期望为1，则[ab]的最大值是（ ）

A. [112] B. [148] C. [16] D. [124]

6. 通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号时发生错误的概率是[110]，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为（ ）

A. [1100] B. [7250]

C. [1250] D. [11000]

7. 已知[f（x），g（x）]都是定义在R上的函数，[f（x）=ax?g（x）]（[a>0]且[a≠1]），[2f（1）g（1）-f（-1）g（-1）=-1]，在有穷数列[{f（n）g（n）}]（[n]=1，2，…，10）中，任意取正整数[k（1≤k≤10）]，则前[k]项和大于[1516]的概率是（ ）

A. [15] B. [25] C. [35] D. [45]

8. 某银行的一个自动取款机，在某一时刻恰有[n][（n∈N*）]个人正在使用或等待使用该取款机的概率为[P（n）]，且[P（n）]与时刻[t]无关，统计得到[P（n）=（12）n?P（0） （1≤n≤5），0 （n≥6），]那么在某一时刻，这个取款机没有一个人正在使用或等待使用的概率是（ ）

A. [3132] B. [3263] C. [3163] D. [1021]

9. [（1+ax+by）n]展开式中不含[x]的项的系数绝对值的和为243，不含[y]的项的系数绝对值的和为32，则[a，b，n]的值可能为（ ）

A. [a=1，b=2，n=5]

B. [a=-2，b=-1，n=6]

C. [a=-1，b=2，n=6]

D. [a=2，b=-1，n=5]

10. 设三位数[n=abc]，若以[a，b，c]为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数[n]可构成等边三角形的概率为（ ）

A. [355] B. [9156] C. [156165] D. [9156]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩（试卷满分150分）服从正态分布[N]（100，[σ2]），统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的[13]，则此次考试成绩不低于120分的学生约有 人.

12. 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球. 今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，请作出统计推断：该球是从 箱中抽出的.

13. 两个CB对讲机持有者，莉莉和霍伊都为某公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3∶00时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3∶00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3∶00时他们能够通过对讲机交谈的概率为 .

14. 某交通环岛有三岔路口，有6辆汽车汇入环岛内，都等可能地从其中一个路口驶出环岛，则按1，2，3分别从三个岔路口驶出环岛的情况有 种；如果从三岔路口中某一路口恰好驶出[n]辆车的概率为[80243]，则[n]的值为 .

三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分）

15. 在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的. 假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的.

（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；

（2）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；

（3）记[X]为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量[X]的数学期望[EX].

16. 汽车租赁公司为了调查[A，B]两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表.

A型车

[出租天数＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&7＼&车辆数＼&5＼&10＼&30＼&35＼&15＼&3＼&2＼&]

B型车

[出租天数＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&7＼&车辆数＼&14＼&20＼&20＼&16＼&15＼&10＼&2＼&]

（1）从出租天数为3天的汽车（仅限[A，B]两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是[A]型车的概率；

（2）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆[A]型车，一辆[B]型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；

（3）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从[A，B]两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.

17. 质点[A]位于数轴[x=0]处，质点[B]位于[x=2]处. 这两个质点每隔1秒就向左或向右移动1个单位，设向左移动的概率为[13]，向右移动的概率为[23]. （1）求3秒后，质点[A]位于点[x=1]处的概率；（2）求2秒后，质点[A，B]同时在点[x=2]处的概率；（3）假若质点[C]在[x=0，x=1]两处之间移动，并满足：当质点[C]在[x=0]处时，1秒后必移到[x=1]处；当质点[C]在[x=1]处，1秒后分别以[12]的概率停留在[x=1]处或移动到[x=0]处. 今质点[C]在[x=1]处，求8秒后质点[C]在[x=1]处的概率.

[3元][2元][1元][5元][4元][ ]18. 某校有一贫困学生因病需手术治疗，但现在还差手术费1.1万元. 团委计划在全校开展爱心募捐活动，为了增加活动的趣味性吸引更多学生参与，特举办“摇奖100%中奖”活动. 凡捐款10元便可享受一次摇奖机会，如图是摇奖机的示意图，摇奖机的旋转盘是均匀的，扇形区域[A，B，C，][D，E]所对应的圆心角的比值分别为1∶2∶3∶4∶5. 相应区域分别设立一、二、三、四、五等奖，奖品分别为价值5元、4元、3元、2元、1元的学习用品. 摇奖时，转动圆盘片刻，待停止后，固定指针指向哪个区域（边线忽略不计）即可获得相应价值的学习用品（如图指针指向区域，可获得价值3元的学习用品）.

排列与组合篇5

关键词：高中 数学 排列 组合 学习策略

作为高二阶段的学生，我们已经具备了一定的数学学习基础，并且数学学习兴趣已经得到相应的培养，此时要想进一步提升学习效率和效果，就应该结合自身实际情况积极探索数学学习策略，优化学习方式，有效提升数学学习效率和效果，为自身深入学习数学知识奠定基础。笔者从高中数学排列组合学习策略的探索入手进行分析，希望能够为其他同学提供一定的参考和借鉴。

一、排列组合学习过程中容易出现错误的原因

我们在学习排列组合知识和解决排列组合问题的过程中受到多种因素的影响极易出现错误，对解题效果产生不良影响，所以在总结排列组合学习策略的过程中，首先应该明确学习数学排列组合知识过程中容易出现错误的原因，为学习策略的制定奠定基础。首先，我们在学习过程中没有对排列组合知识中的排列和组合进行明确区分，在研究一个问题属于排列知识体系还是属于组合知识体系时不注意对元素的组成顺序性进行系统分析，影响判断正确率。其次，在解决排列组合问题的过程中存在重复和遗漏现象，影响解题效果。最后，在审题时往往不注意对每一个已知条件进行分析，忽视部分条件，导致解题方向存在错误性，严重限制解题效果。

二、高中数学排列组合学习策略

对高中阶段数学排列组合知识进行学习，要想保证学习效果和解题正确率，就应该对学习策略进行充分分析，掌握解题技巧，切实增强学习效果。下文就结合笔者长时间的学习经验对学习策略的选择进行分析，希望能够为其他学生提供一定的参考。

（一）对排列和组合进行合理区分

对排列和组合和进行合理区分是深入学习排列组合知识的前提条件，在我们学习排列组合相关知识的过程中只有能够明确认识排列和组合并对二者进行区分，才能在解题时探索正确的解题思路，掌握相应解题技巧，有效提升解题效率和效果。例如我们在针对“将完全相同的3个红帽子和5个黑帽子排列成为一排，问存在多种不同排列方法？”等具体问题进行分析的过程中，对排列和组合进行合理分析，就能够寻求正确的解题方向。在解决这一问题的过程中，如果不进行认真审题，就极易将其看作是8个相同帽子的排列，得出错误的结果。实际上在题目中由于3个黑帽子是完全相同的，5个红帽子也是完全相同的，在组合时相同颜色的帽子互换位置，排法是同一种。所以从组合角度对其进行综合分析后能够得出共存在C38=56种。可见只有明确区分排列和组合问题，我们解决排列组合相关问题的正确率才能够得到进一步提升。

（二）熟练掌握三种基本解题方法――插空法、捆绑法、特殊优先法

在学习数学排列组合知识的过程中插空法、捆绑法、特殊优先法是最为基本的解题方法之一，只有掌握这三种解题方法，我们才能够应对复杂多变的排列组合问题，取得良好的学习效果。插空法具体指在数学排列组合知识体系中，由于题目中要求相关元素不相邻，并且被其他元素隔离开，所以在分析问题的过程中应该先将其他元素进行合理排列，然后在将题目中指定不相邻的元素中插入空隙和两端，明确解题思路。捆绑法具体指将几个相邻的元素作为整体进行分析和考虑。而特殊优先法就是在解题过程中对有限制条件的元素进行优先分析。在解决问题的过程中，我们只有对题目进行合理判断并选择合理的解题方式，才能够保证解题的效率和效果，提升排列组合相关知识学习成效。

如例题：班级座位的一个纵列中分别存在6名女生和4名男生，老师在班级管理工作中认为过多的男生挨在一起会影响课堂秩序，因此想将4名男生分开，任何两名男生不能够前后相邻，分析存在多少种不同排列方式？

这一问题与插空法解题方式相适应，从题干中能够看出女生不同的排列方式存在A66种，而在6名女生中，中间产生对空隙和两端总共存在七个位置，此时将4名学生插入到空隙中存在A47种，所以任何两个男生都不相邻的排列方式为A47・A66种。

可见在解题过程中学生合理选择解题方法，能够保证解题正确率。此外需要注意的是，我们在实际应用这三种方式的过程中不能拘泥于哪一种方式，而是应该结合题目进行具体分析，单用一种或者灵活搭配应用不同的方式，只有这样才能够充分发挥出三种方式的作用，增强学生对排列组合知识的学习效果。

（三）联系生活实际解决数学问题

高中数学知识体系中的排列组合知识与我们的生活实际存在紧密的联系，所以要想进一步提升排列M合知识的学习效果，在学习过程中也应该将知识点与生活实际紧密结合在一起，一方面用生活中的知识解决数学问题，另一方面将排列组合知识引入到生活实践中，解决生活中的问题，这样借助加强排列组合知识与学生生活实际的联系，我们在学习过程中能够逐步形成对排列组合知识的深刻认识，并掌握排列组合知识的解题技巧和应用技巧，对我们未来发展产生着一定的积极影响。

三、结语

综上所述，排列组合是高中阶段较为重要的数学知识，我们在学习过程中结合排列组合知识特点合理探索相应的学习策略能够有效提升解题效果，为深入学习相关数学知识提供相应的保障。因此在学习过程中我们应该不断总结学习经验，探索更为科学的学习方法，在深入学习排列组合相关知识的同时为数学学习能力的培养奠定基础。

参考文献：

[1]周海燕.活用生活实例服务高中数学排列组合教学[J].理科考试研究（高中版），2015，（03）.

[2]林子碧.高中数学排列组合中几种常见的数学模型[J].新课程学习・上旬，2014，（08）.

[3]高建军.高中数学排列组合常用的解题思考与实践[J].语数外学习（高中数学教学），2014，（10）.

排列与组合篇6

智慧技能的教学是学校教学的中心任务．著名认知心理学家加涅认为，智慧技能主要涉及概念和规则的掌握与运用，它由简单到复杂构成一个阶梯式的层级关系：概念（需要以辨别为先决条件）规则（需要以概念为先决条件）高级规则（需要以规则为先决条件）．因此，对于中学数学的每个单元，学生应该按照加涅关于智慧技能由简单到复杂构成的这个层级关系去学习，以便按照这个层级关系把所学的知识组织到大脑当中，形成具有良好层级性的认知结构．

据此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，将教材内容的顺序进行了调整．调整后的结构如图1所示．排列、组合P概念从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手，得出排列与组合的概念，进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示．

排

列

、

组

合

概念

从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手,得出排列与组合的要领进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示.

专题一

算法

在解释P1n＝n，C1n＝n（n∈Z＋）的基础上，介绍加法原理和乘法原理（引例和例题的处理均须用由P1n或C1n组成的算式来解答）．

专题二

排列数公式与计算

专题三

组合数公式、计算与性质

应用

用直译法解决纯排列与组合问题（同时用分步法解答纯排列问题）．题型如1990年人教版高中《代数》下册（必修）（简称：高中《代数》下册．下同）第234页例3、第245页例2.

专题四

用分类法解决加法原理的简单应用题．题型如高中《代数》下册第234页例4（此例还可用分步法）、第245页例3．

专题五

用分步法、分类法和排除法解综合性排列与组合问题．题型如高中《代数》下册第235页例5、第246页例4．

专题六

图1

于是该单元的教学次序是：基本概念的形成（排列与组合的概念、排列数与组合数的概念）基本算法规则的掌握（原理与公式）概念和算法规则相结合的应用（这里是以解题规律为主线，把排列应用题和组合应用题一并按其解法由易到难分层次集中而对偶地解决的），完全符合加涅关于智慧技能的学习必须按从概念到规则，再到高级规则的层级顺序去进行的规律，理顺了学生学习排列、组合内容的认知层次，加强了该单元认知结构的层级性．

2．运用先行组织者，促成认知结构的稳定性

运用先行组织者以改进教材的组织与呈现方式，是提高教材可懂度，促进学生对教材知识的理解的重要技术之一．其目的是从外部影响学生的认知结构，促成认知结构的稳定性．

因为高中生首次面对排列、组合单元的学习任务时，其认知结构中缺乏适当的上位观念用来同化它们，因此，我们在该单元的入门课里，在没有正式学习具体内容之前，先呈现如图2所示的组织者，能起到使学生获得一个用来同化排列、组合内容的认知框架的作用．

排

列

、

组

合

概念

排列、组合的概念

算法

算法原理、计算公式

应用

解排列、组合问题

图2

值得一提的是，安排在本文的入门课——专题一中的飞机票和飞机票价等具体问题，以及安排在基本原理课题中的两个引例，它们也分别起到了学习相应内容的具体模型组织者的作用．

3．实行近距离对比，强化认知结构的可辨别性

如果排列概念和组合概念在学生头脑中的分离程度低，加法原理和乘法原理在学生头脑中的可辨别性差，则会造成学生对排列和组合的判定不清，对加法原理和乘法原理的使用不准，从而严重影响学生解排列、组合问题的正确性．因此，在教学中我们必须增强它们在学生头脑中的可辨别性，以达到促使学生形成良好的“排列、组合”认知结构之目的．

按调整后结构的顺序教学，很自然地实行了近距离对比，加大了排列与组合、加法原理和乘法原理的对比力度，从而强化了它们在学生头脑中的可辨别性．（1）在入门课里，开篇就将排列概念和组合概念进行近距离对比，有利于引导学生得到并掌握排列和组合的判定标准：看实际效果与元素的顺序有无关系．

（2）专题二首次近距离比较加法原理和乘法原理，并运用其判定标准——是分类还是分步，去完成对实际问题的处理，以加强学生对它们的理解与辨别．

（3）专题四、五、六里，把排列、组合问题按其解法分层次对偶地解决，在没有单独占用课时的情况下，很自然地为排列和组合的近距离比较，为加法原理和乘法原理的运用对比，提供了切实而尽可能多的机会．

4．及时归纳总结，增强认知结构的整体性与概念性

我们知道，认知结构是人们头脑中的知识结构，也就是知识在人们头脑中的系统组织，它具有整体性和概括性．认知心理学认为，认知结构的整体性越强、概括水平越高，就越有利于学习的保持与迁移．因此，在每个单元的教学中，我们必须随着该单元教学进度的推进，及时归纳总结已学内容的规律，以促进学生认知结构概括水平的不断提高，最终促使学生高效高质地整体掌握该单元，从而形成整体性强、概括程度高的认知结构．

于是对于“排列、组合”单元，笔者就随着教学进度的深入，引导学生不断归纳、及时总结出以下各规律：

（1）排列与组合的判定标准（见前文）．

（2）加、乘两原理的判定标准（见前文）．

（3）排列数公式的特征（略）．

（4）组合数与排列数的关系（略）．

（5）解排列、组合问题的基本步骤与方法：

①仔细审清题意，找出符合题意的实际问题．

所有排列、组合问题，都含有一个“实际问题”，找出了这个实际问题，就找到了解题的入口．

②逐一分析题设条件，推求“问题”实际效果，采取合理处理策略．

处理排列、组合问题的常用策略有：正面入手；正难则反；调换角度；整、分结合；建立模型等．但不管采用哪个策略，我们都必须从问题的实际效果出发，都必须保证产生相同的实际效果．因此，实际问题的实际效果，就是我们解排列、组合问题的出发点和落脚点，因而也可以说是解排列、组合问题的一个关键．

③根据问题“实际效果”和所采取的“处理策略”，确定解题方法．

解排列、组合问题的方法，不同的提法很多，其实归根到底，不外乎以下五种：枚举法；直译法；分步法；分类法；排除法．如所谓插空法，推究起来也只不过是在调换角度考虑的策略下的分步法而已．

5．注意策略的教学与培养，增大认知结构的可利用性

智育的目标是：第一，通过记忆，获得语义知识，即关于世界的事实性知识，这是较简单的认知学习．第二，通过思维，获得程序性知识，即关于办事的方法与步骤的知识，这是较复杂的认知学习．第三，在上述学习的同时，获得策略知识，即控制自己的学习与认知过程的知识，学会如何学习，如何思维，这是更高级的认知学习，也是人类学习的根本目的．

所谓策略，指的就是认知策略的学习策略，认知策略是个人用以支配自己的心智加工过程的内部组织起来的技能，包括控制与调节自己的注意、记忆、思维和解决问题中的策略．学习策略是“在学习过程中用以提高学习效率的任何活动”，包括记忆术，建立新旧知识联系，建立新知识内部联系，做笔记、摘抄、写节段概括语和结构提纲，在书上评注、画线、加标题等促进学习的一切活动．

在中学生的数学学习中，如果学生的认知结构中缺乏策略或策略的水平不高，那么学生的学习效果就不好、学习效率就不高，特别是在解题过程中，就会造成不能利用已学的相关知识而找不到解题途径，或造成利用不好已学的相关知识而使解题思路受阻，或造成不能充分利用好已学的相关知识而使解题方法不佳，以致解题速度不快、解答过程繁冗、解答结果不准确等．因此，中学数学教学，必须重视策略的教学和培养，让学生学会如何学习和如何思维，以增大学生认知结构的可利用性．

为此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，除注意一般性学习策略（如做笔记、画线、注记和写单元结构图等）的培养以外，更注重解排列、组合问题的培养和训练．

（1）在专题二、四、五、六里，对排列、组合问题解法的教学，始终按“仔细审清题意，找出符合题意的实际问题逐一分析题设条件，推求问题实际效果，采取合理处理策略根据问题实际效果和所采取的处理策略，确定解题方法”的基本步骤进行，以培养学生在解排列、组合问题时，有抓住“实际问题的实际效果”这个关键的策略意识和策略能力．

（2）重视一题多解和错解分析（多解的习题要有意讲评，例题讲解可故意设错）．

一题多解能拓宽解题思路，让学生见识各种解题方法和处理策略．另外，一题多解又能通过比较各种解法的优劣，使学生在较多的思路和方法中优选．同时，因为解排列、组合问题，其结果（数值）往往较大，不便于检验结果的正确性，而一题多解可以通过各种解法所得结果的比较，来检验我们所作的解答是否合理、是否正确，从而起到检查、评价乃至调控我们对排列、组合问题的解答的作用．

错解分析能使学生注意到解答出错的原因所在，同时使学生体验到解题策略调节的必要性和方法，防止今后犯类似的错误，增强学生解题纠错力．

故意设错如高中《代数》下册第246页例4的第（3）小题：如果100件产品中有两件次品，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种?

错解：由分步法得C12C299＝9702（种）．

略析：像该题一样的“至少”问题最好莫用分步法，这里分步出现了重复计算（以上错解是学生易犯错误，教学中必须注意）．

参考文献

1邵瑞珍主编．学与教的心理学．上海：华东师范大学出版社，1990

排列与组合篇7

关键词：排列；组合；解题方法

Abstract: in order to improve the secondary students solve the permutation and combination problem ability, to try to arrange a combination of typical questions classified analysis. The topic selection comprehensive to arrange a combination of some of the most common problem solving method, and the application of problem solving in clever.

Keywords: arrangement; Combination; Problem solving method

中图分类号：G623.5文献标识码：A 文章编号：

中职教学中，排列组合问题一直是重点，也是难点，更是春季高考和三二分段学生中职升高职转段考试的必考内容，尤其从2012年开始，春季高考和3+2转段考试题型以及考试内容发生了很大的变化。自2009级的学生（2012年参加高考或转段考试）开始使用中等职业教育课程改革国家规划新教材，而新教材中增加了概率与统计的内容，占到考试比例的18%，这让作为概率基础的排列组合显得尤为重要。

对于中职学生来说，排列组合题型多，如何分析解答排列组合问题成了一个难点，针对这种情况，本文就解决排列组合问题的一些技巧进行总结归纳。

基本知识的掌握

掌握好“分类计数原理”和“分步计数原理”，这两个原理是排列组合的基础性原理。

“分类计数原理”是指完成一件事，有类方式，在第1类方式中有种不同的方法，在第2类方式中有种不同的方法，……，在第类方式中有种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。

“分步计数原理” 是指完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。

必须深刻理解排列组合的概念，牢记排列数和组合数的公式。

排列与排列数：在个不同的元素中选出个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从个不同元素中选出个元素的一个排列；在个不同的元素中选出个元素的所有排列的个数叫做从个不同元素中选出个元素的排列数，记作。排列数的公式为：

组合与组合数：在个不同的元素中选出个元素，组成一组，叫做从个不同元素中选出个元素的一个组合；在个不同的元素中选出个元素的所有组合的个数叫做从个不同元素中选出个元素的组合数，记作。组合数的公式为：

弄清楚排列和组合的区别：排列有顺序性，组合无顺序性。

排列组合问题的解决技巧

针对新教材的指导方针和解题难度，本文总结了几种解决排列组合问题的方法。

1、特殊元素与特殊位置优先法：哪个元素或者哪个位置有特殊要求则对该元素或者该位置优先安排。

例1：用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的3位数？

分析：0不能作为首位，所以首位为特殊位置，所以要首先安排。

解：第一步：因为0不能作为首位，所以首位只能从1,2,3,4,5五个元素中选取，为种方法；第二步，十位和个位上的数字可以从剩下的五个数字中选择两个排列，为种方法。

共可组成个3位数。

2、固定位置忽视法：对于某个元素必须要在某个位置上的，直接忽视这个元素和这个位置。

例2：用1，2，3，4，5可以组成多少个大于50000的没有重复数字的五位数？

分析：要大于50000，首位必须要是5，所以在排的时候可以忽略5，同时首位的位置也可以忽略。将其他四个数在其余四个位置排列即可。如图：

5 千位 百位 十位 个位

解：共有种不同的方法。

3、相邻元素捆绑法：对于必须相邻的问题将两个必须相邻的元素捆绑在一起成为一个复合元素再与其他元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

例3：五个人站成一排，甲乙两人必须相邻，共有多少种不同的排法？

分析：甲乙必须相邻，则把甲乙两个人看成一个复合元素与其他三人进行排列有种方法，同时甲乙内部可以互换位置，有种方法。

解：共有种排法。

4、元素顺序固定消序法或留空法：如果两个元素的需要的顺序是一定的，那可以先把所有元素排列，再消去（除以）这几个元素的顺序；或者先把其他元素选择位置排列好，留下两个位置给这两个元素。

例4：6个人排成一排，甲总站在乙的左侧有多少种站法？

分析：将六个人依次排好，有种站法，然后消去甲乙的顺序；或者先让甲乙之外的四人从六个位置中选出四个站好，剩下的两个位置甲乙只有一种站法。

解：共有或者种站法。

5、不相邻问题插空法：解决这类问题要先把没有位置要求的元素进行排列，再把有位置要求的元素插入进去。

例5：3门不同的文化课和2门不同的专业课排在同一天的课表里，一门只排一节，且专业课不能相邻，有多少种排法？

分析：第一步先将没有顺序要求的文化课排好，有种排法，然后在出现的五个空位中选出两个把专业课排进去。如图所示：

空位 专业课 空位 专业课 空位 专业课 空位

解：共有种排法。

6、多排问题直排法：元素分为多排的排列问题，可以归为一排考虑，再分段研究。

例6：有两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，现有8名学生入座，每人一个座位，甲要坐在第一排，求不同的坐法总数。

分析：8个人分成两排，可以看做8个人坐成一排，分两部分排列即可。甲先选择，从第一排中的三个座位中选择一个坐，方法为，剩下7人随便坐即可。如图所示：

解：共有种坐法。

7、不平均分配分组法：对于不平均分配的问题，先将元素分好组，然后排列即可。

例7：有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程，共有多少种分配方式？

分析：将四个工程分配给三个工程队，而且要求每个工程队至少得到一项工程，相当于有一个工程队将得到两个工程。所以先将四个工程分成三组，其中一组有两个工程，然后分配给三个工程队即可。

解：共有种分配方式。

8、无关因素剔除法：排列组合应用题往往和一些其他的知识联系起来，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍，从总体中剔除不符合条件的方法数，从而达到解决问题的目的。或者解决组合的抽样问题时也会经常遇到“至多”和“至少”的问题，可以将总体计算出来，将不符合题意的剔除掉。

例8：已知直线，现从集合中选出3个数分别作为，则所组成的直线中不经过坐标原点的有几条？

分析：共可组成条直线，其中当时的直线经过坐标原点，将这一部分剔除掉。

解：不经过坐标原点的直线有条。

排列与组合篇8

【关键词】排列组合 生活 应用

排列组合作为一种数学理论方法，是高中数学中的重点学习内容。在现实生活中，被广泛应用，许多实际问题的解决从原理上都依赖于排列组合。排列组合从其内容来看，相对比较抽象，而且在解决问题的方法上也相对灵活，与实际生活密切相关。但在掌握的过程中，不但需要一定的思维能力，还需要灵活的技巧，对于同学们来说，是学习当中相对困难的一个部分，但是如果掌握了一定的方法，就能够将问题轻易解答。理论与实际相结合，将这种枯燥难于理解的理论知识，完全应用到现实生活中去，在实践中提高思维能力，从而认识排列组合的理论性和逻辑性，掌握学习方法。以实践促进学习，再将所学到的知识充分运用到指导实践中去，达到了学以致用的最终目的[1]。在现实生活中，能够应用到排列组合的领域随处可见，生产中产品合格率的检测、生活中城市绿化问题、高中数学与现实紧密结合的部分，都体现了排列组合在生活应用的广泛性及解决问题的重要性。

一、企业中的应用问题

例1、某企业开发了三个新项目A、B、C。A项目需要有2个人共同完成，B项目需要1人，C项目也同样需要1人，因为公司人员紧张，项目有风险，公司只能从10个候选人当中任意选出4人来完成项目，共有多少种不同的选法？

解：A项目可以两人完成，那么先从10人中任选2人，那么剩下8个人分摊2个不同的项目，最后一个项目可选择的人数为7人。则选法有 种。

例2、从4台甲型与5台乙型电视机任取3台，其中至少要甲型与乙型电视剧各一台，则不同的取法有多少种？

解：在被取出的3台中，若不含甲型或不含乙型的抽取办法均不合题意，那么符合题意的取法有 种[2]。

由上面两道例题我们可以看出，大部分企业在选择人员和产品时都有不同的选法，为了公平起见及机型的抽样问题，都经常使用到排列组合。

二、城市绿化规划布局问题

在城市绿化规划布局中，为了节省电力资源，同时还要保证照明，这就需要在所有的路灯安排上做出一定的排列组合，下面的案例是我们生活中常见的问题，将排列组合的捆绑法，抽空法等应用到解决实际问题当中，为城市绿化工作提供了方便。

例1.一块椭圆形的草坪被互相垂直的两条路分成A、B、C、D四个部分，要求把5种不同颜色的花栽到四块草地上，相邻的两块花色不能相同，在同一块草地上只能种一样颜色的话，请问一共有多少种栽种的方法。

解：A、B、C、D四块草地中，A与C、B与D是相对的，颜色相同，也可以不同，这就要求我们在解决的过程中，需要两个步骤。先对相对的两部分是相同颜色和不同颜色分类，然后再进行分步。

（1）A与C颜色相同，共有5种种法，再给B选择，有4种种法，然后，再给D种，有4种方法，由此来看，共有 种栽种方法。

（2）若A，C的颜色不同时：第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法，第三部涂C有3种方法，第四步涂D有2种方法，共计 种方法，总计有180种方法[3]。

市政的绿化工程种类繁多，品种众多，怎么才能够避免重复绿化，不让民们审美疲劳，就要用到排列组合的知识了。

三、排列组合的应用是高中学习的重点

排列组合作为高中学习的重点内容，未来将作为大学课程的选修课程，由此可见，排列组合的重要性。学生在高中或者大学学习排列组合，不仅仅要将其作为考试的重点，更应该充分认识到排列组合在实际生活中的应用，最终实现解决实际问题的目的。高中教学以此为出发点，重视引导学生通过解决实际问题来提高学习效率，对老师提出了更高的要求。同时，针对学生不同的想法，探索出不同的途径，使学生在解决实际问题的过程中提高对排列组合的解析能力和学习兴趣。在教学和学习过程中，案例是最为有效的教与学的方法，也是学生在体验真实解决问题过程感悟，从而促进对排队组合理论的学习。

例：在4名女志愿者和5名男志愿这种选择3名志愿者组建一个志愿服务小队，要求这个小队中必须有男女志愿者，那么一共有多少种不同的分配方法？

解析：3名志愿者中一共有1男2女，那么有 种方法，若有2男一女，那么有 种方法，所以一共有70种[4]。

四、结论

综上可知，排列组合在现实生活中得到广泛的应用，与生活紧密结合，为生产和生活提供了切实可行的解决方法。以上只是通过简单的三方面案例进行分析，排列组合内涵宽泛，广泛应用于生活的各个领域，我想在未来的大学学习中将做更为深入的研究。

参考文献：

[1]李长凡.康宇.童海峰等.组合理论及其应用[M].清华大学出版社.2010 （5）：12-29

[2]席明闰.排列组合问题的类型及解答策略[J].内江科技.2010（2）：200-201

排列与组合篇9

A是排列，与次序有关，C是组合，与次序无关。排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。

排列的定义：从n个不同元素中，任取m个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n，m）表示。

组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号C(n，m)表示。

（来源：文章屋网 ）

排列与组合篇10

关键词：排列组合；解题；方法

中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2013）-02-0176-01

排列组合问题一直是高考数学的热点内容之一，从近几年的高考试题统计分析来看，对排列与组合知识的考查均以应用题的形式出现。对于它的考查往往联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握。实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用问题的解题策略常见的七种方法，仅供参考。

一、相邻问题捆绑法

对于相邻问题，可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列，同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列，这种方法称为“捆绑法”。就是把题目中规定相邻的几个元素“捆绑”在一起看作一个元素与其它元素进行排列，然后再对这几个元素进行全排列。（即注意“松绑”）

例1.有3名男生、4名女生排成一排，女生必须站在一起的排发有（ ）

A、720种 B、576种 C、240种 D、120种

解析：将女生看成一个整体，与3名男生在一起全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，故共有A44×A44=576（种）

二、不相邻问题插空法

元素不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的不相邻的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2.有3名男生、4名女生排成一排，则男生互不相邻的排法有（ ）

（A）1800 （B）3600 （C）2400 （D）1440

解析：男生互不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A53种排法，故共有A44×A53=1440（种）

三、标号排位问题分步法

把元素排到指定位置上，可先把某个（某些）元素按规定排入，第二步再排另一个（一些）元素，如此继续下去，依次即可完成.

例3.乒乓球队的10名队员有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 .（用数字作答）

解析：3名主力队员要安排在第一、三、五位置有A33种方法，从其余7名队员选2名安排在第二、四位置有A72种，共A33A72=252有种，故填252

四、全员分配问题分组法

分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.

例4.将高三级4名学生分配到3个班，每班至少1名，则不同的分配方案共有（ ）

A.12种 B.24种 C.36种 D.48种

解析：把四名学生分成3组只有一种分法（即2、1、1型）有=C42（因为局部涉及到平均分成两组问题，所以必须除以A22）种方法，再把三组学生分配到三个班级有A33种，故共有C42A33=36种方法. 故选C

五、名额分配问题隔板法

对于相同元素的分组这类典型问题，可用“隔板”法求解。

例5.某学校要从高三的6个班中派9名同学参加市中学生外语口语演讲，每班至少派1人，则这9个名额的分配方案共有

种.（用数字作答）

解析：将9个名额视为9个相同的小球排成一排为：OOOOOOOOO，然后在9个小球的8个空位中插入5块木板，每一种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为C85=56种.故应填56

六、多元问题分类法

元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.

例6.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）

A.42 B.30 C.20 D.12

解析：对新增的2个节目分类：①不相邻：有A62种，②相邻：有A22A61种，故不同插法的种数为A62+A22A61=42种。故选A

七、定位问题优先法

某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

例7.安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日. 不同的安排方法共有 种.（用数字作答）