高一数学题十篇

高一数学题篇1

关键词 高等数学 一题多解 解题思路

中图分类号：O13 文献标识码：A

Several Solutions to One Problem in Higher Mathematics

JIN Ailian

（Department of Mathematics， College of Sciences， Yanbian University， Yanji， Yanbian 133002）

Abstract In the higher mathematics teaching process， students` ability of solving problems are often not improve. In this paper， the three typical problems of several solutions to cultivate students` divergent thinking and innovative spirit， open thinking， so as to improve the students` ability to analyze and solve problems.

Key words higher mathematics； several solutions to one problem； problem-solving ideas

高等数学是理工科学院一门十分重要的公共基础课程，但在实际教学中，很多学生的解题能力往往得不到提高，分析其原因主要就是学生解题思维得不到锻炼，为了做题而做题，不能举一反三。对同一例题，如果从不同的角度去分析，采用不同的处理方法，则可得到不同的解法，通过比较，可选择最优的解法，这对培养学生的分析问题，解决问题以及综合运用知识的能力有极大的好处。为此，以下通过高等数学中三个“一题多解”的例子，给出发散思维在高等数学中的应用。

1 求隐函数的导数问题

例1 设方程 + = （ + ），求。

解法1：两边对求导

+ 2 + ・ = （ + ）・（1 + 2）

=

解法2：令（） = + （ + ）

= + （ + ）

=

所以 = =

解法3：（ + ） = （（ + ））

+ + = （ + ）・（ + ）

[（2 + ） + （ + ）] = [ + （ + ）]

=

2 求极限问题

例2 求极限 。

解法1：直接用洛必达法则。

= =

= = 1

解法2：用等价无穷小替换。

=

= ・ = = 1

或

解法3：用拉格朗日中值定理解。

在， 之间对用拉格朗日中值定理有 = ，在， 之间。

当0， 0，所以0。故原式 = = 1。

3 求不定积分问题

三角函数的不定积分是一类比较复杂的不定积分，灵活性较大，因此是不定积分中较难掌握的一类积分。

例3 求。

解法1：令 = ，则 = ， =

原式 = = 2 = +

= +

解法2：原式 = =

= 2 = +

解法3：原式 = =

因为（）= [（）] = （）

所以原式 =

解法4：原式 = =

= +

解法5：原式 = =

= （1+ ）

= + （） + （1+ ） +

= +

解法6：令 = 1+ ，则

原式

再令 = ，则 = ， =

所以原式 = ・・ = = +

= + = + = +

高等数学中，能利用一题多解例子还有很多，在平时教学中，教师要积极引导学生进行这方面的训练，不仅能巩固基本知识，掌握基本技能技巧，而且有助于培养全面分析问题的能力，培养具有灵活性和多向思维能力。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2008.

高一数学题篇2

差异教学是指在班集体教学中立足学生差异，满足学生个别的需要，以促进学生在原有基础上得到充分发展的教学.立足于学生个性差异，不以同一标准要求所有学生，要满足学生不同的学习风格、兴趣等需要，要使所有学生得到充分的发展.

二、在高中数学教学中实施差异教学的必要性

1 、学生差异的客观性。教学实践告诉我们：高中学生在生理发展和心理特征上的差异是客观存在的；对数学的兴趣和爱好，对数学知识的接受能力的差异也是客观存在的.在这样的情况下，如果在高中数学教学中仍采用“一刀切”，不顾学生水平和能力的差异，势必造成“学优生吃不饱，学困生吃不了”的现象. 这样，必然不能面向全体学生，充分照顾学生的个性差异，也就不能很好地贯彻“因材施教，循序渐进”的原则，不利于学生的充分发展，甚至会出现严重的两极分化，这根本不符合素质教育的要求.

2、 社会对差异的需求性。系统论认为，系统中千差万别的各要素各施其职，系统才能良性循环. 自然界各要素的差异和谐共生，社会也是如此. 社会学理论研究表明，社会越发展，经济越发达，社会分工越复杂，人才多样性的需求也越大. 和谐创新型社会需要各种类型、各个层次的富有革新的创新型人才.

3、 差异教学可以促进每个学生最大限度的发展。 差异教学重视学生的原有认知基础、认知结构、学习兴趣、态度及学习方式和教学的相互作用，注重与学生个体的生活境遇和人生经验融合在一起，同时重视人本身的发展，充分尊重生命的独特性和生成性，适应个体差异的需要，将个体的全面发展与个性发展统一起来. 强调用多样化、个性化的教学策略促进每个学生最大限度地发展，使之能够在多元的社会环境里实现自身价值. 这正体现了当今“以人为本”的科学发展观.

三、 在高中数学教学中实施差异教学的策略

1、 教师要树立差异教学的教育观。作为当代的教师，我们不但要建立符合新课程理念的学习观、知识观、教学观、人才观，而更要建立符合新课程理念要求的生态资源观、多元智能观、全纳效能观、差异发展观和多维评价观，差异教学正是从新的角度诠释了这些教育观。 因此，我们应该树立差异教学所倡导的教育观。

2 、创设人性化的教学环境。

要实现学生的和谐发展，必须建立民主平等的师生关系，营造宽松自由的人际环境，让学生成为教育教学的主动参与者，心情愉快地投入学习，培养学生的自我激励能力，认识自己，开发自己，从而调动其积极性，增强自信心和责任感，为今后的成长和发展营造更多的生长点. 人的个性是千差万别的，教育就应该是人人成功、个个发展的教育，因而教学必须着眼于学生个性差异，充分发挥出每个学生的主体性和创造性，使每个学生都能适应自身的能力水平和社会要求，以实现其最大限度的发展.

3、 在教学各环节中差异教学的实施。

（1） 差异性教学目标的确立。在制定教学目标时，应面向全体，尽可能考虑到每个学生的特点，尊重每个学生的个性，确立有差异的目标，使学生在智能优势领域得以更好地发展. 具体来说，面对班级平均水平，建立适合于中等生的教学目标；顾及学优生的学习要求，确定较高的教学目标并准备相应的材料；针对学困生的学习水平，建立以合格为标准的教学目标并准备相应的辅助材料.

（2） 课前预习的差异性要求。预习是课堂学习的准备，是对将要学习的新知识进行课前自学的过程. 它有利于提高课堂学习的针对性和培养学生的自学能力. 对于学习而言，预习是重要的环节之一，由于学生的差异性是普遍存在的，为此，我们应该根据高中数学教学要求，对不同的学生在预习时提出不同的要求，指导学生掌握正确的看书预习方法，只有这样，才能使每个学生获得满意的预习效果. 比如，可要求学困生主动复习旧知识，基本看懂预习内容，试着完成相应的练习题，不懂时主动求教于同学或老师，带着疑问听课；中等生能自觉复习旧知识，初步理解和掌握预习内容，会参照定理、公式、例题的推演自行论证，能初步完成练习题，并能主动求教或帮助他人；学优生深刻理解和掌握预习内容，定理、公式要主动推导，例题要先行解答，能独立完成相应的习题，力求从理论和方法上消化预习内容，并能自觉帮助身边的同学.

（3） 课前教师的诊断。课前教师的诊断，是实施差异教学的一个重要的环节. 没有诊断，差异教学将无法有效地实施，课前的诊断可以帮助教师了解学生对知识的掌握情况，这样，教师可以使教师更有针对性地在课堂上实施有差异性的教学.

（4 ）课堂教学的差异性。课堂教学是教与学的双向交流，调动双边活动的积极性是完成差异教学的关键所在，课堂教学中要努力完成教学目标，同时又要照顾到不同层次的学生，保证不同层次的学生都能学有所得. 在实施教学时，应以中等生为基准，同时兼顾学优生和学困生，要注意调动他们参与数学教学活动的比率，不至于受冷落. 一些深难的问题，课堂上可以不讲，课后再给学优生讲. 课堂教学要始终遵守循序渐进，由易到难，由简到繁，螺旋上升的规律，要求不宜过高，层次落差不宜太大.

高一数学题篇3

一、高一学生数学作业目前存在的问题

1.作业（问题）都是课本（或教师）提供的，呈现布置随意性与主体单向性

我们经常可以在课堂上听到以下布置作业的声音：“做课本第几页第几题”“作业是某页剩下的题目”“作业是把下一节的导学案做完，明天检查”等。课上更多的是教师直接取自课本上的练习题与习题，课下更多是教师直接划定辅导书上的题目。学生没有选择的余地。

2.作业形式局限于书面答题，呈现单一性

现今的作业布置以书面形式为主，完成方式以学生独立完成为主，批改方式以教师全批全改或分批批改为主。课下作业主要由课代表进行收交，送至数学老师处，由老师进行集中批改，然后由课代表进行分发。这一来一往的传统过程实际上把学生的学习与老师的评价完全割裂开来，使数学作业这一最方便、最常用和有效的评价方法效率大大降低。

3.作业内容的难度偏高，所费时间相对比较长，内容重复机械性

现在高中数学的作业主要是狭隘的解题，只满足于求出绝对的结果。罗增儒教授说：“数学解题不仅要把‘题’作为研究的对象，把‘解’作为研究的目标，而且也要把‘解题活动’作为对象，把学会‘数学地思维’、促进‘人的发展’作为目标。”而教师只关注于通过作业让学生盲目地简单重复操作单一招式，让解题只停留在操作层面上，而忽视了对于心理层面的提高，忽视了“数学地思维”的能力形成。

4.作业评价的片面性

学生完全依赖教师对自己的作业评价，退缩为检查学生掌握学习内容的程度。评价标准单一，通常以答题正、误为标准，教师或者用“√”“×”来评价学生的作业，或者打上分值，或者是批上优、良、中、下。这种对作业的批改方式有很多的不足之处。学生看到的批改后的作业只是对错号，却不明白错因，作业的评价功能不能够最大限度地体现出来。作业批改周期长，正确的信息得不到及时强化，错误得不到及时纠正，失去了作业批改的信息价值。

二、高一学生数学作业的改革

高一数学题篇4

[关键词]高中数学习题课一题多变一题多解

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）110026

在高中数学教学中，最重要的课型便是数学习题课.毋庸置疑，数学习题课教学对培养和提高学生的数学思维能力具有无可替代的作用.因此，如何提高高中数学习题课的教学效率是一线数学教师关注的问题.笔者经过多年的实践，认为在高中数学习题课中，采取“一题多变、一题多解”的教学策略能有效地提高高中数学课堂教学效率.下面笔者谈谈几点体会.

一、“一题多变”在习题课教学中的应用

在高中数学教学中，所谓“一题多变”就是教师在一道数学题中，从多角度、多方位向学生提出不同的数学问题，以加深学生对数学知识的理解.一题多变能够培养学生融会贯通、举一反三、触类旁通的能力，进而培养学生的创新思维.下面以一道习题为例进行说明.

【例1】已知sinα=45，且α是第二象限的角，求tanα.

解：由于α是第二象限的角，sinα=45cosα=-1-sin2α=-35，tanα=-43.

变式1：已知sinα=45，求tanα.

解：sinα=45>0，所以α是第一或第二象限的角.

若α是第一象限的角，则cosα=35，tanα=43；

若α是第二象限的角，则cosα=-45，tanα=-43.

变式2：已知sinα=m（m>0），求tanα.

解：由条件0

若α是第一象限的角，则cosα=-1-m2，tanα=m1-m2；

若α是第二象限的角，则cosα=1-m2，tanα=-m1-m2；

当m=1时，tanα不存在.

不难看出，本道习题从一道数学题出发，从多角度考查了有关三角函数的诸多知识.这道题能有效地培养学生综合运用数学知识的能力，进而发展学生的数学思维.毫不夸张，在习题课教学中，若学生能将此题弄清楚，则可大大提升课堂教学效率.因为通过这道题的学习，学生能摆脱题海战术，在解题的技巧与能力上有所进步.可见，高中数学习题课教学中，“一题多变”的效益是显著的.

二、“一题多解”在习题课教学中的应用

在高中数学教学中，所谓“一题多解”就是指教师要求学生从不同角度采用不同的方法或策略解决同一道数学题.“一题多解”的教学策略不仅有利于锻炼学生思维的灵活性，而且能够培养和提高学生的数学发散思维.下面以一道习题为例进行说明.

【例2】已知函数f（x）=x2+2x+ax，x∈[1，+∞）.

（1）当a=12时，求函数f（x）的最小值；

（2）若对于任意x∈[1，+∞），f（x）>0恒成立，试求实数a的取值范围.

解：（1）略；（2）方法一：在区间[1，+∞）上，f（x）=x2+2x+ax>0恒成立x2+2x+a>0恒成立.

设y=x2+2x+a，

x∈[1，+∞），y=x2+2x+a=（x+1）2+a-1在区间[1，+∞）上单调递增，

所以x=1时，ymin=a+3，于是当且仅当ymin=a+3>0时，函数f（x）>0恒成立，故a>-3.

高一数学题篇5

关键词：数学教学；解题能力；技巧

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）17-165-02

数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性的特点，数学思想是数学核心素养的核心内容。所以，学生需要全面培养数学素养，形成一定的技能技巧，更好的提高数学解题能力。怎样培养学生的解题能力，可从以下几方面入手。

一、培养学生强烈的求知兴趣，激活学生的动脑欲望

“兴趣是最好的老师”。有了学习兴趣，学生便会在学习中产生极大的积极性。

1、经常向学生提供能引起观察和知识探求的变化情境。老师应根据教学内容和目的，联系实际，尽可能的采用多样化的教学手段，让学生感受到变化情境的新异性，由好奇而争于探求了解自己所不知道的东西，不断激发其求知欲。

2、要善于提高难度适中而富于启发性的问题。孔子说：“不愤不启， 不悱不发”。学生在学习的过程中会不断遇到新的疑难，教师把握时机，因势利导，通过引导、启发，使学生积极思维，努力探疑。如“关于x的方程x3-2ax+a2-1=0有且只有一个实数根，求实数a的范围。”让学生思考寻找解题思路，学生从方程有唯一解的方向考虑，发现行不通；考虑通过换元法或因式分解法来降次，发现也不行。此时点拨：“既然从x入手困难，为什么不‘反客为主’以字母a为主元试试看呢？况且a的最高次数为2。”原方程可整理成a2-（x2+2x）a+x3-1=0即（a-x+1）（a-x2-x-1）=0。利用已知条件，可确定a-x2-x-1=0必无解，即=1-4（1-a）

3、在引导学生发现问题寻找到答案。新高中数学第一册（上）第三章“数列”对提高学生的数学能力，形成学生的数学思想，促进学生思维的发展，发挥着不可替代的作用。

例：已知数列{an}中，a1=1，2an+1-an= ，bn+ =an，求证：bn是等比数列。分析：本题的关键是说明 为常数，为此，要懂得递推关系的另一本质：概括性。知道与bn=an- 一样，bn+1=an+1- 也是已知条件，进而以“2an+1”为切入点，经巧妙的等量代换，得到2bn+1=2an+1- =an+ - =an- =an- =bn，于是 =2。

从步骤上看，推理简明。然而，对等比数列，递推关系的概念的理解却十分深刻，体现出揭示问题本质的罗辑推理能力，它已经大大超出了学生先前的。

学生以这种发现的方法去学习，不仅会怀着好奇心去积极思考、观察和探索，易于理解和记住有关知识，而且能逐渐学会发现和探求知识的态度和方法。

二、创设良好的学习情境

教师在教学中要善于创设良好的学习情境，使学生面临问题，有跃跃欲试的心理，激发其思维主动性。例如：a是什么实数，函数f（x）=（a2+4a-5）x2-4（a-1）+3的图象在x轴的上方？学生受思维定势的影响，认为：抛物线在x轴上方的，则开口向上，即a2-4a-5>0同时判别式

三、鼓励学生大胆质疑问题

爱动脑，善质疑，是创造思维的一特征。教师要注意从“疑”入手，引导学生设疑、质疑、释疑，寻根究底。

1、主动探索，大胆怀疑。教学中要鼓励学生发现问题，通过讨论，辩明是非。例如：初中《几何》第一册有定义：“连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离”。教师讲解分析后得出：“线段的长度是正数”。但学生思考后认为不对，提出：“相同两点间的距离呢？”建议补充说明：“相同两点间的距离为零”。一想，这样才能准确提示距离概念的外延。应该说这种想法有见地。

2、引导学生在易疑之处进行强化。数学概念密集，而且语言专业，叙述常常精而严谨，一个关键字可能含着丰富的内容。比如，函数定义中的“两个非空数集”中的“非空”二字可加着重号并加以说明：“任何函数的定义域不允许为空集”，由此学生在求含参数的函数定义域时，就应在“定义域非空”的前提下作讨论。数学中，要千方百计激发学生质疑，然后，因势利导地分析问题，从而达到增长知识、发展智力的目的。

四、着力培养学生的发散思维

1、探索有利于发展思维能力的数学方式，为学生创造良好的发散思维情境。教师在教学中要通过数学问题的创设，给学生以动脑的机会，培养学生发散思维能力，首先要让学生有思维发散的机会，因此，在教学中，要恰当地选择发散点，引导学生多方位思考，从而达到培养学生发散思维能力，进而培养学生整体能力的目的。在教学中还应设计一些开放型、探索型的问题，给学生创造发散思维的空间。这样才能调动学生学习数学的积极性，拓宽解题思路。同时，在教学中要鼓励学生对问题进行适当的引伸和推广，培养发散思维的习惯。

高一数学题篇6

一、端正态度，切忌浮躁，忌急于求成

在第一轮复习的过程中，心浮气躁是一个非常普遍的现象。主要表现为平时复习觉得没有问题，题目也能做，但是到了考试时就是拿不了高分！这主要是因为：

1、对复习的知识点缺乏系统的理解，解题时缺乏思维层次结构。第一轮复习着重对基础知识点的挖掘，数学老师一定都会反复强调基础的重要性。如果不重视对知识点的系统化分析，不能构成一个整体的知识网络构架，自然在解题时就不能拥有整体的构思，也不能深入理解高考典型例题的思维方法。

2、复习的时候心不静。心不静就会导致思维不清晰，而思维不清晰就会促使复习没有效率。建议大家在开始一个学科的复习之前，先静下心来认真想一想接下来需要复习哪一块儿，需要做多少事情，然后认真去做，同时需要很高的注意力，只有这样才会有很好的效果。

3、在第一轮复习阶段，学习的重心应该转移到基础复习上来。

因此，建议广大同学在一轮复习的时候千万不要急于求成，一定要静下心来，认真的揣摩每个知识点，弄清每一个原理。只有这样，一轮复习才能显出成效。

二、注重教材、注重基础，忌盲目做题

要把书本中的常规题型做好，所谓做好就是要用最少的时间把题目做对。部分同学在第一轮复习时对基础题不予以足够的重视，认为题目看上去会做就可以不加训练，结果常在一些“不该错的地方错了”，最终把原因简单的归结为粗心，从而忽视了对基本概念的掌握，对基本结论和公式的记忆及基本计算的训练和常规方法的积累，造成了实际成绩与心理感觉的偏差。

可见，数学的基本概念、定义、公式，数学知识点的联系，基本的数学解题思路与方法，是第一轮复习的重中之重。不妨以既是重点也是难点的函数部分为例，就必须掌握函数的概念，建立函数关系式，掌握定义域、值域与最值、奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质，学会利用图像即数形结合。

三、抓薄弱环节，做好复习的针对性，忌无计划

每个同学在数学学习上遇到的问题有共同点，更有不同点。在复习课上，老师只能针对性去解决共同点，而同学们自己的个别问题则需要通过自己的思考，老师的辅导，与同学们的讨论，并向老师提问来解决问题。我们提倡同学多问老师，要敢于问。每个同学必须了解自己掌握了什么，还有哪些问题没有解决，要明确只有把漏洞一一补上才能提高。复习的过程，实质就是解决问题的过程，问题解决了，复习的效果就实现了。同时，也请同学们注意：在你问问题之前最好先经过自己思考，不要把不经过思考的问题就直接去问，因为这并不能起到更大作用。高三的拖耙欢ㄊ怯屑苹、有目标的，所以千万不要盲目做题。第一轮复习非常具有针对性，对于所有知识点的地毯式轰炸，一定要做到不缺不漏。因此，仅靠简单做题是达不到一轮复习应该具有的效果。而且盲目做题没有针对性，更不会有全面性。在概念模糊的情况下，一定要回归课本，注意教材上最清晰的概念与原理，注重对知识点运用方法的总结。

四、在平时做题中要养成良好的解题习惯，忌不思

1.树立信心，养成良好的运算习惯。部分同学平时学习过程中自信心不足，做作业时免不了互相对答案，也不认真找出错误原因并加以改正。“会而不对”是高三数学学习的大忌，常见的有审题失误、计算错误等，平时都以为是粗心，其实这就是一种非常不好的习惯，必须在第一轮复习中逐步克服，否则，后患无穷。可结合平时解题中存在的具体问题，逐题找出原因，看其是行为习惯方面的原因，还是知识方面的缺陷，再有针对性加以解决。必要时作些记录，也就是错题本，每位同学必备的，以便以后查询。

2.做好解题后的开拓引申，培养一题多解和举一反三的能力。解题能力的培养可以从一题多解和举一反三中得到提高，因而解完题后，需要再回味和引申，它包括对解题方法的开拓引申，即一道数学题从不同的角度去考虑去分析，可以有不同的思路，不同的解法。

考虑的愈广泛愈深刻，获得的思路愈广阔，解法愈多样；及对题目做开拓引申，引申出新题和新解法，有利于培养同学们的发散思维，激发创造精神，提高解题能力：

（1）把题目条件开拓引申。

①把特殊条件一般化；②把一般条件特殊化；③把特殊条件和一般条件交替变化。

（2）把题目结论开拓引申。

（3）把题型开拓引申，同一个题目，给出不同的提法，可以变成不同的题型。俗称为“一题多变”但其解法仍类似，按其解法而言，这些题又可称为“多题一解”或“一法多用”。

3.提高解题速度，掌握解题技巧。提高解题速度的主要因素有二：一是解题方法的巧妙与简捷；二是对常规解法的掌握是否达到高度的熟练程度。

五、学会总结、归纳，训练到位，忌题量不足

很多同学都是一看到题目就开始做题，这也是一轮复习应该避免的地方。做题如果不注重思路的分析，知识点的运用，效果可想而知。因此建议同学们在做题前要把老师上课时复习的知识再回顾一下，梳理知识体系，回顾各个知识点，对所学的知识结构要有一个完整清楚的认识，认真分析题目考查的知识，思想，以及方法，还要学会总结归纳不留下任何知识的盲点，在一轮复习中要注意对各个知识点的细化。这个过程不需要很长的时间，而且到了后续阶段会越来越熟练。因此，养成良好的做题习惯，有助于训练自己的解题思维，提高自己的解题能力。

高一数学题篇7

一、解决实际问题的一般步骤

⑴阅读理解材料 应用题的语言形式涉及“文字语言、图形语言和符号语言、表格语言”，理解题目所反映的实际问题的含义，弄清事理，揭示其数学本质，理顺变量之间的依存关系，这是解决问题的第一步.

⑵建立变量关系 在⑴的基础上，把实际问题抽象成数学问题，建立函数模型，将问题数学化.

⑶制定解决问题的方案并予以实施 在数学化的基础上，结合题目，确定自变量的取值范围，并依据函数的有关知识，寻求解决问题的途径和方法.

⑷作出结论 将从数学问题中得到的结果反馈到实际问题中去，作出合乎题意的相应结论.

二、解决应用题的一般思路

三、例题说明

（一）看清函数类型，解决实际问题

1.一次、二次函数型

例1 商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少，把购买人数为零时的最低标价为无效价格，已知无效价格为每件300元，现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格（标价）出售，问：

⑴商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？

⑵通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？

解 ⑴设x是价格，S是购买人数

所以S=kx+m 由题意知S=k（x-300）（k

所以利润y=（x-100）k（x-300）.

要使y最大，知x=200（元）.

⑵由题意知（-k）（x-100）（x-300）最大时，x=200，

所以每件羊毛衫定价为150元.

2.指数函数等其他函数型

例2 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：

⑴写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；

⑵计算10年以后城市人口总数（精确到0.1万人）；

⑶计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）；

⑷如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？

解 本题为人口增长率问题，可以通过计算每年的城市人口总数与年份的关系，从而得到一般规律

分析 ⑴1年后该城市人口总数为：

y=100+100×1.2%=100×（1+1.2%）.

2年后该城市人口总数为：

y=100×（1+1.2%）+100×（1+1.2%）×1.2%=100×（1+1.2%）2；

3年后该城市人口总数为：

y=100×（1+1.2%）3…

x年后该城市人口总数为：

y=100×（1+1.2%）x.

⑵10年后，人口数为：

100×（1+1.2%）10≈112.7（万）.

⑶设x年后该城市人口将达到120万人

即100×（1+1.2%）x=120

x=log1.012120100=log1.0121.2≈15年

⑷设年增长为x，依题意得：

100×（1+x）20≤120.

由此有（1+x）20≤1.2，得到x≤0.009=0.9%.

即年自然增长率应控制在0.9%以内.

3.对钩函数

例3 某工厂有旧房屋一幢，留有旧墙长14米，现准备利用这面旧墙的一段为一面墙，建造平面图形为矩形面积为126 cm2的厂房，工程的条件：

①修1米旧墙的费用是造1米新墙费用的25%；

②拆去旧墙1米用所得的材料是建1米新墙费用的50%.

问：如何利用旧墙，才能使建墙的费用最低？（注：建门窗的费用与建新墙费用相同，可不考虑）

解 设新建1米需要费用a元，设所建厂房长为x m，则

M=a4・x+（14-x）a2+（2x+252x-14）a，0

a4・14+（2x+252x-14）a，x≥14.

知当x=12时，Mmin=35a，

当x=14时，Mmin=35.5a.

所以选择第一方案较好.

4.分段函数

例4 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂价不能低于51元.

⑴当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价降为51元？

⑵设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数

p=f（x）的表达式；

⑶当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少？如果订购1000个呢？（利润=出厂价-成本）

解 ⑴订购量m=100+60-510.02=550.

⑵ f（x）=60， 0

62-x50， 100

51 x≥550

⑶L=（p-40）x=20x， 0

22x-x250， 100

11x， x≥550.

（二）利用函数图象，解决实际问题

例5 电信局为了配合客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案的应付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）（注：图中MN∥CD）.试问：

⑴若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？

⑵方案B从500分钟后，每分钟收费多少元？

⑶通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠？

答案：⑴ f（A）=116元，f（B）=168元

⑵0.3元；

⑶当时间超过8803分钟后，方案B优惠.

（三）理清表格意思，解决时间问题

例6 下表是某家庭今年第一季度煤气用量和支付费用

该市煤气收费的方法是：煤气费=基本费+超额费+保险费，如果每月用气量不超过最低额A m3时，只付基本费3元和每户月额定保险费C元，如果用气量超过最低额度A m3时，超过部分应按B元/m3的标准付费，并知保险费C不超过5元，根据上面提供的资料确定A、B、C的值.

解 由题意知C=1，

3+（25-A）B+1=14，

3+（26-A）B+1=19.

所以B=5， A=23.

（四）读懂题意本质，解决实际问题

例7 某地区上年度电价为0.8元（kwh），年用电量为a kwh，本年度计划将电价降到0.55元（kwh）至0.75元（kwh）之间，而用户期望电价为0.4元（kwh）经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k），该地区电力的成本价为0.3元（kwh）

⑴写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；

⑵设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？

注：收益=实际用电量×（实际电价-成本价）

解 ⑴y=（x-0.3）（a+kx-0.4）（0.55

⑵y=（x-0.3）（a+0.2ax-0.4），

所以y≥0.5a（1+20%）.

得x≥35mx≤12，得0.6≤x

高一数学题篇8

原题22：函数f（x）=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4，5）、Qn（xn，f（xn））的直线PQn与x轴交点的横坐标。

（Ⅰ）证明：2≤xn

（Ⅱ）求数列{xn}的通项公式。

分析：弦截法算法思想。

（1）取两个不同点x1，x2，如果f（x1）和f（x2）符号相反，则（x1，x2）区间必有一个根。

（2）连接Q1（x1，f（x1））和P（x2，f（x2））两点，此线交x轴与x，x点的坐标可用下式求出：x=（x1×f（x2）-x2×f（x1））/（f（x2）-f（x1））；再从x求出f（x）。

（3）若f（x）与f（x1）同符号，则根必在（x，x2）区间内，此时将x作为新的x1。如果f（x）与f（x2）同符号，则表示根在（x1，x）区间内，将x作为新的x2 。

（4）重复x步骤（2）（3），直到|f（x）|

■

解：（Ⅰ）f（x）=x2-2x-3，与x轴有两个交点，即-1和3，

x1=2，f（x1）=-3，而P（4，5）在f（x）=x2-2x-3上，即x2=4，f（x2）=5，

f（x1）×f（x2）

（2，4）区间中存在必有一个根，即x=3。

则弦PQ1与x轴的交点：

x2=（x1×5-4×f（x1））/（5-f（x1））

f（x）=x2-2x-3在（2，4）单调递增且f（x）0，

x2>x1=2

根据弦截法的算法思想，弦PQn与x轴的交点xn+1=x（5×xn）-4×f（xn）/（5-f（xn）），

同理得：xn+1>xn，且xn+1趋近于f（x）=x2-2x-3与x轴的交点x=3，即：xn+1

2≤xn

（Ⅱ）根据弦截法，弦PQn的直线方程整理：

y-5=■（xn+1-4），

y-5=■（xn+1-4），

y-5=■（xn+1-4），

则弦PQn与x轴的交点，即y=0，解得：

y-5=（xn+2）（xn+1-4），

■=■+1，

设bn=xn-3，则xn+1=■，

数列{■+■}是首项为-■，公比为5的等比数列，则

■+■=■・5n-1，

bn=■，

高一数学题篇9

函数导数可以说是《高等数学》中最重要的内容之一，是学习后续各章知识特别是积分学的关键基础.导数的概念来源于实际问题中的变化率，在医药学，生物技术等领域有着广泛的应用.所以教师对于这部分内容的教学都给予特别的重视以及要求学生对求导基本功的熟练掌握.对于初等函数的导数，学生一般都可以比较好的掌握，但在分段函数的求导过程中会遇到一些问题，分析原因主要有两个，一是分段函数的求导，关键是要考虑在分段点处的导数，求分段点处的导数，要用到函数导数的定义，而根据导数定义去求函数的导数本身就是求导教学中的一个难点，特别是当函数结构形式比较复杂时其求导数是很繁难的；二是大部分教材中并没有单独详细地讲述分段函数的求导问题，学生在学习过程中没有系统的理论知识可依据，只是靠老师适时的补充讲解去理解.鉴于以上，本文针对分段函数求导的相关知识做了一个简单而系统的解析.

一、正确认识分段函数与初等函数

初等函数是由常数与基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合所构成的由一个解析式表示的函数.分段函数是对于自变量x的不同取值范围内，由不同的解析式表示的一个函数关系.分段函数一般不是初等函数.比如函数：y=|x|是初等函数，但在形式上可以写成分段函数的形式，即

需要说明分段函数只要能转化成用一个解析式表示的函数就不是分段函数，同时指出分段函数必须有分段点.

二、分段函数的求导方法及导数的表示形式

由分段函数的定义知，分段函数在每个小区间上都是一个初等函数，所以分段函数对应于每个小区间上的导数都可以用初等函数的求导方法直接求得，关键是看分段点处的导数是否存在.对于分段点处导数的判定，常用的方法有

1.利用函数可导性与连续性的关系

如果函数y=f（x）在点x处可导，则函数在该点必连续；反之，如果函数y=f（x）在点x处连续，则函数在该点处不一定可导.但如果函数y=f（x）在点x处不连续，则函数在该点处一定不可导.

连续是可导的必要条件.因为连续是可导的必要条件，所以不连续一定不可导，这也是为什么下面解每一个例题时一定要先验证一下是否连续，若不连续的话，直接可以判断不可导，若连续再进一步判断是否可导.

函数y=f（x）在点x处连续，但在点x处不可导的情形在后面的例题中能体会到.

2.利用函数y=f（x）在点x处可导的充分必要条件

左导数f′-（x）和右导数f′+（x）都存在且相等.

例1求函数f（x）=x，x

解首先看函数f（x）在分段点x=0处是否连续，若连续，再判断函数f（x）在分段点x=0处是否可导.

高一数学题篇10

关键词：错题卷；知识表象；变式；数学记忆

一、“错题出题”的操作流程

“错题”即学生做错的题目，“错题出题”，即针对学生在一次考试中或者平时训练中出现的错题，选择难度适中，具有灵活性、代表性、典型性、综合性的错题，重新变式出题形成“错题卷”。其主要操作流程是：试卷分析错题错题变式出题学生错题检测错题再变式出题再检测……

下面就以淮北市2014届高三第一次联考的一份理科数学试卷为例具体阐述“错题卷”的出炉过程。

1.出题前先分析试卷

（1）选择题

表一

从表一可知，1～6题学生得分情况较好，出现错误较多的是第7、9、10三题。第7题主要是学生数形结合思想不牢固而错选。第9题学生对排列组合中“重”和“漏”的问题解决不了。第10题难度较大，学生无法找到问题的突破口，说明平时积累少，很难应对能力题。

（2）填空题

表二

从表二可知，学生得分情况良好。第14题难度略大，得分不是很理想。第15题题型的设计要求学生对知识的全面考查也使得学生失分较多。

（3）解答题

表三

从表三可知，解答题的整体难度不大，只有第20题、第21题学生感到有些棘手。第18题有部分学生第二问概率分布知识不清，解答存在问题，反映出这部分学生的基础知识掌握不牢固。第21题是试卷的压轴题，主要考查圆锥曲线知识，突出了对学生能力的考查。

2.出题中做好错题变式

通过试卷分析明确了学生的错题集中点和失分点及其错误原因，选择这些“新鲜的”错题来进行变式，针对学生的这些错题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化，使其条件或形式发生变化，而本质特征却不变。正是由于数学试题本身的特殊性，使得数学变式随心所欲、形式多种多样：如数字变式、符号变式、姊妹变式、换位变式、题型变式等。

3.出题后做好学生检测

对变式后的错题重新编排，题数一般减少一半，这样针对性较强；题序按由易到难，由小到大的原则组题成卷，并打印出来以备再次变式纠错使用。学生检测并及时批阅，考查学生错题的更误率并收集新的错误以备在再检测中再变式考查……

二、“错题出题”的成效归因分析

“错题出题”之所以能实现学生从“听懂”到“会做”的有效转变，其原因是多方面的，主要是：

1.“错题出题”能有效利用学生的错误资源

吴卫东教授指出：“我们应把错题看成教学的资源。”错题折射了学生学科学习中的难点和存在的思维障碍。通过错题出题，充分利用这一种“美丽的错误”资源，开发和利用这一无穷的“财富”，能使学生在纠错、改错中感悟道理、领悟方法，在“吃一堑，长一智”中增加才干、增长智慧，不断提高自主纠错能力，从而成就从意义建构到能力生成的转变。

2.“错题出题”能有效激发学生的主动学习

在科学错题分析中实施错题出题，由于学生做的是自己的错题，错题让学生自己做，过程让学生自己去体会，规律让学生自己去总结，学生的主体作用得到了有效的发挥，通过主动地“测验”错题来充分唤醒学生的学习动机，有效地开发学生的学习潜能，使学生进行高效而持久的学习，为成就从意义建构到能力生成创造了条件。

3.“错题出题”能有效培养学生的反思意识

考后整理错题，能使学生及时反思错误的原因、温习有关知识，巩固学习过程中的初级和高级获得阶段；用错题的变化，用错题的体会和反思来培养学生举一反三、触类旁通的能力，进一步培养学生的解题技巧，积极完成学习过程中的迁移和调整阶段的任务，从而顺利实现从“听懂”到“会做”的转变。

参考文献：