剖析统计与概率的进步和矛盾

摘要：随着“统计与概率”在《标准》中规定为义务教育阶段数学课程的4个学习领域之一，统计与概率的研究逐渐成为热点。目前统计与概率的研究主要集中在教学问题上，包括对于教师的教、学生的学及教学内容等方面采取多种方法研究，这些研究提高了统计与概率教学活动的有效性，但统计与概率研究存在着一些方面的不足和空白，如研究角度相对狭窄，重点侧重于教师的教，教学评价策略、学生对概率统计的学习策略等很少研究，这些还有待于进一步的研究。

关键词：统计与概率；教学研究；进展与问题

在自然界与人类的社会活动中会出现各种各样的现象，既有确定性现象，又有随机现象。随机现象在日常生活中到处可见，而概率与统计是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法。因此，要培养学生对概率与统计的应用意识和动手能力，在数学课程中，加强统计概率的份量成为必需。2001年，在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）中把“统计与概率”规定为义务教育阶段数学课程的4个学习领域之一，统计与概率在中小学数学教学中的研究也逐渐成为热点。本文主要是在近几年硕士论文研究成果的基础上进行综述性的研究工作，以此更好地促进中小学统计与概率的教与学。

1关于教师教的研究

由于概率进入我国中小学课程的时间较晚，因此关于概率的教学研究相对稀少。李俊认为：“教育研究滞后于课程改革步伐除了开展研究时间短之外，还有几个原因：首先是因为与概率相关的有些错误概念比较隐蔽，不易觉察；二是有些错误观念貌似合理，符合逻辑；三是因为要弄清学生在解决概率问题过程中的真实思维很困难；四是从事概率思维研究的人员很少，很多国家中小学的概率教育都刚刚起步。”[1]我国统计与概率的实际教学经验缺乏，如何使中学生的思维方式从确定性数学向随机性数学转变，充分发挥统计与概率的教育价值，如何将概率的知识向一种随机性意识进行转化，指导中学生今后的学习、工作和生活，是需要认真思考的问题。因此，对中学概率中的教师如何教进行研究就具有十分重要的意义。

1.1教师的知识

新一轮课改的进行，不仅要研究教材的可行性、学生的认知水平，还要考虑到教师的作用。教学活动的参与者是教师和学生，教师是教学活动的引导者与促进者，“教师是课程与学生之间的中介，任何革新课程的尝试，都必须考虑到教师的作用”[2]。另外豪森等人对以往的改革教训进行了总结：“我们最近注意到的与教材改革时期有关的教训是，大多数在实践上进行激进改革的企图，都遇到了麻烦和曲解，原来的意图很少实现。如果今后的革新要进展得更令人满意些，那么基本的一条是我们应确保教师对革新要有更好的理解与接受。”[2]由此可见教师在教学改革当中的重要性。教师是课程改革的参与者和实践者，课程改革的目标和意图能否达成与教师的课程理念、学科专业知识以及教学专业知识等密切相关，为了更好地进行概率统计教学，对我国当前中学教师现状进行调查和研究是有必要的。

要教学生一瓢水，教师得有一桶水，因此必须对教师的概率知识储备情况进行研究。目前研究认为教师的知识现状存在以下问题：（1）教师对教材中涉及的统计内容理解存在不同程度的问题，统计的观念和意识比较薄弱；（2）教师较熟悉概率的古典定义和频率定义，对概率的几何定义这个名称不太熟悉；（3）农村教师对概率的认识水平低于市区教师，城乡师资力量差别大；（4）教师中“机会不能量化及预测”和“等可能性偏见”错误不明显，但“预言结果法”和“简单复合法”错误较严重。（5）新课改情况下教师受到培训的机会及人数很少。另外，在教学中教师存在以下问题：（1）教师在“统计与概率”教学中，备课难度较大，不能很好调控教学过程，课堂活动难以组织，学生的思维训练不够；（2）很少教师把“统计与概率”作为一个整体来教学；（3）农村教师没有条件利用多媒体教学，教材中内容大多与城市生活联系密切，使农村教师在教学中有较大困难[3~6]。

1.2教学的方法与策略

教学是一种有目的、有计划的活动，因此在活动之前教师需要进行必要的准备，在头脑中或书面做一个计划。并且教师应该从学生的实际出发去组织概率教学，以使学生感到教学有意义、有用而不是抽象、不相关的，因此对统计与概率的教学策略具有重要的意义。教学策略指的是教师为实现教学目标或教学意图所采用的一系列问题解决行为，可分为教学准备策略、教学实施策略和教学评价策略[7]。对各类教学策略进行研究有助于指导一线教师进行有效的教学。目前对于教学策略的研究主要集中在研究教学实施策略，研究者们的观点主要体现为：（1）借助游戏和生活实例，激发学生学习统计与概率的兴趣；（2）引导课题研究，培养学生的应用意识和创新意识；（3）结合学生实际和区域地点，创造性地使用教材；（4）加强概率统计教学与其它数学知识的联系及与现代信息技术的整合；（5）加强阅读指导，提高理解迁移能力。有的研究还提出应用试验来增进学生对概率的理解、应用案例分析对概率统计中一些重要的数字特征的意义和它们之间的关联和区别讨论清楚等[3，6，8~10]。这些研究还针对所研究内容对课程开发者及教师提出一系列建议，主要认为教师应树立正确的课程观和过程评价观，进行必要的教学反思，加强统计与概率思想的培训[6，11]。

以上研究集中体现在对教学实施策略的研究，而教学评价也具有很重要的教育功能，通过教学评价可以促进教师的发展，也可以激发学生的学习积极性，提高教学质量，促进学生个性的全面发展[7]，因而对统计与概率的教学评价策略进行研究甚有必要。

2关于学生学的研究

教学是师生互动、相互交往的过程。数学教学的有效性不仅来自于教师教得好，更来自于学生对数学活动的参与程度及认知水平。数学教育的所有工作最终要落实到学生的学习，只有真正了解了学生学习的特点和基本规律，才能深切地关注和改进课程教材的编制，为教师的教学及评价提供确切的理论和实践的根据。因此，非常需要在学生的学习这方面展开研究，了解学生对统计与概率的认知特点及学生的概念理解水平，以便更好地实施统计与概率的教学以及指导统计与概率课程的设计。

2.1学生的认知水平

学生是学习的主体，了解学生在理解概率方面存在哪些错误概念以及需要经历怎样的认知发展过程，对制定恰当的教学策略很有帮助。这一方面文[1]已经做了深入地研究，认为学生使用的错误概念按照认识上的共性分为14组，主要介绍了最主要的4组错误概念：（1）机会不能量化及预测；（2）等可能性；（3）预言结果法；（4）用自己的方法比较机会（简单复合法）[1]。通过分析学生的回答，揭示了理解概率概念通常会经历的从简单到复杂的认知发展过程，按照SOLO分类法把学生的回答水平分为前结构水平（P），单一结构水平（U），多元结构水平（M），关联水平（R），进一步抽象水平（E）等5个水平进行研究得到学生对概率概念的认知发展框架表。而对学生的统计学习进行研究认为：（1）学生对统计课程的特点、思想、方法缺乏正确的认识。（2）学生统计观念和意识比较薄弱，应用意识不强[3]。诸多研究关注的重点是教师如何教，但对于学生的概率与统计的认知心理研究较少。

2.2学生的概念理解

数学概念是数学的逻辑起点，是学生认知的基础，是学生进行数学思维的核心，在数学学习与教学中具有重要地位[12]。数学理论研究对中学数学教育的发展具有指导和促进作用，教学法的研究大都是建立在解决实际问题的基础之上。从实践中发现问题并进行研究，寻求出解决问题的对策，再回到实践中，指导实践的进一步发展。因此对概率相关概念理解进行研究是有必要的。相关研究认为学生对概率的统计定义和古典概型的掌握情况是不容乐观的。其主要表现在对统计定义没有产生实质的理解，对古典概型的本质一等可能性方面把握不够。从而得出两点启示：（1）传统的教学方式不能满足概率概念教学的需要；（2）淡化计算，决不是淡化对概率概念的理解[9]。

有的对学生对概率值的理解以及学生利用概率值进行决策的情况进行了研究。研究认为：（1）学生从定性和定量两方面综合表示难以接受。（2）进一步的教学使倾向于理论概率的学生增多，使认为大数次的频率有稳定趋势的学生增多，使倾向于主观概率的学生减少，使用预言结果法进行决策的学生有一定程度的减少，用正确方法决策的学生增多。（3）预言结果法非常顽固，教学能减少部分预言结果法的使用但不能完全依靠教学解决。（4）学生利用概率值的意识不是很强，不同的题目背景和数据可能对学生利用概率值的能力有一定影响[13]。

概率统计的利用日趋广泛，但课本中的内容大多注重概率的计算，不注重概率的表示、解释和利用。而不同学段的学生对概率的认识可能不同，只有了解学生对概率是如何思考的，才能正确地展开教学和合理地编制教材。

3关于教学内容的研究

由于在日常生活中的应用性很强，概率与统计部分越来越受到重视，因此编写出符合儿童认知发展的教材很重要。“教材作为学生学习活动的基本线索，是实现课程目标，实施教学的重要资源。”[14]教材是学生从事数学学习的基本素材，它为学生的数学学习活动提供了基本线索、基本内容和主要的数学活动机会。因此统计与概率教材的编写应体现《标准》的基本理念，注重培养学生的统计观念和概率思维，符合学生的认知发展水平。有的研究认为虽然一些教材的编排达到要求，但还是有一些问题：（1）认为“统计与概率”编排的层次、梯度不够清晰，“小步子”的现象比较明显，且有简单重复，如对“统计图”的编写；（2）《标准》中“统计与概率”部分的规定太宽泛，内容安排上不够合理，认为第二、三学段概率目标重合过多，螺旋上升幅度偏小，给教材编写者造成困境，不易处理；（3）教材素材选取较单一，内容大多与城市生活联系密切，过于强调概率的古典意义，相应的辅导资料上的练习题难度太大；（4）从教学实践上看少量题材的可操作性和活动的可控性有待加强[4，11，15]。这些问题有待于研究者进一步研究探索，根据学生的认知水平编写出符合学生认知结构的教材。

4进一步研究展望

不难发现“统计与概率”的研究已经受到教育学者、专家、一线教师的广泛关注，有实践方面，也有理论方面的研究，取得了很多的研究成果，有力地推动了数学课程改革的开展。但许多研究仍待进一步努力开展，许多规律仍待进一步揭示。

（1）目前研究的角度相对狭窄，缺乏整体上的宏观研究，不利于从整体上推进统计与概率研究的进展。对于统计与概率的校本课程的开发、学生认知水平与统计与概率难度的提升之间的关系、教学和学习评价、关于教材编写及实验效果的研究和学生概率思维研究都尚显不够，使得统计与概率研究在某些方面有突破，而其它方面进展缓慢。

（2）目前研究的重点是统计与概率教学中教师如何教的问题，而对于学生学习的研究相对偏少。对于教学策略的研究更多关注的是教学实施策略，而对教学准备策略及教学评价策略很少关注，对学生学习策略的研究就更少了。缺乏对于作为学习主体的学生的情感、态度、意志品质等非智力因素的研究，不利于教学实践的开展。因此，要加强学生学习统计与概率的研究，同时探求统计与概率教学和学习规律。

（3）研究方法普遍采用了调查法，但对教材改革可以采取实验研究法，这样更有利于编写出适合儿童认知发展的教材。如对各个学段的教材都可进行实验研究，这有待于我们广大理论与实践工作者更深入地进行研究，进行艰苦的探索，为丰富和完善数学教学理论提供依据。综上所述，“统计与概率”研究在微观研究的基础上开展宏观研究，研究的角度上有待进一步拓展。重点开展对学生认知水平、学习方式和学习策略的研究，坚持教学以学生为本，贴近学生的生活实际。在推动“统计与概率”理论研究的同时，提高教育教学实践的效果。

［参考文献］

[1]李俊。中小学概率的教与学[M]。上海：华东师范大学出版社，2003。

[2]豪森G，凯特尔C，基尔怕特里克J。数学课程发展[M]。周克希，赵斌译。上海：上海教育出版社，1992。

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[14]中华人民共和国教育部。全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M]。北京：北京师范大学出版社，2001。

[15]刘福林。小学数学新教材“统计与概率”编写与实验调查研究[D]。西南师范大学，2004。