经济管理对偶问题运用思索

时间:2022-05-18 09:19:00

经济管理对偶问题运用思索

对偶问题原理是线性规划的重要内容,其思想方法是利用线性代数的方法及结论,找出线性规划模型中利用目标函数与约束条件求解的另一种途径,同时可获得可行解和最优解与模型条件的一些规律,对解的特性判断起关键作用。在计算工具不断发展、计算范围不断扩大的今天,用对偶问题原理处理生产、经营上的问题已越来越广泛,深受企业单位管理者的高度重视。企业管理者可以根据市场及企业本身的具体情况,建立相应的数学模型,然后用线性规划中的对偶问题原理加以分析,对企业的生产计划,成本估算,生产过程管理以及市场预算等科学决策提供理论支持。

1对偶问题及其结论

设某企业的某个生产流程可建立如下的数学模型:模型(1)可作如下的经济解析:变量xi,可理解为各种经济活动的水平(如产量),系数ci,可表示各种经济活动的单位利润,目标函数f可理解为该经济活动的总利润,常数bi,可解析为各种资源的可供量,系数aij可解析为各种资源的单位消耗,对这个线性规划求解就是在有限资源下确定各种经济活动的最优分配方案及最大利润,而它相应地对应对偶问题为:这时问题(2)的最优解为各种资源的影子价格,说明该资源变动时对最大利润产生的影响。另外对偶是相对的,(1)(2)反向描述也可以。由(1)(2)有下列结论。结论2:如果(1)(2)都有可行解,则必都有最优解,且目标函数的最优值相等。反之,如果其中之一不存在最优解(或可行解),则另一个不存在可行解(或最优解)。结论3:x*,y*分别是(1)(2)的可行解,则有cx*≤y*b,且等号成立时为各自的最优解。结论4:如果(1)存在最优解,则其在最终单纯表中,松弛变量对应检验数的相反数为(2)中变量的最优解。相反也有此结论。此结论也称为对偶单纯形法。例如用单纯形法迭代(可用电脑中专门软件进行计算)得到(3)的最终单纯形表,如表2所示。

2实例分析

某化工厂可生产三种产品A1、A2、A3,需原料B1、B2是有限的,分别是7吨和11吨,按测算,每生产1吨A1、A2、A3需要这两种原料分别是2吨和1吨、1吨和3吨、2吨和2吨,每吨A1、A2、A3分别能创造利润分别是2、3、1万元。问如何安排生产才能使总获利最多?解决此类问题,须先建立数学模型,可设A1、A2、A3的产量分别是x1、x2、x3,总利润为f,则maxf=2x1+3x2+x3s.t.2x1+x2+2x3≤7x1+3x2+2x3≤11x1,x2,x3≥烅烄烆0(5)列单纯形表并计算得到该模型的最终单纯表,如表3所示。分析方法1:用对偶单纯形法进行静态分析。表3说明安排生产A12吨,A23吨,不生产A3,使该厂可获得最大利润数为13万元。分析方法2:用影子价格进行动态分析。由于松弛变量的检验数为-35、-45,则(5)对偶问题的最优解为y1=35,y2=45,g=13,说明这两种原料的影子价格为35,45。这时如果市场上这两种原料的单价分别小于35和45,则适当购进这两种原料可增加工厂的总利润。相反,如果市场价格高出它们的影子价格,则没有必要安排生产而把原料卖出可获得更大的收益。对于这两种原料的数量范围,我们可以用灵敏度分析确定,以B1为例,我们可假设其限量为b1+7,则当0≤b1≤15时,可得x1=2+35b1,x2=3-15b1,f=13+b1,为最优解,同样我们也可对其他参数进行灵敏度分析。分析方法3:降低原料用量能创造的效益测算。企业通过加强内部管理、减少浪费,可能在不影响产量的条件下,如降低1吨的原料B1,可节约35万元(影子价格)。同样方法可测算B2。

3结束语

随着经济全球化、信息化的不断推进。世界的各种变化都会使市场价格波动。全面考虑影响企业生产的各种因素,用科学方法进行预测,及时调整、科学决策,可使企业决策更加合理。另外,由于计算工具、互联网的飞速发展,信息和数据快捷可靠,用计算机处理以前人工无法完成的几百个以上变量的对偶问题也较为简便。应用对偶问题原理的不足之处是多数线性规划问题较难找到使得其所有检验数都小于零的初始解。