最小的合数十篇

最小的合数篇1

合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数但不包括0整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。最小的合数的倒数是四分之一。

倒数，是指数学上设一个数x与其相乘的积为1的数，记为x分至一，过程为“乘法逆”，除了0以外的数都存在倒数， 分子和分母相倒并且两个乘积是1的数互为倒数，0没有倒数。

（来源：文章屋网 ）

最小的合数篇2

关键词：曲线拟合；最小二乘法；matlab；仿真

根据有限的离散测量点进行曲线拟合是工程实践中经常遇到的问题。曲线拟合是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组函数关系的一种数据处理方法。传统的曲线拟合方法是用解析表达式逼近离散数据。目前，常用的曲线拟合方法有最小二乘法、遗传算法、契比雪夫法及插值法等，这使传统的方法得到了发展和改进：文献[1]对多周期正弦曲线拟合以及正弦曲线的外推存在的问题进行了探讨，指出正弦曲线的最小二乘多项式拟合方法的局限性，提出了一种基于傅利叶变换的频率已知正弦曲线拟合方法。文献[2]根据最小二乘原理，将样条小波函数应用于曲线拟合中，提出了一种新型的信号处理方法―样条小波最小二乘法（SWLS）；文献[3]在利用BP神经网络进行曲线拟合时，提出了一种新的快速构建BP神经网络结构的方法，同时针对在曲线拟合过程中经常出现的一些问题提出了解决方案。

本文介绍曲线拟合法的基本原理，针对样本点的各种分布情况，采用最小二乘法的方法，选取不同的函数曲线进行拟合。

1.曲线拟合的最小二乘法

曲线拟合问题是指：通过观察和测量得到一组离散数据序列（xi，yi），i=1，2，3・・・m，当所得到数据是比较准确时，那么，构造拟合函数ψ（x）逼近客观存在的函数y，使得ψ（x）和y的误差或距离最小。

常用曲线拟合标准有以下三种：

①各点误差绝对值（1范数）的和最小，即：

R1=min∑mi=1ψ（xi）-yi

②各点误差模的最大值（∞范数）最小，即：

R∞=min（max1≤i≤mψ（xi）-yi）

③各点误差的平方和最小，即：

R=min∑mi=1[ψ（xi）-yi]2

数据拟合的最小二乘法问题是：根据给定的数据组（xi，yi），i=1，2，3・・・m，选取近似函数形式，即给定函数类H，求函数ψ（x）∈H，使得

∑ni=1[ψ（xi）-yi]2=minφ∈H∑mi=1[φ（xi）-yi]2

这种求近似函数的方法称为数据拟合的最小二乘法，函数ψ（x）称为这组数据的最小二乘函数[4]。

2.曲线拟合

2.1线性拟合

对给定的数据组（xi，yi），i=1，2，3・・・m，求一条直线：p（x）=a+bx，按最小二乘法的求作方法，拟合直线与定标曲线相应点输出量偏差的平方和为最小。有多元函数的极值原理，minQ（a，b）的极小值要满足：

Q（a，b）a=2∑mi=1（a+bxi-yi）・1=0Q（a，b）b=2∑mi=1（a+bxi-yi）・xi=0

整理得到满足最小均方差的正则方程，用消元法或者克莱姆方法解出方程，得方程（1）：

a=1D（∑mi=1yi∑mi=1x2i-∑mi=1xi∑mi=1xiyi）b=1D（m∑mi=1xiyi-∑mi=1xi∑mi=1yi）

其中，D=m∑mi=1x2i-（∑mi=1xi）2。

2.2多项式拟合[4]

对给定的数据组（xi，yi），i=1，2，3・・・m，求一个n的多项式（n

ma0 + a1 ∑mi = 1xi + ・・・ + an ∑mi = 1xni = ∑mi = 1yi a0 ∑mi = 1xi + a1 ∑mi = 1x2i ・・・ + an ∑mi = 1xn + 1i = ∑mi = 1yi xi ・・・a0 ∑mi = 1xni + a1 ∑mi = 1xn + 1i ・・・ + an ∑mi = 1x2ni = ∑mi = 1yi xni

由函数组1，x，x2，・・・xm的线性无关性可证明，方程组存在唯一的解，且解所对应的多项式必定是已给数据组的最小二乘法n次拟合多项式。

2.3指数拟合

如果数据组（xi，yi），i=1，2，3・・・m的分布近似指数曲线，则拟合时可用指数函数y=a・ebx。先将曲线方程线性化，两边取对数得：lny=lnb+ax（1），分别命Y=lny，A=lnb，则方程（1）可写成Y=A+ax，再用最小二乘法按直线拟合的原理求出A，进而b=eA可求。

3.matlab仿真

采用Basic，C等编程语言来实现曲线拟合，需要编写非常复杂的算法程序，而Matlab 语言是集数值计算、符号运算和图形处理等强大功能于一体的科学计算语言，适用于工程应用各领域的分析、设计和复杂计算。在此方面，Mat lab 具有一般高级语言无法比拟的优势。

在经济统计中的某商品销售量预测或者人口统计中的短期人口测算等等，都可以用指数函数来拟合，如表1为某疾病发病率与年龄段的关系。

表1某疾病发病率与年龄段的关系

x12345678y0.8982.383.071.842.021.942.222.77x9101112131415y4.024.675.466.5310.916.522.5

根据表1数据，建立以x为横坐标， y为纵坐标的坐标系，用Matlab软件把各x、y的值作为坐标点，画出这些点。在根据指数曲线拟合原理，可以求出A=-0.0910，a=0.1824，则作出函数图象如图1所示。

图1指数拟合仿真结果图

4.结束语

在通常的数据处理中，不论是线性拟合，还是多项式拟合，至相当一部分经变换可转变为线性拟合的非线性拟合，都可采用最小二乘法的原理来进行曲线拟合，并且基于最小二乘曲线拟合及Matlab实现方法简明、适用，可应用于类似的测量数据处理和实验研究。（作者单位：中国农业银行青海分行西宁支行）

参考文献：

[1]齐国清，吕健.正弦曲线拟合若干问题探讨[J].计算机工程与设计，2008，29（14）：3677-3680.

最小的合数篇3

关键词：矢量数据融合；模糊集；小多边形处理；林地年度变更

中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1674-9944（2016）06-0181-03

1 引言

在林地年度变更工作中，由于2012年二类调查矢量数据和2009林地保护利用规划矢量数据在时效性、空间位置、属性数据等方面均存在较大差异，需将二者融合形成林地年度变更本底数据库以减少外业现地的核实工作量。

随着二者的叠加分析后需消除小多边形。目前常见的GIS软件中普遍使用的处理方法是按相邻最长边界线合并到临近多边形中去，或按照相邻最大面积合并到临近小班中，然而这些方法都是针对由几何位置的不确定性引起的小多边形而提出，没有考虑属性数据的差异，具有一定的随机性。

笔者在此引入了基于模糊集的小多边形处理方法，综合考虑矢量数据几何位置融合和属性数据融合。

2 实验数据

本次研究采用巴宜区（原林芝县）2012年二类调查矢量数据和2009林地保护利用规划矢量数据作为研究数据。

其中2012年二类调查矢量数据更新至2012年年底，采用高斯克吕格投影，西安80坐标系，信息量大，调查大部分为实地调查，数据可靠。

2009年林地保护利用规划矢量数据更新至2009年年底，是在2002年二类调查的基础上补充区划加实地验证而得，采用高斯克吕格投影，西安80坐标系，该数据的属性数据更加符合林地年度变更要求。

两种数据坐标系一致，不存在空间基准的融合。

3 研究原理

3.1 矢量边界适宜性判别

假设矢量数据有x种属性，对于每个矢量面，其属性值则可能与这x个属性值有关。取各属性值与矢量面相吻合的程度为其隶属度，表达式为：（1）

其中rik表示第k种属性与第i个面要素属性符合的程度；i表示第i个矢量面；j表示矢量面的第j个特征；Ikj为第k种属性类型的第j个特征准则值；ωj则为第j个属性特征的权重。

如果矢量数据是通过n种矢量数据叠置所得，那么叠置后的矢量面属性与n种类型的属性有关，由式（1）可得

由于n=2，从而得到叠置图上地理边界适宜性判决函数为：

其中rij表示两相邻矢量面属性模糊集对应元素的差值。架设各叠置层上各属性值的权重系数相同，令各叠置层的权为ω1，ω2，……，ωn，其中，λ’为参数，应该适当选取，使得0≤μ≤1；则有：

3.2 属性不确定性的度量

将小多边形进行合并时，必然引起属性数据的变化，即小多边形合并之后模糊属性值调整为面域模糊属性值时，与原模糊属性值的差异。使小多边形在合并前后属性值变化最小的是最理想状态。分析（3）式和（4）式可知，此时“取最小值。因此，进行小多边形合并的时候，应选其边界中μ值最小的边界作为消除边界，从而达到小多边形在合并前后属性值变化最小的目的。

3.3 小多边形的处理

图1为2012年二类调查矢量数据和2009林地保护利用规划矢量数据叠加分析后产生了小多边形C，其中A、B、D、E为其相邻的多边形，关键问题为C与哪个多边形合并最合理。对于C的四条边界ab、bc、cd、ad选其边界中适宜性最小的作为消除边界，与邻边边界合并。

由于二调数据与林地保护规划利用规划矢量属性数据较多，如果对每种属性都定义其与矢量面的隶属度工作量巨大，而且实际意义不大。为了简化计算，结合叠置后矢量面的实际情况，以及两种矢量数据的特征，作如下处理。

从两种不同矢量数据中选取有代表性的属性宇段。选取相关属性字段为林地保护林用规划数据的“地类”、“面积”、“林地保护等级”；二类调查数据的“地类1”，“图形面积”、“小班蓄积”。选取“地类”是因为它们是区划小班的主要属性，选取“面积”和“蓄积”是为了跟踪小多边形（进行相交后，被切碎的细小多边形保留了原始数据的字段和属性）。

对于每条边界对应的两个不同矢量面的属性模糊集，定义模糊集相对应元素的差值。若边界对应两矢量面属性一致，则认为rij=0，若边界对应两矢量面属性不一致，则认为rij=1；涉及到行政界线，不可合并，认为ij=1。以边界ab为例，矢量面A和C对应的属性如表1。

由式（7），可知：

μ=1/4（r11+r12+r13+r21+r22+r23）=1/4（0+1+1+O+0+0+0）=0.5。

同样的方法计算bc、cd、ac的边界适适宜性判别值为0.25，0.75，1。其中边界bc适宜性判别值最小，所以应该消除边界bc，将矢量面B和C进行合并，并取B的属性为合并后多边形的属性。

4 批量处理方法

实际操作中，如果对每个多边形进行不同边界的适宜性判别，工作量巨大，可行性不高。下面结合实际，介绍一种批量处理的方法，对关键步骤作如下解释。

4.1 转换为coverage格式

Coverage是ArcInfo workstation的原生数据格式。它将空间信息、属性信息分别存放在两个文件夹。COV-erage可以存储拓扑要素类，支持高级要素类对象：比如多点和多线等。通过小多边形由“shapefile”格式转换成为“coverage”将相邻面的属性赋到公共边界上提供了条件。

4.2 去伪节点

由面转成线后，在很多线与线交叉的地方存在伪节点，使得原来一条边界变成了两条，在国产软件geo-way3.6中可以批量处理该类伪节点。

4.3 计算value值

Value值即为前文提及的边界适宜性判别值。

具体操作流程详见图2。

5 结果与分析

处理完小多边形后重新计算面积，分地类统计面积变化，同时按照传统方法“最大边长合并”与“最大面积合并”2种方法进行小多边形的自动处理，分地类统计不同方法的两种矢量数据面积的变化，以各树种与原始数据的差平方和为方差，反映处理前后，数据的波动。为突出处理前后，以及不同方法的效果，面积统一采用“公顷”，保留两位小数。

从表2和表3可以看出，无论是二类调查数据，还是林地保护利用规划数据，用基于模糊集的方法进行合并，方差都远远小于最大面积合并和最大边长合并的方差。从表中可以看出，“基于模糊集的方法”优于“最大边长合并”，效果最差的是“最大面积合并”的方法。

6 结语

最小的合数篇4

【关键词】三角复合函数；分解函数法；中学教学

三角函数形成的复合函数的最值的探究是历年高考命题的一个热点，笔者认为：若y是x的复合函数求最值，首先可引入中间变量，写出组成复合函数的基本函数，即把复合函数分解为几个基本函数；其次由x的取值范围求出中间变量的取值范围，由中间变量的取值范围求出y的取值范围；最后根据y的取值范围直接写出原函数最值.这种求其复合函数最值的方法简单易行，笔者把它命名为分解函数法.

例1（2014・天津）已知函数f（x）=cosx・sinx+π3-3cos2x+34，x∈R.

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）在闭区间-π4，π4上的最大值和最小值.

解f（x）=cosx・sinx+π3-3cos2x+34=cosx・12sinx+32cosx-3cos2x+34

=12sinxcosx-32cos2x+34=14sin2x-34cos2x=12sin2x-π3.

（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=2π2=π.

（Ⅱ）设y=12u，u=sinv，v=2x-π3，

因为-π4≤x≤π4，所以-5π6≤v≤π6，从而-1≤u≤12，于是-12≤y≤14，

因此，f（x）在闭区间-π4，π4上的最大值为14，最小值为-12.

点评在（Ⅱ）中，求三角函数形成的复合函数f（x）的最值时，引入了中间变量u，v

把复合函数最值问题转化为三个基本函数的值域问题加以解决.这种方法充分体现了数学的简洁美、奇异美及转化思想，具有很强的操作性.

例2（2014・江西）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈-π2，π2.

（Ⅰ）当a=2，θ=π4时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；

（Ⅱ）若fπ2=0，f（π）=1，求a，θ的值.

解（Ⅰ）当a=2，θ=π4时，

f（x）=sinx+π4+2cosx+π2=22（sinx+cosx）-2sinx=22cosx-22sinx=sinπ4-x

设y=sinu，u=π4-x，

因为0≤x≤π，所以-3π4≤u≤π4，于是-1≤y≤22，

因此，f（x）在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为-1.

（Ⅱ）由θ∈-π2，π2，得cosθ≠0，

由fπ2=0，得cosθ（1-2asinθ）=0，1-2asinθ=0，即sinθ=12a，①

由f（π）=1，得2asin2θ-sinθ-a=1，②

联立①②，结合a∈R，θ∈-π2，π2，解得a=-1，θ=-π6.

点评该例（Ⅰ）中，函数f（x）实际上是三；角函数形成的复合函数，求其最值时，采

最小的合数篇5

一、在小组合作学习的讨论中培养探究能力。

孔子说过“ 独学而无友，则孤陋而寡闻”，阐述了合作学习的重要性。 合作性学习，是指学生在学习群体中为了完成共同的任务，有明确的责任分工的互学习。当今社会越来越需要加强合作，人与人的合作、人与自然的合作、群体与群体的合作。新时代的教育教学，就要培养符合社会发展的创新型人才，为此，从小培养他们的合作意识与团队意识。如果长期处于个体竞争的学习状态之中，学生很可能变得冷漠、自私、狭隘和孤僻。合作性学习就将个人之间的竞争转化为小组之间的竞争，既有助于培养学生的合作精神，团队意识和集体观念，又有助于培养学生的竞争意识与竞争能力。合作性学习还有助于因材施教，可以弥补一个教师难以面向具有不同差异的众多学生的不足，从而真正实现使每个学生都得到发展的目标。

例如：我在教学最小公倍数时，先让学生把准备题“求下面每组数的最小公倍数3和9，7和9，84和21，12和5，仔细观察每组数有什么特点？通过求这四组数的最小公倍数，你发现了什么？让学生讨论上面的两个问题，通过学生之间互相交流、讨论并形成共识，最后再进行小组汇报。学生们归纳出：3和9、84和21、这两组数他们之间是倍数关系，那么较大的数就是较小的数的最小公倍数。如果两个数是互质数，它们的最最小公倍数就是这两个数的乘积。如：12和5的最小公倍数就是60。这时教师肯定学生的结论，鼓励它们再度合作，总结求最小公倍数的两个好方法。从头一个学生谈起到最后一个学生的实践验证，人人互相谈论各自在实践中的结论，不仅使学生合作氛围增强，还在学习数学的同时得感受到同学们的合力，从而产生了学习的自信心和自豪感，在课堂中不愿讲话的同学也变得开朗起来，在组与组的讨论中不仅培养了学生的合作精神，也培养了他们的团队意识。课堂教学氛围进一步活跃起来，教学效率成倍提高。

二、注重科学认真地安排探究活动过程，提升探究性学习效率。

1、创设情景，呈现问题。这是进行合作学习的第一步，教师首先应该创设情境，来激发学生参与学习的兴趣，兴趣是最好的老师，这样才能自我产生动力。然后，组织学生讨论，来一起呈现这个问题。

2、合作探究，解决问题

根据所呈现的问题，确定小组合作学习的形式。通过“读书找疑——互相质疑——合作解疑”在组内开展合作学习。组长要做好协调工作，然后梳理出一些有意义的问题，进行重点讨论，达成共识，如有不能解决的问题则由记录员整理，由报告员在全班交流。

组内讨论交流，教师协调。在组内合作的基础上，将讨论的问题总结后，并向全班交流，组与组之间再进行交流，而教师在这个过程中，则要作好协调工作，不能忽视自己的主导作用，要做到收放结合，积极评价，解答疑难，鼓励创新。

客观评价、科学总结这个评价可以是老师给的，也可以是小组中给的，但由于班级人数较多，对每一个学生进行评价总是不太现实，所以，可以运用小组成员自评或相互评价，这有利于保护他们的积极性。

5、表扬是最好的奖励，对学生来说表扬是最好的精神奖励，要善于发现每一个学生的进步，哪怕是一下步都要及时表扬。对于表现的突出的学生也可以实施一定的物质奖励，比如一个笔记本，一支钢笔，不在于多少，而在于有无。

二、引导学生牢固树立“知识来源于探究”的观念。

最小的合数篇6

关键词：气动参数辨识；残差平方和最小；遗传算法

引言

许多学者在气动参数辨识的方法上进行了深入的研究，获得的许多成果已广泛应用于工程实际中，其中基于灵敏度的极大似然法和广义Kalman滤波法应用最广泛。但在工程实际应用中，这两种方法在求解辨识参数时都存在矩阵求逆的过程，经常存在因为矩阵求逆而引起的不稳定问题，参数辨识结果很容易发散。本文针对基于灵敏度的极大似然法和广义Kalman滤波法存在的不足，在残差平方和最小准则下提出最小二乘法与遗传算法结合的算法进行气动参数辨识。下面给出辨识实现的步骤，采用最小二乘算法确定气动参数初值、遗传算法调整气动参数，最后，运用纵向运动的三自由度仿真证明了该方法的有效性和可行性。

1. 在残差平方和最小准则下最小二乘算法与遗传算法相结合的气动力参数辨识方法

导弹气动力参数辨识过程是根据辨识准则和试验数据求取模型中的待定参数的过程，因此一般气动参数辨识的过程主要分成七个步骤：

步骤一：弹道重构数据输入；

步骤二：确定气动参数初值；

步骤三：计算弹道数据；

步骤四：计算目标函数；

步骤五：判断目标函数是否最小，是转到步骤七，否转到步骤六；

步骤六：调整气动参数，回到步骤三；

步骤七：输出气动参数辨识结果。

上述的气动参数辨识过程中步骤一、三、五对不同的辨识算法而言是基本一致的，就如前面所说辨识算法的不同主要体现在步骤二、四、六上，辨识算法的辨识结果的有效性和收敛性主要取决于这三个步骤。本文针对广义Kalman滤波算法和极大似然法的缺陷，提出了在残差平方和最小准则下应用最小二乘法与遗传算法结合的算法进行气动参数辨识，这个算法主要特点在于：步骤二：气动参数初值的确定采用最小二乘算法；步骤四：目标函数的选取采用残差平方和最小准则；步骤六：气动参数的调整采用遗传算法。

2. 最小二乘法确定气动参数初值

在气动参数寻优的过程中需要各待估参数的取值范围，所以在辨识之前需要事先估计参数的初值，根据经验按照初值给定范围。

其中

（2）

解上面方程组，即可得出回归系数。

3. 残差平方和最小准则选取目标函数

为了避免矩阵求逆的问题，本文选择残差平方和最小作为目标函数：

（3）

4. 遗传算法调整气动参数

遗传算法直接以目标函数作为搜索信息。遗传算法仅使用由目标函数值变换来的适应度函数值，就可以确定进一步的搜索方向和搜索范围。

下面是遗传算法调整气动参数的流程图（如图1所示），及遗传算法调整气动参数的具体过程：

5. 纵向运动的三自由度仿真

为了验证在残差平方和最小准则下最小二乘算法与遗传算法相结合的算法在导弹气动参数辨识中的有效行和可行性，本文给定了导弹的一组理论气动参数，在给定理论气动参数的基础上进行导弹三自由度的仿真计算导弹的理论航迹，以导弹的理论航迹作为辨识算法的输入，辨识导弹的气动参数。

选取气动模型状态方程组：

由上面的辨识结果表1可知，气动参数的辨识值与真值之间的相对误差最大为1.9%。该算法的目标函数逐渐趋近于零，即观测量与其在积分程序中的计算值的残差的平方和趋近于零。由图4、图5可知，vx、vy的拟合效果非常好，几乎重合。说明，在残差平方和最小准则下，应用该算法进行气动力参数辨识是有效的。

最小的合数篇7

【关键词】同循合数；全1数

什么是同循合数？以不含因数2，5的合数为分母的真分数化为循环小数为纯循环小数.不含因数2，5的合数可分为：

(1)同因合数：如3r(r大于1)，（设j为循环节位数5个字，n为循环节数字，即j=n，以下同）1[]3r，j=3r-2.设P为除2,3,5以外的所有质数，再设1[]p,j=npr（r大于1)为同因合数，1[]pr，j=pr-1×n.

（2)纯异因合数：如3×11×37×7×13=111111.73×137=10001.

(3)混异因合数：如3×3×37×333667=111111111.7×7×11×11=5929.

11×11×23×4093×8779=100000000001.

将混异因合数中的同因合数视为一个因数，纯异因合数与混异因合数又通称异因合数.以异因合数为分母的真分数化为循环小数，循环节的位数是其中各因数循环节位数的最小公倍数.如：3×11×37×7×13=111111，1[]3=0.3・,j=1.1[]11=0.0・9・，j=2.1[]37=0.0・27・，j=3.1[]7=0.1・42857・，j=6.1[]13=0.0・76923・，j=6.1,2,3,6,6的最小公倍数是6.1[]111111=0.0・00009・,j=6.再如：7×7×11×11=1[]72×1[]112=5929，1[]72，j=72-1×6=42.

1[]112，j=112-1×2=22.42和22的最小公倍数是42×11=462，1[]5929，j=462.

在纯异因合数中，有这样一种合数，除因数1外，其他所有因数、质因数分别为分母的真分数化为循环小数，循环节的位数都完全相等，具有这一特点的合数简称同循合数.如11111=41×271,1[]11111=0.0・0009・,1[]41=0.0・2439・,1[]271=0.0・0369・.11111是同循合数.

同循合数还可以作如下理解：即每一个自然数都有质数为分母的真分数化为循环小数，循环节位数与之对应，有唯一一个的，也有两个或两个以上的，凡两个以上与某个自然数对应的所有质数的积就是同循合数.

1[]3 j=1，1[]11 j=2，1[]37 j=3，1[]101 j=4，1[]333667 j=9，1[]9091 j=10，1[]9901 j=12，1[]909091 j=14.以上对应例子质数为分母都是唯一的，如再有第二个，它一定是合数.

11111=41×271，1[]41 j=5，1[]271 j=5,91=7×13，1[]7，j=6,1[]13,j=6.

1111111111111=53×79×265371653，1[]53 j=13，1[]79 j=13，1[]265371653 j=13.

826446281=23×4093×8779，1[]23 j=22，1[]4093 j=22，1[]8779 j=22.

10000000000000001=353×449×641×1409×69857，1[]353 j=32,1[]449 j=32，1[]641 j=32，1[]1409 j=32，1[]69857 j=32，以上对应例子质数为分母都是两个或两个以上，11111，91，1111111111111，826446281，10000000000000001等都是同循合数，对应质数在三个以上的部分质数的积，可称为部分同循合数以示区别.

同循合数寓于n位全1数中，（为叙述方便特称大于1位各位都是数码1的数为n位全1数.为书写方便特引入记号《n》表示n位全1数，如：《21》表示21位全1数）《n》不含因数2，5，以《n》为分母的真分数化为循环小数，为纯循环小数，且循环节的位数等于n位.下面来推导它：

1[]7=0.1・42857・.

1[]7×142857=1[]999999=0.0・00001・.

1[]111111=0.0・00009・，j=6.

以合数为分母的真分数化为循环小数，其循环节位数是其中各因数循环节位数的最小公倍数，所以在《n》中，必有至少一个甚至多个质数以它们为分母的真分数化为循环小数，j=n.这也可以从另一个角度证明质数有无穷多.

全1数可分为质数位全1数与合数位全1数，质数位全1数自身如不是质数，除《3》外，它便是同循合数；合数位全1数，约去其中小于n位的全1数因数（约去其中循环节小于n位的因数）后，如果不是质数便也是同循合数.在约分时要注意既不能重约也不能少约.如《42》有全1数因数《21》、《2》、《3》、《14》、《6》、《7》，若先约去《21》，同时也就约去了《7》和《3》，如再约《14》时，必须先从《14》中约去《7》；《14》÷《7》=10000001；10000001=11×909091，最后再约《6》时必须从111111÷111÷11=91，如此可以避免重约，但还要注意少约，因为《42》是混异因合数，其中有因数72，1[]72，j=72-1×6=42,约去了91，91=7×13，只约去了一个7，还要再约去一个7，这一点要特别注意.全1数中有混异因合数，如：《9r》、《22r》、《42r》、《78r》……

《42》÷《21》÷1000001÷91÷7=156985855573.

156985855573=127×2689×459691.

1[]127 j=42，1[]2689 j=42，1[]459691 j=42.

从n位全1数中得到的同循合数，循环节的位数是已知数，这样同循合数中的因数除1外，其他因数质因数都可以表示成1+nr(n是循环节位数，r为自然数).质数除2,3外又都可以表示成6r+1或6r-1(1+6r或5+6r)，因此同循合数中的6r+1数，就可以表示成1+gr(g为n和6的最小公倍数)，同循合数中的6r-1数就可以表示成m+gr(m为m÷n……1,

m÷6……5中最小的数）.m可根据下列公式来求：若n=6r+1，m=4n+1.n=6r+2，m=2n+1.n=6r+4，m=n+1.n=6r+5,m=2n+1.n=3r,凡n=3r因数都是1+6r数.这样求出的m和g是最基本的，根据需要，只要不超过质数本身(m+gr)+gx，(1+gr)+gy都不会影响因数的数值,g实际是同循合数与它的两个因数之间共同因数的最小公倍数，如能判断出三者还另有共同因数，则g就可以扩大.如《11》是6r-1数，n=11，m=23，g=66.(23+66x)(1+66y)=《11》.如判断出两个因数的尾数是9,那么(23+66)=89，(1+66×3)=199.这样g又可以扩大5倍，66×5=330,（89+330x）（199+330y）=《11》.下面来征明质数除2,3外都可表示成6r+1或6r-1.将自然数依下表排列：

【1】[]【2】[]【3】[]【4】[]【5】[]【6】

1，2，3，4，5[]6[]7[]8[]9[]10

11[]12[]13[]14[]15[]16

[BH]17[]18[]19[]20[]21[]22

……[]……[]……[]……[]……[]……

（6r-1）[]6r[](6r+1)[](6r+2)[](6r+3)[](6r+4)

(6r-1)[]6r[](6r+1)[]2(3r+1)[]3(2r+1)[]2(3r+2)

最小的合数篇8

观察物体（三）

1、根据形状摆几何体

根据从有个方向看到的形状，可以摆出不同的几何组合体。

2、确定立体图形

根据从三个不同的方向看到的形状还原立体图形。

难点：

（1）这里所说的正面、左面和上面，都是相对于观察者而言的。

（2）站在任意一个位置，最多只能看到长方体的3个面。

（3）从不同的位置观察物体，看到的形状可能是不同的。

（4）从一个或两个方向看到的图形是不能确定立体图形的形状的。

（5）同一角度观察不同的立体图形，得到的平面图形可能是相同，也可能是不同的。

（6）如果从物体的右面观察，看到的不一定和从左面看到的完全相同。

（7）不同角度观察一个物体

，

看到的面都是两个或三个相邻的面。

（8）不可能一次看到长方体或正方体相对的面。

第二单元

因数和倍数

1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。

整数与自然数的关系：整数包括自然数。

2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。

例：12是6的倍数，6是12的因数。

（1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。

（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数的因数的求法：成对地按顺序找。

（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。

一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。

（4）2、3、5的倍数特征

1）

个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。

2）一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

3）个位上是0或5的数，是5的倍数。

4）能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的两位数是90，最小的三位数是120。

同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。

5）如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。

3、完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。

如：6的因数有：1、2、3（6除外），刚好1+2+3=6，所以6是完全数，小的完全数有6、28等

4：自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。

奇数：不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。

偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。

最小的奇数是1，最小的偶数是0.

关系：

奇数+、- 偶数=奇数

奇数+、- 奇数=偶数

偶数+、-偶数=偶数。

5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.

质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。

合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。

1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。

最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。

每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。

20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）

100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

100以内找质数、合数的技巧：

看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。

关系：奇数×奇数=奇数

质数×质数=合数

6、最大、最小

A的最小因数是：1；

A的最大因数是：A；

A的最小倍数是：A；

最小的自然数是：0；

最小的奇数是：1；

最小的偶数是：0；

最小的质数是：2；

最小的合数是：4；

7、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。

用短除法分解质因数

（一个合数写成几个质数相乘的形式）。

比如：30分解质因数是：（30=2×3×5）

8、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。

两个质数的互质数：5和7

两个合数的互质数：8和9

一质一合的互质数：7和8

两数互质的特殊情况：

⑴1和任何自然数互质；

⑵相邻两个自然数互质；

⑶两个质数一定互质；

⑷2和所有奇数互质；

⑸质数与比它小的合数互质；

9、公因数、最大公因数

几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。

用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有的除数连乘起来）

几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。

如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。

如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。

10、公倍数、最小公倍数

几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。

用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）

用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）

如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。

如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。

11、求最大公因数和最小公倍数方法

用12和16来举例

1、求法一：（列举求同法）

最大公因数的求法：

12的因数有：1、12、2、6、3、4

16的因数有：1、16、2、8、4

最大公因数是4

最小公倍数的求法：

12的倍数有：12、24、36、48、…

16的倍数有：16、32、48、…

最小公倍数是48

2、求法二：（分解质因数法）

12=2×2×3

16=2×2×2×2

最大公因数是：

2×2=4（相同乘）

最小公倍数是：

2×2×3×2×2=

48（相同乘×不同乘）

第三单元

长方体和正方体

1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。

长方体特点：

（1）有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。

（2）一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。

2、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。

正方体特点：

（1）正方体有12条棱，它们的长度都相等。

（2）正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。

（3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。

相

同

点

不同点

面

棱

长方体

都有6个面，12条棱，8个顶点。

6个面都是长方形。

（有可能有两个相对的面是正方形）。

相对的棱的长度都相等

正方体

6个面都是正方形。

12条棱都相等。

3、长方体、正方体有关棱长计算公式：

长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4

L=（a＋b＋h）×4

长=棱长总和÷4－宽

－高

a=L÷4－b－h

宽=棱长总和÷4－长

－高

b=L÷4－a－h

高=棱长总和÷4－长

－宽

h=L÷4－a－b

正方体的棱长总和=棱长×12

L=a×12

正方体的棱长=棱长总和÷12

a=L÷12

4、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。

长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2

S=2（ab＋ah＋bh）

无底（或无盖）

长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2

S=2（ab＋ah＋bh）－ab

S=2（ah＋bh）＋ab

无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2

S=2（ah＋bh）

贴墙纸

正方体的表面积=棱长×棱长×6

S=a×a×6 用字母表示：S=

6a2

生活实际：

油箱、罐头盒等都是6个面

游泳池、鱼缸等都只有5个面

水管、烟囱等都只有4个面。

注意1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加）

注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。

（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。

5、物体所占空间的大小叫做物体的体积。

长方体的体积=长×宽×高

V=abh

长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h

宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h

高=体积÷长÷宽 h=

V÷a÷b

正方体的体积=棱长×棱长×棱长

V=a×a×a = a3

读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a）

长方体或正方体底面的面积叫做底面积。

长方体（或正方体）的体积=底面积×高

用字母表示：V=S

h（横截面积相当于底面积，长相当于高）。

注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。

6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。

固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等。

常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。

1升=1立方分米

1毫升=1立方厘米

1升=1000毫升

(1L =

1dm3 1ml

=

1cm3)

长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。

但要从容器里面量长、宽、高。（所以，对于同一个物体，体积大于容积。）

注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。

（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。

*形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。

排水法的公式：

V物体

=V现在－V原来

也可以

V物体

=S×(h现在-

h原来)

V物体

=S×h升高

8、【体积单位换算】

大单位×进率=小单位

小单位÷进率=大单位

进率：1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米（立方相邻单位进率1000）

1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升

1立方厘米＝1毫升

1平方米=100平方分米=10000平方厘米

1平方千米=100公顷=1000000平方米

注意：长方体与正方体关系

把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。

重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率

大单位×进率=小单位

小单位÷进率=大单位

长度单位：

1千米 =1000 米 1 分米=10 厘米

1厘米=10毫米 1分米=100毫米

1米=10分米=100厘米=1000毫米

（相邻单位进率10）

面积单位：

1平方千米=100公顷

1平方米=100平方分米

1平方分米=100平方厘米

1公顷=10000平方米（平方相邻单位进率100）

质量单位：

1吨=1000千克

1千克=1000克

人民币：

1元=10角 1角=10分 1元=100分

第四单元

分数的意义和性质

1、分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。

2、单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。（也就是把什么平均分什么就是单位“1”。）

3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如4/5的分数单位是1/5。

4、分数与除法

A÷B=A/B（B≠0，除数不能为0，分母也不能够为0）

例如：4÷5=4/5

5、真分数和假分数、带分数

1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数

2、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数≧1

3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数＞1.

4、真分数＜1≤假分数

真分数＜1＜带分数

6、假分数与整数、带分数的互化

（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子，

如：

（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子

如：

（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，如：

（4）1等于任何分子和分母相同的分数。如：

7、分数的基本性质：

分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

8、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。

一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。反之则不可以。

9、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。

如：24/30=4/5

10、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。

如：2/5和1/4

可以化成8/20和5/20

11、分数和小数的互化

（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小数，分母是100……

如：

0.3=3/10

0.03=3/100

0.003=3/1000

（2）分数化为小数：

方法一：把分数化为分母是10、100、1000……

如：3/10=0.3

3/5=6/10=0.6

1/4=25/100=0.25

方法二：用分子÷分母

如：3/4=3÷4=0.75

（3）带分数化为小数：

先把整数后的分数化为小数，再加上整数

12、比分数的大小：

分母相同，分子大，分数就大；

分子相同，分母小，分数才大。

分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。

13、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。

1/2=0.5 1/4=0.25 3/4=0.75

1/5=0.2 2/5=0.4 3/5=0.6

4/5=0.8

1/8=0.125 3/8=0.375 5/8=0.625 7/8=0.875 1/20=0.05 1/25=0.04

14、两个数互质的特殊判断方法：

①

1和任何大于1的自然数互质。

②

2和任何奇数都是互质数。

③

相邻的两个自然数是互质数。

④

相邻的两个奇数互质。

⑤

不相同的两个质数互质。

⑥当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数。

15、求最大公因数的方法：

①

倍数关系：最大公因数就是较小数。

②

互质关系：最大公因数就是1

③

一般关系：从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。

16、分数知识图解：

第五单元

图形运动（三）

旋转

在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。

（1）旋转要明确绕点，角度和方向。

（2）旋转的性质：旋转前后图形的大小和形状没有改变，只是位置发生了变化。

第六单元

分数的加减法

1、分数数的加法和减法

（1） 同分母分数加、减法 （分母不变，分子相加减）

（2） 异分母分数加、减法

（通分后再加减）

（3）

分数加减混合运算：同整数。

（4） 结果要是最简分数

2、带分数加减法:

带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。

附：具体解释

（一）同分母分数加、减法

1、同分母分数加、减法：

同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。

2、计算的结果，能约分的要约成最简分数。

（二）异分母分数加、减法

1、分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。

2、异分母分数的加减法：

异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。

（三）分数加减混合运算

1、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。

在一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算。

2、整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。

第七单元

折线统计图

1、单式折线统计图

用一定的单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连起来，所得到的统计图就是折线统计图。

2、复式折线统计图

在同一个统计图中用两种（或多种）不同颜色（或形式）的折线来表示不同数据的变化情况的统计图就是复式折线统计图。

3、折线统计图的特点

（1）单式折线统计图：既可以反映出数量的多少，又可以反映出数量增减变化情况。

（2）复式折线统计图：不但能表示各组数据的多少和增减变化情况，而且可以比较各组相关数据的差异和变化规律。

第八单元

数学广角——找次品

找次品的最优方案

最小的合数篇9

因为有知识，我们上了太空，我们延长了人均寿命。更因为有知识，我们超出生死，不再疑惑。下面小编给大家分享一些数学六年级知识点，希望能够帮助大家，欢迎阅读!

数学六年级知识点1第一部分【常用的数量关系】

1、每份数×份数=总数;

总数÷每份数=份数 ;

总数÷份数=每份数

2、速度×时间=路程

; 路程÷速度=时间 ;

路程÷时间=速度

3、单价×数量=总价;

总价÷单价=数量 ;

总价÷数量=单价

4、工作效率×工作时间=工作总量;

工作总量÷工作效率=工作时间;

工作总量÷工作时间=工作效率;

5、加数+加数=和;

和-一个加数=另一个加数

6、被减数-减数=差;

被减数-差=减数;

差+减数=被减数

7、因数×因数=积;

积÷一个因数=另一个因数

8、被除数÷除数=商

;

被除数÷商=除数;

商×除数=被除数

数学六年级知识点2第二部分【小学数学图形计算公式】

1、正方形(C:周长，

S：面积， a:边长)

周长=边长×4; C=4a

面积=边长×边长; S=a×a

2、正方体(V：体积，

a：棱长)

表面积=棱长×棱长×6; S表=a×a×6

体积=棱长×棱长×棱长; V= a×a×a

3、长方形(C:周长，

S：面积， a:边长， b：宽 )

周长=(长+宽)×2; C=2(a+b)

面积=长×宽 ; S=a×b

4、长方体

(V：体积， S：面积， a:长， b：宽， h:高)

(1)表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2;

S=2(ab+ah+bh)

(2)体积=长×宽×高;

V=abh

5、三角形(S：面积，

a:底， h:高)

面积=底×高÷2 ;

S=ah÷2

三角形的高=面积×2÷底

三角形的底=面积×2÷高

6、平行四边形(S：面积，

a:底， h:高)

面积=底×高;

S=ah

7、梯形(S：面积，

a:上底， b：下底， h:高)

面积=(上底+下底)×高÷2;

S=(a+b)×h÷2

8、圆形

(S：面积， C：周长，π：圆周率， d：直径， r：半径 )

(1)周长=π×直径π=2×π×半径;

C=πd=2πr

(2)面积=π×半径×半径;

S= πr?

9、圆柱体

(V：体积， S：底面积， C：底面周长， h：高， r：底面半径 )

(1)侧面积=底面周长×高=Ch=πdh=2πrh

(2)表面积=侧面积+底面积×2

(3)体积=底面积×高

10、圆锥体

(V：体积， S：底面积， h：高， r：底面半径 )

体积=底面积×高÷3

11、总数÷总份数=平均数

12、相遇问题：

相遇路程=速度和×相遇时间;

相遇时间=相遇路程速度和;

速度和=相遇路程÷相遇时间

13、利润与折扣问题：

利润=售出价-成本;

利润率=利润÷成本×100%;

利息=本金×利率×时间;

涨跌金额=本金×涨跌百分比;

税后利息=本金×利率×时间×(1-利息税)

数学六年级知识点3第三部分【常用单位换算】

(一)长度单位换算

1千米=1000米;

1米=10分米;

1分米=10厘米;

1米=100厘米;

1厘米=10毫米

(二)面积单位换算：

1平方千米=100公顷;

1公顷=10000平方米;

1平方米=100平方分米;

1平方分米=100平方厘米;

1平方厘米=100平方毫米

(三)体积(容积)单位换算：

1立方米=1000立方分米;

1立方分米=1000立方厘米;

1立方分米=1升;

1立方厘米=1毫升;

1立方米=1000升

(四)重量单位换算：

1吨=1000千克;

1千克=1000克;

1千克=1公斤

(五)人民币单位换算：

1元=10角; 1角=10分; 1元=100分

(六)时间单位换算：

1世纪=100年; 1年=12月;

【大月(31天)有：1、3、5、7、8、10、12月】;

【小月(30天)有：4、6、9、11月】

【平年：2月有28天;全年有365天】;

【闰年：2月有29天;全年有366天】

1日=24小时; 1时=60分=3600秒; 1分=60秒;

数学六年级知识点4第四部分【基 本 概 念】

第一章 数和数的运算

一、概念

(一)整 数

1.自然数、负数和整数

(1)自然数 ：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。

一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。

1是自然数的基本单位，任何一个自然数都是由若干个1组成。 0是最小的自然数，没有最大的自然数

(2)负数：在正数前面加上“-”的数叫做负数，“-”叫做负号。

正整数(1、2、3、4、……)

(3) 整数：

零 (0既不是正数，也不是负数)

负整数(-1、-2、-3、-4……)

2、零的作用

(1)表示数位。读写数时，某个单位上一个单位也没有，就用0表示。

(2)占位作用。

(3)作为界限。如“零上温度与零下温度的界限”。

3、计数单位

：一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。

每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。

4、数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

5、数的整除

：整数a除以整数b(b ≠ 0)，除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。

(1)如果数a能被数b(b ≠ 0)整除，

a就叫做b的倍数，

b就叫做a的约数(或a的因数)。

倍数和约数是相互依存的。

如：因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的因数。

(2)一个数的因数的个数是有限的，

其中最小的约数是1，最大的因数是它本身。

例如：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。

(3)一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

如：3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。

(4)个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。

(5)个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。

(6)一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，

例如：12、108、204都能被3整除。

(7)一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。

(8)能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。

(9)一个数的末两位数能被4(或25)整除，这个数就能被4(或25)整除。

例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。

(10)一个数的末三位数能被8(或125)整除，这个数就能被8(或125)整除。

例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。

(11)能被2整除的数叫做偶数。

不能被2整除的数叫做奇数。

0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。

(12)一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数(或素数)。

100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

(13)一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。

例如 4、6、8、9、12都是合数。

(14)1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。

(15)每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。

例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。

(16)把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例如：把28分解质因数

(17)几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

例如：

12的约数有1、2、3、4、6、12;

18的约数有1、2、3、6、9、18。

其中，1、2、3、6是12和1 8的公因数，6是它们的最大公因数。

(18)公因数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：

①1和任何自然数互质。

②相邻的两个自然数互质。

③两个不同的质数互质。

④当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。

⑤两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。

⑥如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。

⑦如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。

(19)几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，

如：

的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18 ……

3的倍数有3、6、9、12、15、18 ……

其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。。

①如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

②如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。

③几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

数学六年级知识点5小数

1、小数的意义

(1)把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。

(2)一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……

(3)一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。

(4)在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。

2、小数的分类

(1)纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25、0.368 都是纯小数。

(2)带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。

例如： 3.25、5.26 都是带小数。

(3)有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。

例如： 41.7、25.3、0.23 都是有限小数。

(4)无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。

例如： 4.33 …… 3.1415926 ……

(5)无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。 例如：π

(6)循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。 例如： 3.555 …… 0.0333 ……12.109109 ……

(7)一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。

例如： 3.99 ……的循环节是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循环节是“ 54 ” 。

(8)纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。

例如： 3.111 …… 0.5656 ……

(9)混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。

例如： 3.1222 …… 0.03333 ……

最小的合数篇10

对于某一站的年最高连续干旱日数(年极大值)来说，首先要假设它的分布规律，然后经过检验，才能找出其符合的分布规律。在此用K-S法进行检验，假设年最高连续干旱日数数据为x1＜x2＜…＜xn，在检验这些数据是否服从假定的分布时，数据的顺序统计量的累积分布值(平均排列法)1－i/(n+i)与理论上计算的累积分布函数F(xi)之差的最大值Dn为:Dn=1≤maxi≤n{|F(xi)－［1－i/(n+1)］|}。如果Dn小于某一临界值Dn*，那么认为假定的理论分布是合适的，这就是K-S检验。检验假定的理论分布是否合适的临界值Dn*有如下关系，即p(Dn＜Dn*)=1－α，α为显著性水平，表示假定的分布正确与否，要放弃这一假定的危险率。

2、结果与分析

2．1指数分布拟合各站连续干旱日长度

由表1可见，10个站点的R2值均在0．9左右(除拉萨站点的R2稍小点外)，非常接近1，说明观测值与计算值之间很接近，误差小，相关性好，所以这几个站的指数拟合效果均非常好。从指数分布拟合图(图1)可以看出，长春、沈阳、济南、合肥4个测站的观测曲线最贴合，拟合的效果最好，计算值与观测值的误差很小;西宁、兰州、呼和浩特、银川、石家庄、拉萨6个站拟合效果虽不如前面4个站，但仍然服从指数分布，随着连续干旱天数的增加，频数呈指数减小，且各站在10～20d以下的计算频数值稍大于观测值，在10～20d以上的计算频数值稍小于观测值。除了拉萨站点计算值与观测值有一定程度的偏差外，其余站点均有较高的精度，计算值曲线和观测值曲线两者比较接近，可见拟合效果还是比较好的，因此，可以认为指数分布能模拟连续干旱日数和日数出现次数的概率特征，即采用指数分布来分析连续干旱日数和日数出现次数的分。

2．2Gumbel分布拟合我国北方地区的极端干旱

2．2．1Gumbel分布拟合。从各站年最高连续干旱日数的Gumbel分布估计结果(图2)可以看出，总体形势是计算频数和观测频数之间很接近，计算频数曲线和观测频数曲线几乎重合，无显著差别，可见拟合效果十分完美［6］。从10个站的Gumbel分布拟合图可以看出有2种分布型，一种是曲线平缓型，即曲线坡度较小，说明频数随着最高连续干旱日数的增布特征是可行的。加缓慢增加，1956～2000年年最高连续干旱日数在1～150d内均匀分布，如西宁、兰州、呼和浩特、银川、石家庄、拉萨站的Gumbel分布拟合图;一种是曲线陡峭型，即曲线的坡度较大，刚开始一段曲线比较陡峭，到一定程度后，曲线弯折成直线，弯折后的直线与Y=45这条直线重合，说明频数刚开始随着最高连续干旱日数的增加而迅速增加，1956～2000年年最高连续干旱日数主要分布在1～150d的前一部分，如长春地区的年最高连续干旱日数主要分布在14～50d，沈阳地区的年最高连续干旱日数主要分布在13～60d，济南地区的年最高连续干旱日数主要分布在18～70d，合肥地区的年最高连续干旱日数主要分布在8～50d。2．2．2最大平均相对误差。再来看各个站点计算频数和观测频数的平均相对误差，各组的计算频数和观测频数的误差就不一一列出，这里仅分析各站最大的平均相对误差。西宁、兰州、呼和浩特、银川、石家庄、长春、沈阳、济南、拉萨、合肥的最大平均相对误差分别为0．74%、0．73%、－0．48%、－1．48%、－1．18%、－0．44%、－0．60%、－0．48%、1．52%、0．47%，可见各站误差均不超过2%，因此，可认为Gumbel分布能拟合年最高连续干旱日数的分布特征，即采用Gumbel分布来分析年最高连续干旱日数的分布特征是可行的，且采用L-矩估计参数有很高的拟合精度［5］。2．2．3Gambel分布的K-S检验。经计算，西宁、兰州、呼和浩特、银川、石家庄、长春、沈阳、济南、拉萨、合肥的Dn分别为0．07681、0．05458、0．05328、0．03454、0．07534、0．06356、0．08626、0．03315、0．05803、0．09362，设α=0．05，查K-S检验临界值表得Dn*=0．19837，可见各测站Dn＜Dn*，说明全部测站的年最大连续干旱日数遵循Gumbel分布。

2．3年最高连续干旱日数出现的重现期

在目前天气和气候变化过程中，有关极值的形成原因至今还没有一个明确的定论。因此，极端天气是很难预报的。预报失败的原因主要是因为很难掌握极值的变化规律。统计极值的根本目的在于准确地推断极值序列的重现期，即指某一极值平均约能在多长时间(如多少年)出现1次。采用具有高精度优良特性的L-矩参数估计方法，给出的10个观测站若干年一遇的最高连续干旱日数曲线(图3)显示，L-矩参数估计方法给出的估计量在很多方面均具有较好的且稳定的表现［3，5］;各站T年一遇最高连续干旱日数并不是从零开始，且在开始一段的曲线，随着T的增加，最高连续干旱日数也在增加，增加到一定程度后，最高连续干旱日数朝着一个值趋近，这个值即该测站100年内极端干旱会达到的最长连续天数。从各测站T年一遇(T=100，50，20)的最高连续干旱日数(表2)可百年一遇值达100d以上，银川和拉萨站甚至分别达162和179d，且这6个站50年一遇和20年一遇的值均达100d或近100d，连续干旱天数出奇的长;而长春、沈阳、济南、合肥4个测站的T年一遇值(T=100，50，20)也达40～75d。T年一遇的预测值对灾害预防及工农业规划有一定的现实意义和使用价值，警示应做好防旱抗旱工作。

2．4极端干旱风险分析

极端干旱风险就是极端干旱这种现象发生与否的某种不确定性。风险发生的可能性通常可以用概率进行测量。风险发生的概率在0～1之间波动。越接近1，风险发生的可能性越大，越接近0，风险发生的可能性越小。在此以最高连续干旱日数为60d作为判断极端干旱的临界日数。经分析，长春、沈阳、济南、合肥4个站极端干旱可能发生的概率较小，其概率分别为0．27%、1．40%、4．73%、0．73%，其余6个站极端干旱可能发生概率均较高，最高的是拉萨站，可能发生的概率达84．87%。极端干旱可能发生的概率越大，极端干旱的风险性越高。所以除长春、沈阳、济南、合肥4个站以外的其他6站，极端干旱的风险性均较大，在今后的工农业生产中防旱抗旱的工作任务依然很艰巨。

3、结论