一个圆柱和一个圆锥十篇

一个圆柱和一个圆锥篇1

（江苏省海门市实验小学，226600）

一、课前分析与思考

“圆锥的体积”是苏教版小学数学六年级下册第二单元的内容。教材首先出示等底等高的圆柱和圆锥，让学生直观估计圆锥的体积是圆柱的几分之几，然后通过实验验证猜测，探索等底等高的圆柱和圆锥的体积关系，最后用数学式子表示实验结论，得出圆锥的体积公式。这样的编排，意在引导学生经历“猜测—验证”的过程，从而在学到知识的同时，积累探索的经验，培养学习的能力。但在实际教学时，往往存在这样几个问题：等底等高的圆柱和圆锥是教师（教材）给出的，学生在教师（教材）的要求下进行猜测及实验；操作方式（不管是用水还是用米倒来倒去）也是教师（教材）提示的，学生只是照做。也就是说，学生的思维是封闭的，学生的“牛鼻子”始终被教师（教材）的无形的“绳子”牵着。

对此，有教师提出在实验验证环节提供尽可能多的不同大小的圆柱和圆锥，当各个小组做出的实验结果不一致时，

再引导学生质疑和交流，从而找到规律并总结出求圆锥体积的公式。这样的教学更具实验味、探索味，但问题是：这样大范围的实验是否有必要（即圆锥和圆柱的底和高不完全相等的情况，是否一定需要通过实验，才能证明它们之间没有直接关系）？课上做这样的实验要花费大量的时间，学生的确经历了过程，但学生的思维得到提升了吗？

面对这些问题，我思考：课上做实验到底是为了什么？我们怎样做实验？这节课除了让学生经历“猜测—验证”的数学学习过程，还能让学生学到些什么？能不能做到在节约时间的基础上，让学生既明白做实验的必要，又充分经历实验的过程，同时还在思维水平上有所发展呢？

细读教材，我发现相关练习中有这么一道题：

判断下面（图1）的圆锥与哪个圆柱的体积相等。（单位：cm）

很明显，在研究圆锥的体积时，教材注重分析圆锥和不同圆柱之间的关系：不仅仅是与圆锥等底等高的圆柱，还有等底而高是圆锥三分之一的圆柱、等高而底是圆锥三分之一的圆柱（注：上述题目中，第二个圆柱底面直径与圆锥底面直径是3倍关系，故面积是9倍而非3倍关系，所以这个圆柱不能起到应有的作用，故下文笔者对此作了改编）。数学本来就是研究数量之间关系的一门学科，所以，我决定对这道题进行适当改编，从“圆锥与不同圆柱之间的关系”入手，教学《圆锥的体积》这一课。

二、课堂实践与收获

（一）在“选择关系”中萌生转化思想

师（出示一个圆锥）今天我们要研究圆锥的体积。按照我们以前研究图形的面积，研究长方体、正方体的体积等方法，你觉得应怎样研究圆锥的体积？

生转化成圆柱。

师为什么不转化成长方体或正方体？

生圆锥和圆柱最有关系，底面都是圆形的。

师（出示各种圆柱，如图2）

如果要研究这个圆锥的体积，你选择哪一个圆柱呢？

（大部分学生选择第①、第②个圆柱，理由是：第①个圆柱与圆锥等底等高，第②个圆柱和圆锥等底。

少部分学生选择第③个圆柱。没有学生选择第④、第⑤个圆柱。）

师（对选择第①、第②个圆柱的学生）为什么这样选择？

生这样可以把圆锥的体积转化成圆柱的体积。

生第④、第⑤个圆柱的数据和圆锥的相差太远，应该没有什么关系。

师没有什么关系？我想你的意思是，如果底和高是任意数据，那么不同的圆柱和圆锥的体积就会有不同的关系。这样就找不到规律，也就总结不出求圆锥体积的公式了。是这样吗？

生是。

师那第③个圆柱不也和圆锥有密切联系吗？高相等呀。

生底不知道。

［说明：首先，提问“你觉得应怎样研究圆锥的体积”，旨在激活学生思维，使他们自觉地想到用转化思想。接着，提供不同底和高的圆柱，让学生选择，实际上是引领学生对转化的进一步思考。选择的过程是思辨的过程，也是理性分析的过程。通过选择，排除了与圆锥的底和高没有直接关系的圆柱，既能培养学生思维的深刻性，也使接下来的实验操作更真实、更简洁、更有效。］

（二）在“猜测关系”中提升空间观念

师那么，你们选择的这些圆柱的体积与圆锥的体积有什么关系呢？请猜一猜。

生圆锥体积是第①个圆柱体积的三分之一，圆锥体积和第②个圆柱体积相等。

生我觉得，圆锥体积是第①个圆柱体积的二分之一。

［说明：猜测实际上是学生对圆柱与圆锥关系的进一步思考。这里的猜测，仅仅是在直观观察的基础上，根据自身经验的初步估计，既有利于培养学生的空间想象能力，也为后续的实验做了心理上的准备。］

（三）在“验证关系”中理解体积公式

师下面我们就来做实验，看看大家的猜测是否正确。

（由于学具种类及数量的限制，大部分小组研究的是和圆锥等底等高的圆柱。实验分两次。第一次，主要让学生感知一共倒了3次，那么圆锥体积是和它等底等高圆柱体积的三分之一，从而验证猜测的正确性，并提炼出圆锥的体积公式，进一步明晰圆锥和等底等高圆柱体积之间的关系。第二次，实验重新开始，当倒了1次后——）

师请仔细观察，此时所倒的水变成了什么形状？和圆锥有什么联系？

生水是圆柱形的。

生水的底面积与圆锥的底面积相等，水的高是圆锥高的三分之一。

生体积相等。

生就是黑板上的第②个圆柱。

师看来这个圆柱和圆锥的关系不一般。它们之间有这样的关系：（边板书边说）圆柱和圆锥等底等体积，圆柱的高是圆锥高的三分之一。

［说明：如果本节课的教学重点仅仅放在让学生通过实验感知“V＝1/3Sh”这条公式上，那是远远不够的——很多学生通过自学，早已知道这个计算公式。我们的重点应该放在圆锥和与它相关的一些圆柱的关系上，如圆锥和与它等底等高的圆柱之间的关系，圆锥和与它等底等体积的圆柱之间的关系，圆锥和与它等高等体积的圆柱之间的关系。这里精心设计了两次实验，第一次是落实学习重点，让学生感知圆锥体积公式的正确性；第二次是突破学习难点，让学生感知等底等体积的圆柱和圆锥的关系。这样，能够让学生站在更高的角度看待圆锥的体积。当然，作为“圆锥的体积”的第一节课，对圆锥和与它等高等体积的圆柱的关系不作研究，因为这两者之间的关系比较抽象，无法通过实验直观地看到。］

（四）在“运用关系”中提升几何直观能力

（在练习环节，教师先后出示了2道具有挑战性的问题。）

问题1小明在写圆锥体积公式时，这样写道：V＝1/3（Sh）。你知道他为什么要加上一个括号吗？

生他想提醒我们,这个表示的是什么。

生是与圆锥等底等高的圆柱的体积。

师对应的是黑板上的哪一个图？

生第①个圆柱。

师这样的圆柱是怎样的呢？请想象一下。

（学生开始想象、比划。）

生如果黑板上的第③个圆柱的底面积正好是圆锥底面积的三分之一的话，就是这样的圆柱。

一个圆柱和一个圆锥篇2

1.知识与技能：理解圆锥体积的公式，会运用公式计算圆锥的体积。

2.过程与方法：培养学生初步的空间观念、逻辑思维能力和动手能力。

3.情感、态度与价值观：向学生渗透转化的思想。

教学重点：

圆锥体体积计算公式的推导过程。

教学难点：

正确理解圆锥体积计算公式。

教学过程：

一、复习

1.提问

圆柱的体积公式是什么？求下列圆柱的体积：（1）底面积是7平方厘米，高是6厘米。（2）底面半径是4分米，高是15分米。

投影出示圆锥体，学生说出圆锥的底面和高。

2.导入

同学们，前面我们已经认识了圆锥，掌握了它的特征，那么圆锥的体积怎样计算呢？这节课我们就来研究这个问题。

二、探究新知

1.指导探究圆锥体积的计算公式

教师手持一铅锤，问怎样求出它的体积。把它放入水中，看水面升高了多少，这种方法行吗？（不行）这样求每个圆锥的体积太麻烦了，下面我们利用实验的方法来探究圆锥体积的计算方法。老师给每组同学都准备了三个圆锥体容器、一个圆柱体容器和一些沙土。实验时，先往圆柱体（或圆锥体）容器里装满沙土（用直尺将多余的沙土刮掉），倒入圆锥体（或圆柱体）容器里，倒的时候要注意：把两个容器比一比、量一量，看它们之间有什么关系，并想想通过实验有什么发现？

学生分组实验，并汇报实验结果：

（1）圆柱和圆锥的底面积相等，高不相等，圆锥体容器装满沙土，往圆柱体容器里倒，倒了一次，又倒了一些，才装满。

（2）圆柱和圆锥的底面积不相等，高相等，圆锥体容器装满沙土，往圆柱体容器里倒，倒了两次，又倒了一些，才装满。

（3）圆柱和圆锥的底面积相等，高相等，圆锥体容器装满沙土，往圆柱体容器里倒，倒了三次，正好装满。

教师演示，并引导学生发现：圆柱体的体积等于和它等底等高的圆锥体体积的三倍，或圆锥的体积是和它等底等高圆柱体积的三分之一。

用字母表示圆锥的体积公式并板书。

思考：要求圆锥的体积，必须知道哪两个条件？

2.运用公式求圆锥的体积

（1）一个圆锥的底面积是6平方分米，高是4分米，求它的体积。

（2）一个圆锥的底面积是12平方米，高是5米，求它的体积。

3.讲解例题

多媒体出示例题：工地上有一些沙子，堆起来近似于一个圆锥，这堆沙子的底面直径是4米，高是1.2米，这堆沙子大约有多少立方米？（得数保留两位小数）

这堆沙子是什么形状？（圆锥）

求这堆沙子的体积，实际上就是求谁的体积？（圆锥）

要求圆锥的体积需要和道哪两个条件？（底面积和高）

哪个条件是已知的？另一个条件怎么求？（高是已知的，底面积可以由底面直径求出。

生独立完成，教师巡视指导，集体订正。

三、巩固练习

1.一个圆柱的体积是75.36立方米，与它等底等高的圆锥的体积是（ ）立方米。

2.一个圆锥的体积是141.3立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（ ）立方厘米。

3.一个圆锥的底面积是13平方分米，高是3分米，它的体积是多少？

4.一个圆锥的底面半径是10厘米，高是8厘米，它的体积是多少？

5.一个圆锥的体积是16立方分米，底面积是2平方分米，高是多少？

一个圆柱和一个圆锥篇3

让学生自主探索出圆锥体积和圆柱体积之间的关系，初步掌握圆锥体积的计算公式的推到方法，并能运用公式正确地计算圆锥的体积，解决实际生活中有关圆锥体积计算的实际问题。

教学重点：掌握圆锥体积的计算公式并能解决一些实际问题。

教学难点：正确理解圆锥体积和圆柱体积之间的关系。

德育目标：

1、 创设一个个富有挑战性的问题，培养学生学习兴趣和合作意识。

2、 引导学生通过观察比较、实践操作、分析综合，探索圆锥的体积公式，培养学生积极思考、勇于实践的品质。

3、 发展学生空间观念，向学生渗透变与不变的辨证思想。

教学方法:实验法,讲授法, 教学教具:容器\课件.

教学过程：

一、创设情境，导入新课

1、观察投影所出示的一个粮仓：

农民伯伯想计算粮仓的体积，怎么办？

生答：先计算下面圆柱的体积，再计算上面圆锥的体积

【评析：从实际生活问题出发，引导学生体会圆柱、圆锥体积计算在实际生活中的应用价值，从而激发学生探索新知的欲望。】

2、圆柱体积怎样计算？公式是怎样推导出来的？

板书：V柱=sh

【评析：对求圆柱体积公式的推导过程的自然复习，为后面学习圆锥体积公式的推导做好铺垫，渗透二者之间的联系与区别。】

3、提出问题。

（1）、那么圆锥的体积如何计算呢？

（2）、出示一大一小两个圆锥，哪个圆锥体积大？

板书课题：圆锥的体积

【评析：利用两个圆锥体积的对比，培养学生仔细观察的习惯，同时在矛盾冲突中引出新知。】

二、合作交流，解读探究

1、实验准备

（1）新的数学知识总是转化成旧知识来解决，你认为圆锥体转化成我们学过的哪个几何体比较容易？

（2）讨论：怎样转化成圆柱？

（3）实验所用的圆柱和圆锥是随意选取吗？你有什么想法？

【评析：引导学生学会用数学的眼光看待问题，用数学的思维方式进行探究，经历从猜测——实验——证明——应用的过程，有意识培养学生积极思考、勇于探索的精神。】

2、实验

（1）出示思考题：

比一比两个容器的底面积大小相等吗？

量一量两个容器的高相等吗？

动手实验后，想一想你手中圆柱与圆锥体积有什么关系？

【评析：通过教师引导，使学生思维有序，学会认真观察，学会总结归纳，渗透“实践第一”的辩证唯物主义观点。】

（2）实验

【评析：在小组合作探索中，引导学生学会合作、学会尊重他人、学会宽容他人的良好品质。】

3、汇报

（1）多数组的圆锥与圆柱等底等高，圆锥体积是圆柱体积的1/3，圆柱体积是圆锥体积的3倍。

（2）少数组的圆锥与圆柱底面积不相等，高也不相等，出现几倍关系的都有。

4、小结

看来，我们不能从理论上将圆锥转化成圆柱，但通过实验，大家从偶然的现象中发现一种必然规律：多数组选择这样的两个容器有什么关系？

若在等底等高前提下，圆柱体积和圆锥体积有什么关系？

板书：圆锥体积=1/3×圆柱体积

用字母怎样表示？

板书：V锥=1/3sh

“sh”表示什么意思？“×1/3”呢？

5、归纳。

我们得出了圆锥体积公式，你能完整叙述推导过程吗？

【评析：在小组汇报的过程中，引导学生学生学会倾听，对不同的意见善于归纳分析，同时引导学生独立思考，从个别到一般，归纳出自己的实验猜想结果，使学生获得成功的体验。】

6、引申

大家对用实验方法得出圆锥体积公式有什么质疑？

引导生质疑：是否准确，有无误差？

师介绍：很多数学知识都是在实践的基础上，从一些偶然现象中发现必然规律。但实验必定不科学可信，需要通过严格的逻辑证明，方能广泛应用此规律。

圆锥体积公式的逻辑证明早在公元五世纪，我国古代数学家祖更（祖冲之的儿子）就在实验基础上进行了证明，而欧洲直到十七世纪才有意大利的卡发雷利提出证明，比我国晚了十二个世纪，

【评析：精心创设的质疑环节，一方面培养学生敢于质疑的良好学习习惯，另一方面培养学生严谨的思维方式。同时揭示出圆锥体积公式推导的数学史资料，了解我国古代数学家的伟大贡献，激发学生的民族自尊心、自信心，形成良好的积极情感体验。】

三、巩固提高，拓展运用。

1、求一个圆锥体积应知道什么条件？

例：一个圆锥形的零件，底面积是19平方厘米，高是15厘米。这个零件的体积是多少？

已知什么？求什么？

2、怎样改变第一个条件，也能求出圆锥的体积？

R=2 d=2 c=6.28

【评析：圆锥体积计算较为繁琐，引导学生认真审题、仔细计算、干净书写的良好学习习惯。】

四、总结反思，拓展升华

1、 你今天有什么收获？学会了什么？

2、 还有什么问题？

五、延伸提高

1、测量开课时的两个圆锥底面半径和高，检查它们体积谁大谁小。

其余学生测量手中圆锥体积。

【评析：再次培养学生质疑问难的良好学习习惯，并通过动手操作解决开课的实际问题，体会数学知识的应用价值，培养学习兴趣，同时养成做事有头有尾的严谨思维习惯。】

2、判断

（1）圆锥体积是圆柱体积的1/3。

（2）圆柱体积是30立方厘米，和它等底等高的圆锥体积是10立方厘米。

（3）圆锥的底面积越大，它的体积也越大。

（4）把一个圆柱钢材6立方米，削成一个最大的圆锥体，体积是2立方米。

3、思考：

（1）教室长12米，宽6米，高4米，怎样放一个圆锥，体积最大？

（2）我们研究了等底等高的圆锥体积是圆柱体积的1/3，那么等底等体的圆锥与圆柱高有什么关系？等高等体的圆锥与圆柱的底面积有什么关系？下节课研究。

投影：

等底等高V锥 =1/3V柱 等底等体h锥 =？h柱

等高等体S锥 =？S柱

（4）发散：生活中你发现过哪些现象有一定规律？

【评析：延伸问题，一方面培养学生应用所学知识灵活解题的能力，另一方面培养学生的空间观念，渗透变与不变的辩证唯物主义思想。】

一个圆柱和一个圆锥篇4

3、培养学生个人的自主学习能力和小组合作学习的能力。

教学重点和难点：掌握圆锥体体积公式的推导。

教具准备：1、等底等高的圆柱体和圆锥体6套，大小不同的圆柱体和圆锥体6套、水槽6套。

2、多媒体课件设计

教学过程设计

(一)复习准备：

1．怎样计算圆柱的体积？(板书：圆柱体的体积=底面积×高)

2．一个圆柱的底面积是60平方分米，高15分米，它的体积是多少立方分米？

3．圆锥有什么特征？

学生回答后，教师用课件演示：屏摹上显示一个圆锥体，将它的底面、侧面、高和顶点闪烁。

（二）导入新课

今天我们就利用这些知识探讨新的问题-----怎样计算圆锥的体积（板书课题）

（三）进行新课

1、探讨圆锥的体积公式

教师：怎样探讨圆锥的体积计算公式呢？在回答这个问题之前，请同学们先想一想，我们是怎样知道圆柱体积公式的：

学生回答，教师板书：

圆柱------（转化）------长方体

圆柱体积公式--------（推导）长方体体积公式

教师：借鉴这种方法，为了我们研究圆锥体体积的方便，每个组都准备了一个圆柱体和一个圆锥体。你们小组比比看，这两个形体有什么相同的地方？学生操作比较。

（1）提问学生：你发现到什么？（这个圆柱体和这个圆锥体的形状有什么关系）

(学生得出：底面积相等，高也相等。)

底面积相等，高也相等，用数学语言说就叫“等底等高”。

(板书：等底等高)

（2）为什么？既然这两个形体是等底等高的，那么我们就跟求圆柱体体积一样，就用“底面积×高”来求圆锥体体积行不行？(不行，因为圆锥体的体积小)

教师：（把圆锥体套在透明的圆柱体里)是啊，圆锥体的体积小，那你估计一下这两个形体的体积大小有什么样的倍数关系？(指名发言)

的水和圆柱体、圆锥体做实验。怎样做这个实验由小组同学自己商量，但最后要向同学们汇报，你们组做实验的圆柱体和圆锥体在体积大小上有什么样的倍数关系。

（3）学生分组做实验。

A.谁来汇报一下，你们组是怎样做实验的？

b.你们做实验的圆柱体和圆锥体在体积大小上发现有什么倍数关系？

(学生发言：圆柱体的体积是圆锥体体积的3倍)

同学们得出这个结论非常重要，其他组也是这样的吗？

我们学过用字母表示数，谁来把这个公式整理一下？(指名发言)

（4）学生操作：出示另外一组大小不同的圆柱体和圆锥体进行体积大小的比较，通过比较你发现什么？

学生回答后，教师整理归纳：不是任何一个圆锥体的体积都是任何一个圆柱体体积的。(老师拿起一个小圆锥、一个大圆柱)如果老师把这个大圆锥体里装满了水，往这个小圆柱体里倒，倒三次能倒满吗？(不能)

为什么你们做实验的圆锥体里装满了水往圆柱体里倒，倒三次能倒满呢？(因为是等底等高的圆柱体和圆锥体。)

呢？(在等底等高的情况下。)

(老师在体积公式与“等底等高”四个字上连线。)

现在我们得到的这个结论就更完整了。(指名反复叙述公式。)

今后我们求圆锥体体积就用这种方法来计算。

(三)巩固反馈

1．口答。填空：

v(立方米)

v（立方米）

60

52

126

4.5

2．出示例题学生读题，理解题意，自己解决问题。

例一个圆锥形的零件，底面积是19平方厘米，高是12厘米，这个零件的体积是多少？

A学生完成后，进行小组交流。

你是怎样想的和怎样解决问题。（提问学生多人）

C教师板书:

×19×12=76（立方厘米）

答：它的体积是76立方米

3．练习题。

一个圆锥体，半径为6cm，高为18cm。体积是多少？(学生在黑板上只列式，反馈。)

4、出示例2：要求学生自己读题，理解题意思。

在打谷场上，有一个近似于圆锥形的小麦堆/！/，测得底面直径是4米，高是1.2米，每立方米小麦约重735千克，这堆小麦约有多少千克？（得数保留整千克）

（1）提问：从题目中你知道什么？

（2）学生独立完成后教师提问。并回答同学的质疑：3.14×（）×1.2×表示什么？为什么要先求圆锥的体积？得数保留整千克数是什么意思？….

5、比较：例1和例2有什么地方不同？

（1）直接告诉了我们底面积，而（2）没有直接告诉，要求我们先求出底面积，再求出圆锥体积；（2）例1是直接求体积，例2是求出体积后再求重量。

我们已经学会了求圆锥体的体积，现在我们来解决有关圆锥体体积的问题。

四、巩固练习：

1、一个圆锥形沙堆，高是1.5米，底面半径是2米，每立方米沙重1.8吨。这堆沙约重多少吨？

2、选择题。每道题下面有3个答案，你认为哪个答案正确就用手指数表示。。

(1)一个圆锥体的体积是a立方米，和它等底等高的圆柱体体积是(

)

⑴立方米②3a立方米③9立方米

(2)把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体，圆柱体体积是6立方米，圆锥体体积是(

)立方米

（1）6立方米（2）3立方米（3）2立方米

2、学生操作：

看看我们的教室是什么体？(长方体)

要在我们的教室里放一个尽可能大的圆锥体，想一想，怎样放体积最大？(小组讨论)

指名发言。当争论不出结果时，让学生以小组为单位动手测量数据：教室长12m，宽6m，高4m。并板书出来，再比较怎样放体积最大的圆锥体。

一个圆柱和一个圆锥篇5

教学目标：

（1）学生在动手操作与小组交流等学习活动中，理解并掌握圆锥的体积计算公式，并能解决有关圆锥体积的简单实际问题。

（2）经历圆锥体积的推导过程，培养学生的观察、动手操作、分析归纳等能力。

（3）在猜想、实验、验证、推理等过程中渗透恒等、模型等数学思想和实践第一的辩证唯物主义思想，发展学生的空间观念。

（4）通过小组实验操作，汇报交流，分享成功的喜悦，增强学习数学的信心。

教学重点：理解圆锥体积的计算公式，能运用公式解决实际问题。

教学难点：圆锥体积计算公式的推导过程及圆锥体积等于等底等高的圆柱体积的三分之一的理解。

教学具准备：

多媒体课件、等底等高的圆柱和圆锥、河沙、提水桶装水、实验报告单等。

教学过程：

一、创设情境，引入新知

1.复习旧知

师：孩子们，今天老师带了两个可爱的朋友想与大家一起学习，你们也欢迎它们吗？（出示圆柱的图片）看看，认识它吗？你了解圆柱吗？都知道些什么呢？

学生畅谈有关圆柱的知识。

师：孩子们对圆柱真是太熟悉了。那这个朋友呢？（出示圆锥图片）你又了解了些什么？

学生大胆交流有关圆锥的知识。

师：孩子们真是太棒了，把鼓励的掌声送给自己！

2.引入新知

师：孩子们喜欢上手工课吗？用橡皮泥做过学具吗？看看在一节手工课上发生了什么？在一节手工课上，小红和小芳用橡皮泥做学具。小红做了一个底面积为15平方厘米，高为6厘米的圆柱；小芳做了一个底面积为15平方厘米，高为18厘米的圆锥。小红说：“你做这么高，用的橡皮泥太多了。”小芳说：“你的圆柱要粗的多，用的橡皮泥更多”她们俩究竟谁用的橡皮泥多呢？学生猜猜看。

师：要比较她们俩谁用的橡皮泥多，可以通过计算圆柱圆锥的什么来判断？

生：体积。

圆柱的体积等于什么？（底面积乘以高），那圆锥的体积也等于底面积乘以高吗？究竟该怎样计算圆锥的体积？这节课我们一起来研究圆锥体积的计算方法。

揭示课题：圆锥的体积

二、小组操作，探究新知

1.提出猜想，大胆质疑

师：大家猜猜看，圆锥的体积与我们以前学过的哪种形体的体积有关？

2.小组合作，动手实验

师：圆锥的体积和圆柱的体积之间究竟有没有关系呢？如果有关系的话，它们之间又是一种什么关系？通过什么办法才能找到它们之间的关系呢？带着这些问题，请同学们分组研究，通过实验寻找答案。

在小组探究前，请看清要求：（多媒体出示）

1.六人小组的成员必须分工合作（实验员，填表员，汇报员各司其职），利用提供的器材共同想办法解决问题，找出圆锥的体积的计算方法。

2.根据小组研究的方法填写实验报告单。

温馨提示：装沙的时候，轻轻的把圆锥装满即可，用尺子水平的将多余的沙子轻轻刮掉，再轻轻的倒入圆柱。装水注意装满。

师：明白了吗？请在组长的带领下，开始行动吧！

附：（ ）组的实验报告单

记录人：

实验方法：我们组是用的是空心圆锥装（）的方法实验的。

实验步骤：

（1）用等底等高的（ ）装满（ ）倒入（ ）中。

（2）我们组共倒了（ ）次，正好装满。

（3）我们的发现：用等底等高的（）装满（）倒入（）中，（）次刚好能装满。

实验结论：圆锥的体积等于等底等高的（）体积的（）

学生小组合作探究，教师巡视指导，参与学生的活动。

3.展示汇报，导出新知

师：哪个小组来交流你们的实验方法和结果？

至少抽三个小组汇报，老师注意引导组员补充与教师的跟进。

结合学生的交流，师板书：圆锥的体积等于等底等高的圆柱的体积的[13]。反过来说，圆柱的体积等于等底等高的圆锥体积的3倍。

4.公式推导，理解新知

师：圆锥的体积=圆柱体积的[13]，如果用字母v锥表示圆锥的体积，圆柱的体积用v柱表示，则v锥=[13]v柱，而圆柱的体积v柱=sh，所以v锥=[13] sh。公式中的s表示什么，h表示什么？圆锥的底面是什么形状？怎样计算它的底面积？所以圆锥的体积公式还可以怎样表示？

v锥=[13]π[r2]h学生齐读公式，并记住公式。

5.实验质疑，拓展新知

师 ：是不是所有的圆锥的体积都是圆柱体积的三分之一呢？我们来做个实验。

师请两个学生做实验演示：用两个等底不等高的圆柱和圆锥装水，结果没有得到圆锥体积是圆柱体积的三分之一，让学生进一步体会等底等高的含义。

6.问题解决，应用新知

孩子们能用我们自己研究的成果来解决问题吗？

出示例1：一个铅锤高6厘米，底面半径4厘米。这个铅锤的体积是多少立方厘米？

孩子们默读题目后问：能独立解答吗？学生独立解答后抽学生的作业展示汇报。

三、拓展应用，巩固新知

1.填一填

（1）圆柱的体积字母公式是（），圆锥的体积字母公式是（）。

（2）等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的（）倍。

（3）圆锥的底面积是15平方米，高9米，体积是（）。与它等底等高的圆柱的体积是（）立方米

2.教科书第42页第一题。（课件出示）

学生独立解答，集体订正。

3.刚才小红和小芳的争议，同学们能帮她们解决了吗？谁用的橡皮泥多？

四、梳理小结，提升新知

一个圆柱和一个圆锥篇6

首先，训练以模仿为主，缺乏必要的变式，导致学生只掌握了知识的外壳，而忽略了数学的本质。学生能够运用圆锥的体积公式V=■sh进行体积计算，主要得益于教师的反复强调与强化练习。教学中，尤其是学生掌握了圆锥体积公式之后的练习，仍然是围绕“已知圆锥的底面半径（或直径、周长）和高，求圆锥体积”这种基本的题型，强调的是“要求圆锥的体积，不能忘乘■”，而没有能及时地作变式训练。这种反复的、大量的、机械的强化训练，致使学生一看到求圆锥体积，就条件反射地乘■或除以3，因而一再地出现上述错误，就不足为奇了。

其次，思维如同单行线，缺乏必要的对比，导致学生只能顺向而行，不能把握题目内涵。对于V=■sh这一公式的推导，教师在教学中花费了大量时间，进行了充分探索，学生也是学得透彻，因而运用这种方法计算圆锥的体积，在学生脑海中确立了牢固的地位。但这仅仅是圆锥体积计算的一个方法，还有其他方法教师未能涉及，即使在学生出现错误之后，教师的评讲也是局限于“就题论题”，没有对圆柱和圆锥的体积计算方法作有效的、针对性对比，致使学生的思维如同单行线，只会依据公式求圆锥体积，不能够分析、把握题目的内涵。

问题的结症找到了，那么如何避免这样的错误呢？我觉得在学生熟练掌握圆锥体积计算方法后，有必要作针对性的补救。我设计的教学是：

一、 在实践中感悟

1.出示一些不规则的石块，提问：怎样才能测出这些石块的体积？（由于学生在学习《长方体与正方体》这一单元时，已经有了基础，很容易想到：可以将石块放入盛有水的量杯中，看水上升的体积）

2.如果将石块改成圆锥，上升的体积还等于圆锥的体积吗？

3.将量杯换成圆柱形容器，想一想，如何利用这个已经告诉我们底面半径的容器来测量圆锥的体积呢？将圆锥放入水中，在完全浸没的情况下，上升的这一段水柱的体积与圆锥的体积有怎样的关系？如果此时要求圆锥的体积，实际是求什么的体积？为什么不需要乘■呢？

4.学生实际操作实践。

【设计意图：“数学教学，实际是数学活动的教学。”这一环节的设计，主要是让学生直观感受圆锥的体积等于上升的水柱的体积，而如果容器为圆柱形，则上升的这一段水柱也为圆柱，要求圆锥体积，在这里其实就是求上升的这一段圆柱形水柱的体积，故无需乘■。】

二、 在对比中提升

在上述实践的基础上，设计以下的三组对比题：

第一组：

1.一个圆柱形容器，底面半径3厘米，在里面放一些水，再放入一个圆锥形铁块（完全浸没），水面上升2厘米。求圆锥形铁块的体积。

2. 一个圆柱形容器，底面半径3厘米，在里面放一些水，再放入一个底面半径2厘米，高3厘米的圆锥形铁块（完全浸没），求圆锥的体积。

3. 一个圆柱形容器，底面半径3厘米，在里面放一些水，水深3厘米再放入一个圆锥形铁块（完全浸没），这时水深5厘米。求圆锥的体积。

第二组：

1.一个圆柱形铁块的底面半径3厘米，高10厘米，将其铸成圆锥形零件，这个零件的体积是多少立方厘米？

2.一个圆柱形铁块正好可以熔铸成底面半径3厘米，高10厘米的圆锥形零件，这个零件的体积是多少立方厘米？

第三组：

1. 一个圆柱形容器，底面半径6厘米，在里面放一些水，再放入一个圆锥形铁块（完全浸没），水面上升2厘米。已知圆锥的底面半径2厘米，求圆锥的高。

2.一个圆柱形铁块的半径4厘米，高6厘米，将其铸成底面半径3厘米的圆锥形零件，求零件的高。

【设计意图：乌申斯基曾说：“比较方法是各种认识和各种思维的基础。”小学生在每一课的学习中所获得的知识常常是局部的、分散的，会有“见叶不见枝、见木不见林”的现象，需要通过比较，来理解知识的内在联系与区别。在这一环节中，教师设计了三组比较题组，从而进一步把握相关知识的本质，建构起合理的认知结构，促进思维能力的发展。】

三、 在反思中完善

由刚才的实践以及对比训练，你觉得要求圆锥的体积，是不是一定要乘■？那么在什么情况下要乘■，在什么情况下不需要呢？（引导学生得出：在告诉我们圆锥的底面半径与高的情况下，求圆锥的体积，就需要乘■。）

【设计意图：在实践操作以及比较训练的基础上，引导学生自我反思总结，归纳出具有更高抽象性、概括性、包容性的认识，形成活化的知识组块，检查自我数学认知结构，融会贯通并有序储存，从而优化认知结构。】

在运用了上述的补救措施后，学生几乎没有再犯类似的错误。而通过对上述错例的分析与反思，也给我们一定的启示。

1.科学设计练习，把握数学思想。数学教学中一定量的练习是必要的，但练习不是单纯的题目堆砌，更不能一成不变，要注意量与度的平衡，否则适得其反。教师要重视对练习题型的重组与变式，把握其中蕴含的数学方法，巧妙地将转化、模型等数学思想有意识地渗透于学习过程中，使学生解一题，会一类；同时，当学生出现典型的“通病”时，要仔细分析错因，采取针对性措施，而不是就题论题。只有在科学合理训练的基础上，学生才能掌握更多的思维机制和数学思想，教学才能高屋建瓴。

一个圆柱和一个圆锥篇7

摘要：《圆锥的体积》一课从知识能力，方法与途径，情感与评价三方面进行了设计，充分体现了新课程改革的理念。

关键词：圆锥 圆柱 体积

一、教材依据：人教版九年义务教育小学数学教科书第十二册第二单元第25-28页《圆锥的体积》。

二、设计思路：

指导思想：以《小学数学新课程标准》、《新课程改革实施纲要》为指导。

设计理念：以新课程理念指导教学，运用现代教学理论，以此来处理主导和主体，知识和能力，过程和结论的关系，充分调动了学生的积极性。引导学生动脑、动口、动手来探索、体验学习的全过程。

教材分析：《圆锥的体积》是新课标人教版第十二册第二单元的内容。本节课属于空间与图形知识的教学，也是小学阶段几何图形知识的重点和难点。从教材的编写可以看出，教材加强了与现实生活的联系；加强了在操作中对空间与图形的思考，使学生在经历观察、联想、猜测、操作实验、推理等过程中理解和掌握圆锥的体积的计算方法，进一步发展空间观念。

学情分析：美国教育心理学家奥苏伯尔说：“如果我不得不把教育心理学还原为一条原理的话，影响学习的最主要的原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况进行教学。”本节课是学生在认识了圆锥特点的基础上学习的。学生在分组操作时，借助倒水（或沙子）的实验，亲身感受到等底等高的圆柱与圆锥之间的3倍关系。但是他们不易发现的是圆柱体积和圆锥体积之间具备3倍的关系前提，为了凸现这一条件，可借助体积关系不是3倍的实验器材，引导学生经历去粗求精、去伪求真、由表及里、层层逼近的过程，进行深度的信息加工。

三、教学目标

知识技能目标：

1、使学生探索并初步掌握圆锥体积的计算方法和推导过程；

2、使学生会应用公式计算圆锥的体积并解决一些实际问题。

方法与途径目标：

提高学生实践操作、观察比较、抽象概括及逻辑推断的能力，发展空间观念。

情感与评价目标：

1、培养学生的合作意识和探究意识；

2、使学生获得成功的体验，体验数学与生活的联系。

四、教学重点：

使学生掌握圆锥体积的计算方法并解决一些实际问题

五、教学难点：

正确探索圆锥与圆柱体积之间的关系。

六、教具、学具准备：

不同型号、相同型号的圆柱、圆锥实物和容器各5套、沙子、水、尺子、多媒体课件。

七、教学流程

（一）创设情境，导入新课。

1、（课件出示）夏天，森林里闷热极了，小动物们都热的喘不过气来，一只小白兔去“动物超市”购物，它在冷饮专柜熊伯伯那儿买了一个圆柱形的雪糕，这一切都被躲在一旁的狐狸看见了，他就去熊伯伯的专柜里买了一个圆锥形的雪糕。小白兔刚张开嘴，满头大汗的狐狸拿着它的圆锥形雪糕一溜烟的跑了过来。（图中圆柱形与圆锥形雪糕是等底等高的。）

2、引导学生围绕问题讨论。

问题一：狐狸贪婪的问：“小白兔，用我手中的雪糕跟你换一下，怎么样？（如果这时小白兔和狐狸交换了雪糕，你觉得小白兔有没有上当？）

问题二：（动画演示）狐狸手上又多了一个同样大小的圆锥形雪糕。（小白兔这时和狐狸交换雪糕，你觉得公平吗？）

问题三：如果你是森林中的小白兔，狐狸手中的圆锥形雪糕有几个时，你才肯和它交换？

3、过渡：小白兔究竟和狐狸怎样交换才公平合理呢？我们需要怎么做？（预设：看圆柱和圆锥体积究竟有什么关系？）那么，我们这节课就来学习圆锥的体积。

（设计意图：数学课程要关注学生的生活经验和已有的知识体验，在引入新知时，创设了一个有趣的童话情境，捕抓课堂问题的生成。让学生在猜想中交流，在交流中感悟，引发了进一步探究的强烈欲望。）

4、揭示题目。

（二） 自主探索，操作实验。

1、圆锥体积公式的推导

1）请学生拿出第一组圆柱形，圆锥形的容器(等底等高)进行实验，探究其之间的关系。

a、观察圆柱形，圆锥形的容器的特点。

b、（课件出示）实验要求。

C、学生分组实验。

d、学生汇报实验结果。

板书：圆柱体积是圆锥体积的3倍。

圆锥体积是圆柱体积的1/3。

圆柱的体积=底面积×高

圆锥的体积=底面积×高×1/3

e、课件演示公式推导过程。

（设计意图：这一环节是在学生前面猜想的基础上，通过小组合作动手实验―具体操作―验证得出等底等高的圆柱和圆锥之间的体积关系，是本节课的重点知识，让每位同学都经历了知识的形成过程，体现了“动态生成”，为抽象的理论提供了感性材料。）

2）诱导反思。

提问：是不是所有的圆柱体积是圆锥体积的3倍，圆锥体积是圆柱体积的1/3呢？请同学们拿出第二组圆柱形，圆锥形的容器（等底不等高、等高不等底、不等底不等高）进行试验，探究其之间的关系。

a、观察圆柱形，圆锥形的容器的特点。

b、学生分组实验。

C、学生汇报实验结果。

板书：等底等高

（设计意图：学生亲身感受到了等底等高圆柱体积与圆锥体积间的3倍关系。但是他们不易发现实验中的“等底等高”是3倍关系成立的前提，为了凸现这一条件，这一环节我又准备了等底不等高、等高不等底、不等底不等高3组实验器材让学生进行试验，引导学生经历去粗求精、去伪求真、由表及里、层层逼近的过程，进行深度的信息加工。以此来突出重点，突破难点。）

3）用字母表示圆锥的体积公式。

板书：V=1/3sh

2、思考：要求圆锥的体积必须知道哪些条件？

指名回答。

（设计意图：新课程要关注所有学生的发展。这个问题的设计，会使不同层次的学生作出不同深度的回答，使每位学生都会得到不同的进步和发展。）

3、问题解决。（课件出示例题）

例：在打谷场上，有一个近似于圆锥的小麦堆，测得底面直径是4米，高是1.2米。这堆小麦有多少立方米？

学生独立完成,集体订正。

（三）巩固练习、拓展提高。

1、基本练习。

计算下面圆锥的体积。(单位:厘米)

1）r=2 h=8 2)d=6 h=3 3)c=6.28 h=6

2、综合性练习 。

工地上运来 6 堆同样大小的圆锥形沙堆，每堆沙的底面积是18.84平方米，高是0.9米。这些沙有多少立方米？如果每立方米沙重1.7吨，这些沙有多少吨？

（设计意图：这一环节是对所学知识的再创造，由浅入深，循序渐进，学生的思维逐步得到发展。）

3、实践性练习。

让学生把实验用的沙土，堆成圆锥形沙堆，合作测量计算出它的体积。

（设计意图：这道题就地取材，给了学生一个运用所学知识解决实际问题的机会，让学生动手动脑解决身边的实际问题，提高了学习数学的兴趣。）

4、开放性练习

（1）变式思维：（出示等底等高的圆柱圆锥图）

思考后反馈：圆柱和圆锥等底等高，它们的体积又怎样的关系？如果要使圆柱体积和圆锥体积相等，只改变圆柱或圆锥底和高中的一个量，你有什么方法？

（讨论、交流、反馈后出示下面的结论）

a、圆柱的高缩小3倍。

b、圆柱的底缩小3倍。

c、圆锥的底扩大3倍。

d、圆锥的高扩大3倍。

（2）一段圆柱形钢材,底面直径10厘米,高是15厘米,把它加工成一个圆锥零件。根据以上条件信息,你想提出什么问题?能得出哪些数学结论?(可小组讨论)

（设计意图：这一环节题目的设计，是要求学生从不同的方面来思考问题、解决问题，提高了题目的灵活性，发散了学生的思维，将本节课推上高潮。）

（四）这节课你收获了什么？

（五）作业布置。

板书设计：

圆锥的体积

圆柱体积是圆锥体积的3倍。圆柱的体积=底面积×高

一个圆柱和一个圆锥篇8

关键词：数学实验；活化课堂；教后反思

中图分类号：G620 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2013）-10-0268-02

【案例背景】

《新数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实验、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”。数学实验是以学生动手实践自主探索为特征，以培养学生自主学习的能力和探索精神为目标的新型教学模式。数学实验对数学的发展起着非常重要的作用，是学习数学的一种重要途径。在小学数学教学中，进行一些简单的实验，能激发学生学习数学的兴趣，突重点破难点，帮助学生解惑释疑，在数学实验中发现规律。六年级下册《圆锥的体积》是在探索圆柱体积计算方法的基础上，继续渗透类比的思想，再次引导学生经历“类比猜想—验证说明”的探索过程，从而理解圆锥体积的计算方法，我从中亲身体会到动手实验在小学数学教学中有不容忽视的作用。

【案例描述】

片段一：创设情境，大胆猜想

师：（课件出示）小麦丰收了！看，小麦堆得像小山一样，笑笑和爷爷笑得合不拢嘴。这时，爷爷量了量麦堆的高和底面直径，问笑笑：“你能算出这堆小麦的体积吗？”

这下可难住了笑笑，麦堆近似于我们学过的哪种立体图形？

生：圆锥。

师：对，今天我们来研究圆锥的体积。圆锥的体积可能与哪种立体图形的体积有关？

生1：与圆柱。因为圆柱和圆锥的底面都是圆形的。

师出示一组透明的等底等高的圆柱、圆锥容器。（直观演示）

请学生猜想：它们的体积可能会有什么关系？

生2：圆柱的体积可能是圆锥的2倍。

师：说说你猜想的依据？

生2：圆柱可以看成是由一个长方形旋转形成的，圆锥可以看成由一个三角形旋转形成的，三角形面积是长方形面积的一半，所以我认为圆锥的体积也是圆柱体积的一半。

生3：我估计圆柱的体积可能是圆锥的3倍。

生4：我认为圆柱的体积可能是圆锥的4倍。

……

（评析：为了集生活味、数学味、趣味性与挑战性为一体，创设情境，以学生已有认知为起点，猜想圆柱与圆锥的体积关系，激发学习动机的同时直奔主题。）

片段二：实验探究，验证猜想

师：为了证明同学们的猜想是否合理，我们一起做实验来验证，先请大家明确实验要求：

1.比较各圆锥形容器与圆柱形容器的底面和高，并填表。

2.将1—4号圆锥形容器分别装满水，再倒入圆柱形容器，看几杯能倒满，并填表。

3.通过实验，你能得出什么结论？并填表。

学生分6组，根据老师提供的实验器材，开展实验，填写实验报告单，验证猜想。师也参与其中。

（评析：学生通过动手实验，经历数据的收集和整理过程，为分析数据，发现关系奠定基础。）

师：请各小组汇报实验结果，分析实验数据

（1）第一小组汇报实验结果。

生1：圆柱和1号圆锥等底不等高，圆锥容器装满水往圆柱容器里倒，倒了一次，又倒了一些，才装满。

生2：圆柱和2号圆锥等高不等底，圆锥容器装满水往圆柱容器里倒，倒了两次，又倒了一些，才装满。

生3：圆柱和3号圆锥等底等高，圆锥容器装满水往圆柱容器里倒，倒了三次，正好装满。

生4：圆柱和4号圆锥不等底不等高，圆锥容器装满水往圆柱容器里倒，倒了四次多一些。

（2）第二小组汇报实验结果。

……

师：我们一起来分析各小组实验得到的结论，发现有什么相同之处吗？

生1：我发现在等底等高的情况下，圆锥容器装满水往圆柱容器里倒，倒了三次，正好装满。

师：我们再看实验过程（课件演示）；这个实验还是说明什么？

生2：圆锥容器装满水倒入与它等底等高的圆柱容器里倒，倒了三次，正好装满。

师：同学们，我们再将圆柱形容器装满水，倒入与它等底等高的圆锥形容器，你发现了什么？

生3：我发现往圆锥形容器内倒的时候，刚好倒满。

生4：倒了3次，刚好倒完了。

师：通过多次实验，我们发现圆锥的体积与圆柱的体积有什么样的关系？

生5：圆柱的体积圆锥体积的3倍。

生6：应该是圆柱的体积等于和它等底等高圆锥体积的3倍。

生7：也就是说圆锥体积等于和它等底等高圆柱体积的■。

师：同学们很善于思考，根据圆柱体积计算公式，你能写出圆锥体积的计算公式吗？

生8：圆锥体积=圆柱体积×■

生9：应该是圆锥体积=底面积×高×■

生10：用字母表示计算公式：V=■Sh

师：计算圆锥的体积必须知道什么条件？为什么要乘■？

生回答。

（评析：充分发挥了学生的主体作用，尽量让学生自己做、自己想，为了克服实验误差对圆锥体积计算公式的推导造成的影响，及时进行课件演示，真正做到了举一反三。通过比较、分析，推导出圆锥体积的计算公式，从而初步学会运用实验的方法探索新知识。）

片段三：巩固应用，强化新知

1.完成基础练习：一个圆锥的底面积是19平方厘米，高是12厘米。它的体积是多少？

学生独立完成，各小组派代表板演，集体订正。

2.综合练习：学生根据提供的麦堆的高1.2米和底面直径4米，求麦堆的体积。如果每立方米小麦大约重735千克，这堆小麦大约有多少千克？（得数保留整千克数）

师：这道题已知什么？求什么？

生回答。

师：求圆锥的体积必须知道什么？求出体积后，应该怎样计算重量？

学生回答后自己做在练习本上，集体订正。

3.拓展练习。把一个底面直径和高都是6厘米的圆柱体木块，削成一个最大的圆锥体，削成的圆锥的体积是多少立方厘米？削去部分的体积是多少立方厘米？

学生独立思考后，小组内讨论交流，完成后集体订正。

（评析：及时把探索到的新知应用于实践，从中得到教学信息反馈让学生体验到“再创造与成功”的喜悦，进一步激发了他们学习的自主性。）

【案例反思】

这节课，每个学生都经历了“猜想——验证——发现”的自主探究学习的过程，突出的特点有几下几个方面：

1.动手实验——培养自主获取知识的能力。在教学时，利用学生已有的知识基础和学习经验，让学生自己大胆猜想，并充分展示学生的思维。然后，引导学生自己分组动手实验验证自己的猜想。同时在验证过程中使学生产生认知冲突，理解必须要“等底等高”。学生自己总结，自主解决问题，从而培养了学生自主获取知识的能力。

2.动手实验——关注知识的形成过程。引导学生通过实验，自主发现圆锥体积等于和它等底等高圆柱体积的■，导出公式：V=■Sh。这样，既发展了学生的空间观念，又培养了独立思考和合作交流的能力，让学生享受成功的喜悦。

一个圆柱和一个圆锥篇9

知识使人愚蠢，知识会使人们的敏感度迟钝。知识会填塞他们、会变成他们身上的重担、会强化他们的自我，却不会给他们光明、不会为他们指出道路。下面小编给大家分享一些六年级数学下册的知识，希望能够帮助大家，欢迎阅读!

六年级数学下册的知识1负数

1、负数的由来：

为了表示相反意义的两个量(如盈利亏损、收入支出……)，光有学过的0 1 3.42/5……是远远不够的。所以出现了负数，以盈利为正、亏损为负;以收入为正、支出为负

2、负数：小于0的数叫负数(不包括0)，数轴上0左边的数叫做负数。

若一个数小于0，则称它是一个负数。

负数有无数个，其中有(负整数，负分数和负小数)

负数的写法：

数字前面加负号“-”号，不可以省略

例如：-2，-5.33，-45，-2/5

正数：

大于0的数叫正数(不包括0)，数轴上0右边的数叫做正数

若一个数大于0，则称它是一个正数。正数有无数个，其中有(正整数，正分数和正小数)

正数的写法：数字前面可以加正号“+”号，也可以省略不写。

例如：+2，5.33，+45，2/5

4、0

既不是正数，也不是负数，它是正、负数的分界限

负数都小于0，正数都大于0，负数都比正数小，正数都比负数大

5、数轴：

6、比较两数的大小：

①利用数轴：

负数

②利用正负数含义：正数之间比较大小，数字大的就大，数字小的就小。负数之间比较大小，数字大的反而小，数字小的反而大

1/3>1/6 -1/3

六年级数学下册的知识2第二单元 百分数二

(一)、折扣和成数

1、折扣：用于商品，现价是原价的百分之几，叫做折扣。

通称“打折”。

几折就是十分之几，也就是百分之几十。例如：八折=8/10=80﹪，

六折五=6.5/10=65/100=65﹪

解决打折的问题，关键是先将打的折数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多(少)百分之几(几分之几)的数的解题方法进行解答。

商品现在打八折：现在的售价是原价的80﹪

商品现在打六折五：现在的售价是原价的65﹪

2、成数：

几成就是十分之几，也就是百分之几十。例如：一成=1/10=10﹪

八成五=8.5/10=85/100=80﹪

解决成数的问题，关键是先将成数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多(少)百分之几(几分之几)的数的解题方法进行解答。

这次衣服的进价增加一成：这次衣服的进价比原来的进价增加10﹪

今年小麦的收成是去年的八成五：今年小麦的收成是去年的85﹪

(二)、税率和利率

1、税率

(1)纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。

(2)纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业。

(3)应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。

(4)税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。

(5)应纳税额的计算方法：

应纳税额=总收入×税率

收入额=应纳税额÷税率

2、利率

(1)存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。

(2)储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家建设，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些收入。

(3)本金：存入银行的钱叫做本金。

(4)利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。

(5)利率：利息与本金的比值叫做利率。

(6)利息的计算公式：

利息=本金×利率×时间

利率=利息÷时间÷本金×100%

(7)注意：如要上利息税(国债和教育储藏的利息不纳税)，则：

税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率)

税后利息=本金×利率×时间×(1-利息税率)

购物策略：

估计费用：根据实际的问题，选择合理的估算策略，进行估算。

购物策略：根据实际需要，对常见的几种优惠策略加以分析和比较，并能够最终选择最为优惠的方案

学后反思：做事情运用策略的好处

六年级数学下册的知识3第三单元 圆柱和圆锥

一、圆柱

1、圆柱的形成：圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得的。

圆柱也可以由长方形卷曲而得到。

两种方式：

1.以长方形的长为底面周长，宽为高;

2.以长方形的宽为底面周长，长为高。

其中，第一种方式得到的圆柱体体积较大。

2、圆柱的高是两个底面之间的距离，一个圆柱有无数条高，他们的数值是相等的

3、圆柱的特征：

(1)底面的特征：圆柱的底面是完全相等的两个圆。

(2)侧面的特征：圆柱的侧面是一个曲面。

(3)高的特征 ：圆柱有无数条高

4、圆柱的切割：

①横切：切面是圆，表面积增加2倍底面积，即S 增 =2πr?

②竖切(过直径)：切面是长方形(如果h=2R，切面为正方形)，该长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即S增=4rh

5、圆柱的侧面展开图：

①沿着高展开，展开图形是长方形，如果h=2πr，则展开图形为正方形

②不沿着高展开，展开图形是平行四边形或不规则图形

③无论怎么展开都得不到梯形

6、圆柱的相关计算公式：

底面积 ：S底=πr?

底面周长：C底=πd=2πr

侧面积 ：S侧=2πrh

表面积 ：S表=2S底+S侧=2πr?+2πrh

体积 ：V柱=πr?h

考试常见题型：

①已知圆柱的底面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面周长

②已知圆柱的底面周长和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面积

③已知圆柱的底面周长和体积，求圆柱的侧面积，表面积，高，底面积

④已知圆柱的底面面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积

⑤已知圆柱的侧面积和高，求圆柱的底面半径，表面积，体积，底面积

以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算

无盖水桶的表面积=侧面积+一个底面积油桶的表面积=侧面积+两个底面积

烟囱通风管的表面积=侧面积

只求侧面积：灯罩、排水管、漆柱、通风管、压路机、卫生纸中轴、薯片盒包装

侧面积+一个底面积：玻璃杯、水桶、笔筒、帽子、游泳池

侧面积+两个底面积：油桶、米桶、罐桶类

二、圆锥

1、圆锥的形成：圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的。

圆锥也可以由扇形卷曲而得到。

2、圆锥的高是两个顶点与底面之间的距离，与圆柱不同，圆锥只有一条高

3、圆锥的特征：

(1)底面的特征：圆锥的底面一个圆。

(2)侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲面。

(3)高的特征：圆锥有一条高。

4、圆锥的切割：

①横切：切面是圆

②竖切(过顶点和直径直径)：切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是圆锥的高，底是圆锥的底面直径，面积增加两个等腰三角形的面积，

即S增=2rh

5、圆锥的相关计算公式：

底面积：S底=πr?

底面周长：C底=πd=2πr

体积：V锥=1/3πr?h

考试常见题型：

①已知圆锥的底面积和高，求体积，底面周长

②已知圆锥的底面周长和高，求圆锥的体积，底面积

③已知圆锥的底面周长和体积，求圆锥的高，底面积

以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆锥的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算

三、圆柱和圆锥的关系

1、圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。

2、圆柱与圆锥等底等体积，圆锥的高是圆柱的3倍。

3、圆柱与圆锥等高等体积，圆锥的底面积(注意：是底面积而不是底面半径)是圆柱的3倍。

4、圆柱与圆锥等底等高

，体积相差2/3Sh

题型总结

①直接利用公式：分析清楚求的的是表面积，侧面积、底面积、体积

分析清楚半径变化导致底面周长、侧面积、底面积、体积的变化

分析清楚两个圆柱(或两个圆锥)半径、底面积、底面周长、侧面积、表面积、体积之比

②圆柱与圆锥关系的转换：包括削成最大体积的问题(正方体，长方体与圆柱圆锥之间)

③横截面的问题

④浸水体积问题：(水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积，等于盛水容积的底面积乘以上升的高度)容积是圆柱或长方体，正方体

⑤等体积转换问题：一个圆柱融化后做成圆锥，或圆柱中的溶液倒入圆锥，都是体积不变的 问题，注意不要乘以1/3

六年级数学下册的知识4第四单元 比例

1、比的意义

(1)两个数相除又叫做两个数的比

(2)“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

(3)同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。

(4)比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。

(5)比的后项不能是零。

(6)根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。

2、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或者除以相同的数(0除外)，比值不变，这叫做比的基本性质。

3、求比值和化简比：

求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。

根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。

4、按比例分配：

在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。

方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。

5、比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。

组成比例的四个数，叫做比例的项。

两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

6、比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个两个内项的积。

这叫做比例的基本性质。

7、比和比例的区别

(1)比表示两个量相除的关系，它有两项(即前、后项);比例表示两个比相等的式子，它有四项(即两个内项和两个外项)。

(2)比有基本性质，它是化简比的依据;比例也有基本性质，它是解比例的依据。

8、成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。

用字母表示x/y=k(一定)

9、成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。

用字母表示x×y=k(一定)

10、判断两种量成正比例还是成反比例的方法：

关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例;如果积一定，就成反比例。

11、比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。

12、比例尺的分类

(1)数值比例尺和线段比例尺 (2)缩小比例尺和放大比例尺

13、图上距离：

图上距离/实际距离=比例尺

实际距离×比例尺=图上距离

图上距离÷比例尺=实际距离

14、应用比例尺画图的步骤：

(1)写出图的名称、

(2)确定比例尺;

(3)根据比例尺求出图上距离;

(4)画图(画出单位长度)

(5)标出实际距离，写清地点名称

(6)标出比例尺

15、图形的放大与缩小：形状相同，大小不同。

16、用比例解决问题：

根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系，并根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解。

17、常见的数量关系式：(成正比例或成反比例)

单价×数量=总价

单产量×数量=总产量

速度×时间=路程

工效×工作时间=工作总量

18、

已知图上距离和实际距离可以求比例尺。

已知比例尺和图上距离可以求实际距离。

已知比例尺和实际距离可以求图上距离。

计算时图距和实距单位必须统一。

19、播种的总公顷数一定，每天播种的公顷数和要用的天数是不是成反比例?

答：每天播种的公顷数×天数=播种的总公顷数

已知播种的总公顷数一定，就是每天播种的公顷数和要用的天数的积是一定的，所以每天播种的公顷数和要用的天数成反比例。

六年级数学下册的知识5第五单元 数学广角-鸽巢问题

1、鸽巣原理是一个重要而又基本的组合原理,

在解决数学问题时有非常重要的作用

①什么是鸽巣原理, 先从一个简单的例子入手, 把3个苹果放在2个盒子里, 共有四种不同的放法,

无论哪一种放法, 都可以说“必有一个盒子放了两个或两个以上的苹果”。 这个结论是在“任意放法”的情况下, 得出的一个“必然结果”。

类似的, 如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里, 那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子

如果有6封信, 任意投入5个信箱里, 那么一定有一个信箱至少有2封信

我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体，把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巣, 可以得到鸽巣原理最简单的表达形式

②利用公式进行解题：

物体个数÷鸽巣个数=商……余数

至少个数=商+1

2、摸2个同色球计算方法。

①要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。

物体数=颜色数×(至少数-1)+1

②极端思想： 用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有两个球是同色的。

③公式：

两种颜色：2+1=3(个)

一个圆柱和一个圆锥篇10

【教学片段】

新课导入，揭示课题以后。

师：你觉得圆锥的体积可能会跟什么条件有关？（师出示大小不一的圆锥）

生：底面积和高。

师：那你觉得它又会跟我们学过的哪种图形的体积有关。为什么？

生：圆柱。因为它们的底面都是圆，侧面都是曲面。

师：嗯，它们外形上有相似之处。并且我们可以从一个圆柱里得到一个最大的圆锥。那你能大胆猜测一下它们的体积可能存在什么样的关系吗？

生：圆柱的体积是圆锥体积的3倍。圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的三分之一。

（学生马上说出了这样的关系也是在我的意料之中，但我认为学生应该还有其他的想法）

师接着又问：还有谁来说说你的想法？

台下一片寂静，没有学生再表达自己的想法，也许他们已经看过了书上的结论，所以没有学生再提出其他的想法。

接下环节就是动手实验，验证猜想。同学们都选择了一组等底等高的圆锥和圆柱做实验。师接着提问，为什么你们选择这样一组材料做实验呢？

当我抛出这个问题的时候，又没人发表意见。

我就接着追问：为什么不是等底等高的圆锥和圆柱，它们的体积就不是3倍关系了呢？

台下举手的学生寥寥无几。

剖析自己的教学过程，反思自己的教学行为，尤其是教师的课堂教学提问，暴露出以下三个问题。

（一）问题跳跃性太大，前后无太大关联

在揭示圆锥的体积这一课题后，问学生：“你觉得圆锥的体积会跟什么条件有关？”学生回答到底面积和高。然后接着又问：“那你觉得它又会跟我们学过的哪种图形的体积有关。”课后，我又对这两个问题进行反复推敲，发现它们之间的联系并不是很紧密，跳跃性太大。本来我可以顺着第一个问题的答案，把学生引导到圆锥的体积和底面积、高这条思路上来。可我抛出的第二个问题，又把学生带到了分析圆锥和圆柱之间的关系上来了，两个问题似乎没有很好地串联起来。如果教师设计的问题缺乏系统性，“东一锄头，西一棒”，这样就会导致学生思维混乱，不得要领。因此，教师在设计问题时应注意前后呼应、彼此衔接、环环相扣，促使学生循序渐进地得出正确的结论。

（二）问题过深，不易回答

在引导学生探究圆柱的体积为什么是等底等高的圆锥体积的3倍时，我向学生提出了这样一个问题：“为什么不是等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积就不是3倍关系了呢？”抛出这个问题时，课堂气氛霎时凝固了。我还连续追问，可学生始终答不上来。现在回想这个问题，确实比较拗口，而且也很难回答，才会导致学生暂时出现教学上的“休克状态”。维果茨基认为，人的认知水平就在这“已知区”“最近发展区”和“未知区”之间循环往复，螺旋上升的。因此，问题的设计必须准确、清楚，符合学生的认知特点，遵循学生的认知水平。

（三）问题模糊，针对性不强

在得出圆锥体积的计算方法后向学生提问：“我们在计算圆锥的体积时应注意什么？”我的本意是提醒学生在计算的时候不要忘记乘三分之一，而学生的答案有很多，浪费了很多时间。有时教师的提问缺乏准确性和针对性，才会导致学生要么无言以对，要么风马牛不相及。为此，只有简洁科学且富有启发性和探索性的提问，才能激起学生思维的发展，才能“一问激起千层浪”。

在平时的教学中我也一直在思考，综观有效的数学课堂，教师的提问一般都关注以下四个点。

一、抓住新旧知识的连接点提问，使教学更顺畅

例如，一教师教学“三角形面积的计算”一课，由于学生已经掌握了长方形和平行四边形面积的计算方法，学会了用割补法得出平行四边形的面积计算方法，因此可以设计以下几个问题，让学生通过动手操作、观察分析、自主探索、合作交流等方法解决问题：

平行四边形的面积公式是怎样推导出来的？推导过程对你有什么启示？

你能用三角形学具，通过剪、摆、拼得出三角形的面积计算方法吗？

看似简单的探究三角形面积的计算方法，但探究的过程目的性非常明确，紧紧抓住新旧知识的连接点提问，充分利用已有的数学思想和方法，解决新的问题，且环环相扣，教学过程清新自然，层层深入，又具有很强的针对性。有张有弛的教学节奏，学生学得兴趣盎然，知识的获得是那样轻松自如。因此，教师在教学指导中的提问就要把准新旧知识间的衔接点，促使学生的思维由此及彼，由未知转向已知，使知识的呈现更显得水到渠成。

二、抓住新知的增长点提问，促进理解

让我们来看看特级教师黄爱华的《圆的周长》教学片段。

师：同学们，什么是圆的周长？

生：圆一周的长度叫做圆的周长。

师：请同学们闭上眼睛想一想，圆的周长展开后会是什么呢？

生：会是一条线段。

师：我们如何测量圆的周长呢？（板书：圆的周长）

生：我是用滚动法测量出圆的周长的。

师：如果要测量大圆形水池，你能把水池立起来滚动吗？

师：还有其他方法测量圆的周长吗？

生：用绳子绕一周，量出绳子的长度也就是圆的周长。

师：你能用绳子测量出这个圆的周长吗？（师把系着小球的细绳的另一端固定在黑板面上，用力甩动小球，让学生观察甩动后形成的圆）

生：不能。

师：用滚动法、绳子测量法来测量圆的周长都有一定的局限性，那么能不能研究出一种求圆周长的方法呢？

师：圆周长的大小是由什么决定的呢？要找到这个规律我们先来做个实验。（两球同时甩动，形成大小不同的圆。学生发现：圆周长的大小与半径、直径有关）

师：圆的周长到底与它的直径有什么关系呢？

（学生动手测量得出结论：圆的周长是它直径的3倍多一些）

黄老师的提问总是在不知不觉中唤起学生的学习热情，而后根据学生的回答，教师提出相应的问题，让学生不断地产生矛盾冲突，再逐渐提高问题的难度。他善于寻找学生的“已知区”与“最近发展区”的结合点，即在知识的“增长点”上设置悬念，在学生可能形成的数学思想、价值观念等生长点上设计问题，促进学生认知结构的形成，促进学生认知能力的提高，最终使学生的“最近发展区”化为“已知区”。因此，我们教师要根据教学内容的特点，抓住新知的本质，尽可能使设计的问题呈现逐步上升的趋势，提高学生思维的密度和效度，构建有效的数学课堂。

三、抓住知识的关键点提问，突破重难点

华应龙老师在教学《平行四边形面积的计算》时有这么一个片段。

在学生猜想，动手验证后，汇报。

生：老师你看，因为平行四边形很容易变成一个长方形。长方形的面积是长乘宽，这样就能用相邻的两条边相乘得到平行四边形的面积。

师：赞成用相邻两条边的长度相乘的，请举手。（大部分同学举起了手）。那你们再看（教师顺着学生拉动的方向，继续慢慢拉动平行四边形的框架，直到几乎重合），通过刚才的操作，你有什么想法？

生：我发现问题了，两条边的长度没变，乘积也没变，可是框架里面的面积变了。

生：平行四边形的面积不是长方形的面积。

……

用相邻两条边的长度相乘，这是学生在探究平行四边形的面积计算方法时真实的想法。但是这个错误的想法要让学生真正明白，华老师利用将平行四边形的框架拉成几乎重合，帮助学生抓住关键点，并适时提问，让学生产生认知冲突，有效地帮助学生纠正错误的认识，将学生带到柳暗花明的境地。

知识的关键点也是教学中的重难点，是那些对学生思维有统领作用的知识，理解了关键点，教学目标的达成也便显而易见了。我们知道学生对知识的认知掌握过程，总是要经历一个由不懂到懂，由浅入深这样一个认知过程。因此，抓住知识的关键点提问，就能很容易地突出重点，突破难点，学生对新知的理解就会轻松很多，进而达到理想的教学效果。

四、抓住知识的疑难点提问，发散思维

如某教师在教学《圆锥的体积》这一课的教学片段。

师：当圆锥的高是圆柱高的3倍时，要使它们的体积相等，它们的底面积之间有什么关系呢？

学生讨论作答。

师紧接着追问：老师这里有一组等底等高的圆锥和圆柱，要使它们的体积变成相等，若只能改变其中一个图形的大小，不改变原有图形的形状，你会怎么办呢？

生1：圆锥的高不变，底面积扩大3倍。

生2：圆锥的底面积不变，高扩大3倍。

生3：圆柱的高不变，底面积缩小到原来的1/3。

生4：圆柱的底面积不变，高缩小到原来的1/3。

教师在教学了等底等高的圆锥和圆柱，圆柱的体积是圆锥体积的3倍后，又提出了富有挑战性又有探索价值的疑惑，引导学生展开讨论。巧妙地提问能给予学生足够的思维空间，学生能够利用已有的知识寻求多种答案，有效地促进了学生的思维，促使学生积极地自主学习。

有效的教学提问必须能促进学生分析综合能力的发展，激起学生强烈的求知欲，达到发展智力，培养能力的目的。教学上的疑难点是最让学生难以消化的地方，也是教师最关注的地方，也是教学内容的重中之重。因此，在疑难处每一个细节教师都应巧妙地设计提问的内容，这样，不仅能促进学生的思维，帮助学生更好地理解知识，而且还能让学生的思维发展到更广、更深处。

基于上述反思，我又重新修改了我的教学设计。

【教学设计修改稿】

新课导入，揭示课题以后。

出示等底不等高的圆锥，师问：这两个圆锥哪一个体积大？那这两个呢？（不等底但等高的圆锥）

师：那你觉得圆锥的体积可能会跟什么条件有关呢？

生：底面积和高。

老师顺势就把V=sh写在黑板上。

师：那么这样得到的是不是圆锥的体积呢？

生：不是。是圆柱的体积。

教师出示四组材料：等底等高的圆柱圆锥、不等底但等高的圆柱圆锥、等底但不等高的圆柱圆锥、不等底不等高的圆柱圆锥，但每组的圆锥都是同样大小的。

生：老师我明白了是与这个圆锥等底等高的圆柱的体积有关。

师：那么请你猜猜看这个圆锥的体积和这个等底等高的圆柱的体积之间存在怎样的关系呢？

鼓励学生大胆猜测。

有了猜测，学生就动手操作验证自己的想法。