菱形对角线十篇

菱形对角线篇1

菱形的性质：

菱形的对角线性质有：

1、菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角。

2、菱形是轴对称图形，对称轴有2条，即两条对角线所在直线。

定义：在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

其他性质：

菱形具有平行四边形的一切性质；

菱形的四条边都相等；

菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角；

菱形是轴对称图形，对称轴有2条，即两条对角线所在直线；

菱形对角线篇2

法宝一：平行四边形+一组邻边相等菱形

例1 （2014年・南京）如图l，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点.过点E作EF∥AB.交BC于点F

（l）求证：四边形DBFE是平行四边形.

（2）当ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？

解：（1）因D，E分别是AB，AC的中点，故DE是ABC的中位线，DE//BC.又EF//AB，所以四边形DBFE是平行四边形，

（2）当AB=BC时，四边形DBFE是菱形，理由如下：

因D是AB的中点，故

因DE是ABC的中位线，故

因AB=BC，故BD=DE.故平行四边形DBFE是菱形.

法宝二：平行四边形+对角线互相垂直菱形

例2 （2014年・北京）如图2，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD、交BC于点E.BF平分∠ABC，交AD于点F.AE与BF交于点P.连接EF.求证：四边形ABEF是菱形，

分析：由角平分线的定义、平行四边形的性质易得AB=AF，AB=BE，于是得AF与BE平行且相等，证得四边形ABEF是平行四边形.由平行线的性质以及角平分线的定义可得∠APB =90°，从而可以利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证得结论.

简证：因AE平分∠BAD，故∠BAE=∠FAE.

因四边形ABCD是平行四边形，故AD//BC，所以∠FAE=∠BEA.

∠BAE=∠BEA，AB=BE.同理得AB=AF

下略，见“分析”.

法宝三：四边形+四条边相等菱形

例3 （2014年・淮安）如图3，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC.将ABC折叠，使点A与点D重合，展开后，折痕分别交AB，AC于点E，F.连接DE，DF.求证：四边形AEDF是菱形.

证明：因AD平分∠B4C，故∠BAD=∠CAD.

将ABC折叠，使点A与点D重合，知点A，D关于直线EF对称.

AE=DE，AF=DF，EFAD.

∠AOE=∠AOF=90°.

由对称性可知AE=DE，AF=DF

AE=DE=DF=AF四边形AEDF是菱形，

法宝四：四边形+对角线互相垂直平分菱形

例4（2014年・新疆）如图4，已知ABC.按如下步骤作图：

①分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；

②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；

③过C作CF//AB，交PQ于点F，连接AF.

（1）求证：AED全等于CFD.

（2）求证：四边形AECF是菱形.

简证：（1）由作图可知PQ为线段AC的垂直平分线，于是AD=CD.再根据CF//AB，可得∠EAD=∠FCD，∠AED=∠CFD.利用“角角边”可以证明两个三角形全等.

（2）因AED全等于CFD，故ED=FD.

又由作图可知PQ为线段AC的垂直平分线，

菱形对角线篇3

课堂练习是数学课堂教学的重要组成部分，是巩固新课的重要途径，是运用新知识解决实际问题的体现，是教师获得反馈信息的桥梁。课堂练习的有效性在课堂教学中就显得尤为重要。因此，要取得课堂教学效果，保证课堂教学的有效，在练习设计上下一番苦功夫体现艺术性是很必要的。

教学中，我们应根据课程标准，熟读教学内容、在理解编者意图基础上利用好教材，从学生的实际出发，合理性、适当性、适度性、梯度性、多样性、趣味性地安排课堂练习，激发学生兴趣，调动学生学习的积极性，从而提高课堂质量。下面以《菱形的性质》为例对“课堂练习设计的有效性”的有关尝试，

一 、 课堂练习要有适度性、梯度性

教师要根据本班学生的实际来设计练习，注重差异，使不同的学生在练习中有不同的巩固、收获和发展。所以练习要求不能太高，也不能太低，把握好：“合理性、适当性、适度性”的原则，由易到难，循序渐进，既要让差生“吃好”，又要让优等生“吃饱”，从而适应不同层次学生学习的需求。在《菱形的性质》这一课中，我就精心设计了四个不同层次的练习：

如：第一个练习，在得出菱形的两条特殊性质菱形的四条边都相等。菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角后，马上请学生运用性质完成几道针对性很强的练习，1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.2.菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，若AB＝5cm，AO=4cm，则AC= _______ BD= _______ 巩固新知，加深印象。

第二个练习，是数学书上的例题，一道生活应用问题，例1：菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（ 分别精确到0.01m和0.01m ）。为了更好的检测学生对新知识理解和掌握情况，我特意将原例题中的“边长为20m”改成“周长为80m”，为了巩固前面学习的对简单的根式的化简，我又将原题“分别精确到0.01m和0.01m”删去，让学生算出准确值。并且在随后的练习题中巧妙安排菱形面积计算，如：菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的周长是_______，面积是_______ 。让学生自己去归纳，菱形面积的计算方法不仅是小学学习的平行四边形面积的计算方法：底×高，还可以利用菱形对角线的长度来计算菱形的面积：对角线乘积的一半。当学生将例题解决后，我又将例题进行变式，将原题中的“∠ABC＝60°”改成“∠BAD＝120°”，让学生动脑思考，如何解决。通过这一练习，既巩固了菱形的特殊性质，又加强了面积计算公式的运用，针对角度是60°或120°的情况，进行了解题技巧点拨：当菱形有一个内角度数是60°或120°时，连接对角线会得到等边三角形。

x

第三个练习，菱形的对角线互相垂直，菱形的面积等于对角线乘积的一半，对角线互相垂直的任意四边形的面积是否也等于对角线乘积的一半？这是一道能力提高题，由菱形面积的特殊性延伸到对角线互相垂直的任意四边形，学生用菱形面积的推导方法不难推出对角线互相垂直任意四边形的面积也可以是对角线乘积的一半。这样类比延伸的练习题不仅拓宽了学生的视野，而且此题设计在熟练掌握和应用菱形面积公式后，实际是有梯度的，符合学生接受知识有简入难过渡规律，使每个层次的学生都有“事”可做。

第四个练习，是一道思考题。把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？这道题的设计来源于生活，易于学生动手操作，图形可以形象直观的展现在学生面前，便于学生动脑思考，这道题实质上是菱形的判定的应用，在本课有意安排其实是提示和督促学生预习。

通过以上四个由浅入深的练习，使学生：1、掌握了菱形的两条特殊性质，能运用公式正确地计算菱形的面积。2、了解菱形的特殊性质和面积计算公式在实际生活中的应用，体会数学的价值。3、结合菱形面积计算公式的推导，锻炼自己的探索精神，拓宽了自己的视野，提高了解决问题的能力。达到了这节课的教学目标，从而使教学保质保量，高效率的完成。

二、课堂练习注重多样性、开放性

课堂练习除了要有基础练习，还必须要有拓展性习题，让学生“跳一跳，才能摘到果子”。这样，学有余力的学生就会在解题过程中表现出强烈的挑战欲望，产生浓厚的学习兴趣。条件不完备、问题不完备、答案不唯一、解题方法不统一的练习，具有发散性、探究性、发展性和创新性的特点，有利于促进学生积极思考，激活思路，能从不同方向去寻求最佳解题策略。如，例题的设计及变式题和第三个练习的设计，有意识地设计一些能开拓学生思路的，有利于学生自主探索解决问题的练习。通过这样的练习，学生的思维越来越灵活，应变能力越来越强，而不被模式化的定势所束缚。

三、课堂练习应有生活实用性、趣味性

数学源于生活，又高于生活。数学练习的设计一定要充分考虑数学知识点产生的原因，不断加强生活与数学教材的联系，从学生的“最近发展区”出发，使课堂练习的设计有生活实用性、趣味性。这样的数学习题才有益于学生理解数学、热爱数学，让数学成为学生发展的重要动力源泉。如：例题的设计，不仅巩固了菱形的性质，还从另一个角度反映出菱形的美在生活中的应用。联系生活实际进行练习设计，可展现数学的应用价值，让学生体会生活中处处有数学，数学就在自己身旁，从自己身边的情景中可以看到数学问题，运用数学可以解决实际问题。让学生觉得学习数学是有用的，使他们对学习数学更感兴趣。

在这节课中设计的四个练习，都与生活有着紧密的联系。计算菱形花坛对角线的长度和面积，都在生活中都有着广泛地应用，在学以致用地过程中，不仅使学生完全掌握了本节课的知识点，也充分锻炼了学生解决生活实际问题的能力，使学生的综合运用能力得到发展，也使得课堂大容量、高效地完成。

四、课堂练习时间的保证

菱形对角线篇4

1. 矩形的两条对角线互相平分且相等；

2. 菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；

3. 正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.

灵活巧用这些性质，能顺利地解答一些相关问题.

例1 如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.

（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；

（2）若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积.

分析：（1）显见，四边形OCED是平行四边形. 要判断它的形状，还应看看它是否有可能是矩形、菱形或正方形.（2）由CD是平行四边形OCED的对角线，则S■＝2S■.

解：（1）四边形OCED是菱形. 理由如下：

DE∥AC，CE∥BD，

四边形OCED是平行四边形.

O为矩形ABCD对角线的交点，

OC＝■AC，OD＝■BD，AC＝BD.

OC＝OD.

四边形OCED是菱形.

（2）在矩形ABCD中，由OA＝OB＝OC＝OD，得S■=S■=S■=S■=■S■.

AB＝6，BC＝8，

S■＝48，S■＝12.

CD是菱形OCED的对角线，

S■＝2S■＝24.

例2 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED.

（1）求证：BEC≌DEC；

（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数.

分析：（1）从正方形ABCD这个条件出发，寻找能使BEC≌DEC的相等的边或角.（2）直接求∠EFD的度数比较困难，应考虑将其转化. 不难发现，∠EFD＝∠EAF＋∠AEF. 而∠EAF＝■∠BAD＝45°，这样，求∠EFD的度数的关键在于确定∠AEF的度数.

解：（1）由AC是正方形ABCD的对角线，得∠ECB＝∠ECD＝45°.

BC＝CD，EC＝EC，

BEC≌DEC（SAS）.

（2）由BEC≌DEC，得∠BEC＝∠DEC.

∠BEC＋∠DEC＝∠BED＝120°，

∠BEC＝60°，∠AEF＝∠BEC＝60°.

∠EAF＝45°，

∠EFD＝∠EAF＋∠AEF＝105°.

例3 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.

（1）求BDE的周长；

（2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q. 求证：BP＝DQ.

分析：（1）BDE的周长等于BD＋DE＋BE. 注意到四边形ABCD是菱形，四边形ACED是平行四边形，则BDE的周长容易求出. （2）要证明BP＝DQ，只需证明BOP≌DOQ.

解：（1）由点O是菱形ABCD对角线的交点，得ACBD，BD＝2OB，OA＝■AC＝3.

AB＝5，

OB＝■＝■=4，BD＝8.

AD∥BC，DE∥AC，

四边形ADEC是平行四边形.

DE＝AC＝6，CE＝AD＝AB＝5.

BDE的周长等于24.

（2）由AD∥BC，得∠OBP＝∠ODQ，∠OPB＝∠OQD.

OB＝OD，

BOP≌DOQ（AAS）.

BP＝DQ.

例4 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF.

（1）求证：BE＝DF；

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM、FM. 判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论.

分析：（1）要证明BE＝DF，只需证明RtABE≌RtADF.（2）依题意，OM＝OA，若能得到OE＝OF，则四边形AEMF是平行四边形.又，AE＝AF，则四边形AEMF是菱形.

解：（1）在正方形ABCD中，

AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.

又，AE＝AF，

RtABE≌RtADF（HL）.

BE＝DF.

（2）四边形AEMF是菱形. 证明如下：

AC是正方形ABCD的对角线，

∠BCA＝∠DCA＝45°.

BC＝DC，BE＝DF，

CE＝CF.

CO是等腰CEF顶角的平分线.

OE＝OF.

OM＝OA，

四边形AEMF是平行四边形.

菱形对角线篇5

1、四条边都相等的四边形是菱形。

2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3、一组邻边相等的平行四边形是菱形。

4、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。注意：一组对角线平分一组对角的四边形不是菱形，也可能是筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四边形）。

（来源：文章屋网 ）

菱形对角线篇6

姓名

班级

分数

1.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（

）

A,对角线平分一组对角

B,对角相等

C,对角线互相平分

D,对边平行且相等

2．如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结四边形中点所得的四边形是（

）

A．矩形

B．菱形

C．正方形

D．以上都不对

3．顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（

）

A．等腰梯形

B.矩形

C.平行四边形

D.菱形或对角线互相垂直的四边形

4．如图，DE是ABC的中位线，若BC的长为3

cm，则DE的长是

(

)

A．2

cm

B．1.5

cm

C．1.2

cm

D．1cm

5、在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,若AD∥BC，添加一个适当的条件

，使得四边形ABCD是平行四边形。

6、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=4

cm，∠AOB=60°。

则对角线AC=

cm。

7、在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=8，BD=6，那么菱形的周长=

，菱形的面积

。

8．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为

。

二、解答下面各题：

9、已知：如图，在ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．

求证：四边形BFDE是平行四边形．

10．如图，在ABCD中，AEBD，CFBD，垂足分别是E、F，四边形AECF是平行四边形吗？为什么？

11、已知：如图，在ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF．

求证：四边形EBFD是平行四边形．

A

B

C

D

E

F

12.如图，ABCD的对角线相交于点O，直线EF过点O分别交BC，AD于点E、F，G、H分别为OB，OD的中点，求证：四边形GEHF是平行四边形．

F

B

C

D

A

O

G

E

H

13．已知：如图，在ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE、DF分别是BDC、ADC的角平分线．

求证：四边形DECF是矩形．

A

D

B

C

E

F

O

1

2

14、已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．

求证：四边形AFCE是菱形．

15.如图，在四边形ABCD中，AC=BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.四边形EFGH是什么图形？为什么？

16.如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，

PO的延长线交BC于Q.

（1）求证：OP＝OQ；

（2）若AD＝8cm，AB＝6cm，P从点A出发，以1cm/s的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t(s)，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．

18、如图：在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8

将矩形纸片沿BD折叠，点A落在点E处，设DE与BC相交于点F

（1）猜想BFD是

三角形，并证明你的猜想；

菱形对角线篇7

第四章四边形性质的探索

1．多边形的分类：

2．平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别：

（1）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（2）菱形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形。菱形的面积等于两条对角线乘积的一半（面积计算，即S菱形=L1*L2/2）。

（3）矩形：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的对角线相等；四个角都是直角。对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形。直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半；在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半。

（4）正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形。正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。

（5）等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形；对角互补的梯形是等腰梯形。

（6）三角形中位线：连接三角形相连两边重点的线段。性质：平行且等于第三边的一半

3．多边形的内角和公式：（n-2）*180°；多边形的外角和都等于。

4．中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

第五章位置的确定

1．直角坐标系及坐标的相关知识。

2．点的坐标间的关系：如果点A、B横坐标相同，则∥轴；如果点A、B纵坐标相同，则∥轴。

3．将图形的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，所得到的图形与原图形关于轴对称；将图形的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，所得到的图形与原图形关于轴对称；将图形的横、纵坐标都变为原来的倍，所得到的图形与原图形关于原点成中心对称。

第六章一次函数

1．一次函数定义：若两个变量间的关系可以表示成（为常数，）的形式，则称是的一次函数。当时称是的正比例函数。正比例函数是特殊的一次函数。

2．作一次函数的图象：列表取点、描点、连线，标出对应的函数关系式。

3．正比例函数图象性质：经过；＞0时，经过一、三象限；＜0时，经过二、四象限。

4．一次函数图象性质：

（1）当＞0时，随的增大而增大，图象呈上升趋势；当＜0时，随的增大而减小，图象呈下降趋势。

（2）直线与轴的交点为，与轴的交点为。

（3）在一次函数中：＞0，＞0时函数图象经过一、二、三象限；＞0，＜0时函数图象经过一、三、四象限；＜0，＞0时函数图象经过一、二、四象限；＜0，＜0时函数图象经过二、三、四象限。

（4）在两个一次函数中，当它们的值相等时，其图象平行；当它们的值不等时，其图象相交；当它们的值乘积为时，其图象垂直。

4．已经任意两点求一次函数的表达式、根据图象求一次函数表达式。

5．运用一次函数的图象解决实际问题。

第七章二元一次方程组

1．二元一次方程及二元一次方程组的定义。

2．解方程组的基本思路是消元，消元的基本方法是：①代入消元法；②加减消元法；③图象法。

3．方程组解应用题的关键是找等量关系。

4．解应用题时，按设、列、解、答四步进行。

5．每个二元一次方程都可以看成一次函数，求二元一次方程组的解，可看成求两个一次函数图象的交点。

第八章数据的代表

菱形对角线篇8

第一章 证明(二)一、等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。2、性质：1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（“三线合一”） 3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等） 4.等腰三角形底边上的垂直平分线上的点到两条腰的距离相等。 5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(可用等面积法证) 7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴3、判定：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。特殊的等腰三角形等边三角形1、定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形。（注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）。2、 性质 ：⑴等边三角形的内角都相等，且均为60度。　 ⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。3、判定：⑴三边相等的三角形是等边三角形。⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。⑷ 有两个角等于60度的三角形是等边三角形。二、直角三角形全等1、 直角三角形全等的判定 有5种：（1）、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；（ASA）（2）、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；（SAS）（3）、三边对应相等的两个三角形全等；（SSS）（4）、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（AAS）（5）、斜边及一条直角边对应相等的两个三角形全等；（HL）2、在直角三角形中，如有一个内角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半 3、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 4垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。 性质：线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 判定：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 5、三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等，交点为三角形的外心。 6、角平分线上的点到角两边的距离相等。 7、在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。8、 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 9、三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 10、三角形三条中线交于一点，交点为三角形的重心。11、三角形三条高线交于一点，交点为三角形的垂心。三、平行四边的定义1、定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，2、性质：（1）平行四边形的对边相等,（2）对角相等,（3）对角线互相平分。3、判定：（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （2）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （5）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。 （6）一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。两个假命题：（1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。 （2）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。 四、矩形1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 2、性质：（1）具有平行四边形的性质，（2）对角线相等，（3）四个角都是直角。（4）矩形是轴对称图形，有两条对称轴。 3、判定：（1）有三个角是直角的四边形是矩形。 （2） 对角线相等的平行四边形是矩形。五、菱形1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2、性质：（1）具有平行四边形的性质,（2）四条边都相等,（3）两条对角线互相垂直,每一条对角线平分一组对角。（4） 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 3、判定：（1）四条边都相等的四边形是菱形。（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 (3)一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。六、 正方形1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。3、判定：（1）有一个内角是直角的菱形是正方形； （2）有一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形；（4） 对角线互相垂直的矩形是正方形。七、梯形 定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。八、 等腰梯形 1、定义： 两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 2、性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。3、 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 九、三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段。性质:平行于第三边，并且等于第三边的一半。 十、梯形的中位线定义：连接梯形两腰中点的线段。性质:平行于两底，并且等于两底和的一半。

菱形对角线篇9

一、 中心对称与中心对称图形 

例1 如图1，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形面积的（）. 

A. B. C. D. 

【点拨】此题考查的是中心对称图形的概念性质，因为矩形是中心对称图形，对称中心是对角线交点. 由题可知DOF≌BOE，求阴影部分的面积就是求AOB的面积，本题选B. 

二、 平行四边形的性质 

例2 如图2，在菱形ABCD中，∠BAD 

=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF， 则∠CDF等于（）. 

A. 80° B. 70° C. 65° D. 60° 

【点拨】此题考查的是菱形的性质：菱形的每条边相等，对角线互相垂直且互相平分；菱形是轴对称图形，对角线所在的直线是它的对称轴. 所以连接BF，则BF=DF， 本题选D. 

三、 平行四边形判定与三角形中位线的性质 

例3 院子的四棵小树E、F、G、H刚好在梯形院子ABCD各边的中点上，若在四边形EFGH上种上小草，则这块草地的形状是（）. 

A. 平行四边形 B. 矩形 

C. 正方形 D. 菱形 

【点拨】这道题给了许多中点，所以想到中位线定理. 连接AC，可得EF=AC，EF∥AC，同理HG=AC，HG∥AC. 所以EF=HG，EF∥HG，由平行四边形的判定可知EFGH为平行四边形. 本题选A. 

此题主要考查的是中点四边形：一个任意四边形的四边中点顺次连接起来，都可以构成一个平行四边形. 至于一些特殊的四边形的四边中点顺次连接起来，可以构成特殊的四边形. 大家可以自己总结归纳一下. 

四、 特殊平行四边形的性质与判定 

例4 如图，ABCD是正方形，P是对角线上的一点，引PE⊥BC于E，PF 

⊥DC于F. 

求证：（1） AP=EF； 

（2） AP⊥EF. 

【点拨】此题主要考查了正方形的性质以及矩形的判定与性质等知识，根据已知得出PECF为矩形是解题关键. 延长AP与EF相交于点H，连接PC，因为BD是对角线，易证PA=PC，∠BAP=∠BCP. 根据PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，知PECF为矩形，PC=EF，故AP=EF；又∠DAH=∠FPH，∠BAP=∠BCP=∠PFE，所以在PHF中，∠FPH+∠PFE=∠DAH+∠BAP=90°，所以PHF为直角三角形，故AP⊥EF. 

五、 平行四边形与特殊平行四边形的性质和判定、三角形中位线的性质 

例5在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点，连接BE、EF. 

 

 

（1） 求证：EF=BF； 

（2） 在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG∶GD=3∶1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论. 

【点拨】本题考查了平行四边形的性质和判定、矩形性质、菱形性质、三角形的中位线、直角三角形斜边上中线性质、等腰三角形的性质等知识点，主要考查同学们综合运用定理进行推理的能力，特别要注意“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”的运用. 

（1） 根据平行四边形性质推出BD=2BO，则AB=BO. 根据三线合一定理得出BE⊥AC，在BEC中，根据直角三角形斜边上中线性质，求出EF=BF=CF即可. 

菱形对角线篇10

所谓“操作”，是指人用手活动的一种行为，也是一种技能，含义很广泛.一般是指劳动、劳作，或者按照一定的规范和要领操纵动作，数学中的操作题一般是需要对数的设置或对图形的变换、剪拼等，由于此类试题既可以有效地巩固数学知识，又可以提高同学们的动手能力，所以中考中频频“上演”此类问题.

重点题型例析

一、对数的操作

例1（2014.娄底）按照下面所示的操作步骤，若输入值为3，则输出的值为________.

分析：由操作程序可知，32=9

解：由32=9

反思：解此类题时，应正确地选择运算操作程序，避免：①错选“否”的运算程序；②错把10作为一个结果参与运算；③不按每一步的结果得数进行计算，如32+2x5=19.

二、对式的操作

例2 （2014.台州）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：

则第n次的运算结果=________.（用含字母x和n的代数式表示）

分析：要探究操作的第n次运算结果，可分别将第2、3、4次的分式计算、化简，再将化简后的分式列表分析、发现规律.

解：依题意，可列表如表1.

四、阅读与操作

例4 （2014.山西）阅读下列材料，按要求完成相应的任务.

几何中，平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形，大家对于它们的性质都非常熟悉，生活中还有一种特殊的四边形――筝形，所谓筝形，它的形状与我们生活中风筝的骨架相似.

定义：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形，如图4，四边形∠ABCD是筝形，其中AB=AD，CB=CD.

判定：①两组邻边分别相等的四边形是筝形.②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形.

显然，菱形是特殊的筝形，就一般筝形而言，它与菱形有许多相同点和不同点.如果只研究一般的筝形（不包括菱形），请根据以上材料完成下列任务：

（1）清说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条.

（2）请仿照如图5的画法，在如图6所示的8x8网格中重新设计一个由四个全等的筝形和四个全等的菱形组成的新图案，具体要求如下：①顶点都在格点上；②所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；③将新图案中的四个筝形都涂上阴影（建议用一系列平行斜线表示阴影）.

分析：（1）利用菱形的性质以及结合图形得出筝形的性质分别得出异同点即可.（2）利用轴对称图形和中心对称图形的定义结合题意得出答案，显然答案不唯一.

解：（1）相同点：①两组邻边分别相等；②有一组对角相等；③有一条对角线垂直平分另一条对角线：④有一条对角线平分一组对角；⑤都是轴对称图形；⑥面积等于对角线乘积的一半.不同点：①菱形的对角线互相平分，筝形的对角线不互相平分；②菱形的四边都相等，筝形只有两组邻边分别相等；③菱形的两组对边分别平行，筝形的对边不平行；④菱形的两组对角分别相等，筝形只有一组对角相等；⑤菱形的邻角互补，筝形的邻角不互补；⑥菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，筝形是轴对称图形不是中心对称图形.（2）答案不唯一，如图7所示中的任意一种情形.

反思：求解此类问题时，一定要充分借助网格特点进行作图，解题的关键是正确理解平移、轴对称、旋转以及中心对称图形、轴对称图形的意义.

五、裁剪操作

例5 （2014.宁波）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图8所示的两种方法裁剪（裁剪后边角不再利用）.

A方法：剪6个侧面：B方法：剪4个侧面和5个底面，

现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法.

（1）用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数.

（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？

分析：（1）根据一张硬纸板用A方法剪6个侧面 ，B

六、对图形的分割操作

例6 （2014.漳州）如图9，ABC中，AB=AC，∠A=36。，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形.请完成以下操作（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括ABC）：

（1）在图9中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是______度和______度.

（2）在图10中画2条线段，使图中有4个等腰三角形.

（3）继续按以上操作发现：在ABC中画n条线段，则图中有______个等腰三角形，其中有______个黄金等腰三角形.

分析：（1）利用等腰三角形的性质以及∠A的度数，进而得出这两个等腰三角形的顶角度数.（2）利用（1）中思路进而得出符合题意的图形.（3）利用画1条线段可得到2个等腰三角形，画两条线段可得到4个等腰三角形，画3条线段可得到6个等腰三角形，进而得出规律求出答案.

解：（1）如图9所示AB=AC，∠A =36。，故当AE=BE时，∠A= ∠ABE=36。，则∠AEB=108。，则∠EBC=36。，故这两个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度.

（2）画法不唯一，如图10所示，四个等腰三角形分别是：ABE，BCE，BEF，CEF

（3）如图11.画1条线段可得到两个等腰三角形，画两条线段可得到4个等腰三角形，画3条线段可得到6个等腰三角形，…，在ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形.

反思：本题既是一道操作题，又是一道问题的探究题，求解时应注意作图技巧，灵活运用等腰三角形的性质，其中探究出分割图形的规律是解题关键.另外，在（2）中当画出线段BE时，余下的也可以过C作∠C的平分线交BE于点F

七、折叠操作

例7 （2014 临沂）对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：

第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开，

第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A’处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA’，EA’，展开，如图12.

第三步：再沿EA’所在的直线折叠，点B落在AD上的点B'处，得到折痕EF，同时得到线段B’F，展开，如图13.

（1）证明：∠A BE=300.

（2）证明：四边形BFB’E为菱形.

分析：（1）根据点M是AB的中点判断出A’是EF的中点，然后判断出BA'垂直平分EF，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BE=BF，再根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠A’BE=∠A 'BF，根据翻折的性质可得∠ABE= ∠A 'BE，然后根据矩形的四个角都是直角计算即可得证.（2）根据翻折变换的性质可得BE=B'E，BF=B'F，然后得出BE=B'E=B'F=BF，再根据四条边都相等的四边形是菱形证明.

解：（1）由对折AD与BC重合，折痕是MN，故点M是AB的中点，故A’是EF的中点，因∠BA’E= ∠A =90。，故BA’垂直平分EF，故BE=BF，故∠A' BE= ∠A 'BF，由翻折的性质，∠ABE=∠A'BE，故∠ABE= ∠A 'BE=∠A，BF，故∠ABE（）×90。=30。.

（2）沿EA’所在的直线折叠，点B落在AD上的点B’处，故BE=B'E，BF=B'F因BE=BF，故BE=B'E=B'F=BF，故四边形BFB'E为菱形.

反思：本题通过操作，意在考查矩形、菱形、线段垂直平分线等知识.解答折叠问题的一般思路：分清折叠前后的对应边、对应角、对称轴，利用对称轴是对应点所连线段的垂直平分线寻找相等的线段或角，进行相关的计算或证明.

中考命题预测

1.在ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有____条.

2.如图14，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，至少需要移动____格.

3.如图15，将一副七巧板拼成一只小动物，则∠AOB=____.

4.如图16，小亮拿一张矩形纸如图16 （1），沿虚线对折一次得图16 （2），将对角两顶点重合折叠得图16（3）.按图16（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是（）.

A.都是等腰梯形

B.都是等边三角形

C.两个直角三角形，一个等腰三角形

D.两个直角三角形，一个等腰梯形

5.在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：

第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图17）：

第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图l8）.

请解答以下问题：

（1）如图18，若延长MN交BC于P，BMP是什么三角形？请证明你的结论.

（2）在图18中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出{符合（1）中结论的三角形纸片BMP？

6.现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可以打开铺平再折第二次）.使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一个操作），如图19（虚线表示折痕）.

除图19外，请你再给出三个不同的操作，分别将折痕画在图20（1）至图20（3）中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作.如图19（2）和图19（1）是相同的操作）.（上接第26页）点同时从点P 出发，点A以5 cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4 cm/s的速度沿射线PN方向运动.设运动时问为t（s）.

（1）求PQ的长.

（2）当t为何值时，直线AB与00相切？

3.如图8，在平行四边形ABCD中.AD=4 cm，∠A=60。，BD AD.一动点P从A出发，以每秒l cm的速度沿ABC的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PMAD.