除法的计算方式十篇

除法的计算方式篇1

从历史的视角看，计算的过程与方法是多种多样的。当今教科书中所谓的标准方法是人们长期以来约定俗成的，并且被认为是书写最简约、工整的方法，是无数种计算方法经过演变并筛选出来的。从认知的角度看，这些方法并非是最自然的，书写的简约和工整隐藏了应当有的思考过程。因此需要回眸历史审视计算方法，一方面可以感受到多样化的算法，另一方面可以让隐藏在算法背后的想法显现出来，寻找到对学生的学习最自然的方法。

一、与现在不同的竖式

在如今数学教科书中整数加法、减法和乘法的竖式计算中，通常都会提出两个要求，第一是数位右侧（个位）对齐，第二是从低位算起。历史上的算法并非都是如此，比如对于“135×12”就有如图1的竖式计算方法。[1]

图1 从高位算起的乘法竖式

这个计算过程是将上面的因数“135”看作“100+30+5”，第一步是计算出100个“12”等于1200，“0”省略不写，把“12”写在横线下第一行；第二步是计算30个“12”等于“360”，用同样方法写在第二行；第三步算出5个“12”等于“60”写在第三行。最后计算出三个部分积的和。这个过程是从高位到低位逐步计算的，而且每一步计算结果都另起一行，避免了计算过程中的进位。

类似于此还可以把下面的因数“12”看作“10+2”，先计算10个“135”等于“1350”，再计算2个“135”等于“270”，之后把这两个部分积相加得到1620。（见图2）

图2 从高位算起的乘法竖式[2]

由此看出，所谓“从低位算起”并不是唯一确定、不能违背的，从高位算起应当是更加自然的思考方式，比如日常生活中的估算通常都是从高位算起的。[3]

除法是四则运算中难度最大的一种，历史上出现过许多现在看起来极其烦琐的计算方法。与现在除法竖式比较接近的一种，是出现于公元980年的Gerbert方法。[4]以“900÷8”为例，现在教科书中针对于此题的竖式计算应当是如图3的写法。

图3 标准除法竖式

Gerbert方法与现在标准除法竖式不同的是将除数写为“10-2”，将商写在被除数右侧，而且并不是取最大数作为试商，而是取便于计算的数。（见图4）

图4 Gerbert方法示意图[5]

上述过程的第一步选择商为90，是为了与10相乘得到900；第二步商18是为了与10相乘凑出180，以下依次类推。这个求商的思考过程与现在教科书中的过程显然是不一样的。Gerbert方法经过演变，还出现过如图5的除法竖式。

图5 逐级写商的除法竖式

这个过程的特点是将图3标准算法中隐藏的位值原理显现出来了，表面看书写得比较烦琐，但过程更加自然、直观并易于理解了。

二、《御制数理精蕴》中的以乘算除

《御制数理精蕴》是清代康熙皇帝亲自主持编写的一套科学著作，其中下编卷一“归除”章中介绍的除法计算极具特色，利用乘法竖式的写法计算除法。比如针对问题“设如有米六十四石，令八人分之，每人得几石”，列出的算式也就是对“64÷8”的计算，采用了如图6的写法。

图6 《御制数理精蕴》中“64÷8”的计算

原书中对计算过程的描述为：“法以六十四石为实列于下，八人为法列于上，因法之于实之首位之六，故将法退一位书之。再看实足法几倍，今足八倍，故书八于法上。乃以得数之八与法之八相因得六十四书于实下，与实相减恰尽，得数为八石也。”[6]这一过程可以用现在的语言分如下几个步骤解释：

第一步：把被除数64写在下面，除数8写在上面。因为除数8大于被除数最高位6，所以要退一位写（见图7）。这实际上是运用乘法计算除法，相当于思考“8乘多少等于64”。

图7 《御制数理精蕴》除法详解示意图之一

第二步：看被除数最多包含了除数的几倍，可以看出最多包含8倍，所以在除数上面写8。（见图8）

图8 《御制数理精蕴》除法详解示意图之二

第三步：将得数8与除数8相乘得64，写在被除数64下面。（见图9）

图9 《御制数理精蕴》除法详解示意图之三

第四步：与被除数相减，恰好得0。说明得数就是8。（见图10）

图10 《御制数理精蕴》除法详解示意图之四

书中对于比较复杂的除法也采用同样的方法计算。比如“9225÷45”的计算就是如下的竖式。（见图11）

图11 《御制数理精蕴》9225÷45过程示意图

其中的“九二二五”是被除数“9225”，“四五”是除数“45”，最上面的“二五”是商“205”。计算过程与前面基本上是一致的。把这个竖式中的除数“四五”移出来写到左侧，就与现在教科书中的除法标准竖式的写法基本上一致了。（见图12）

图12 计算示意图

初学除法最大的困难是，除法竖式与已经熟悉的乘法竖式书写方式不一致。《御制数理精蕴》中的方法提供了从乘法竖式自然过渡到除法标准竖式的思路，这样的思路能够使学习者在已有知识和经验的基础上自然而然地获得新知识。

三、竖式的认识与教学

从历史发展的视角看，计算方式主要有心算、工具算和笔算。心算就是不利用纸笔和其他工具进行计算；工具算指的是借助诸如算筹、算盘等工具进行计算，当然近现代的计算工具还包括电子计算机（器）；笔算就是仅借助纸、笔进行计算，数学课程中的竖式其实就是历史上传承下来的笔算的一种形式，写出竖式进行计算的目的在于记录计算过程，减轻思维的记忆负担。

长期以来，人们对于计算追求的是“准确”与“快速”，因此在多种多样的笔算中就逐步摒弃了冗长、烦琐的方式，遗留下书写形式最为简捷并且规范的形式，供后人学习。而对于初学者，特别是低龄的儿童来说，这些简捷并且规范的竖式往往不是最容易理解的形式。因此在数学课程与教学中适当地呈现一些表面看不简捷、但是更为自然的竖式作为过渡，对于帮助学生理解计算过程中的原理或许会有所裨益。

1947年中华民国教育部审定，中华书局出版的《初级小学算术课本（六）》中把所有问题的计算都呈现出两种形式的竖式。（见图13）

图13 民国算术课本图

比如对于问题“兵士3队，每队125人，共有几人？”[7]就分别列出如图14的两个竖式：

图14 竖式对比示意图

图14中右侧竖式不如左侧竖式书写简捷，但把“125×3”过程中的“5×3”“20×3”和“100×3”三个环节分别呈现出来了，对于学习者来说更加自然、更加直观、更容易理解。将二者摆放在一起对比学习，显然有助于对左侧标准竖式的理解。

综上对于计算教学中的竖式应当形成的认识是，教科书中的竖式并不是唯一的，也不是学生最容易理解的。教学中教师应当让学生与心算结合起来，当心算过程过于复杂、有记录的需要时，就可以鼓励学生用自己认为合理的方式记录，在此基础上通过引导与讨论，逐步过渡到标准竖式的认识。

参考文献

[1]David Eugene Smith. History of mathematics. Volume 2. Copyright， 1925， by David Eugene Smith. P108.

[2]同[1].

[3]郜舒竹.国外估算案例析[J].教学月刊，2013（3）.

[4]Louis C. Karpinski. Two Twelfth Century Algorisms. Isis， Vol. 3， No. 3 （Summer， 1921）， PP.396～413.

[5] 同[1]，P150.

[6][ 清] 御制数理精蕴： 下编卷一. 载：钦定四库全书子部.

除法的计算方式篇2

整十数除两三位数（第一课时）

课型

新授

教学

目标

1、结合生活情境，探索并理解整十数除两三位数（商是一位数）的除法计算方法，并在交流中体会算法的多样化。

2、掌握整十数除两三位数（商是一位数）的除法的计算方法，并能正确地进行除法竖式计算。

3、经历尝试、归纳计算法则的学习活动，能理解算理，并能表达运算过程。

4、在解决问题的过程中，养成认真审题、独立思考的学习习惯。

5、逐步养成工整书写、认真计算、自觉检验的良好习惯。

教学重点

掌握整十数除两三位数（商是一位数）的除法的竖式计算方法，并能进行正确的进行计算。

教学难点

理解整十数除两三位数（商是一位数）的除法计算方法。

评价

关注点

学习兴趣：探究兴趣；

学习习惯：听说习惯、练习习惯

学业成果：计算掌握

教学技术与学习资源应用：

PPT课件，

教学

环节

目标指向

师生活动

评价

关注点

一、复习引入

3、经历尝试、归纳计算法则的学习活动，能理解算理，并能表达运算过程。

1．在下面的括号里最大能填几？

30×(

)＜200

40×(

)＜270

说一说你是怎么想的？

2、竖式计算。

（1）

独立计算，再和同桌说一说计算过程。

（2）

师生共同归纳除数是一位数的除法竖式计算法则

A、

从高位除起，先看被除数的前一位，如果前一位比除数小就看前两位．

B、

除到哪一位，商就写在哪一位的上面．

哪一位不够除，就在那一位上写0.

C、

余数必须比除数小。

（3）验算结果是否正确。

1、能正确说出（）里最大能填的数。

2、能正确计算除数是一位数的除法并正确验算

二、探索方法

1、结合生活情境，探索并理解整十数除两三位数（商是一位数）的除法计算方法，并在交流中体会算法的多样化。

2、掌握整十数除两三位数（商是一位数）的除法的计算方法，并能正确地进行除法竖式计算。

3、经历尝试、归纳计算法则的学习活动，能理解算理，并能表达运算过程。

4、在解决问题的过程中，养成认真审题、独立思考的学习习惯。

1、口算

（1）

算一算

（2）

观察：上下两个算式有什么关系？

（3）

小结：我们可以想乘法，做除法。

练习：100÷50

90÷30

200÷40

150÷50

2、出示例题：

（1）从图中你获得哪些信息？

小猪体重是82千克，小羊体重是30千克。

（2）你能提一个除法的数学问题吗？

小猪的体重比小羊的体重的几倍多几千克？

（3）列出算式

82÷30

2、观察：这道除法和以前的有什么不同？(除数是整十数)

揭示课题：整十数除两三位数

6、思考：

82÷30怎样计算？

（1）小组讨论，交流反馈．

A、想82里面有（2）个30，商是2。

82÷30=2……22

B、

推算

8÷3，商是2；

82÷30，商是2。

所以82÷30=2……22

C、

竖式计算。

思考：除数是两位数，要从被除数的哪一位除起，商的最高位写在哪一位？

8不够除30，所以要看被除数的前两位82，82里有2个30，所以2写在个位上。

这里的60

表示什么？

2×30=60

（3）

哪种方法更简单？（竖式计算）

全班一起说一说计算过程

（4）

归纳整十数除两三位数竖式计算的方法：

A从高位除起，先看被除数的前两位，

B、除到哪一位，商就写在哪一位的上面．

哪一位不够除，就在那一位上写0.

C、余数必须比除数小。

（5）验算结果是否正确

3

×

2

6

+

2

2

8

2

1、能利用乘除法的关系计算整十数除两三位数。

2、会正确口算结果

3、能根据所提供的信息提除法的数学问题，并列式。

4、讨论并归纳整十数除两三位数的计算方法。

5、会正确验算

三、简单应用。

2、掌握整十数除两三位数（商是一位数）的除法的计算方法，并能正确地进行除法竖式计算。

4、在解决问题的过程中，养成认真审题、独立思考的学习习惯。

5、逐步养成工整书写、认真计算、自觉检验的良好习惯。

1、试一试（书P23上面三题）：

20

6

2

40

9

3

70

9

4

（1）

独立练习，核对反馈

（2）

总结计算方法

2、试一试（书P23下面三题）：

60

4

2

40

3

1

7

70

5

1

8

（1）观察：这三题和上面有什么不一样？

（2）思考：要从被除数的哪一位除起，商的最高位写在哪一位？

42不够除60，所以要看被除数的前三位420，42里有（7）个6，420里有（7）个60，所以7写在个位上。

（3）独立计算，核对反馈

3、不计算，判断商在什么位置上？

3、试一试（书P23/1、2）

独立练习

1.能正确用竖式计算整十数除两三位数。

2、知道前两位不够除，要看被除数的前三位，并知道商在哪一位。

3、能说出商在哪一位。

4、会正确计算。

四、课堂总结

1.

今天这节课你学到了什么本领？

2.

自评这节课的学习情况。

板

书

设

计

整十数除两三位数

A、从高位除起，先看被除数的前两位，前两位不够除的，就看前三位

B、除到哪一位，商就写在哪一位的上面．

哪一位不够除，就在那一位上写0.

除法的计算方式篇3

1.教学内容

“整数除以整数，商是小数”是“除数是整数的小数除法”中的一种类型。之前学习的“整数除法”与“小数的意义”是本课学习的重要基础，“除数是整数的小数除法”的算理、算法都与整数除法基本相同，是根据小数的意义将整数部分的运算向小数部分拓展。

人教版教材中“除数是整数的小数除法”共安排了3个例题：例1是小数除以整数，除到被除数的末尾没有余数;例2是整数除以整数，除到被除数末尾仍有余数，需要添0继续除;例3是被除数比除数小，整数部分不够商1的情况。

2.学生情况

本单元教学之前，笔者安排学生对整个“小数除法”单元的计算部分进行了预习，关于“除数是整数的小数除法”学生提出了如下一些问题：

（1）为什么商的小数点要和被除数的小数点对齐？为什么不数小数点的位数呢？

（2）小数除法第一步看不看小数点？

（3）列竖式计算的过程中，商的小数点什么时候点？

（4）被除数位数不够时为什么能添0继续除？

……

从这些提问中可以分析出，学生不太能接受小数除法没能像乘法那样“先当成整数算，最后再点小数点”的计算方法，也不理解“商的小数点与被除数对齐”“添0继续除”等算法背后的算理。

基于此，本次教学调整了教材中例题的顺序，先教学例2“整数除以整数，商是小数的情况”。先教学这类小数除法，可以从有余数的整数除法过渡到小数除法，这样更有利于算理的理解、算法的迁移，同时也有利于学生更深刻地理解小数的意义――小数是比整数更精确的数。

二、教学目标

1.探究整数除以整数商是小数的小数除法，掌握计算方法。在观察、比较等活动中，丰富学生对除法的认识，深化对小数的意义的理解。

2.借助实物直观和图形直观，理解“添0继续除”“商的小数点与被除数的小数点对齐”的道理，能正确地计算整数除以整数商是小数的小数除法。

3.在分析方法、迁移运用的过程中，学会用联系的眼光分析问题的意识和能力。

4.初步养成乐于思考、言必有据的良好品质。

三、教学过程

1.引入

①回答问题并列出算式

师：将7支钢笔平均分给2人，怎么分？用算式表示。

生：7支钢笔平均分给2人，每人3支还余1支。算式是7÷2=3……1。

师：将7元钱平均分给2人，怎么分？用算式表示。

生：7元钱平均分给2人，每人可以先分到3元，剩下的1元换成10角，每人就可以得到3元5角，也就是3.5元。算式是7÷2=3.5。（课件演示分的过程，教师板书：7÷2=3……1;7÷2=3.5）

②对比两题，引出课题

师：为什么都是7÷2，商却不同？

生：因为分的东西不一样。

生：分钢笔，剩下1支就不能再分了;分钱，剩下的1元可以换成10角继续分。

师：对于分钢笔的问题，可以用以前学过的有余数除法来解决，而分钱的问题则要用到新知识――小数除法来解决。这节课我们就来研究小数除法，体会一下今天学习的小数除法与之前学习的整数除法有什么联系和区别。（板书课题：小数除法）

（点评：在学生已有的认知经验中，“除法”与“平均分”有着密切的联系。在本课学习之前学生有比较丰富的整数除法运算经验。知道“平均分”的结果有“恰好分完”和“分完有剩余”两种情况，这是学生数学学习的认知基础。同时，学生们又知道货币可以“化整为零”，平均分完剩余“1元”，可以换成“10角”继续分，这是学生的生活经验。上面两个例子均使用了实物直观，其价值在于充分调动了学生的已有经验，为基于经验的迁移探究奠定了基础，也初步回答了学生课前的疑问。）

2.新课

（1）研究算法，追问算理

①学生尝试写竖式

师：将7元钱平均分成2份，经过了分―换―再分的过程，想一想，怎样用竖式表示出这些过程？

学生尝试写竖式;同桌交流竖式中的哪些部分分别表示了分、换、再分的过程。

②分析竖式，追问算理

学生展示竖式的不同写法，并说明竖式表示的分的过程。

师：大家写的竖式有很多相同点，比如都在余1的后面添了一个0，为什么要添0呢？

生：添0后，1就变成10了。

生：1除以2不够除，10除以2就够除了。

生：不对，应该说添0后，1就变成1.0了，就相当于把1元换成了10角。

师：这个0能添吗？

生：当然能添了，这是小数末尾的0，小数末尾添多少个0都行！

师：商5的前面为什么要点上小数点呢？

生：因为5代表的不是5个1，而是5个0.1。

生：5是10除以2算出来的，10角平均分成2份，每份是5角，是0.5元。

③板演竖式，规范写法

教师演示竖式的书写过程，说明计算过程中的小数点可以省略。

（点评：教师通过引导学生将生活经验与学习经验进行融合，平均分硬币的直观模型有助于帮助学生将“分―换―再分”这一平均分的过程，与竖式运算中的“除―添‘0’―再除”的过程建立起联系。“添0”就是“换钱”，就是化小计数单位。“大单位”不够分时可以“化小”计数单位（增加计数单位的个数），“够分了”再继续分。让学生尝试写竖式，也是将探究与思考的机会留给了学生，自主探寻课前的问题。学生通过试写、对比和分析逐步聚焦问题，抓住计数本质分析计算方法。实物直观模型较好地突显了除法中的“添0”就是“计数单位转换”这一核心。）

（2）巩固算法，深究算理

①巩固算法，尝试计算11÷4

师：（板书11÷4）这个算式表示什么意思？

生：把11平均分成4份，每份是多少。

师：11个1怎样平均分成4份呢？请你结合分的过程也可以模仿7÷2的竖式，尝试写一写11÷4的竖式。（学生独立思考，尝试写竖式计算11÷4，一生板演）

②解读竖式，演示分的过程

学生解读竖式的每个步骤，教师用课件演示平均分的过程。

③深入分析算理

师：为什么计算11÷4时，要添两个0？

生：个位余3，需要在十分位上添0继续除;十分位上又余2，就需要在百分位上添0继续除。

师：除到末尾有余数就在后面添0，添0是在改变什么？

生：添0，就让余数“变碎”了，变成了更小的单位。

生：计数单位小了，计数单位的个数就增多了，就够除了。（教师结合学生的发言，再次演示课件）

④总结算法

师：比较一下，计算7÷2与11÷4时，有什么共同点？

生：都是整数除以整数，商是小数。

生：除到最后有余数，需要点上小数点，添上0继续往下除。（教师补充课题：整数÷整数=小数）

师：对比一下，今天我们学习的小数除法与之前学过的被除数末尾有0的整数除法相比，有什么联系和区别吗？（出示如右竖式）

生：我觉得今天学的小数除法与整数除法差不多，只不过需要自己先补0再落下来继续除。

生：我补充，在添0之前要先添上小数点，商也要对应着点小数点。

（点评：在学生对这类小数除法有了初步感悟的基础上，再借助几何直观的演示，有利于帮助学生逐步形成对算法的抽象理解，并有助于形成对这一类计算的普遍性认识。从直观形式来看，执教老师所选用的方格图是学生认识小数时常见的直观模型，因此使用它对于学生理解计算过程中每一步所得到的结果以及数的变化有支撑作用。从直观的使用时机来看，是在学生尝试计算之后再进行几何直观的演示，这样的安排使直观模型发挥了验证结论和揭示过程的作用，有助于学生完成两个对接，即平均分的过程与竖式书写对接，理解直观与理解运算对接。）

（3）拓展延伸

①尝试计算5÷25

师：这里还有一道整数除以整数的题目，大家尝试用竖式计算一下。（学生独立尝试计算）

②讨论：商是5、0.5还是0.2？

师：我看到大家的计算结果有5、0.5和0.2，哪个不对，为什么？

生：不可能是5，5除以25表示把5平均分成25份，每份连1都分不到，所以不可能是5。

生：0.5也不对，0.5乘25不等于5。

③交流自主探究中的疑问

师：得出这些错误的商，是因为在计算过程中同学们有一些疑问，我们一起来交流一下。首先第一个问题就是5和25，哪个数写在里面，哪个数写在外面？

生：5是被除数，5写在里面，25写在外面。

生：无论什么数，都应该将被除数写在里面，除数写在外面。

生：我是这么写的，可是我不知道怎么用5除以25，5比25小啊？

生：5不够除，可以添0啊，50除以25就够除了！

生：不能只是添0，也要添小数点，而且写商时也要先写上0，点上小数点，商的2是2个0.1。

结合学生发言，教师演示课件如下：

④对比，补充算法

师：同样是整数除以整数商是小数，这道题却有些不同，哪儿不一样？

生：被除数比除数还要小。

师：在整数除法中，除了0作被除数，我们从没有遇到过这种情况。被除数比除数小，商最明显的特点是什么？

生：商一定是小数。

生：商一定小于1！因为被除数比除数小，每份一定不够1。

生：商肯定是零点几，被除数不够除，需要添上0和小数点才能除！

⑤巩固练习：3÷8

（点评：计算学习通常都是发现一个又一个“新情况”，并根据数学概念及运算意义“破解”一个又一个“新情况”的过程。学生学习小数除法时有两个重要的生长点：第一是“个位剩余可以继续分”，在前面的新课环节已经重点探讨。第二是“较小数除以较大数”的情况，这既是学生认知的生长点，也是本课学习的难点。教师在引导学生借助估算初步感知结果范围的基础上，再次使用几何直观帮助学生认可结果，并深入理解“先添小数点，再添继续除”的道理。）

3.总结质疑

师：这节课学习了什么？在原来学习整数除法的基础上，研究了哪些新问题？

生：研究了怎样将有余数的整数除法继续除下去。

生：研究了如果被除数比除数小怎么除。

师：你还有什么疑问吗？

生：是不是不断添0除下去，就一定能除尽？

生：不一定，我知道还有循环小数。

生：比如1÷3，3乘几也不可能得几十，那就总会有余数，怎么补0也除不尽！

……

四、教学点评

陈老师基于学情分析，对教学内容的顺序进行了调整，本课被作为“小数除法”单元的起始课。这样的安排，充分地调动了学生对除法意义以及小数意义的已有认知经验。引导学生通过经验迁移、方法迁移、认知迁移，在自主探究、对比和反思中探寻方法，辨析解惑，推广经验。整数除法中有关“平均分”的经验可以迁移到小数除法，整数除法中“从高位开始，一位一位地平均分”的方法可以迁移到小数除法，学生对小数意义的认知可以迁移到小数的运算中，即“如何算”（方法）取决于“数是什么样的”（本质）。这次尝试，也是充分考虑了学生的基础和需求，从实施效果来看是被学生接受的。并且能够层层深入地展开思考，对计算方法的认识逐渐清晰而完善。同时，本课的收获又为接下来继续研究“小数÷整数”“小数÷小数”奠定了新的认知基础。

小数除法是计算教学中难点比较集中的教学内容。学生对其方法也常存有困惑，这些都是教师在教学中应全面了解并给予充分关注和准确回应的。归纳起来，学生的困惑主要集中在“如何处理小数点”和“如何处理0”上。在本课设计中，陈老师重点借助“三次直观”突破认知难点，又通过“三次对比”不断突显核心概念。

1.三次直观：推动认知发展

直观模型能够让学生对数和运算更有“感觉”。在计算中，运用直观首先是一种“算法”，可以让学生直观地“看到”结果，进而认可竖式计算的结论。同时还能帮助学生理解计算过程，进而抽象计算（竖式书写）方法的重要支撑。本课中教师先后使用了三次直观模型。第一次是新课引入时的实物直观模型（“分钢笔”和“分硬币”），让学生认识到有时分完有剩余可以“换一换”再继续分的现象。第二次是初步探索计算方法后使用的几何直观模型（方格图），充分调动了学生对小数的认知经验。每个正方形代表“一”，平均分成10份，每份（一小条）就是;将一小份（一小条）再平均分成10份，每份（一个小正方形）就是……将认识小数时所使用的直观模型应用在计算过程中，有助于学生认可每一步的运算结果，并形象地理解计算过程中每一步的含义。第三次是计算5÷25（较小数÷较大数）这一难点时使用了几何直观模型，其价值首先在于让学生认定结果，其次是理解平均分的过程。总之，三次直观模型的使用价值，都基于学生的认知需求，有效推动了学生的认知发展。其形式不同，价值也不尽相同。

2.三次对比：突显核心概念

“数”与“运算”是紧密相连的教学内容，计算教学中算法和算理的沟通离不开 “计数单位”这一核心概念。但是核心概念是抽象的，不容易被学生感悟、理解和运用。因此教学中，教师需要设计有效的活动，促使学生不断形成对核心概念的深入理解。本课中，陈老师通过“三次对比”不断突显了核心概念的价值。第一次是对比两个“7÷2”的结果，平均分7支钢笔剩余1支就不能再分了;而平均分7元钱剩余1元还可以换成10角继续分。这次对比让学生自然而然地接受了“换小单位可以继续分”，虽然此时还是实际情境，但已为学生把握核心概念奠定了坚实的基础。第二次是对比小数除法与整数除法。小数除法中的“添0继续除”与整数除法中的“落0继续除”很相似，这种感受有助于学生算法迁移，同时又让学生感受到整数除法中“落完了”也就除完了。而小数除法只要需要就可以不停地“添0”继续除，这正是小数的性质所决定的。这次对比既突显了除法运算中“不断化小计数单位继续除”的“通法”，又突显了小数“没有最小计数单位”的核心概念，这些有助于提升学生运算能力。第三次是对比两类“整数÷整数=小数”的除法，一种是“被除数>除数”，另一种是“被除数<除数”，这组对比使学生主动地将估算与精算相结合，并进一步聚焦了“处理0”的难点问题。“该不该添0”“0该添在哪儿”等问题都指向于学生对“计数单位”“数位”等概念的深入理解。

除法的计算方式篇4

一、班级学生情况分析略。。。二、教材分析本册教材的教学内容包括：万以内的减法，两步计算式题和应用题，一个数乘一位数的乘法，除数是一位数的除法，时、分、秒的认识，以及角和直角。1、万以内的减法是在百以内减法和万以内加法的基础上进行教学的。2、两步计算式题和应用题是在学生学习了加减混合运算、乘数混合运算、乘加（减）或除加（减）两步计算式题的基础上进行教学的，这里要求学生进一步学习四则混合运算顺序，并要求学生用递等式计算。3、一个数乘一位数的乘法是在学生已经掌握乘法口诀，学会乘法竖式的写法以及口算100以内两位数加一位数的基础上进行教学的，它进一步学习一个数乘两、三位数乘法的基矗4、除是一位数的除法是在学生已经掌握了表内除法，学会除法竖式的计算方法的基础上进行教学的。5、时、分、秒的认识是在学生学会看整时的基础上进行教学的。6、角和直角，教材通过实物图象，抽象出角，使学生知道角的各部分名称。三、教学目标1、掌握减法的笔算方法，能比较熟练地计算万以内的减法。比较熟练的口算两位数减两位数。学会减法的验算方法，初步具有验算的习惯。2、掌握两步计算式题的运算顺序，能正确地计算带小括号的两步计算式题。学会分析应用题的数量关系，能分步列式或综合算式解答两步计算应用题。3、掌握一个数乘一位数乘法的计算方法，能比较熟练地进行笔算，能比较熟练地口算两位数乘一位数（积在100以内）。4、掌握除数是一位数的计算方法，能比较熟练地进行笔算，学会用乘法演算出发（包括有余数的除法）。能比较熟练地口算一位数除两位数。5、认识钟面。认识时间的单位时、分、秒，知道相邻两个时间单位之间的进率，学会简单的计算。初步建立时间单位的观念，养成爱惜时间的好习惯6、通过实际操作，认识角和直角，知道角的各部分名称。学会用三角尺判断一个角是不是直角，会画直角。四、教学措施1、重视基本口算和笔算饿训练，培养和逐步提高学生的计算能力。（1）讲清算理，揭示规律。（2）加强基本训练，大好计算基矗（3）培养良好的计算习惯2、重视分析应用题的数量关系，培养学生解答应用题饿能力。（1）加强基础训练（2）教给学生解题思路（3）设计多种形式的练习。3、结合教学内容，重视培养学生的数学能力。4、注意教学的开放性，重视培养学生的创新能力。5、结合教学内容，对学生进行思想品德教育。五、教学进度略。。。

除法的计算方式篇5

计算教学通常有两类方式，一类是教师给出计算的规则，要求学生按照规定进行计算；另一类是引导学生经历形成算法的过程，在直接经验的基础上，抽象概括具有一般意义的算法。显然，前一类方式是学生被动接受算法，后一类方式是学生主动建构算法。新课程主张后一类教学方式。

反思前几年的计算教学实践，有三点启示：一是既要尊重学生的各种算法，又不宜片面追求所谓的“多样化”。一方面，学生人人动手动脑，独立解决新的计算问题，这种学习的主动性必须得到保护，否则，被动的学习方式不会从根本上改变；另一方面，学生的各种算法仍处于新算法的感知阶段，离最终得出计算规则还要走很长的路，还要进行许多学习活动。如果与新算法密切相关的知识经验被唤醒了，学生进入了新知识的最近发展区，教学仍然流连于形式上的“多样化”就没有意义了。二是要在学生的各种算法中寻找新知识的生长点，培育计算规则。学生解决实际问题的各种算法和新知识的相关程度是不相同的，有的算法与新知识接近，有的距离远一些，有的甚至没有明显联系。教学要善于区别对待、合理利用各种算法，通过算法交流，突出新知识的生长点，使全体学生都关注并理解与新算法密切相关的那种（些）算法。

二、加强估算，让各种形式的计算有机融合

新课程强调加强估算，主要原因有三个：第一，估算是解决实际问题常用且有效的策略与方法。有人统计日常生活中进行估算的次数，远比精确计算的次数多。因为许多实际问题并不要求十分精确的结果，只需对结果的范围作出大致的判断，估算能便捷地解决问题。第二，估算是数感的表现，能促进数感的发展。尽管对较大数的计算可以用计算器方便地完成，也可以不厌其烦地用竖式计算，但是，能不能估算、爱不爱估算对思维发展有很大的影响。估算能力较差的人倾向于精确计算，而精确计算的方法单一，结果唯一，思维比较呆板，数感较弱。估算较强的人，在估算时会灵活应用不同的方法，思维比较开放，数感较强。第三，估算与口算、笔算、计算器计算是不同形式与方法的计算，能相互影响，相互促进，共同组成运算能力。

估算对笔算的作用。在某些笔算遇到困难的时候，估算能突破思维障碍，支持对笔算方法的探索，促进算法的形成。在进行较大数的计算时，估算能监控笔算的得数，及时发现大的差错。三年级（下册）在三位数除以一位数，商是三位数的除法之后，教学三位数除以一位数，商是两位数的除法，为什么从先除被除数百位上的数变成先除被除数前两位上的数是教学的难点。例题312÷4就利用估算“商比100小”，推理出被除数百位上的数比除数小，不够商1个百，要先除前两位上的数，商几个十。对第一学段学生而言，两位数乘两位数的积比较大，难免发生计算错误，如果养成先估算后笔算，或者竖式计算以后再估一估的习惯，明显的计算错误就能及时纠正。

三、注意心理品质的养成，尽力减少计算错误

我们常把算错归因为学生粗心，其实粗心是一些心理因素造成的。首先是学生对计算不感兴趣，没有信心，在不积极的状态下被动执行计算任务，必定会错误频发。其次是计算题由数字符号和运算符号组成，比较枯燥，10个数字与几个符号组成了不计其数的计算题，容易引起知觉错误。再次，笔算是心智活动与肢体活动的结合，要边看边写，边回忆法则边计 算，儿童的年龄心理制约了注意力的集中、分配与转移，往往顾此失彼。最后，口算能力不能满足笔算的要求，短时记忆能力差，也会造成算错。

四、加强计算练习，提高练习的质量

计算练习要遵循技能形成的规律，讲究实效。计算法则是程序性知识，形成技能要把客观的程序性知识内化成主体的行为经验，实现由详尽的思维活动向跳跃的思维活动的变化，从依附法则的计算变为潜意识法则的自动化运算状态。计算练习的实效体现在促成内化、促成跳跃、促成自动化。

口算练习要促进思维跳跃。如46+7的计算，详尽的过程是：46分成40和6，先算6+7=13，再算40+13=53。其中46的分解、6+7的计算是视算（能够看着题目进行），40+13是心算（题目在头脑里，没有视觉帮助），学生口算46+？的错误集中在40+13这一步计算上。因此，口算练习的重点不在前半程的视算上，而在后半程的心算上。促进思维跳跃即看到46+7想40+13，使口算过程中关键且易错的一步浮出水面，把注意力集中到这一步上来，就能算得又对又快。这样的跳跃引导了注意力的转移和分配，实现了思维化繁为简，一定程度上也实现了算法优化。类似的，计算72-8要想60+4，计算15×6要想60+30。

笔算练习要促进步骤连接。完成一道笔算题，总是分几个步骤，进行多次口算。把各计算步骤、各次口算连接起来，连贯而平稳地进行，是笔算练习的任务，也是有效减少错误之所在。在初学计算法则的时候，可以让学生在计算前说说打算怎样算，或者在计算后说说过程和应注意什么。这样，计算法则里的程序就逐渐变成自动化行为。

除法的计算方式篇6

一、数形结合，理解算理

《义务教育数学课程标准（2011）》指出，认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。中低年级学生学习数学，需要有较多的动手操作和直观表象作为支撑，借助线段、点子图与算式相对应，数形结合，引导学生亲历知识产生、模型建构的过程，能有效帮助学生理解算理，掌握算法。

例如，教学“两位数乘两位数”，出示例题：“每套书有14本，王老师买了12套。一共买了多少本？”列出算式后让学生用自己喜欢的方法口算，并把自己的想法在点子图上表示出来，学生通过思考、操作，在汇报交流时展示自己的作品。学生呈现不同的口算方法：①把12套平均分成三份，得到算式14×4=56，56×3=168；②把12套平均分成两份，得到算式14×6=84，84×2=168；③把12套分成7套和5套，得到算式14×7=98，14×5=70，98+70=168；④把12套分成10套和2套，得到算式14×10=140，14×2=28，140+28=168。教师接着提问：“这么多方法，都有什么共同特点，你更喜欢哪种方法，为什么？”多数学生认为方法①和方法②，因为这两种方法都是把12套平均分成几份，两步计算就能得到结果，比较简便。这时教师可进一步设问：“如果是13套，17套呢？你还能平均分成几份吗？”这时学生就会发现把12分成10和2，再进行计算比较简便。学生借助点子图这一直观的工具，在操作、交流、分析、比较、归纳中，明白了这些方法都是“先分后合”，分开后，数变小，就容易算了。把新的知识转化为旧的知识来解决问题，在体验这些方法异同的同时，优化了解题策略，得到了口算这类题目的一般方法，为笔算14×12做好了铺垫。在研究竖式计算方法时，可以让学生在点子图上分一分，并把每次相乘的结果都在点子图上圈出来，沟通了算法和算理的关系。既帮助学生理解了算理，又渗透了数形结合思想。

二、用好情境，培养数感

计算教学与问题解决教学相辅相成、密不可分。没有计算教学，问题解决就无法正常开展；没有问题解决教学，计算教学就乏味无趣，没有学习目标。只有将计算教学与解决问题教学有机地结合在一起，学生才能体会到计算的意义，感受到数学和生活的密切联系，才能培养学生良好的数感，激发学生学习数学的兴趣。在“除数是一位数的除法”教学内容编排中，9个例题的计算教学都是以问题解决的形式出现，在教学时，应用好这些问题情境，让学生在信息解读、算法选择、答案估算中培养良好的数感。

例如，教学例8“估算”时，课件呈现情境：“爸爸、妈妈和小红在宾馆住宿了3天，住宿费一共是267元。每天大约是多少钱？”因为学生大都有和家长购物、外出旅游住宿的经历，这样的问题情境学生很感兴趣，降低了对估算意x的理解难度。学生思维活跃，得到多种解题思路：①267接近300，267÷3≈100（元）；②267接近270，267÷3≈90（元）；③267接近240，267÷3≈80（元）。接着，引发学生讨论：“这些估算都合理吗？为什么？”通过比较、分析、交流，第一种估算方法把267估成300，多估了33，明显估大了；而第三种方法把267估成240，又明显估小了，只有第二种估算方法最接近计算精确数，也就是最为合理的估算。让学生明白解决某一问题可以有多种估算方法，而在这些方法中会有一种估算方法更具合理性。进而思考：“如何估算更合理，更接近精确计算呢？”教师让学生仔细观察267的百位数和十位数，提问：“当你看到26个十，你能马上想到哪句口诀？”（三九二十七）。引导学生归纳除数是一位数的估算一般方法：把被除数看作整百整十（或几百几十）的数，除数不变，用口算除法的基本方法进行计算，而个别题目要看前两位数，结合乘法口诀进行估算，结果会更接近准确数。

经历上述过程，学生掌握了除法估算的一般方法，感受到估算具有开放性、推理性和策略性的特点，培养了学生良好的数感，提高了计算能力。

三、及时归纳，构建模型

计算教学要重视计算方法的总结和概括。在大量活动经验基础上，教师应及时组织学生对计算方法进行总结和概括，这是对计算活动的提炼与升华，同时培养学生能够应用简洁有效的语言表达自己的思考过程，帮助他们建构计算教学的模型，提高计算的速度和准确率。

例如，“笔算除法”部分，在完成了例3（256÷2）与例4（256÷6）后，教师要引导学生比较判断：“什么情况下商是两位数，什么情况下商是三位数？”这对于初学除法计算的学生是否能正确书写商的位置很重要。完成例6（208÷2，216÷2），教学后，教师让学生观察思考：“什么情况下商中间有0？”总结归纳出：在百位除完没有余数的前提下，被除数十位上是0或十位上的数除以除数不够商1，这时候商的中间有0，商中间的0一定要写，起到占位的作用。完成例7（650÷5，245÷8）教学后，教师引导学生比较分析：“这两道题商的个位为什么写0？”讨论交流后总结得出：0除以任何不是0的数都得0，除到被除数的某一位上不够商1，就在那一位的上面写0。

除法的计算方式篇7

感触一：“二次根式的乘除法”编写意图和地位

从2011年版义务教育课程标准（初中数学）对“数与代数”这一主线从五个角度去落实：一是要帮助学生搞清楚运算的对象是什么？二是要不断地理解和认识运算的背景，为什么要做加、减、乘、除？三是运算法则。四是学会这么多的运算，到底有什么用？在哪儿发挥作用？五是在运算中既有精准的运算，也有进似的运算。从教材参考书看，二次根式这章的核心是以二次根式这一特殊的“式”为载体，进一步引导学生体会运算在代数中的核心地位，学习用运算法则进行运算，体会运算法则的逻辑关系，体会运算在代数中的基础地位。做好：1.一以贯之地进行代数基本思想和方法的教学；2.以运算为核心，加强运算能力的培养。从教材看，二次根式的乘除法是在掌握、理解算术平方根的基础上并利用二次根式的性质进行计算和化简，同时也是学生学次根式加减法的基础，也是学生后续学习必备的基础。重点是二次根式乘除法则的探究和运用。二次根式的乘除涵盖了初中阶段的所有运算，学会了二次根式的运算，也就基本掌握了所有的运算。二次根式的运算更进一步的体现数学发展从“数”到“式”的过程，也让学生不断地形成完整的知识体系。所以，二次根式这一章在初中数学中地位和作用尤其重要。

感触二：二次根式乘除运算的引入

从运算的角度提出了二次根式也是一个实数，这类实数将满足怎样的运算法则，该如何进行四则运算的研究任务。引入内容看似没什么？但其中蕴含太多的哲理，是学生数学思维的开启，也是抛砖引玉，是学生思考接下来要思考什么？解决什么问题的导向。所以，教师要做好引入的导学。

感触三：二次根式乘除法法则探究

问题探究是引导学生从特殊到一般归纳二次根式的乘除法则。从条件“计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律”看，学生应从三个维度去进行探究：一是计算，凭学生已有的数学知识进行；二是观察，要从算式的结构、运算方法、运算结果、形式变化等方面观察；三是发现规律，是在观察的基础上，总结归纳得出一般的结论。从编者设置的问题看，学生是很容易从这些特例中发现，即培养了学生动手、动脑的能力，也让学生体会法则的生成过程，并且对法则的理解更有深意。

感触四：二次根式乘除法则的应用

二次根式乘除法则是 学生用已有的知识基础和经验是完全能运用法则进行计算――只需要将被开方数相乘（除）即可。但法则反过来运用更多的是对计算结果的化简，这是学生思维的难点，也是学生逆向思维培养的着力点，也是本节内容的教学核心。比如：计算，学生很容易按照法则计算得出，从而利用二次根式的性质又可以将二次根式进行化简。特别是对这类二次根式的化简，还要考虑“分数（式）”的性质――分子分母同时乘以一个不为零的数（式），所以在二次根式的乘除运算中，要让学生体验“先算后化，先化后算”，怎样做才会使计算较简便，从而让学生全面掌握、理解二次根式的乘除运算。如计算，学生就可以先算再化更容易做。

感触五：最简二次根式

二次根式学生先从“形”上认识――含有二次根号，再从“质”上理解――被开方数为非负数，如，但学生又可以利用二次根式的乘除法则进行化简，由此引出最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含开得尽方的因数或因式。这二者必须同时满足，这样的二次根式才是最简二次根式，但从给出的两个条件中不难看出，学生理解有难度：（1）不含分母；（2）不含开得尽方的因数或因式。从这两个条件中告知学生什么样的二次根式是最简二次根式，同时也告知了化二次根式为最简二次根式的方法：（1）把被开方数中含有的分母化“掉”，不含分母；（2）把被开方数中开得尽方的因数或因式开方出来。这又回到了二次根式的运算本质上来。同时要提醒学生是“因数或因式”，不要错将这样的被开方数开方出来：这里的x2，y2不是被开方数的因数或因式。

感触六：二次根式的计算结果

除法的计算方式篇8

计算教学历来是小学数学教学中的重点，其中笔算的一个重要内容是学习加、减、乘、除四种运算的竖式算法。竖式教学的困难主要有三个方面，第一是对于加法、减法和乘法运算，为什么一定要从低位到高位计算？第二是进位和借位数字如何处理？第三是除法竖式为什么与加法、减法和乘法竖式不一致？运用联系的观点和历史的视角可以找到这些问题的答案。

一、让竖式计算“双向可行”

知识间的联系多种多样，其中一种是不同概念间“是”与“非”的并存关系。比如在自然数的范围内有“质数”这一概念，同时就有“非质数”（也就是“1”与“合数”）概念的存在；在有理数范围内有“整数”，同时就有“非整数”（分数或小数）的存在；在几何中有直线，同时就有“非直线”（也就是曲线）的存在；等等。这种“是”与“非”的并存关系，就是概念之间的一种联系方式。

这种联系最主要的特征是“相对”和“并存”，也就是失去了一方，另一方就随之消失。这种成双成对意义的联系，不妨叫作“相对意义的联系”。类似的例子在日常用语中也不罕见，比如描述方向时所用的左右、前后和上下等，都是具有相对意义联系的概念。

相对意义的联系不仅体现在概念及其表述方面，同时也在方法的使用方面有所体现。比如利用“竖式”进行运算时，一般习惯“从个位算起”，也就是按照“从右到左”的顺序计算，教科书中通常也会给出这样的提示。如果按照相对意义联系的观点思考，自然就会产生这样的想法：既然有“从右到左”的计算方法，就应该有反过来“从左到右”的方法，二者应当是并存的。事实确实如此，在19世纪前后的欧洲对于“3709+8540+2618+706”的计算，就同时存在着从左到右和从右到左的竖式计算方法（见图1）[1]。

图1中左侧竖式就是按照从左到右的顺序计算的，右侧算式则是从右到左的顺序计算的。与现在不同的是，每一位上的各个数相加后的总和要全部写出，并且单占一行。这样做的好处在于将现在所说的“进位数”全部写出来，避免了对“进位数”的记忆，当然书写格式显得冗长，不如现在的写法简洁。对于乘法的计算也类似，历史上出现过很多方法，与前面加法类似的双向可行的方法都在欧洲出现过，比如对于“748×632”就有如图2的两种方法（见图2）。

图中第一种方法从低位算起，第二种方法从高位算起。其原理与前面的加法竖式基本一致。相对意义的联系在知识以及过程与方法上的体现，归根到底都是人的思维方式的表现。教学中应当充分利用这样的知识以及过程与方法，适时、适当、适量地让学生经历这种思维方式的思考活动，同时也能感受到算法的多样性。

二、加、减竖式一码事

事物之间另外一种联系的方式是不同事物之间存在着的共性，如果发现了这样的共性，就意味着建立了事物之间的某种联系。比如两个数“10”和“17”，表面看没什么关系，但是如果在一个月历表中看，就会发现这两个数对应日期的星期数是相同的，如果10号是星期三，那么当月17号一定也是星期三。其原因就是这两个数除以7的余数是相同的。在这个意义下，“10”和“17”之间就有了联系。

通常所说的“探索规律”实际上就是在运动与变化中寻找不变因素[2][3]，也就是在寻找不同事物或者变化着的事物的共性，一旦发现了共性，就意味着建立了事物之间的联系，也就是发现了规律。这种联系在逻辑学中叫作“相合意义的联系”。

众所周知，小学数学计算教学中学生在进位和退位时极易出现错误。翻阅古代印度由Bhascara Acharya所著的《算术与几何》[4]中可以发现，对加法的进位和减法的退位有一种统一的处理方法。对于“3709+8540+2618+706”的计算写为图3的竖式（见图3）：

图4中前两行分别是被减数和减数，第三行“384689”是依次减得的结果，第四行“11011”就是借位行，最后的结果“274579”是第三行“384689”与借位行“11011”的差。这样的计算同样可以是双向的，既可以从左到右，也可以从右到左。

加法竖式中的“进位行”与减法竖式中的“借位行”，古代印度人统称为“Khuti Mahi”，英译为“Obliterating Line”，意思是“可删除的线”。现代数学课程中，这一条线真的被删除了，因此使得竖式计算中的进位和借位不可见了，这或许是学生计算过程中易错的一个重要原因。

对比古代印度人加法和减法竖式，发现三个共同点。第一是每一步计算仅使用现有数据，无需对现有数据进行改变；第二是双向可行，既可以从右到左，也可以从左到右；第三是将进位或者借位数字另起一行书写。这三点都是现在数学课程中的标准竖式所不具备的，也恰恰应当成为计算教学中重点研究的问题。

三、除法竖式源于减法

事物之间联系的第三种形式表现为事物之间的“依赖与制约”，也可以叫作“因果关系”。其基本观点是任何事物的发生与发展不可能是孤立的，一定伴随着其他事物的发生与发展。事物之间一定是相互依赖、相互制约，也就是互为因果的。

“除法竖式”在西方国家的数学课程中叫作“长除（Long Division）”，其难教与难学是举世公认的，美国数学教育界于20世纪就掀起过关于“小学生要不要学长除”的大讨论。小学生学法竖式遇到的第一个困难是其书写形式与已经熟悉的加法、减法和乘法不同。如果让学生自己写出“20÷2”的竖式，学生通常会模仿先前乘法竖式的写法，写为如图5的形式。教师无奈之下只能通过示范，而后学生通过模仿、记忆与练习进行教学。

运用“因果关联”的思考，应当相信如今数学课程中除法竖式绝不可能是空穴来风，一定与其他计算方法有依赖与制约的联系。历史上众多算法中可以发现，现今除法竖式的书写格式应当来源于减法。以“1554÷37”为例，在18世纪前后的欧洲就有如图6的算法。见图6）

计算“1554÷37”实际是求1554中包含有多少个37。计算的基本思路是用1554反复减去37，直到剩余不够减为止。减法的次数就是除法的结果。为了使减法的次数尽量少，因此首先从1554的高位看，哪一位开始的两位数比37大，就从哪里开始减。

图6就是从1554中的“55”开始依次反复减去37（实际上是减去370）。第一次减法后的结果是118，实际上应当是1184，其中的个位数字“4”省略没写。说明已经从1554中减去10个37。以下类推，四次后减得的结果是7（实际上是剩余74，其中的4省略没写），这个剩余的7已经不够继续减37了。此时从1554中减去40个37后还剩余74。接下来连续两次减法就恰好减完，说明1554中一共包含了（40+2）42个37，也就是“1554÷37”的商是42。

类似于此的方法如今在欧洲部分国家的数学课程中仍在使用，在首都师范大学初等教育学院留学的瑞士学生就将“24÷2”写成图7的形式（见图7）。

其中是用比号“：”表示除号“÷”。计算过程与前面图6的算法思路是一样的，从被除数高位看起，首先能够减去除数2的就是24的十位数字2，因此第一步从十位减去2，相当于减去10个2，剩余4。第二步从4中减去4，相当于减去2个2，恰好减完，说明24中包含了（10+2）12个2，也就是“24÷2”的结果是12。在德国的小学数学教科书中可以看到类似的计算过程，比如“945÷5”计算过程的写法为（见图8）：

图9的计算过程是首先在最左边纵向罗列出除数423的1至9倍，而后从被除数高位看，发现除数423的5倍2115最接近被除数的前四位2202，这时就（上接第6页）

将2115写在2202下做减法，同时将“5”记录在右侧；减得的结果是878，在左侧除数的倍数中发现除数423的2倍846最接近878，所以重复前面的过程，将846写在878下面做减法，将2记录在右侧5的旁边，依次类推。这个过程直到减法结果为0，说明被除数22028148中包含了52076个除数423，也就是这个除法的结果是52076。这个除法竖式与现在数学课程中的除法竖式并没有本质的差别，只不过现在的写法中将罗列除数的倍数这个过程省略了，将商写在了被除数的上方。

以上例子说明，除法竖式实际上来源于减法，其本质是从被除数中逐次减去除数的倍数，最后将减去的次数统计出来就是除法的结果。因此在除法竖式的教学中首先应当建立除法与减法的关系，而后从减法竖式引出除法竖式的学习。

竖式是笔算的工具，属于人发明的知识[5]，其作用是减轻计算过程中的思维负担。按照“变教为学”的观点，学生学习的过程应当是经历发明活动的过程。发明的结果一定是多样的，教师应当对这种多样的结果给予鼓励，运用联系的观点引导学生自主评判、自主选择，让学生的发明从“多样”逐步走向“统一”。

参考文献

[1] John Leslie， F. R. S. E. The Philosophy of Arithmetic. Edinburgh： Printed By Abernethy & Walker.

[2] 郜舒竹. 什么是“探索规律”[J]. 教学月刊小学版（数学）， 2013（11）.

[3] 郜舒竹. 由此及彼，探索规律[J]. 教学月刊小学版（数学），2013（12）.

[4] Bhascara Achary. A Treatise on Arithmetic and Geometry . Bombay： Printed by Samurl Rans， 1816.

除法的计算方式篇9

课题

除法的验算

教时

1课时

日期

教学目标：

1．正确、熟练地判断商的位数，并且掌握商的定位方法。

2．理解和掌握除数是两位数除法的计算方法，能正确地进行除法笔算。

3．能正确、熟练地计算商中间或末尾有零的除法。

4．知道商×除数+余数=被除数，能够运用这个等式对除法算式的结果进行验算，培养学生良好的验算习惯。

教学重点：知道商×除数+余数=被除数，能够运用这个等式对除法算式的结果进行验算

教学难点：培养学生良好的验算习惯

教学准备：多媒体课件

教学过程

时间

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

5

常规积累

1、填空。

（1）计算480÷20商是（　）位数，最高位是（　）位。

（2）三位数除以两位数的商可能是（　）位数，也可能是（　）位数。

（3）要使　46÷67的商是两位数，方框里最小可以填（　），要使商是一位数，方框里最大可以填（　）。

2、不计算，判断商是几位数。

23）428

36

）2764

12

）10380

52

）5548

完成填空

指名回答

15

二、探究算法

1、出示例题3：

海先生是一名体育摄影师，它在动物运动会上一共拍了364张照片

问题：如果把这些照片放在相册里，每页放16张，一共可以放满多少页，还余几张照片？

小亚：364÷16=22（页）……8（张）

小胖：364÷16=21（页）……28（张）

小巧：364÷16=22（页）……12（张）

这三名同学的答案，你同意哪一个？为什么？

独立思考，

小组讨论，

全班交流。

小结：每次计算的余数都要比除数小。

2、模仿练习：竖式计算，并验算。

45047÷15=

3、P36试一试

小组内反馈计算方法

个别组汇报。

小组讨论

运用观察、比较、分析、归纳出除法计算的方法。

10

三、变式练习

1.

判断题。

（1）430÷70=5……80

（

）

（2）430÷70=5……80

（

）

（3）290÷30=9……20

（

）

（4）540÷90=60

（

）

2.选择题

（1）把42×21+27=909改写成除法算式正确的是（

）

A．909÷42=21……27

B.

909÷21=42……27

C.

909÷27=21……42

D.

909÷27=42……21

（2）÷20=30……，当最大时，=（

）

A．621

B.620

C.619

D.630

(3)

÷20=14……，要使最小，=（

）

A．0

B.

1

C.281

D.293

(4)

在没有余数的除法中，

被除数—除数×商=（

）

A.0

B.除数

C.商

D.被除数

3.智力加油站

小亚做题时，把除数23错写成了32，结果商是14，余数是19，请你帮小亚算一算，这道题正确的答案是几？

先求被除数：32×14+19=467

再计算结果：467÷23=

20……7

验算：20×23+7=460+7=467

进一步巩固多位数除法

5

四、课堂总结

今天我们学习了什么？你知道了些什么？

小结：每次计算的余数都要比除数小。

验算：除数×商+余数=被除数

梳理今天学习的知识。

板书设计：

除法的验算

除法的计算方式篇10

考点一 幂的有关运算

例1 （重庆卷）计算（ab）2的结果是（ ）

A. 2ab B. a2b C. a2b2 D. ab2

解析 本题考查的是积的乘方法则，根据该法则有（ab）2=a2b2. 故答案为C.

点评 同底数幂相乘的法则、积的乘方法则、幂的乘方法则等等，这些法则容易混淆，要认真辨认，平时多加练习.

例2 （浙江绍兴卷）下列运算正确的是（ ）

A. x+x=x2 B. x2÷x2=x2 C. x2・x2=x4 D. （2x2）2=6x6

解析 合并同类项，系数相加而字母和字母的指数不变；同底数幂的除法，底数不变而指数相减；同底数幂的乘法，底数不变而指数相加；幂的乘方，底数不变而指数相乘. 对各选择项分别运用相应法则计算后，利用排除法求解可知答案为C.

点评 本题考查合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，很容易混淆，一定要记准法则才能做题.

考点二 整式的乘法运算

例3 （安徽卷）计算：（a+3）（a-1）+a（a-2）.

解析 根据整式的乘法法则，多项式乘多项式时，用其中一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；单项式乘多项式，可以按照乘法分配率进行，再根据合并同类项法则进行整式加减运算.

原式=a2-a+3a-3+a2-2a=2a2-3.

点评 本题考查整式的乘法运算和整式的加减运算. 要准确解答此类题目，首先要掌握运算法则，再仔细计算，防止漏乘、符号等方面的错误.

考点三 利用整式运算求代数式的值

点评 本题考查整式的化简求值，应先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求值. 在有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序进行运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似.

考点四 乘法公式

例5 （江苏盐城卷）化简：（a-b）2+b（2a+b）.

解析 本题考查整式的化简与计算，掌握单项式乘以多项式的法则与完全平方公式是关键. 根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则得

原式=a2-2ab+b2+2ab+b2=a2+2b2.

点评 本题考查完全平方公式和整式乘法的法则，考查学生基本的运算能力，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则和熟记相关公式.

例6 （贵州遵义卷）已知x+y=-5，xy=6，则x2+y2= .

解析 先把x+y=-5两边平方，根据完全平方公式和已知条件即可求出x2+y2的值.

点评 本题主要考查完全平方公式的应用. 完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍，且其符号与左边项的运算符号相同.

考点五 整式的除法运算

解析 本题是一道综合计算题，要先算中括号内的部分，注意乘法公式的使用，然后再进行整式的除法运算.

点评 做整式的除法题时要注意运算顺序和符号，特别注意不能漏项.

考点六 有关整式乘除的创新型问题

例8 （贵州遵义卷）如图，从边长为（a+1） cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a-1） cm的正方形（a>1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ）

解析 根据题意得出矩形的面积是（a+1）2-（a-1）2，求出即可.

（a+1）2-（a-1）2=a2+2a+1-（a2-2a+1）=4a（cm2）.