以错纠错的研究论文

时间:2022-12-08 03:26:00

以错纠错的研究论文

“以错纠错”的案例分析

文/罗增儒

在文[1]中,笔者认为:“学生在解题中出错是学习活动的必然现象,教师对错例的处理是解题教学的正常业务,并且,错例剖析具有正例示范所不可替代的作用,两者相辅相成构成完整的解题教学”.下面发生在特级教师身上的“以错纠错”现象,竟能在多家刊物延续十年之久,则促使笔者进一步思考:错例分析可能对教师的教学观念和业务素质都提出了更高的要求.

一、出示案例

我们先引述3处典型做法.

1.早在1990年,文[2]曾对一道数列极限题指出“思维定势在解题中的消极影响”;然后在文[3]、[4]中表达了同样的看法.最近(2001年5月)又在文[5]中将欠妥的认识原原本本发表出来(见原文例4):

例1若(3an+4bn)=8,(6an-bn)=1,求(3an+bn).

学生对“和的极限等于极限的和”的结论十分熟悉,受其影响,产生了下列错误解法:

(3an+4bn)=8,

(6an-bn)=1.

3an+4bn=8,①

6an-bn=1.②

①×2-②,可得

bn=15/9,

并求得an=4/9.

∴(3an+bn)=3an+bn=12/9+15/9=3.

这是一种错误的解法.因为按照极限运算法则,若an=A,bn=B,则才有(an+bn)=an+bn=A+B.反之不真,而由(3an+bn)=8,

(6an-bn)=1,

不一定保证an与bn存在.比如

an=4/3+(1/3)n2,bn=1-(1/4)n2,

则有(3an+4bn)=8,

但是an与bn均不存在极限.

正解:(3an+bn)=(1/3)(3an+4bn)+(1/3)(6an-bn)

=8/3+1/3=3.

某些法则或定理,其结论是在限定条件下产生的.如果平时练习,限定条件的问题练多了,就容易忽视限定条件,造成对法则、定理理解的偏差,产生定势思维.教师在课堂教学时,应该把定理、法则成立的条件、适应的范围放在第一位讲,就是让学生认识到条件在结论中的重要地位,把条件与结论等同起来强调,并通过恰当的反例来说明.

要克服思维定势的消极影响,就要从加强双基教学入手,加强数学基本思想和方法的训练,排除由于只靠记忆一些孤立方法与技巧而形成的定势,鼓励和引导学生独立思考、探索最佳解题方法,让学生从不同角度多方位地去考虑问题,拓展思维的深度与广度.(引文完)

2.数学通报1999年第11期(P.43)文[6]记述了一次公开课:在一次公开课评比中,有位老师在讲授“数列极限的运算法则”一课时,曾举了这样一个例子(本文记为例2):

例2已知(2an+3bn)=5,(an-bn)=2,求(an+bn).

当时有位学生提出这样一种解法:

解:设an=A,bn=B,则由题设可知

(2an+3bn)=2an+3bn=2A+3B=5,①

(аn-bn)=an-bn=A-B=2.②

联立①,②解得

A=11/5,B=1/5.

∴(an+bn)=an+bn=A+B=11/5+1/5=12/5.

对于上述解法,这位教师结合数列极限的运算法则引导学生提出了问题:an和bn一定存在吗?

随后,教师鲜明地指出:由题设我们不能判断an和bn是否一定存在,从而上述解法缺乏依据,是错误的.关于这类问题,我们常用“待定系数法”求解.

另解:设an+bn=x(2an+3bn)+y(an-bn)(其中x,y为待定的系数),则

an+bn=(2x+y)an+(3x-y)bn,

从而有

2x+y=1,

3x-y=1.

解之得x=2/5,y=1/5.

∴an+bn=(2/5)(2an+3bn)+(1/5)(an-bn),

∴(an+bn)=[(2/5)(2an+3bn)+(1/5)(an-bn)]=(2/5)(2an+3bn)+(1/5)(an-bn)=2/5×5+1/5×2=12/5.

这种讲授方法既巩固了数列极限的运算法则,又充分暴露了学生存在的问题,给学生留下了极为深刻的印象,深受评委们的一致好评.(引文完)

3.江苏省常州高级中学(是一所有90年历史的江南名校)数学组根据多年教学积累的经验写了一本书《数学题误解分析(高中)》,其第6章题30如下(见文[7]P.342,本文记为例3):

例3已知(2an+3bn)=7,(3an-2bn)=4,求(2an+bn)之值.

误解:∵(2an+3bn)=7,(3an-2bn)=4,

2an+3bn=7,①

3an-2bn=4.②

①×2+②×3,得

13an=26,

∴an=2.

代入式①,得

bn=1.

∴(2an+bn)=2an+bn=2×2+1=5.

正确解法:设m(2an+3bn)+p(3an-2bn)=k(2an+bn).

其中m,p,k均为待定的整数,则比较an,bn的系数得

2m+3p=2k,①

3m-2p=k.②

由式①、②消去k,得

2m+3p=2(3m-2p)=6m-4p,

∴4m=7p.

当m,p分别取7和4时,k=13.

∴2an+bn=(7/13)(2an+3bn)+(4/13)(3an-2bn).

∴(2an+bn)=(7/13)(2an+3bn)+(4/13)(3an-2bn)=7/13×7+4/13×4=5.

错因分析与解题指导:已知(2an+3bn)=7,(3an-2bn)=4,并不意味着an、bn存在,在误解中利用数列极限的运算法则:(an±bn)=an±bn,默认an与bn存在,这是错误的.要求(2an+bn),就必须将2an+bn去用(2an+3bn)与(3an-2bn)表示出来,为此可以用如正确解答中那样用待定系数法来解.显然m、p的值不是惟一的,但是对不同的m、p之值求得的极限值是相同的,因此可以取使计算较为方便的整数值.(引文完)

以上详细引述的3个例子只有数字上的微小区别,而教师(包括评委)的看法是完全一致的.类似的看法还可参见文[8]~[12].

虽然,大家的看法如此一致,如此长久,但文[6]的作者仍能力排众议,大声发问:“由题设,真的不能判断an和bn是否存在吗?”回答是否定的.教师的“纠错”比学生错得更多.

二、案例分析

我们以例1为主来进行分析,弄清学生的错误、教师的错误、错误的性质和应吸取的教训等.

1.学生解法的认识

学生的解法中有两个合理的成分:其一是能紧紧抓住两个已知条件,综合使用;其二是想到运用极限运算法则;得出的极限值也确为所求.

缺点是默认了an与bn的存在;也不会整体使用极限运算法则,这可以从3个方面来分析.

(1)知识性错误

表现在:没有验证an与bn极限的存在性就使用极限运算法则;没有证明或证明不了an与bn极限的存在性;还不会变通使用(如借用待定系数法)极限运算法则.

(2)逻辑性错误

表现为逻辑上的“不能推出”:跳过an与bn极限存在性的必要前提,直接使用极限运算法则.但此处仅仅为未验证前提,而并非“前提不真”.对此,“教师”的错误性质比学生的默认更有问题,下面会谈到.

(3)心理性错误

表现为“潜在假设”,默认an与bn极限的存在性,既未想到要证明,更未给出证明.

由于在已知条件下,an与bn的极限确实存在,所以,学生的错误属于“对而不全”,缺少了关键步骤.

这个事实说明,学生的学习过程,是以自身已有的知识和经验为基础的主动建构活动.其“对而不全”的解法,正是学生对该数学问题的一种“替代观念”,是建构活动的一个产物,既有一定的合理性,又需要完善.接下来的反审活动,有助于学生掌握元认知知识,获得元认知体验和进行元认知调控.

2.教师认为“不一定保证an与bn存在”是不对的

事实上,在已知条件下,用待定系数法不仅可以求(3an+bn),而且可以求(αan+βbn),取α=1,β=0或α=0,β=1只不过是一种更简单的特殊情况.我们来给出一个更一般的结论.

命题1若(α1an+β1bn)=c1,(α2an+β2bn)=c2,

则当a1β2-α2β1≠0时,两个极限an与bn均存在,且

an=c1β2-c2β1/α1β2-α2β1,bn=α1c2-α2c1/α1β2-α2β1.

证明:设

an=x(α1an+β1bn)+y(α2an+β2bn)

=(α1x+α2y)an+(β1x+β2y)bn,

α1x+α2y=1,

β1x+β2y=0.

解得x=β2/(α1β2-α2β1),y=-β1/(α1β2-α2β1).

从而

[x(α1an+β1bn)+y(α2an+β2bn)]

=x(α1an+β1bn)+y(α2an+β2bn)

=xc1+yc2=(c1β2-c2β1)/(α1β2-α2β1).

即an=(c1β2-c2β1)/(α1β2-α2β1).

同理可确定bn极限的存在性,并计算出

bn=(α1c2-α2c1)/(α1β2-α2β1).

(1)取α1=3,β1=4,c1=8,α2=6,β2=-1,c2=1,可得an=4/9,bn=5/3.这就是例1.也可以用文[2]正解的方法求出

an=[(1/27)(3an+4bn)+(4/27)(6an-bn)]

=(1/27)(3an+4bn)+(4/27)(6an-bn)=8/27+4/27=4/9.

bn=[(2/9)(3an+4bn)-(1/9)(6an-bn)]

=(2/9)(3an+4bn)-(1/9)(6an-bn)=16/9-1/9=5/3.

(2)取α1=2,β1=3,c1=5,α2=1,β2=-1,c2=2,这便得例2,有

an=(1/5)(2an+3bn)+(3/5)(an-bn)

=1/5×5+3/5×2=11/5,

bn=(1/5)(2an+3bn)-(2/5)(an-bn)

=1/5×5-2/5×2=1/5.

(3)取α1=2,β1=3,c1=7,α2=3,β2=-2,c2=4,这便得例3,确实有an=2,bn=1.

应该说,求an、bn与求(αan+βbn)道理是一样的,为什么会有这么多的教师长期坚持“an、bn不一定存在”呢?这除有知识、逻辑因素外,而对多数人来说,恐怕还有一个“人云亦云”,迷信权威、迷信刊物的心理性错误.我们说,失去自信比缺少知识更为可怕.

3.反例“an=4/3+n2/3,bn=1-n2/4”的错误根源

上面已经严格证明了an与bn的存在性(以α1β2-α2β1≠0为前提),因而文[2]作者一次又一次重复给出的反例肯定是错误的,问题是应该找出错误的原因,弄清错误的性质.

(1)检验可以发现错误

把an=4/3+n2/3,bn=1-n2/4代入已知条件,有

(3an+4bn)=8=8.

但(6an-bn)=(7+9/4n2)

不存在,更不等于1.

所以,文[2]的反例并不能成为反例.其之所以成为反例,是作者根据不充分的前提(来验证第2个条件)得出的,逻辑上犯有“不能推出”的错误.

(2)误举反例的原因分析

①首先是对题目中有两个条件重视不够,在找反例时,主要依据“若an、bn存在,则(an+bn)=an+bn,反之不真(思维定势)”.这对只有一个条件是成立的;据此找出的反例也只验证第1个条件,而不验证第2个条件,这可能也是“反之不真”思维定势的负迁移.

②其次是对下面的结论不知道,或未认真思考过:

命题2若(α1an+β1bn)=c1,(α2an+β2bn)=c2.

则有

(i)当α1β2-α2β1≠0时,an、bn均存在;

(ii)当α1β2-α2β1=0且α1c2-α2c1=0时,则an,bn的极限不一定存在.(文[2]的反例适用这一情况)

(iii)当α1β2-α2β1=0且α1c2-α2c1≠0,则an,bn的极限均不存在.

这实质上是两直线相交、重合、平行判别法则的移植或线性方程组理论的简单应用.

对比“反例”所表现出来的两个错误根源,我们认为主要还是知识原因,由于教师没有看透题目的数学实质,从而也没有看透学生的错误性质,所进行的大段文字分析缺少数学针对性.所以,对每一个教师而言,提高数学专业水平是一个永无止境的课题.

4.试作一个探究性的教学设计

本文“以错纠错”的例子,持续了10年以上的时间,发表在多家刊物上,还出现在文[6]正确纠正之后,这对读者、编者和作者都有很多教训,也错过了一个培养学生创新精神的机会.我们愿在例题数学实质较为清楚的时候,提出一个教学设计,分为7步.

(1)提出问题,暴露学生的真实思想.

其过程是给出例1(或例2、例3等,还可以根据命题2编拟3种类型的例题),让学生得出不完整的解法.

(2)反思,引发认知冲突.

教师与学生一起检查每一步的依据,发现使用极限运算法则需要an、bn的存在性做前提.前提存在吗?有两种可能:或举一个反例来否定,或给出一个证明来肯定.

(3)分两大组自主探索,自我反省.

按照证实与证伪可以分两大组,下分小组,每组三五人,让学生在学习共同体中自主探索,教师巡回指导,这将是一个十分生动的过程.

(4)得出an、bn的求法.

这样,学生的求解就完整了.可以分成三步:

①求an=…=4/9;

②求bn=…=15/9;

③求(3an+bn)=…=3.

(5)进行解题分析,得出改进解法.

引导学生认识到:

①求an、bn所使用的方法也可以直接用到求(3an+bn)上来.

②先分别求an、bn,再合并得结论(3an+bn)有思维回路:

(3an+4bn)(合)

an

(分)

(6an-bn)(合)

bn

(3an+bn).(合)

删除中间步骤,可得

(3an+bn)=[(1/3)(3an+4bn)+(1/3)(6an-bn)]

=(1/3)(3an+4bn)+(1/3)(6an-bn)=8/3+1/3=3.

(6)探索一般性.

①考虑例1的结论一般化改为,求(αan+βbn);

②考虑条件、结论均一般化,让学生发现命题1(α1β2-α2β1≠0);

③再加一个层次,允许α1β2-α2β1=0,让学生再发现命题2.

(7)运用建构主义和元认知的观点(不出现名词)进行总结.

参考文献

1罗增儒.解题分析——谈错例剖析.中学数学教学参考,1999,12

2赵春祥.思维定势在解题中的消极影响举例.中学教研(数学),1990,6

3赵春祥.从整体结构上解数列题.教学月刊·中学理科版,1998,10

4赵春祥.数列与数列极限中应注意的几个问题.教学月刊·中学理科版,1999,6

5赵春祥.思维定势消极作用例说.中学数学研究(广州),2001,5

6王秀彩.“众所认可”的就一定是“正确”的吗?数学通报,1999,11

7杨浩清主编.数学题误解分析(高中).南京:东南大学出版社,1996

8唐宗保.浅谈线性组合在中学数学解题中的运用.数学通讯,1996,10

9许育群.解数列与极限问题的几类错误浅析.数理化学习(高中版),1997,22

10屈瑞东.数列极限运算易错两例.数理天地,1999,11

11童其林.例谈待定系数法在解题中的应用.考试,2000,4

12唐宗保.常见非等价变形的成因分析.数学通讯,2001,9