管网数学模型分析论文

复杂管网分析方法有多种，近年新出现的有图论法和有限元法[3][4]。两种方法各有所长，图论法将复杂的管网处理为相应的“网络图”，并建立相应的数学模型以适用范围各不相同管网水力计算。有限元法通过局部的管元分析得出管网的数学模型。

管网水力分析的基础是管段的水力学模型。常用的数学模型是采用Darcy-Weisbach公式和Hazen-Williams公式。这两个公式原用于管道沿程水力损失的计算，公式来源于理论研究和实验得到的结果。这两个公式的应用基础是大量实验统计得出的参数。Darcy-Weisbach公式一般采用Colebrook-White、Swamee-Jain实验公式和Moody图表来求出沿程损失系数f[2]。文献[1]论述了水力模型的基本形式和管网中管件的定理，该理论统一了局部损失和沿程损失的数学模型。这里进一步讨论在复杂管网中，基于该定理并利用节点分析方法给出Kirchhoff第一定律和第二定律的表示方法及其应用。

1.管网模型

1.1.管道模型

按文献[1]介绍的：

定理1：任何管件的组合，其组合后的管件，以管件断面的流量和压力水头表示的数学模型具有幂函数的形式。

（1）

式中：a,b为不会等于零的实系数；hf为管段的水头损失；q是管段内的流量。

换言之，对于管段两端，记上游端水头为H2，下游端水头为H1，即：

（2）

1.2.复杂管网模型

对于复杂管网，这里所说的复杂是指有多环、多水源、多出流口的管网，对于这种管网可以用与一般管道同样形式的矩阵公式来表示。

记：

式中：H为管段的节点水头矢量；q为管网的管段流量；n为管网中的管段数量。

为了有利于统一表达式，记管段两端的水头为H1，H2。

对于简单管段有：

（4）

容易看出这种变形为采用线性方程组提供了方便。当第t次计算时，令：

（5）

式中：管段在第t-1时的流量，在第t-1次计算时它是已知量；是管段在第t时的假定流量。

q是有方向的矢量，其方向是由管段端点2指向端点1。换言之，端点2水头大于端点1的水头，这样水才能从端点2流到端点1，流量的值才可能是正值。从数学的角度理解，假定H1，H2，q为不为零的实数，H1，H2前面的正负号可以表示为管段的端点i在流量指向的方向。

对于如图1所示的管网，可以用管网邻接矩阵A表示。

图1.一个简单复杂管网图

对于图1按节点及管段编号来关联，行是管段，列是节点。

①节点与1管段、2管段相连接，因假定管段的水流方向是由节点编号大端流向节点编号小端。①节点的邻接向量是。同理：②节点的邻接向量是，易知：

容易得到矩阵：

通常将以上矩阵称为管网的邻接矩阵，

2.节点分析法

如令：

图1中与矩阵等式

（6）

对应的是以下矩阵：

（7）

对①节点有：

对②节点有：

表明矩阵等式可以表示节点流量守恒定律。

根据流量守恒定律和能量守恒定律，有的学科也称为Kirchhoff第一定律和第二定律。管网系统的两个定律可表达为：

（8）

这也是节点分析法的关键方程组。

其中：

（9）

式中：Ac节点与管段的邻接矩阵；Af节点与已知水头的邻接矩阵；Hc管段的节点水头矢量；Hf已知节点水头矢量。

而且，

是式（4）在管网中的矩阵表达。

以图1的管网为例有：

而且，

采用计算机程序自动搜索分析，容易得到以上矩阵。同时，用矩阵表示的是：

=（10）

矩阵运算后可表示成以下方程：

（11）

其中H6是已知水塔的水头。式（10）表明矩阵方法可以表示节点能量守恒定律。

以上分析虽然是针对图1的实例进行，但没有设立管网联接及出流的特殊性条件，故所介绍的分析结果具有一般性。显然，这种结果也可以通过采用“图论法”和有限元法进行分析得到。

3.方程的解法

矩阵方程（8）是复杂管网的数学模型，对此模型的求解可以得到管网的水力学参数。如将Y(q)看作一个常数，该方程就是一个线性方程组，可将此线性方程组称为非线性方程（8）的伴随方程。注意到管网在第t-1时的流量为q(t-1)，在第t-1次计算时Y(q(t-1))是已知量；q(t)是管网在第t时的流量。

实际上是在迭代运算中令：

Y(q(t))=Y(q(t-1))

因大多数管网它们的管段内流速v都在1~3m/s之内。经验证明这样种情况下，令流速v=1作为t=0的初值比较合理。这时，矩阵方程（8）实际迭代时t为：

式中：Ai为i管段的断面面积；n为管网的管段数。

当在te时，迭代中，当时，认为方程解为：i=1,…,n；k=1,…,m；m为管网的节点数。

其中，为一相对小的数，工程上，一般取就行了。的值越小计算机的运算时间就越长。

由方程（8）变形得到方程：

（12）

式中，Hc管段的节点水头矢量，是待求的未知量；Hf为已知节点水头矢量。q=是管段内的流量矢量，是待求的未知量；d是管网的出水量矢量，是已知量。

用线性方程组的解法容易经3~4次迭代得到方程（12）的解。

4.结论

复杂管网可以用矩阵的形式表示，并可用节点法建立其矩阵方程。其方程为：

（12）

此方程是一个非线性方程，解此方程可用迭代法进行计算。迭代的初始参数及计算方法如下：

当时，认为方程解为：i=1,…,n；k=1,…,m；n为管网的管段数，m为管网的节点数。

[1]李鸣，管网基本定理及其数学模型[J]，节水灌溉，2001(1)8-11

[2]HaestadMethods,ThomasM.Walski,AdvancedWaterDistributionModelingandManagement[M],HaestadPress,2003

[3]石继，张丰周，魏永曜，图论法用于供水管网水力计算的研究[J]，水利学报，1999(2)

[4]康跃虎，微灌系统水力学解析和设计[C]，陕西科学技术出版社，1999.4