磁悬浮轴承现代控制理论课程设计探讨

摘要:随着现代科技产业信息化与智能化程度的不断提升，对自动化领域从业人员的综合素质提出了前所未有的需求。《现代控制理论》作为控制学科相关专业的一门必修和基础性课程，对专业人才的培养具有重要作用。各大高校迫切需要开设实验课程来深化学生对抽象理论知识的理解。磁悬浮轴承控制系统是一个复杂的、不稳定的强耦合系统。通过对其研究，能直观反映出控制系统中诸如稳定性、能控能观性、系统收敛速度及系统抗干扰能力等抽象概念，对学生思维能力的提升与实操能力的增强将起到积极作用。

关键词:现代控制理论;磁悬浮轴承;课程设计

1背景与课程介绍

在经典控制理论中，基于传递函数的数学模型通常只能描述线性系统单个变量的输入输出关系。然而，许多实际系统是具有多个变量的复杂系统，上述传递函数法对此类系统的刻画就显得力不能及。20世纪50年代，随着卡尔曼滤波器的提出，基于状态空间模型的描述方法推动了控制理论由经典到现代的发展过程。采用状态空间法进行系统建模分析时，可以选取一组由状态变量组成的微分方程刻画动态特性。这样可以有效全面地描述系统变量的运动状态，也便于分析初始状态对系统的影响。与此同时，该方法在处理非线性系统、时变系统、多输入—多输出系统时具有较好的适应性。因此，现代控制理论逐渐受到专家学者们重视，成为解决复杂工控系统的重要手段。作为自动控制相关专业的一门必修和基础性课程，《现代控制理论》的特点是此课程涉及较广泛的理论知识。在对某一工程系统对象进行数学建模时，要求有直观的工程应用背景，需要掌握动力学、电气学等物理知识，同时还要有坚实的数学基础。目前，现代控制理论相关技术已广泛地应用于工农业、航空航天等领域［1-2］。随着新一轮产业革命的快速发展，云计算、物联网、大数据、智能制造、工业4．0等应用迅速扩展，对当前工程领域全链条化发展提出了前所未有的需求，从而推动未来工程领域实现重要变革。在自动化领域，工程控制系统的信息化与智能化的飞速发展必须通过人才来实现，而工程教育是连接工程活动与工程人才的桥梁，这就迫切需要高等院校为社会源源不断地输送高素质应用型与研究型人才。在该课程的教学过程中，多数教材只是对这些应用场景做一些简单介绍，学生们对此并没有直观深刻的认识，更是缺少理论知识到实际工程的应用环节。长此以往，就将导致学生的眼高手低，只会纸上谈兵。为了让高校课堂的理论知识与解决新时代工程实际难题的所需技术无缝衔接，实施实践性教学是目前高等学校教学改革的必然趋势。磁悬浮轴承系统是一个理想的现代控制理论研究对象，具有控制理论、计算机、机械等多学科交叉的特征［3］。以四自由度磁轴承为仿真模型，通过现代控制理论的课程设计，老师可以指导学生利用不同控制方法，自主设计控制器与控制系统，实现对磁轴承的静态悬浮控制。此外，引入开放式实验设计，有效激发学生的创新思维和探究能力。

1．1四自由度磁轴承简介

采用传统轴承作为支承部件的旋转机械存在如摩擦、磨损、转速受限等不可避免的问题，限制了其应用范围。与传统轴承相比，磁悬浮轴承是一种转子与定子之间无摩擦的新型支承技术［4］，其具有摩擦损耗小，无须润滑，寿命长，寿命高潜在的高控制精度，以及长期高速运行等优点。鉴于上述优点，磁悬浮轴承技术正越来越多地应用于各种旋转机械中，如人工心脏泵、压缩机、高速铣削主轴、飞轮储能系统等电磁轴承。磁悬浮轴承具有不稳定性，需要设计控制器将系统极点配置到复平面的左半平面磁悬浮轴承通过在定子的内部缠绕线圈，通电后定子变成了电磁铁，进而产生电磁力。电磁力支撑着定子受力平衡并悬浮在轴承的中间位置。在恒定电流下，两个线圈之间的吸引力将随着转速的升高而降低。与此同时，采用速度和位置传感器实时测量转子的状态信息，并根据其状态的改变调节定子绕组中电流的大小。以径向四自由度磁轴承为对象，以o为左边原点，z轴为转子旋转轴，y轴为转子上下移动方向，x轴为转子前后移动方向，则磁悬浮转轴的运动示意图如图1所示，进而可以得到转子的运动方程。(1)其中x(t)=xlxrylyrx·lx·ry·ly·r[]表示t时刻的状态，x1、xr分别表示转子在左、右两端磁轴承处水平方向位移，y1、yr分别表示转子在左、右两端磁轴承处垂直方向位移，u(t)表示t时刻的控制输入，系统矩阵A，B如下:

1．2磁轴承系统参数

径向四自由度磁轴承模型参数如下:磁轴承转子质量m=14．8kg，水平方向转动惯量Jx=0．0926kg·m2，垂直方向转动惯量Jy=0．0926kg·m2，轴向转动惯量Jz=0．1832kg·m2，位移刚度系数ks=-2．08×106N/m，电流刚度系数ki=1．69×105N/A，左端磁轴承到质心的距离a=65mm，右端磁轴承到质心的距离b=65mm。

2课程设计方案

设计内容分为三个部分，第一部分为基于极点配置［5-6］的状态反馈控制仿真，第二部分为线性二次型调节器［7-8］(LinearQuadraticRegualtor，LQR)最优控制仿真。第三部分为开放性探索研究，学生可以选做。

2．1基于极点配置的状态反馈控制仿真

控制系统的性能很大程度上依赖于极点在根平面上所处的位置。因而，可以选择一组期望极点，使系统达到要求的性能。极点配置是基于选取反馈增益矩阵的方式，将闭环系统的极点分布在根平面上所希望的地方，进而得到理想的控制效果。首先在Simulink环境下，建立如图2所示的控制系统模型。将相应系统参数带入等式(1)，可得系统矩阵A和控制输入矩阵B如下:将矩阵A和B输入图2中的对应模块，可以得到磁轴承的状态空间模型。针对所获得的系统模型进行极点配置。具体步骤如下:(1)通过Matlab计算能控性矩阵M的秩，判断该磁轴承系统是否完全能控。由M=ctrb(A，B);rank(M)=8，可知系统完全能控，可以对极点进行任意配置。(2)假设一组期望极点为:P=［-100±2j，-50±10j，-30±10j，-25±5j］，通过极点配置函数K=place(A，B，P)求出对应的状态反馈控制器。(3)将求出的控制器K带入上述仿真系统，选取一组初始状态，通过scope模块观看系统状态响应曲线是否达到理想要求。如果控制效果未满足预期，可以继续调整期望极点，重复以上步骤进行调试，直至达到理想结果。

2．2基于LQR的状态反馈最优控制仿真

LQR是现代控制理论中较为成熟的理论之一，其核心是求解一个控制器使得某一二次型目标函数J(t)极小化，851其选取如下:通过改变状态量权值矩阵Q和控制输入量权值矩阵R的取值，获得不同目标函数，进而得到各种性能平衡下的最优性能。增大Q值，可以降低系统的位移偏差，增大R值，可以减少控制成本。具体设计过程如下:(1)基于上述计算可知，系统是完全能控的。(2)选取一组加权矩阵:Q=I，R=10I。通过MATLAB中的LQR函数K=lqr(A，B，Q，R)可以求出相应的状态反馈控制器增益K。(3)将求出的控制器增益K带入图2仿真系统，选取一组初始状态，通过scope模块观看系统状态响应曲线是否达到理想要求。如果控制效果未满足预期，可以继续调整Q，R矩阵大小，重复以上步骤进行调试，直至达到理想结果。

2．3开放性探索研究

通过以上两个部分控制方案的设计，学生们对于磁悬浮轴承系统的特性已经基本熟悉，对控制器的设计也有了较为全面的理解。控制理论历经多年的发展，在经典控制和现在控制理论的基础上，出现了越来越多的其他先进控制算法，如模糊控制［9］、鲁棒控制［10］等，并且在实际工程中的应用效果也不断提升。对于部分学习能力，钻研精神强，且对控制理论感兴趣的学生，可以尝试在现有控制方案的基础上，结合当前热点控制方法，进一步提高控制系统性能。

3课程设计课时安排

课程设计计划安排6课时，其中第一部分的教师讲授课时与学生实践课时分别为1课时和1．5课时;第二部分与第一分部相同;第三部分的教师讲授课时与学生实践课时都是0．5课时。对于探索性的第三部分，由于课时安排较少，学生可课后进行控制算法设计与系统仿真，根据实验结果与老师做进一步探讨。

4总结

通过研究磁悬浮轴承系统，可以验证设计的控制方案能否有效控制一个不稳定系统，使其达到稳定状态。借助于MATLAB等仿真工具，可以加深学生对现代控制理论中的一些基本概念与控制方法的理解与掌握。将基于磁悬浮轴承系统实验教学的安排贯穿于整个理论课程的教学过程中，有助于解决《现代控制理论》教学中存在的“仅重视理论知识的讲授，忽略工程方面的应用”的问题。与此同时，通过让学生自己动手进行控制系统的设计，有助于培养和提高学生学以致用的能力，对提升自动化类人才工程实践能力与创新探索能力具有重要实践意义。

作者：严沈 顾洲 杨帆 单位：南京林业大学机械电子工程学院