诠释傅里叶分析用于热传输因素

〔摘要〕傅里叶分析是一种重要的数学工具，本文综述了用傅里叶分析解决细杆的热传导问题，并进行了讨论。傅里叶分析包括傅里叶级数和傅里叶积分，用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题，用含参数的傅里叶变换法解决无界细杆的热传导问题，比其它方法更系统，体现出一种数学与物理对应的美感。

〔关键词〕傅里叶级数傅里叶积分傅里叶变换细杆的热传导问题

引言

1822年，傅里叶在研究热传导问题时，创造了傅里叶分析，随着时代的进步，这一数学工具被广泛地应用于信号分析、匹配滤波、图象处理等方面,掌握这种具有广泛用途和发展前景的工具是十分必要的.热传导是历来研究的热点，尤其是随着计算机电子设备的高集成化发展，机器内发热部件和集成电路元件的发热量随之增加，传统的强制冷方式已不能达到理想效果，因此，热传导设计成了重要问题。万变不离其宗，为了更好地掌握傅里叶分析，为了更好地掌握热传导问题，本文就一维热传导问题对傅里叶分析作了全面详尽的论述。

1.傅里叶分析

1.1傅里叶级数

傅里叶级数在应用上有以下优点：能表示不连续的函数、周期函数，能对任意函数作调和分析。

若函数以为周期，即(1.1.1)则可取三角函数族

1，cos,cos,…cos，…

sin,sin,…sin，…(1.1.2)

作为基本函数族，将展开为级数

=+cos+cos)(1.1.3)

可以证明，函数族（1.1.2）是正交完备的。根据三角函数族的正交性，可求得（1.1.3）中的展开系数为（1.1.4）

其中(1.1.3)称为周期函数的傅里叶级数展开式，其中的展开系数（1.1.4）称为傅里叶系数。关于傅里叶级数的收敛性问题，有Dirichlet定理。

若周期函数是奇函数，则由傅里叶系数计算公式（1.1.4）可见，及诸均等于零，展开式(1.1.3)为=,(1.1.5)

这叫做傅里叶正弦级数。由于对称性，其展开系数为（1.1.6）

同理，若周期函数是偶函数，则=+(1.1.7)

这叫做傅里叶余弦级数，其中，（1.1.8）

对于只在有限区间，例如在上有定义的函数,可采取延拓的方法，使其成为某种周期函数，而在上，。然后再对作傅里叶级数展开，其级数和在区间上代表f(x),由于f(x)在x=0和x=l无定义，因此可以有无数种延拓方式，因而有无数种展开式，它们在上均代表.有时，对函数在边界（区间的端点）上的行为提出限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何延拓。例如要求这时应延拓为奇的周期函数，因为

sin│=0,sin∣=0;

又如要求这时应延拓为偶的周期函数，因为余弦级数的和的导数在和为零。

对于函数u(x,t),-l<x<l,t≥0,展开为傅里叶级数时，可将t视为参数，仅关于x展开为傅里叶级数

u(x,t)=a(t)+)(1.1.9)

其中的展开系数不是常数，而是关于t的函数，(1.1.10)

1.2傅里叶积分

一般说来，定义在区间（-∞<x<∞）上的函数f(x)是非周期的，不能展开为傅里叶级数。为了研究这样的函数的傅里叶展开问题，我们采取如下办法：试将非周期函数f(x)看作是某个周期函

数g(x)于周期2l→∞时的极限情形。这样，g(x)的傅里叶级数展开式

g(x)=+)

在l→∞时的极限形式就是所要寻找的非周期函数的傅里叶展开。仔细研究这一极限过程，可以得到：

f(x)=(1.2.1)

其中

A(ω)=f(ξ)cosωξdξ

B(ω)=f(ξ)sinωξdξ(1.2.2)

(1.2.1)右边的积分称为傅里叶积分，(1.2.1)称为非周期函数f(x)的傅里叶积分表达式。(1.2.2)称为f(x)的傅里叶变换式。对f(x)的条件，有傅里叶积分定理。复数形式的傅里叶积分为:

f(x)=F(ω)dω(1.2.3)

F(ω)=f(x)dx(1.2.4)

1.3含参数的傅里叶变换

对于函数u(x,t),(-∞<x<∞,t≥0),可将t视为参数，仅将x成为自变量，则与一元函数f(x)的傅里叶展开类似可得：

u(x,t)=F(ω,t)dω(1.3.1)

其中

F(ω,t)=u(x,t)dx(1.3.2)

(1.3.1)是u(x,t)傅里叶积分表达式，(1.3.2)是u(x,t)的傅里叶变换式。

2．细杆的热传导问题

由于温度不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象叫做热传导。在细杆的热传导问题中研究的是温度在一维空间中的分布和在时间中的变化u(x,t)。应用热传导定理和能量守恒定律，可导出可导出热传导方程：

(无热源、汇)

(有热源、汇)

还需初始条件

u(x,t)|=(x)

和三类边界条件：

第一类u(x,t)|=ψ(t)

第二类u(x,t)|=ψ(t)

第三类u(x,t)|+Hu(x,t)|=ψ(t)

这样构成完整的一维热传导问题。根据空间变量的范围可分为以下两种细杆的热传导问题。

2.1有界细杆的热传导问题

这里仅选第二类边界条件作讨论，构成(2.1.1)

2.2无界细杆的热传导问题(2.2.1)

对半无界细杆的热传导问题，根据边界条件延拓到无界，转化为无界细杆的定解问题。对第一类齐次边界条件的定解问题（x>0,t>0）=0=(x)作奇延拓=对第二类边界条件（x>0,t>0）

=(x)作偶延拓=

3．傅里叶分析应用于细杆的热传导问题

3.1用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题

傅里叶级数法是直接求解非齐次方程的定解问题。对问题(2.1.1)，把所求解u(x,t)本身展开为傅里叶级数，基本函数族应是相应齐次方程

在第二类齐次边界条件下的本征函数：cos(0,1,2,…),这样试把所求解展开为傅里叶余弦级数u(x,t)=(3.1.1)

把这个级数代入泛定方程，＝f(x,t)(3.1.2)

方程左边是傅里叶余弦级数，提示我们把方程右边也展开为傅里叶余弦级数，得到：(3.1.3)

其中为的傅里叶余弦级数的第n个傅里叶系数。比较两边的系数，分离出（t）的常微分方程=(3.1.4)

又把（3.1.1）代入初始条件，得：==(3.1.5)

其中为的傅里叶余弦级数的第n个傅里叶系数。(3.1.5)式两边都是傅里叶余弦级数，由于基本函数族的正交性，等式两边对应同一基本函数的傅里叶系数必然相等，于是得(t)的非零初始条件(3.1.7)

(t)的常微分方程（求解）在初始条件（3.1.7）下的解是

(t)=(3.1.8)

这样所求解是=}(3.1.9)

可以证明(3.1.9)是存在且唯一的.

3.2用傅里叶变换法求解无界细杆的热传导问题

对问题(2.2.1)应用含参数的傅里叶变换，即用不着遍乘方程及定解条件各项，并对空间变数x积分（时间变数视作参数），原来的定解问题变成(3.2.1)

其中为u(x,t)的傅里叶变换。为求解这个非齐次常微方程，用遍乘方程各项，得：

对t积分一次，计及零初始值，==

进行傅里叶逆变换，=]•dk

交换积分次序=[]

引用积分公式=

可得结果=(3.2.2))

可以验证(3.2.2)确实符合(2.2.1).有热源或热汇的热传导问题，即泛定方程是齐次的，求解更容易。

4.讨论

4.1一维热传导问题方法和结论的推广

用傅里叶分析法解决细杆的热传导问题，以及得到的结论均可推广到二维、三维空间，用到的理论基础是二、三重傅里叶级数和二、三重傅里叶变换，求解过程与一维类似。

4.2傅里叶分析应用于其它定解问题

用傅里叶分析法求解热传导问题时，只是对所求解进行了傅里叶展开或变换，并未对方程限制，常见的其它定解问题：振动问题，扩散问题等均可用傅里叶分析法。

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