单摆周期十篇

单摆周期篇1

【准备、猜想阶段】

1．首先指导学生挂好“单摆”，启发引导学生明确：（l）实验必须保证摆角小于5°；（2）要挂好之后测摆长，摆长指悬点到球心之间的距离；（3）为减少测量周期的误差，用累积法测单摆的周期且从摆过平衡位置开始计时；（4）不能让“单摆”作锥摆运动。

2．指导学生让单摆振动起来，引导学生观察、讨论、分析，让学生大胆猜测决定单摆振动周期的因素，在老师的启发提问下，总结猜想结果，影响单摆振动周期的因素为：振幅、摆球质量、摆长、重力加速度以及空气阻力。明确告诉学生，由于单摆在小角度下振动，空气阻力较小，可以忽略，从而说明，本节课的实验目的是研究单摆的振动周期与振幅、摆球质量、摆长及重力加速度的关系。

【探索、发现阶段】

1．怎样研究它们之间的关系呢？启发同学回忆研究加速度与物体质量及外力关系的方法，明确实验方法为控制变量法，即控制其他各量不变，研究周期与其中某量关系的方法，从而总结本实验有四个小实验：（l）研究周期与振幅的关系；（2）研究周期与摆球质量的关系：（3）研究周期与摆长的关系；（4）研究周期与重力加速度的关系。

2．为使学生顺利完成探索实验，可以发放探索实验提纲，并要求学生设计好纪录表格。

（l）研究单摆振动周期与振幅的关系：让单摆摆动，测出周期；再改变单摆的摆角（振幅），重测周期，比较它们是否相等。用两个完全相同的单摆，固定在铁架台上使它们同时开始做不同摆角的振动，观察它们的周期是否相同。

（2）研究单摆振动周期与摆球质量的关系：让单摆振动，测出周期；再改变摆球质量，测出周期，比较它们是否相等。让两个摆长相同、摆球质量不同的摆，保证它们的摆角和相同同时摆动，观察比较它们的周期。

（3）研究振动周期与摆长的关系：让单摆振动，测出周期：改变摆长，重测几次，比较它们的周期是否相等。

（4）研究单摆周期与重力加速度的关系：让单摆振动（摆球选铁球），测出周期；再在悬点正下方放一强磁铁（铁球下放磁铁相当于重力加速度变大），让摆球摆动，测出周期，比较它们是否相等。

3．在学生探索实验的基础上，引导学生分析、讨论决定单摆振动周期的因素，并得出实验结论，最后给出单摆的周期公式。

【发展、应用阶段】

在探索、发现的基础上，下一节学生实验“用单摆测重力加速度”改为设计性学生实验。学生根据老师提供的器材，按照实验要求，合理选择器材，自己设计实验方案、测量的主要步骤及需要测量的物理量。

题：用实验室提供的下列器材：不同材料的摆球，长100cm至120cm的摆线若干，带铁夹的铁夹台，秒表，米尺，游标卡尺，量角器，测量本地区的重力加速度。

（l）简要说明实验方案的设计思路；

（2）简要说明测量的主要步骤与需要测量的物理量；

（3）用已知量和测得量表示重力加速度的计算式；

（4）通过测得量计算重力加速度的平均值。引伸1：用作图法计算重力加速度：根据，作图线，求出直线的斜率K，则重力加速度为

引伸2：若实验室提供的摆球是不规则的，你怎样测量。

可以假设质心处的半径为r，取不同的悬线长，，，，两式综合得：。

单摆周期篇2

从推导的单摆公式中可以看出：单摆的周期与振幅和摆球质量无关。因为从力学的角度分析，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的一个分力，偏角越大，回复力越大，加速度(gsinα)也就越大，在相等时间力走过的弧长也越大，所以周期与振幅、质量无关，只与摆长L和重力加速度g有关。在有些振动系统中L不一定是绳长，g也不一定为9.8 m/s，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。

物理上有些问题与单摆类似，经过一些等效思想的处理可以套用单摆的周期公式，这类问题统称为“等效单摆”。等效单摆在生活中比较常见，本文主要讲述等效单摆在一些问题中的应用。

一、等效单摆

等效单摆分等效摆长单摆L′、等效重力加速度单摆g′，以及摆长、重力加速度双重等效单摆三种情况。等效单摆的周期公式为T=2π。

1.等效摆长单摆。

等效摆长L′不再是悬点到摆球球心的距离，而是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，摆动圆弧的圆心即为等效单摆的悬点。

例1：双线摆由两根长为L的细线下端栓一质量为m的小球构成，如图1所示，两线夹角为2α，今使摆球在垂直纸面的平面内作小幅度摆动，求其周期。

解析：当双线摆在垂直纸面的平面内作小幅度摆动时可以等效为以AB的中心为悬点， OO′长为摆长的单摆，其等效摆长为L′＝Lcosα，故此摆周期为：T=2π。

2.等效重力加速度单摆g′。

该类单摆的等效重力加速度g′≠g，但摆长仍为悬点到球心的距离。等效重力加速度g′与单摆所在的空间位置、单摆系统的运动状态和单摆所处的物理环境有关。

（1）公式中的g′由单摆所在的位置离星球海平面的高度决定，由万有引力公式推导出g′＝G知，g′随地球表面不同位置、不同高度而变化，且在不同的星球上也不相同，在同星球上不同纬度高度也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8m/s，9.8m/s仅仅指在地球的赤道上的重力加速度。

（2）g′由单摆系统的运动状态决定，“等效重力加速度”等于摆球处于平衡位置不振动时，等效摆长“绳子”上拉力对摆球产生的加速度。具体求法：等效重力加速度g′等于摆球相对系统静止在平衡位置时摆线的张力（视重）T与摆球质量m的比值，即g′＝。

例2：如图2所示，将摆长为L的单摆放在一升降机中，若升降机以加速度a向上运加速运动，求单摆的摆动周期。

解析：单摆的平衡位置在竖直位置，若摆球相对升降机静止，则单摆受重力mg和绳拉力F，根据牛顿第二定律：F－mg＝ma，此时摆球的实重mg′＝F＝m(g＋a)，所以单摆的等效重力加速度g′＝F/m＝g＋a，因而单摆的周期为T=2π=2π。

拓展：如图3（a）所示，长为L的轻绳一端系一质量为m的小球，挂于小车支架上的O点，当小车以加速度a向右加速运动时，将小球拉离平衡位置α（＜10°）由静止释放，求其周期。

图3（a) 图3（b)

解析：当小球相对小车静止时，摆球的平衡位置偏离竖直θ角，如图3（b）中A点为摆球的平衡位置，摆球相对车静止在平衡位置时，绳子拉力为F，则由牛顿第二定律：

Fcosθ＝mg ①

Fsinθ＝ma ②

解得F＝m。

悬线拉力产生的加速度，即等效重力加速度g′＝，

所以：T=2π。

（3）g′还由单摆所处的物理环境决定，如带点小球做成单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有一个等效重力加速度的问题。

例3：如图4所示，摆长为L的单摆，小球质量为m，带正电荷，电荷量为 q，处在水平向右的场强为E的匀强电场中，摆球静止时所在平衡位置偏离竖直θ角（tanθ＝），现将小球拉离平衡位置α（＜10°）由静止释放，求其周期。

解析：由平衡条件，当小球静止在平衡位置时，摆线的张力F=mg′=，等效重力加速度g′＝/m。所以：T=。

3.摆长、加速度双等效单摆。

例4：如图5是记录地震装置的水平摆示意图，摆球m固定在边长L、质量可忽略的等边三角形顶点A处，它的对边BC与竖直线成不大的角θ，摆球可沿固定轴BC摆动，则摆球做微小振动的周期是多少？

解析：当m做微小摆动时，实际上围绕BC中点O运动，所以等效摆长应是L′＝Lsin60°＝L。

当摆球处于平衡位置且不摆动时，沿OA方向的等效拉力F＝mgsinθ＝mg′，即g′＝gsinθ。故摆球的振动周期T=2π。

二、单摆模型在其它问题中的应用

在处理物理问题时，最好将生活的实例转化为我们熟悉的物理模型，通过构建物理模型，应用熟悉的模型所遵循的规律解答问题是一种最常用的方法，而单摆模型常可以用于解决其它力学问题。

例5：如图6（a）所示，A、B为固定在轻杆中点和一个端点的两个小球，杆可绕O点无摩擦地转动，将轻杆从图中水平位置由静止释放，在轻杆下落到竖直位置的过程中（ ）。

A.两球各自的机械能均守恒

B.杆、球组成的系统机械能守恒

C.A球机械能的增加等于B球机械能的减少

D.A球机械能的减少等于B球机械能的增加

图6（a） 图6（b）

单摆周期篇3

关键词：单摆，数值积分，梯形公式，辛普森公式，MATLAB

 

单摆问题是一个古老的问题，在现实中应用很广，例如摆钟就是应用单摆的原理制造的. 在无阻尼的情况下，单摆动力学方程是：

(1)

其中是单摆的质量，是单摆的摆长，的初始角为(见图1).

图1

在单摆的摆角很小的情况小，我们用公式：

(2)

作为单摆的震动周期的近似计算公式.但是当单摆的摆角较大(一般认为大于)时，公式(2)就不适用了. 此时单摆的振动周期需用公式(1)的精确解[1]：

(3)

来计算.但是公式(3)涉及到椭圆积分，这个积分利用莱布尼茨公式是很难计算出来的， 这时我们可以借助数值积分方法来计算单摆的振动周期.我们利用了数值积分中的梯形公式和辛普森公式得到了两个计算单摆的震动周期近似公式.

1 近似公式的导出

数值积分中的梯形公式和辛普森公式[2]分别为:

，(3)

，(4)

其中为积分上限，为积分下线，为被积分函数.

对公式(3)用梯形公式得到计算单摆的震动周期的近似公式：

.(5)

对公式(3)用辛普森公式得到计算单摆的震动周期的近似公式：

.(6)

2 近似公式的精确程度分析

数值积分中的梯形公式和辛普森公式的误差[2]分别为:

，

.

从误差公式可以看出辛普森公式得到计算单摆的震动周期的近似公式比梯形公式要精确.

为了考察公式(5)和公式(6)的精确程度，我们用数值积分公式中自适应辛普森公式[2]近似的取代精确解，计算精度取到. 下面我们利用MATLAB软件，在区间每隔取值，计算出的90个点的值，然后画出以横坐标，以纵坐标的曲线图.

单摆周期篇4

1.贴近生活，引入课题

在日常生活中，经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内作摆动：摆钟摆锤的摆动，公园里小孩在荡秋千，起重机下货物的晃动……悬挂物体在竖直平面内做什么运动?摆钟是利用什么原理制作的?学习了“单摆”这节课后，我们就会明白了。

2.探究摆的振动周期

(1)提出问题

教师展示摆钟，引导学生观察摆锤的摆动和指针的变化，然后展示摆球、铁架台、细线等实验装置，演示摆球在竖直平面内的振动，引导学生注意观察摆球的往复运动。引导学生在观察、讨论中，联系往复运动表现出的运动周期性，提出问题：

摆的振动周期与哪些因素有关?

(2)进行猜想

针对所提出的问题组织学生讨论，学生依据已有的科学知识、经验，通过思考作出猜想：

①摆的振动周期可能与摆球的振幅有关;

②摆的振动周期可能与摆球的摆长有关;

③摆的振动周期可能与摆球的质量有关。

讨论时，有的学生可能猜想摆的振动周期与摆球所受重力有关，很少有学生猜想摆的振动周期与重力加速度有关。

(3)设计实验

教师要引导学生讨论确定实验方法：控制变量法，并依此设计实验方案。

教师可将班级学生分成甲、乙、丙三大组(每一大组再分成若干小组)探究摆的振动周期与摆球的振幅、质量、摆长的关系。学生进行讨论，整理、归纳出所需的实验器材、实验步骤和要测的物理量(见表1)。

摆的周期和重力加速度的关系在课堂上不易进行实验探究，可组织学生讨论、设计实验方案。学生可能提出在高层建筑中，在升降机中，在月球上，在飞船中，在地球上的不同地区……做实验。要求学生课后写出具体的实验设计方案。

(4)实验探究

学生分组实验，使用仪器进行观察、测量和实验，同时记录观察和测量的结果(见表1)。

(5)交流、评估

学生分析、进行观察、测量和得出实验结果，与猜想进行比较作出解释(见表1)。各组选派代表进行交流，启发学生评估各组实验结果，总结摆的振动周期特点：①偏角较大时，摆的振动周期跟振幅大小有关;②摆的振动周期跟摆球质量无关;③偏角较小时，摆的振动周期跟振幅大小无关，跟摆长有关，摆线增大周期变大，摆线缩短周期变小。

3.探究单摆振动特征

教师：单摆是一种理想化模型，单摆由摆线和摆球两部分组成：第一，摆线需由质量不计、没有伸缩性的细线提供;第二，摆球的密度较大，而且摆球的直径要比摆线的长度小得多。这样才可将摆球看成质点，构成单摆。前面实验时提供的摆球和摆线基本符合构成单摆的条件，实验用的摆可看作单摆。

(1)提出问题

在上述实验探究中学生可能提出问题：单摆振动是不是简谐运动?

(2)进行猜想

组织学生讨论，提出猜想：

①单摆振动不是简谐运动，因为单摆振动周期的大小跟偏角的大小有关，不是一个定值。

②不能确定。因为单摆的振动是不是简谐运动要看它受到的回复力的大小是否跟位移的大小成正比。

③因为在偏角较小时，单摆的周期跟振幅无关，跟摆长有关，像弹簧振子的周期那样，周期由振动物体本身决定。所以这时单摆振动是简谐运动。

(3)设计实验

组织学生讨论、归纳，确定设计思想，制定计划：

①设计思想

简谐运动图像是一条余弦(或正弦)曲线，如果单摆振动是简谐运动，它的振动图像也应是一条余弦(或正弦)曲线。

②制定计划

实验器材：支架，线，盛砂漏斗，硬纸板，砂。

实验步骤：把翻斗吊在支架上(摆长较长)，下方放一块硬纸板.纸板上画一条直线，漏斗静止不动时正好在直线的正上方。在漏斗里装满砂，让漏斗摆动，同时沿着跟摆动垂直的方向匀速拉动硬纸板，在偏角不同时进行实验，观察流砂在纸上形成的图像。(可能有学生会提出用墨汁，彩色水代替砂;用蘸有墨汁的毛笔头、针筒代替漏斗做实验)

(4)实验探究

学生分组(4人1组)实验，边观察边记录，将实验结果填入

(5)交流、评估

分析图象

偏角由6°10°的图像逐渐接近余弦(或正弦)曲线。

在偏角较大时单摆的振动图像不是简谐运动图像，这时单摆的振动不是简谐运动。

在偏角很小时单摆的振动图象是简谐运动图像，这时单摆的振动是否一定是简谐运动?下面进一步作理论探究。

理论推导

读读议议：学生阅读、讨论课文上的内容，教师巡视指导并随时解惑。

使摆球偏离平衡位里，然后放开，摆球就在重力和拉力的作用下在一个圆弧上来回运动。重力沿悬线方向的分力和悬线的拉力的合力，方向指向圆心，成为摆球沿圃弧运动的向心力，只改变摆球运动的方向。不改变运动的快慢。

因此，在研究单摆振动的回复力时不需要考虑向心力，只考虑重力沿圆弧切线方向的分力

。在偏角B很小时圆弧可以近似地，成直线，分力F可以近似地着作沿这条直线作用

，单摆的回复力为

。其中

为摆长，x为常数。

可见，只有在偏角很小时，摆球在线性回复力的作用下运动，单摆的振动才很好地符合简谐运动力的特征，才能视为简谐运动。

讨论评估

猜想①：从片面的现象分析问题得出结论，没有把握问题的主要方面来全面、辩证地分析实验现象。

猜想②：是正确的。要判定某一振动是否是简谐运动要看它是否具有简谐运动的特征。在偏角很小时，单摆振动的回复力既可看成重力沿圆扳切线方向的分力也可看成重力跟悬线的合力沿圆弧切线方向的分力，跟位移成正比且方向相反，单摆的振动很好地符合简谐运动的力的特征，可视为简谐运动。

猜想③：有一定的道理。振动周期不变只是简谐运动的表观特征，而一切周期性振动都有这种表观特征。根据弹簧振子的振动特点去猜想还要经过实践和理论检验。

4.归纳总结

阅读课本，介绍荷兰物理学家惠更斯研究单摆振动的成果。惠更斯利用摆的等时性发明了钟摆的计时器。

结论：单摆在偏角很小的情况下做简谐运动，力的特征：F=-kx。单摆做简谐运动的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，跟摆锤的质量、振幅无关，这时单摆振动周期公式为

。

点评：教学中，在激发学生刻苦学习、追求真理、树立为科学献身的精神的同时，还要培养学生尊重科学、实事求是、一丝不苟的科学态度。

5.应用扩展

问题：怎样利用单摆脱测出当地的重力加速度?

学生讨论，介绍测量方法。……

6.总结方法

在摆的振动周期和单摆脱振动性质的研究中，实际上运用了解决实际问题的一种方法：提出问题进行猜想设计实验实验探究交流评估。

7.课题研究

(1)单摆是一种理想化模型。在水平面上放置的光滑圆弧形轨道上的小球作小幅度运动，可等效成单摆模型，怎样测定它的运动周期?

(2)摆钟误差问题分析：机械摆钟可看作单摆脱处理。摆钟“走时”的误差是由于摆钟的振动周期偏大或偏小引起摆钟指针指示的时刻与真实的时刻不相符。摆钟由地面移到高山或由北京移到上海，摆钟“走时”是否发生误差?怎样调整?

(3)多线摆周期测定。

制作双线摆、多线摆测定周期，研究规律。

在本节课的教学设计中，将课堂实验与创设“探究式”问题情景结合，通过抓住知识的产生过程，积极引导学生主动探究，让学生参与猜想、实验、讨论、应用等多项活动，这是一种在教师指导下的探究式教学模式。在这种教学模式中教师的指导作用主要体现在：

①设计探究目标──就是教师要根据教学目标和内容，确定探究的问题和探究的目标，并精心设计探究过程和方法。

②创造探究条件──探究之前和过程中，教师应为学生提供充分的探究条件。如实验条件、知识条件、方法条件，对一些模拟探究还需精心设计好课件，预测探究过程中可能出现的一些问题以及解决方案等。

单摆周期篇5

【关键词】误差，单摆，摆角，线性回归

【Abstract】This paper analyzes the primary source and size of error in the measurement of gravity acceleration by single pendulum， we indicate measures needed in the experiment to reduce the measurement error.

【Key words】Error； Single pendulum； Pendulum angle； Linear regression

作为普通物理实验中通常开设的实验，单摆测重力加速度是力学部分的重要实验，该实验可以测量当地的重力加速度，更重要的是，通过该实验可以练习基本测量工具的使用，学会正确读取和处理数据，以及对实验结果进行分析，计算实验结果的误差及分析误差的来源。

图1是单摆的原理示意图。由振动理论可以证明，单摆的周期：

T=2π 1+ ・sin + ・ sin +……（1）

若θ非常小时，取零级近似，则：

T=2π （2）

由公式（1）可见周期T不但与摆长有关，而且与偏角θ有关。在偏角一定时，摆长L与T 成线性关系；在摆长一定时，周期T与sin 成线性关系。

通过对该实验所用公式及测量过程进行分析，该实验中误差的来源主要有以下几个方面：

1 方法误差

1）摆角。实验中所用计算重力加速度的公式（2），是在θ趋近零时的近似，因此测量一般是在摆角小于5度下进行的，因此摆角会带来误差，这属于系统误差的范围。要减小该部分误差，应取公式（1）的一级近似[1]：

T=2π 1+ ・sin （3）

2）空气阻力。公式（2）中没有考虑空气阻力，单摆近似是简谐振动。实际空气阻力的存在会导致单摆做阻尼振动，所以用公式（2）计算出的重力加速度显然是存在误差的。针对这部分误差，需加上空气阻尼修正项来计算重力加速度。

阻尼存在时的重力加速度公式为[2]：

g= 1+ ，

实际实验中由于摆线较长，运动速度较小，阻尼项产生的误差可以忽略。

3）摆线质量和摆球半径。实验中摆线质量和摆球半径不能忽略时，都会影响周期的计算公式，通过微小测量比较，这部分误差非常微小，通常可以不予考虑[3]。

4）摆线弹性。实验中要求摆线不能伸缩，完全没有弹性，通过选择合适的摆线材料，可以减小摆线弹性带来的误差，但无法完全消除。

2 测量误差

1）周期测量。使用电子秒表进行单摆周期测量，如果是重复单周期测量，由于计时开始和结束的时机选择导致的误差对测量周期的影响非常大，因此，实际测量时应用等值累计测量，即一次测50或者100个周期的时间，然后求平均值，得到单摆的周期T。通过对比计算，多周期测量得比多次单周期测量得到的周期误差小得多。这部分误差不可避免，但可以尽量减到最小。

2）摆长测量。如果用钢卷尺直接测量摆线的长度，由于摆球的中心位置不容易确定，会导致测量误差偏大。如图2所示，实验中，可以先用钢卷尺测量L 和L ，再用游标卡尺测出摆球直径d，则摆长表示为：

L=L -L - （4）

实验中摆线长度通常50cm以上，用最小刻度为1mm的钢卷尺进行测量，小球直径2cm左右，用卷尺不容易测量，使用游标卡尺测量，最小分度0.02mm。对比计算发现，公式（4）计算出的摆长误差小于直接测量摆长的误差。

3 数据处理误差

实验中通过改变摆长，测量不同摆长对应的周期，通过做L―T2曲线求斜率，或者用线性回归法，也可以得到重力加速度。但通过上面的理论分析，我们知道，L―T2并不是严格的线性关系，因此我们按直线作图求斜率或者最小二乘法求出的重力加速度g必然带来误差。

4 结论

通过对单摆测重力加速度实验的误差分析，明确了误差的来源，其中摆角产生的误差较大，实验中摆角应小于5°。通过多次测量求平均值来减小测量过程的随机误差。实验中通过修正实验理论，选择合适的测量工具，可以最大限度减小实验误差。

【参考文献】

[1]姜永超.大学物理实验[Z].2015，1：50.

单摆周期篇6

[关键词]单摆 间歇电磁力 周期加速 不停息摆动

（一）原理和设计构想

大学物理演示实验中，单摆实验仪器的摆角一般应小于5度。从力学原理上讲，单摆在不受外界影响的情况下，应以简谐振动的方式永不停息地摆动下去，根据受力分析， 作为单摆的小球，重力沿绳子方向的分力和绳子弹力的合力提供小球做圆周运动的向心力，沿运动轨迹切线方向的分力不断做功实现动能和势能的相互转化，导致小球做周期性不停止的摆动；然而，实际上，由于受到各种阻力因素的影响，单摆实际上是在做阻尼振动，阻力做功消耗了摆球的机械能，最终使摆球停止在平衡位置。甚至合外力不全在竖直平面内时，还会作其他摆动，如做圆锥摆动等。

经过试验探索发现，用周期等于单摆摆动周期的间歇电磁力来驱动单摆时，磁场可以补充摆动过程中损失的能量，致使单摆永不停息地摆动下去，并且还发现本仪器兼有傅科摆的演示效果，即摆动到一定的时间后可明显观察到由于地球自转产生的摆平面出现的偏转角。

（二）实验仪电路及工作原理

1.实验仪的电路组成。

本实验仪电器控制电路包括两个电路部分：1-弱电控制单元，2-电磁力驱动单元，如图1所示。

1-弱电控制单元的组成：铜环与电磁继电器串联后接入到12v直流电路中；

2-电磁力驱动单元的组成：电磁铁的电磁线圈与开关s1、电磁继电器的触头和指示灯顺序串联后，接入220v的交流电路中。

2.其工作原理是：闭合开关s1，同时使摆球摆动起来。在每个摆动周期内，球在两个最高点时，吊球的铜丝与铜环接触的瞬间电磁继电器接通，使电磁铁通电产生一个瞬时的磁场力。当小球离开最高点时，磁力随即消失，这样使得小球在每次回摆时受到外加电磁力的驱动，获得补充能量来克服外界阻力产生的影响，从而使小球永不停息地摆动下去。电路指示灯工作过程是，开关s1闭合，电磁继电器接通，电磁铁回路接通，指示灯亮；否则，指示灯熄灭。

（三）实验仪结构示意图

实验仪结构示意图如图2所示：(1)12v直流电源；(2)12v电源接线柱；(3)工作指示灯；(4)交流电源接线柱；(5)保险丝；(6)带指示灯开关；(7)单摆小球；(8)铜丝制摆线；(9)铜环；(10)固定架；(11)导线；(12)底座。

实验仪线路连接：直流电源的正负接线柱接装置的两个接线柱， 电源接线柱接220v交流电。

（四）功能特点及效果分析

1.实验仪的功能特点。

（1）集“单摆演示、电磁力驱动演示、傅科摆演示和弱电控制强电演示”于一体，且演示效果显著。

（2）集“力、电、磁”知识于一身， 知识含量丰富，趣味性强，能很好地激发同学们探索科学的兴趣。是一种很好的“综合性、探索性、创新性”演示实验。

（3）采用低压弱电控制高压强电，把强电路放在装置内部，低压控制电路置于操作区，使实验仪器具有很好的安全性。

2.实验仪注意事项及演示效果分析。

（1）实验开始时最好在铜丝上镀一层锡，这样铜丝与铜环的接触效果会更好，实验现象的明显度也会大大提高。

单摆周期篇7

一、增加演示实验的层面

中学生对事物的观察往往是表层、片面甚至是错误的，而物理规律的表现形式是多层次、多侧面的。教材中提供的往往是单层次、单侧面的实验内容，从培养学生创新能力的角度来看，教师有必要进行适当的拓展和补充，尽量让学生能多层面、全方位地去认识物理规律的全貌。

例如，为引证大气压强的存在做“水杯―纸片”的实验，很多教师简单地把厚纸片盖在装满水的杯口再倒过来，实验做完即了事，让学生目睹了一个“理所当然的事实”，“没有什么好想的”。重新设计这个实验教学时，可先由学生根据经验思考“厚纸片能否掉下来”，在观察的过程中先设疑，让学生带着问题，旨在引起学生对厚纸片与水杯的重点观察，然后分别演示水杯盛满水而杯口向下、向侧面，盛少量水、不盛水，在盛满水的水杯与厚纸片的接触处插入铁丝等多种条件下厚纸片变化的情形，进而引导学生对实验结果与条件关系的深层观察和全面观察，便能较好地培养、发展学生的创新能力。

二、发掘、设计演示实验

教材中有些原有的实验不能完全满足培养学生创新能力的需要，有些章节涉及的实验也很少。因此，教师应选择适当的时机增加演示实验，加强教学的直观性，使之有利于学生创新能力的培养。

例如，静摩擦力方向的判别是学生普遍感到的难点，其主要原因是学生日常生活中缺乏这方面的感性认识，难以想象两个相对静止而又有相对运动趋势的物体接触面间的情况。在教学中，可以取两只鞋刷，使刷毛相对地叠放在粗糙的台面上，水平推上面的一只鞋刷，可以看到上、下物体间刷毛形变的方向相反，由此可推想出上、下物体所受静摩擦力的情况。这样，就给学生提供了一个表象思维的模型，化抽象为形象，从而也可培养学生的创新能力。再例如，《单摆》一节，为了加深和强化学生对单摆模型的理解，可以自制四个实际的摆：一根较长的粗麻绳系一个小钢球；一根较长的橡皮筋系一个小钢球；一根较短的细线系一个大球（线长与球直径差不多）；一根较长的细线系一个小钢球，但悬点没固定。分别让四个摆摆动，由学生讨论后总结出单摆的要求：摆线“轻而长”，摆球“小而重”，悬点固定。

三、研究、改进演示实验

教材中有些演示实验的实验效果不是太好，教师可以组织学生一道参与对演示实验的改进。这样，不但能加深学生对知识的理解，而且可激发学生强烈的科学实践愿望并付诸行动，进而强化学生勇于进行科学探索和敢于改进前人科学实验方案的创新意识。

例如，《单摆》一节，为了做好单摆振动图像的演示实验，针对教材中的演示装置的缺点，如沙摆摆动时其重心会发生明显变化，纸板很难保证让其做匀速直线运动，等等，可进行如下改进：用金属铜制成内壁很厚、中空较小的小漏斗，漏斗嘴的尺寸以刚能漏下细沙为宜；将一个小型皮带传动装置中的皮带用透明的中央画有红色横轴的塑料薄膜带替换，利用2―3节干电池提供电源带动透明带匀速运动。在漏斗中装细沙，则漏斗摆动时不断漏出的细沙落在透明带上就记录了摆的运动情况，从而得到单摆的振动图像。整个演示过程可投影出来，效果很好。这样的实验改进后，无论是直观性、趣味性还是美感上，都比原来的教材上介绍的实验强得多，再加上让学生参与实验活动，可以很好地培养学生的创新能力。

为了使学生顺利接受和掌握单摆的周期公式，在课堂上做好演示实验非常重要。因为面对单摆许多学生往往会产生一些不正确的想法：振幅大了，周期也会增大；摆球质量大了，回复力也大，因而振动加快，周期将减小。这些模糊认识，只有通过实验才能予以纠正加深理解。教材上给出的单摆振动演示实验，除比较麻烦外，现象也不太明显，且不能研究周期与重力加速度的定性关系。由于所用时间长，故课堂气氛不很活跃。针对上述不足，可进行如下改进与创新：

器材准备：一根约1米长的细线；体积相等的实心钢球和实心铝球各一个（两球底部各焊接一根约2厘米长的轻细金属杆）；铁架台；光电计时器（由2个光电门和1个能显示时间的数字大屏幕显示器组成）；米尺1根；导线若干根；磁铁1块；电源插座1个。

器材组装：①将细线系好钢球，挂在铁架台上，使悬点固定，钢球下部轻细杆竖直向下，细线与钢球球心的总长度即摆长为1米；②将两个光电门分别与数字显示器连接好，将任一个光电门固定在钢球静止时其下部轻细杆的正下方，且使轻细杆的下端靠近光电门的底部但不接触，另一个光电门放在离单摆装置较远处。

实验原理：将数字显示器接通电源（220V交流电），并使它处于测周期的功能状态，此时显示为0.000秒（学生可直接观察到）；让摆球做小角度摆动，当摆球下部的轻细杆第一次通过其下端的光电门时，可以看到数字显示器屏幕上的数字发生变化，表明此刻开始计时，当轻细杆第三次通过光电门时，数字停止变化；学生可分析得出：该计时器记录的是单摆的一个周期且可精确到0.001秒；若用秒表计时做这个实验通常要记录30―50次全振动的时间再取平均值求出周期，而用该光电计时器计时，由于其精确度高，因而可只测五个周期再取平均值求周期（甚至只测一个周期）即可。

利用这套装置可以很方便地改变摆的振幅、摆球质量（换一个摆球即可）、摆长（可将摆长缩短至原长的四分之一）和摆球所在处的重力加速度（在光电门下方放上一块大的强磁铁，相当于其附近的重力加速度增大），学生观察实验后可发现：在摆角很小的情况下，单摆振动的周期跟振幅及摆球质量无关，与摆长有关（当摆长减为原长的四分之一时，周期变为原周期的二分之一），与当地的重力加速度有关（重力加速度越大，周期越小）。（控制变量法）

改进后的实验，现象非常直观、明显，成功的演示实验能使学生获得丰富的感性认识，同时也调动优秀学生积极思维，激发后进生积极参与到实验中来的强烈兴趣，提升学生实验观察和设计能力、科学探究能力，培养学生科学探究的意识、科学创新的精神，节省演示时间，使课堂结构更紧凑。这样的教学方法体现教师的主导作用和学生的主体作用，体现教和学的高度统一，符合素质教育的要求。

参考文献：

单摆周期篇8

关键字：物理模型；单摆；理想模型

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2013）1（S）-0068-4

《普通高中物理课程标准（实验）》明确要求：学生要“通过物理概念和规律的学习过程，了解物理学的研究方法。认识物理实验、物理模型和数学工具在物理学发展过程中的作用”。由此可以看出，物理模型是学生高中物理学习的重要内容。在高中物理教学中重视物理模型的教学，引导学生建立清晰而恰当的物理模型，对学生知识掌握、思维能力培养，都具有重要的作用。

物理模型是为了研究物理问题的方便和探讨物理事物的本质，而对研究对象所作的一种简化的描述和模拟。其构成要素为思维方法、理论内涵、表征方式。因此物理教学设计遇到物理模型时，应该搞清楚该物理模型的三要素，才能做好教学设计。本文以单摆模型为例，在传授物理知识的同时结合高中学生认知规律，以显性方式传授了物理学中所用到的科学方法。

1、单摆在物理学知识体系中的地位

简谐运动是最简单、最基本的机械振动。单摆作为简谐运动的一个典型例子，是从生活实例中抽象出的物理模型，与人们的日常生活、生产实践、科学研究有着密切的关系。

2、课程标准的要求

《普通高中物理课程标准（实验）》中与单摆有关的教学目标有两条：

（1）通过实验，探究单摆的周期与摆长的关系。该目标提出的是过程要求——“实验探究”。

（2）知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。会用单摆测定重力加速度。该目标提出的知识要求是“知道”的水平，技能要求是“会”的水平。

3、教学设计思路

单摆是用一根质量和伸长量可以忽略的细线系着一个质点的理想模型。

从构成物理模型的i要素来看，单摆这个模型的思维方法为忽略次要因素，抓住主要矛盾的理想化方法。

物理模型的理论内涵包括物理现象、概念和规律。单摆的运动规律是：在小角度下，单摆运动可以近似看为简谐运动。

由于单一的物理模型表征方式只能反映物理模型的一个侧面，不能表达物理模型的所有内容。因此，文字、数学表达式、图形被称为是三种典型的物理模型表征方式。单摆这个物理模型的表征方式为示意图：运动表征方式为受力图和数学表达式。

基于单摆的上述特点，在单摆教学的引入阶段，让学生从现实生活中列举摆动的例子，引出研究对象；在建立模型时，通过让学生自制一些单摆，通过分析比较，让学生明白单摆这个模型与客观原型之间的关系：在模型深化阶段，让学生学会用受力分析的方式表征单摆的运动，用实验的方式探究单摆周期的影响因素：在模型应用阶段，让学生运用单摆这个模型的三要素解决实际物理问题，提高运用模型解决问题的能力。

4、学生情况分析

学生在学习本节课之前已经学习了简谐运动及其特征：通过质点、匀速直线运动等学习也具备了一定的物理建模能力以及受力分析和实验探究的能力。

本节课的小角近似处理物理问题的方法，学生在以前的学习中从未接触，因此，学习时会产生一定的困难。

5、教学目标

根据单摆的特点、学生的学情与课程标准的要求，设计如下三维教学目标：

（1）知识与技能

①知道单摆。

②了解摆角很小时，单摆的振动是简谐运动。

③理解单摆的周期公式。

（2）过程与方法

①在建立单摆这个模型的过程中，学习忽略次要因素、突出主要矛盾的理想化方法。

②在推导回复力表达式的过程中，学习处理问题的近似方法。

③在探究周期与摆长的实验中。进一步学习控制变量法。

（3）情感、态度与价值观

在建立单摆模型的过程中，树立利用模型法研究问题的意识。

6、教学重点与难点

（1）教学重点

探究影响单摆周期的因素；单摆周期公式。

（2）教学难点

单摆做简谐运动的条件。

7、教具与学具

（1）教具

多媒体课件、电动沙摆、平面镜、细沙、钢球、细线、直尺。

（2）自制教具

蛇摆。

（3）学具

铁架台、大钢球、小钢球、塑料球、细线。

8、教学过程

（1）教学事件l（表1）

【教学设计说明】通过这些生活中摆动的实例，创设情境，增加学生对摆的感性认识，形成摆动的概念。为模型的建立奠定基础。

（2）教学事件2（表2）

【教学设计说明】让学生体会忽略次要因素，突出主要矛盾的理想化方法，体现了单摆这个模型建立的思维方式。

（3）教学事件3（表3）

【教学设计说明】在制作摆并判断是否近似看作单摆的过程中，学生加深理解作为理想模型的单摆与客观原型之间的区别。

（4）教学事件4（表4）

【教学设计说明】引导学生根据观察到的现象，依据单摆的受力特点，对单摆的运动特点进行有依据的猜想。

（5）教学事件5（表5）

【教学设计说明】引导学生根据观察到的现象，猜想单摆的运动类型，得出初步的结论——有可能是做简谐运动。

（6）教学事件6（表6）

【教学设计说明】受力分析图是物体相互作用模型的表征方式，也是高中生必须具备的能力。学生通过亲自进行受力分析，能提高多元表征模型的能力。

（7）教学事件7（表7）

【教学设计说明】在分析单摆受力情况时，以直代曲，让学生学习近似处理问题的思维方法，同时学会用数学表达式表征单摆模型。

（8）教学事件8（表8）

【教学设计说明】用教师自制教具创设情境、设置疑问，既吸引学生的注意力。又激发学生的学习兴趣和探索欲。

（9）教学事件9（表9）

【教学设计说明】在整个实验探究过程中，教师只是起到了引导的作用，从提出猜想到设计实验方案、进行实验、分析论证、得出实验结论，都由小组同学合作完成，提高了学生合作探究的能力。

（10）教学事件10（表10）

【教学设计说明】通过讲解物理学史引出单摆的振动周期公式，既培养了学生的科学素养，又引入了另一表征单摆模型的数学公式。

（11）教学事件1l（表11）

单摆周期篇9

北京航空航天大学

【摘要】本系统以S3C2440 ARM单片机为控制核心，由触摸液晶屏选择控制实现不同过程的的切换，经角度传感器得到自由摆由初始位置摆过的角度，并将数据传递给ARM单片机，通过相应数学及物理公式的运算，最终实现题目要求的任务。其中平板控制部分使用行星减速步进电机，增加了扭矩与控制精度。发挥部分采用加速度传感器读取数据，运用三角函数计算控制平板的角度，使激光在摆动中保持打在靶上同一点。本系统具有工作精度高、反应快速准确、制作材料简易等优点。

【关键词】自由摆；平板控制；S3C2440 ARM单片机

1.系统方案

本系统要求电机能够精确控制平板随摆杆摆过的角度而转动，故使用角位移传感器、加速度传感器、行星减速步进电机、S3C2440 ARM单片机等模块实现符合题目要求的设计，下面分别论证对于这几个模块的选择。

1.1 自由摆摆角测量的论证与选择

方案一：直线位移传感器。根据三角形内角及边之间的相关定理，可以测量自由摆划过的的长度计算出摆角的大小。直线位移传感器的功能在于把直线机械位移量转换成电信号。有效行程75mm～1250mm，两端均有4mm缓冲行程，精度0.05%～0.04%FS，允许极限运动速度为10m/s。然而自由摆为圆弧运动不易测出直线距离，而且位移传感器机械安装固定困难。

方案二：角位移传感器。该传感器采用特殊形状的转子和线绕线圈，模拟线性可变差动传感器（LVDT）的线性位移，有较高的可靠性和性能，转子轴的旋转运动产生线性输出信号。此输出信号的相位指示离开零位的位移方向。转子的非接触式电磁耦合使产品具有无限的分辨率，即绝对测量精度可达到零点几度。可将角位移传感器的转子固定在自由摆的转轴上，可以根据角位移传感器返回的阻值测出自由摆摆动的角度。角位移传感器测量符合需求，机械安装简单，价格合适。

综合以上两种方案的优缺点，角位移传感器可以准确读出摆杆摆过的角度，故选择方案二。

1.2 电机的论证与选择

方案一：直流电机。直流电机是定义输入为直流电能的旋转电机。加于直流电动机的直流电源，借助于换向器和电刷的作用，使直流电动机电枢线圈中流过的电流，方向是交变的，从而使电枢产生的电磁转矩的方向恒定不变，确保直流电动机朝确定的方向连续旋转。这就是直流电动机的基本工作原理。直流电机的优点：调速性能好，调速范围广，易于平滑调节。启动，制动转矩大、易于快速启动、停止。然而直流电机的缺点是不能精确的控制转角。

方案二：模拟舵机。模拟舵机在空载时，没有动力被传到舵机马达。当有信号输入使舵机移动，或者舵机的摇臂受到外力的时候，舵机会作出反应，向舵机马达传动动力（电压）。这种动力实际上每秒传递50次，被调制成开/关脉冲的最大电压，并产生小段小段的动力。当加大每一个脉冲的宽度的时候，如电子变速器的效能就会出现，直到最大的动力/电压被传送到马达，马达转动使舵机摇臂指到一个新的位置。然后，当舵机电位器告诉电子部分它已经到达指定的位置，那么动力脉冲就会减小脉冲宽度，并使马达减速。直到没有任何动力输入，马达完全停止。模拟舵机的“缺点”是：当给予一个短促的动力脉冲，紧接着很长的停顿，并不能给马达施加多少激励，使其转动。这意味着如果有一个比较小的控制动作，舵机就会发送很小的初始脉冲到马达。对于本题中所需求的微小角度则不适合用模拟舵机控制。

方案三：行星减速步进电机。行星减速机具有高刚性，高精度（单级可做到1分以内），高传动效率（单级在97%-98%），高的扭矩/体积比，终身免维护等特点。因为这些特点，行星减速机多数是安装在步进电机和伺服电机上，用来降低转速，提升扭矩，匹配惯量。

综合以上三种方案，选择方案三。

1.3 平板水平检测的论证与选择

方案一：倾角传感器。倾角传感器经常用于系统的水平测量，从工作原理上可分为“固体摆”式、“液体摆”式、“气体摆”三种倾角传感器，倾角传感器还可以用来测量相对于水平面的倾角变化量。测量时可将倾角传感器固定在自由摆臂上，这样可以采集到自由摆摆动的角度。但是考虑到自由摆自身摆动的时候会产生切向的加速度影响倾角传感器的效果。

方案二：加速度传感器。ST公司的LI

S3LV02DQ数字三轴加速度传感器，提供+/

-2g、+/-6g两档加速度量程，直接输出数字值，灵敏度高达（1/1024）g，（1/16384）g。该加速计能够同时测量沿三个轴（x，y，z）的倾斜和加速动作，且噪声级非常低，功耗小，对电池供电的便携系统至关重要。

由于本系统需精确控制平板保持水平状态，故选择方案二中不受切向加速度影响的加速度传感器。

1.4 控制系统的论证与选择

方案一：STC89C51单片机。51是目前使用较为广泛的8位单片机。具有8位CPU·4kbytes程序存储器（ROM）（52为8K），256bytes的数据存储器（RAM）（52有384bytes的RAM），32条I/O口线、11条指令，大部分为单字节指令，编写程序较为简单。但是它的计算速度不高，精度较低，程序储存空间及数据储存空间不够大。

方案二：S3C2440 ARM单片机。ARM（Advanced RISC Machines）处理器是Acorn计算机有限公司面向低预算市场设计的第一款RISC微处理器。ARM处理器本身是32位设计，但也配备16位指令集。一般来讲比等价32位代码节省达35%，却能保留32位系统的所有优势。它大量使用寄存器，大多数数据操作都在寄存器中完成，指令执行速度更快，能都满足高精度的计算，同时具有很大的存储空间

综合以上两种方案，选择方案二。

2.系统理论分析与计算

2.1 系统基准参考确定的原理与方法

通过角位移传感器得到的是阻值，要定义某一个阻值为基准及角度0°。为保证精度减小误差，避免每次0°的阻值不同，每次程序启动时要采集0°的阻值。系统启动之前将摆杆竖直，然后启动程序采集0°阻值即可确定0°基准。为保证平板与摆杆垂直，还要确定水平基准。可以将加速度传感器固定在平板上，系统启动时，根据加速度传感器返回的信息控制电机使平板水平，设定此为电机的基准位置，确定电机基准，即可确定之后电机的步数。

2.2 平板小偏差转动3～5周的过程分析

2.2.1 实现方案

要实现精确的角度控制，可以控制在自由摆的每个周期内实现平板转动一周。当检测到周期开始时平板开始转动，在此次周期结束前转动一周，然后平板停止转动。当检测到周期结束时即下次周期开始时，平板再次转动一周。如此重复3~5周即可实现题目要求。

2.2.2 高精度要求的细分与高转速矛盾的协调方法

经计算1米长得自由摆周期约为2秒，即减速步进电机转动一周的时间不得大于2秒，因此减速步进电机的步长不能太小。然而为实现调整硬币特别是激光笔时的精确控制，减速步进电机的步长又不能太大。因此再选用减速步进电机的同时，要在最大转速大于0.5r/s得同时，步长要尽量小。我们选用减速比为13:1的减速步进电机。电机转速在1r/s与2r/s之间。

2.3 保证硬币不滑动的计算

2.3.1 数学计算

由简单受力分析可知，平板与杆垂直时，硬币与平板的加速度相同，硬币不会相对平板滑动。

2.3.2 过程分析

由数学计算可知，当平板与自由摆垂直时，硬币与平板之间及硬币与硬币之间没有相对滑动，此时硬币不会滑落，只要控制平板与自由摆杆始终垂直即可。自由摆拉到一定角度放手时，平板由出事时刻水平与自由摆杆夹角不为90°，逐渐转到与摆杆垂直。此过程将由实验测出电机转动的速度，及转速可能符合的函数曲线。达到垂直之后将电机转子锁住，保持平始终与摆杆垂直。

2.4 调整激光笔的计算

2.4.1 数学计算

α＋θ即为电机需要转动得角度。

2.4.2 过程分析

由数学计算可以得到不同摆角电机对应的要转动的角度。处理器根据角位移传感器采集到的摆角计算电机需要转到的角度。通过调整电机的转速，使平板转动尽量平滑，减小激光笔光斑的抖动，减小偏离中心线的距离。

3.电路与程序设计

3.1 电路的设计

3.1.1 系统总体框图

系统总体框图见图1。

3.1.2 电源部分电路原理图

电源由两个12V锂电池组串联组成，为整个系统提供12V及20V电压，确保单片机、步进电机的正常稳定工作。

3.2 程序的设计

程序流程图：

整平板稳定硬币子程序流程图见图2。

光准直子程序流程图见图3。

4.测试方案与测试结果

4.1 测试方案

调试电机和液晶屏等各个模块分别能正常工作，之后将各个模块组装在一起，烧入程序逐渐调整整个系统正常工作。

4.2 测试条件与仪器

测试条件：检查多次，仿真电路和硬件电路必须与系统原理图完全相同，并且检查无误，硬件电路保证无虚焊。

测试仪器：数字万用表，量角器，刻度尺。

4.3 测试结果及分析

4.3.1 测试结果（数据）

（1）平板圆周旋转角度的绝对误差，如表2所示。

（2）激光笔光斑位置与中心线距，如表2所示。

4.3.2 测试分析与结论

误差分析：

（1）自由摆转动由角位移采集数据，经处理器计算控制电机转动的过程需要消耗一定的时间。在这一定的时间之内自由摆又转动了一定的角度。因此，电机的转动总是晚于自由摆当时的角度产生误差。

（2）步进电机的转动非无极转动，当需要转动的角度较小时无法刚好转动需要的角度产生误差。

（3）自由摆无法避免的阻尼和前后摆动造成相应的系统误差。

根据上述测试数据，可以得出以下结论：

（1）电机转动3周，平板可以随着摆杆的摆动而旋转3周，摆杆摆一个周期，平板旋转一周，偏差绝对值不大于45°。

（2）自由摆摆动时（θ在30º～45º间），平板中心的一枚1元硬币（人民币）在5个摆动周期中不从平板上滑落，滑动距离不大于1cm。

（3）自由摆摆动时（θ在45º～60º间），平板中心的八枚1元硬币（人民币）在5个摆动周期中不从平板上滑落，并能保证叠放状态。

（4）用手推动摆杆至一个角度θ（θ在30º～60º间），启动后，系统在15秒钟内控制平板使激光笔照射在中心线上（偏差绝对值＜1cm），完成时以LED指示。

单摆周期篇10

关键词：钟摆； 误差

钟摆的误差问题，是机械振动中单摆周期公式的一种典型应用，此问题是一种常见的，易使同学们困惑的问题，学生极易出错，且不宜理解，不宜掌握。下面通过实例分析，力求让学生对此问题能够准确，快速的解决。

[范例引导]

例1， 有一摆钟摆长为1时，在某标准时间内快a分钟，若摆长为2时，在同一标准时间内慢b分钟，为使其准确，该摆钟的摆长为多少。

解：对快钟有：

对慢钟有：

解得：

[小结]

钟摆结构决定了，钟面所示时间与钟摆的振动次数是对应的。不论准钟，快钟或慢钟，钟摆每振动一次钟面所示的时间总是相同的。在同一时间内，准钟、快钟或慢钟所完成的全振动次数不同，慢钟振动次数比准钟的振动次数少，快钟的振动次数比准钟的振动次数多。例如，一准钟摆振动周期为1秒，若在10秒内振动10次，则钟面所示也为10秒。而另一慢钟若振动周期为2秒，则每振动一次历时2秒，而钟面所示为1秒，则慢了1秒，在10秒内共振动5次，而钟面所示为5秒，共慢5秒。一快钟振动周期为0.5秒，10秒内共振动20次，则钟面所示为20秒，快了10秒。

从分析可知，摆钟的误差是由摆钟的实际振动时间与摆钟指针所示时间不一致所造成的。当钟面所示时间比实际振动时间少时为慢钟，当钟面所示时间比实际振动时间大时为快钟。

综上，为了解决钟摆误差问题，我们推导出普遍适用的公式，以提供清晰，简洁的解决思路。

设准钟的振动周期为T准 ，不准钟的振动周期为T误，则每振动一次两者的时间差为T=∣T准—T误∣

在t时间内不准钟的振动次数为N误=t/T误，所以不准钟与准钟在时间t内时间相差Δt =N误ΔT =t/T误·|T准—T误|

去掉绝对值则有：

解答“钟摆误差”问题，要准确理解上式中每一个物理量的确切含义，只有对上式理解透彻，一般问题都会迎刃而解。

[反馈训练]