有余数的除法十篇

有余数的除法篇1

A方观点：

小数除法根本没有余数的说法。小数除法应该研究计算结果是否是循环小数，而不是是否有余数。小数除法法则中说到“除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数，然后按照除数是整数的小数除法来计算”，而除数是整数的小数除法法则中有一句“如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数的末尾添0，再继续除”，也没有提到最终的余数的问题。如果说除到哪一位，剩下的是余数，那到底除到哪一位呢？这样的话，余数岂不是不确定啊，何谈余数？

B方观点：

小数除法也应当是有余数的。如“0.09÷0.04商2，余数是（ ）”，这类题目是考查余数所在的数位问题，要不商2以后，余下的部分不叫余数又叫什么呢？

刨根究底：

看来，小数除法到底有没有余数还真是教师们普遍困惑的问题，值得思量、探究。为得到比较权威的解释，我查阅了金成梁编著的《小学数学疑难问题研究》一书，这本书在第47页对带余除法的定义是：一个整数除以另一个不为零的整数，得到整数商后还有余数，这样的除法叫做“带余除法”。带余除法的定义也可以这样表述：已知两个整数a、b（a≠0），要求这样的两个整数q、r，使得q、r满足b=aq＋r，0

看来，“带余除法”是定义在自然数集上的一种运算。只要除数不为零，不完全商和余数都存在，并且都是唯一的。按照这一说法，小数除法应该没有余数这一说法。

但是，王相国在《不完全商与小数的带余除法》（山东教育, 1998, Z3）一文中，又作出了这样的描述：在实际解答小数带余除法的过程中，由于有很多师生不明确小数带余除法的意义，故得不出一个确定的答案。如1.82÷1.26，商是多少?余数是多少？很多师生做出很多不同的答案：①商是1，余数是0.56；②商是1.4，余数是0.056；③商是1.44，余数是0.0056……

王相国在文中还作了进一步阐述：要说明这一问题，关键是要明确不完全商的概念。当a÷b不能得到整数商时，如果a最多包含q个b。也就是说，a大于qb而小于（q+l）b，即当qb

从上面不完全商的概念可以看出：①不论a、b（b≠0）是整数还是小数，均可作带余除法；②不完全商是一个整数；③做带余除法的方法为：按照除法运算法则作a÷b，当商到个位仍不能除尽时，所得到的整数部分商为不完全商，而被除数减去除数与不完全商的积所得的差，即为余数；④对于确定的数a、b，不完全商与余数是唯一的。

按照这一说法，小数除法也可能存在余数。

思考与结论：

这两个结论看似矛盾，但如果能够理清不完全商和带余除法这两个概念的定义范围，这个难题就可以迎刃而解了。从上述内容可以看出，不完全商和带余除法是分别定义在不同集合上的两个概念。带余数除法是在数论中作的定义，仅限于自然数范围；而不完全商是在有理数范围内作的定义，在这个定义域之内，除不完全商为整数、除数不为0外，被除数、除数和余数还可为小数。

有余数的除法篇2

关键词：小学数学、有余数除法、探讨

有余数的除法的教学对学生小学数学的学习有重要的作用，这不仅是学生初次接触余数，更是以后学习复杂余数除法的基础，通过这部分教学，要达到培养学生一定的观察、比较、综合分析的能力，这些都是作为学生要学好数学的基本的能力。笔者通过自己多年的教学经验，总结出该部分教学的技巧。

一、结合具体事例引入主题

能恰当的引入教学的主题是作为教学工作者的基本要求，因为精彩生动的引入，不仅能使学生更快的明确即将学习的主题，更能让学生深入的理解学习的内容。

结合有余数的除法，以以下的具体生活实例展现。

例1 春节期间，小明的爸爸买回13个苹果，要小明把这些苹果平均分给6个人，小明会怎么分？

按照我们整数除法的知识，每个人如果分2个苹果，那么需要12个苹果，总共13个苹果减去分出去的12个，这时还剩余一个苹果，但是如果每个人要分3个苹果，那么需要18个苹果，但是小明的爸爸只买了13个苹果，不够18个，因此引入同学们的思考，第一种情况，剩余的1是怎么得来的？

二、余数的除法

第一明确余数的概念，对于低年级学生初次接触余数，首先要明确概念。所谓余数，即通俗的讲为剩余的数，正如上述例1的第一情况下的剩余1个苹果，则数字1就是余数。

第二明确余数是只针对除法的情况，如果脱离这个主题，余数就没有意义可言。

第三熟记乘法口诀表。比如例1，如果按照整数除法的模式，可以写出算式：13÷6。根据除数的特点，回忆乘法口诀表中与6相关的乘法，且乘积要最接近被除数13，但不超过被除数13。要把握“最接近”和“不超过”的两个概念。乘法口诀表中1×6=6，2×6=12，3×6=18。不能选择第一个乘法式，因为6不是最接近13，也不能选择第三个乘法式，因为18超过了13，所以只能选择第二个乘法式，原式中的被除数13-12即得余数1。同样的方法，计算26÷3，得到余数为26-3×8=2。

第四学会书写有余数的除法的算式。如例1中13÷6，26÷3，

第五通过上述两个实例，可得出余数的特点，首先余数一定要比除数小，第二余数一定要大于0。

三、检验

检验的公式为：商×除数余数=被除数。例如13÷6=2…1 检验：2×6＝12,121=13=被除数，26÷3=8…2，检验：3×8=24，242=26。

四、总结

通过有余数的除法的教学，得出以下重要的知识点：1、理解文章中的“最接近”和“不超过”两个概念。2、余数一定要小于除数。3、余数一定要大于0。4、学会检验。

有余数的除法篇3

一、练前知识梳理，注重知识网络构建

在这个单元中，主要有以下几个学生要掌握的知识点：

1.认识除法的竖式，会正确地列竖式计算除数是一位数的除法（包括有余数的除法）；

2.掌握整数除法中余数和除数的关系；

3.应用有余数的除法解决生活中的一些问题。

在二年级的时候，学生已经初步认识了除法，并会口算表内除法。因此本单元的知识是在初步认识除法的基础上的进一步学习，是从“除尽”到“除不尽”的一次跨越，丰富了学生对除法的认识，并为其今后继续学习多位数除法奠定了基础。

二、巩固练习精选习题

在这个单元中，我一方面让学生继续进行笔算的巩固练习，另一方面还挑选了一些判断、解决问题之类的题目让学生进行练习。课前，教师一定要对学生还没能掌握的内容分析清楚，让学生知道自己错在哪里，为什么错了，正确的又是怎样的；课中，对于一些经典错题，要变换形式，让学生从不同角度，不同方面来理解掌握。当然，这些练习要有针对性，不能搞题海战术。

三、根据学情改编、创编习题，补充练习，专练精讲

在《有余数的除法》这一单元中，我注意到学生对列竖式掌握得较好，对余数和除数的关系也掌握得较好，因此在练习中这些知识只是简单带过，不再进行强调。同时注意到，学生解决数学问题时对有余数的除法还是把握不住，或者说是对一些问题的本质理解得不够准确，因此在本节练习课中我重点对这部分进行了补充讲解，下面分类举一些例子。

类型一：最多与最少的问题

例1：有57个苹果，每6个装一盘。

（1）能装满几盘？

（2）需要几个盘子来装？

学生困惑了：这两个问题不是一样的吗？这两个问题如果一起出现，学生还可能猜出这是两个不一样的问题，如果单独出现，学生就会混淆了。针对这一点，我重点引导学生多读了几遍题目，并讨论了这两个问题的区别。让学生明白：第（1）个问题是能装满几盘（余数不用考虑）；第（2）个问题是要几个盘子来装（余数也要考虑）。弄清楚了这个区别后，学生们就很快解决出来了。

解法是：（1）57÷6=9（盘）……3（个）

答：能装满9盘。

（2）9+1=10（个）

答：需要10个盘子来装。

特别是第（2）个问题，我还追问了第10个盘子里应当装几个苹果，以便更好地理解为什么还要加1个盘子。

类型二：重复排列的问题

例2：有80面彩旗，按3红2黄3蓝1白重复排列。

（1） 第80面是什么颜色的旗？

（2） 一共有多少面红旗？

数字变大了，用“扳指头计算”的方法已经不适用了，要用数学计算的方法来解决。学生读题之后，发现可以把“3红2黄3蓝1白”当成一份来解决。当重复循环了几次之后，我们再来观察余数是什么。

解法是：（1）3+2+3+1=9（面）

80÷9=8（次）……8（面）

也就是说重复循环了8次之后还有8页彩旗，那么余数中的第8面（也就是总数第80面）是蓝旗。

答：第80页是蓝旗。

（2）考虑到每循环一次中有3面红旗，循环了8次，另外考虑到余数中也有3面红旗总共应该有：3×8+3=27（面）

答：一共有27面红旗。

例3：如果某个月的6日是星期二，那么这个月的29日是星期几？其实这也是一个重复排列的问题，在完成例2之后，学生们很快可以解答出来。

29-6=23（天）

23÷7=3（周）……2（天）

星期二再过2天应该是星期四。

答：这个月的29日是星期四。

类型三：配套组合问题

例4：有一些糖果，要按4块奶糖，3块水果糖，3块牛皮糖，2块酥糖装成一袋。下面这些糖能装成几袋？

有的学生会这样想：先算出一共有几块糖，再算出每袋装几块糖，最后用除法一算就行了。其实这样的想法是不正确的，因为那样是“混装”，没有按照要求进行配套装袋。

解法是：奶 糖 30÷4=7（袋）……2（块）

水果糖 19÷3=6（袋）……1（块）

牛皮糖 22÷3=7（袋）……1（块）

酥 糖 18÷2=9（袋）

6袋

答：能装成6袋。

以上这些问题是这个单元中学生不容易掌握的问题，在练习中要重点让学生理解，把握出问题的本质，这样才能让学生更好地掌握。

四、视情况设计拓展提高题，以开阔视野，培养能力

此设计不一定非要进行，而是根据实际需要或者培养学生的一些能力进行适当练习。例如，在复习了“余数比除数小”这一有余数的除法的规律之后，为了丰富学生的视野，培养学生的数学归纳能力，我给学生列了一组算式。

例5：在有余数的除法里，余数比除数小，爱思考的聪聪在一次练习中，从一组算式中发现了被除数与除数之间也有规律，你能根据下面的一组算式，填出括号中的数吗？

（1）8÷ = …… 中，余数可能是1、2、3；

（2）12÷ = …… 中，余数可能是1、2、3、4、5；

（3）5÷ = …… 中，余数可能是1、2；

（4）15÷ = …… 中，余数可能是1、2、3、4、5、6、7。

请你想一想：在20÷ = …… 中，余数最大可能是（ ）。

从这四组算式中，我引导学生先观察最大的余数与被除数之间的关系，让学生自由讨论自己的发现。

最大的余数 被除数

3 ――――― 8

5 ――――― 12

2 ――――― 5

7 ――――― 15

很多同学不知从哪里下手，有几个同学经过观察后发现了一个规律：

2×（3）

2×（5）

2×（2）

2×（7）

20÷ = …… ，可以想：2×（ ）

有余数的除法篇4

教学过程：

一、游戏导入，激发兴趣

1.考考老师：请同学们利用已经学过的找规律的知识，用学具设计一个规律，然后告诉老师，你是怎么摆的，接下来你想让老师猜几号学具，老师不用看就能猜出它是什么。不信，谁来考考老师？（可以请不同的学生试一试，学生很惊奇。）

2.适时引入：想不想知道老师为什么能很快猜出来？等你们学会了今天的知识，就知道老师为什么能很快猜出来了。

设计意图：从学生已有知识出发，用学生考老师的形式引入新课，这样做，既为学生创造了轻松愉快的学习氛围，同时也激发了学生的学习热情和探究新知的欲望。

二、探索新知，建构概念

1.明确图意，展开思维。呈现教学情境图：通过创设校园里学生课外活动的情境，引导学生在观察的过程中思考：每组摆5盆，最多可以摆几组？

设计意图：充分利用教材提供的情境图，引导学生展开观察、交流和解决问题等活动，强化学生对“平均分”的应用意识，为下面学习奠定基础。

2.实际操作，感受新知。（1）教学例题2。①出示例2：同学们将校园一角的23盆花全部搬到了会场，还是每5盆摆一组，最多可以摆成几组？②动手操作：你们是不是也能用学具代替23盆花来摆一摆，看看每5盆摆一组，能不能全部分完？还剩几盆？剩下的够不够再分一组？③认识余数：23里面最多有几个5？这余下的3盆不够再分一组，这个数你能给它起个名字吗？（板书：余数）④尝试列式：23÷5=4（组）……3（盆）⑤适时小结：为了分清余数和商，我们要在余数和商中间用6个小圆点隔开。我们把这样的除法，叫作有余数的除法。（接着板书课题：有“余数”的除法）⑥小组讨论：如何列竖式？把自己的想法和同组的小朋友说一说。⑦学生汇报。⑧列出竖式： 4商

除数5）23被除数

205和4的乘积

3余数

（2）观察比较：看看我们前面学习的例1和现在学习的例2的竖式，比一比，从这两道题的计算中你发现了什么？（3）尝试练习：选择两个算式用竖式计算。（一个正好分完，另一个不能正好分完。）

设计意图：本环节教学，教师根据学生认知的“最近发展区”对新知识的学习进行准确定位，既为学生创设了“跳一跳，摘桃子”的思考平台，又为学生提供自主探究、合作交流的空间，让学生在认知过程中体会到探索的快乐和成功的喜悦。

三、观察比较，理解概念

1.探究关系：出示例3，引导学生运用小组分工合作的形式，先列式算一算，再引导学生讨论：观察余数与除数，你们发现了什么？

15÷5=3（组）

16÷5=3（组）……1（盆）

17÷5=3（组）……2（盆）

18÷5=3（组）……3（盆）

19÷5=3（组）……4（盆）

20÷5=4（组）

21÷5=4（组）……1（盆）

22÷5=4（组）……2（盆）

23÷5=4（组）……3（盆）

24÷5=4（组）……4（盆）

25÷5=5（组）

2.归纳总结：（1）剩下不能再分的数才叫余数；（2）计算有余数的除法，余数要比除数小。

设计意图：本环节是在前两个例题的基础上，引导学生探究余数与除数的关系。教学中如果让每一个学生都来计算这一组题，势必花费学生很多的时间和精力，学生也会产生厌烦情绪；而采用小组分工合作的形式，既减轻了学生的学习负担、提高课堂教学效率，又让学生真正体验到通过团队努力取得成功的快乐。

四、巩固拓展，运用新知

1.巩固题：第52页的“做一做”。（判断题，进一步明确“余数要比除数小”。）

2.开放题：想一想在一道有余数的除法算式中，如果除数是9，余数有可能是几？如果余数是7，除数有可能是什么数？

3.游戏题：“猜猜看”。（图示呈现：一组有规律的图形，猜一猜第8个是什么图形、第12个是什么图形。）

4.拓展题：现在你们能想出老师为什么会很快猜出你们前面所摆的学具是什么了吗？你们也能运用今天学的“有余数的除法”知识，很快地猜出第18个、第24个图形是什么吗？

设计意图：练习的设计充分体现了层次性、开放性、灵活性、启发性和挑战性。通过让学生进行不同类型的练习，可以有效激发学生的学习兴趣，拓展学生的思维空间，让不同的学生得到不同的发展。尤其是最后一个练习，给学生一种恍然大悟的感觉，整节课前后呼应，让学生掌握的知识系统化、结构化。

有余数的除法篇5

6.1有余数的除法

同步练习

姓名:________

班级:________

成绩:________

小朋友们，经过一段时间的学习，你们一定进步不少吧，今天就让我们来检验一下！

一、按要求回答。

(共8题；共28分)

1.

（5分）

圈一圈，填一填。

（1）

8个橘子，每4个分成一份________（圈一圈），平均分成了________份。

（2）

8个橘子，每3个分一份________（圈一圈），平均分成了________份，还剩________个。

2.

（1分）

有28个小朋友做游戏，如果每组5人，还剩________人。

3.

（1分）

(2018三上·抚宁期中)

（

）÷7＝6…（

），这道题余数最大是________，这时被除数是________．

4.

（5分）

“六一”儿童节，同学们装饰教室需要60米彩带，每卷8米，买7卷够吗?

5.

（5分）

(2019二下·铜川期中)

6.

（5分）

(2018三上·抚宁期中)

竖式计算，需要验算的请验算．

（1）

286+533＝

（2）

634﹣185＝

（3）

52÷6＝

（4）

903﹣476＝

验算：

7.

（5分）

找朋友。

8.

（1分）

28里面最多有________个6；32里面最多有________个7；43里面最多有________个8。

参考答案

一、按要求回答。

(共8题；共28分)

1-1、

1-2、

2-1、

3-1、

4-1、

5-1、

6-1、

6-2、

6-3、

6-4、

有余数的除法篇6

[关键词]概念教学；余数；情境

[中图分类号]G623.5

[文献标识码]A

[文章编号]2095-3712（2015）22-0087-03[ZW（N]

[作者简介]李瑾（1977―），女，江苏启东人，硕士，江苏省南京市游府西街小学教师，小学高级。

数学概念是数学基础知识的重要组成部分，是发展思维、培养数学能力的思维形式之一，也是判断和推理的起点。《有余数的除法》中“余数”和“有余数除法”概念的教学，是学生从表内除法向表外除法过渡的桥梁，完善学生对整数除法的认识与理解，同时是学习多位数除法的基础。

一、问题思考

（一）怎样从生活经验中形成数学概念？

生活中的“剩余”现象和数学中的“余数”概念是有差别的，因此，笔者在“余数”概念教学中思考的第一个问题就是：如何利用好生活中的剩余经验，有效缩短生活经验和数学概念之间的差距，促进学生建立余数概念，从而掌握有余数的除法概念。

（二）如何理解“余数要比除数小”？

余数和除数之间的关系，是切实掌握余数、有余数除法概念的关键点。教材将这一知识点安排在第二课时“试一试”结束后，提出“比较每道题里余数和除数的大小，你发现了什么”的问题，来揭示两者之间的关系。

从以往的教学反馈中获得的数据可以表明：学生对这一点的理解要比理解余数的产生更难。而正确理解余数与除数之间的关系，标志着学生完整地构建了“余数”与“有余数除法”概念。因此仅仅通过对两个例题中余数与除数的比较，并进行归纳对学生来说是远远不够的。因此，笔者思考的问题之二便是：如何在理解余数的产生、形成余数概念的起始阶段，借助余数产生的过程同时探索余数与除数之间的关系，使得余数概念、有余数除法的概念更为丰盈与立体化。

二、基本构想

基于以上两个问题的思考与探索，笔者对“余数”概念建立的基本构想定位于：利用学生的生活经验引入，借助于动手操作、自主探究的学习方式逐层展开、推进，让学生在分东西的活动中先形成有“剩余”的印象，在此基础上逐步建立余数、有余数除法的概念，并在活动中探索余数与除数之间的关系。基本构想通过三次操作活动实现。

1.以小棒为学具，组织学生通过操作、填表、观察、分类、交流等活动，发现平均分东西时，不是都能正好全部分完的，从而初步唤醒“剩余”的生活记忆，建立余数与有余数除法的概念。

2.用猜测引领实验活动，在活动中一面继续体会有余数除法中的商和余数的具体含义，一面探索余数与除数之间的关系。

3.最后是充实感性材料，形成概括性的认识。学生初步建立概念的时候，往往需要大量的事实来支持。通过实验认识余数和除数之间的关系。

三、教学片段

片段一――在动手操作中感知余数概念

师：（出示一个正方形）搭一个这样的正方形，至少需要几根小棒？

生：4根。

师：8根小棒，能搭几个这样的正方形？动手摆一摆。怎样写算式？

生：8÷4=2。

师：怎么想到用除法计算？

生：8根小棒能搭几个这样的正方形，实际上就是问8里面有几个4。

师：（出示一个信封）这个信封里也放着一些小棒，猜一猜放了几根？能搭成几个这样的正方形？（指名数出9根小棒）

生：2个。

师：能把结果说完整吗？

生：能搭两个，还多了一根。

师：剩余的1根为什么不继续搭了？

生：因为不够搭一个正方形了。

师：看来跟刚才的有点不一样，有啥不一样？

生：刚才是正好搭完，现在是有剩下的。

师：这样的算式如何写呢？试试看。请大家思考后写在小纸条上。

（学生展示不同的算式）

师：2个表示什么？1根表示什么？剩下的这1根在除法算式里，你能给它起个数学名字吗？

生1：2表示能搭出两个正方形，1根表示剩下的。

生2：剩余数。

生3：剩数

……

师：在数学上我们把分剩下的，不够再分一份的数叫余数。

著名心理学家皮亚杰认为，知识源于活动。学生在两次摆小棒的过程中，建立操作结果和算式之间的联系，并通过对比体会余数概念及其产生。整个活动中，学生感知、形成余数概念到学会用数学语言进行表达，以一个操作活动一以贯之，从动手到形成初步表象融为一个整体，有利于学生对余数概念的理解。这个活动本身就是“做”数学与“学”数学的结合。

片段二――在猜测验证中感悟余数性质

师：信封里面放着一些小棒，搭尽可能多的正方形后有剩下几根？

生1：2根。

生2：1根。

……

师：照这样猜的话，剩余的根数应该是随意的，是不是这样的呢？我们来动手做个实验。（教师出示实验要求：a.数一数，按要求拿出一些小棒；b.搭一搭，最多能搭成几个独立的正方形；c.讨论后，用算式把搭的结果写下来。学生动手实验，指名板书算式）

师：读一读算式和算式中的余数。再让你来猜刚才这个信封里还剩余几根，你准备怎么猜？

生3：我觉得只能是1、2、3根。

师：为什么这么猜？刚才说剩余4根的，你现在为什么改变主意不说剩余4根了？

生3：因为如果剩下4根的话，就又能搭出一个正方形了。

师：用小棒摆正方形，剩余的根数一定小于几？

生3：余下的根数一定小于4。

教材在认识了有余数的除法后，教学有余数除法的竖式计算。教材通过“比较每道题里余数和除数的大小，你发现了什么”这个问题提醒学生注意余数比除数小的特点，但是仅仅是通过个别例子的归纳，学生这个结论常常是被动接受。因此，继续结合学生摆小棒的例子，鼓励学生猜测、验证，使学生意识到并进一步理解，在分物品的过程中余数等于或大于除数，就意味着还能够再分一份或一次。由于是自己动手操作，亲身体验得出的结论，学生对于“余数比除数小”这一余数的性质，更易于理解和记忆。

片段三――在实验中构建余数概念

师：如果摆的是三角形，剩余的根数又会怎样？五边形呢，剩余的根数又会怎样？（出示第二次实验要求，学生在实验后板书算式）

师：仔细观察实验中得出的三组算式，把余数和除数作一下比较，我们会发现一个关于余数的秘密。

师：在除数是4的除法算式里，余数总是……？

生：余数总是比4小。

师：在除数是3的除法算式里，余数……？

生：余数比3小。

师：除数是5的除法算式里，余数又是……？

生：余数都比5小。

师：那如果除数是6呢？（出示： ÷6=……）余数又会小于几？可能是几？不可能是几？

生1：余数会小于6。

生2：余数可能是1、2、3、4、5。

生3：余数不可能是6。

生4：也不会是7。

……

师：那如果除数是7呢？（出示： ÷7=……）余数又会小于几？可能是几？不可能是几？最大是几？

生：……

师：那如果除数是8呢、9呢，更大一点的数呢？余数又会是怎么样的？你能得出怎样的结论。

在前两次数学“操作”的过程中，学生初步建立了有关余数的概念，了解了余数的性质，那么这一次的“操作”则提供了更为丰富的感性材料，让学生在“做”中观察，在观察的基础上通过教师的启发引导，对感性材料进行比较、分析、综合，最终抽象出“余数”这一概念的本质属性。

四、反思总结

（一）在“做数学”中逐层推进数学概念的构建

掌握数学概念是学习数学的第一步，也是进行各种运算的基础。概念教学应根据教学内容运用直观手段向学生提供丰富而典型的感性材料，如采用实物、模型、挂图，或进行演示，引导学生观察，并结合实验，让学生自己动手操作，以便让学生接触有关的对象，丰富自己的感性认识。

三次“做”不是为了做而做，是为学，为数学概念的建构服务。因此“做”不是同一个层面的重复，而是在不同的层次上逐渐上升，推进学生对“余数”概念的完整构建。第一次“做”，学生在直接体验中形成认识，利用生活中分物品剩余的前数学概念初步形成数学中“余数”概念。第二次“做”，在猜测与验证的过程，使学生在已有经验中获得对“余数”概念的进一步发展，初步感悟到余数与除数之间的关系。第三次“做”，更是提供了丰富的材料，让学生在不同体验中得到拓展。

（二）在“做数学”中逐渐培养数学概念构建的方式

“学生学习应是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程，认真听讲，积极思考、动手实践等，都是学习数学的重要方式。”学习方式的改变是课程改革的显著特征，课程改革提倡以弘扬人的主体性、能动性、独立性为宗旨的自主学习。学习方式不仅是掌握知识技能、数学概念等目标的手段，本身也是数学学习内容之一。因此，“做”是为了使学生经历数学的发生发展过程，帮助学生积累数学活动经验，推进构建数学概念的学习方式。

因此，“做”数学本身不是目的，而是让学生不断经历、不断体验发现问题、动手操作、表达与交流的过程，从而帮助学生在获得知识、技能、方法的过程中逐渐形成良好而有效的学习方式。

参考文献：

有余数的除法篇7

一、现状点击：“一图”和“两式”的冲突

“图式结合”是在“数学图形”与“数量关系”之间建立对应关系并互相转换的教学思想，它在小学数学教学中应用很广泛。苏教版二年级下册“有余数的除法”中有很多“一图两式”练习。

（1）根据图形写出不同的除法算式。

学生由上面的图意会得到两道有余数的除法算式：11÷5=2（盘）……1（个）和11÷2=5（个）……1（个），并能把这两道算式和两种表述对应起来：11个苹果，每盘5个，可以放2盘，还剩1个;11个苹果，平均分成2盘，每盘5个，还剩1个。

在一次练习课上，我无意中向学生出示了如下一道题目。

（2）根据图形写出不同的除法算式。

我们班有50名学生，有49名学生根据图意写出的两道算式是：13÷5=2（盘）……3（个）和13÷2=5（个）……3（个）。这就引起了我的思考：“一图”为什么不能写出“两式”？

二、追根溯源：“图形”和“算式”的对应

小学生进行“图式结合”学习的前提是“数学图形”与“数量关系”之间存在着一定的对应关系。然而，图2只与算式“13÷5=2（盘）……3（个）”有对应关系，与正确的算式“13÷2=6（个）……1（个）”间没有对应关系，与算式“13÷2=5（个）……3（个）”不能说完全没有对应关系，但它不能体现平均分成2份的最终结果，这个除法算式在数学学习中被看作是错误的。所以，第二道题目中的“一图”无法写出“两式”。

出现上面这种现象的原因是没有关注到两种不同的“有剩余的平均分”之间的异同，而学生对“有余数的除法算式”的认识是建立在对 “有剩余的平均分”的理解基础之上的。“有剩余的平均分”和“没有剩余的平均分”一样有两种最基本的类型：一是“按每几个一份进行平均分”，二是“按平均分几份进行平均分”，这是两种完全不同，又有一定联系的动手操作和思维过程。它们的区别在于：按已知“几个一份”平均分时，先确定每份的个数，13个苹果，每次取出5个为一盘，要够5个时才可以平均分一份，不足5个的数量为余数;按已知“平均分成几份”平均分时，先确定份数，对分的每份个数不做任何猜测，且要保证最少有和份数相同的个数才可以继续平均分，13个苹果，平均放在2个盘子里，每次只要有2个就可以平均分到每盘1个，不足2个的数量为余数。它们的联系是：总个数是一样的，每份个数乘份数加上余数都等于总个数。

为什么有时候“一图”能对应着“两式”呢？通过图1能看出来，当余数同时小于除数和商的情况下，“一图”和“两式”之间就都存在着对应关系。用字母表示会看得更清楚， “a÷b=c……d”与“a÷c=b……d”同时成立，“d”必须同时小于“b”和“c”。这就引出了一个新的话题：“有余数的除法”中的“一图两式”练习无形中向学生渗透了一种错误的数量关系模型“被除数÷商=除数……余数”;学生把图2的算式简单地写为“13÷5=2（盘）……3（个）”和“13÷2=5（个）……3（个）”不能不说是负迁移的作用。二年级上册学习的“表内除法”中，也有“一图两式”的练习。由于是没有剩余的“平均分”，所以一个图可以表示不同的平均分法，渗透正确的数量关系模型。仍以“分苹果”为例，“10个苹果，每盘放5个，可以放2盘”和“10个苹果，平均分成2盘，每盘放5个”是一种可逆推的过程;除法算式“10÷5=2”就能推出“10÷2=5”，数量关系式体现为“被除数÷商=除数”。

综上所述，“有余数的除法”中的“一图两式”习题设置存在着一定的片面性和局限性。那么，如何克服这些缺点呢？

三、改造构想：“图式结合”本质内涵的把握

“有余数的除法”中的“一图”和“两式”有时有对应关系，有时却只和“一式”有对应关系。只保留单一的“一图两式”练习又会给学生渗透错误的数量关系模型。笔者认为解决的方法是：在准确把握“图式结合”本质内涵的基础上设计开放的“图式结合”练习。

其实，这里的“图形”表示的内涵是“有剩余的平均分”的操作过程，“图式结合”练习的本质目的是：以“直观的平均分图形”作为“具体的操作”和“抽象的有余数的除法算式”之间的桥梁，从实际操作到直观图形，再到抽象的算式，循序渐进地发展学生的思维能力，同时渗透 “有余数的除法算式”中的各种数量关系模型。所以教学时，首先要把“数学图形”和“操作过程”对应起来，再把“数学图形”和“数学算式”对应起来，让学生深入理解“有余数的除法算式及余数”的概念、“余数比除数小”的规律。

下面是笔者执教“有余数的除法”一课时的两个“图式结合”练习教学片段：片段一的教学重点突出的是“数学图形”和“操作过程”的对应关系;片段二的教学重点突出的是“数学图形”和“数学算式”的对应关系。

[教学片段1]

师出示：分一分，填一填。

（1）11颗小星星，每份2颗，平均分成（ ）份，还剩（ ）颗。

师：这几种分法都可以吗？

生5：第四种不可以，因为我们并不知道每份是几个。

师：不能对每份几个进行假设，是吗？不错，如果我们能准确知道每份是几个，那我们就不需要分了。比较上面两道题目，你发现了什么？

生：有时能成一个图形。

师：把11颗小星星按“平均分成5份”和“每份2个”来分都可以用同一个图记录，但是它们表示的平均分法是不同的。

学生对“平均分”的操作有了具体认识后，可以上升到用图形符号表示的思维阶段，允许学生用多种图形记录操作过程，让学生通过对比体验到：“一式”可以和“多图”间存在对应关系，“一图”也可以和“多式”间存在对应关系，图形不过是记录的形式，写出什么样的除法算式主要取决于操作的过程。为后面学生正确解答由“图”到“式”的练习提供了基础。

[教学片段2]

师出示：能写出几道有余数的除法算式就写出几道。

生：11÷5=2（盘）……1（个）和11÷2=5（盘）……1（个）。

师：怎样想到这两道除法算式的呢？

生：11个苹果，每盘5个，可以放2盘，还剩1个;11个苹果，平均分成2盘，每盘5个，还剩1个。

师：具体是怎么分的呢？分到剩下几个就不分了呢？

生：第一种是每次拿过5个放在一个盘子里，分到不够5个时就不分了;第二种是每次拿出2个，每盘放1个，分到不够2个时就不分了。

生1：13÷5=2（盘）……3（个）和13÷2=5（个）……3（个）。

生2：第二道算式不对，只有两个盘子，如果剩下3个还可以再分。

师：想象一下，再分以后，会呈现什么样的结果。

生3：每盘6个，还剩1个。

师：这个图能写出几道有余数的除法算式？

生：一道。

有余数的除法篇8

有余数的除法这一课题可分解为：余数的含义、余数必须小于除数的规定、试商方法、余数在竖式和横式中的写法与读法、余数的计算单位五个因素。引导学生一个一个地认识他，组织学生进行局部的单项训练，最后综合为完整的知识技能，具体过程如下：

1、演示分铅笔。把9支铅笔平均分给3个学生，让学生看到一支一支地分，分3次正好分完；平均分给4人，分2次后还余下一支，不能再分到整支的了；平均分给5人，则每人分得1支；还余下4支，不能再分了。然后把铅笔装进信封内，每袋装3支，3袋正好装完；每袋装4支就余下1支……。使学生领会平均分东西，分到不能再分，余下的就是余数。接下去就专门训练掌握余数的含义。如：12本练习本平均分给4人、6人有没有余数？为什么？如平均分给5人、8人有没有余数？为什么？13除以55表示把13平均分成几份？有没有余数？15除以5有与数吗？……这样可使每个学生从具体的事例中理解余数的概念。最后演示把5根同样长的纸条，平均分给4人，余下1根；如果把余下的1根对折再对折，用剪刀剪开后平均分给4人。每人还可以分得1小段。是学生看到余下的量，变为较小的单位后，有时仍可分完，为以后学习商是两位数的除法，以及商是小数的除法做好铺垫。

2、演示分薄本。如把13练习本平均分给4人，一本本地分，每分一次，要求学生观察：还余下几本？还可再分吗？使学生看到余下的本数大于人数时，就继续分；余下的本数少于人数时就不能再分了，从而领会余数必须小于除数的道理。接着就对余数数值范围进行分析判断，如把一篮梨，美4个装一盘，结果有余数。想一想，最多能余下几个？最少可余下几个？一扎气球平均分给3哥小朋友，分不完时可能余下几个？一个除法算式，除数是7，余数是9，对吗？为什么？……通过集中训练，使“余数必须小于除数“，在学生头脑中留下十分深刻的印象，永远不会忘记。

3、训练试商要领。先口答7乘以几小于45，6乘以几小于33，括号里的几最大能填几？可以通过这种训练方法来练习余数商的除法。

4、认识余数单位名称的确定方法。先用生活中的实例让学生思考：如分苹果，余数的单位名称一定是什么？分毛笔呢？从而领会余数的名称，必定和被除数的单位名称和等分应用题，并写好解题算式，要求学生写上商和余数的单位名称，写出答案。使学生的注意力集中在单位名称的确定上，并形成熟练技能。

有余数的除法篇9

余数等于被除数÷除数，在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，取余数运算amodb=c（b不为0）表示整数a除以整数b所得余数为c。

余数指整数除法中被除数未被除尽部分，且余数的取值范围为0到除数之间的整数。例如：27除以6，商数为4，余数为3。一个数除以另一个数，要是比另一个数小的话，商为0，余数就是它自己。例如：1除以2，商数为0，余数为1，2除以3，商数为0，余数为2。

（来源：文章屋网 ）

有余数的除法篇10

余数定义：指整数除法中被除数未被除尽部分，且余数的取值范围为0到除数之间的整数。例如：27除以6，商数为4，余数为3。在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。余数最大也必须小于除数，而且必须是整数，所以余数最大刚好比除数小一。

（来源：文章屋网 http://www.wzu.com）