与三角形有关的线段十篇

与三角形有关的线段篇1

一.添辅助线有两种情况：

1.按定义添辅助线：

如证明两直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2.按基本图形添辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时，补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与两条平行线都相交的第三条直线。（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的两条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。（4）直角三角形斜边上中线基本图形：出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系、且倍线段是直角三角形的斜边，则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。（5）三角形中位线基本图形：几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明，当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形成全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线

（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种添线方法。（8）特殊角直角三角形：当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形。（9）半圆上的圆周角：出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦（直径）；

二.基本图形的辅助线的画法

1.三角形问题添加辅助线方法

方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形中常用辅助线的添法

平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：

（1）连对角线或平移对角线：

（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形

（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.

3.梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：

（1）在梯形内部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高（6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。

（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。（9）作中位线

当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。

4.圆中常用辅助线的添法

在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。

（1）见弦作弦心距

有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。

（2）见直径作圆周角

在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”这一特征来证明问题。

（3）见切线作半径

命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题。

（4）两圆相切作公切线

对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。

（5）两圆相交作公共弦

与三角形有关的线段篇2

第一章 整式的运算一、整式1、单项式：表示数与字母的积的代数式。另外规定单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做单项式的系数。注意系数包括前面的符号，系数是1时通常省略， 是系数， 的系数是单项式的次数是指所有字母的指数的和。2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。 (几次几项式)每一个单项式叫做多项式的项，注意项包括前面的符号。多项式的次数：多项式中次数的项的次数。项的次数是几就叫做几次项，其中不含字母的项叫做常数项。3、整式;单项式与多项式统称为整式。(最明显的特征：分母中不含字母)二、整式的加减：①先去括号; (注意括号前有数字因数)②再合并同类项。 (系数相加，字母与字母指数不变)三、幂的运算性质1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。3、积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘。4、零指数幂：任何一个不等于0的数的0次幂等于1。 ( ) 注意00没有意义。5、负整数指数幂： ( 正整数， )6、同底数幂相除：底数不变，指数相减。 ( )注意：以上公式的正反两方面的应用。常见的错误： ， ， ， ，四、单项式乘以单项式：系数相乘，相同的字母相乘，只在一个因式中出现的字母则连同它的指数作为积的一个因式。五、单项式乘以多项式：运用乘法的分配率，把这个单项式乘以多项式的每一项。六、多项式乘以多项式：连同各项的符号把其中一个多项式的各项乘以另一个多项式的每一项。七、平方差公式两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。即：一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。八、完全平方公式两数的和(或差)的平方，等于这两数的平方和再加上(或减去)两数积的2倍。常见错误：九、单项除以单项式：把单项式的系数相除，相同的字母相除，只在被除式中出现的字母则连同它的指数作为商的一个因式。十、多项式除以单项式：连同各项的符号，把多项式的各项都除以单项式。第二章 平行线与相交线一、互余、互补、对顶角1、相加等于90°的两个角称这两个角互余。 性质：同角(或等角)的余角相等。2、相加等于180°的两个角称这两个角互补。 性质：同角(或等角)的补角相等。3、两条直线相交，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角;或者一个角的反相延长线与这个角是对顶角。 对顶角的性质：对顶角相等。4、两条直线相交，有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。 (相邻且互补)二、三线八角： 两直线被第三条直线所截①在两直线的相同位置上，在第三条直线的同侧(旁)的两个角叫做同位角。②在两直线之间(内部)，在第三条直线的两侧(旁)的两个角叫做内错角。③在两直线之间(内部)，在第三条直线的同侧(旁)的两个角叫做同旁内角。三、平行线的判定①同位角相等②内错角相等 两直线平行③同旁内角互补四、平行线的性质①两直线平行，同位角相等。 ②两直线平行，内错角相等。 ③两直线平行，同旁内角互补。五、尺规作图(用圆规和直尺作图)①作一条线段等于已知线段。 ②作一个角等于已知角。第三章 三角形一、认识三角形1、三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。2、三角形三边的关系：两边之和大于第三边;两边之差小于第三边。(已知三条线段确定能否组成三角形，已知两边求第三边的取值范围)3、三角形的内角和是180°;直角三角形的两锐角互余。锐角三角形 (三个角都是锐角)4、三角形按角分类直角三角形 (有一个角是直角)钝角三角形 (有一个角是钝角)5、三角形的特殊线段：a) 三角形的中线：连结顶点与对边中点的线段。 (分成的两个三角形面积相等)b) 三角形的角平分线：内角平分线与对边的交点到内角所在的顶点的线段。c) 三角形的高：顶点到对边的垂线段。 (每一种三角形的作图)二、全等三角形：1、全等三角形：能够重合的两个三角形。2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。3、全等三角形的判定：判定方法内 容简称边边边三边对应相等的两个三角形全等SSS边角边两边与这两边的夹角对应相等的两个三角形全等SAS角边角两角与这两角的夹边对应相等的两个三角形全等ASA角角边两角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等AAS斜边直角边斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等HL注意：三个角对应相等的两个三角形不能判定两个三角形形全等;AAA两条边与其中一条边的对角对应相等的两个三角形不能判定两个三角三角形全等。SSA4、全等三角形的证明思路：条 件下一步的思路运用的判定方法已经两边对应相等找它们的夹角SAS找第三边SSS已经两角对应相等找它们的夹边ASA找其中一个角的对边AAS已经一角一边找另一个角ASA或AAS找另一边SAS5、三角形具有稳定性，三、作三角形1、已经三边作三角形2、已经两边与它们的夹角作三角形3、已经两角与它们的夹边作三角形(已经两角与其中一角的对边转化成这种情况)4、已经斜边与一条直角边作直角三角形第四章 生活中的变量一、变量、自变量与因变量①两个变量x与y，y随x的改变而改变，那么x是自变量(先变的量)，y是因变量(后变的量)。二、变量之间的表示方法：①列表法②关系式法：能精确地反映自变量与因变量之间数值的对应关系。③图象法：用水平方向的数轴(横轴)上的点表示自变量，用坚直方向的数轴(纵轴)表示因变量。第五章 生活中的轴对称一、轴对称图形与轴对称①一个图形沿某一条直线对折，直线两旁的部分能完成重合的图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。②两个图形沿某一条直线折叠，这两个图形能完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴。③常见的轴对称图形：线段(两条对称轴)，角，长方形，正方形，等腰三角形，等边三角形，等腰梯形，圆，扇形二、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 ∠1=∠2 PBOB PAOA PB=PA三、线段垂直平分线：①概念：垂直且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。②性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 OA=OB CDAB PA=PB四、等腰三角形性质： (有两条边相等的三角形叫做等腰三角形)①等腰三角形是轴对称图形; (一条对称轴)②等腰三角形底边上中线，底边上的高，顶角的平分线重合; (三线合一)③等腰三角形的两个底角相等。 (简称：等边对等角)五、在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它所对的两条边也相等。(简称：等角对等边)六、等边三角形的性质：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质。① 等边三角形的三条边相等，三个角都等于60; ②等边三角形有三条对称轴。七、轴对称的性质：① 关于某条直线对称的两个图形是全等形; ②对应线段、对应角相等;② 对应点的连线被对称轴垂直且平分; ④对应线段如果相交，那么交点在对称轴上。八、镜子改变了什么：1、物与像关于镜面成轴对称;(分清左右对称与上下对称)2、常见的问题：①物体成像问题;②数字与字母成像问题;③时钟成像问题

与三角形有关的线段篇3

【关键词】相似三角形；平面几何；线段；关系的运用

相似三角形是平面几何中的教学中，能否牢固地掌握相似三角形的判定定理及有关性质并灵活地应用它是解决平面几何问题的关键之一，也是初中学生掌握基础知识和基本技能的途径之一。现将谈谈相似三角形在平面几何中有关线段间关系的运用。

1证明两线段相等

证明线段相等的方法较多，常用的方法是根据全等三角形、特殊四边形的性质等等，但是利用相似三角形比例线段线段相等，也是一条便捷的解题思路，它有时会解决利用全等三角形、特殊四边形的性质无法解决或难解决的问题，

例1：如图：ABC中，∠ACB=90°，CDAB于D，∠BAC的平分线交CD、CB于P、E，PE∥AB交BC于F，求证：CE=BF。

证明：AE是∠BAC的平分线，

∠CAE=∠BAE，

又CDAB，∠ACB=90°，

∠PDA=∠ACE=90°

则PDA∽ECA。

得①

又由PF∥AB得②

由①、②得③

同是，由角平分线性质得④

又∠CDA=∠BCA=90，

∠CAD=∠BAC，

ADC∽ACB.

⑤

由③、④、⑤得，故CE=BF。

2证明线段成比例

比例式的线段是平面几何常见类型题，它有一种变形（ad=bc）和一种特例（a2=bc），利用相似三角形对应边成比例的性质证明四条线段成比例是常用的方法。下面举例说明用这种方法证题的思路。

（1）当所证的比例式中的线段分别是两个三角形的两边时，首先考虑证这两个三角形相似。

例2：已知ABC内接于圆O，∠A的平分线交BC于D，交O于E。

求证：

分析：AD・AE=AC・AB

可证：ADC∽AEB.

证明：连结BE，∠l=∠2，∠C=∠E，

ADC∽AEB，

（2）当所证比例式中的四条线段分别是两个三角形的两边，但这两个三角形不相似时，应考虑添辅助线造成相似三角形，先使其中三条线段在两个相似三角形中，然后再把另一条线段等量代换，从而证明求证的比例式成立。

例3：AM为ABC的∠A的平分线，过A作一圆与BC相切于M点，并且与AB、AC分别交于E、F，求证：

分析：如图，虽然BE、BM和CF、CM是BEM和CFM的边，但这两个三角形在一般情况下不相似。（只有O点在AM上，BEM≌CFM），所以，考虑连结EM、FM，则BEM∽BMA，CFM∽CMA，t有，又由角平分线性质，得

证明：（略）

（3）当所证比例式中的四条线段不是两个三角形的两边时，应通过作辅助线（一般是作平行线），构成相似三角形。

例4：如图，BD=CE，求证：AC・EF=AB・DF。

分析：因为所证等式中的四条线段不同在两个三角形中，所以考虑作DG∥AC，这样可使四条线段都分别在两对相似三角形中。

证明：过D作DG∥AC，交BC于G，

DG∥AC，

FEC∽FDG，得①

BDG∽BAC，得②

又CE=BD，③

由①、②、③得，故AC・EF=AB・DF。

（4）当四条线段在同一直线上时，可通过等量代换，使其中一条转移，以造成两个三角形，再证这两个三角形相似。

例5：AD为ABC（AB>AC）的角平分线，AD的垂直平分线和BC的延长线交于点E，求证DE2=BE・CE。

分析：这个题目要证明DE2=BE・CE，由于B、C、D、E四点在一条直线上，所以不能直接通过证明两个三角形相似而证出。但EF是AD的垂直平分线为本题的已知条件，若连结AE，则DE=AE，即AE与DE为相等的线段。将AE代换DE2=BE・CE中的DE，有AE2=BE・CE。这样只要证出ACE与BAE相似，就可证得AE：BE=CE：AE，即得证：AE2=BE・CE。

证明：如图：连结AE，

EF是AD的垂直平分线，

EA=ED①

∠2+∠3=∠4，

又∠4=∠l+∠B（三角形外角定理），

∠l=∠2，

∠3=∠B.

在ACE和ABE中，

∠3=∠B，∠AEC=∠BEA，

则ACE∽BAE。

②

由①②得DE2=BE・CE.

在这个例题中，与DE相等的线段是AE，用AE代换DE后，便能顺利地找出证法。从上例与数学实践中得出：应用等线代换这一方法证明比例式时，以找a2=bc中的a的等线为最好。

3证明线段的倍分关系

利用相似三角形证明线段的倍分关系，通常将两线段置于两个相似三角形中，根据相似三角形的对应边成比例，然后用等量代换证明。

例6：已知AB和CD是O互相垂直的两条直径，G为的中点，连结AG交CD于E，交BC于F，求证：OE=BF.

分析：由结论OE=BF，即=，又O是圆心，是直径AB的中点，由此可考虑利用中位线的定理把结论与条件联系起来。由于AB是直径，则∠AGB=90°，因此，过O作OMAG交AG于M，OM=BG，而OE与BF分别是RtOEM和RtBFG的对应边，现只需证明这两个直角三角形相似。

证明：连结BG，过O点作OMAG于M，

AB为直径，∠BGA=90°，

OM∥BG、AO=OB，

=

又G为的中点，且ABCD，

∠CBG=∠A=∠EOM，

且∠BGF=∠EMO=90°。

RtOEM∽RtBFG。

=，得OE=BF.

诚然，相似三角形在线段间应用远不止这些，它还可用于解决一些线段的平方或积的和差、几何不等式、两角相等以及面积比等问题，这里不一一赘述。

总之，以上只是简单地介绍相似三角形在平面几何中有关线段间关系的运用，旨在使学生熟悉相似三角形运用的基础上，逐步掌握利用它来解题的基本思路和方法。可以加深学生对直线形、圆形中有关线段间关系问题的相关性质认识和理解，提高学生的解题能力。

参考文献：

[1]马荣秀.比例线段的证明技巧《河北教育》

与三角形有关的线段篇4

学习这件事不在乎有没有人教你，最重要的是在于你自己有没有觉悟和恒心。任何科目学习方法其实都是一样的，不断的记忆与练习，使知识刻在脑海里。下面是小编给大家整理的一些初一数学的知识点，希望对大家有所帮助。

七年级数学知识点三角形

1、三角形由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。

2、判断三条线段能否组成三角形。

①a+b>c(ab为最短的两条线段)

②a-b

3、第三边取值范围：a-b

4、对应周长取值范围

若两边分别为a,b则周长的取值范围是2a

如两边分别为5和7则周长的取值范围是14

5、三角形中三角的关系

(1)、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。

n边行内角和公式(n-2)

(2)、三角形按内角的大小可分为三类：

(1)锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形;

(2)直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。

注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。

(3)钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。

(3)、判定一个三角形的形状主要看三角形中角的度数。

(4)、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。

6、三角形的三条重要线段

(1)、三角形的角平分线：

1、三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

2、任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。

(内心)

(2)、三角形的中线：

1、在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。

2、三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。

(重心)

3、三角形的中线把这个三角形分成面积相等的两个三角形

(3)、三角形的高线：

1、从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。

2、任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。

(垂心)

3、注意等底等高知识的考试

7、相关命题：

1)三角形中最多有1个直角或钝角，最多有3个锐角，最少有2个锐角。

2)锐角三角形中的锐角的取值范围是60≤X

3)任意一个三角形两角平分线的夹角=90+第三角的一半。

初一下册数学《三角形》知识点一、目标与要求

1.认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。

2.经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系。

3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法，并能运用它解决有关的问题。

4.三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理。

5.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题。

二、重点

三角形内角和定理;

对三角形有关概念的了解，能用符号语言表示三条形。

三、难点

三角形内角和定理的推理的过程;

在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形;

用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形。

四、知识框架

五、知识点、概念总结

1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三角形的分类

3.三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

4.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

5.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

6.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

7.高线、中线、角平分线的意义和做法

8.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

9.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°

推论1直角三角形的两个锐角互余;

推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和;

推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;

三角形的内角和是外角和的一半。

初一数学学习方法一预习

对于理科学习，预习是必不可少的。我们在预习中,应该把书上的内容看一遍，尽力去理解，对解决不了的问题适当作出标记，请教老师或课上听讲解决，并试着做一做书后的习题检验预习效果。

二听讲

这一环节最为重要，因为老师把知识的精华都浓缩在课堂上，听数学课时应做到抓住老师讲题的思路，方法。有问题记下来，课下整理，解决，数学课上一定要积极思考，跟着老师的思路走。

三复习

体会老师课上的例题，整理思维，想想自己是怎么想的，与老师的思路有何异同，想想每一道题的考点，并试着一题多解，做到举一反三。

四作业

认真完成老师留的习题，适当挑选一些课外习题作为练习，但切忌一味追求偏题，怪题，更不要打“题海战术”。

五总结

与三角形有关的线段篇5

撰写人：___________

日

期：___________

2021年初中数学几何定理总结

、过两点有且只有一条直线

、两点之间线段最短

3、同角或等角的补角相等

4、同角或等角的余角相等

5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9、同位角相等，两直线平行

0、内错角相等，两直线平行

、同旁内角互补，两直线平行

、两直线平行，同位角相等

3、两直线平行，内错角相等

4、两直线平行，同旁内角互补

5、定理三角形两边的和大于第三边

6、推论三角形两边的差小于第三边

7、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于80°

8、推论直角三角形的两个锐角互余

9、推论三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和0、推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

、全等三角形的对应边、对应角相等

、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

3、角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

4、推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

5、边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等

6、斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

7、定理在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

8、定理到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

9、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）

3、推论等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33、推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35、推论三个角都相等的三角形是等边三角形

36、推论有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等?

40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

4、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

4、定理关于某条直线对称的两个图形是全等形

43、定理如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44、定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^+b^=c^

47、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^+b^=c^，那么这个三角形是直角三角形

48、定理四边形的内角和等于360°

49、四边形的外角和等于360°

50、多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-）_80°

5、推论任意多边的外角和等于360°

5、平行四边形性质定理平行四边形的对角相等

53、平行四边形性质定理平行四边形的对边相等

54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等55、平行四边形性质定理___平行四边形的对角线互相平分

56、平行四边形判定定理两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57、平行四边形判定定理两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58、平行四边形判定定理___对角线互相平分的四边形是平行四边形

59、平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60、矩形性质定理矩形的四个角都是直角

6、矩形性质定理矩形的对角线相等

6、矩形判定定理有三个角是直角的四边形是矩形

63、矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形

64、菱形性质定理菱形的四条边都相等

65、菱形性质定理菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a_b）÷

67、菱形判定定理四边都相等的四边形是菱形

68、菱形判定定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69、正方形性质定理正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70、正方形性质定理正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

7、定理关于中心对称的两个图形是全等的

7、定理关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

75、等腰梯形的两条对角线相等

76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77、对角线相等的梯形是等腰梯形

78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79、推论经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80、推论经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

8、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

8、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷S=L_h

83、()比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:b=c:d

84、()合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d

85、等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

86、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

87、推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

88、定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90、定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

9、相似三角形判定定理两角对应相等，两三角形相似（ASA）

9、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93、判定定理两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）

94、判定定理3三边对应成比例，两三角形相似（SSS）

95、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96、性质定理相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

97、性质定理相似三角形周长的比等于相似比

98、性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值00、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

0、圆是定点的距离等于定长的点的集合

0、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

03、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

04、同圆或等圆的半径相等

05、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

06、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

07、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

08、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

09、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

0、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

、推论圆的两条平行弦所夹的弧相等

3、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

4、定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

5、推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

6、定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

7、推论同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

8、推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

9、推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

0、定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

①直线L和O相交d＜r

②直线L和O相切d=r

③直线L和O相离d＞r

与三角形有关的线段篇6

三角函数公式表

同角三角函数的基本关系式

倒数关系: 商的关系： 平方关系：

tan α ²cotα＝1

sin α ²cscα＝1

cos α ²secα＝1 sinα/cosα＝tan α＝sec α/cscα

cos α/sinα＝cot α＝csc α/secα sin2α＋cos2α＝1

1＋tan2α＝sec2α

1＋cot2α＝csc2α

（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”）

诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。）

sin （－α）＝－sin α

cos （－α）＝cos α tan（－α）＝－tan α

cot （－α）＝－cot α

sin （π/2－α）＝cos α

cos （π/2－α）＝sin α

tan （π/2－α）＝cot α

cot （π/2－α）＝tan α

sin （π/2＋α）＝cos α

cos （π/2＋α）＝－sin α

tan （π/2＋α）＝－cot α

cot （π/2＋α）＝－tan α

sin （π－α）＝sin α

cos （π－α）＝－cos α

tan （π－α）＝－tan α

cot （π－α）＝－cot α

sin （π＋α）＝－sin α

cos （π＋α）＝－cos α

tan （π＋α）＝tan α

cot （π＋α）＝cot α

sin （3π/2－α）＝－cos α

cos （3π/2－α）＝－sin α

tan （3π/2－α）＝cot α

cot （3π/2－α）＝tan α

sin （3π/2＋α）＝－cos α

cos （3π/2＋α）＝sin α

tan （3π/2＋α）＝－cot α

cot （3π/2＋α）＝－tan α

sin （2π－α）＝－sin α

cos （2π－α）＝cos α

tan （2π－α）＝－tan α

cot （2π－α）＝－cot α

sin （2k π＋α）＝sin α

cos （2k π＋α）＝cos α

tan （2k π＋α）＝tan α

cot （2k π＋α）＝cot α

(其中k∈Z)

两角和与差的三角函数公式 万能公式

sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β

sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β

cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β

cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β

tan α＋tan β

tan （α＋β）＝——————

1－tan α ²tanβ

tan α－tan β

tan （α－β）＝——————

1＋tan α ²tanβ

2tan(α/2)

sin α＝——————

1＋tan2(α/2)

1－tan2(α/2)

cos α＝——————

1＋tan2(α/2)

2tan(α/2)

tan α＝——————

1－tan2(α/2)

半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α＝2sin αcos α

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

2tan α

tan2α＝—————

1－tan2α

sin3α＝3sin α－4sin3α

cos3α＝4cos3α－3cos α

3tan α－tan3α

tan3α＝——————

1－3tan2α

三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式

α＋β α－β

sin α＋sin β＝2sin ———²cos———

2 2

α＋β α－β

sin α－sin β＝2cos ———²sin———

2 2

α＋β α－β

cos α＋cos β＝2cos ———²cos———

2 2

α＋β α－β

cos α－cos β＝－2sin ———²sin———

2 2 1

sin α ²cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin （α－β）]

2

1

cos α ²sinβ＝-[sin（α＋β）－sin （α－β）]

2

1

cos α ²cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos （α－β）]

2

1

sin α ²sinβ＝— -[cos（α＋β）－cos （α－β）]

2

化asin α ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式

集合、函数

集合 简单逻辑

任一x∈A x∈B，记作A B

A B，B A A＝B

A B＝{x|x∈A，且x∈B}

A B＝{x|x∈A，或x∈B}

card （A B）＝card （A ）+card（B ）－card （A B）

（1）命题

原命题 若p 则q

逆命题 若q 则p

否命题 若 p则 q

逆否命题 若 q，则 p

（2）四种命题的关系

（3）A B，A 是B 成立的充分条件

B A，A 是B 成立的必要条件

A B，A 是B 成立的充要条件

函数的性质 指数和对数

（1）定义域、值域、对应法则

（2）单调性

对于任意x1，x2∈D

若x1＜x2 f（x1）＜f （x2），称f （x ）在D 上是增函数

若x1＜x2 f（x1）＞f （x2），称f （x ）在D 上是减函数

（3）奇偶性

对于函数f （x ）的定义域内的任一x ，若f （－x ）＝f （x ），称f （x ）是偶函数 若f （－x ）＝－f （x ），称f （x ）是奇函数

（4）周期性

对于函数f （x ）的定义域内的任一x ，若存在常数T ，使得f （x+T）＝f(x)，则称f （x ）是周期函数 （1）分数指数幂

正分数指数幂的意义是

负分数指数幂的意义是

（2）对数的性质和运算法则

loga （MN ）＝logaM+logaN

logaMn ＝nlogaM （n∈R）

指数函数 对数函数

（1）y ＝ax （a ＞0，a≠1）叫指数函数

（2）x∈R，y ＞0

图象经过（0，1）

a ＞1时，x ＞0，y ＞1；x ＜0，0＜y ＜1

0＜a ＜1时，x ＞0，0＜y ＜1；x ＜0，y ＞1

a ＞ 1时，y ＝ax 是增函数

0＜a ＜1时，y ＝ax 是减函数 （1）y ＝logax （a ＞0，a≠1）叫对数函数

（2）x ＞0，y∈R

图象经过（1，0）

a ＞1时，x ＞1，y ＞0；0＜x ＜1，y ＜0

0＜a ＜1时，x ＞1，y ＜0；0＜x ＜1，y ＞0

a ＞1时，y ＝logax 是增函数

0＜a ＜1时，y ＝logax 是减函数

指数方程和对数方程

基本型

logaf(x)＝b f（x ）＝ab （a ＞0，a≠1）

同底型

logaf （x ）＝logag （x ） f（x ）＝g （x ）＞0（a ＞0，a≠1）

换元型 f（ax ）＝0或f (logax)＝0

数列

数列的基本概念 等差数列

（1）数列的通项公式an ＝f （n ）

（2）数列的递推公式

（3）数列的通项公式与前n 项和的关系

an+1－an ＝d

an ＝a1+（n －1）d

a ，A ，b 成等差 2A＝a+b

m+n＝k+l am+an＝ak+al

等比数列 常用求和公式

an ＝a1qn ＿1

a ，G ，b 成等比 G2＝ab

m+n＝k+l aman＝akal

不等式

不等式的基本性质 重要不等式

a ＞b b＜a

a ＞b ，b ＞c a＞c

a ＞b a+c＞b+c

a+b＞c a＞c －b

a ＞b ，c ＞d a+c＞b+d

a ＞b ，c ＞0 ac＞bc

a ＞b ，c ＜0 ac＜bc

a ＞b ＞0，c ＞d ＞0 ac＜bd

a ＞b ＞0 dn＞bn （n∈Z，n ＞1）

a ＞b ＞0 ＞ （n∈Z，n ＞1）

（a －b ）2≥0

a ，b∈R a2+b2≥2ab

|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

证明不等式的基本方法

比较法

（1）要证明不等式a ＞b （或a ＜b ），只需证明

a －b ＞0（或a －b ＜0＝即可

（2）若b ＞0，要证a ＞b ，只需证明 ，

要证a ＜b ，只需证明

综合法 综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式（由因导果）的方法。

分析法 分析法是从寻求结论成立的充分条件入手，逐步寻求所需条件成立的充分条件，直至所需的条件已知正确时为止，明显地表现出“持果索因”

复数

代数形式 三角形式

a+bi＝c+di a＝c ，b ＝d

（a+bi）+（c+di）＝（a+c）+（b+d）i

（a+bi）－（c+di）＝（a －c ）+（b －d ）i

（a+bi）（c+di ）＝（ac －bd ）+（bc+ad）i

a+bi＝r （cos θ+isinθ）

r1＝（cos θ1+isinθ1）r2（cos θ2+isinθ2）

＝r1r2〔cos （θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）〕

〔r （cos θ+sinθ）〕n ＝rn （cosn θ+isinnθ）

k ＝0，1，„„，n －1

解析几何

1、直线

两点距离、定比分点 直线方程

|AB|＝| |

|P1P2|＝

y －y1＝k(x－x1)

y ＝kx ＋b

两直线的位置关系 夹角和距离

或k1＝k2，且b1≠b2

l1与l2重合

或k1＝k2且b1＝b2

l1与l2相交

或k1≠k2

l2l2

或k1k2＝－1 l1到l2的角

l1与l2的夹角

点到直线的距离

2. 圆锥曲线

圆 椭 圆

标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2

圆心为(a，b) ，半径为R

一般方程x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0

其中圆心为( ),

半径r

(1)用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 判断或用判别式判断直线与圆的位置关系

(2)两圆的位置关系用圆心距d 与半径和与差判断 椭圆

焦点F1(－c ，0) ，F2(c，0)

(b2＝a2－c2)

离心率

准线方程

焦半径|MF1|＝a ＋ex0，|MF2|＝a －ex0

双曲线 抛物线

双曲线

焦点F1(－c ，0) ，F2(c，0)

(a，b ＞0，b2＝c2－a2)

离心率

准线方程

焦半径|MF1|＝ex0＋a ，|MF2|＝ex0－a 抛物线y2＝2px(p>0)

焦点F

准线方程

坐标轴的平移

这里(h，k) 是新坐标系的原点在原坐标系中的坐标。

1．集合元素具有①确定性②互异性③无序性

2．集合表示方法①列举法 ②描述法

③韦恩图 ④数轴法

3．集合的运算

⑴ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

⑵ Cu(A∩B)=CuA∪CuB

Cu(A∪B)=CuA∩CuB

4．集合的性质

⑴n元集合的子集数：2n

真子集数：2n-1；非空真子集数：2n-2

高中数学概念总结

一、 函数

1、 若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为 ，所有非空真子集的个数是 。

二次函数 的图象的对称轴方程是 ，顶点坐标是 。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即 ， 和 （顶点式）。

2、 幂函数 ，当n 为正奇数，m 为正偶数，m

3、 函数 的大致图象是

由图象知，函数的值域是 ，单调递增区间是 ，单调递减区间是 。

二、 三角函数

1、 以角 的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角 的终边上任取一个异于原点的点 ，点P 到原点的距离记为 ，则sin = ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。

2、同角三角函数的关系中，平方关系是： ， ， ；

倒数关系是： ， ， ；

相除关系是： ， 。

3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如： ， = ， 。

4、 函数 的最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，频率是 ，相位是 ，初相是 ；其图象的对称轴是直线 ，凡是该图象与直线 的交点都是该图象的对称中心。

5、 三角函数的单调区间：

的递增区间是 ，递减区间是 ； 的递增区间是 ，递减区间是 ， 的递增区间是 ， 的递减区间是 。

6、

7、二倍角公式是：sin2 =

cos2 = = =

tg2 = 。

8、三倍角公式是：sin3 = cos3 =

9、半角公式是：sin = cos =

tg = = = 。

10、升幂公式是： 。

11、降幂公式是： 。

12、万能公式：sin = cos = tg =

13、sin( )sin( )= ，

cos( )cos( )= = 。

14、 = ；

= ；

= 。

15、 = 。

16、sin180= 。

17、特殊角的三角函数值：

sin 0 1 0

cos 1 0 0

tg 0 1 不存在 0 不存在

ctg 不存在 1 0 不存在 0

18、正弦定理是（其中R 表示三角形的外接圆半径）：

19、由余弦定理第一形式， =

由余弦定理第二形式，cosB=

20、ABC的面积用S 表示，外接圆半径用R 表示，内切圆半径用r 表示，半周长用p 表示则：

① ；② ；

③ ；④ ；

⑤ ；⑥

21、三角学中的射影定理：在ABC 中， ，„

22、在ABC 中， ，„

23、在ABC 中：

24、积化和差公式：

① ，

② ，

③ ，

④ 。

25、和差化积公式：

① ，

② ，

③ ，

④ 。

三、 反三角函数

1、 的定义域是[-1，1]，值域是 ，奇函数，增函数；

的定义域是[-1，1]，值域是 ，非奇非偶，减函数；

的定义域是R ，值域是 ，奇函数，增函数；

的定义域是R ，值域是 ，非奇非偶，减函数。

2、当 ；

对任意的 ，有：

当 。

3、最简三角方程的解集：

四、 不等式

1、若n 为正奇数，由 可推出 吗？ （ 能 ）

若n 为正偶数呢？ （ 均为非负数时才能）

2、同向不等式能相减，相除吗 （不能）

能相加吗？ （ 能 ）

能相乘吗？ （能，但有条件）

3、两个正数的均值不等式是：

三个正数的均值不等式是：

n个正数的均值不等式是：

4、两个正数 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

6、 双向不等式是：

左边在 时取得等号，右边在 时取得等号。

五、 数列

1、等差数列的通项公式是 ，前n 项和公式是： = 。

2、等比数列的通项公式是 ，

前n 项和公式是：

3、当等比数列 的公比q 满足

4、若m 、n 、p 、q∈N，且 ，那么：当数列 是等差数列时，有 ；当数列 是等比数列时，有 。

5、 等差数列 中，若Sn=10，S2n=30，则S3n=60；

6、等比数列 中，若Sn=10，S2n=30，则S3n=70；

六、 复数

1、 怎样计算？（先求n 被4除所得的余数， ）

2、 是1的两个虚立方根，并且：

3、 复数集内的三角形不等式是： ，其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。

4、 棣莫佛定理是：

5、 若非零复数 ，则z 的n 次方根有n 个，即：

它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？

都位于圆心在原点，半径为 的圆上，并且把这个圆n 等分。

6、 若 ，复数z1、z2对应的点分别是A 、B ，则AOB（O 为坐标原点）的面积是 。

7、 = 。

8、 复平面内复数z 对应的点的几个基本轨迹：

① 轨迹为一条射线。

② 轨迹为一条射线。

③ 轨迹是一个圆。

④ 轨迹是一条直线。

⑤ 轨迹有三种可能情形：a) 当 时，轨迹为椭圆；b) 当 时，轨迹为一条线段；c) 当 时，轨迹不存在。

⑥ 轨迹有三种可能情形：a) 当 时，轨迹为双曲线；b) 当 时，轨迹为两条射线；c) 当 时，轨迹不存在。

七、 排列组合、二项式定理

1、 加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？

加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。

2、排列数公式是： = = ；

排列数与组合数的关系是：

组合数公式是： = = ；

组合数性质： = + =

= =

3、 二项式定理： 二项展开式的通项公式：

八、 解析几何

1、 沙尔公式：

2、 数轴上两点间距离公式：

3、 直角坐标平面内的两点间距离公式：

4、 若点P 分有向线段 成定比λ，则λ=

5、 若点 ，点P 分有向线段 成定比λ，则：λ= = ；

=

=

若 ，则ABC的重心G 的坐标是 。

6、求直线斜率的定义式为k= ，两点式为k= 。

7、直线方程的几种形式：

点斜式： ， 斜截式：

两点式： ， 截距式：

一般式：

经过两条直线 的交点的直线系方程是：

8、 直线 ，则从直线 到直线 的角θ满足：

直线 与 的夹角θ满足：

直线 ，则从直线 到直线 的角θ满足：

直线 与 的夹角θ满足：

9、 点 到直线 的距离：

10、两条平行直线 距离是

11、圆的标准方程是：

圆的一般方程是：

其中，半径是 ，圆心坐标是

思考：方程 在 和 时各表示怎样的图形？

12、若 ，则以线段AB 为直径的圆的方程是

经过两个圆

，

的交点的圆系方程是：

经过直线 与圆 的交点的圆系方程是：

13、圆 为切点的切线方程是

一般地，曲线 为切点的切线方程是： 。例如，抛物线 的以点 为切点的切线方程是： ，即： 。

注意：这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。

14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种，即：

①判别式法：Δ>0，=0，

②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系：距离大于半径、等于半径、小于半径，等价于直线与圆相离、相切、相交。

15、抛物线标准方程的四种形式是：

16、抛物线 的焦点坐标是： ，准线方程是： 。

若点 是抛物线 上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是： ，过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（称为通径）的长是： 。

17、椭圆标准方程的两种形式是： 和

。

18、椭圆 的焦点坐标是 ，准线方程是 ，离心率是 ，通径的长是 。其中 。

19、若点 是椭圆 上一点， 是其左、右焦点，则点P 的焦半径的长是 和 。

20、双曲线标准方程的两种形式是： 和

。

21、双曲线 的焦点坐标是 ，准线方程是 ，离心率是 ，通径的长是 ，渐近线方程是 。其中 。

22、与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是 。与双曲线 共焦点的双曲线系方程是 。

23、若直线 与圆锥曲线交于两点A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，则弦长为 ；

若直线 与圆锥曲线交于两点A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，则弦长为 。

24、圆锥曲线的焦参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，对于椭圆和双曲线都有： 。

25、平移坐标轴，使新坐标系的原点 在原坐标系下的坐标是（h ，k ），若点P 在原坐标系下的坐标是 在新坐标系下的坐标是 ，则 = ， = 。

九、 极坐标、参数方程

1、 经过点 的直线参数方程的一般形式是： 。

2、 若直线 经过点 ，则直线参数方程的标准形式是： 。其中点P 对应的参数t 的几何意义是：有向线段 的数量。

若点P1、P2、P 是直线 上的点，它们在上述参数方程中对应的参数分别是 则： ；当点P 分有向线段 时， ；当点P 是线段P1P2的中点时， 。

3、圆心在点 ，半径为 的圆的参数方程是： 。

3、 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为 直角坐标为 ，则 ， ， 。

4、 经过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程是： ，

经过点 ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是： ，

经过点 且平行于极轴的直线的极坐标方程是： ，

经过点 且倾斜角为 的直线的极坐标方程是： 。

5、 圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是 ；

圆心在点 的圆的极坐标方程是 ；

圆心在点 的圆的极坐标方程是 ；

圆心在点 ，半径为 的圆的极坐标方程是 。

6、 若点M 、N ，则 。

十、 立体几何

1、求二面角的射影公式是 ，其中各个符号的含义是： 是二面角的一个面内图形F 的面积， 是图形F 在二面角的另一个面内的射影， 是二面角的大小。

2、若直线 在平面 内的射影是直线 ，直线m 是平面 内经过 的斜足的一条直线， 与 所成

的角为 ， 与m 所成的角为 , 与m 所成的角为θ，则这三个角之间的关系是 。

3、体积公式：

柱体： ，圆柱体： 。

斜棱柱体积： （其中， 是直截面面积， 是侧棱长）；

锥体： ，圆锥体： 。

台体： ， 圆台体：

球体： 。

4、 侧面积：

直棱柱侧面积： ，斜棱柱侧面积： ；

正棱锥侧面积： ，正棱台侧面积： ；

圆柱侧面积： ，圆锥侧面积： ，

圆台侧面积： ，球的表面积： 。

5、几个基本公式：

弧长公式： （ 是圆心角的弧度数， >0）；

扇形面积公式： ；

圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式： ；

圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式： 。

经过圆锥顶点的最大截面的面积为（圆锥的母线长为 ，轴截面顶角是θ）：

十一、比例的几个性质

1、比例基本性质：

2、反比定理：

3、更比定理：

5、 合比定理；

6、 分比定理：

7、 合分比定理：

8、 分合比定理：

9、 等比定理：若 ， ，则 。

十二、复合二次根式的化简

当 是一个完全平方数时，对形如 的根式使用上述公式化简比较方便。

⑵并集元素个数：

n(A∪B)=nA+nB-n(A∩B)

5．N 自然数集或非负整数集

Z 整数集 Q有理数集 R实数集

6．简易逻辑中符合命题的真值表

p 非p

真 假

假 真

二．函数

1．二次函数的极点坐标：

函数 的顶点坐标为

2．函数 的单调性：

在 处取极值

3．函数的奇偶性：

在定义域内，若 ，则为偶函数；若 则为奇函数。

1 过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9 同位角相等，两直线平行

10 内错角相等，两直线平行

11 同旁内角互补，两直线平行

12两直线平行，同位角相等

13 两直线平行，内错角相等

14 两直线平行，同旁内角互补

15 定理 三角形两边的和大于第三边

16 推论 三角形两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

18 推论1 直角三角形的两个锐角互余

19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）

31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和、等于斜边c 的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形

48定理 四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）³180°

--------------------------------------------------------------------------------

51推论 任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等

54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2 矩形的对角线相等

62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a³b）÷2

67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一 点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段

相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第 三边

81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它 的一半

82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的 一半 L=（a+b）÷2 S=L³h

83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:b=c:d wc呁/S∕?

84 (2)合比性质 如果a ／b=c／d, 那么(a±b)／b=(c±d)／d

85 (3)等比性质 如果a ／b=c／d=„=m／n(b+d+„+n≠0),那么

(a+c+„+m)／(b+d+„+n)=a／b

86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应 线段成比例

87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA ）

92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS ）

94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS ）

95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比 97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比

98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方

99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值

--------------------------------------------------------------------------------

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半 径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直 平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线 109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等

115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径 119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角

121①直线L 和O相交 d＜r

②直线L 和O相切 d=r

③直线L 和O相离 d＞r ?

122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等

131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项

133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r

③两圆相交 R-r＜d ＜R+r(R＞r)

④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d ＜R-r(R＞r)

136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公*弦

137定理 把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形 138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

139正n 边形的每个内角都等于（n-2）³180°／n

140定理 正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形

141正n 边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n 边形的周长

142正三角形面积√3a／4 a表示边长

143如果在一个顶点周围有k 个正n 边形的角，由于这些角的和应为 360°，因此k³(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4

144弧长计算公式：L=n兀R ／180

145扇形面积公式：S 扇形=n兀R^2／360=LR／2

146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

乘法与因式分解

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b^2-4ac)/2a -b-√(b^2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别式

b^2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根

b^2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根

b^2-4ac

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

与三角形有关的线段篇7

一、选择题：每小题3分，共36分。请把正确答案的序号填入表中。1．若分式 有意义，则x的取值应满足( )A．x≠3 B．x≠4 C．x≠﹣4 D．x≠﹣3【考点】分式有意义的条件． 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得 ，x+4≠0，解得x≠﹣4．故选：C．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．若 ，则M的值是( )A．x﹣1 B．x+1 C． D．1【考点】分式的基本性质． 【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数或（整式），结果不变，可得答案．【解答】解： ，得两边都除以（x﹣1），M=x+1，故选：B．【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数或（整式），结果不变．4．下列图形中，A′B′C′与ABC关于直线MN成轴对称的是( )A． B． C． D． 【考点】轴对称的性质． 【专题】压轴题．【分析】认真观察各选项给出的图形，根据轴对称的性质，对称轴垂直平分线对应点的连线进行判断．【解答】解：根据轴对称的性质，结合四个选项，只有B选项中对应点的连线被对称轴MN垂直平分，所以B是符合要求的．故选B．【点评】本题考查轴对称的性质；应用对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分解题是正确解答本题的关键．5．等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是( )A．105° B．120° C．135° D．150°【考点】等边三角形的性质；三角形内角和定理． 【专题】计算题．【分析】根据等边三角形三线合一的性质，高线即是角平分线，再利用三角形的内角和定理知钝角的度数是120°．【解答】解：等边ABC的两条高线相交于O∠OAB=∠OBA=30°∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=120°故选B 【点评】此题主要考查了等边三角形三线合一的性质，比较简单．6．下列式子中，是分式的是( )A． B． C． D．﹣ 【考点】分式的定义． 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不 含有字母则不是分式．【解答】解：A、 是整式，故A错误；B、 是分式，故B正确； C、分母不含字母是整式，故C错误；D、分母不含字母是整式，故D错误；故选：B．【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以 不是分式，是整式．7．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( ) A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线 D．垂线段最短【考点】三角形的稳定性． 【分析】根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释．【解答】解：构成AOB，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．故选：A．【点评】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．8．下列条件中一定能使ABC≌DEF成立的是( )A．两边对应相等 B．面积相等 C．三边对应相等 D．周长相等【考点】全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形的判定方法，分析、判断即可．【解答】解：根据三边对应相等即SSS即可证明ABC≌DEF，故选C【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等．9．下列说法：①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长相等，面积不相等，其中正确的为( )A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④【考点】全等三角形的性质． 【分析】全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等，根据以上内容判断即可．【解答】解：全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，全等三角形的形状相同、大小相等，①正确；全等三角形的对应边相等，②正确；全等三角形的对应角相等，③正确；全等三角形的对应边相等，全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，全等三角形的周长相等，面积相等，④错误；故选B．【点评】本题考查了全等三角形的性质和定义的应 用，能运用全等三角形的性质和定义进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．10．如图，ACB≌A1CB1，∠BCB1=40°，则∠ACA1的度数为( ) A．20° B．30° C．35° D．40°【考点】全等三角形的性质． 【分析】根据全等三角形的性质得出∠ACB=∠A1CB1，求出∠ACA1=∠BCB1，代入求出即可．【解答】解：ACB≌A1CB1，∠ACB=∠A1CB1，∠ACB﹣∠A1CB=∠A1CB1﹣∠A1CB，∠ACA1=∠BCB1，∠BCB1=40°，∠ACA1=40°，故选D．【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，能正确运用全等三角形的性质定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．11．如图所示，BD、AC交于点O，若OA=OD，用SAS说明AOB≌DOC，还需( ) A．AB=DC B．OB=OC C．∠BAD=∠ADC D．∠AOB=∠DOC【考点】全等三角形的判定． 【分析】要用SAS说明AOB≌DOC，已知有一组边OA，OD对应相等，且有一组对顶角∠AOB，∠DOC相等，从而再添加OB=OC即满足条件．【解答】解：还需OB=OCOA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OCAOB≌DOC（SAS）故选B．【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，做题时要根据给出的已知条件在图形的位置来确定要添加的条件，对选项要逐个验证．12．利用尺规作图不能作出三角形的是( )A．已知三边 B．已知两边及夹角C．已知两角及夹边 D．已知两边及其中一边的对角【考点】作图—复杂作图． 【分析】依据了全等三角形的判定判断．【解答】解：A、边边边（SSS）；B、两边夹一角（SAS）；C、两角夹一边（ASA）都是成立的．只有D是错误的，故选D．【点评】本题主要考查了作图的理论依据．二、填空题：本大题共10个小题，每小题3分，共计30分。13．化简 的结果是1﹣x．【考点】分式的乘除法． 【分析】本题考查的是分式的除法运算，做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．【解答】解：原式= ．【点评】分式的除法计算首先要转化为乘法运算，然后对式子进行化简，化简的方法就是把分子、分母进行分解因式，然后进行约分．分式的乘除运算实际就是分式的约分．14．如图，ABC≌DEF，请根据图中提供的信息，写出x=20． 【考点】全等三角形的性质． 【专题】压轴题．【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠A=70°，然后根据全等三角形对应边相等解答．【解答】解：如图，∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，ABC≌DEF，EF=BC=20，即x=20．故答案为：20．【点评】本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键．15．如图，AF=DC，BC∥EF，若添加条件∠A=∠D，则可利用“ASA”说明ABC≌DEF． 【考点】全等三角形的判定． 【分析】此题是一道开放型的题目，答案不，只要添加一个条件符合全等三角形的判定定理即可．【解答】解：∠A=∠D，理由是：AF=CD，AF+FC=CD+FC，AC=DF，BC∥EF，∠BCA=∠EFD，在ABC和DEF中， ，ABC≌DEF（ASA）．故答案为：∠A=∠D．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．16．如图，在RtABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE交AB于点E，M为BE的中点，连接DM．在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是EAD或MBD或MDE．（写出一个即可） 【考点】等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线． 【专题】压轴题；开放型．【分析】根据角平分线的性质，得出∠BAD=∠DAC，由平行线的性质得出∠EDA=∠DAC，再由直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．【解答】解：AD平分∠BAC，∠BAD=∠DAC，DE∥AC，∠EDA=∠DAC，∠EDA=∠EAD，ED=EA，EAD是 等腰三角形，在RtEBD中，点M为斜边BE的中点，BM=ME=DM，MBD，MDE是等腰三角形．故图中的等腰三角形是EAD，MBD，MDE．故答案为：EAD或MBD或MDE． 【点评】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质等知识点．规律总结：本题设计到了两个中考必考的小知识点：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，“角平分线+平行线”后者的主要应用模式是角平分线平分一个角，而两直线平分，内错角相等，从而出现新的等角，进而根据等角对等边解决问题．17．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=11cm，CF=5cm，则BD=6cm． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ACF，∠AED=∠CEF，进而利用全等三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：AB∥CF，∠A=∠ACF，∠AED=∠CEF，在AED和CEF中 ，AED≌CEF（AAS），FC=AD=5cm，BD=AB﹣AD=11﹣5=6（cm）．故答案为：6．【点评】此题主要考查了全 等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．18．如图，AB∥CD，O为∠BAC和∠ACD的平分线的交点，OEAC于点E，且OE=4，则两平行线间的距离为8． 【考点】角平分线的性质；平行线之间的距离． 【分析】过点O作MN，MNAB于M，求出MNCD，则MN的长度是AB和CD之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度是多少，再把它们求和即可．【解答】解：如图，过点O作MN，MNAB于M，交CD于N， AB∥CD，MNCD，AO是∠BAC的平分线，OMAB，OEAC，OE=4，OM=OE=4，CO是∠ACD的平分线，OEAC，ONCD，ON=OE=4，MN=OM+ON=8，即AB与CD之间的距离是8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了角平分线的性质和平行线之间的距离的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．19．如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB=40度． 【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质． 【分析】首先利用∠ACD=110°求得∠ACB与∠BAC的度数，然后利用三角形内角和定理求得∠B的度数，然后利用平行线的性质求得结论即可．【解答】解：AB=BC，∠ACB=∠BAC∠ACD=110°∠ACB=∠BAC=70°∠B=∠40°，AE∥BD，∠EAB=40°，故答案为40．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及平行线的性质，题目相对比较简单，属于基础题．20．化简： =x+2．【考点】分式的加减法． 【专题】计算题．【分析】先转化为同分母（x﹣2）的分式相加减，然后约分即可得解．【解答】解： + = ﹣ = =x+2．故答案为：x+2．【点评】本题考查了分式的加减法，把互为相反数的分母化为同分母是解题的关键．21．已知线段a，b，c，求作ABC，使BC=a，AC=b，AB=c．①以点B为圆心，c为半径圆弧；②连接AB，AC；③作BC=a；④以C点为圆心，b为半径画弧，两弧交于点A．作法的合理顺序是③①④②．【考点】作图—复杂作图． 【专题】作图题．【分析】作ABC，先确定一 边，然后确定第三个顶点．【解答】解：先作BC=a，再以点B为圆心，c为半径圆弧；接着以C点为圆心，b为半径画弧，两弧交于点A，然后连接AB，AC，则ABC为所作．故答案为③①④②．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作 图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．22．分式 的最简公分母为10xy2．【考点】最简公分母． 【分析】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．【解答】解：因为系数的最小公倍数为10，x次幂为1，y的次幂为2，所以最简公分母为10xy2．【点评】此题主要考查了学生的最简公分母的定义即通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．三、解答题：本大题满分54分。23．已知线段a、b．求作等腰三角形ABC，使底边AB=a，底边上的高CD=b．（要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【考点】作图—复杂作图． 【专题】计算题．【分析】（1）作AB=a；（2）作AB的垂直平分线CF，垂足为C；（3）在CF上截取CD=b；（4）连接AD、BD，即可得等腰三角形．【解答】解：如图，ABD即为所求三角形． 【点评】本题考查了复杂作图，要熟悉线段垂直平分线的作法和等腰 三角形的判定和性质．难度不大，要注意不能用刻度尺测量．24．如图，AC、BD相交于点O，AC=BD，AB=CD，求证：∠A=∠D． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．【分析】连接B、C两点，要证∠A=∠D．则证明ABC≌DCB即可，由题中AC=BD，AB=CD，BC是公共边即可得ABC≌DCB，进而的∠A=∠D【解答】证明：连接B、C两点，在ABC和DCB中，AC=BD，AB=CD，BC是公共边，ABC≌DCB，∠A=∠D． 【点评】这一题考查了全等三角形的判定和性质，同学们应灵活掌握．25．如图，AC比AB短2cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，ACD的周长是12cm，求AB和AC的长． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】根据线段垂直平分线性质求出BD=DC，根据三角形周长求出AB+AC=12cm，根据已知得出AC=AB﹣2cm，即可求出答案．【解答】解：BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，BD=DC，ACD的周长是12cm，AD+DC+AC=12cm，AD+BD+AC=AB+AC=12cm，AC比AB短2cm，AC=AB﹣2cm，AC=5cm，AB=7cm．【点评】本题考查了解二元一次方程组，线段垂直平分线性质的应用，能得出关于AB、AC的方程是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．26．（16分）计算：（1） （2）（1+ ） （3） （4） ÷ ．【考点】分式的混合运算． 【分析】（1）先因式分解，再约分即可；（2）先计算括号里面的，再因式分解，再约分即可；（3）先因式分解，再约分，最后算加减即可；（4）先算括号里面的，再因式分解，约分即可；【解答】解：（1）原式= • =2x；（2）原式= • = ；（ 3 ）原式= ﹣ • = ﹣ = = =﹣ ；（4）原式= ÷ = • = ．【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．27．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．【分析】由全等三角形的判定定理SAS证得ABC≌EDB，则对应角相等：∠A=∠E．【解答】证明：如图，BC∥DE，∠ABC=∠BDE．在ABC与EDB中， ABC≌EDB （SAS），∠A=∠E．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．28．如图，ABC为等边三角形，∠1=∠2=∠3．（1）求∠BEC的度数；（2）DEF是等边三角形吗？为什么？ 【考点】等边三角形的判定与性质． 【分析】（1）求∠BEC的度数，可利用180°减去∠BEC的外角进行求解，只要求得∠BEF即可，利用三角形的外角的性质可得答案．（2）根据三个内角都是60度的三角形是等边三角形进行证明．【解答】解：（1）ABC为等边三角形，∠ACB=60°，∠3+∠BCE=60°．∠2=∠3，∠BEF=∠2+∠BCE=60°，∠BEC=180°﹣（∠2+∠BCE）=120°．（2）DEF是等边三角形．理由如下：由（1）知，∠BEC=120°，则∠DEF=60°．同理，∠EFD=∠F DE=60°，DEF是等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形的性质及三角形外角的性质；利用外角的性质得到∠BEF=60°是正确解答本题的关键．29．如图，已知点D为等腰直角ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【专题】证明题；压轴题．【分析】（1）根据等腰直角ABC，求出CD是边AB的垂直平分线，求出CD平分∠ACB，根据三角形的外角性质求出∠BDE=∠CDE=60°即可．（2）连接MC，可得MDC是等边三角形，可求证∠EMC=∠ADC．再证明ADC≌EMC即可．【解答】证明：（1）ABC是等腰直角三角形，∠BAC=∠ABC=45°，∠CAD=∠CBD=15°，∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，∠ABD=∠ABC﹣15°=30°，BD=AD，D在AB的垂直平分线上，AC=BC，C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∠ACD=∠BCD=45°，∠CDE=15°+45°=60°，∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；∠CDE=∠BDE，即DE平分∠BDC．（2）如图，连接MC． DC=DM，且∠MDC=60°，MDC是等边三角形，即CM=CD．∠DMC=∠MDC=60°，∠ADC+∠MDC=180°，∠DMC+∠EMC=180°，∠EMC=∠ADC．又CE=CA，∠DAC=∠CEM．在ADC与EMC中， ，ADC≌EMC（AAS），ME=AD=BD．【点评】此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质的等知识点，难易程度适中，是一道很典型的题目．

与三角形有关的线段篇8

1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质.

2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算.

3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力.

4.能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论.理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法.

二、重点、难点

1.重点：掌握和运用三角形中位线的性质.

2.难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）.

三、例题的意图分析

例1是教材例4，这是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证明后引出概念与性质的方法，它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此教师们在教学中要把握好度.

建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩固三角形中位线的性质，然后再讲例2.

例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可根据学生情况适当的选讲例2.教学中，要把辅助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或教具.

四、课堂引入

1.平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？

2.你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？

（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题.例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题.）

3.创设情境

实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）

图中有几个平行四边形？你是如何判断的？

五、例习题分析

（教材例4） 如图，点D、E、分别为ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=■BC.

分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形.

方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由ADE≌CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形.所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=■DF，所以DE∥BC且DE=■BC.

（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）

方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形.所以AD∥FC，且AD=FC.因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC.所以四边形ADCF是平行四边形.所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC.

定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

【思考】：

（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？

（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？

（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同.中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线. （2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半.）

与三角形有关的线段篇9

一 平行四边形的基本性质

欧几里得虽未给出平行四边形的定义，但在他的《原本》第一卷的第22个定义中，给出了正方形、菱形和长方形等图形的定义：

在四边形中，四边相等且四个角是直角者称为正方形；角是直角，但四边不全相等者称为长方形；四边相等，但角不是直角者称为菱形；对角相等且对边亦相等，但边不全等且角不是直角者称为斜方形；其余四边形均为不规则四边形.

关于平行四边形的性质，欧几里得在《原本》第一卷中给出了.

命题34 在平行四边形中，对边相等，对角相等，且对角线二等分其图形.

此命题为平行四边形的性质定理，对角线二等分平行四边形，可利用全等三角形证得，该性质也说明了平行四边形是中心对称图形.

命题35 同底且在相同两平行线之间的平行四边形彼此相等.

命题36 等底且在相同两平行线之间的平行四边形彼此相等.

命题35（如图1）和命题36（如图2）是一对姊妹命题，两个命题的差别仅仅是一个字：“同”还是“等”.这里的“相等”，指的是面积.而依据命题35，容易推出命题36.

二 三角形和平行四边形

同学们都知道，两个全等三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的面积是与其等底等高的三角形的面积的2倍，如何作一个平行四边形，使其面积等于已知三角形的面积呢？欧几里得给出了一种作法.

命题41 若一个平行四边形和一个三角形既同底又在两平行线之间，则平行四边形的面积是该三角形的面积的2倍，

比如，对于一个三角形，可先作其一条中线，得到一个三角形BCE，其面积为原三角形的一半.如图3，平行四边形ABCD和BCE满足命题41的条件.于是平行四边形ABCD的面积与原三角形的面积相等，

命题42 以已知直线角求作平行四边形，使其（面积）等于已知三角形（面积）.

这个命题进一步沟通了平行四边形和三角形之间的联系.所作平行四边形的一个内角等于已知的直线角，其面积等于已知的三角形的面积，

命题41和命题42可谓相辅相成.前者是把平行四边形分解为三角形；后者是把三角形转化为面积相等的平行四边形，且在某内角确定时是唯一的.

命题43 在任意的平行四边形中，对角线两边的平行四边形补形彼此（面积）相等.

如图4，若AC为平行四边形ABCD的对角线，则其所谓平行四边形补形为平行四边形BGKE和平行四边形KFDH.利用ABC相似于CDA，AEK相似于KHA，KGC相似于CFK可以证明之，

三 矩形和正方形

《原本》的第二卷主要讨论了矩形和正方形的关系（书中矩形与长方形的意义不尽相同），其中多数命题可以用现代代数符号来解释.第二卷从矩形定义开始：任何矩形都是由形成直角的两条线段构成的.

但这一定义并未说明矩形面积等于其长和宽的乘积，因为欧几里得当时还未能给出长度的乘法的定义.事实上，他从未把长和宽相乘，

命题1 如果有两条线段，其中一条被截成任意几小段，则原来两条线段的矩形（面积）等于各个小段和未截的那条线段构成的矩形（面积）之和，

如图5，假设已知Z和BC是两条线段，用点D，E分线段BC，则ι，BC所构成的矩形的面积等于那几个小矩形的面积之和，若三个小线段的长分别记为a，b，c，则由乘法分配律得：ι（a+b+c）=ιa+ιb+ιc.

命题4若任意两分一条线段，则在整条线段上的正方形（面积）等于各个小段上的正方形（面积）之和加上由两小线段所构成的矩形（面积）的2倍.

如图6，假设点C任意两分线段AB，则可证以AB为边的正方形的面积等于以AC和BC为边的正方形的面积再加上以AC和BC为边的长方形的面积的2倍.这一命题可表示为：（a+b）2=a?+b?+2ab.

与三角形有关的线段篇10

一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（）　 A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根　 C． 没有实数根 D． 无法确定是否有实数根　2．在RtABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（）　 A． B． C． D． 　3．若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（） 　 A． 长方体 B． 正方体 C． 圆柱 D． 圆锥　4．小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（） 　 A． B． C． D． 　5．如图，ABC和A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（） 　 A． 1 B． 2 C． 4 D． 8　6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（）　 A． y1＜0＜y2 B． y2＜0＜y1 C． y1＜y2＜0 D． y2＜y1＜0　7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，ODAC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EFAB于F．若AC=2，则OF的长为（） 　 A． B． C． 1 D． 2　8．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EFBD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（） 　 A． 线段EF B． 线段DE C． 线段CE D． 线段BE二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为cm2．（结果保留π） 　10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m．　11．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为． 　12．对于正整数n，定义F（n）= ，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F（6）=62=36，F（123）=f（123）=12+32=10．规定F1（n）=F（n），Fk+1（n）=F（Fk（n））．例如：F1（123）=F（123）=10，F2（123）=F（F1（123））=F（10）=1．（1）求：F2（4）=，F2015（4）=；（2）若F3m（4）=89，则正整数m的最小值是．三、解答题（共13小题，满分72分）13．计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（ ）﹣1．　14．如图，ABC中，AB=AC，D是BC中点，BEAC于E，求证：ACD∽BCE． 　15．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式 的值．　16．抛物线y=2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后的抛物线的表达式．　17．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，ACx轴于点C，连接BC．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数y= 图象上的一点，且满足OPC与ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 　18．如图，ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值． 　19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x2＜0，且 ＞﹣1，求整数m的值．　20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）； 质量档次 1 2 … x … 10 日产量（件） 95 90 … 100﹣5x … 50 单件利润（万元） 6 8 … 2x+4 … 24为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的值．　21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在O上，AD与O相切，射线AO交BC于点E，交O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．（1）求证：直线PC是O的切线；（2）若AB= ，AD=2，求线段PC的长． 　22．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CDAB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AECD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC=；tan∠AOD=； 解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=．　23．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．（1）求代数式mn的值；（2）若二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；（3）若反比例函数y= 的图象与二次函数y=a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．　24．如图1，在ABC中，BC=4，以线段AB为边作ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）． 　25．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的值为m，|y1﹣y2|的值为n，则S=mn为图形W的测度面积．例如，若图形W是半径为1的O，当P，Q分别是O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得值，且值m=2；当P，Q分别是O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得值，且值n=2．则图形W的测度面积S=mn=4（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=；②如图4，当ABx轴时，它的测度面积S=；（2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的值为；（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．　一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（）　 A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根　 C． 没有实数根 D． 无法确定是否有实数根考点： 根的判别式． 分析： 求出b2﹣4ac的值，再进行判断即可．解答： 解：x2﹣3x﹣5=0，=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）=29＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故选A．点评： 本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．　2．在RtABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（）　 A． B． C． D． 考点： 锐角三角函数的定义． 分析： 直接根据三角函数的定义求解即可．解答： 解：RtABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，sinA= = ．故选A． 点评： 此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA=∠A的对边：斜边=a：c．　3．若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（） 　 A． 长方体 B． 正方体 C． 圆柱 D． 圆锥考点： 由三视图判断几何体． 分析： 由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．解答： 解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故选：D．点评： 本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．　4．小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（） 　 A． B． C． D． 考点： 概率公式． 分析： 由六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答： 解：六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，抽到的座位号是偶数的概率是： = ．故选C．点评： 此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　5．如图，ABC和A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（） 　 A． 1 B． 2 C． 4 D． 8考点： 位似变换． 专题： 计算题．分析： 根据位似变换的性质得到 = ，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到 = ，所以 = ，然后把OC1= OC，AB=4代入计算即可．解答： 解：C1为OC的中点，OC1= OC，ABC和A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形， = ，B1C1∥BC， = ， = ，即 = A1B1=2．故选B．点评： 本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．　6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（）　 A． y1＜0＜y2 B． y2＜0＜y1 C． y1＜y2＜0 D． y2＜y1＜0考点： 反比例函数图象上点的坐标特征． 专题： 计算题．分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=﹣ ，y2=﹣ ，然后利用x1＜0＜x2即可得到y1与y2的大小．解答： 解：A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，y1=﹣ ，y2=﹣ ，x1＜0＜x2，y2＜0＜y1．故选B．点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．　7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，ODAC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EFAB于F．若AC=2，则OF的长为（） 　 A． B． C． 1 D． 2考点： 垂径定理；全等三角形的判定与性质． 分析： 根据垂径定理求出AD，证ADO≌OFE，推出OF=AD，即可求出答案．解答： 解：ODAC，AC=2，AD=CD=1，ODAC，EFAB，∠ADO=∠OFE=90°，OE∥AC，∠DOE=∠ADO=90°，∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，∠DAO=∠EOF，在ADO和OFE中， ，ADO≌OFE（AAS），OF=AD=1，故选C．点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出ADO≌OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．　8．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EFBD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（） 　 A． 线段EF B． 线段DE C． 线段CE D． 线段BE考点： 动点问题的函数图象． 分析： 作BNAC，垂足为N，FMAC，垂足为M，DGAC，垂足为G，分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论．解答： 解：作BNAC，垂足为N，FMAC，垂足为M，DGAC，垂足为G． 由垂线段最短可知：当点E与点M重合时，即AE＜ 时，FE有最小值，与函数图象不符，故A错误；由垂线段最短可知：当点E与点G重合时，即AEd＞ 时，DE有最小值，故B正确；CE=AC﹣AE，CE随着AE的增大而减小，故C错误；由垂线段最短可知：当点E与点N重合时，即AE＜ 时，BE有最小值，与函数图象不符，故D错误；故选：B．点评： 本题主要考查的是动点问题的函数图象，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键．　二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为　3π　cm2．（结果保留π） 考点： 扇形面积的计算． 专题： 压轴题．分析： 知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出．解答： 解：由S= 知S= × π×32=3πcm2．点评： 本题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式S= ．　10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为　24　m．考点： 相似三角形的应用． 分析： 根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．解答： 解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得， = ，解得x=24，即这栋建筑物的高度为24m．故答案为：24．点评： 本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键．　11．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为　x1=﹣2，x2=1　． 考点： 二次函数的性质． 专题： 数形结合．分析： 根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组 的解为 ， ，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解．解答： 解：抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），方程组 的解为 ， ，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．故答案为x1=﹣2，x2=1．点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x=﹣ ．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．　12．对于正整数n，定义F（n）= ，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F（6）=62=36，F（123）=f（123）=12+32=10．规定F1（n）=F（n），Fk+1（n）=F（Fk（n））．例如：F1（123）=F（123）=10，F2（123）=F（F1（123））=F（10）=1．（1）求：F2（4）=　37　，F2015（4）=　26　；（2）若F3m（4）=89，则正整数m的最小值是　6　．考点： 规律型：数字的变化类． 专题： 新定义．分析： 通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一个循环，根据这些规律计算即可．解答： 解：（1）F2（4）=F（F1（4））=F（16）=12+62=37；F1（4）=F（4）=16，F2（4）=37，F3（4）=58，F4（4）=89，F5（4）=145，F6（4）=26，F7（4）=40，F8（4）=16，通过观察发现，这些数字7个一个循环，2015是7的287倍余6，因此F2015（4）=26；（2）由（1）知，这些数字7个一个循环，F4（4）=89=F18（4），因此3m=18，所以m=6．故答案为：（1）37，26；（2）6．点评： 本题属于数字变化类的规律探究题，通过观察前几个数据可以得出规律，熟练找出变化规律是解题的关键．　三、解答题（共13小题，满分72分）13．计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（ ）﹣1．考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题．分析： 原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可．解答： 解：原式=﹣1+ ﹣1+2= ．点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　14．如图，ABC中，AB=AC，D是BC中点，BEAC于E，求证：ACD∽BCE． 考点： 相似三角形的判定． 专题： 证明题．分析： 根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到ADBC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．解答： 证明：AB=AC，D是BC中点，ADBC，∠ADC=90°，BEAC，∠BEC=90°，∠ADC=∠BEC，而∠ACD=∠BCE，ACD∽BCE．点评： 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质．　15．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式 的值．考点： 一元二次方程的解． 专题： 计算题．分析： 把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2=3m代入计算即可求出值．解答： 解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，则原式= = =3．点评： 此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　16．抛物线y=2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后的抛物线的表达式．考点： 二次函数图象与几何变换． 专题： 计算题．分析： 由于抛物线平移前后二次项系数不变，则可设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，然后把点A和点B的坐标代入得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可得到平移后的抛物线的表达式．解答： 解：设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，把点A（0，3），B（2，3）分别代入得 ，解得 ，所以平移后的抛物线的表达式为y=2x2﹣4x+3．点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．　17．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，ACx轴于点C，连接BC．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数y= 图象上的一点，且满足OPC与ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 分析： （1）把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；（2）由条件可求得B、C的坐标，可先求得ABC的面积，再结合OPC与ABC的面积相等求得P点坐标．解答： 解：（1）把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，点A坐标为（2，4），点A在反比例函数y= 的图象上，k=2×4=8，反比例函数的解析式为y= ；（2）ACOC，OC=2，A、B关于原点对称，B点坐标为（﹣2，﹣4），B到OC的距离为4，SABC=2SACO=2× ×2×4=8，SOPC=8，设P点坐标为（x， ），则P到OC的距离为| |， ×| |×2=8，解得x=1或﹣1，P点坐标为（1，8）或（﹣1，﹣8）．点评： 本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在（1）中求得A点坐标、在（2）中求得P点到OC的距离是解题的关键．　18．如图，ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值． 考点： 解直角三角形；勾股定理． 专题： 计算题．分析： （1）在ABC中根据正弦的定义得到sinA= = ，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD= AB=5；（2）在RtABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到SBDC=SADC，则SBDC= SABC，即 CD•BE= • AC•BC，于是可计算出BE= ，然后在RtBDE中利用余弦的定义求解．解答： 解：（1）在ABC中，∠ACB=90°，sinA= = ，而BC=8，AB=10，D是AB中点，CD= AB=5；（2）在RtABC中，AB=10，BC=8，AC= =6，D是AB中点，BD=5，SBDC=SADC，SBDC= SABC，即 CD•BE= • AC•BC，BE= = ，在RtBDE中，cos∠DBE= = = ，即cos∠ABE的值为 ．点评： 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．　19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x2＜0，且 ＞﹣1，求整数m的值．考点： 根的判别式；根与系数的关系． 专题： 计算题．分析： （1）由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可；（2）利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出m的范围，找出整数m的值即可．解答： 解：（1）由已知得：m≠0且=（m+2）2﹣8m=（m﹣2）2＞0，则m的范围为m≠0且m≠2；（2）方程解得：x= ，即x=1或x= ，x2＜0，x2= ＜0，即m＜0， ＞﹣1， ＞﹣1，即m＞﹣2，m≠0且m≠2，﹣2＜m＜0，m为整数，m=﹣1．点评： 此题考查了根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0．　20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）； 质量档次 1 2 … x … 10 日产量（件） 95 90 … 100﹣5x … 50 单件利润（万元） 6 8 … 2x+4 … 24为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的值．考点： 二次函数的应用． 分析： （1）根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；（2）由（1）的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论．解答： 解：（1）由题意，得y=（100﹣5x）（2x+4），y=﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整数）；答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；（2）y=﹣10x2+180x+400，y=﹣10（x﹣9）2+1210．1≤x≤10的整数，x=9时，y=1210．答：工厂为获得利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的值为1210万元．点评： 本题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．　21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在O上，AD与O相切，射线AO交BC于点E，交O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．（1）求证：直线PC是O的切线；（2）若AB= ，AD=2，求线段PC的长． 考点： 切线的判定；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）首先连接OC，由AD与O相切，可得FAAD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是 的中点，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，继而证得直线PC是O的切线；（2）首先由勾股定理可求得AE的长，然后设O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r，则可求得半径长，易得OCE∽CPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段PC的长．解答： （1）证明：连接OC．AD与O相切于点A，FAAD．四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，FABC．FA经过圆心O，F是 的中点，BE=CE，∠OEC=90°，∠COF=2∠BAF．∠PCB=2∠BAF，∠PCB=∠COF．∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，∠OCE+∠PCB=90°．OCPC．点C在O上，直线PC是O的切线．（2）解：四边形ABCD是平行四边形，BC=AD=2．BE=CE=1．在RtABE中，∠AEB=90°，AB= ， ．设O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r．在RtOCE中，∠OEC=90°，OC2=OE2+CE2．r2=（3﹣r）2+1．解得 ，∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°．OCE∽CPE， ． ． ． 点评： 此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．　22．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CDAB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AECD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC=　 　；tan∠AOD=　5　； 解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=　 　．考点： 相似形综合题． 分析： （1）用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；（2）连接AC、DB、AD、DE．由ACO∽DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在RtAFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；（3）如图，连接AE、BF，则AF= ，AB= ，由AOE∽BOF，可以求出AO= ，在RtAOF中，可以求出OF= ，故可求得tan∠AOD．解答： 解：（1）如图所示： 线段CD即为所求．（2）如图2所示连接AC、DB、AD． AD=DE=2，AE=2 ．CDAE，DF=AF= ．AC∥BD，ACO∽DBO．CO：DO=2：3．CO= ．DO= ．OF= ．tan∠AOD= ．（3）如图3所示： 根据图形可知：BF=2，AE=5．由勾股定理可知：AF= = ，AB= = ．FB∥AE，AOE∽BOF．AO：OB=AE：FB=5：2．AO= ．在RtAOF中，OF= = ．tan∠AOD= ．点评： 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键．　23．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．（1）求代数式mn的值；（2）若二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；（3）若反比例函数y= 的图象与二次函数y=a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．考点： 反比例函数综合题；代数式求值；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的性质． 专题： 综合题；数形结合；分类讨论．分析： （1）只需将点A、B的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题；（2）将点B的坐标代入y=（x﹣1）2得到n=m2﹣2m+1，先将代数式变形为mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n，然后只需将m2﹣2m+1用n代替，即可解决问题；（3）可先求出直线y=x与反比例函数y= 交点C和D的坐标，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过点D或C时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质（|a|越大，抛物线的开口越小）就可解决问题．解答： 解：（1）反比例函数y= 的图象经过点A（1，4）、B（m，n），k=mn=1×4=4，即代数式mn的值为4；（2）二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，n=（m﹣1）2=m2﹣2m+1，m3n﹣2m2n+3mn﹣4n=m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n=mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n=4n+2×4﹣4n=8，即代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值为8；（3）设直线y=x与反比例函数y= 交点分别为C、D，解 ，得： 或 ，点C（﹣2，﹣2），点D（2，2）．①若a＞0，如图1， 当抛物线y=a（x﹣1）2经过点D时，有a（2﹣1）2=2，解得：a=2．|a|越大，抛物线y=a（x﹣1）2的开口越小，结合图象可得：满足条件的a的范围是0＜a＜2；②若a＜0，如图2， 当抛物线y=a（x﹣1）2经过点C时，有a（﹣2﹣1）2=﹣2，解得：a=﹣ ．|a|越大，抛物线y=a（x﹣1）2的开口越小，结合图象可得：满足条件的a的范围是a＜﹣ ．综上所述：满足条件的a的范围是0＜a＜2或a＜﹣ ．点评： 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类讨论的思想进行了考查，运用整体思想是解决第（2）小题的关键，考虑临界位置并运用数形结合及分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．　24．如图1，在ABC中，BC=4，以线段AB为边作ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．考点： 几何变换综合题． 分析： （1）根据等腰直角三角形的性质得出即可；（2）①设DE与BC相交于点H，连接 AE，交BC于点G，根据SAS推出ADE≌BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，∠AED=∠BCD．求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可；②过E作EMAF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FME= ，AM=FM，解直角三角形求出FM即可．解答： 解：（1）AD+DE=4，理由是：如图1， ∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，AD+DE=BC=4；（2）①补全图形，如图2， 设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，∠ADB=∠CDE=90°，∠ADE=∠BDC，在ADE与BDC中， ，ADE≌BDC，AE=BC，∠AED=∠BCD．DE与BC相交于点H，∠GHE=∠DHC，∠EGH=∠EDC=90°，线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，EF=CB=4，EF∥CB，AE=EF，CB∥EF，∠AEF=∠EGH=90°，AE=EF，∠AEF=90°，∠AFE=45°，AF= =4 ；②如图2，过E作EMAF于M，由①知：AE=EF=BC，∠AEM=∠FME= ，AM=FM，AF=2FM=EF×sin =8sin ．点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．　25．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的值为m，|y1﹣y2|的值为n，则S=mn为图形W的测度面积．例如，若图形W是半径为1的O，当P，Q分别是O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得值，且值m=2；当P，Q分别是O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得值，且值n=2．则图形W的测度面积S=mn=4（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=　1　；②如图4，当ABx轴时，它的测度面积S=　1　；（2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的值为　2　；（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围． 考点： 圆的综合题． 分析： （1）由测度面积的定义利用它的测度面积S=|OA|•|OB|求解即可；②利用等腰直角三角形的性质求出AC，AB，利用测度面积S=|AB|•|OC|求解即可；（2）先确定正方形有测度面积S时的图形，即可利用测度面积S=|AC|•|BD|求解．（3）分两种情况当A，B或B，C都在x轴上时，当顶点A，C都不在x轴上时分别求解即可．解答： 解：（1）①如图3， OA=OB=1，点A，B在坐标轴上，它的测度面积S=|OA|•|OB|=1，故答案为：1．②如图4， ABx轴，OA=OB=1．AB= ，OC= ，它的测度面积S=|AB|•|OC|= × =1，故答案为：1．（2）如图5，图形的测度面积S的值， 四边形ABCD是边长为1的正方形．它的测度面积S=|AC|•|BD|= × =2，故答案为：2．（3）设矩形ABCD的边AB=4，BC=3，由已知可得，平移图形W不会改变其测度面积的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上，当A，B或B，C都在x轴上时，如图6，图7， 矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S=12．当顶点A，C都不在x轴上时，如图8，过点A作直线AHx轴于点E，过C点作CFx轴于点F，过点D作直线GH∥x轴，分别交AE，CF于点H，G，则可得四边形EFGH是矩形， 当点P，Q与点A，C重合时，|x1﹣x2|的值为m=EF，|y1﹣y2|的值为n=GF．图形W的测度面积S=EF•GF，∠ABC+∠CBF=90°，∠ABC+∠BAE=90°，∠CBF=∠BAE，∠AEB=∠BFC=90°，AEB∽BFC， = = = ，设AE=4a，EB=4b，（a＞0，b＞0），则BF=3a，FC=3b，在RTAEB中，AE2+BE2=AB2，16a2+16b2=16，即a2+b2=1，b＞0，b= ，在ABE和CDG中， ABE≌CDG（AAS）CG=AE=4a，EF=EB+BF=4b+3a，GF=FC+CG=3b+4a，图形W的测度面积S=EF•GF=（4b+3a）（3b+4a）=12a2+12b2+25a =12+25 =12+25 ，当a2= 时，即a= 时，测度面积S取得值12+25× = ，a＞0，b＞0， ＞0，S＞12，综上所述：测度面积S的取值范围为12≤S≤ ．点评： 本题主要考查了阅读材料题，涉及新定义，三角形相似，三角形全等的判定与性质，勾股定理及矩形，正方形等知识，解题的关键是正确的确定矩形|x1﹣x2|的值，|y1﹣y2|的值．