等差数列数学教案

目的：1.要求学生掌握等差数列的概念

2.等差数列的通项公式，并能用来解决有关问题。

重点：1.要证明数列{an}为等差数列，只要证明an+1-an等于常数即可(这里n≥1,且n∈N*)

2.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d(n≥1,且n∈N*).

3.等到差中项：若a、A、b成等差数列，则A叫做a、b的等差中项，且难点：等差数列“等差”的特点。公差是每一项(从第2项起)与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。

等差数列通项公式的含义。等差数列的通项公式由它的首项和公差所完全确定。换句话说，等差数列的首项和公差已知，那么，这个等差数列就确定了。

过程：

一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，……

3，0，-3，-6，……

，，，，……

12，9，6，3，……

特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数—“等差”

二、得出等差数列的定义：(见P115)

注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。

1.名称：AP首项公差2.若则该数列为常数列

3.寻求等差数列的通项公式：

由此归纳为当时(成立)

注意:1°等差数列的通项公式是关于的一次函数

2°如果通项公式是关于的一次函数，则该数列成AP

证明：若它是以为首项，为公差的AP。

3°公式中若则数列递增，则数列递减

4°图象：一条直线上的一群孤立点

三、例题：注意在中，，，四数中已知三个可以

求出另一个。

例1(P115例一)

例2(P116例二)注意：该题用方程组求参数

例3(P116例三)此题可以看成应用题

四、关于等差中项：如果成AP则证明：设公差为，则∴例4《教学与测试》P77例一：在-1与7之间顺次插入三个数使这五个数成AP，求此数列。

解一：∵∴是-1与7的等差中项

∴又是-1与3的等差中项

∴又是1与7的等差中项∴解二：设∴∴所求的数列为-1，1，3，5，7

五、判断一个数列是否成等差数列的常用方法

1.定义法：即证明例5、已知数列的前项和，求证数列成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。

解：

当时时亦满足∴首项∴成AP且公差为6

2.中项法：即利用中项公式，若则成AP。

例6已知，，成AP，求证，，也成AP。

证明：∵，，成AP

∴化简得：

=∴，，也成AP

3.通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于的一次函数这一性质。

例7设数列其前项和，问这个数列成AP吗?

解：时时∵∴∴数列不成AP但从第2项起成AP。

五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项、等差数列的证明方法

六、作业：P118习题3.21-9

七、练习：

1.已知等差数列{an}，(1)an=2n+3,求a1和d(2)a5=20,a20=-35,写出数列的通项公式及a100.

2.在数列{an}中，an=3n-1，试用定义证明{an}是等差数列，并求出其公差。

注：不能只计算a2-a1、、a3-a2、a4-a3、等几项等于常数就下结论为等差数列。

3.在1和101中间插入三个数，使它们和这两个数组成等差数列，求插入的三个数。

4.在两个等差数列2，5，8，…与2，7，12，…中，求1到200内相同项的个数。

分析：本题可采用两种方法来解。

(1)用不定方程的求解方法来解。关键要从两个不同的等差数列出发，根据

相同项，建立等式，结合整除性，寻找出相同项的通项。

(2)用等差数列的性质来求解。关键要抓住：两个等差数列的相同项按原来的前后次序仍组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。

5.在数列{an}中,a1=1,an=,(n≥2),其中Sn=a1+a2+…+an.证明数列是等

差数列，并求Sn。

分析：只要证明(n≥2)为一个常数，只需将递推公式中的an转化

为Sn-Sn-1后再变形，便可达到目的。

6.已知数列{an}中，an-an-1=2(n≥2),且a1=1，则这个数列的第10项为()

A18B19C20D21

7.已知等差数列{an}的前三项为a-1,a+1,2a+3,则此数列的公式为()

A2n-5B2n+1C2n-3D2n-1

8.已知m、p为常数，设命题甲：a、b、c成等差数列;命题乙：ma+p、mb+p、mc+p

成等差数列，那么甲是乙的()

A充分而不必要条件B必要而不充分条件

C充要条件D既不必要也不充分条件

9.(1)若等差数列{an}满足a5=b,a10=c(b≠c),则a15=

(2)首项为-12的等差数列从第8项开始为正数，则公差d的取值范围是

(3)在正整数100至500之间能被11整除的整数的个数是

10.已知a5=11,a8=5,求等差数列{an}的通项公式。

11.设数列{an}的前n项Sn=n2+2n+4(n∈N*)

(1)写出这个数列的前三项a1,a2,a3;

(2)证明：除去首项后所成的数列a2,a3,a4…是等差数列。

12.已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个共同的项?

13.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a≠b)的4个根可以组成首项为的等到差数列，求a+b的值。