投影几何范文10篇

投影几何范文篇1

利玛窦1583年9月10日来到中国大陆，之后，为了吸引民众宣扬其基督教，他给国人公开展示了多种从西方带来的物件，如地图、星盘、日晷、圣母像、三棱镜等。关于地图，是其最早展示的一种物件。第一次展出是在1584年4月仙花寺建成之后，在其新教堂里。这次展示的地图现在有人进行了考证，证明其是于1546年在罗马刊行又于1570年被奥特里斯（AbrahamOrtelius）仿造的一幅，是当时欧洲比较流行的一种〔1〕。这幅地图后来被当时的知俯王泮看到了，他对于此图的精美感到非常震惊，遂令利玛窦翻刻。利玛窦将原来的地图稍进行了改造，将中国由边缘地带转移到了地图的中心，于1584年11月翻刻并印制成功，这就是有名的“山海舆地图”。之后不久，也就是同年同月的30日，利玛窦向罗马耶稣会总监回报了这幅地图，他说：“西式绘制，用华名、华里、华辰计算的世界地图一幅，这图是肇庆长官授命利玛窦编制的，刚完成，便命去刊印了。”〔2〕由这两处文献，我们可知利玛窦带来了在当时西方流行的椭圆投影。

关于地图的绘制，中国古代一直采用的是“计里画方”的方法，从未使用过球形投影，这可能与中国古代一直以为的“天圆地方”有直接关系。而欧洲就不一样了。从古希腊时期，人们就意识到了大地是球形的，绘制地图的时候为了准确起见，最好采用球形投影。西方人绘制地图最早多采用公元二世纪托勒玫给出的球极投影或是圆锥投影，到了文艺复兴时期，随着人们航海的需要和视野的开阔，此方法逐渐改进，出现了极球投影、赤道球面投影、水平面投影、墨卡托圆柱投影等。1528年彭德尼（BenedetooBordone，1460-1539）发明了椭圆投影，引起了很大的反响，因为这种投影既美观、大方又不失准确性。由此，在绘制世界地图的时候广泛被人模仿。1570年奥特里斯绘制的世界地图Typusorbisterrarum，正是采用了这种投影――这还被认为是最有艺术性的样例〔3〕。利玛窦的“山海舆地图”既然是根据奥特里斯的世界地图绘制的，那么，其采用的也应当是椭圆投影。此外，这一结果也可以利用其它的资料来印证。1602年利玛窦在北京协助李之藻绘制了“坤舆万国全图”。此图流传很广，至今还能看到〔4〕。笔者对其保留在南京的一幅的投影进行了细致的测算，发现其确系采用的是椭圆投影。

在利玛窦的中国札记中除了地图，提到比较多的还有星盘。星盘是利玛窦来到中国大陆后进行计时和天文测量的主要工具，因而其时时携带着它，也经常向他周围的人展示。周围的人对其感到非常好奇，为此利玛窦还曾经亲自制作过它当做礼品送给一些高官，如赵可怀等。1607年在北京，利玛窦和李之藻还就此写成了一本书《浑盖通宪图说》。由这，我们可知道利玛窦也带来了西方的球极投影。

星盘是古希腊时期产生的一种天文仪器。据说其创始人是公元二世纪的托勒玫，因为在托勒玫的书中曾有类似的描述，并且托勒玫明确给出了制作星盘的数学基础——球极投影。星盘在中世纪传入伊斯兰世界。伊斯兰人为了准确的掌握祈祷的方位和时间，制作了大量的精美的星盘，从而将这种工具完好的保留到了文艺复兴时期。文艺复兴时期，航海探险之风盛行，因而作为能在晚间也能计时和确定方位的星盘又一次受到广泛的重视。人们不仅给它增加了很多附件，使其能在不同的地区也可以准确的使用，而且还在托勒玫给出的球极投影基础上给它建立了数学体系，使之成了一种满载数学理论的计算工具。因此，星盘在文艺复兴时期被称为是“数学之宝”〔5〕。利玛窦在中国使用的那副星盘，据裴化行考证正是从欧洲带来的，平面式，它的设计者还是利玛窦在罗马学院时期的老师，当时欧洲著名的数学家和天文学家也是星盘专家克拉维乌斯神父。他说：“克拉维乌斯神父设计的星盘是‘平面回盘’(planisphsere，即步天规)，即在一个圆盘圆周上刻有度数，并装有一个可以旋转的照准仪，这样就能观察天空的不同位置。克拉维乌斯的步天规的最大特点是蛛网式的，即通过盘中各种曲线，指示出天球投影在赤道平面上的纬度。这样既有一般星盘的作用，又有浑仪的功用”〔6〕。所以，利玛窦也从欧洲带来了球极投影无疑。

对于《浑盖通宪图说》，其实际上是克拉维乌斯于1593年出版的专门讨论星盘中数学原理的《论星盘》节译本〔7〕。这本书中包含了大量的球极投影的知识。不仅球极投影原理，即如何进行投影的说法，而且还有众多球极投影性质。如“球形投影下，球面上平行于投影面（赤道面）的圆都是同心圆，不过距离南极近的圆投影较大，距离北极近的圆投影较小。”如“球形投影下，球面上不平行于投影面（赤道面）的圆的投影也都是圆。”“球形投影下，球面上的弧线的投影仍是弧线，点和曲线的结合关系不变。”“球形投影下，球面上等距平行于投影面的圆的投影不距等，靠近南极的两个圆的投影的距离大于靠近北极的两个圆的投影的距离。”“球形投影下，在球面上相交的两个圆，它们的投影也相交。”等。不仅有投影的性质，而且还有投影的具体做法，如天顶规的做法是：“既得天顶，则自天顶以对地心有一规，总为天顶规。此规上下过天地之中，东西交赤道卯酉之中。辩方正位，于是乎取其法自赤道规，酉中起数地方赤道出地度，或自子中起数北极出地之度，其法皆同，但数一处刻界。自酉中按界作弦长出，求其交子中线处，即是地下对对顶中际。从此上望天顶，折半求中以是为枢，旋而规之则成天顶规。”如地平规渐升圈的做法是：“凡求（地平规）渐升度，以前图南北极轴线为界，去界北不用，自界而南，以半规均分百八十度或兼二度，则分作九十兼五度，则分作三十六中定赤道轴线以求天顶，次自北极左行第一度望酉中画一弦，又自南极右行第一度望酉中画一弦。二弦皆过盘中子午线，而取子午线上所得之界，上下折半为枢，旋规是为渐升第一规，当为出地之第一度。余自二度至九十度亦如之。”另外，还给出了这些做法的原理：“原所以取赤道卯酉为准者，盖赤道纮天地之中，卯酉又分赤道之中，借卯酉以为地心，因望地心以求天顶。仪体虽平，其用则圆，而其经纬从衡之秒全在赤道一规。平视之而分子午卯酉，侧视之而寄南北二极。二极结子午之正，寄二极于赤道者，借赤道之规为子午规者也。后凡地盘度皆自赤道为准。”〔8〕由此看出，利玛窦还将大量的球极投影理论知识也传入了中国。

在利玛窦给国人展示的物品中，也多次提到西方绘画，如圣母像、耶稣像等。这些绘画，有的是从印度、澳门、日本等外面经教友转来的，也有是利玛窦自己绘制的。如1602年利玛窦奉中国皇帝的命令，耗时两三天绘制成的“西方宫廷生活图”是一幅〔9〕，还有利玛窦晚年绘制的“野墅平林图”也是一幅〔10〕。利玛窦采用的什么方法画这些画呢？虽没有文字记录，但可以从其它地方找到证据。从现存于辽宁省博物馆的“野墅平林图”中我们可以看出，其不是中国式的写意画法――虽然入画内容是山水。其远近分明，明暗比例协调，灭点固定，视野开阔，显然是采用了西方透视画法。还有，利玛窦在1601年将圣母像献给皇帝之前，曾给很多人展示过，在展示的时候，还对比中国画进行了讲解，他曾说：“中国画但画阳不画阴，故看之人面躯正平，无凹凸相，吾国之画兼阴与阳写之，故面有高下，而手臂皆轮圆耳。凡人之面正迎阳，则明而白，若则立，则向明一边者白，其不向明一边者眼耳鼻口凹处，皆有暗相。吾国之写像者，解此法用之，故能使画像与生人亡异也。”〔11〕在《译几何原本引》中他又曾说：“察目视势，以远近正邪高下之差，照物状可画立圆、立方之度数于平版之上，可远测物度及真形。画小，使目视大，画近，使目视远，画圆，视目视球，画像，有坳凸，画室，有明暗也。”〔12〕还有，在利玛窦学习过的罗马学院的课程表中明确标有：透视学，学习三个月。〔13〕由此，利玛窦懂得当时在欧洲兴起的透视画法，了解其中的数学投影原理，也将它们带到了中国。

此外还有日晷。在利玛窦日常活动中，也曾多次提到过日晷。如在肇庆他曾指导瞿太素制造日晷，在南京曾辅导张养默制造日晷等。日晷作为一种古老的利用太阳来计时的仪器，东西方都有，但各有所长。东方的多是赤道日晷，没有投影理论在里面。而西方的多是地平日晷，其以西方古代天文学基本构架为基础，大量地使用了球面投影理论和方法。西方绘制日晷的方法叫做“Analemma法”。关于这种方法，古希腊有两部书进行了介绍，一部是公元前一世纪亚历山大里亚的狄奥多努斯（Diodorus）写的，另一本是公元二世纪的天文学家托勒玫写的，书目都叫Analemma。狄奥多努斯的书已失传。现根据托勒玫的书我们可以知道这种方法实际上是一种球面平行正投影，借助这种投影可以将赤道坐标很容易的换算成黄道坐标，反之依然。〔14〕利玛窦带来的日晷不同于中国式的，通过其对日晷的描述我们可考证一定是地平日晷〔15〕。另外，在“坤舆万国全图”的一个小图下面他还曾提到Analemma，他说：“右图乃黃赤二道错行中气之界限也。凡算太阳出入皆准此。其法以中橫线为地平，直线为天頂，中圈为地体，外大圈为周天。以周天分三百六十度。假如是图在京师地方，北极出地平线上四十度，则赤道离天顶南亦四十度矣。然后自赤道数起，南北各以二十三度半为界，最南为冬至，最北为夏至。凡太阳所行不出此界之外，既定冬、夏至界，即可求十二宮之中气。先从冬夏二至界相望画一线，次于线中十字处为心，尽边各作一小圈，名黃道圈。圈上勻分二十四分，两两相对作虚线，各识于周天圈上。在赤道上者，即春秋分；次北曰穀雨、处暑，曰小满、大暑，曰夏至；次南曰霜降、雨水，曰小雪、大寒，曰冬至。因图小，止载中气，其余节气倣此。就中再勻分一倍，即得之矣。而其日影之射于地者，則取周天所识，上下相对，透地心斜画之。太阳所离赤道纬度，所以随节气分远近者，此可略見。凡作日晷帶节气者，皆以此为提纲，欧逻巴人名为‘曷捺楞馬’云”。“曷捺楞马”系“Analemma”的音译〔14〕。由此看出，利玛窦还从西方带来了球面平行正投影。

总之，利玛窦确系带到中国来很多的投影知识，不仅有椭圆投影、球极投影、球面平行投影，而且还有透视法等，不仅有投影原理，而且还有投影的性质命题和绘制方法等知识。这大大丰富了当时的数学研究，为国人顺利地接受西方知识打下了基础，也为我国数学的迅速发展争取早些与西方数学会同铺平了道路。

2、利玛窦给国人广泛讲授了投影几何知识，并指导了投影几何知识的具体应用

利玛窦来中国的目的是传教，为此他广交各阶层的人士，与他们谈天论道、交流感情等。而当时的国人，特别是一些知识阶层的人士，惊诧于其才能和所拥有的西方科技，也愿意与之友好。这样形成了一种利玛窦到到处受欢迎，很多地方都有其学生的局面——尽管明确承认是利玛窦学生的人并不多。利玛窦第一个正式的学生是苏州人瞿太素。瞿太素又名瞿汝夔，是明朝末年礼部尚书瞿景淳的二儿子。1589年其将全部家产都投入到了炼金的火炉中使之灰飞烟灭之后，来到了广东肇庆。此间其听说这里来个西洋神父，博学多才，甚至还会利用魔法炼金，遂于8月来到利玛窦住处，拜利玛窦为师学习西方文化〔16〕。对于这个学生，利玛窦非常喜欢，这不仅仅是因为瞿太素给利玛窦出了很多好主意，帮助利玛窦顺利地打开了当地的传教局面，而且还由于瞿太素很聪明，很多东西一点就通。由此，利玛窦开始教瞿太素一些难的知识。这些知识中就有投影几何知识。在中国札记中利玛窦说：“他（瞿太素）接着从事研习丁先生的地球仪和欧几里德的原理，即欧氏的第一书。然后他学习绘制各种日晷图案，准确地表示时辰，并用几何法则测量物体的高度。我们已经说过，他很有知识并长于写作。他运用所学到的知识写出一系列精细的注释，当他把这些注释呈献给他的有学识酌官员朋友们肘，他和他所归功的老师都赢得普遍的、令人艳羡的声誉。他所学到的新鲜东西使中国人大惑不解。他们认为他不能靠自己的研究获得它。他日以继夜地从事工作，用图表来装点他的手稿，那些图表可以与最佳酌欧洲工艺相媲美。他还为自己制作科学仪器，诸如天球仪、星盘、象限仪、罗盘、日晷及其他这类器械，制作精巧，装饰美观他制造用的材料，正如他的手艺一样，各不相同。”〔17〕从这里我们可以看出，利玛窦教给了瞿太素很多投影知识，如关于日晷的和星盘的等，不仅如此，他还教会了瞿太素如何使用它们。

再一个有记录的跟利玛窦学习过投影知识的是南京的张养默。张养默的生平无从考评，只知道他是当时南京附近著名的学者和医生王肯堂的学生。利玛窦在南京时，他带着王肯堂的信拜在利玛窦的门下。利玛窦对张养默的到来很高兴，因为张养默也很聪明。利玛窦说：“他比其他两个人（李心斋的儿子和学生）都聪明。……他无师自通学习了欧几里德的第一卷”〔17〕。由此利玛窦开始给张养默讲一些西方的天文知识。和利玛窦同时代的艾儒略在《大西西泰利先生形迹》中曾提及张养默，他说：“就利子学业。……厥后张子于浑位度数之学，即有通晓云云。”还有，据利玛窦讲，他曾帮助利玛窦在南京制作天文仪器，其中包括日晷和星盘等〔17〕。因此，利玛窦与其讲授过天文球形投影知识是肯定的。

利玛窦在南京其间，也很有可能给王肯堂介绍过投影知识。这可以从如下情况来推测：一、王肯堂和利玛窦很熟悉，常在一起谈天论道。二、在王肯堂编纂的《郁冈斋笔麈》第三册中，出现了西方天文学的内容，如第一题是“照视皆直线”，第二题是“圆尖之体其底必大”，第三题是“光体大物体小必照大半其黑影必尖”等〔18〕。这是中国古代没有的知识，但却是准确的理解投影原理必须先知道的。这些内容在利玛窦后来的《乾坤体义》中占了很大的篇幅。

1601年利玛窦到了北京之后，跟利玛窦学习的人更多了。这其中名气最大的当属李之藻和徐光启。李之藻，字振之，号我存，杭州人。1598年中进士，官居工部侍郎。史载，李之藻聪慧异常，人称“江南才子”。徐光启曾赞他为“卓荦通人”，利玛窦也曾说：“自吾抵上国，所见聪明了达，唯李振之、徐子先二人耳”〔19〕。李之藻于1601年认识了利玛窦，因羡慕其绘制的地图遂与之交往，学习西方科技。李之藻跟利玛窦首先学习的是地图制作〔20〕。这项学习看来进行的很顺利，因为，在第二年他就将利玛窦在广东绘制的“山海舆地图”改版扩成六幅刊印了，这就是“坤舆万国全图”。由前面的内容可知，李之藻一定从中学会了椭圆投影。

之后，李之藻开始跟利玛窦学习其它的科学知识。对此，利玛窦曾说：“李良（李之藻）对数学的其它部门也感兴趣，他全力以赴协助制作各种数学器具。他掌握了丁先生所写的几何学教科书的大部分内容，学会了使用星盘，并为自己制作了一具，它运转得极其精确。接着，他对两门科学写出了一份正确而且清晰的阐述。他的数学图形可以和任何欧洲所绘的相匹敌。他论星盘的著作分两卷出版。利玛窦神父把一份送给了罗马的耶稣会会长神父，作为中国人完成的第一部这类著作的一个样本，另一份送给了丁先生，因为他本人曾一度从丁先生受教。”〔21〕这里提到的“论著星盘的书”即是《浑盖通宪图说》。在这本书的序言中，李之藻说：“昔从京师识利先生，欧逻巴人也。示我平仪，其制约浑，为之刻画重固，上天下地，周罗星程，背结规筒貌则盖天，而其度仍从浑出。取中央为北权，合《素问》中北外南之观；列三规为岁候，邃义和侯星寅日之旨，得未曾有，耳受手书，颇亦镜其大凡。旋奉使闽之命，往返万里，测验无爽，不揣为之图说，间亦出其鄙谢，会通一二，以革中历。”〔22〕由此可见，利玛窦给李之藻讲解了球极投影，并教会了他星盘的制作和使用方法。

李之藻于1608年又写成《圆容较义》一书，在此书的序言中他又说：“昔从利公研穷天体，因论圆容，拈出一义。次为五界十八题，借平面以推立圆，设角形以微浑体，探原循委，辨解九连之环。举一该三，光映万川之月。测圆者，测此者也。割圆者，割此者也。无当于历，历稽度数之容。无当于律，律穷果黍之容。存是论也，庸谓迂乎?”〔23〕由此可再次印证利玛窦曾教授李之藻天文投影之事实。

李之藻之后，利玛窦的又一个著名的学生是徐光启。徐光启，字子先，上海吴淞人，1604年中进士，官居文渊阁大学士。和徐光启的结识可以说是利玛窦在华的活动中最为得意的，利玛窦在不同的场合多次高度赞扬过徐光启。利玛窦赞扬徐光启，不仅有其对基督教的热诚，有对利玛窦的帮助，更有他的才华出众、学习刻苦和做事认真。这在很多文献中都可以见到，此不赘述。

关于利玛窦给徐光启讲授投影原理的事实，我们可以从他和熊三拔合译的《简评仪说》的序言中看到。简平仪也是星盘，是一种比较简单的变形体。这本书主要是讲授了简平仪的各种用法。在这里徐光启说：“其最小者是仪，为有纲熊先生所手创，以呈利先生。利先生嘉钦。偶为余解其凡因，手受之，草次成章，未其详其所谓故也。若其言革也，抑亦丈豹之一斑矣”〔24〕。另外，据载徐光启还曾著有《平浑图说》、《日晷图说》和《夜晷图说》三部书〔25〕。可惜已经遗失，如果能找到，也许我们能了解的还会多。

国人中除了跟利玛窦学习西方数学和天文学的之外，也有学习西方绘画的，这其中最有名的是游文辉。游文辉，字含朴，澳门人。1575年生人，1593到1598到日本接受基督教训练，之后回国追随利玛窦。其间因为他酷爱绘画并曾在日本初步学习过，所以其主要是跟利玛窦学习绘画和从事绘画活动。〔26〕游文辉作为一个西画的初学者留下来的作品并不多，目前最常见的是1610年利玛窦去世之后他绘制的利玛窦画像。“这是一幅标准的西方肖像画，构图既饱满又简练，显示出相当的艺术概括能力。……该画对明暗的处理也很有特色，光线从画面左上方射去，在眼眶、鼻梁、面颊的暗面投下了丰富的阴影，尤其在白色衣领上的投影可以明显感受到强烈的光源。……17世纪的中国人能将油画肖像绘至这样的水平，的确是件非常不容易的事情。”〔27〕从此看出，游文辉熟悉西方绘画的原理，利玛窦一定给他讲解过其中的数学理论即当时在西方流行的透视法。

3、结束语

根据相关资料，西方投影几何知识从元朝开始传入我国，元朝的札马鲁丁和郭守敬是最早的实践者〔28〕。但他们的理论没有完好的保留下来，到了明末基本上已无人知晓。所以，明朝末年，利玛窦携投影理论东来仍具有十足的开拓性；另外，从现有的资料来看，札马鲁丁和郭守敬传入的西方投影似乎仅限于球极投影这一项内容，远没有利玛窦带来的多。利玛窦带来的投影几何知识不仅有球极投影，而且还有椭圆投影、曷捺楞马、透视法等，不仅有概念和性质命题，而且还有它们的具体画法。由此，利玛窦介绍给国人的西方投影几何在内容上远超出前人；第三，利玛窦将这么多的投影几何知识带到了中国，并没有保守，而是给国人进行了积极讲解，这为国人全面接受和深入学习西方科技打下了很好的基础。正是由于他的广泛传播，才有的明朝末年徐光启修《崇祯历书》时一改中国两千年绘制星图（圆形的）的方法使用了球形投影绘制的“赤道见界总星图”，才有的清朝初期梅文鼎的“三极通机”。即使是再后来年希尧的《视学精蕴》其实也利玛窦传入的投影几何有着丝丝缕缕的关系；第四，利玛窦来中国后也大力宣传和介绍过欧几里德平面几何，但在其实用性上远没有象介绍投影几何这么详细和直接过。正是由于他介绍了这些投影几何知识的具体使用，才使得明朝末年一下子江南地区出现了那么多的星盘和地平日晷，才使得中国的绘画从明朝末年开始逐渐地“立体”起来。所以，利玛窦对于向中国输入投影几何方面贡献是非常大的。只是利玛窦在传入投影几何的时候没有象传入欧氏几何那样传入大量的精确的数学证明，也没有翻译出或写出系统的书籍，否则其这方面的贡献将会更大。

文章摘要：明朝末年，意大利著名传教士利玛窦来到我国，不仅带来了很多欧氏几何，而且也带来了一些非欧氏几何，如投影几何。关于投影几何，他带来的有椭圆投影、球极投影、平行正投影和透视法等。他给国人介绍了其中的概念、原理和性质，而且还分别说明了他们的应用等。这大大丰富了我国数学的研究，为当时大批的西方科技传入我国打下了坚实的基础。

关键词：利玛窦；球极投影；投影几何；透视法

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投影几何范文篇2

二、利玛窦带来了多种西方投影理论，为国人广泛的学习投影几何打下了基础

利玛窦1583年9月10日来到中国大陆，之后，为了吸引民众宣扬其基督教，他给国人公开展示了多种从西方带来的物件，如地图、星盘、日晷、圣母像、三棱镜等。关于地图，是其最早展示的一种物件。第一次展出是在1584年4月仙花寺建成之后，在其新教堂里。这次展示的地图现在有人进行了考证，证明其是于1546年在罗马刊行又于1570年被奥特里斯（AbrahamOrtelius）仿造的一幅，是当时欧洲比较流行的一种〔1〕。这幅地图后来被当时的知俯王泮看到了，他对于此图的精美感到非常震惊，遂令利玛窦翻刻。利玛窦将原来的地图稍进行了改造，将中国由边缘地带转移到了地图的中心，于1584年11月翻刻并印制成功，这就是有名的“山海舆地图”。之后不久，也就是同年同月的30日，利玛窦向罗马耶稣会总监回报了这幅地图，他说：“西式绘制，用华名、华里、华辰计算的世界地图一幅，这图是肇庆长官授命利玛窦编制的，刚完成，便命去刊印了。”〔2〕由这两处文献，我们可知利玛窦带来了在当时西方流行的椭圆投影。

关于地图的绘制，中国古代一直采用的是“计里画方”的方法，从未使用过球形投影，这可能与中国古代一直以为的“天圆地方”有直接关系。而欧洲就不一样了。从古希腊时期，人们就意识到了大地是球形的，绘制地图的时候为了准确起见，最好采用球形投影。西方人绘制地图最早多采用公元二世纪托勒玫给出的球极投影或是圆锥投影，到了文艺复兴时期，随着人们航海的需要和视野的开阔，此方法逐渐改进，出现了极球投影、赤道球面投影、水平面投影、墨卡托圆柱投影等。1528年彭德尼（BenedetooBordone，1460-1539）发明了椭圆投影，引起了很大的反响，因为这种投影既美观、大方又不失准确性。由此，在绘制世界地图的时候广泛被人模仿。1570年奥特里斯绘制的世界地图Typusorbisterrarum，正是采用了这种投影――这还被认为是最有艺术性的样例〔3〕。利玛窦的“山海舆地图”既然是根据奥特里斯的世界地图绘制的，那么，其采用的也应当是椭圆投影。此外，这一结果也可以利用其它的资料来印证。1602年利玛窦在北京协助李之藻绘制了“坤舆万国全图”。此图流传很广，至今还能看到〔4〕。笔者对其保留在南京的一幅的投影进行了细致的测算，发现其确系采用的是椭圆投影。

在利玛窦的中国札记中除了地图，提到比较多的还有星盘。星盘是利玛窦来到中国大陆后进行计时和天文测量的主要工具，因而其时时携带着它，也经常向他周围的人展示。周围的人对其感到非常好奇，为此利玛窦还曾经亲自制作过它当做礼品送给一些高官，如赵可怀等。1607年在北京，利玛窦和李之藻还就此写成了一本书《浑盖通宪图说》。由这，我们可知道利玛窦也带来了西方的球极投影。

星盘是古希腊时期产生的一种天文仪器。据说其创始人是公元二世纪的托勒玫，因为在托勒玫的书中曾有类似的描述，并且托勒玫明确给出了制作星盘的数学基础——球极投影。星盘在中世纪传入伊斯兰世界。伊斯兰人为了准确的掌握祈祷的方位和时间，制作了大量的精美的星盘，从而将这种工具完好的保留到了文艺复兴时期。文艺复兴时期，航海探险之风盛行，因而作为能在晚间也能计时和确定方位的星盘又一次受到广泛的重视。人们不仅给它增加了很多附件，使其能在不同的地区也可以准确的使用，而且还在托勒玫给出的球极投影基础上给它建立了数学体系，使之成了一种满载数学理论的计算工具。因此，星盘在文艺复兴时期被称为是“数学之宝”〔5〕。利玛窦在中国使用的那副星盘，据裴化行考证正是从欧洲带来的，平面式，它的设计者还是利玛窦在罗马学院时期的老师，当时欧洲著名的数学家和天文学家也是星盘专家克拉维乌斯神父。他说：“克拉维乌斯神父设计的星盘是‘平面回盘’(planisphsere，即步天规)，即在一个圆盘圆周上刻有度数，并装有一个可以旋转的照准仪，这样就能观察天空的不同位置。克拉维乌斯的步天规的最大特点是蛛网式的，即通过盘中各种曲线，指示出天球投影在赤道平面上的纬度。这样既有一般星盘的作用，又有浑仪的功用”〔6〕。所以，利玛窦也从欧洲带来了球极投影无疑。

对于《浑盖通宪图说》，其实际上是克拉维乌斯于1593年出版的专门讨论星盘中数学原理的《论星盘》节译本〔7〕。这本书中包含了大量的球极投影的知识。不仅球极投影原理，即如何进行投影的说法，而且还有众多球极投影性质。如“球形投影下，球面上平行于投影面（赤道面）的圆都是同心圆，不过距离南极近的圆投影较大，距离北极近的圆投影较小。”如“球形投影下，球面上不平行于投影面（赤道面）的圆的投影也都是圆。”“球形投影下，球面上的弧线的投影仍是弧线，点和曲线的结合关系不变。”“球形投影下，球面上等距平行于投影面的圆的投影不距等，靠近南极的两个圆的投影的距离大于靠近北极的两个圆的投影的距离。”“球形投影下，在球面上相交的两个圆，它们的投影也相交。”等。不仅有投影的性质，而且还有投影的具体做法，如天顶规的做法是：“既得天顶，则自天顶以对地心有一规，总为天顶规。此规上下过天地之中，东西交赤道卯酉之中。辩方正位，于是乎取其法自赤道规，酉中起数地方赤道出地度，或自子中起数北极出地之度，其法皆同，但数一处刻界。自酉中按界作弦长出，求其交子中线处，即是地下对对顶中际。从此上望天顶，折半求中以是为枢，旋而规之则成天顶规。”如地平规渐升圈的做法是：“凡求（地平规）渐升度，以前图南北极轴线为界，去界北不用，自界而南，以半规均分百八十度或兼二度，则分作九十兼五度，则分作三十六中定赤道轴线以求天顶，次自北极左行第一度望酉中画一弦，又自南极右行第一度望酉中画一弦。二弦皆过盘中子午线，而取子午线上所得之界，上下折半为枢，旋规是为渐升第一规，当为出地之第一度。余自二度至九十度亦如之。”另外，还给出了这些做法的原理：“原所以取赤道卯酉为准者，盖赤道纮天地之中，卯酉又分赤道之中，借卯酉以为地心，因望地心以求天顶。仪体虽平，其用则圆，而其经纬从衡之秒全在赤道一规。平视之而分子午卯酉，侧视之而寄南北二极。二极结子午之正，寄二极于赤道者，借赤道之规为子午规者也。后凡地盘度皆自赤道为准。”〔8〕由此看出，利玛窦还将大量的球极投影理论知识也传入了中国。

在利玛窦给国人展示的物品中，也多次提到西方绘画，如圣母像、耶稣像等。这些绘画，有的是从印度、澳门、日本等外面经教友转来的，也有是利玛窦自己绘制的。如1602年利玛窦奉中国皇帝的命令，耗时两三天绘制成的“西方宫廷生活图”是一幅〔9〕，还有利玛窦晚年绘制的“野墅平林图”也是一幅〔10〕。利玛窦采用的什么方法画这些画呢？虽没有文字记录，但可以从其它地方找到证据。从现存于辽宁省博物馆的“野墅平林图”中我们可以看出，其不是中国式的写意画法――虽然入画内容是山水。其远近分明，明暗比例协调，灭点固定，视野开阔，显然是采用了西方透视画法。还有，利玛窦在1601年将圣母像献给皇帝之前，曾给很多人展示过，在展示的时候，还对比中国画进行了讲解，他曾说：“中国画但画阳不画阴，故看之人面躯正平，无凹凸相，吾国之画兼阴与阳写之，故面有高下，而手臂皆轮圆耳。凡人之面正迎阳，则明而白，若则立，则向明一边者白，其不向明一边者眼耳鼻口凹处，皆有暗相。吾国之写像者，解此法用之，故能使画像与生人亡异也。”〔11〕在《译几何原本引》中他又曾说：“察目视势，以远近正邪高下之差，照物状可画立圆、立方之度数于平版之上，可远测物度及真形。画小，使目视大，画近，使目视远，画圆，视目视球，画像，有坳凸，画室，有明暗也。”〔12〕还有，在利玛窦学习过的罗马学院的课程表中明确标有：透视学，学习三个月。〔13〕由此，利玛窦懂得当时在欧洲兴起的透视画法，了解其中的数学投影原理，也将它们带到了中国。

此外还有日晷。在利玛窦日常活动中，也曾多次提到过日晷。如在肇庆他曾指导瞿太素制造日晷，在南京曾辅导张养默制造日晷等。日晷作为一种古老的利用太阳来计时的仪器，东西方都有，但各有所长。东方的多是赤道日晷，没有投影理论在里面。而西方的多是地平日晷，其以西方古代天文学基本构架为基础，大量地使用了球面投影理论和方法。西方绘制日晷的方法叫做“Analemma法”。关于这种方法，古希腊有两部书进行了介绍，一部是公元前一世纪亚历山大里亚的狄奥多努斯（Diodorus）写的，另一本是公元二世纪的天文学家托勒玫写的，书目都叫Analemma。狄奥多努斯的书已失传。现根据托勒玫的书我们可以知道这种方法实际上是一种球面平行正投影，借助这种投影可以将赤道坐标很容易的换算成黄道坐标，反之依然。〔14〕利玛窦带来的日晷不同于中国式的，通过其对日晷的描述我们可考证一定是地平日晷〔15〕。另外，在“坤舆万国全图”的一个小图下面他还曾提到Analemma，他说：“右图乃黃赤二道错行中气之界限也。凡算太阳出入皆准此。其法以中橫线为地平，直线为天頂，中圈为地体，外大圈为周天。以周天分三百六十度。假如是图在京师地方，北极出地平线上四十度，则赤道离天顶南亦四十度矣。然后自赤道数起，南北各以二十三度半为界，最南为冬至，最北为夏至。凡太阳所行不出此界之外，既定冬、夏至界，即可求十二宮之中气。先从冬夏二至界相望画一线，次于线中十字处为心，尽边各作一小圈，名黃道圈。圈上勻分二十四分，两两相对作虚线，各识于周天圈上。在赤道上者，即春秋分；次北曰穀雨、处暑，曰小满、大暑，曰夏至；次南曰霜降、雨水，曰小雪、大寒，曰冬至。因图小，止载中气，其余节气倣此。就中再勻分一倍，即得之矣。而其日影之射于地者，則取周天所识，上下相对，透地心斜画之。太阳所离赤道纬度，所以随节气分远近者，此可略見。凡作日晷帶节气者，皆以此为提纲，欧逻巴人名为‘曷捺楞馬’云”。“曷捺楞马”系“Analemma”的音译〔14〕。由此看出，利玛窦还从西方带来了球面平行正投影。

总之，利玛窦确系带到中国来很多的投影知识，不仅有椭圆投影、球极投影、球面平行投影，而且还有透视法等，不仅有投影原理，而且还有投影的性质命题和绘制方法等知识。这大大丰富了当时的数学研究，为国人顺利地接受西方知识打下了基础，也为我国数学的迅速发展争取早些与西方数学会同铺平了道路。

三、利玛窦给国人广泛讲授了投影几何知识，并指导了投影几何知识的具体应用

利玛窦来中国的目的是传教，为此他广交各阶层的人士，与他们谈天论道、交流感情等。而当时的国人，特别是一些知识阶层的人士，惊诧于其才能和所拥有的西方科技，也愿意与之友好。这样形成了一种利玛窦到到处受欢迎，很多地方都有其学生的局面——尽管明确承认是利玛窦学生的人并不多。利玛窦第一个正式的学生是苏州人瞿太素。瞿太素又名瞿汝夔，是明朝末年礼部尚书瞿景淳的二儿子。1589年其将全部家产都投入到了炼金的火炉中使之灰飞烟灭之后，来到了广东肇庆。此间其听说这里来个西洋神父，博学多才，甚至还会利用魔法炼金，遂于8月来到利玛窦住处，拜利玛窦为师学习西方文化〔16〕。对于这个学生，利玛窦非常喜欢，这不仅仅是因为瞿太素给利玛窦出了很多好主意，帮助利玛窦顺利地打开了当地的传教局面，而且还由于瞿太素很聪明，很多东西一点就通。由此，利玛窦开始教瞿太素一些难的知识。这些知识中就有投影几何知识。在中国札记中利玛窦说：“他（瞿太素）接着从事研习丁先生的地球仪和欧几里德的原理，即欧氏的第一书。然后他学习绘制各种日晷图案，准确地表示时辰，并用几何法则测量物体的高度。我们已经说过，他很有知识并长于写作。他运用所学到的知识写出一系列精细的注释，当他把这些注释呈献给他的有学识酌官员朋友们肘，他和他所归功的老师都赢得普遍的、令人艳羡的声誉。他所学到的新鲜东西使中国人大惑不解。他们认为他不能靠自己的研究获得它。他日以继夜地从事工作，用图表来装点他的手稿，那些图表可以与最佳酌欧洲工艺相媲美。他还为自己制作科学仪器，诸如天球仪、星盘、象限仪、罗盘、日晷及其他这类器械，制作精巧，装饰美观他制造用的材料，正如他的手艺一样，各不相同。”〔17〕从这里我们可以看出，利玛窦教给了瞿太素很多投影知识，如关于日晷的和星盘的等，不仅如此，他还教会了瞿太素如何使用它们。

再一个有记录的跟利玛窦学习过投影知识的是南京的张养默。张养默的生平无从考评，只知道他是当时南京附近著名的学者和医生王肯堂的学生。利玛窦在南京时，他带着王肯堂的信拜在利玛窦的门下。利玛窦对张养默的到来很高兴，因为张养默也很聪明。利玛窦说：“他比其他两个人（李心斋的儿子和学生）都聪明。……他无师自通学习了欧几里德的第一卷”〔17〕。由此利玛窦开始给张养默讲一些西方的天文知识。和利玛窦同时代的艾儒略在《大西西泰利先生形迹》中曾提及张养默，他说：“就利子学业。……厥后张子于浑位度数之学，即有通晓云云。”还有，据利玛窦讲，他曾帮助利玛窦在南京制作天文仪器，其中包括日晷和星盘等〔17〕。因此，利玛窦与其讲授过天文球形投影知识是肯定的。

利玛窦在南京其间，也很有可能给王肯堂介绍过投影知识。这可以从如下情况来推测：一、王肯堂和利玛窦很熟悉，常在一起谈天论道。二、在王肯堂编纂的《郁冈斋笔麈》第三册中，出现了西方天文学的内容，如第一题是“照视皆直线”，第二题是“圆尖之体其底必大”，第三题是“光体大物体小必照大半其黑影必尖”等〔18〕。这是中国古代没有的知识，但却是准确的理解投影原理必须先知道的。这些内容在利玛窦后来的《乾坤体义》中占了很大的篇幅。

1601年利玛窦到了北京之后，跟利玛窦学习的人更多了。这其中名气最大的当属李之藻和徐光启。李之藻，字振之，号我存，杭州人。1598年中进士，官居工部侍郎。史载，李之藻聪慧异常，人称“江南才子”。徐光启曾赞他为“卓荦通人”，利玛窦也曾说：“自吾抵上国，所见聪明了达，唯李振之、徐子先二人耳”〔19〕。李之藻于1601年认识了利玛窦，因羡慕其绘制的地图遂与之交往，学习西方科技。李之藻跟利玛窦首先学习的是地图制作〔20〕。这项学习看来进行的很顺利，因为，在第二年他就将利玛窦在广东绘制的“山海舆地图”改版扩成六幅刊印了，这就是“坤舆万国全图”。由前面的内容可知，李之藻一定从中学会了椭圆投影。

之后，李之藻开始跟利玛窦学习其它的科学知识。对此，利玛窦曾说：“李良（李之藻）对数学的其它部门也感兴趣，他全力以赴协助制作各种数学器具。他掌握了丁先生所写的几何学教科书的大部分内容，学会了使用星盘，并为自己制作了一具，它运转得极其精确。接着，他对两门科学写出了一份正确而且清晰的阐述。他的数学图形可以和任何欧洲所绘的相匹敌。他论星盘的著作分两卷出版。利玛窦神父把一份送给了罗马的耶稣会会长神父，作为中国人完成的第一部这类著作的一个样本，另一份送给了丁先生，因为他本人曾一度从丁先生受教。”〔21〕这里提到的“论著星盘的书”即是《浑盖通宪图说》。在这本书的序言中，李之藻说：“昔从京师识利先生，欧逻巴人也。示我平仪，其制约浑，为之刻画重固，上天下地，周罗星程，背结规筒貌则盖天，而其度仍从浑出。取中央为北权，合《素问》中北外南之观；列三规为岁候，邃义和侯星寅日之旨，得未曾有，耳受手书，颇亦镜其大凡。旋奉使闽之命，往返万里，测验无爽，不揣为之图说，间亦出其鄙谢，会通一二，以革中历。”〔22〕由此可见，利玛窦给李之藻讲解了球极投影，并教会了他星盘的制作和使用方法。

李之藻于1608年又写成《圆容较义》一书，在此书的序言中他又说：“昔从利公研穷天体，因论圆容，拈出一义。次为五界十八题，借平面以推立圆，设角形以微浑体，探原循委，辨解九连之环。举一该三，光映万川之月。测圆者，测此者也。割圆者，割此者也。无当于历，历稽度数之容。无当于律，律穷果黍之容。存是论也，庸谓迂乎?”〔23〕由此可再次印证利玛窦曾教授李之藻天文投影之事实。

李之藻之后，利玛窦的又一个著名的学生是徐光启。徐光启，字子先，上海吴淞人，1604年中进士，官居文渊阁大学士。和徐光启的结识可以说是利玛窦在华的活动中最为得意的，利玛窦在不同的场合多次高度赞扬过徐光启。利玛窦赞扬徐光启，不仅有其对基督教的热诚，有对利玛窦的帮助，更有他的才华出众、学习刻苦和做事认真。这在很多文献中都可以见到，此不赘述。

关于利玛窦给徐光启讲授投影原理的事实，我们可以从他和熊三拔合译的《简评仪说》的序言中看到。简平仪也是星盘，是一种比较简单的变形体。这本书主要是讲授了简平仪的各种用法。在这里徐光启说：“其最小者是仪，为有纲熊先生所手创，以呈利先生。利先生嘉钦。偶为余解其凡因，手受之，草次成章，未其详其所谓故也。若其言革也，抑亦丈豹之一斑矣”〔24〕。另外，据载徐光启还曾著有《平浑图说》、《日晷图说》和《夜晷图说》三部书〔25〕。可惜已经遗失，如果能找到，也许我们能了解的还会多。

国人中除了跟利玛窦学习西方数学和天文学的之外，也有学习西方绘画的，这其中最有名的是游文辉。游文辉，字含朴，澳门人。1575年生人，1593到1598到日本接受基督教训练，之后回国追随利玛窦。其间因为他酷爱绘画并曾在日本初步学习过，所以其主要是跟利玛窦学习绘画和从事绘画活动。〔26〕游文辉作为一个西画的初学者留下来的作品并不多，目前最常见的是1610年利玛窦去世之后他绘制的利玛窦画像。“这是一幅标准的西方肖像画，构图既饱满又简练，显示出相当的艺术概括能力。……该画对明暗的处理也很有特色，光线从画面左上方射去，在眼眶、鼻梁、面颊的暗面投下了丰富的阴影，尤其在白色衣领上的投影可以明显感受到强烈的光源。……17世纪的中国人能将油画肖像绘至这样的水平，的确是件非常不容易的事情。”〔27〕从此看出，游文辉熟悉西方绘画的原理，利玛窦一定给他讲解过其中的数学理论即当时在西方流行的透视法。

投影几何范文篇3

投影几何是现代数学中的一个重要分支，它专门研究空间物体在投影变换下的几何性质，在天文学、地理学、建筑学、计算机模拟、土木工程、绘画等很多学科中都有着广泛的应用。投影几何在古代东西方都有，但相比之下，西方的更为详细和科学，由此，元、明时期西方投影几何开始传入我国。特别是在明朝末年。当时大批西方传教士来到中国，不仅带来了西方宗教和科技，而且也带来了大量的与之有密切关系的投影几何知识。比较多的西方投影几何知识正是在这个时期才开始进入我国的。此时，当然有不少人都为之作出了贡献，如利玛窦、李之藻、熊三拔、徐光启、罗雅谷、汤若望、梅文鼎、年希尧等。特别是利玛窦。其是第一个来到中国内陆，第一个开始给国人介绍西方投影几何的。他介绍的投影几何不仅内容多样、清晰正确，而且还实用，这为当时大量的西方科技在中国传播打下了坚实的基础。从某种意义上讲，利玛窦在这方面做出的贡献完全可以和他传入欧几里德几何所做出的贡献相媲美。但这件事情长时间以来一直未被人们重视。本文拟就利玛窦对于传入投影几何所做的贡献作一论述。

二、利玛窦带来了多种西方投影理论，为国人广泛的学习投影几何打下了基础

利玛窦1583年9月10日来到中国大陆，之后，为了吸引民众宣扬其基督教，他给国人公开展示了多种从西方带来的物件，如地图、星盘、日晷、圣母像、三棱镜等。关于地图，是其最早展示的一种物件。第一次展出是在1584年4月仙花寺建成之后，在其新教堂里。这次展示的地图现在有人进行了考证，证明其是于1546年在罗马刊行又于1570年被奥特里斯（AbrahamOrtelius）仿造的一幅，是当时欧洲比较流行的一种〔1〕。这幅地图后来被当时的知俯王泮看到了，他对于此图的精美感到非常震惊，遂令利玛窦翻刻。利玛窦将原来的地图稍进行了改造，将中国由边缘地带转移到了地图的中心，于1584年11月翻刻并印制成功，这就是有名的“山海舆地图”。之后不久，也就是同年同月的30日，利玛窦向罗马耶稣会总监回报了这幅地图，他说：“西式绘制，用华名、华里、华辰计算的世界地图一幅，这图是肇庆长官授命利玛窦编制的，刚完成，便命去刊印了。”〔2〕由这两处文献，我们可知利玛窦带来了在当时西方流行的椭圆投影。

关于地图的绘制，中国古代一直采用的是“计里画方”的方法，从未使用过球形投影，这可能与中国古代一直以为的“天圆地方”有直接关系。而欧洲就不一样了。从古希腊时期，人们就意识到了大地是球形的，绘制地图的时候为了准确起见，最好采用球形投影。西方人绘制地图最早多采用公元二世纪托勒玫给出的球极投影或是圆锥投影，到了文艺复兴时期，随着人们航海的需要和视野的开阔，此方法逐渐改进，出现了极球投影、赤道球面投影、水平面投影、墨卡托圆柱投影等。1528年彭德尼（BenedetooBordone，1460-1539）发明了椭圆投影，引起了很大的反响，因为这种投影既美观、大方又不失准确性。由此，在绘制世界地图的时候广泛被人模仿。1570年奥特里斯绘制的世界地图Typusorbisterrarum，正是采用了这种投影――这还被认为是最有艺术性的样例〔3〕。利玛窦的“山海舆地图”既然是根据奥特里斯的世界地图绘制的，那么，其采用的也应当是椭圆投影。此外，这一结果也可以利用其它的资料来印证。1602年利玛窦在北京协助李之藻绘制了“坤舆万国全图”。此图流传很广，至今还能看到〔4〕。笔者对其保留在南京的一幅的投影进行了细致的测算，发现其确系采用的是椭圆投影。

在利玛窦的中国札记中除了地图，提到比较多的还有星盘。星盘是利玛窦来到中国大陆后进行计时和天文测量的主要工具，因而其时时携带着它，也经常向他周围的人展示。周围的人对其感到非常好奇，为此利玛窦还曾经亲自制作过它当做礼品送给一些高官，如赵可怀等。1607年在北京，利玛窦和李之藻还就此写成了一本书《浑盖通宪图说》。由这，我们可知道利玛窦也带来了西方的球极投影。

星盘是古希腊时期产生的一种天文仪器。据说其创始人是公元二世纪的托勒玫，因为在托勒玫的书中曾有类似的描述，并且托勒玫明确给出了制作星盘的数学基础——球极投影。星盘在中世纪传入伊斯兰世界。伊斯兰人为了准确的掌握祈祷的方位和时间，制作了大量的精美的星盘，从而将这种工具完好的保留到了文艺复兴时期。文艺复兴时期，航海探险之风盛行，因而作为能在晚间也能计时和确定方位的星盘又一次受到广泛的重视。人们不仅给它增加了很多附件，使其能在不同的地区也可以准确的使用，而且还在托勒玫给出的球极投影基础上给它建立了数学体系，使之成了一种满载数学理论的计算工具。因此，星盘在文艺复兴时期被称为是“数学之宝”〔5〕。利玛窦在中国使用的那副星盘，据裴化行考证正是从欧洲带来的，平面式，它的设计者还是利玛窦在罗马学院时期的老师，当时欧洲著名的数学家和天文学家也是星盘专家克拉维乌斯神父。他说：“克拉维乌斯神父设计的星盘是‘平面回盘’(planisphsere，即步天规)，即在一个圆盘圆周上刻有度数，并装有一个可以旋转的照准仪，这样就能观察天空的不同位置。克拉维乌斯的步天规的最大特点是蛛网式的，即通过盘中各种曲线，指示出天球投影在赤道平面上的纬度。这样既有一般星盘的作用，又有浑仪的功用”〔6〕。所以，利玛窦也从欧洲带来了球极投影无疑。

对于《浑盖通宪图说》，其实际上是克拉维乌斯于1593年出版的专门讨论星盘中数学原理的《论星盘》节译本〔7〕。这本书中包含了大量的球极投影的知识。不仅球极投影原理，即如何进行投影的说法，而且还有众多球极投影性质。如“球形投影下，球面上平行于投影面（赤道面）的圆都是同心圆，不过距离南极近的圆投影较大，距离北极近的圆投影较小。”如“球形投影下，球面上不平行于投影面（赤道面）的圆的投影也都是圆。”“球形投影下，球面上的弧线的投影仍是弧线，点和曲线的结合关系不变。”“球形投影下，球面上等距平行于投影面的圆的投影不距等，靠近南极的两个圆的投影的距离大于靠近北极的两个圆的投影的距离。”“球形投影下，在球面上相交的两个圆，它们的投影也相交。”等。不仅有投影的性质，而且还有投影的具体做法，如天顶规的做法是：“既得天顶，则自天顶以对地心有一规，总为天顶规。此规上下过天地之中，东西交赤道卯酉之中。

辩方正位，于是乎取其法自赤道规，酉中起数地方赤道出地度，或自子中起数北极出地之度，其法皆同，但数一处刻界。自酉中按界作弦长出，求其交子中线处，即是地下对对顶中际。从此上望天顶，折半求中以是为枢，旋而规之则成天顶规。”如地平规渐升圈的做法是：“凡求（地平规）渐升度，以前图南北极轴线为界，去界北不用，自界而南，以半规均分百八十度或兼二度，则分作九十兼五度，则分作三十六中定赤道轴线以求天顶，次自北极左行第一度望酉中画一弦，又自南极右行第一度望酉中画一弦。二弦皆过盘中子午线，而取子午线上所得之界，上下折半为枢，旋规是为渐升第一规，当为出地之第一度。余自二度至九十度亦如之。”另外，还给出了这些做法的原理：“原所以取赤道卯酉为准者，盖赤道纮天地之中，卯酉又分赤道之中，借卯酉以为地心，因望地心以求天顶。仪体虽平，其用则圆，而其经纬从衡之秒全在赤道一规。平视之而分子午卯酉，侧视之而寄南北二极。二极结子午之正，寄二极于赤道者，借赤道之规为子午规者也。后凡地盘度皆自赤道为准。”〔8〕由此看出，利玛窦还将大量的球极投影理论知识也传入了中国。

在利玛窦给国人展示的物品中，也多次提到西方绘画，如圣母像、耶稣像等。这些绘画，有的是从印度、澳门、日本等外面经教友转来的，也有是利玛窦自己绘制的。如1602年利玛窦奉中国皇帝的命令，耗时两三天绘制成的“西方宫廷生活图”是一幅〔9〕，还有利玛窦晚年绘制的“野墅平林图”也是一幅〔10〕。利玛窦采用的什么方法画这些画呢？虽没有文字记录，但可以从其它地方找到证据。从现存于辽宁省博物馆的“野墅平林图”中我们可以看出，其不是中国式的写意画法――虽然入画内容是山水。其远近分明，明暗比例协调，灭点固定，视野开阔，显然是采用了西方****画法。还有，利玛窦在1601年将圣母像献给皇帝之前，曾给很多人展示过，在展示的时候，还对比中国画进行了讲解，他曾说：“中国画但画阳不画阴，故看之人面躯正平，无凹凸相，吾国之画兼阴与阳写之，故面有高下，而手臂皆轮圆耳。凡人之面正迎阳，则明而白，若则立，则向明一边者白，其不向明一边者眼耳鼻口凹处，皆有暗相。吾国之写像者，解此法用之，故能使画像与生人亡异也。”〔11〕在《译几何原本引》中他又曾说：“察目视势，以远近正邪高下之差，照物状可画立圆、立方之度数于平版之上，可远测物度及真形。画小，使目视大，画近，使目视远，画圆，视目视球，画像，有坳凸，画室，有明暗也。”〔12〕还有，在利玛窦学习过的罗马学院的课程表中明确标有：****学，学习三个月。〔13〕由此，利玛窦懂得当时在欧洲兴起的****画法，了解其中的数学投影原理，也将它们带到了中国。

此外还有日晷。在利玛窦日常活动中，也曾多次提到过日晷。如在肇庆他曾指导瞿太素制造日晷，在南京曾辅导张养默制造日晷等。日晷作为一种古老的利用太阳来计时的仪器，东西方都有，但各有所长。东方的多是赤道日晷，没有投影理论在里面。而西方的多是地平日晷，其以西方古代天文学基本构架为基础，大量地使用了球面投影理论和方法。西方绘制日晷的方法叫做“Analemma法”。关于这种方法，古希腊有两部书进行了介绍，一部是公元前一世纪亚历山大里亚的狄奥多努斯（Diodorus）写的，另一本是公元二世纪的天文学家托勒玫写的，书目都叫Analemma。狄奥多努斯的书已失传。现根据托勒玫的书我们可以知道这种方法实际上是一种球面平行正投影，借助这种投影可以将赤道坐标很容易的换算成黄道坐标，反之依然。〔14〕利玛窦带来的日晷不同于中国式的，通过其对日晷的描述我们可考证一定是地平日晷〔15〕。另外，在“坤舆万国全图”的一个小图下面他还曾提到Analemma，他说：“右图乃黃赤二道错行中气之界限也。凡算太阳出入皆准此。其法以中橫线为地平，直线为天頂，中圈为地体，外大圈为周天。以周天分三百六十度。假如是图在京师地方，北极出地平线上四十度，则赤道离天顶南亦四十度矣。然后自赤道数起，南北各以二十三度半为界，最南为冬至，最北为夏至。凡太阳所行不出此界之外，既定冬、夏至界，即可求十二宮之中气。先从冬夏二至界相望画一线，次于线中十字处为心，尽边各作一小圈，名黃道圈。圈上勻分二十四分，两两相对作虚线，各识于周天圈上。在赤道上者，即春秋分；次北曰穀雨、处暑，曰小满、大暑，曰夏至；次南曰霜降、雨水，曰小雪、大寒，曰冬至。因图小，止载中气，其余节气倣此。就中再勻分一倍，即得之矣。而其日影之射于地者，則取周天所识，上下相对，透地心斜画之。太阳所离赤道纬度，所以随节气分远近者，此可略見。凡作日晷帶节气者，皆以此为提纲，欧逻巴人名为‘曷捺楞馬’云”。“曷捺楞马”系“Analemma”的音译〔14〕。由此看出，利玛窦还从西方带来了球面平行正投影。

总之，利玛窦确系带到中国来很多的投影知识，不仅有椭圆投影、球极投影、球面平行投影，而且还有****法等，不仅有投影原理，而且还有投影的性质命题和绘制方法等知识。这大大丰富了当时的数学研究，为国人顺利地接受西方知识打下了基础，也为我国数学的迅速发展争取早些与西方数学会同铺平了道路。

投影几何范文篇4

1、教材分析

(1)知识结构

本节从实例中概括出平行线的概念，给出了平行线的记法和它的画法，并引出了平行公理及其推论.

(2)重点、难点分析

本节的重点是：平行公理及其推论.承认“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”的几何是欧氏几何，否则是非欧几何.由此可见，平行公理在几何中的地位十分重要.在教学时，学生可以从用直尺和三角板画平行线的画图过程中，理解平行公理.特别是真正地体会到公理中的“有且只有”的意义.

本节难点是：理解平行线的概念以及由平行公理导出其推论的过程定义中的“在同一平面内”的这个前提，是为了区别立体几何中异面直线的情况.教学时只要学生能意识到，空间的直线还存在另一种不相交的情形的，即异面直线.

另外，从平行公理推导出其推论的过程，渗透了反证法的思想.初中学生难于理解，教材对反证法既不作要求，也不必提出反证法这个词，只要把道理说明白即可.

2、教法建议

(1)概念的引入：学生从教师创设的情景中，可以直观地认识平行线.从实例中，体会平行线在现实中是存在的，并且有它固有的属性，因此很有必要认真地研究它.当然，我们首先要能深刻地理解它的定义.

(2)分析概念：教师可以举一组图形，帮助学生理解定义中强调的“在同一平面内”这个前提条件.初步形成

(3)掌握平行线的画法：学生刚开始接触几何，为降低难度，适应学生的发展，提高学生的学习兴趣，作图时不要求学生写出已知，求做，证明等步骤，只要保留作图痕迹.通过作图的教学使学生能准确而迅速地画出几何图形，为今后的几何学习打下良好的基础.

(4)平行公理及其推论

在学生画图的过程中，教师可以提出问题，过直线外一点有几条直线可以与已知直线平行呢?学生在动手操作后，可以体验到公理的客观存在性.并且可以让有数学素养的同学，尝试说明平行公理推论的正确性，通过说理，体会数学的严谨性与逻辑性.

教学设计示例

一、教学目标

1.了解平行线的概念，理解学过的描述图形形状和位置关系的语句.

2.掌握平行公理及推论，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线;会用学过的几何语句描述简单的图形和根据语句画图.

3.通过画平行线和按几何语句画图的题目练习，培养学生画图能力.

4.通过平行公理推论的推理，培养学生的逻辑思维能力和进行推理的能力.

二、学法引导

1.教师教法：尝试法、引导法、发现法.

2.学生学法：在教师的引导下，尝试发现新知，造就成就感.

三、重点、难点及解决办法

(-)重点

平行公理及推论.

(二)难点

平行线概念的理解.

(三)解决办法

通过引导学生尝试发现新知、练习巩固的方法来解决.

四、教具学具准备

投影仪、三角板、自制胶片.

五、师生互动活动设计

1.通过投影片和适当问题创设情境，引入新课.

2.通过教师引导，学生积极思维，进行反馈练习，完成新授.

3.学生自己完成本课小结.

六、教学步骤

(-)明确目标

掌握平行公理及其推论的应用，能画出平行线，会用几何语句描述图形的画法，培养学生的逻辑推理能力.

(二)整体感知

以情境引出课题，以生活知识和已有的知识为基础，引导学生学习平行公理及其推论，并以变式训练强化和巩固新知.

(三)教学过程

创设情境，引出课题

师：前面我们学习了两条直线相交的情形，下面清同学们看投影片.观察投影片中的铁路桥梁以及立在路边的三根电线杆，再请同学们观察黑板相对的两条边和横格本中两条横线，若把它们向两方延长，看成直线，它们还是相交直线吗?

学生齐声答：不是.

师：因此，平面内的两条直线除了相交以外，还有不相交的情形，这就是我们本节所要研究的内容.(板书课题)

[板书]24.平行线及平行公理

【教法说明】通过具体的实物和实物的图形，使学生建立起不相交的感性认识，同时在头脑中初步形成平行线的图形.

探究新知，讲授新课

师：在我们生活的周围，平面内不相交的情形还有许多，你能举例说明吗?

学生：窗户相对的棱，桌面的对边，书的对边……

师：我们把它们向两方无限延伸，得到的直线总也不会相交.我们把这样的直线叫做平行线.

[板书]在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

【教法说明】初中几何必须重视几何概念的直观性，所以让学生多观察实物形状，在形成了感性认识的基础上，认识数学名称，让学生从中感受到数学的实在性，减少抽象性.

教师出示投影片(课本第74页图2–17).

师：请同学们观察，长方体的棱与无论怎样延长，它们会不会相交?

学生：不会相交.

师：那么它们是平行线吗?

学生：不是.

师：也就是说平行线的定义必须有怎样的前提条件?

学生：在同一平面内.

师：谁能说为什么要有这个前提条件?

学生：因为空间里，不相交的直线不一定平行.

【教法说明】通过教师的引导，学生观察分析，自己得出结论，从而使学生切实体会到平行线的“在同一平面内”这个前提条件的重要性.

教师在黑板上给出课本第73页图2–16.

讲解：平行用符号“”表示，如图直线与是平行线记作“”(或)读作“平行于”(或平行于)也就是说平行是相互的.

【教法说明】这里教师不必赘述，让学生清楚平行线符号表示、读法和记法就可以了，对于平行线的图形经常会使用变式

图形，不要总是横平竖直的，以防形成思维定式.

师：请同学们思考，在同一平面内任意画两条不同的直线，它们的位置关系只能有几种情况，试画一画，同桌的可以讨论.

学生：两种.相交和平行.

由此师生共同小结：在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种.

尝试反馈，巩固练习(出示投影)

1.判断正误

(1)两条不相交的直线叫做平行线.()

(2)有且只有一个公共点的两直线是相交直线.()

(3)在同一平面内，不相交的两条直线一定平行.()

(4)一个平面内的两条直线，必把这个平面分为四部分.()

2.下列说法中正确的是()

A.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、垂直、平行三种.

B.在同一平面内，不垂直的两直线必平行.

C.在同一平面内，不平行的两直线必垂直.

D.在同一平面内，不相交的两直线一定不垂直.

学生活动：学生回答，并简要说明理由.

【教法说明】这组练习旨在巩固学生掌握平行线定义及平面内两直线的位置关系，通过判断(1)、(3)题让学生进一步体会平行线的“在同一平面内”的前提条件，通过判断(2)、(4)题和选择题使学生对两直线位置关系，尤其是对垂直是相交的一种特殊情况有更深层的理解.

师：我们很容易画出两条相交直线，而对于平行线的画法，我们在小学就学过用直尺和三角板画，下面清同学在练习本上完成下面题目(投影显示).

已知直线和外一点，过点画直线，使.

师：请根据语句，自己画出已知图形.

学生活动：学生在练习本上画出图形.

师：下面请你们按要求画出直线.

学生活动：学生能够很快完成，然后请一个学生在黑板上板演，其他学生观察他的画图过程是否正确，然后师生一起订正.

注意：(1)在推动三角尺时，直尺不要动;

(2)画平行线必须用直尺三角板，不能徒手画.

【教法说明】画平行线是几何画图的基本技能之一，在以后的画图中常常会遇到，要求学生使用工具，不仅能养成良好的学习习惯，也能培养学生严谨的学习态度.

尝试反馈，巩固练习(出示投影).

1.画线段，画任意射线，在上取、、三点，使，连结，用三角板画，，分别交于、，量出、、的长(精确到).

2.读下列语句，并画图形

(1)点是直线外的一点，直线经过点，且与直线平行.

(2)直线、是相交直线，点是直线、外的一点，直线经过点与直线平行与直线相交于.

(3)过点画，交的延长线于.

学生活动：学生在练习本上按要求画图，并由两个学生在黑板上画第2题的(2)、(3)题，学生画完后教师给出第1题的图形(提前做好的投影片)，请学生回答测量的结果，然后共同订正第2题的(2)、(3)题.

【教法说明】这组练习重点巩固平行线的画法及理解描述图形形状和位置关系的语句，能够根据语句画出正确图形，注意要求学生用准确的几何语言反映图形，同时真正理解几何语言才能画好图形.

师：我们练习了过直线外一点画已知直线的平行线，请同学们回忆，过直线外一点能不能画直线的垂线，能画几条?

学生活动：学生思考并回答，能画，而且只能画一条.

师：下面请你试一试，前面我们完成的过直线外一点与已知直线平行的直线可以画几条，想一想，你能得到什么结论?

学生活动：学生动手操作，思考后总结出结论：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

师：我们把这个结论叫平行公理，教师板书.

【板书】平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

【教法说明】学生对垂线的惟一性比较熟悉，通过对惟一性的回顾，学生能够用类比的思想，把自己动手得到的实验结论采用准确的几何语言描述出来，这样不仅培养了学生善于类比的思想，同时也训练了学生语言的规范性.

师：过直线外一点，能画这条直线的惟一平行线，若没有条件“过直线外一点”，问你能画已知直线的平行线吗?能画多少条?

学生：思考后，立即回答，能画无数条.

师：请同学们在练习本上完成.

(出示投影)

已知直线，分别画直线、，使，.

学生活动：学生在练习本上完成.

师：请同学们观察，直线、能不能相交?

学生活动：观察，回答：不相交，也就是说.

师：为什么呢?同桌可以讨论.

学生活动：学生积极讨论，各抒己见.

【教法说明】几何的学习不仅要求学生有较强的识图能力，而且要求学生有过硬的分析能力，也就是说理能力.初一几何课是几何课的起始课，从开始就让学生养成自己动手、动脑、思考、分析问题的习惯，即加强几何思维不惯的培养，这是个很重要的内容.线与就不相交，也不平行.

师：同学们想一想，当我们说两条射线或线段平行时，实际上是什么平行才可以呢?

生：它们所在的直线平行.

尝试反馈，巩固练习(投影)

填空：∵，(已知)，

∴_______________().

学生活动：口答.

【教法说明】巩固平行公理推论的掌握，同时让学生清楚平行公理推论的符号语言，为今后进行推理论证打好基础.

变式训练，培养能力(出示投影)

选择题

下列图形都不相交，哪一个平行()

【教法说明】进一步加深学生对平行线的理解，尤其是平行的变式图形.

(四)总结、扩展

师：今天我们学习了平行线，知道了同一平面内两条直线位置关系只有相交、平行两种，完成下表：(出示投影)

学生活动：表格中的内容均由学生口答出来.

【教法说明】通过学生完成表格，不仅回顾本节所学知识，同时培养学生的归纳总结能力，使学生所学知识形成体系，从而更好地掌握知识.

八、布置作业

(一)必做题

课本第96页习题2.2A组第3题(1)、(2)题.

(二)思考题

1.能直接利用定义判断两条直线是否平行吗?

2.怎样才能判断两条直线是否平行呢?

3.阅读课本第76页，“读一读”的观察与实验，课下同学之间相互演示.

作业答案

3.

(1)(2)

九、板书设计

学生活动：教师让学生积极发表意见，然后给出正确的引导.

师：我们观察图形，如果直线与相交，设交点为，那么会产生什么问题呢?请同学们讨论.

学生活动：学生在教师的启发引导下思考、讨论，得出结论.

师：同学们想得很好，因为，，于是过点就有两条直线、都与平行，根据平行公理，这是不可能的，这就是说，与不能相交，只能平行，由此我们得到平行公理的推论.

[板书]如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

师：在同一平面内，不相交的两条直线是平行的，那么不相交的两条射线(或线段)也是平行的，对吗?为什么?

投影几何范文篇5

民族数学文化的意义不仅在于它是民族文化的重要组成部分，最主要的还在于它对中小学数学教育教学的现实作用和价值。我国少数民族的日常生活中隐藏着丰富的数学知识，各种空间几何图形、平面几何图形，即相似形、全等形、轴对称与中心对称、平移、旋转、反射等，结合少数民族数学文化与民族学生实际开展因材施教，促进数学课程内容的改革，开发本土教材，具有现实意义。事实上，每个民族都有自己独特的文化体系，农牧区学校教育的内容要与之紧密结合，才能激发学生的学习兴趣，才能保证民族传统文化的传承。梳理少数民族日常生活中诸多方面所涉及的几何元素，可以看到其文化中蕴藏着有利于少数民族学生进行几何(数学)学习的“直观、生动、有趣”易于理解的民族数学文化资源。这些丰富的自然与人文资源，为本土课程的开发提供了广阔的前景。

2研究方法

2.1哈萨克族传统建筑几何元素资料的调查与整理

从几何的视角对哈萨克族传统建筑结构进行探索性研究，通过野外调查、访谈、文献检索等方式搜集与其传统建筑结构几何元素相关的资料。野外调查主要针对现存的哈萨克族传统建筑，拍摄了一些宝贵的建筑实物图片。研究者在多年中，先后赴伊犁、阿勒泰、塔城等地对哈萨克族传统建筑进行了调查与整理。访谈对象包括：哈萨克族建造人员、哈萨克族建筑文化的传承人；收集他们保存的珍贵历史图片、文字资料；记录他们对历史建筑的口头叙述。文献检索自1991年至今已出版的各种版本的民族文献资料，特别将哈萨克族毡房结构的研究经验和方法[5-6]结合在一起进行整理，形成比较完整的哈萨克民族建筑几何元素资料集。

2.2根据中小学数学教材几何部分内容从哈萨克民族建筑几何元素资料集中选取适合的内容

通过中小学数学教材几何部分的结构内容分析与研究，根据哈萨克民族建筑几何元素资料集，选取相关内容用于少数民族地区中小学几何教学，以求找到有效的教学策略，构建相应教学模式，并在实践的教学中检验、改进。

3哈萨克族传统建筑中的空间图形

3.1传统建筑与对应的空间图形

3.1.1毡房建筑立体图哈萨克族毡房模型都分别与三维空间中的立体图对应，如图1所示。其中图1(a)是哈萨克族传统大毡房(克谊孜宇——Kiyizuy)，由不同的4个立体图(从下往上分别为圆柱、球带、圆台、球冠)组成，参见图2；图1(b)是中毡房(霍斯——Hos)，由不同的两个立体图(圆台、球冠)组成；图1(c)是小毡房(乌兰海——Uranhay)，而图1(d)是临时毡房——人字型小窝棚(依塔尔哈——Iytarha)，他们分别与圆锥、三棱柱对应。图1(a)是哈萨克族传统大毡房，它的框架(骨架)从下往上栅栏、撑杆(撑椽)、穹庐(顶圈架)三部分组成，图1(b)是中毡房，它的框架从下往上撑杆、穹庐两部分组成，而图1(c)是小毡房，它的框架由若干个撑杆组成，这些不同哈萨克族毡房的地面投影均为圆(圆盘形或若干个同心圆)。图1(d)是临时毡房，它的框架两张或四张栅栏组成，其地面投影是长方形或正方形。该内容在高中数学2(必修，人教版2008年10月)第一章第1节1.2空间几何体的三视图和直观图的教学中；初中数学九年级上册(人教版2014年6月)第二十四章第3节24.3多边形和圆的教学中；初中数学七年级上册(人教版2014年6月)第四章几何图形初步的教学中和高中数学第三册(选修Ⅱ，2003年6月)第二章，极限的教学中都可以参考。哈萨克族大、中、小毡房的地面投影都是圆形(圆盘形)，而临时毡房图1(d)的地面投影是长方形或正方形。大毡房的组装(搭建)比较复杂，围墙由四张或六张木栅栏组成(多用六张木栅栏)，其空间形状为圆柱，六张木栅栏即为圆柱的侧面。在图2(a)中阴影部分的左棱为轴，在三维空间中旋转360°后构成的曲面顺序称为(从下往上)圆柱、球带、圆台、球冠。其中球带是球面在两个平行截面之间的部分；球冠是球面被一个平面截得的一部分。从旋转体的角度去看，大毡房也是空间直角坐标系oxyz中oz轴为对称轴的一种旋转体，叫做“哈萨克毡房形旋转体”。该内容在初中数学七年级上册(人教版2003年12月)第三章第1节3.1.1立体图形的教学中；初中数学九年级上册(人教版2007年5月)第二十四章第1节24.1.1圆的教学和第4节24.4.2圆锥的侧面积和全面积的教学中；高中数学2(必修，人教版2008年10月)第一章空间几何体的教学中都可以参考。3.1.2木房建筑立体图图3(a)~(c)是哈萨克族传统木房(屋顶似“人”形的木房)，这些木房的下半部分是长方体或正方体，上半部分是三棱柱，这些木房的地面投影为长方形或正方形。图3(c)是保留了传统建筑风格的现代建筑，其由长方体、交叉的三棱柱等几何体组成。该内容在小学数学一年级上册(人教版2014年6月)目录4认识图形(一)和小学数学一年级下册(人教版2013年11月)目录1认识图形(二)的教学中都可参考。3.1.3土房建筑立体图图4(a)是伊山赛提清真寺，它由三部分组成，即长方体、圆柱体和上面的球冠，其地面投影为长方形，长方形里面包含圆形。图4(b)是1773年在伊宁市建成的拜吐拉清真寺，它是四层建筑，最上一层是正六棱柱，它的地面投影为长方形，长方形内包含正方形、正方形内包含正六边形，本寺亭由12根柱子支撑，其空间形状为长方体、正四棱柱和正六棱柱的组合；在第二、三层中的四根柱子即为四棱柱的侧棱；在第四层中的六根柱子即为正六棱柱的侧棱。图4(c)是伊宁县其巴尔吐别克清真寺，它由上下两部分组成，即下半部分是长方体、上半部分是楔形，它的地面投影为长方形，长方形内包含两个等腰三角形和两个等腰梯形，其空间形状为长方体和楔形的组合体。它是保留了哈萨克族传统建筑风格的现代建筑。该内容在高中数学第二册(下B，人教版2001年10月第2版)第九章直线、平面、简单几何体的教学中可参考。

3.2传统建筑中的“点”、“线”、“面”

在中小学《数学》教科书中的几何图形都由“点”、“线”、“面”组成，同样传统建筑中也是如此。比如，哈萨克族传统建筑“毡房”中的木栅栏(围墙)是由“点”、“线”(曲线)组成，圆屋顶是由直线和曲线(撑杆)组成，而穹庐(天窗)是由圆、弧(拱弧)组成；哈萨克族传统木房建筑和土房建筑也由“点”、“线”、“面”形成。如，在建筑中每两个棱或三个棱的交叉处表示一个“点”(或者三个平面的公共交点)、每两面的交叉处表示“直线”。墙面或平面的构成：三个点、相交的两条直线、平行的两条直线、一点和一条直线都构成一个平面。该内容在初中数学七年级上册(人教版2003年12月)第三章第1节3.1.2点、线、面、体的教学中可参考。

3.3传统建筑中的“曲面”

3.3.1传统毡房中的曲面在图1(a)中哈萨克族大毡房的大小是根据木栅栏(房墙)的多少来定，大毡房整套木栅栏的多为偶数，奇数少见。一般的大毡房多用4~6张(块)木栅栏。每张栅栏宽约2.5~3.5m，高约1.5~1.7m；如果人口多，经济条件好，可使用8~10张栅栏，这种大毡房高大而宽敞，被称为宫殿(窝尔达——Orda)。在历史上也有过12~18张栅栏的大毡房，这种大毡房称为白宫殿、洁白的毡房(阿克窝尔达——Ahorda)；“根据资料，历史上也用过庞大的30张栅栏的大毡房”[8]，这种大毡房称之为金宫殿(阿勒腾窝尔达——Altenorda)。当木栅栏中每一个网格面积无穷小时，该栅栏表示曲面。大毡房的高度随其大小变化，常用大毡房的高度一般在4~5m，占地面积20~30m2，四周是圆柱形的木栅栏(围墙)，顶部由圆屋顶和弓形两个曲面组成。常用哈萨克族大毡房的内壁一般4~12段交叉的活动木栅栏(可列格——Kerege)做围墙；毡房的圆屋顶由撑杆(乌俄克——Weh)和顶圈架(强俄拉克——Xangerah)构成，其中房顶是顶圈架(天窗)；撑杆上段直，下段60~70cm处弯曲，木栅上拴接数十至百十根撑杆(撑杆多少，视毡房大小而定)，一般为60~180根，再将撑杆的另一端插入木制顶圈架的各孔中。哈萨克族大毡房的传统房架从上至下由顶圈架、木撑杆、木栅栏和门(哈语称耶斯克——Esik)等四部分组成，顶圈架位于哈萨克族大、中毡房顶中央。搭建方法：把撑杆的一端插入顶圈架的孔中，其数量与栅栏上端交叉处的叉口数量相等，然后用羊毛绳捆绑，与顶圈架构成一个整体。具有6张木栅栏的哈萨克族传统大毡房盖料一共有7张，即这种房架的外壁盖以4张毡壁(图尔勒克——Twerleh)，圆屋顶部盖以2张包毡(吾孜克——Uzik)，房顶部盖以1张顶毡(屯勒克——Tunglik)。这样构成一个大毡房的整体曲面。该内容在高中数学第三册(选修Ⅱ，人教版2003年6月)第二章极限的教学中可参考。3.3.2传统建筑美学依据哈萨克牧民现居住毡房，经过测量，它的直径=5m，高度=3.1m，毡房高度与直径比例约为0.62，其比值是510.6182，保留前三位数字的近似值为0.618。此比例被称为黄金分割，这个比值称为黄金分割比(中外比)。因为10.618510.6180.6182，所以黄金分割数是无理数，哈萨克族大毡房构建比例符合黄金分割比，因此看起来显得非常美观庄严。3.4空间中的对称空间轴对称：因为哈萨克族传统建筑的主体形状有圆柱、圆锥、三棱柱、长方体、正方体，所以它们无论属于哪一类建筑都是空间轴对称的。如果将建筑地面投影中心假设为三维空间坐标系oxyz的原点，那么oz轴为空间对称轴。该内容在初中数学八年级上册(人教版2014年6月)第十三章轴对称图形的教学中可参考。

4哈萨克族传统建筑的对称轴截面图

4.1平面上的对称

4.1.1毡房建筑的对称轴截面图和其他平面图从图2可知，哈萨克族大、中、小毡房在三维空间坐标系oxyz中是轴对称房屋。图5(a)是哈萨克族大毡房模型，以oz为对称轴的截面示意图，它的左半部分和右半部分相等，其中包括两个等面积的矩形、三个曲边梯形、一个等腰梯形、等面积的两个直角梯形和弓形等图形，它说明哈萨克族大毡房是空间轴对称房屋。图5(b)是大毡房两扇木门平面示意图，它也是轴对称。图5(c)为哈萨克族大毡房几何模型对称轴截面(平面)示意图，它包括长方形(矩形)、曲边梯形、等腰梯形、弓形等几何图形。当垂直于对称轴的平面相截毡房模型时，出现无限多个不同圆或相似圆。图5(d)是哈萨克族大毡房的木栅栏，在图中伸展木栅栏的格子(网眼)类似于平面上的菱形或平行四边形。该内容在小学数学四年级上册(人教版2011年6月新疆)目录4平行四边形和梯形的教学中；初中数学八年级上册(人教版2014年6月)第十三章轴对称图形的教学中都可参考。4.1.2土房建筑的对称轴截面图图4是哈萨克族土房建筑，系轴对称房屋。图6是哈萨克族土房建筑以oz为对称轴截面示意图，其左、右部分相等，说明哈萨克族土房建筑是空间轴对称房屋。图6(a)包括长方形、弓形或半圆形、正方形等几何图形；图6(b)包括长方形(矩形)、正方形、三角形等几何图形；图6(c)包括长方形、梯形、三角形等几何图形。当垂直于对称轴的平面相截该建筑模型时，出现无限多个不同长方形、正方形、圆、半圆、正六边形等平面几何图形。该内容在小学数学三年级上册(人教版2014年6月)目录7长方形和正方形的教学中；初中数学八年级上册(人教版2014年6月)第十三章轴对称的教学中都可参考。4.1.3中心对称哈萨克族传统建筑中的门、窗、地面投影、墙面的平面，当垂直于对称轴的平面相截于该建筑模型时得到的平面图都是中心对称图。该内容在初中数学九年级上册(人教版2014年6月)第二十三章，23.2中心对称的教学中可参考。

4.2几何变换

平面图形的构造方式也有初等几何的相似变换。初等几何的全等变换，包括轴反射变换、平移变换、旋转变换，平移变换又有共点平移、共线平移、等距离平移。图5(a)和图6(a)~(c)中的几何图形的构成方式是初等几何全等变换中的轴反射变换。图5(b)中的几何图形的构成方式是初等几何变换中的平移变换；而图5(d)是大毡房木栅栏示意图，它是由菱形共点平移或共线平移或等距离平移等变换得到的。其他木房和土房传统建筑对称轴截面图的构成方式是类似的，在这些平面图形中，图形的轴反射、旋转、平移等变换构成了哈萨克族传统建筑形状的整体美与对称美。

5结束语

投影几何范文篇6

一、投影装置艺术

投影艺术（ProjectionMappingArt，简称PMA），也被称为视频投影艺术，是一种艺术表现手法，其主要形式是将各种不规则形状或结构作为视觉影像投射的载体，因此也被称为结构投影。投影艺术有两个特点，一是强调影像与结构契合的节奏感，二是具有鲜明的音乐节奏，通过音画同步进一步强化画面的视觉张力。基于投影艺术的装置艺术是对传统装置艺术的拓展。采用新媒体手段的装置艺术是在实景装置的基础上，增加一层虚拟的信息（影像、声音），由于装置几何结构的特殊性，虚拟投射的信息更有针对性和空间节奏感，再加上音画的节奏韵律，使现场气氛更富有律动和美感。投影装置艺术同样提供了全新的体验方式，“在装置作者的预谋之下，有意识地诱导观众参与装置作品或关注装置中的影像，结合装置设施，从而实现观众与作品之间的观念连通，形成一种纳观众身体和行为于影像装置的即时体验。”①在过去，电视、电脑和电影屏幕都是平面的、矩形的，而投影艺术彻底改变了这些传统屏幕，实现了对它们的解构与重构。投影艺术的投射载体从舞台、建筑外立面（图1），实物模型（各种几何体），各种产品如Nike的鞋子（图2）和保时捷的汽车等，范围非常广泛。投影艺术载体的多样性非常适合“游击”式的视觉表达，且硬件成本不高（超大体量的户外投影除外），对于从事视觉艺术的人来说，是一个经济而富有魅力的新媒体创作模式。概括起来，投影艺术主要的应用领域包括品牌营销、舞台表演、互动娱乐、主题公园、展览展示和公共艺术。如由墨西哥艺术家为鹿特丹舒乌伯格广场设计的公共艺术《BodyMovies》（图3）就是一个经典案例，“舒乌伯格广场是互动式的，利用投影机投出的大型画面，将舒乌伯格广场变为一个巨大的互动艺术装置作品。”②

二、新媒体投影装置艺术教学案例剖析

一个完整的新媒体装置艺术设计教学应该包括选题、媒介分析、内容创意、内容制作、作品整合、体验反馈等多个环节。限于篇幅，本文选取选题、媒介分析及内容创意三个部分进行详细探讨。

（一）选题

选题阶段主要确定设计作品所要表达的主题，这一阶段通常是由教师给出一个大致的范围，然后由学生进一步细化，或是进行无主题设计方案。本文列举的案例属于后者，题目要求学生采用投影装置这一表达媒介，主题可自由选择，目的重在训练学生对新媒体的运用。学生在此阶段的首要工作是大量观看、解读各类投影装置艺术作品，以了解投影装置的形式、载体、空间等创作特点，商业类或艺术类的作品都可以是学生研究的对象，然后根据选择的主题进行创作。如案例以“六一儿童节”为主题（图4），创作欢快有趣的投影装置，装置空间可以是户外或室内。

（二）媒介分析

媒介分析是新媒体艺术设计中极为重要的一个环节，哪种媒介适合哪种效果的表达，是否与特定的空间吻合，是否容易安装、搬运，包含哪些技术细节，装置造价是否可以接受等，都是需要考量的因素。因为选题要求媒介为投影装置，所以无需再比较各种媒介的优劣。媒介分析的具体内容采用什么样的载体适合主题的表达、体量大小、对投影机功率有何要求、针对所选择的载体在技术上如何实现投影对位、对位软件的选择等。如选择以数个方形盒子堆叠的塔状（图5）为投影载体，盒子的材料为纯白色硬纸板。一方面方形盒子比较简单，容易搭建，成本可控；另一方面，投影控制在盒子上比较容易对位。对位软件是Mac平台上的MadMapper，该软件简单易用，能让设计师把精力集中在投影内容本身的同时，实现较为强大的现场投影效果。图1PMC为伦敦巴特西电厂改造项目设计的大型投影装置

（三）内容创意

内容创意设计实际上就是动画的前期创意，包括故事版（图6）、美术风格、音乐等。由于投影装置载体的特殊性，在绘制故事版时必须注意投影机的视角，进而框定投影影像的边界。故事版中的每一个画面都应该被边界框定，同时由于投射载体的几何特性，那些位于边界内部的点、线、面也成为内容创意的关注点。恰当地运用这些几何特征将增加作品的空间感和韵律感，因此投影装置艺术是内容解构和实体重构的结合体。投影装置艺术设计的其他阶段还包括内容制作、作品整合以及体验反馈等。尽管内容制作依然沿用传统制作手段，但媒介的几何特点以及投影的空间环境等都会对制作内容产生影响。作品整合阶段基于特定的空间、时间搭建装置并使其呈现富有创意的内容。体验反馈阶段则需要观众参与，观众置身于新媒体艺术作品所营造的展示空间内，通过参与完成与作品的对话，并反馈设计缺陷，通过反复修改实现最终效果。

投影几何范文篇7

一、Inventor工业产品设计教学简介

Inventor工业产品设计是一门实践性较强的专业技术课程，涉及的内容主要有以下几方面：（1）零件设计。首先根据产品的设计方案和分析计算进行概念化设计，然后再进行详细设计，是将几何设计与零件设计融为一体。（2）装配设计。AutodeskInventor的装配设计完全支持各种设计流程，无论是自顶向下，还是自底向上设计，或者是混合设计，AutodeskInventor都可很方便地在零件环境和装配环境中转换。由于在装配过程中采用了自适用技术，所以，装配设计是基于装配关系的关联设计，从而使得设计流程更加顺畅。（3）表达视图。表达视图演示了在整个装配的过程及装配体的具体组成，整个分解过程可以录制并保存动画。这样，可使学生很好地理解装配体的安装及拆解过程，更好地读懂装配体。（4）二维工程图。AutodeskInventor软件中二维工程图是由三维实体模型直接生成的，包括基准视图、轴测图、剖视图、辅助视图、投影视图和局部放大视图等。二维工程图与对应的零件模型或装配体模型具有全相关性，其二维工程图可以保存为其他格式，便于和其他软件交流。而机械制图课程是培养学生的空间想象能力、空间分析能力和对空间形体的表达能力。由“体”到“面”、再由“面”到“体”即由“三维实体”到“二维图形”、再由“二维图形”到“三维实体”是其教学的主要过程，这一过程与传统的设计过程是一致的，即设计者在设计过程中首先构思出整个产品的三维模型，再根据一定的投影原理，表达成二维图形；看图者根据二维图形想象出产品的三维形状。

二、机械制图在inventor教学中的应用

1.在“物体三视图”教学中的应用

“物体三视图”是机械制图教学中最重要、最基本的教学内容，它是教导学生怎样利用二维平面图形来表达空间物体的三维形状。由于现在教学时间的减少，对于点、线、面的投影往往省略，从正投影的基本性质直接进入到物体的三视图的画法当中。而在这一学习的过程中，很多学生无法搞清物体的表面对投影面的位置关系以及对投影面的投影特性，因此，绘制出来的物体的三视图往往是不正确的。现在利用inventor进行工业产品设计，我们可以利用其提供的功能，来解决这一难题。具体的实现过程是：首先依次选择三个平面作为三个投影面，在右键菜单选择“新建草图”，进入到绘制草图状态，再选择“投影几何图元”的功能，依次选择物体的各个表面并加以确认，结果，物体在投影面上的投影（视图）就自动创建了。这一过程直观地显示出，物体的表面与投影面的位置关系及其投影特性。“投影几何图元”的功能相当于画法几何中的“正投影”。

2.在“相贯线”教学中的应用

在机械制图教学过程中“，过渡线”是教学的重点也是难点，尤其是一些稍微复杂的形体相交产生相贯线（包括过渡线），特别是对于特殊的相贯线，由于没有比较直观、逼真的实体模型，学生在理解上非常困难。即便是花费了大量的时间，有的学生仅停留在对于两个较简单形体相交产生的外部相贯线的理解上，但对于较复杂形体相交、多个形体相交、形体空腔内部的相贯线以及过渡线却束手无策。利用inventor进行工业产品设计时绘制泵体的实体模型。它不仅清楚地将泵体外部相互接触的形体产生的相贯线（过渡线）显示出来，而且还可以利用它提供的分割工具，将泵体从中间分开，则泵体内部孔与孔之间的相贯线也一览无余，还可根据不同要求变换各种位置，做各个方向的投影和轴测图，更优秀的是它的参数化功能，通过改变相交形体的形状和尺寸，来观察相贯线的变化情况。这样学生可以从不同角度观察形体，极大地增强了空间想象力。

投影几何范文篇8

一、课程教学中存在的问题

画法几何与工程制图课程在西北农林科技大学课时为64学时，与80年代原国家教委要求的教学参考学时相比减少了近一半［1］，这就要求教师必须借助多媒体教学方式高效地开展教学［2］，但该课程具有听课容易、习题难做的特点，课堂上的高效教学容易造成学生上课能听懂、课下完成练习很困难的局面。另外，由于大一学生缺乏建筑、水利等方面的基本知识，造成其对建筑物各部分形状功能的图形表达不理解、不明白，学完后记忆模糊等问题。为此，对以学生为中心的教学改革的探索和实践显得尤为重要。

二、课程教学改革与实践

(一)在绪论中增加课程起源的介绍

画法几何与工程制图课程为什么叫画法几何，与几何有什么联系，也许是大一学生首先想到的问题。基于以学生为中心的引导思路，我们在教学中加入了“几何之父”欧几里得、“解析几何之父”笛卡尔和“画法几何之父”蒙日的介绍，这样可以引导学生了解以前学习的知识与这门课程的联系，增加对这门课程的兴趣以及对课程重要性的认识。这一过程的讲解，可以通过介绍公元前300年“几何之父”欧几里得所著的《几何原本》中的勾股定理、正弦定理、多边形相似等学生都已经学过的内容，使学生回忆过去所学的初等几何的概念，再进一步介绍17世纪“解析几何之父”笛卡尔在病床上看到蜘蛛网后，发现几何图形是可以放入坐标系中应用数学方程表示，从而建立了解析几何，使学生认识到解析几何与初等几何的区别和联系。最后引入18世纪中期以前人们借助初等几何和解析几何知识来修建工程以及制造机械构件的工作是非常繁杂的而且常常出现错误，直到“画法几何之父”蒙日运用二维的平面图形来表示三维空间中的立体，形成了工程界通用的“语言”，推动了各国机械工业和工程建设的发展，使学生认识到画法几何与初等几何、解析几何的区别，并且认识到该课程的必要性和重要性。

(二)引入BOPPPS教学方法

BOPPPS教学方法为台湾大学王秀槐教授多年研究的成果。王秀槐博士毕业于麻省理工大学，主攻教学方法，其提出的教学方法包括B(bridgein)引入、O(object)目标、P(pretest)前测、P(process)过程、P(posttest)后测和S(summary)总结5个部分。我们通过王秀槐教学工作坊的培训，熟悉了5个部分的组成，并将该教学方法引入课堂教学。首先是对原有的课件进行修改，使其体现这5个方面的内容;其次在教学过程中通过提问进行前测，以了解学生的现有基础并引导其进入将要学习的内容;然后根据测试结果，安排重点讲解和略讲的课程内容，在讲完教学内容之后，通过练习进行后测，以了解学生掌握程度;最后进行课程内容总结。经过该教学方法的引入，我们发现学生对知识的掌握程度有所提高，并且课堂中疲劳、走神、注意力不集中等现象有所减少。

(三)应用实体模型、多媒体技术展示空间形体和工程构筑物

展示于课件中的立体模型，通常只能呈现一个角度，不容易从各个方向观察。对于大一学生而言，他们缺乏水利、土木工程构筑物方面的基础认识，因此通过对缩尺模型各个角度及方向的观察和认知，可以让其充分理解立体或工程构筑物的构成及多面投影的意义。画法几何部分的实体模型展示能够增加学生的空间想象能力［3］，但实物展示也存在缺陷，特别是在60多名学生共同上课的课堂上，学生的视角不同，加之实体模型通常较小，学生观察不清晰。这时可以引入先进的多媒体技术，利用三维软件，生成所需的各种模型。这些模型图像逼真，尺寸较大，并且可连续地上下、左右、前后旋转展示，学生能够更加清楚和细致地观察模型，展示效果得以提升。

(四)增加正确做法与错误做法的举例

学生作图的过程通常具有一定的习惯和自己的认识，做出一道题通常也付出不少辛苦，但当做错时，如果不对其指出错误原因而只讲解正确做法，学生通常不能深刻认识到错误的原因，从而改正自己固有的认识和习惯。在课堂教学特别是讲解习题作业时，对正确做法与错误做法均举例，提高学生对该课程的掌握程度。比如在讲解贯穿点投影时，给出图1(a)已知投影，求直线与圆柱体的贯穿点投影。根据直线与圆柱体在正面和水平投影上有4个交点，可根据学生习惯思维假定1、2是空间实际贯穿点的投影，得到错误做法，如图1(b)，再询问学生是否正确，检验出2是2’与圆柱面在水平面的重影点而非贯穿点，然后得到正确做法，如图1(c)。这种教学措施通过先不给学生正确答案，引导其思考和判断，可以达到纠正其错误习惯和认识的目的。

(五)应用Soilidwork建立立体模型库

在讲授建筑形体表示方法中的剖面、剖视图时，课堂所用课件中的立体模型有三维视图，而作业中还没有构建立体图。通过Solidwork软件制作这些立体模型并进行剖切后截面的展示，一是可以提高学生作剖面图和剖视图的能力;二是学生在学习绘制剖面、剖视图时，立体模型能辅助其进行空间想象和分析［4］;三是教师在作业讲解时，能够使学生认识到自己空间想象立体与实际立体的差别，从而达到矫正的作用。

(六)作业及时修改，对学习有困难的学生和少数民族地区学生单独辅导

在批改习题作业时做到每题批改和及时批改，让学生能够及时知道自己对所学知识的掌握程度。共性问题在课堂讲授，个性问题引导学生根据批注或提供的答案进行比对改正。对学习有困难的学生和少数民族地区学生，因其学习基础较差，需要对其进行单独辅导，通过讲解作业出现错误的原因，使其达到提升掌握该课程水平的目的。

三、结语

文章结合土建类专业画法几何与工程制图课程教学进行改革和实践，在一定程度上提升了教学效果，提高了学生掌握该课程的程度。值得展望的是西北农林科技大学工程制图课组正在尝试将微课引入该课程。微课程将课程知识点分解，支持课下学习，这样就将学习时间最大可能地还给学生，培养学生自主学习的能力。微课更加注重在课堂中进行实践与练习，更适应将来工程教育的方向［5］，相信会进一步提升该课程教学效果。

作者:胡海军 裴金萍 杨秀娟 张 博 付 国 刘 滔 单位:西北农林科技大学

参考文献:

［1］安蔚瑾，林孟霞．面向工程素质的工程制图教学改革研究［J］．潍坊教育学院学报，2011(6):65－67．

［2］叶晓芹．关于新形势下画法几何学课程教学设计的探索［J］．工程图学学报，2004(4):168－171．

［3］陈光，杜微，刘小东，等．面向画法几何教学的新型教具开发和应用研究［J］．图学学报，2015，36(6):828－833．

投影几何范文篇9

第一，让学生积累丰富的形象素材和抽象素材。理性认识是建立在感性认识的基础上的。形象并不是头脑中凭空臆造出来的，它根源于现实的物质世界，离开了对物质世界的感性认识，形象思维便成为无源之水。因此，应当重视向学生呈现丰富的感性材料。如基本几何体是组成机械零件结构的基本单元，属于形象思维的素材；点、线、面及其空间位置关系，是视图的基本要素，属于抽象思维素材。利用教学模型使学生尽可能多地积累这两方面的素材，是培养和训练思维能力的基础。第二，提高学生的思维概括能力。概括是知识领会过程中对感性知识进行分析、综合，逐步形成理性认识的过程。提高思维的概括能力就是提高揭示所学知识本质特征并概括为概念或形象的能力。如三视图中，主视图、俯视图、左视图之间“长对正、高平齐、宽相等”的对应关系，就是对投影线面的规律性概括，在此基础上，可以训练学生进一步找到右视图、仰视图与基本视图之间的联系。概括能力的提高不可能一蹴而就，是在思维能力训练过程中逐步强化的。第三，努力丰富学生的想象力。想象是人脑对已有表象进行加工改造、创造新形象的思维过程。教学中应鼓励学生大胆将已有知识信息进行改造重组并作恰当的推测估计，有利于丰富想象力。在训练中将已知条件进行必要的改造重组，以丰富的想象力为基础运用形象思维进行判断推理得出结果，有利于丰富学生的想象能力。如机械制图课的习题，可以通过修改已知三视图的点、线、面，让学生去想象视图修改以后其对应的实体结构的变化，并画出轴测图。

机械制图教学中思维能力训练实践

1.这一部分是机械制图的重点内容，同时也是教学难点。学生在学习这一部分的内容时，其思维发展正处在形象思维占主导地位的时期，根据课程内容和学生的思维发展规律，在教学中应主要采用形象比喻的教学方法，引导学生把抽象的点、线、面投影转换为具体而又直观的投影模型。例如：从两点的三面投影图来判断两点之间的空间位置关系，可以让学生用硬纸板制作一个三面投影体系模型，将三面投影图与投影模型进行对比，定出两点间的空间位置，学生通过自己的思维判断，加上老师的引导归纳，使其思维判断从现实空间得到证实。2.几何体投影知识教学中的思维训练几何体投影知识教学中的思维训练，应当遵循从简单到复杂的规律，即从基本几何体到组合体分段进行训练。两个阶段中，学生的思维训练需要在老师的引导下，从实物到平面视图（从形象到抽象），再从平面视图回到实物（从抽象回到形象），使学生的空间思维能力在这种反复的转换变化中得到有效的训练。在此过程中，利用大量的实物模型来积累学生的抽象素材（即各种基本几何体在三维投影体系中处于不同的空间位置时，其投影三视图的对应关系的变化）也是非常重要的，在组合体投影教学中对教学效果影响很大。组合体投影知识教学是以基本几何体投影知识为基础，因此，对组合体的合理分解、切割——即形体分析，在教学中很重要。如果学生只是对着组合体模型画其视图而不进行形体分析，效果就不理想。3.识读零件图教学中的思维训练读懂图样是机械制图课程的最终目的。读懂零件图的关键是理解零件的结构和形状，也是重点和难点。因此，组合体投影的思维训练方法仍适用于识读零件图。在读图时应联系零件的工作位置、用途以及它和其他零部件的相对位置关系综合思考，较为复杂的零件图还可以借助绘制轴测草图来帮助想象，可以绘出整个零件的立体草图，也可以只绘出一部分形体。另外，标题栏、技术要求、尺寸标注、零件视图是组成零件视图的四大部分，它们相互关联，分析、想象零件结构时必须将这些内容结合起来。零件图视图分析的顺序一般是先整体后局部、先主体结构再次要结构、先主视图再其他视图，按投影关系分析零件图中各视图的配置和相互间对应关系，运用形体分析法和线面分析法去理解零件各部分的结构，想象零件的结构形状。在课堂教学中，应注意引导学生的思维方式，使学生按照正确的步骤，综合运用已学过的知识和已具有的空间思维能力去解决问题，老师要通过设计一系列的问题有目的、有层次地启动学生的思维，使学生的思维程序按照教师预先构思好的框架线路运行，方能取得良好的思维训练效果。

投影几何范文篇10

1.进行头脑素材积累，培养学生感性认识

一个人头脑中的旧印象素材越多，构建新印象的渠道和方法就多，想象力也就发达。如果头脑中的旧印象越少，构建新印象的渠道和方法就很受限制，导致想象能力差。由此可见，让学生将生活与学习中的经验，进行有效的表面素材积累，多进行联想就能增强对几何图形的感性认识。比如对于数学中关于阴影的一些教学，可以在教学中引导学生去观察生活中日、月和灯光下的影子成形过程。这样，就能非常轻松理解什么是投影，什么是中心投影，什么是平行投影这些概念。比如灯光就是围绕一个点扩散，就是中心投影；阳光呢，就是一个平行投影。通过这些有效的头脑素材积累，就增强了学生对投影这个概念的感情认识。有时候对于一些很复杂的概念和原理，其实对于中学生来说，只要头脑素材充分，感性认识能力强，就非常直观和容易理解了，学习起来就更加顺利了。

2.加强动手操作实验，提升学生感官体验

培养初中学生的几何直觉能力，可以通过折纸、剪纸、拼图等实验活动让学生获得直接的感官体验。这样不仅可以培养学生的观察能力，还可以培养学生的动手操作实验能力，而这两个能力可以直接提升学生的感官体验。只有通过自己的观察和实际操作，让学生感受和体验，增强他们的官场体验意识，才能更好地提高学生的几何直觉能力，提高学生的数学思维创新能力。这是一个环环相扣的过程。因此，在日常数学教学中，教师应注重实验操作的组织和对学生的指导。让学生能够自己独立进行实验操作活动，不要外力帮助，让他们自己去比一比、折一折、剪一剪、拼一拼、画一画，通过这些有效的操作动作，调动他们的视觉、触觉、味觉、听觉种分析器官，一起来共同参与。对于大多数学生来说，比起干燥的课堂知识讲解，更喜欢课堂操作实验。数学知识本身的学习过程比较枯燥，如果教师不重视课堂教学气氛和学生兴趣的引导，数学课堂教学的效果将难以达到预期的效果。直观比单纯的说教要有效的多，所以要多引导学生积极参与数学课堂教学活动，让学生有动手实验的机会。

3.巧用多媒体工具，培养学生空间想象

随着科学技术的不断发展，在教学领域多媒体技术得到了广泛的应用。因此，在初中数学教学中，教师可以熟练地运用多媒体作为教学工具，将多媒体的特点与图形、声音相结合，制作课件，将抽象的数学知识形象化、形象化，有利于拓展学生的空间想象能力，培养学生的几何直觉能力。多媒体演示形象具体，动静结合，声色兼备，能够调动学习的兴趣和感官司协同作用，能够有效拓展学生的空间想象能力。虽然因为条件限制，老师不可能把所有想到的东西都搬到课堂上去，但可以将一些涉及到教学的事物拍成照片和视频，放入电脑上，在课堂上用图片和视频的方式展现出来，方便学生理解和接收。这种方式可以激发学生的学习兴趣，帮助教师制作更加精美和生动的课件。但要注意的是，多媒体只是辅助教学的工具，教师不能完全依赖多媒体。

4.注重基础知识训练，提高直观洞察力

扎实的理念基础知识是产生直觉的源泉，否则直觉思维无从谈起。因此，在教学中教学要做好以下几点：一是严格要求学习练好基本功，熟练掌握图形的性质和定理。二是注意保护学习本身具有的猜想和直觉能力，注意引导学生学会合理猜想的方法，不断使他们的直观洞察能力得到发展。比如可以通过引导学生大胆设问，敢于质疑和发表自己的独特见解，保持思维的活跃性，不要限制于固定的模式中，这样才有提高直观洞察力。

5.重视数形结合，让学习多用图形思考

数形结合是研究数学和数学教学中的重要思维原则之一，几何直观与数学的内容紧密相连，比如在数学教学中，一些重要的数学内容、概念，例如数轴、函数、高中的解析几可，向量等概念，都具有数形结合的特点，即有数的特征，也有形的特征，二者结合起来，可以互相转化。所以，在数学教学中，一是要重视学生的“图感”训练，帮助学生从小养成良好的画图习惯，通过多种途径和方式使学习真正体会画图对理解概念、寻求解决思路带来的种种益处。这样就把学生接受知识的过程变得非常直观。二是重视几何语言的使用。几何语言有图形语言、文字语言和符号语言三种，这三种语言是互相渗透和转化的，在几何教学中发挥的作用也各不相同，要注意让学生灵活运用和掌握。

总而言之，几何直观能力的培养不是简单的事情，在初中数学教学中，整式的乘除、一元二次方程的基本概念、直角坐标系与点的位置、忆知变量的值求函数值、基本函数的概念与性质、特殊三角函数、圆、点的坐标等知识的学习，都离不开几何直观。所以，教师要在教学中，根据学生的认识规律，采用多种教学手段、教学方法运用多种感官司积极主动地参与到教学中来，一起协调作用，才能促使学习对几何形体有深刻的认识，从简单走向丰盈，从抽象走向直观，更有效地增强空间观念和几何直观能力。

参考文献：

[1]梁海婷.中学数学教师如何与课改同行[J].广西教育.2013（38）.

[2]徐利治.谈谈我的一些数学治学经验[J].数学通报.2000（5）.