解方程应用题十篇

解方程应用题篇1

【关键词】一元一次方程负数未知数解方程

【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】1674－4810（2012）08－0156－01

初中数学是一门重要学科，是将来发展的基础学科，尤其对物理和化学起到深远的影响。而初一数学是数学学习的基础，是掌握必要的代数、几何的基础知识和基本技能的关键。为了让学生能从小学的学习模式更好地过渡至初中的学习模式，针对应用题的特点和方程的合理运用笔者提出以下策略。

一 重拾小学知识，增强学生信心

初中数学是小学数学的延伸与高度的运用，但小学的学习速度相对较慢，因此知识的熟练程度有更足够的时间，而初中数学更注重让学生自主探索，让学生有更多的时间去思考问题、解决问题。

对于大部分小学生，在解应用题时会遇到的审题归类不清，目标不明确；设未知数不准确，加大列方程的难度；解方程后，对结果分析未有结合实际背景问题。

二 明确初中数学应用题的作用及要求

初中数学引入了更多的解题方法，如归纳法、演绎法、反证法、数形结合法、类比法等，这为解题提供了更多元化的途径。对于运算能力，与小学的运算相比，初中数学更注重根据运算法则、公式等正确进行运算，理解运算的道理，能根据题目的条件寻求合理简便的运算途径。

例如，在“一元一次方程”教学中，要求学生能把实际问题抽象为数学问题，从而建立一元一次方程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。并根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性，在解决问题的活动中经历“建模”①的过程。

三 熟练理解负数的实际意义

虽然学生在小学时已经初步认识了负数、数轴，并且能够利用数轴来比较大小，但缺乏实际背景支持，学生只能够从形式上直观地去理解负数，因此在解题过程中，对方程的解的理解不到位。在“有理数及其运算”的教学中，教师应强调正数与负数是表示一些相反的量。通过生活中的各种现象进行理解。

四 加强对一元一次方程的求解练习

在北师大版《数学》（七年级上）中，是这样描述解一元一次方程的：一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方程“转化”成x＝a的形式。因此，在学习这部分内容之前，应该对学生在求最小公倍数、合并同类项②等知识点作一次强化练习或快速练习，在激发学生的学习动力时，也让学生有充分的准备应对解方程。为了强化学生解方程的信心和积极性，可采取由浅入深、由易及难的层推式练习。

五 扩充应用题类型，丰富学生的思维方式

以北师大版《数学》（七年级上）中的行程问题为例，追及问题可先以相遇问题作为铺垫，让学生能够有充分的时间联想运动情景，到追及问题时就能比较出速度和时间对运动情境的影响，为日后学习物理中的运动学做好准备。但是，有所不足的地方是欠缺工程问题和水流问题，教学中可以适当补充这一类型的题目，丰富学生的知识面。

1．工程问题

例1：一项工程，甲单独完成需要15天，而甲乙合作完成需要6天即可完成，问乙单独完成需要多少天？

分析：从题目中可以判断这是属于工程问题，但对于工程问题中涉及的工作效率、工作时间、工作总量三个量中，工作总量没有明确给出，因此借助单位“1”的思路。这里分别介绍普通与利用方程求解两种计算方法。

2．水流问题

生活在城市中的学生，可能会较少接触到水流、风向等情况，但不得不提的是，这方面的知识对日后学习物理的运动学有着基础的作用，同时，可以发展学生的逻辑思维能力。

例2：一只小船顺流航行一段距离用了2小时，沿线返回时用了3小时，已知水流的速度是5千米/小时，求小船在静水中的速度是多少千米/小时？

分析：学生不难判断这是属于行程问题，涉及速度、时间、行程等量，如果用列方程解应用题，就要考虑寻找等量关系和如何设未知数的问题。根据不同的等量关系可以列出不同的方程，但关键是未知数的设置要符合题意。

此外，对于行程问题中涉及运动学的内容，也可以利用不同的教学课件，让学生对行程问题产生更多兴趣，如同向追及、异向相遇，环形同向追及，异地同时追及等问题，进一步丰富学生的想象空间。

注 释

①建立系统模型的过程，又称模型化。建模是研究系统的重要手段和前提。凡是用模型描述系统的因果关系或相互关系的过程都属于建模。

②把多项式中的同类项合并成一项，叫做同类项的合并（或合并同类项）。同类项的合并应遵照法则进行：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

参考文献

［1］马复.数学七年级（上）［M］.北京：北京师范大学出版社，2007

［2］卢江、杨刚.数学五年级（上）［M］.北京：人民教育出版社，2005

［3］教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［S］.北京：北京师范大学出版社，2001

解方程应用题篇2

1、图示法：对于一些直观的问题（如行程问题）可将题目中的条件以及它们之间的关系，用简明的示意图表示出来。这样便于分析，然后根据图示中的有关数量的内在联系，列出方程。例如常用线段表示距离，箭头表示前进方向等，此法多用于行程问题、劳动力调配问题、面积、体积问题等。

例：小丽和小红每天早晨坚持跑步，小红每秒跑4米，小丽每秒跑6米。

(1)如果他们从100米跑道的两端相向跑，那么几秒后两人相遇?

(2)如果小丽站在百米跑道起跑处，小红站在她前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小丽追上小红?

分析问题：

（1）找出题目中的已知量、未知量？

（2）题目中有何等量关系？你是怎样表示的？

（学生分小组合作交流，完成问题。师巡视，肯定学生的发现）

（1）小丽所跑的路程+小红所跑的路程＝100米。

设经过x秒后两人相遇，则可画得线段图为

 

（2）小丽所跑的路程-小红所跑的路程＝10米

设x秒后小丽追上小红，则可画得线段图为

（学生写出完整的解题步骤）

解：(1)设经过x秒后两人相遇，则小丽跑的路程为6x米，小红跑的路程为4x米，由此可得方程

6x+4x=100。

解得    x=10。

答：经过10秒后两人相遇。

(2)设x秒后小丽追上小红，则小丽跑的路程为6x米，小红跑的路程为4x米，由此可得方程

6x-4x=10。

解得   x=5。

答：经过5秒钟后小丽追上小红。

（师：由这道题我们可以看出，在审题过程中，如果能把文字语言变成图形语言――线段图，即可使问题更加直观，等量关系更加清晰。我们只要设出未知数，并用代数式表示出来，便可得到方程。）

      2、代数式法：在正确分析题意的基础上，将题目中的数量及各种数量之间的关系，用代数式依次表示出来，再根据各代数式之间的内在联系，找出等量关系，列出方程。此法多用于工程问题、按比例分配问题、数字问题、社会热点问题等。

例：用两台水泵从同一池塘中向外抽水，单开甲泵5时可抽完这一池水；单开乙泵2.5时便能抽完。

（1）如果两台水泵同时抽水，多长时间能把水抽完？（2）如果甲泵先抽2时，剩下的再由乙泵来抽，那么还需要多长时间才能抽完？

分析：此题中：甲泵的工作效率是            ；乙泵的工作效率是        ；第（1）问若设两泵同时抽水X时能把这池水抽完，那么甲完成的工作量是      ；乙完成的工作量是          ；  等量关系是：                            ；第（2）问若设乙泵再开X时才能抽完，那么甲完成的工作量是     ；乙完成的工作量是       ；等量关系是：                             ；

（由这道题我们可以体会出，只要熟记工作效率、工作时间、工作量之间的等量关系，然后根据题目的表述，把各部分工作量用代数式表示出来，找到各部分工作量与总工作量之间的等量关系列出方程即可。一般等量关系为：各部分工作量之和等于总工作量）

3、表格法：将题目中的数量及其关系填写在事先设计好的一张表格内，然后根据表格逐层分析，找到各量之间的内在联系，列出方程。此法多用于溶液浓度问题、以及其他条件、关系较复杂的题目。

例：某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演,共售出1000张票,筹得票款6950元.成人票与学生票各售出多少张?

问题一：上面的问题中包含哪些等量关系？

成人票数+学生票数=1000张        （1）

成人票款+学生票款=6950元        （2）

问题二：设售出的学生票为x张，填写下表

 

   学 生

    成 人

票数/张

 

 

票款/元

 

 

问题三：列出方程解应用题，并考虑还有没有  

                另外的解题方法？

解法一：设售出学生票为x张，则成人票为（1000-x）张。依题意，可得：

                 5x+8(1000-x)=6950

                    5x+8000-8x=6950

                              5x-8x=6950-8000

                                  -3x=-1050

                                      x=350

                 1000-350=650（张）

 

解法二：设所得学生票款为y元，填写下表:

解法二：设所得学生票款为y元，填写下表:

 

   学 生

    成 人

票数/元

 

 

票款/张

 

 

  

         

            

 

根据等量关系⑵ ：成人票数+学生票数=1000张

列方程得：

Y/5+ (6950-y)/8=1000

从而顺利解决问题。

   以上三种分析方法，在教学时要由浅入深、由易到难、先单一后综合的引导，，通过具体题目，教给学生具体的分析方法，增强学生主动思考的意识，提高学生观察问题，借助于图表分析问题的能力，通过训练，使学生做到具体问题具体分析，并能灵活应用

解方程应用题篇3

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2013）03A-

0086-01

列方程解应用题是数学教学中的一个难题，大部分学生觉得用方程解题太麻烦而不习惯用方程来解题，但这又是数学课标要求学生必备的技能。那么，怎样培养学生用方程解应用题的能力呢？下面我从四个方面谈谈如何培养学生用方程解应用题的能力。

一、培养学生用方程解题的兴趣

初学列方程，学生仍用已掌握的算术解法，对列方程解法很不适应，缺乏兴趣。为了提高学生的内在学习动力，首先，我在教学中找一些学生感兴趣的趣味性较浓的应用题，并分别用算术法和列方程进行解答。其次，说明两种方法各自的特点，让学生自己比较，通过对比从而认识到方程解法的优越，进而感受方程的思想方法和价值。最后，再出一些利于用方程来解答的实际问题，让学生分成两组进行比赛，一组用方程解，一组用算术法解，最后看哪组又准确又快。学生经过反复训练，体会到列方程解决实际问题可以按条件的叙述顺序，通过正向思考解决，从而排除由算术解法形成的思维方式的干扰，逐步适应并熟练掌握方程解法，顺利完成从算术解法到列方程解法的过渡，慢慢地喜欢用方程解应用题。

二、培养学生设未知数x的能力

在列方程解应用题的教学中，设未知数是列方程解应用题的第一步，培养学生准确地设未知数x的能力也是一个重要问题，这个问题解决了，才能为列方程打好基础。一般来讲，设未知数x有两种情况：1.直接设定。就是题目里怎样问，就怎样设未知数。这样设未知数，只要求出所列方程的解，就可直接回答问题。一般情况下，都是采用直接设未知数来解决问题的。【例题】这座大楼高292米，一楼准备开商店，层高4米，上面9层是住宅，住宅每层高多少米？这个应用题里只有一个要求数量，因此可直接设住宅每层高x来解：4+9x=292。2.间接设定。一些题目中，若采用直接设未知数，会给列方程增加麻烦。如果采用间接设未知数，即通过间接的桥梁作用，能达到求解的目的。例如，按比例分配问题，和、差、倍、分问题，整数的组成问题等均可间接设未知数。又如，“妈妈比小明大24岁，妈妈的年龄是小明的3倍，妈妈和小明今年各多少岁？”这个应用题里有两个或两个以上的条件，学生找出等量关系式即可。

三、培养学生寻找等量关系的能力

找等量关系是列方程解应用题的关键。着力培养学生寻找等量关系的能力是教学的重点。在教学中我们可以采用以下几种办法。

1从常见数量关系中寻找等量关系。我们平常所说的常见的数量关系实际上都是等量关系。例如，单价×数量=总价，工作效率×工作时间=工作总量，速度×时间=路程，以及学过的一些图形的周长、面积以及体积计算公式等。有些应用题就是依据这些数量关系来列方程的。例如，“6个易拉罐、9个饮料瓶，每个价钱都一样，一共得到15元，每个多少元？”这道题就是依据“单价×数量=总价”这个数量关系来列方程的。

2抓住关键字词，根据字词的提示找等量关系。这种方法一般适用于和差关系、倍数关系的应用题。我们要教给学生在题中找提示语“一共”“比……多（少）”“是……的几倍”“比……的几倍多（少）”等。在解题时，可根据这些关键字词来找等量关系，按叙述的顺序列出方程。

3找准单位“1”，根据“量率对应”找等量关系。这种方法适用于分数应用题和“倍比关系”的应用题。分数应用题，每一个分率都对应着一个具体的量，而每一个具体的量也都对应着一个分率。在倍比关系的应用题中，也应找准标准量。因此，正确地确定“量率对应”是解题的关键。

4借助图解寻找等量关系。有的应用题只从字面上来看，不容易理解，有时我们可以采用线段图、框图、表格图等方法帮助学生理解。如果学生会画出适合题意的图形或线段图，题目往往很容易解开。其心理学意义在于：示意图能够使列方程所必须的条件同时呈现在视野内，示意图成了思维的载体，睹图疑思，实际上使视觉参与了解题过程，这当然比不能看见条件要容易些，失误也会少些。画示意图的关键仍是找准谁是单位“1”，其他量都是与单位“1”相比较而言的。

四、培养学生列方程的能力

列方程是列方程解应用题的中心环节。培养学生列方程的能力，要注意讲清解题思路，引导学生正确分析数量关系，从中找出相等关系列出方程。由于确定等量关系没有固定的模式，考虑的角度不同，所取的等量关系也不同，列出的方程就不同。例如，“明明买3个足球，付出200元，找回116元，每个足球的价钱是多少元？”这道题涉及“付出的钱”“找回的钱”“用去的钱”三个数量，根据它们之间的关系，可以从不同的角度确定等量关系，列出不同的方程。

（1）200-3x=116 （付出的钱-用去的钱=找回的钱）

（2）3x+116=200 （用去的钱+找回的钱=付出的钱）

（3）200-116=3x （付出的钱-找回的钱=用去的钱）

解方程应用题篇4

教材在列方程解应用题这一部分安排的是用方程解比较简单的两步计算应用题，就思维方向来说是逆向思考的；就数量关系来说是比较复杂而隐蔽的。通过教学可以使学生清楚地看出列方程解应用题的基本方法和特点，了解列方程与算术法解题在思路上的不同与优势，较好地阐述了用方程解题的思路，总结出解题的步骤。列方程解应用题的思路比较简单、顺畅，思维难度小，且解法划一，可以使一些应用题化难为易，有明显的优越性。这对提高学生应用数学基础知识和降低学习难度，解决实际问题的能力和提高学习兴趣，有积极作用。

总结多年教学的经验，我认为对列方程解应用题这部分，分以下三步进行教学，效果较为理想。

第一步： 也是最重要的一步，做好从算术法到方程理念的改变

从算术法解应用题过渡到方程解是思考方法上的一次转折和飞跃。学生在列出含有未知数的等式过程中，要把未知数和已知数一样看待。这样寻找题中的等量关系就成了列方程解应用题的关键。在多个相关的基本数量关系中必有一个是主要的，那么寻找题中的主要数量关系也就是列方程解应用题的关键。

第二步：适当的练习。

结合练习更好的理解和掌握列方程解应用题的方法和步骤。但从多年的教学经验来看，有相当的一部分同学不能达到教学的要求。所以我针对这一现象做了第三步的尝试。

第三步：在做好以上教学和练习的基础之上，注重对题目类型做出归纳和总结。

类型一：根据四则运算的意义列方程（如例1，两个量的大小比较等）

在例1的教学中，若用算术方法解，需要逆思考，思维难度较大，学生容易出现先除后减的错误。通常不作教学要求。这里用方程解，思路比较顺，体现了列方程解实际问题的优越性

这道题的数量关系，学生容易想到多种代数形式

黑色皮的块数×2－白色皮的块数＝4

黑色皮的块数×2－4＝白色皮的块数

黑色皮的块数×2＝白色皮的块数＋4

比较而言， ax±b=c形式更容易理解，有利于达成既学列方程，又学解方程的教学目标。因此，教材的解答,选用了把黑色、白色皮的块数关系看成一个数的几倍与另一数比大小的关系。也就是求比一个数的几倍多（或少）几是多少得问题。

类型二：逆向思考的还原应用题（如上车下车问题，收入支出问题，进货销售问题，）

如：原来有一些水果糖，卖出34千克以后，还剩41千克。又运来25千克，原来有多少千克水果糖？

原有的重量＋运来的重量－卖出的重量＝剩下的重量

x ＋ 25 － 34 ＝ 41

这类问题的过程越复杂，则用算术法解决的难度就越大，而相反也就越能显示出列方程解应用题的优越性。

类型三：两个量相比较的倍和或倍差问题（如例2，相遇问题，追及问题等）

例2创设了购买两种水果的现实问题情境。如果撇开各数量的具体内容，就它的数学意义来讲，可抽象为两积之和的数量关系。这种数量关系在生活中经常能遇到。而且，理解了两积之和的数量关系，也就容易理解两积之差、两商之差的数量关系。在例2中组成两积的四个因数，有两个是相同的，这就可以根据分配律，得到含小括号的方程。这些都使例2具有举一反三的典型意义。

教材给出了两种方程，其一为两积之和等于已知的总数，让学生自己解答。其二为含小括号的方程，介绍了把小括号内的式子看作一个整体求解的思路和方法，并留有空白让学生自己解完。

类型四：根据公式法列方程（已知三角形面积，梯形面积，圆锥体体积等，求底或高）

如:面积为15平方厘米的三角形纸片的底边长6厘米,这条底边上的高是多少厘米?

这一题目学生再用算术法解答时，在”除以2”的处理上出错或方法欠妥；而用方程解答这一类的应用题就显得异常自然且易于接受，优势非常明显。

三角形的底X三角形的高÷2 ＝ 三角形的面积

6 × h ÷2 ＝ 15

以上几种情况较好的概括了小学阶段遇到的适合用方程解决的应用题的主要类型。

解方程应用题篇5

关键词：列方程;应用题;策略

用方程解应用题，属于顺向思维，思路较简单，因此有利于减轻学生负担，同时也可以为后面学习较复杂的应用题奠定基础。但是由于受算术方法解应用题思维定势的影响，学生在刚开始学习用方程解应用题时，会很不习惯，不会找应用题中的等量关系，不能列出正确的方程。因此加强列方程解应用题的策略教学非常必要。

为了让学生从整体上掌握列方程解复合应用题的方法，构建列方程解应用题的良好认知结构，本人认为应当着重让学生通过以下三个方面来学习。

一、重视基本数量关系的教学

1.学会用含有未知数的式子表示数量关系

如：甲数为a，乙数比甲数的3倍还多8，乙数是（ ）。又如“工厂要生产5000个零件，甲车间每天加工m个，乙车间每天加工n个，两个车间同时工作（）天可以完成这批零件，两个车间同时工作2天后，还剩（）个零件没有做”。

2.要学生根据实际问题的数量关系，沟通已知数与未知数的内在联系，列出代数式

如“一匹布长34米，用这匹布裁剪了15件同一规格的衣服还剩1米布，平均每件衣服用布x米”。要求学生根据下列问题列出相应的代数式：a.做15件衣服用的布？b.剩下多少米布？

以上两项训练也可以反过来进行，即根据代数式让学生说出数量关系或所表示的数量。如“两个城市之间的公路长256千米，甲乙两辆汽车同时从两城出发，相向而行，4小时后相遇，甲车每小时行31千米，乙车每小时行x千米。”要求学生说出4x表示什么，（31+x）表示什么，（31×4+4x）表示什么，（256-4x）表示什么，（256÷4-x）表示什么，256÷（31+x）表示什么。

3.根据实际问题中的某些句子写出或补充数量关系式，帮助学生把列方程解复合应用题的思考重点引向寻找主要数量关系方面

如：“六年级学生植树的棵数比五年级的2倍少15棵”，要求学生说出以五年级学生植树棵数作为标准，即1倍数，其关系式就是五年级学生植树的棵数×2-15=六年级学生植的棵数。又如“甲乙两个铺路队共同铺设一条长117千米的路”，要求学生填写完整下面的关系式=117，117=（里填所表示的数量，里填运算符号）

二、加强思考方法的指导

用算术法解应用题是逆向思维，用方程解应用题是顺向思维，在思考方法上是一次转折和飞跃。学生在列出含有未知数的等式过程中，要把未知数和已知数一样看待。这样寻找题中的等量关系就成了列方程解应用题的关键。而复合应用题数量关系较复杂，在多个相关的基本数量关系中必有一个是主要的，那么寻找题中的主要数量关系也就是列方程解复合应用题的关键。另外列方程解应用题又是以算术解法作为基础的，同样需要对数量关系的分析与综合。因此，例5至例8的教学基本点应是：围绕主要数量关系着力引导学生掌握列方程解复合应用题的思考方法。

从整体出发，引导学生先确定题中的主要等量关系。帮助学生掌握分析法列方程的思考方法，运用分析的思考方法列方程一般是在主要数量关系比较明显时采用如例5。

从部分入手，引导学生先根据未知数与已知数，已知数与已知数的直接关系，用代数式或算式表示新的数量，然后找出主要等量关系，把代数式或算式组合为方程，帮助学生掌握综合法列方程的思考方法。

运用综合的思考方法列方程一般可在主要等量关系比较隐蔽时采用。有时可借助图解如线段图，框图，表格图等方法，直观形象地反映数量关系，便于学生寻找主要等量关系。

三、通过一题多解发展学生的思维能力

一题多解可以训练学生的思维广度，要求学生从不同角度去寻找等量关系，可以开拓学生的解题思路。引导学生运用不同的方法解答同一道题，使学生掌握不同思路，可以发展学生的思维能力。

（1）变换主要等量关系式获得不同的方程思路，如例5，当学生得出一种解法后就可引导学生把主要等量变换为①3只热水瓶的钱+找回的钱=付出的钱，②付出的钱-找回的钱=3把热水瓶的钱，由此列出不同方程3x+29.2=100和100-29.2=3x

（2）变换方程式获得不同的方程思路，如例8，当学生得出2.5x-25×4=60的解法后，可诱导学生变换这个方程得：2.5x=25×4+60，2.5x-60=25×4，这种变换方程式的训练，能使学生认识到：不仅可以获得由变换主要等量关系得来的方程，而且可以获得由次要等量关系得来的别致思路。这样有利于学生突破固定解法模式，培养思维的深刻性。

在引导学生获得多种解法的过程中，有些学生可能会列出算术解法的方程，如对例8列出x=（60-25x4）÷2.5。这时要组织学生从算术解法和方程解法两种思路的本质差异上加以区别。

解方程应用题篇6

【关键词】等量关系；设元；列方程；跨度；文字等式；衔接

列方程（组）解应用题是初中数学的重点，也是难点。每年中考必有题目涉及到列方程（组）解应用题的知识。但许多初三学生掌握不到列方程解应用题的要领，无从下手；甚至有的学生看见应用题就恐惧，不论题目难易一律不做。

七年级第一学期开始学习列一元一次方程解应用题，这是列方程（组）解应用题的基础，也是学习列方程（组）解应用题的重要时期。如果在这段时期，教师能把列一元一次方程解应用题的步骤系统地传授结学生，学生通过学习掌握了要领，那么将来学习列方程（组）解应用题就事半功倍了。

教师在讲授列一元一次方程解应用题时都会很着重讲授解题步骤。课本把列一元一次方程解应用题的步骤概括为：设，等，列，解，检，答。为了学生更好掌握，我把解题步骤细分为：审，等，设，列，解，检，答，但是我发现学生自主解应用题时总是列不出方程，但当老师讲解、列出方程后，学生基本能顺利完成后续的解，检，答这三个步骤，可见学生是在列方程这里卡住了。从等量关系直接到列出方程的跨度较大，对初学的学生来说难度较大。可不可以在这两个步骤之间搭个桥梁呢？我发现，等量关系不但与所列的方程有密切联系，而且与设未知量这一步骤也有很大联系，在找出等量关系后把它写成文字等式，既可使设元更加容易，又可降低从等量关系到方程的跨度。下面说说写文字等式的好处。

一、使题目的等量关系更加清晰，便于设元和列方程

示范1：（七年级上册P107第7题）

用A型和B型机器生产同样的产品，已知5台A型机器一天的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天的产品数装满11箱后还剩1 个，每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品，求每箱装多少个产品？

通过审题可以找出等量关系：

（1） 5台A型机器一天的产品装满8箱后还剩4个；

（2） 7台B型机器一天的产品数装满11箱后还剩1个；

（3）每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品

写出文字等式：

（1）5×每台A型机一天的产品数=8×每箱装的产品数+4

（2）7×每台B型机一天的产品数=11×每箱装的产品数+1

（3）每台A型机一天的产品数=每台B型机一天的产品数+1

设每箱装x个产品，则每台A型机一天的产品数为（8x+4）/5，每台B型机一天的产品数=（11x+1）/7。

（理由：当每箱装x个产品时，

由文字等式（1）得：5×每台A型机一天的产品数=8x+4，

即 每台A型机一天的产品数=（8x+4）/5

由文字等式（2）得：7×每台B型机一天的产品数=11x+1

即 每台B型机一天的产品数=（11x+1）/7 。）

由于文字等式（1）和（2）在设元时已经使用了，所以就用文字等式（3）来列方程。得方程：（8x+4）/5=（11x+1）/7+1

二、找准各变量间的数量关系，为恰当设元提供帮助

示范2：

四盘苹果共100个，把第一盘的个数加上4，第二盘的个数减去4，第三盘的个数乘以4，第四盘的个数除以4，所得的数目一样，问原来四盘苹果各多少个？

通过审题可以找出等量关系：

（1）四盘苹果共100个；

（2）第一盘的个数加上4，第二盘的个数减去4，第三盘的个数乘以4，第四盘的个数除以4，所得的数目一样。

写出文字等式：

（1）第一盘数量+第二盘数量+第三盘数量+第四盘数量=100，

（2）原来第一盘数量+4

=原来第二盘数量-4

=原来第三盘数量×4

=原第四盘数量÷4

=现在各盘数量

从以上文字等式可见，用字母表示原来四盘中任意一盘的苹果数时，其它三盘的苹果数就较难表示了，但从文字等式（2）可以看出原来四盘的苹果数都与现在各盘数量的关系很简单直接，因此这题我们采用间接设元的方法。

设现在各盘数量为x，则原来第一盘数量为x-4，原来第二盘数量为x+4，原来第三盘数量为x/4， 原第四盘数量为4x。

由于文字等式（2）在设元时已经使用了，所以就用文字等式（1）来列方程。得方程：（x-4）+（x+4）+ x/4 + 4x =100

三、培养学生一题多解的能力

示范3：（七年级上册P112第7题）

有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无鸽笼可住；如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子。原来多少只鸽子和多少个鸽笼？

通过审题可以找出等量关系：

（1）每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无鸽笼可住；

（2）再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子。

写出文字等式：

（1）6×每笼鸽子数量+3=原来鸽子数量

（2）8×每笼鸽子数量=原来鸽子数量+5

解法一：设每笼鸽子数量为x，由文字等式（1）得：原来鸽子数量为6x+3；根据文字等式（2）得方程：8x=（6x+3）+ 5

解法二：设每笼鸽子数量为x，由文字等式（2）得：原来鸽子数量为8x-5；根据文字等式（1）得方程：6x+3=8x-5

解法三：设原来鸽子数量为x，由文字等式（1）得：每笼鸽子数量为（x-3）/6；根据文字等式（2）得方程：8×（x-3）/6=x+5

解法四：设原来鸽子数量为x，由文字等式（2）得：每笼鸽子数量为（x+5）/8；根据文字等式（1）得方程：6×（x+5）/8 + 3=x

四、能与列二元一次方程组解应用题进行很好的衔接

示范4：（七年级下册P102第4题）

用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有36张白铁皮，用多少张制盒身，用多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？

通过审题可以找出等量关系：

（1）现有36张白铁皮制盒身，盒底

（2）一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒

写出文字等式：

（1）制盒身的白铁皮数量+制盒底的白铁皮数量=36

（2）盒底数量=2×盒身数量

列一元一次方程求解：

设用x张铁皮制盒身，则制盒底的铁皮数为（36-x）张

由于文字等式（1）在设元时已经使用了，所以就用文字等式（2）来列方程。每张铁皮可制盒底40个，用了（36-x）张，则盒底数量为40（36-x）个；每张铁皮可制盒身25个，用了x张，则盒底数量为25x个。得方程：40（36-x）=2×25x。

解方程应用题篇7

【关键词】直线参数方程；解题；应用

一、参数t的几何意义及常用性质

设过定点M0（x0，y0），且倾斜角为α的直线l参数方程为x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（t为参数）。其中，参数方程中的参数t具有四个常用的性质：

第一，若t>0，点M位于M0的上方，相反，位于M0的下方，而当t=0的时候，点M和M0是重合的[1]。

第二，直线参数方程中的参数t可以代表直线l上M0到任意点M（x，y）有向线段M0M的数量，用公式表示为t=M0M。

第三，若直线l上的M1点与M2点对应的参数为t1与t2，那么，M1M2=t1-t2，并且满足M0M1M0M2=t1t2的关系。如果M0点在M1与M2之间，则满足t1t20。

第四，若点M为M1M2中点，而点M对应的参数为t，那么t=t1+t22。

二、利用直线参数方程解题

1.利用直线参数方程求圆锥曲线的切线方程

直线参数方程在圆锥曲线切线方程中的实际应用中，最重要的就是将切线的方程转化成直线参数方程，然后将其代入到原有的圆锥曲线方程中，进而获得有关参数t的二次方程。下面以过定点的切线为例，求解椭圆的切线方程，具体方法如下：

题目内容为，椭圆方程为9x2+y2=25，求过定点（-1，4）的切线方程。

解题思路如下，因为定点在椭圆之上，所以，可以将椭圆方程转换成含有t的切线方程，即x=-1+tcosα

y=4+tsinα（t为参数），然后将其带入到9x2+y2=25公式中，进而获取方程为9（-1+tcosα）+（4+tsinα）2=25，经过相应的整理可以得出方程，即（9cos2+sin2α）t2-（18cosα-8sinα）t=0，同时，目标直线与椭圆的位置关系是相切，所以可以形成关系式，即=（18cosα-8sinα）2=0，所以得出tanα=94，因此，y-4=94×（x+1），经整理可得出切线的方程，即9x-4y+25=0。

2.利用直线参数方程解与线段的中点有关的问题

在求解线段中点的相关问题中可以引进直线的参数方程，若线段MN的中点为M1，并且具体的坐标是（x0，y0），将M，N的参数分别假定为t1与t2，那么t1+t2=0。通过运用上述关系式，可以求解线段所在直线的斜率，或者是始终变化中点（x0，y0）坐标间的具体关系[3]。

以双曲线的数学运算为例进行分析，双曲线的方程为x24-y23=1，其中存在一弦AB是由定点（4，1）平分，求解直线AB的方程。

可以将直线AB的方程转换成参数方程，即x=4+tcosα

y=1=tsinα（t为参数）然后将参数方程代入到原有的双曲线方程中，获得方程，3（4+tcosα）2-4（1+tsinα）2=12，经整理可以得出（3cos2α-tsin2α）t2-8（sinα-3cosα）t+32=0。同时，AB弦被（4，1）点平分，所以可以得出t1+t2=0，也就是sinα-3cosα=0，得出tanα=3。因此，直线AB方程可以表示成y-1=3（x-4），经整理得出3x-y-11=0。

3.利用直线参数方程解与线段长有关的问题

应用直线参数方程来求解与线段长相关的数学问题时，既可以避免求解交点的坐标，还无需应用两点之间的距离公式。下面以具体数学例题为例进行分析：

已知抛物线的方程为y2=4x，其焦点坐标F为（1，0），求解过此焦点且倾斜角是3π4的直线AB长。首先可以将抛物线方程转换成参数方程，为x=1+tcos3π4

y=tsin3π4（t为参数），经整理可得，x=1-22t

y=22t（t为参数），然后将所得公式代入到抛物线方程y2=4x中，可得t2+42t-8=0，再通过根和系数之间的关系可以得出方程t1+t2=-42t，t1t2=-8，进而得出直线AB的长度为8。

4.利用直线参数方程解决有关极值的一些问题

在数学问题中有关极值的问题也可以使用直线参数方程来解决，下面以具体例题为例进行分析。

已知直线经过定点P，其坐标为（1，1），并且其倾斜角为α，同时直线与椭圆相交与M、N两点，椭圆的方程为x24+y2=1，则当α为何值时，可以使|MP|・|NP|取得最值，并求解最值。

具体的解题过程如下，可以将直线方程转换成参数方程，因为直线过定点（1，1），并且倾斜角为α，则直线的参数方程为{x=1+tcosα

y=1+tsinα（t为参数），并将参数方程代入到椭圆方程中，进而得到方程（1+tcosα）24+（1+tsinα）2=1，经整理可得（1+3sin2α）t2+（2cosα+8sinα）t+1=0。所以可以得出t1t2=11+3sin2α，所以，|MP|・|NP|=|t1||t2|=11+3sin2α。因此，在α=0的情况下，|MP|・|NP|可以取得最大值，为1。而当α=π2的时候，|MP|・|NP|可以取得最小值，为14。

三、结语：

在数学学科的问题解决过程中，适当地使用参数方程可以使数学求解过程更简便。在学习直线参数方程的过程中，最重要的就是正确理解参数t的几何意义以及常用的性质，并且通过正确地使用参数t来解决文章所阐述的数学问题。在实际的学习与应用的过程中，应仔细品味参数实际意义，并在数学相关问题的解决中发挥其真正的作用。

参考文献：

[1]牛锡东.直线参数方程中参数的几何意义及应用[J].聊城大学学报，2013

解方程应用题篇8

通过复习，使学生能够准确的找出题目中的等量关系．

教学难点

通过复习，使学生能够准确的找出题目中的等量关系．

教学过程

一、复习准备．

1．求未知数．

×＝

－＝

÷＝1

－＝

÷＝1

－＝

解方程求方程的解的格式是什么？

2．找出下列应用题的等量关系．

①男生人数是女生人数的2倍．

②梨树比苹果树的3倍少15棵．

③做8件大人衣服和10件儿童衣服共用布31.2米．

④把两根同样的铁丝分别围成长方形和正方形．

我们今天就复习运用题目中的等量关系解题．（板书：列方程解应用题）

二、复习探讨．

（一）教学例3．

一列火车以每小时90千米的速度从甲站开往乙站，同时有一列货车以每小时75千米的速度从乙站开往甲站，经过4小时相遇，甲乙两站的铁路长多少千米？

1．读题，学生试做．

2．学生汇报（可能情况）

（1）（90＋75）×4

提问：90＋75求得是什么问题？再乘4求的是什么？

（2）90×4＋75×4

提问：90×4与75×4分别求的是什么问题？

（3）÷4＝90＋75

提问：等号左边表示什么？等号右边表示什么？对不对？为什么？

（4）÷4－75＝90

提问：等号左边表示什么？等号右边表示什么？对不对？为什么？

（5）÷4－90＝75

提问：等号左边表示什么？等号右边表示什么？对不对？为什么？

3．讨论思考．

（1）用方程解这道应用题，为什么你们认为这三种方法都正确？

（等号的左右表示含义相同）

（2）列方程解应用题的特点是什么？

两点：

变未知条件为已知条件，同时参加运算；

列出的式子为含有未知数的等式，并且左右表示的数量关系一致

（3）怎样判定用方程解一道应用题是否正确？（方程的左右是否为等量关系）

4．小结．

（1）小组讨论：用方程解应用题和用算术方法解应用题，有什么不同点？

（2）小组汇报：

①算术方法解应用题时，未知数为特殊地位，不参加运算；用方程解应用题时，未知数与已知数处于平等地位，可以参加列式．

②算术方法解应用题时，需要根据题意分析数量关系，列出用已知条件表示求未知数的量；用方程解应用题时，根据题目中的数量关系，列出的是含有未知数的等式．

（二）变式反馈：根据题意把方程补充完整．

1．甲乙两站之间的铁路长660千米．一列客车以每小时90千米的速度从甲站开往乙站，同时有一辆货车以每小时75千米的速度从乙站开往甲站．经过多少小时两车相遇？

2．甲乙两站之间的铁路长660千米．一列客车从甲站开往乙站，同时有一辆货车从乙站开往甲站．经过4小时两车相遇，客车每小时行90千米，货车每小时行多少千米？

教师提问：这两道题有什么联系？有什么区别？

三、巩固反馈．

1．根据题意把方程补充完整．

（1）张华借来一本116页的科幻小说，他每天看页，看了7天后，还剩53页没有看．

_____________＝53

_____________＝116

（2）妈妈买来3米花布，每米9.6元，又买来元毛线，每千克73.80元．一共用去139.5元．

_____________＝139.5

_____________＝9.6×3

（3）电工班架设一条全长米长的输电线路，上午3小时架设了全长的21，下午用同样的工效工作1小时，架设了280米．

_____________＝280×3

2．解应用题．

东乡农业机械厂有39吨煤，已经烧了16天，平均每天烧煤1.2吨．剩下的煤如果每天烧1.1吨，还可以烧多少天？

小结：根据同学们的不同方法，我们需要具体问题具体分析，用哪种方法简便就用哪种方法．

3．思考题．

甲乙两个港相距480千米，上午10时一艘货船从甲港开往乙港，下午2时一艘客船从乙港开往甲港．客船开出12小时后与货船相遇．如果货船每小时行15千米．客船每小时行多少千米？

四、课堂总结．

通过今天的复习，你有什么收获？

五、课后作业．

1．师傅加工零件80个，比徒弟加工零件个数的2倍少10个．徒弟加工零件多少个？

2．徒弟加工零件45，比师傅加工零件个数的多5个．师傅加工零件多少个？

六、板书设计

列方程解应用题

解方程应用题篇9

【关键词】函数思想；方程思想；函数与方程思想

近年来我国许多考纲已明确提出不仅要考查学生的数学知识和思维能力，还要考查学生思想方法的运用能力.其中函数与方程的思想是众多考试考查的最基本的数学思想方法之一.学生仅仅学习了函数与方程的知识是不够的，应通过解题和对解题过程的反思来领悟函数与方程的思想.

一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程.一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图像交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题可以用方程的方法解决.

一、在集合方面的运用

函数思想本身也是集合对应的思想，它用运动变化的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析、转化、解决问题.因此函数和方程思想在解集合相关题目时具有一定的指导作用，下面举例说明.

例150名学生报名参加A、B两项课外兴趣小组，报名参加A组的人数是全体学生数的五分之三，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名参加两组的人数的三分之一多1人，求同时报名参加A、B两组的人数和两组都没有报名的人数.

可以看出此题是道应用题，若寻求集合与集合交集借助符合题意的文氏图，再利用方程思想就可很容易解决.因此可设A∩B的元素为x个，则（30-x）+x+（33-x）+13x+1=50，解出x=21，从而得到答案.

如果问题中变量间的关系可以用解析式表示出来，则可把关系式看作一个方程，通过对方程的分析使问题获解.特别的，当问题出现两数积与这两数和时，是构造一元二次方程的明显信号，如遇到b+c=1-a，bc=a2-a，可知道b、c是关于x的一元二次方程x2-（1-a）x+a2-a=0的两根.

二、在不等式方面的运用

函数与不等式也可以相互转化，对于函数y=f（x），当y>0 时，就转化为不等式f（x）>0，借助于函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式.

例2解不等式8（x+1）3+10x+1-x3-5x>0.

我们注意到8（x+1）3+10x+1=2x+13+52x+1且题中出现x3+5x，启示我们可以构造函数f（x）=x3+5x去解决问题.因此可把不等式化为2x+13+52x+1>x3+5x，然后令f（x）=x3+5x，则不等式化为f2x+1>f（x），这样利用函数单调性就很容易解决问题.

例3求最大的常数c，使得对满足0

分离参数法.我们观察到此题中含有两个变量c及t，其中t的范围已知，另一变量c的范围即为所求.故可考虑将c及t分离，把原不等式化为：c≤1-3t2t=-3t+1t，0

三、在数列方面的运用

数列是一类特殊的函数，它的定义域是正整数集或其子集，数列的通项或前n项和就是以自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.在运用函数的性质解决数列问题的同时，也是对数列概念的本质理解.

例4已知数列的通项公式为an=n2-10n+9，这个数列从第几项起，各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正？数列中是否存在数值与首项相同的项？

解方程应用题篇10

儿童玩具店的老板以2元/个的价格购进一批玩具小汽车，以3元/个的价格出售，每天可以售出200个。然而，老板为了促销，决定降价处理，这种小型玩具小汽车每降价0.1元/个，每天可以多销售40个。此外，儿童玩具店的老板要想每天付给房东24元房租。

（1）请问：如果儿童玩具店的老板要想每天盈利200元，应将每个玩具小汽车的售价降低多少元？

（2）如果该儿童玩具店的老板要想盈利最大，应将每个玩具小汽车的售价降低多少元？

一、阐述命题意图

以一元二次方程来解决实际问题在历年中考中出现频率最高的类型，也是每年必考题。中考大纲山野多次强调“学生能够利用所学一元二次方程知识解决实际问题”。一般是以2问式出现的频率比较高，考查学生对一元二次方程的求解、图像、对称轴、最大值、最小值等几个知识点的考查，重点考查学生分析问题、解决问题的能力。第一题考查的是一元二次方程的求解，一般比较简单。这道题主要考查学生的计算能力和分析问题的能力。第二道题则是考查一元二次方程的对称轴、最大值、最小值的知识点，也就是考查二次函数的顶点坐标。

二、说明考点及对应的考纲要求

按照初中数学课程标准规定的一元二次方程及其解法、可化为一元二次方程的方程解法为学习目标的九年级数学的“一元二次方程”和“二次函数”模块，组成中考必考内容。必考内容对学生有难易不同的考查。

一元二次方程、二次函数作为中考必考内容要求学生：

（1）能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

（2）会解简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）。

（3）理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。

（4）能根据具体问题的实际意义，检验方程的解的合理性。

（5）会从具体问题中寻找数量关系和变化规律。

（6）能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。

三、试题讲解过程

根据题型特点和新课程的教学理念，我设计了如下教学流程：

学生现状：有足够的相关知识储备。

首先，我和学生一起阅读该题目，一起审题，了解该题中所包含的数量关系，了解现实的生活的赢利是如何计算，从最简单的一天的赢利算起，看看自己作为店老板一天可以赚多少钱。列出相关的数量关系“每天的赢利=（售价-进价）×销售量-固定成本（房租）”列出方程求解即可。

如果我们设应将每个玩具小汽车的售价降低x元，根据题意：

列出方程（3-x-2）（200+40×）-24=200

再者，列出方程，学生小组讨论，看如何解决一元二次方程，如何化简方程，如何解一元二次方程。最后学生在黑板上展示解题过程

-400x2+200x-24=0 化简可得50x2-25x+3=0

解得x=0.2或者0.3

因为是为了促销，所以应该降价0.3元

接着，我和大家一起列出第2问的数量关系：“每天的赢利=（售价-进价）×销售量-固定成本（房租）”，由于是二次函数，所以这次我让学生自己列出数量之间等量关系：（3-x-2）（200+40×）-24。

但是由于此题是函数问题，因而我引导学生设置变量，设儿童玩具店的老板盈利为y

所以该式就变形为y=（3-x-2）（200+40×）-24

即y=-400（x-）2+201

学生小组讨论，如何讨论该二次函数什么时候取得最大值，画出图象，讨论。

解得x=0.25时，y取得最大值。

四、试题的拓展延伸及变式分析

1.知识拓展

（1）一元二次方程的求解计算：如公式法、十字相乘、配方法等多种方法的求解方法，并把自己求解的新的交流展示。

（2）二次函数的谈论：引导学生善于运用对称轴，顶点坐标，二次函数的图像的讨论，并且把这些知识点一起总结起来。

2.能力拓展

（1）二次函数知识点易错点强化：在班级里，每个学生重点负责总结二次函数在中考题中出题类型，每次做完相关实际问题后，由负责学生找出解题方法，归类整理。

（2）自主命题：由学有余力的学生带动其小组成员，在本篇试题中按照中考考查的主要知识点，自主合成一份标准试题，分别侧重一元二次方程和二次函数结合问题解答综合问题。

五、试题的价值、反思及感悟等