抛物线及其标准方程十篇

抛物线及其标准方程篇1

关键词：抛物线;标准方程;实际应用

一、抛物线及其标准方程的定义

1.抛物线的定义

平面内与一个定点F和一个定直线l距离相等的点的轨迹叫作抛物线，F和l分别是抛物线的焦点和准线。

另一种表达方式是：若 =1，则M的轨迹是抛物线。

2.抛物线的标准方程

设直线l与x轴的交点为K，=P，则F=（ ，0），l：x=- ，设点M的坐标为（x，y），则

化简得，y2=2px（p0）。

根据抛物线在平面内的位置不同，可得出其他形式的标准方程：

y2=-2px x2=2py x2=-2py，其中p0。

二、抛物线及其标准方程的运用

1.给出抛物线的标准方程，求焦点坐标和准线方程

这类问题是比较简单的抛物线问题，可以通过抛物线的方程求出p值，根据抛物线在坐标轴中的位置，确定焦点和准线的位置，从而得到结果。

例1：已知抛物线的标准方程是y2=4x，求它的焦点坐标和准线方程。

解：由2p=4，得出p=2，所以焦点坐标是（1，0），准线方程是x=-1。

例2：已知抛物线的标准方程是x2=8y，求它的焦点坐标和准线方程。

解：根据抛物线方程可知焦点在y轴上，由2p=8，得p=4，所以焦点坐标是（0，2），准线方程是y=-2。

例1和例2是抛物线的基础题型，只需要根据抛物线的标准方程确定焦点F在x轴还是y轴上，准线与哪条坐标轴平行，就可以准确计算出焦点和准线。

2.给出抛物线的焦点坐标或准线方程，求它的标准方程

求解这类问题的关键是通过焦点坐标和准线方程确定抛物线的位置，从4个基本方程中选择正确的表达形式。

（1）直接给出

例3：已知抛物线的焦点坐标F（5，0），求它的标准方程。

解：由焦点坐标可知，抛物线的标准方程属于y2=2px，由 =5，得出p=10，所以抛物线标准方程为：y=20x。

例4：已知抛物线的准线方程为y=3，求它的标准方程。

解：由准线方程可知抛物线位于第三、第四象限，所以抛物线的标准方程为x2=-2py，由 =3，得出p=6，所以抛物线标准方程为x2=-12y。

总结：在进行抛物线标准方程的求解时，一定要根据题意进行判断分析，而且要注意焦点和准线方程的符号。

（2）间接给出

在熟悉了较为简单的抛物线计算后，已经能够较为灵活地在焦点、准线、标准方程之间进行转换，此时需要进行抛物线的深入研究，对其中的各个知识点加以巩固。

例5：求过点B（1，2）的抛物线的标准方程。

解：经过分析，只有抛物线开口向上或者是开口向右时，才能经过点B，所以当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时，把B（1，2）代入y2=2px，得p=2;当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把B（1，2）代入x2=2py，得p= 。所以，抛物线的标准方程是y2=4x或x2= y。

总结：当给出平面中一个点的坐标时，就能够判断出抛物线在平面中的位置和开口方向，之后将点的坐标代入到标准方程中，求出p值，从而列出标准方程。

例6：已知抛物线的标准方程是y2=-8x，将焦点向左移3个单位，求新的抛物线方程。

解：由y2=-8x得p=-4，所以焦点F的坐标为（-2，0）新的焦点F?的坐标为（-5，0），由=-5，得p=-10，所以新的抛物线方程是y2=-20x。

总结：知道了抛物线方程就能求出焦点坐标，根据题意将焦点移动，得出新的焦点坐标，求出p值，就能得到新的抛物线的标准方程。

以上是数学中的常见题型，较为简单，只需要熟悉抛物线的定义和标准方程就可以轻松解答这类问题，下面我们将研究抛物线的实际应用问题。

三、抛物线的应用

学习数学是为了更好地解决实际中的问题，而在实际的生活中，经常可以看到各类数学模型，我们可以将所学的知识代入，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，使问题简单化。

例7：如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-4）2+h。已知球网与O点的水平距离为6m，高度为2m，球场的边界距O点的水平距离为12m。

（1）当h=3时，求y与x的关系式。

（2）当h=3时，球能否越过球网？如果球能越过球网，球会不会出界？

解：（1）因为A点在抛物线上，所以将A点坐标（0，2）代入方程，得16a+h=2。因为h=3，所以a= =- ，

y=- （x-4）2+3。

（2）当h=3 x=6时，y=- （x-4）2+3 y=- （6-4）2+3=2.752，所以此时球能越过球网。

当h=3 x=12时，y=- （12-4）2+5=10，所以球会出界。

本题是抛物线知识的延伸，我们应把实际的排球发球问题建立出数学模型，使其转化为抛物线问题，通过代入数据计算抛物线的顶点和与x轴的交点坐标，从而判断出球是否会越过球网和出界。

在实际生活中经常会遇到抛物线问题，如拱桥的形状、投篮时篮球的运动轨迹等，所以学生应学好抛物线，将数学和生活实际结合到一起，以解决更多的实际问题。

总之，本文将常见的抛物线问题一一列举出，并提出了相应的解题方法，在遇到有关抛物线的实际问题时，我们应善于建立抛物线的数学模型，将各种已知条件代入，以便学生思考和计算。

抛物线及其标准方程篇2

    重点:熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式,会根据抛物线的标准方程研究得出性质,会由几何性质确定抛物线的标准方程. 熟练运用坐标法,理解数形结合思想,掌握相关代数知识、平面几何知识的运用.

    难点:把几何条件转化为代数语言,进而把“形”转化为“数”. 选择合理、简捷的运算途径,并实施正确的运算. 灵活利用概念、平面几何知识.

    1. 抛物线及其性质的基本思路

    求抛物线方程时,若由已知条件可知方程的形式,一般用待定系数法;若由已知条件可知动点的运动规律,一般用轨迹法;凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意运用韦达定理;解决焦点弦问题,抛物线的定义有广泛的应用,还应注意焦点弦的几何性质,针对y2=2px(p>0),设焦点弦为x=my+■,既方便消元,又可避免斜率不存在的情况;可能的情况下,注意平面几何知识的应用,达到“不算而解”的目的.

    2. 抛物线及其性质的基本策略

    (1)求抛物线的标准方程

    ①定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,从而确定p的值,得到抛物线的标准方程.

    ②待定系数法:先定位,后定量.根据条件设出标准方程,再确定参数p的值,这里要注意抛物线标准方程有四种形式,从简单化角度出发,焦点在x轴上,设为y2=ax(a≠0);焦点在y轴上,设为x2=by(b≠0).

    (2)焦点弦问题和焦半径

    ①焦半径:抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F■,0的距离PF=x0+■.

    ②通径:过焦点F■,0且与x轴垂直的弦PQ叫通径,PQ=2p.

    ③焦点弦的性质:过F■,0的弦AB所在的直线方程为y=kx-■(k不存在时为通径).

    ④弦长:AB=x1+x2+p=■(θ为弦AB的倾斜角);x1·x2=■,y1·y2= -p2;■+■=■;以弦AB为直径的圆与准线相切.

    在抛物线y2=4x上找一点M,使MA+MF最小,其中A(3,2),F(1,0),求点M的坐标及此时的最小值.

    思索 “看准线想焦点,看焦点想准线”,可根据抛物线的定义进行相互转化从而获得简捷、直观的求解. 数形结合是灵活解题的一条捷径.

    破解 如图1,点A在抛物线y2=4x的内部,由抛物线的定义可知,MA+MF=MA+MH,其中MH为M到抛物线的准线的距离,过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1,垂足为B,则MA+MF=MA+MH≥AB=4,当且仅当点M在M1的位置时等号成立,此时点M1的坐标为(1,2).

    斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.

    思索 求焦点弦的弦长有多种方法,既要掌握运算方法,也要考虑一些不算或少算的方法. 数形结合是解析几何中重要的思想方法之一. 一些问题中,充分发挥“形”的作用,可以最大限度地减少运算,“看出结果”. 我们不妨考虑问题的一般情形:斜率为k(倾斜角为θ)的直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,如何“看出”焦点弦的弦长?

    如图2,由图可以看出,FA=p-FAcosθ,FB=FBcosθ+p,所以AB=FA+FB=■+■=■. 求解过程非常直观,在已知直线倾斜角的情形下,可以直接“看出”焦点弦的弦长. 直线斜率存在时,由k=tanθ,

    破解 例2中,k=1(θ=45°),p=2,所以AB=8.

    在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为■.

    (1)求抛物线C的方程;

    (2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.

    思索 (1)由抛物线C的标准形式可得点F的坐标和准线方程,由圆心Q在弦OF的中垂线上可得点Q的纵坐标,再由点Q到抛物线C的准线的距离列出方程,确定p的值.

    (2)存在性问题的常用方法是:先假设结论存在,进行演绎推理,若推出矛盾,则否定假设;若推出合理的结果,说明假设成立.

    思路1:先求切线MQ的方程,结合弦OF的中垂线方程解点Q的坐标,再由点Q在弦OM的中垂线上解题即可.

    思路2:先由点Q在弦OF,OM的中垂线上,再结合切线QM斜率的不同形式表示,列出方程思考.

    1. 立足课本,夯实基础

    掌握抛物线的定义、标准方程、简单性质等基础知识,深化对基础知识的理解,重视知识间的内在联系,提高应用数学思想方法解决问题的意识和能力.

    2. 熟练通法,步步过关

    对相对固定的题型,如弦长问题、面积问题等,解题思路、步骤相对固定,要以课本为例,以习题为模型,淡化技巧,理解通性通法,熟练步骤,能作出合理的算法途径设计,基本问题运算过关,破解“想得出,算不出、算不对”的瓶颈.

    3. 重视抛物线的综合问题

    重视抛物线与直线、圆等的综合研究,尤其是对性质中的一些定点、定值及相关结论的深入探究.高考试题往往有对圆锥曲线某方面几何性质的考虑,对性质深入的探究不在于知道一些结论,而是在这一过程中掌握探索的方法,理解解析几何的基本思想方法.

抛物线及其标准方程篇3

【关键词】概念;过程;实质;思维

“抛物线及其标准方程”这一数学概念课的设计独具匠心，充分激发了学生“自我实现”的创造力，使学生成为学习的真正主人。但对抛物线标准方程的四种形式的成因讲解过简，本人认为需要加以补充。而和学生一道经历抛物线标准方程的四种形式的形成过程，追寻抛物线标准方程的四种形式的实质，正是让学生进行一次思维训练和体验数学研究的思想方法的佳机。

每一个数学概念都是科学概念，具有抽象性、概括性、精确性的特点，并有严格的形式。西南师大陈重穆先生提出“淡化形式，注重实质”的观点。而对实质的注重须从过程入门，经过操作体会抛物线、焦点、准线及平面直角坐标系的具体关系和相互影响。使它比较容易与学生已有的知识经验贴近起来，并比较自然而然地提升到理论水平。

抛物线标准方程的四种形式实质是对同一条抛物线在不同的坐标系中的四种表现形式的描述。首先观察定直线l和定直线l外一点F的位置关系。先在透明的玻璃板上画好如图（1）的定直线l和定直线l外一点F，让学生从正面观察发现点F位于直线l的右侧;再让学生绕到透明的玻璃板后面观察发现定直线l和定直线l外一点F的相对位置与从正面观察截然相反，点F位于直线l的左侧（如图（2））;

再让学生倾斜身体使身体与定直线l垂直头朝向点F，观察发现点F位于直线l的上方（如图（3））;再让学生倾斜身体使身体与定直线l垂直头朝向直线l，观察发现点F位于直线l的下方（如图（4））。其实在这个过程当中定直线l和定直线l外一点F的位置并未改变，改变的只是我们的观察角度，在我们眼中点与直线表现出四种相对位置关系。

接着观察以点F为焦点，以直线l为准线的抛物线。仍在透明的玻璃板上按照定义画好如图（5）―1的抛物线，再让学生按照刚才的方法从四种不同角度观察发现焦点F、直线l和抛物线分别表现出以下四种相对位置关系（如图（5））：

其实这里的焦点F、直线l和抛物线都是确定的，只因观察者所处的位置不同，而在不同的位置建立的平面直角坐标系也不同，同一条抛物线在不同的坐标系中分别表现出开口向右、开口向左、开口向上、开口向右，从而推导出抛物线标准方程的四种形式。也就是说，抛物线标准方程的四种形式其实是对同一抛物线不同角度的描述。

这样按知识的发生发展过程进行数学教学，从完整的表象蒸发为抽象的规定，从而使学生对抛物线标准方程的四种形式有一个自然的理解。

通过课后调查发现，当没有和学生一道经历抛物线标准方程的四种形式的形成过程之前，大多数学生都认为抛物线标准方程的四种形式表示的是在同一平面直角坐标系中的四条抛物线的标准方程。事实上，直角坐标系并不是客观存在，它是为了数学研究的方便而创立的一种工具，因人因地可以建立不同的直角坐标系，而研究对象是确定的客观存在。虽然学生知道直角坐标系是可以根据需要人为建立的，但这时他们还是被形式束缚住了思维。显然大多数学生不能领悟抛物线标准方程的四种形式的实质，形成了这种不正确的数学思维。而这种不正确的数学思维没有对解题造成障碍，对短期的教学效果没有直接的影响，所以极易被师生忽视。但从长远来看，这不是一种有效教学。前苏联数学教育家A・A・斯托利亚尔认为：“在教学的每一步，不估计学生思维活动的水平，思维的发展、概念的形成和掌握教材的质量，就不可能进行有效的教学。”所谓数学教学，实质上就是学生在教师指导下，通过数学思维活动，学习数学家思维活动的结果，并发展数学思维，使学生的数学思维结构向数学家的思维结构转化的过程。

从现行的高中数学教学大纲在教学目的中提出：“努力培养学生数学思维能力。”到高中数学新课程标准在课程的总体理念中提出要：“注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。”的加强可以体会出：数学教育不能满足于传授给学生数学概念和结论，更重要的是使学生理解数学概念、结论的逐步形成的过程，从而理解数学概念、结论的本质并体会蕴涵在其中的数学思想和方法。

参考文献：

[1]李彩芬. 不预习下的“再创造”教学尝试. 数学教学通讯， 2004（1）

抛物线及其标准方程篇4

关键词：高考试题；抛物线；焦点；常数

众所周知，解析几何既是高三复习的重点、难点，又是高考命题的热点，解析几何是近几年来高考备考中不可或缺的课题之一. 而许多高考试题都是在一些熟悉的题目基础上编制出来的. 本文试对解析几何中的抛物线的典型问题作初步探索，希望对读者高考备考有所帮助.

例过抛物线y2=2px（p>0）焦点F的一条直线l和此抛物线相交，两个交点的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）. 求证：y1y2=－p2.

图1

由这样一个基本题,可以变化出许多题.

1.?摇x1x2=_____.

2.?摇•=_____. （2003天津）

结合•=cosθ（θ是、的夹角）及三角形面积公式得：

3.?摇设三角形AOB的面积为S，，的夹角为θ，写出函数S=S（θ）的解析式，并求出该函数的定义域和值域.

与导数结合，在点A，B处的切线的斜率分别为和，由•=-1得：

4.?摇求证：抛物线在A，B两点处的切线互相垂直.

让学生写出两条切线方程，然后求出两条切线的交点为，=-，. 由此得:

5.?摇求证：抛物线在A，B两点的切线l1，l2和该抛物线的准线共点.

6.?摇当l绕F旋转时，求证：抛物线在A，B两点处的切线l1，l2的交点M的轨迹是该抛物线的准线.

7.?摇设两切线l1，l2的交点为M，AB的中点为N. 求证：MN∥x轴.

8.?摇求证：以AB为直径的圆与准线相切. （见扩展习题8.6第3题）

9.?摇以AB为直径作圆交准线于点M. 求证：MA和MB是抛物线的切线.

让学生计算一下MF和AB的斜率，发现kMF=-，kAB=，于是得：

10.?摇过F作AB的垂线交准线于M. 求证：MA与抛物线相切.

11.?摇设抛物线在点A处的切线l1交准线于M. 求证：MFAB.

12.?摇设两切线l1，l2的交点为M，FA=m，FB=n. 用m，n表示AMB的面积S，并求S的最小值.

请把11题和12题与2006年高考题（全国卷Ⅱ）对比.

高考题：已知抛物线x2=4y的焦点为F，A，B是抛物线上的两个动点，且=λ•（λ>0），分别过A，B两点作抛物线的切线，设其交点为M.

（1）证明•为定值；

（2）设ABM的面积为S，用λ表示S，写出S=f（λ）的表达式，并求出S的最小值.

把第4、5两题求逆可得：

13.?摇过抛物线准线上一点作抛物线的两条切线. 求证：这两条切线互相垂直.

14.?摇过抛物线准线上一点作抛物线的两条切线. 求证：两个切点及焦点，三点共线.

根据原题的解法易知：

15.?摇设点A，B在准线上的射影分别为点D，C. 求证：DFCF.

16.?摇求证：以CD为直径的圆与弦AB切于焦点F.

17.?摇求证：点A处的切线AM与FD垂直，且AM、FD、y轴三线共点.

18.?摇求证：点A处的切线AM∥FC.

19. 求证：A，O，C三点及B，O，D三点分别共线.

请把此题与高考试题作比较.

高考题：设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过F的直线交抛物线于A，B两点. 点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴. 证明：直线AC经过原点.

图5

把8题和16题结合起来研究不难发现：

20. 求证：以AB为直径的圆与以CD为直径的圆的公共弦在y轴上.

21. 过点A作切线l1的垂线（即抛物线的法线）交x轴于点Q，求证：FA=FQ.

对8题和10题进行改造如下.

22. 如图6，定点A到定直线m的距离为p（p>0），动直线n经过点A，过A作n的垂线交m于B，过B作m的垂线交n于P，在n上截取PQ=PB. （1）建立适当的坐标系求点Q的轨迹C的方程. （2）求证：BQ与曲线C只有一个交点（见扩展例题8.5第2题）

把10题、13题、14题叠加可以得出综合题.

23. 已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，准线为l，过l上一点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B. 某学习小组研究中提出以下三个猜想：

（1）PA，PB恒垂直；

（2）直线AB恒过焦点F；

（3）•=λ2中，λ恒为常数.

请你研究上述猜想的真伪.

把焦点放在y轴上，并使13、14题特殊化，得：

24. 如图7，已知抛物线C：x2=2y和直线l：x+y+1=0. 过l上一点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，若PAPB. 求直线AB的方程（扩展例题8.6第5题）.

25. 8题在原题中，把直线l过焦点F，改为过定点G（a，0），结论有何变化？

26. 已知抛物线y2=2px（p>0），过定点G（a，0）的一条直线l和此抛物线相交，两个交点的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）. 求证：

（1）y1y2为常数；

（2）•为常数.

高考试题也往往是从一些重要的结论所挖掘出来的. 例如可从下面这个结论中得到与一些高考试题之间的联系.

重要结论：过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作x轴的垂线交抛物线于点A，过A作两条直线与抛物线交于另外两点M，N，若FA平分∠MAN，则直线MN的斜率的绝对值等于抛物线的离心率.

请把结论与2004年北京文、理试题及2005年江西文试题类比：

2004年北京理：过抛物线y2=2px（p>0）上一定点P（x0，y0）（y0>0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）.

（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；

（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.

2004年北京文：抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上.

（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；

（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率.

2005年江西文：点M是抛物线y2=x上的一点，动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点，且MA=MB.

（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；

（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求EMF的重心G的轨迹方程.

抛物线及其标准方程篇5

一、认识抛物线，欣赏抛物线

所谓抛物线就是说平面内的一个定点F和一条直线L的距离的比值等于1的点的轨迹。学习抛物线，首先，我们要知道什么是抛物线，只有深层次的理解了抛物线的定义，我们才能在平时的解题过程中灵活巧妙的运用抛物线的知识。实践才是硬道理，所以我们在教学过程中要多做练习，要让学生能通过读题找到题目的考点，尝试自己写出题目的计算表达式，以此来加深学生对概念的理解，加强学生对抛物线知识的记忆。

例如我们最初接触到的圆形，计算圆面积的公式S=πr?，这是我们记忆中的圆的面积公式，也是数学家替我们总结好的公式，但是如果让我们自己通过坐?讼档耐夹卫葱闯黾扑愎?式呢？对于抛物线我们知道它是存在于坐标系中的，抛物线也有属于自己的定点及公式，例如：

①对于抛物线y2=2px（p>0），若点P（x0，y0）在抛物线内部，则点P（x0，y0）的坐标满足y022px0

②过抛物线y2=2px上一点P（x0，y0），作抛物线的切线，其切线方程为

y0y=p（x0+x）

③已知抛物线y2=2px，若A、B两点在抛物线上，过点A、B分别作抛物线的切线l1，l2，且l_1∩l_2=T，则点T的轨迹为：x=-a

④已知抛物线y2=2px，若A、B两点在抛物线上，过点A、B分别作抛物线的切线l1，l2，且l_1∩l_2=T，若A（x1，y1），B（x2，y2），则x1?x2=定值，y1y2=定值。

这些公式都是关于抛物线的一些基本的公式，要想能完整的解题就必须要牢牢掌握这些公式。这些公式可以让我们在面对题目时不至于那么的手足无措，因此，记住关于抛物线的所有公式，在解题过程中才能水到渠成，记忆永远是不过时的、最直接的、最简便的学习方式。

二、兴趣是永久的、最好的老师

数学是一门理科课程，理科的逻辑性、严谨性决定了数学的学习是枯燥乏味的，高中数学随着教育事业与社会发展的需求，难度在不断的提升，学生对于数学的学习也从一开始的“惧怕”到后来的“厌恶”。学生这种态度的变化让老师不知所措，因此，学习抛物线，重要的不是被动的教学过程，而是让学生对抛物线产生兴趣，在教学过程中给学生一定的空间，让学生能充分的发挥自己的想象力， 结合实际，让学生对抛物线不产生排斥的情感。例如：已知抛物线y2=2px（p>0），F为其焦点，l为其准线，过F任作一直线交抛物线于A，B两点，A'B'分别为A、B在l上的射影，M为A'B'的中点 求证：

①A'F与AM的交点在y轴上

②AB'与A'B交于原点。

分析：这道题在设直线时要考虑用什么形式的直线方程，对比：x=my+n和y=kx+b，该题选择第一种形式，原因是减少分类讨论，从而简化解题过程。

这道题是一个计算题，主要考查基本概念，整个可变量就是一个变量m，但不用分类讨论，因为当m=0时，直线与抛物线有且只有一个交点，与题目的有两个交点矛盾。

解题思路：①设A（X1，Y1），B（X2，Y2）设一个辅助变量m

于是设直线AB为x=my+p/2.代入双曲线方程得到y2-2pmx-p2=0

则y1+y2=2pm，y1y2=-p2

设直线A'F与y轴的交点N，计算该点的坐标，满足直线方程AM即可（也可以证明三点共线，即A、M、N三点共线用斜率计算即可）

②解题思路与第一问类似，证明原点O在AB'和A'B上，只要直线OA与OB'斜率相等，OB与OA'相等就成。（计算过程省略）

三、教师正确的引导教学

学生是一个很奇怪的群体，他们是祖国的花朵，也是国家未来的栋梁。教师是学生在学习道路上的指引人，在抛物线的教学过程中，给学生独立思考的空间是很重要，但是不能任由学生毫无章节的想象，脱离课堂教学的内容。抛物线有四种不同形状的图形的计算公式，我们在教学过程可以让学生进行对比学习，让学生找到这些公式的相同点与不同点，记住它们特殊情况，就能够在直角坐标系中准确的画出它们的基本表达式所代表的图形。

在抛物线方程的讲解中，笔者是将抛物线方程转化为两个标准式，即焦点在x轴和焦点在y轴上，然后根据方程的特点，准确判断抛物线的开口方向。这样就不会让学生觉得抛物线很繁琐的感觉，同时也类比了椭圆和双曲线。

抛物线及其标准方程篇6

关键词：同课异构概念教学高中数学

在讲授《2.3.1抛物线及其标准方程》时倾听了两位教师的课，感触很多，有很多问题值得我们反思。

本节课是新人教A版高二数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程的第三单元2.3抛物线，2.3.1抛物线及其标准方程的第一课时，这一节内容主要是抛物线的定义和抛物线标准方程及其运用，它是继椭圆、双曲线之后的又一重要内容，是学习抛物线的性质及其应用的基础，有着承上启下的作用。

两节课所制定的教学目标，教学重难点也是相同的，由于是集体备课教学内容也大致相同，但呈现出的效果却不同，各有千秋。

一、引出“抛物线定义”的部分课堂实录

示范课1：

教师：请大家和老师一起看一组图片

大屏幕上给出桥梁、彩虹、拱形过街横梁、喷水池、二次函数、投篮、探照灯共7张图片。

教师：请大家观察这些图形中都包含了同一种曲线，是什么呢？

学生：抛物线。

教师：那你觉得什么样的曲线是抛物线呢？

学生参差不齐的回答，教师没有提问。

教师：请大家把课本打开到57页，我们一起读一下。

学生齐读定义，教师在黑板上板书抛物线定义。

教师：同学们请看大屏幕。

教师在大屏幕上通过几何画板演示了抛物线的形成过程。

教师：从课件演示我们真切的体会到抛物线产生的过程，那么同学们注意到此时定点F是在直线外的，那么如果定点F在直线上又会得到什么结论呢？

学生思考后给出“直线”“射线”两种答案，教师没有提问直接给出了解答，到此共用时22分钟。

示范课2：

教师：我们在解决“椭圆几何性质的例6”与“双曲线几何性质例5”时发现同样是动点M到定点F的距离与到定直线的距离之比，若比值大于0小于1则得到椭圆，若比值大于1则得到双曲线，那么如果比值等于1会得到什么样的曲线呢？

教师在讲解同时大屏幕给出相应图形及相关结论，由于新教材没有提到圆锥曲线的第二定义，但学生在学习过程中确实也发现了教师提到的规律，所以教师应用这个由学生自己发现的结论引课符合要求。

学生思考后只有少部分回答“抛物线”。

教师：老师手里有一些小道具，一根绳和一条拉链，同学们还记不记得这两样小道具分别帮助我们得到了什么圆锥曲线？

学生有点兴奋，争抢着说“椭圆”“双曲线”。

教师：同学们还记不记得我们当时是根据什么原理进行操作的？对于我们现在遇到的问题又有什么新的帮助呢？

学生开始小声的互相讨论，当有学生说到正确答案时教师立刻请他来回答。学生甲回答的是用拉链来完成，学生乙是用绳来操作，但学生乙说的条理并不十分清楚。

教师利用Flash帮助学生乙完成了演示过程。

教师：同学们说的都很好，这条曲线就是我们今天要研究的第三类圆锥曲线――抛物线。

教师板书标题。

教师：根据我们前面的研究同学们能不能给抛物线一个文字定义呢？

学生开始回答，教师请学生丙站起来代表回答。同时教师在黑板上写出文字定义并画出图形，用简单的符号语言来描述定义。接下来教师请同学们列举了一些关于抛物线的实际例子，教师也在大屏幕上展示了拱桥、喷水池、投篮三张图片。由拱桥提到了抛物线在桥梁工程上的应用，由喷水池和投篮引出了下面关于抛物线标准方程的讨论。到此共用时16分钟。

二、对比分析

1.概念教学在数学教学中有重要地位。根据来源可将数学概念分为两类，相应地有两类概念教学方法。数学概念有多重特征，揭示这些特征是概念教学的重要任务。概念教学有多种策略，策略的使用能提高教学的有效性。这部分两节示范课都是在介绍抛物线的定义，也都用到了相似的图片和课件，示范课1一开始就展示了大量的图片，让学生直观看到了本节课要研究的对象是一种新的曲线抛物线，这就是抛物线在生活中的重要应用。示范课2的每一步都是经过精心设计的，将资源发挥出最佳效果。

2.数学概念是人类对现实世界空间形式和数量关系的概括反映，是建立数学法则、公式、定理的基础，也是运算、推理、判断和证明的基石，更是数学思维、交流的工具。数学概念来源于两方面：一是对客观世界中的数量关系和空间形式的直接抽象；二是在已有数学理论上的逻辑建构。相应地可以把数学概念分为两类：一类是对现实对象或关系直接抽象而成的概念，这类概念与现实如此贴近，另一类是纯数学抽象物，这类概念是抽象逻辑思维的产物，是一种数学逻辑构造，没有客观实在与之对应，如方程、函数、向量内积等，这类概念对建构数学理论非常重要，是数学深入发展的逻辑源泉.两节课都使用了动画来演示抛物线的形成过程，示范课1很专业，但缺少学生的自主思考，而示范课2则让学生充分参与了每一步的讨论与思考，最后也是学生通过学习思考结合自己的预习给出了抛物线的定义。

3.示范课一与示范课二在与学生互动上采用了截然不同的做法，示范课一上学生也很活跃，但教师并没有给出回应，更多的是注重了教师的总结，而示范课二的教师基本上学生能说出来的结论教师都采用代表发言的形式由学生来说，教师只是在知识点升华或更加专业的问题上进行总结。从可持续发展的角度，示范课二的师生互动模式更有利于激励学生自主学习的热情，发挥学生学习的主动性，将教师传授的知识更有效地吸收，更有可能做到事半功倍的效果。

抛物线及其标准方程篇7

关键词：抛物线定义；绘制抛物线；设计；制作

在讲授《抛物线的定义及几何性质》时，依据新课程的要求，我在两位同学协助下利用绳子、直尺、三角板和粉笔在黑板上画抛物线，大概用时十多分钟，但由于焦点在绳子用力的情况下很难固定，导致画出淼呐孜锵弑湫巍？魏笪疑贤查找了一些抛物线的画法，有几种介绍如何手工画抛物线的方法，但是具体操作并不方便而且抛物线的定义也没有得到体现，或像课本上介绍的用几何画板作图，能够充分体现抛物线的定义，但是无法手工完成。课后我通过抛物线的定义结合直尺、三角板、细绳制作了简易绘图工具，在经过不断改进后有了如下所述的“抛物线教具”。

一、设计原理

抛物线的定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。根据抛物线定义，实用新型教具的“固定尺”确定直线，“焦点尺”确定焦点F的位置，因为在同时滑动竖直和水平滑动尺的过程中卷尺中拉出的两条绳长相等，在保证绳子拉直的所有情况下，每个位置的笔尖到固定尺和焦点的距离都相等，从而做出的图就是抛物线。

二、制作方法

下面结合附图对抛物线教具的各部件做详细的说明。

抛物线教具，包括固定尺1、上下滑动尺2、左右滑动尺3、焦点尺4、出线卷尺5和画笔6，所述滑动尺2在固定尺1上面，滑动尺3在滑动尺2上面，出线尺5和画笔6都固定在滑动尺3上；焦点尺4在固定尺1上并且处于初始位置，通过上面可以伸缩的刻度来确定焦点F和直线的距离，来决定抛物线开口的大小；滑动尺2在固定尺1上面的轨道内上下滑动，滑动尺3可以在滑动尺2上面轨道内左右滑动；出线尺5拉出的两股细绳由画笔6分开，由于是两股绳同时被拉出，所以两段绳长相等。

所述出线尺5是拉力适中的“卷尺”，绕其轴的是等长无弹性的双股线，在回到初始位置时细绳可以被拉回卷尺内。

三、操作方法

（1）由固定尺1来确定直线的位置，其上的焦点尺4来确定焦点F到的距离；

（2）向上滑动滑动尺2的同时向右滑动滑动尺3；

（3）在步骤（2）中保证两条细线是拉直状态；

（4）画笔6随着步骤（3）而运动，并且在每个位置到焦点F和直线的距离都相等。

四、创新特点

抛物线教具是绘制抛物线的教学工具，它能够方便的画出抛物线，在画图过程中能够充分体现抛物线的定义，让学生在画的过程中观察并理解定义，从而对相关章节知识点的学习更加形象和直观。在此教具中采用“卷尺”和“细线”，使得这一教具的作图原理更加简单，也没有太复杂的机械结构便于操作。

该抛物线教具结构简单、造价低廉，适用于工程制图及教学当中；并且可准确调节抛物线的开口，操作方便，作图准确、能一次成形，不受操作平面的限制。

参考文献：

抛物线及其标准方程篇8

最近,笔者仔细查阅了前几年在教学“抛物线及其标准方程”一课时的教案。整个教学过程是:

1.教师由问题“平面内与一个定点F和一条定直线l(F l)的距离相等的点的轨迹是什么”来导入本节课;

2.教师拿教具给学生作演示并得出结论:符合题意的点的轨迹是抛物线;

3.告诉学生如何推导出抛物线的标准方程,并在大屏幕上显示出推导过程;讲解定义、标准方程及相关注意事项;

4.教师讲解课本上的例题,学生做练习。

反思这节课,明显存在这样几个缺点:①在教学过程中,以教师的教为主体,教师讲、学生练,学生围着教师转,学生失去了自主性和主动性;②让学生死记数学公式,机械地模仿教科书上解决问题的方法,忽视了师生之间、生生之间应有的合作学习与情感交流,丧失了学习过程中的情感性和发展性。姑且不谈这节课是如何令人感到拖沓冗长,就训练学生思维能力而言,笔者认识到这节课很有可能是无效的。同时,在课堂提问中,笔者提出的问题大多是陈述性问题,并让学生围绕某一知识点进行大量的练习,缺少对开放性创新题型的设置。

二、对“抛物线及其标准方程”一课的改进

1.精心设置课前导入环节

笔者预想了两个方案:方案一,鉴于学生已经学习过关于椭圆、双曲线的标准方程及相关性质,因而可以采用直接导入本节课的主要内容“抛物线及其标准方程”的方法。方案二,从椭圆和双曲线的第二定义入手,即归结为平面内动点到定点和定直线的距离之比问题(比值的范围不同,所得到的曲线就不同。当比值在0到1之间,动点的轨迹是椭圆;比值大于1,动点轨迹是双曲线)。这时可以提出问题:这些比值的范围还应有哪些?即它们的补集是什么?从而得出研究对象:比值等于1时动点的轨迹问题。这样就将本节课要研究的问题很自然地引出来了:平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹是什么?

经过对这两种方案的研究比较,笔者决定采用第二种方案来导入新课。因为这样的设计,可以在向学生灌输类比的数学思想的同时,也加强了知识的前后联系,向学生展示了数学知识的系统性和完备性。并且,在得出抛物线的定义后,也可以让同学对生活中的抛物线图形进行深入思考,阐述数学既来源于生活、亦可解释生活的理念。

导入后,在有趣的教具的辅助下进一步拓展学生的视野,使数学知识的发生及形成更为自然,更能贴近学生的认知特征。

2.在教学过程中培养学生自主探究的能力

对于抛物线的标准方程的推导,笔者采取先由教师点拨(设点F到直线l的距离为p[p>0]),再由学生自己合理建立直角坐标系、讨论整理出抛物线的标准方程的方法。由于学生建系方法不同(或将定直线当做y轴,或将定点当原点,亦或按照标准方程的建系方法,甚或将定点和定直线斜放于坐标系内),得到的方程式必然不同。教师要在肯定学生的研究成果的同时,与学生一起选出最佳建系方法。这样做可以使每个学生都动起来,自己探究知识的发生、发展过程,而不是由老师直接给出答案,更杜绝了让学生死记公式、机械模仿的授课现象。可以根据学生已有的知识水平(掌握了椭圆、双曲线的相关知识,可以根据椭圆、双曲线因焦点位置的不同而得出两种标准方程),让他们对椭圆、双曲线和类比抛物线进行对比,得出抛物线因焦点位置的不同也可以有不同的标准方程的结论,即加入抛物线标准方程的其他三种表达形式。

除了使用课本上的例题和练习以外,笔者还设计了这样一组题:

1.平面上一动点M到点F(1,0)的距离与它到直线x=-1的距离相等,求M点的轨迹方程。

2.平面上一动点M到点F(1,0)的距离比它到直线x=-2的距离小1,求M点的轨迹方程。

3.平面上一动点M到点F(1,0)的距离与它到直线x-1=0的距离相等,求M点的轨迹方程。

让学生通过对这三道题的探究,明白抛物线的定义中最重要的一点就是:定点不在定直线上。

经过这样一番精心准备,实际的课堂效果非常好,学生们的表现相当积极,充分地展示了他们的聪明才智。

3.教学别注意了对不同层次的学生的关照

在完成如何建系求出抛物线的标准方程的教学过程中,笔者特别注意了对不同层次的学生的关照。为了使大多数学生能够在课堂上完成对教学内容的充分学习,笔者特意在小组活动后找了不同小组中的成绩中游或者中游偏下的学生到黑板前面为全班同学作讲解。

同学甲是以直线l为y轴,以过点F且与l垂直的直线为x轴建立直角坐标系,得到的方程为y2=2px-p2(p>0);同学乙是以过点F且与l垂直的直线为x轴,x轴与l相交于点K,以线段KF的中垂线为y轴建立直角坐标系,得到的方程为y2=2px(p>0);同学丙是以点F为坐标原点,以过点F且与l垂直的直线为x轴建系,得到的方程为y2=2px+p2(p>0)。

接着同学们开始点评,有的认为乙的方法好,因为乙最后得到的方程式简单;有的则评价乙没有从学生的思维角度来进行讲解,即只知道告诉大家如何做,而没有分析为什么这样做,对此,乙是这样解释的:“我们小组经过讨论后,知道不同的建系方法会得到不同的方程,所以我们在小组内又分成了三个小组,分别使用了以直线l为y轴、以KF的中垂线为y轴、以点F为坐标原点(x轴都相同)三种方法来建系,最后经过比较才得出这样的结论的。”原来如此!想不到他们的小组竟然想出了这种合作方式,这种创新的意识不正是我们的课堂教学所急需的吗?

三、对教学过程的再反思

本节课的优点:①在这堂课中,学生不但学会了基础知识,而且还体验了知识的推导过程,尝试了有条理地思考问题和解决问题的过程。②让学生到讲台上针对某些内容进行讲解,不仅使学生增强了自信心,并且使之在参与授课的体验中,进一步深入思考应该如何听课,即不能只为听答案而听课,而应该深究答案的渊源,应该学会分析问题。③通过小组合作学习,学生锻炼了自学能力,培养了团队意识,提高了人际交往能力,学会了如何关怀和帮助他人、评价他人,学会了承认他人的优点、容忍他人的缺点,虚心学习、听取意见。

本节课存在的问题:①在小组讨论时,有的学生对自己要进行的探究比较茫然,找不准思考问题的方向,对所要完成的任务也搞不清楚。这就需要教师在备课时创设有效的情境,把问题设计得恰到好处,让这些问题有助于引导学生理解知识的核心和问题的本质。②个别学习成绩不太好的学生在小组讨论时不敢发言、不敢表态,逐渐地远离了讨论的中心,显得很被动。为了使全体学生都能够在课堂学习中获得有效提高,教师必须要充分了解自己的学生,了解他们的性格、知识水平等多方面的信息,特别是对于成绩暂时处于下游的学生,要从他们的实际认知水平出发合理设计课堂教学内容、采取适当的教学方法,尽量避免无效的提问。同时,在他们不能顺利、正确地作出回答时,教师要热情地启发和鼓励他们,让他们保持积极的学习情绪,积极地参与进来,而不是让课堂变成学习成绩好的同学的“一言堂”,杜绝由老师替代思考转变为由好学生替代思考的现象。③做练习是数学教学的有机组成部分,是学生学好数学的必要条件。做练习可以帮助学生对知识进行正确的理解、释疑、深化及反馈,所以教师在教学中要注意在恰当的时间选择恰当的练习来帮助学生进一步巩固并提高所学知识;同时,要加强对解题的指导,对解题思想方法作必要的概括。而本节课中,学生做的练习以口算为主,笔答的时间少了些,这么做虽然关注了对学生的思维能力的培养,但忽视笔头上的练习,无法展示和了解学生在做题过程中发生的错误,更无法规范学生的做题步骤。这是需要再次改进的地方。④没有恰当地运用现代信息技术。若能在课件中动态地展示抛物线的开口方向、x与y的指数等,那么在对抛物线的其他标准方程进行讨论时,学生将会感到“柳暗花明又一村”。

抛物线及其标准方程篇9

学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大.事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程以及“设而不求”法，往往能够减少计算量.像直线与圆锥曲线的相交关系，高考一般进行重点考查.这种凡涉及圆锥曲线中的弦长问题，我们常用的技巧是将直线与圆锥曲线方程联立，用根与系数的关系、整体代入和“设而不求”法，除了运用代数方程外，还要注意充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识（如三角形的面积问题），使问题简单、直观化，从而能够顺利解决.

例1 已知抛物线C：y2=2px（p>0）上有一点Q（2，y0）到焦点F的距离为 .

（Ⅰ）求p及y0的值.

（Ⅱ）如右图所示，设直线y=kx+b与抛物线交于A，B两点，且两点的纵坐标差的绝对值为2.过弦AB的中点M作垂直于y轴的直线，与抛物线交于点D，连接AD，BD.试判断ABD的面积是否为定值.若是，求出定值;若不是，请说明理由.

难度系数 0.60

分析 本题考查抛物线的标准方程与几何性质，利用抛物线的定义就能解决.直线与抛物线的相交位置关系问题，一般方法是先联立方程，利用“设而不求”法解题，同时要注意判别式的限制作用.三角形的面积要用顶点的坐标来表示，这是解析几何中常用的技巧，一定要引起重视，熟练掌握.

解 （Ⅰ）由于点F的坐标为（ ，0），所以2+ = ，解得p=1.于是可知抛物线的方程为y2=2x.

又Q（2，y0）在抛物线上，所以y0 =±2.

（Ⅱ）设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），则有|y1-y2|=2.

由y=kx+b，y2=2x，得k2x2+2（kb-1）x+b2 =0.由Δ>0，得1-2kb>0.所以有x1+x2 = ，x1x2 = .

由于|y1-y2|2 = k2|x1-x2|2 =k2[（x1+x2）2- 4x1x2]= = 4，所以1-2kb= k2.

又M是AB的中点，所以 = ， = = +b= .于是可知点M的坐标为（ ， ），点D的坐标为（ ， ），则有|MD|= | - |=| |.

所以SABD= ・|MD|・|y1-y2|= ・| |・2= ，即ABD的面积为定值.

小结 本题的第一问考查抛物线的定义及标准方程等基本知识，较容易解决.第二问考查直线与抛物线的位置关系，常常需要将直线方程与抛物线方程联立后消元，再利用判别式和根与系数的关系进行解答，也就是我们常说的“设而不求”法，这样就可以大大优化解题过程.上面由方程组实施消元，产生一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到，其中的难点在于应用参数k，b，重点在如何消去参数.而引入参数、应用参数、消去参数这三步，正是解析几何综合问题求解的一条有效途径.

直线与圆锥曲线相交所得的三角形的面积问题，学生要注意用三角形顶点的坐标表示其面积，如上题中的SABD= ・|MD|・|y1-y2|，当然也可以用横坐标表示，这样就实现了坐标与面积的完美结合，使问题顺利解决.

技巧2：用好曲线的定义和弦长公式

在求过圆锥曲线焦点的弦的长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂的运算.另外，充分利用现有的结果（如弦长公式：|AB|= ・ |x1-x2|= ・ = ・|y1-y2|= ・ ），学生就能减少运算过程.而直接应用结论，通常能减少配方、开方等繁杂的运算过程.

例2 已知椭圆C：x2+2y2 = 4.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率.

（Ⅱ）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OAOB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论.

难度系数 0.50

分析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质、运算求解能力以及用方程思想解决问题的能力.

解 （Ⅰ）据题意可知椭圆C的标准方程为 + =1.于是有a2=4，b2=2，从而有c2=a2-b2=2，即a=2，c= .

故椭圆C的离心率e= = .

（Ⅱ）直线AB与圆x2+y2 = 2相切.证明如下：

设点A和点B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0.

由于OAOB，所以 ・ =0，即tx0+2y0=0，解得t=- .

①当直线AB的斜率不存在时，有x0= t，则有y0= - ，所以点A的坐标为（t，- ）.

将点A的坐标代入椭圆C的方程，得t=± ，所以直线AB的方程为x=± ，圆心O到直线AB的距离d= .此时直线AB与圆x2+y2=2相切.

②当直线AB的斜率存在时，有x0≠ t，此时直线AB的方程为y-2= （x-t），即（y0-2）x-（x0-t）y+2x0-ty0=0，所以圆心O到直线AB的距离d= .又x20+2y20= 4，t=- ，所以d= = = .此时直线AB与圆x2+y2 = 2相切.

综上所述，直线AB与圆x2+y2 = 2相切.

小结 离心率是高考对圆锥曲线考查的重点.求离心率的取值范围问题也是解析几何中常见的问题.在求解时，学生可根据题意列出关于a、b、c的相应等式或不等式，并将式中的a、b、c转化为只含有a、c的齐次式，再转化为含e的等式或不等式，最后求出e或e的范围.这类问题较为基础、简单，一般在选择题、填空题或解答题的第一问中出现，是送分题.只要熟练掌握圆锥曲线的几何性质，学生一般就可以顺利解决.

抛物线及其标准方程篇10

例1． 如图1，过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若BC=2BF，且AF=3，则此抛物线的方程是（ ）

A． y2＝x B． y2＝3x C． y2＝x D． y2＝9x

解析：本题如果通过设直线方程，然后联立直线与抛物线方程利用长度之间关系去解答，也是可以的，但计算量相当大，其实本题完全可以借助抛物线的定义和平面图形的性质巧妙解答．

如图1，过A、B作准线的垂线，垂足分别为E、D，准线与对称轴的交点为H．

思路1：由抛物线的定义知BD＝BF，所以在RtBDC中，BC＝2BD， 故∠BCD=30°，所以∠AFx=60°.又AF=3，所以A（+，）在抛物线上，从而有=2p（+），解得p=或p=-（舍去），故可得抛物线方程为y2＝3x．

思路2：AE＝AF=3，在RtAEC中，∠ACE=30°，所以AC＝6，从而知F是AC的中点，所以HF=AE=，即p=，故抛物线方程为y2＝3x．

评注：①无论是思路1还是思路2，都是巧妙利用了抛物线的定义和直角三角形的有关性质；②本题中的条件BC=2BF也可以等价地表示为=2．

下面请利用圆锥曲线的定义以及平面几何图形的性质解决以下几个习题．

练习1． 过椭圆+=1（a>b>0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．

解析：在RtPF1F2中，∠F1PF2=60°，F1F2=2c，所以PF1==，PF2==，由椭圆定义得2a=+，所以离心率e==，故选B．

练习2． 设F1和F2为双曲线-=1（a>0，b>0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． 2 C． D． 3

解析：如图3，因为OP＝F1F2，所以2b=×2c，4b2=3c2，则离心率e==2，故选B．

练习3． P是双曲线-=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2=4和圆（x-5）2+y2=1上的点，则PM-PN的最大值是 ．

解析：要使PM-PN取到最大值，只需PM取到最大值和PN取到最小值．一旦取定双曲线右支上一个点P，则PM最大值和PN最小值就成为是圆上点到一个定点的最值问题．如图4，由圆的性质知，PM最大值就是经过圆心F1（-5，0）的线段PA，而PN最小值就是经过圆心F2（5，0）的线段PB，而两个圆的圆心F1（-5，0）、F2（5，0）恰是双曲线的两个焦点，所以结合双曲线的定义知PM-PN的最大值是PA-PB=（PF1＋2）－（PF2－1）＝PF1－PF2＋3＝6＋3＝9．

练习4． 有一矩形纸片ABCD，按图5所示方法进行任意折叠，使每次折叠后点B都落在边AD上，将B的落点记为B′，其中EF为折痕，点F也可落在边CD上，过B′作B′H∥CD交EF于点H，则点H的轨迹为（ ）

A． 圆的一部分 B． 椭圆的一部分

C． 双曲线的一部分 D． 抛物线的一部分

解析：因为点B和点B′关于折痕EF对称，所以BH=B′H，则点H满足到定点B的距离等于到定直线AD的距离，由抛物线的定义知，点H的轨迹为抛物线的一部分．

例2． 如图6，已知A、B、C、D分别为过抛物线y2=4x的焦点F的直线与该抛物线和圆（x-1）2+y2=1的交点，则AB・CD等于 ．

解析：客观题的最大特点是只要结果不需要过程，所以如果能用方法比较快地求出答案就可以了，而不用管解答是否严密，是否完整．例如本题让我们求AB・CD的值，可想而知，不管直线的位置如何，AB・CD的值肯定是不会变的，所以，我们可以考虑最特殊的情况：直线垂直于对称轴，此时，A（1，-2）、B（1，-1）、C（1，1）、D（1，2），所以AB・CD=1×1=1．

评注：一般在变化中求定值、求最值可以用特殊法思想解答．

通过上题的解答我们可以看出，特殊法应该是解答客观题非常有效的好方法．下面，我们用特殊法来解答下列习题．

练习5． 过抛物线y2=ax（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则+等于（ ）

A． 2a B． C． 4a D．

解析：与例2一样，既然让我们求+的值，说明该值不会因为直线位置的改变而改变，所以可以考虑直线垂直x轴的情况，此时，p=q=，所以+=．

练习6．（1）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P（2，2）为AB的中点，则抛物线C的方程为 .

（2）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则ABF的面积等于 ．

解析：无论是（1）和（2）都可以考虑满足题意的一种特殊情况A（0，0）和B（4，4），所以抛物线C的方程为y2=4x，ABF的面积等于×1×2=1．

解题中用到的方法并不一定是单一的，也并不一定是唯一的，需要具体问题具体对待．例如例2也可以用抛物线定义解答：设A（x1，y1），D（x2，y2），则AB・CD=（AF－1）・（DF－1）=x1x2，而我们知道经过抛物线焦点的直线与抛物线相交得到的两个交点的横坐标的乘积等于定值=1．

综上所述，解答圆锥曲线客观题完全可以“剑走偏锋”，不必拘泥于基本解题过程．