等腰三角形有几条对称轴十篇
时间：2023-03-27 01:10:40
等腰三角形有几条对称轴篇1
易错点一：对“两个图形成轴对称”与“一个图形是轴对称图形”概念理解不透
例1 下列说法中，正确的是（ ）
A.形状相同的两个图形成轴对称
B.轴对称图形和成轴对称图形是一回事，都是关于某直线对称
C.能够完全重合的两个图形成轴对称
D.沿着一条直线对折能够完全重合的两个图形成轴对称
【错解】A或B或C.
【正解】D.
【学生自述】对“两个图形成轴对称”与“一个图形是轴对称图形”概念理解不透.
【点评】选A或C的同学，对“两个图形成轴对称”的概念理解不到位，忽略了“两个图形成轴对称，不仅和图形的形状、大小有关，还与图形的位置有关，三者缺一不可” .选B的同学混淆了“两个图形成轴对称”与“轴对称图形”这两个不同的概念.图形成轴对称反映的是两个图形之间的形状、大小和位置的关系，而轴对称图形是指一个图形自身的性质.轴对称的对称点分别在两个图形上，而轴对称图形的对称点都在同一个图形上.当然，如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分关于这条对称轴成轴对称；如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形.“图形成轴对称”和“轴对称图形”是两个不同的概念.它们之间有着密切的联系.
易错点二：对称轴描述有误
例2 说出线段、角、等腰三角形、正方形、圆的对称轴.
【错解】线段有一条对称轴，是它的垂直平分线；角有一条对称轴，是它的角平分线；等腰三角形有一条对称轴，是底边的高；正方形有两条对称轴，是两组对边中点的连线；圆有无数条对称轴，是它的直径.
【正解】线段有两条对称轴，是线段的垂直平分线和它所在的直线；角有一条对称轴，是角平分线所在的直线；等腰三角形有一条对称轴，是底边上的高（或中线）所在直线或者是顶角平分线所在直线；正方形的对称轴有四条，是对角线所在直线和过对边中点的直线；圆有无数条对称轴，是过圆心的直线（或直径所在的直线）.
【学生自述】忽略了对称轴是直线，有的图形有若干条对称轴.
【点评】本题考查如何确定对称轴及其描述，要注意的是图形的对称轴是直线，而不是线段或射线.线段的对称轴有两条，正方形的对称轴有四条，等腰三角形有一条对称轴.
易错点三：对于无图问题，考虑欠周全，造成漏解
例3 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为30°，求这个等腰三角形顶角的度数.
【错解】60°.
【正解】60°或120°.
【学生自述】只考虑了高在等腰三角形内部的情况，忽略了在三角形外部的情况.
【点评】等腰三角形是一个轴对称图形，一腰上的高既可以在等腰三角形内，也可以在等腰三角形外，需分类讨论.①当高在等腰三角形内部时，顶角为60°；②当高在等腰三角形外部时，顶角为120°.故此等腰三角形的顶角为60°或120°.
例4 已知等腰三角形的两条边长分别为4和7，那么它的周长等于______.
【错解】15.
【正解】分两种情况：当腰长是4时，三角形的周长是7+4×2=15；当腰长是7时，三角形的周长是4+7×2=18，故三角形的周长是15或18.
【学生自述】只考虑了腰长为4这一种情况.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系.
例5 已知等腰三角形的一个角等于80°，则它的另外两个角的度数分别是（ ）
【错解】50°和50°.
【正解】分两种情况：当顶角是80°时，则另外两个角的度数分别是50°、50°；当底角是80°时，另外两个角的度数分别是80°、20°，所以它的另外两个角的度数分别是50°、50°或80°、20°.
【学生自述】等腰三角形一内角为80°，只考虑了顶角为80°的情况.
【点评】等腰三角形是轴对称图形，除了可以根据对称性得到边角、有关线段的性质外，在涉及等腰三角形的边、角的计算方面，若没有明确底边、腰、底角、顶角时，要分情况进行讨论.
易错点四：对称轴找不全
例6 如图，由4个小正方形组成的田字格中，ABC的顶点都是小正方形的顶点.在田字格上画与ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含ABC本身）共有______个.
【错解】2个.
【正解】有3个.
【学生自述】只考虑了网格线为对称轴的两种情况，而把对角线作为对称轴的情况忽视了.
等腰三角形有几条对称轴篇2
教学目标
（一）教学知识点
1．等腰三角形的概念．
2．等腰三角形的性质．
3．等腰三角形的概念及性质的应用．
1．经历作（画）出等腰三角形的过程，从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．
2．探索并掌握等腰三角形的性质．
（三）情感与价值观要求
通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．
教学重点
1．等腰三角形的概念及性质．
2．等腰三角形性质的应用．
教学难点
等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．
教学方法
探究归纳法．
教具准备
师：多媒体课件、投影仪；
生：硬纸、剪刀．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
[师]那什么样的三角形是轴对称图形？
[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．
[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．
Ⅱ．导入新课
[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．
作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．
[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．
[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本P138探究中的方法，剪出一个等腰三角形．
……
[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．
[师]有了上述概念，同学们来想一想．
（演示课件）
1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
2．等腰三角形的两底角有什么关系？
3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？
[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．
[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．
[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．
[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．
[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．
[生齐声]它们是同一条直线．
[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．
[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．
[师]很好，大家看屏幕．
（演示课件）
等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．
（投影仪演示学生证明过程）
[生甲]如右图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为
所以BAD≌CAD（SSS）．
所以∠B=∠C．
[生乙]如右图，在ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为
所以BAD≌CAD．
所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．
[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．
（演示课件）
[例1]如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：ABC各角的度数．
[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．
[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．
再由三角形内角和为180°，就可求出ABC的三个内角．
[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．
（课件演示）
[例]因为AB=AC，BD=BC=AD，
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
在ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P141练习1、2、3．
练习
1．如下图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．
答案：（1）72°（2）30°
2．如右图，ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段？
答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC，BD=DC=AD．
3．如右图，在ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．
答：∠B=77°，∠C=38.5°．
（二）阅读课本P138～P140，然后小结．
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．
我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．
Ⅴ．课后作业
（一）课本P147─1、3、4、8题．
（二）1．预习课本P141～P143．
2．预习提纲：等腰三角形的判定．
Ⅵ．活动与探究
如右图，在ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．
求证：AE=CE．
过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质．
结果：
证明：延长CD交AB的延长线于P，如右图，在ADP和ADC中
ADP≌ADC．
∠P=∠ACD．
又DE∥AP，
∠4=∠P．
∠4=∠ACD．
DE=EC．
同理可证：AE=DE．
AE=CE．
板书设计
§14．3．1．1等腰三角形（一）
一、设计方案作出一个等腰三角形
二、等腰三角形性质
1．等边对等角
2．三线合一
三、例题分析
四、随堂练习
五、课时小结
六、课后作业
备课资料
参考练习
一、选择题
1．如果ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（）
A．某一条边上的高;B．某一条边上的中线
C．平分一角和这个角对边的直线;D．某一个角的平分线
2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（）
A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°
答案：1．C2．C
二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm．
求这个等腰三角形的边长．
解：设三角形的底边长为xcm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得
2（x+2）+x=16．
等腰三角形有几条对称轴篇3
1 点与三角形
例1 已知，等边ABC，在其所在的平面内求一点P，使PAB、PBC、PCA都是等腰三角形；这样的点P，你可以找到多少个？图1
解析 如图1，不难找到等边ABC内部的一点P1――三条对称轴的交点；
以点A为圆心，AB长为半径画弧，交ABC的对称轴MN于P2、P3点；以点B为圆心，AB长为半径画弧，交MN于P4点；
所以，对称轴MN上共有4个点符合要求.
等边ABC共有3条对称轴，每条对称轴上都有4个点符合要求，该有12个点符合要求；但ABC内部的3个点重合，所以，共有10个符合要求的点P. 即ABC内部有1点，外部有9个点.
图2
例2 如图2，三条直线相交于A、B、C三点，今要在A、B、C三点所在的平面内求作一点P，使点P到三条直线的距离都相等；这样的点P，你可以找到多少个？
解析 作ABC的两内角平分线，交点为P1，根据“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”可知点P1符合要求；
作ABC的外角平分线，交点分别为P2、P3、P4，那么，点P2、P3、P4同样符合要求.
所以，符合要求的点共有4个――ABC的内部有1个，外部有3个.
2 点与正方形
例3 已知正方形ABCD，求一点P，使PAB、PBC、PCD、PDA皆为等腰三角形；请指出这样的点有几个？
图3
解析 如图3，作出过AB、CD两边中点的对称轴MN. 以A点为圆心，AB长为半径画弧，交直线MN于点P1、P2；以D点为圆心，AB长为半径画弧，交直线MN于点P3、P4；正方形ABCD的中心为P5；所以，对称轴MN上共有5个点符合要求.
正方形ABCD中，像MN这样的对称轴有两条，共有10个点符合要求. 但正方形ABCD的中心只有一个，即两条对称轴交于一点.
所以，共有9个符合要求的点P. 即使PAB、PBC、PCD、PDA皆为等腰三角形的点P共有9个. 图4
例4 如图4，电子屏幕上一点P沿着PA向前移动，当它与正方形ABCD的两个顶点一起构成等腰三角形时，点P就会放出光芒，并发出欢呼声，请你说出当点P从远处移来，直到点A处，点P会几次放出光芒，并发出欢呼声？
解析 6次. 当点P在AB的延长线上，BD=BP，AC=PC，AP=AC时，点P会发光；当点P分别在点B、点A及AB的中点时，也会发光.
所以，点P会6次放出光芒，并发出欢呼声.
等腰三角形有几条对称轴篇4
一．添辅助线有二种情况：
1按定义添辅助线：
如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：
每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”，这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：
（1）平行线是个基本图形：
当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线
（2）等腰三角形是个简单的基本图形：
当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：
出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形
出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形
几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：
全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线
（7）相似三角形：
相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。
（8）特殊角直角三角形
当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明
（9）半圆上的圆周角
出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦---直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。
二．基本图形的辅助线的画法
1.三角形问题添加辅助线方法
方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2.平行四边形中常用辅助线的添法
平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：
（1）连对角线或平移对角线：
（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形
（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.
3.梯形中常用辅助线的添法
梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：
（1）在梯形内部平移一腰。
（2）梯形外平移一腰
（3）梯形内平移两腰
（4）延长两腰
（5）过梯形上底的两端点向下底作高
（6）平移对角线
（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。
（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。
（9）作中位线
当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。
4.圆中常用辅助线的添法
在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决。
（1）见弦作弦心距
有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。
（2）见直径作圆周角
在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。
（3）见切线作半径
命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。
（4）两圆相切作公切线
对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。
（5）两圆相交作公共弦
等腰三角形有几条对称轴篇5
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC≌ADC的是（） A． CB=CD B． ∠BAC=∠DAC C． ∠BCA=∠DCA D． ∠B=∠D=90°考点： 全等三角形的判定．分析： 本题要判定ABC≌ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定ABC≌ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．解答： 解：A、添加CB=CD，根据SSS，能判定ABC≌ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定ABC≌ADC，故B选项不符合题意；C、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定ABC≌ADC，故C选项符合题意；D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定ABC≌ADC，故D选项不符合题意；故选：C．点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 2．下列说法中，错误的是（） A． 任意两条相交直线都组成一个轴对称图形 B． 等腰三角形最少有1条对称轴，最多有3条对称轴 C． 成轴对称的两个三角形一定全等 D． 全等的两个三角形一定成轴对称考点： 轴对称图形．分析： 根据轴对称图形，轴对称的定义和性质分析找出错误选项．解答： 解：A、正确，任意两条相交直线的夹角平分线是其对称轴，都能组成一个轴对称图形．B、正确，等腰三角形有1条对称轴，等腰三角形三条边都相等时有3条对称轴；C、正确，根据成轴对称的性质可知；D、错误，全等的两个三角形不一定成轴对称．故选D．点评： 本题考查了轴对称图形，轴对称以及对称轴的定义和应用．关于某条直线对称的一个图形叫轴对称图形．直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称． 3．下列各组数是勾股数的是（） A． 12、15、18 B． 0.3、0.4、0.5 C． 1.5、3、2.5 D． 12、16、20考点： 勾股数．分析： 根据凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数是勾股数，分别对每个选项进行验证即可解题．解答： 解：A、122+152≠182，A错误，B、0.32+0.42=0.52，但0.3、0.4、0.5不是正整数，B错误；C、1.52+2.52≠32，C错误；D、122+162=202，D正确；故选 D．点评： 本题考查了勾股数的判定，根据勾股数是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数解题是解题的关键． 4．一个三角形的三个外角之比为3：3：2，则这个三角形是（） A． 等腰三角形 B． 等腰直角三角形 C． 直角三角形 D． 等边三角形考点： 三角形的外角性质．分析： 根据三角形的外角和等于360°求出三个外角，再求出三个内角，即可得出答案．解答： 解：三角形的三个外角之比为3：3：2，三角形的三个外角的度数为：135°，135°，90°，三角形对应的内角度数为45°， 45°，90°，此三角形是等腰直角三角形，故选B．点评： 本题考查了三角形的外角和三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出各个内角的度数． 5．和三角形三条边距离相等的点是（） A． 三条角平分线的交点 B． 三边中线的交点 C． 三边上高所在直线的交点 D． 三边的垂直平分线的交点考点： 角平分线的性质．分析： 题目要求到三边距离相等，可两两分别思考，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案．解答： 解：中线交点即三角形的重心，三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍，B错误；高的交点是三角形的垂心，到三边的距离不相等，C错误；线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等，D错误；角平分线上的点到角两边的距离相等，要到三角形三条边距离相等的点，只能是三条角平分线的交点，A正确．故选A．点评： 本题考查了角平分线的性质；熟练掌握三角形中角平分线，重心，垂心，垂直平分线的性质，是解答本题的关键． 6．如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DEAC，DFAB，垂足分别为E，F，下面四个结论：①∠AFE=∠AEF；②AD垂直平分EF；③ ；④EF一定平行BC．其中正确的是（） A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②③④考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．分析： 由三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DEAC，DFAB，根据角平分线的性质，可得DE=DF，∠ADE=∠ADF，又由角平分线的性质，可得AF=AE，继而证得①∠AFE=∠AEF；又由线段垂直平分线的判定，可得②AD垂直平分EF；然后利用三角形的面积公式求解即可得③ ．解答： 解：①三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，DEAC，DFAB，∠ADE=∠ADF，DF=DE，AF=AE，∠AFE=∠AEF，故正确；②DF=DE，AF=AE，点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，AD垂直平分EF，故正确；③SBFD= BF•DF，SCDE= CE•DE，DF=DE， ；故正确；④∠EFD不一定等于∠BDF，EF不一定平行BC．故错误．故选A．点评： 此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）7．在等腰三角形ABC中，∠A=120°，则∠C= 30° ．考点： 等腰三角形的性质．分析： 首先根据∠A的度数判断∠A是顶角，然后根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理不能求得底角∠C的度数．解答： 解：等腰ABC中，∠A=120°，∠A为顶角，∠C= （180°﹣∠A）= （180°﹣120°）=30°．故答案为：30°．点评： 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；利用三角形的内角和求角度是一种很重要的方法，要熟练掌握． 8．等腰三角形的两边长为4，9．则它的周长为 22 ．考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析： 由于题目没有说明4和9，哪个是底哪个是腰，所以要分类讨论．解答： 解：当腰长为4，底长为9时；4+4＜9，不能构成三角形；当腰长为9，底长为4时；9﹣4＜9＜9+4，能构成三角形；故等腰三角形的周长为：9+9+4=22．故填22．点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条 件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 9．已知ABC的三边长分别为9、12、15，则最长边上的中线长为 7.5 ．考点： 直角三角形斜边上的中线；勾股定理的逆定理．分析： 利用勾股定理逆定理判断出ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．解答： 解：92+122=225=152，ABC是直角三角形，最长边上的中线长= ×15=7.5．故答案为：7.5．点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理逆定理，熟记性质并判断出三角形是直角三角形是解题的关键． 10．如图，一张长方形纸片宽AB=8cm，长BC=10cm，现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），则EC= 3 ． 考点： 翻折变换（折叠问题）．分析： 首先根据勾股定理求出BF的长，进而求出FC的长；再次根据勾股定理，列出关于线段EF的方程，求出EF的长度，即可解决问题．解答： 解：四边形ABCD为矩形，∠B=90°，AD=BC=10；DC=AB=8；由题意得：AF=AD=10，EF=ED=λ，则EC=8﹣λ；由勾股定理得：BF2=102﹣82=36，BF=6，CF=10﹣6=4；由勾股定理得：λ2=42+（8﹣λ）2，解得：λ=5，EC=8﹣5=3，故答案为：3． 点评： 该题主要考查了翻折变换及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 11．（3分）（2014秋• 泰州校级期中）已知如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB是 35 度． 考点： 角平分线的性质．分析： 过点E作EFAD，证明ABE≌AFE，再求得∠CDE=90°﹣35°=55°，进而得到∠CDA和∠DAB的度数，即可求得∠EAB的度数．解答： 解：过点E作EFAD，DE平分∠ADC，且E是BC的中点，CE=EB=EF，又∠B=90°，且AE=AE，ABE≌AFE，∠EAB=∠EAF．又∠CED=35°，∠C=90°，∠CDE=90°﹣35°=55°，∠CDA=110°，∠B=∠C=90°，DC∥AB，∠CDA+∠DAB=180°，∠DAB=70°，∠EAB=35°．故答案为：35． 点评： 本题考查了角平分线的性质，解答此题的关键是根据题意作出辅助线EFAD，构造出全等三角形，再由全等三角形的性质解答． 12．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当他把绳子下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为 12 米．考点： 勾股定理的应用．专题： 应用题．分析： 由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．解答： 解：设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m，旗杆垂直于地面，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为x2+52=（x+1）2，解得x=12m．点评： 此题很简单，只要熟知勾股定理即可解答． 13．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积分别是为1、13，则直角三角形两直角边和a+b= 5 ． 考点： 勾股定理的证明．分析： 根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到 a2+b2=c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解．解答： 解：大正方形的面积是13，c2=13，a2+b2=c2=13，直角三角形的面积是 =3，又直角三角形的面积是 ab=3，ab=6，（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25．a+b=5（舍去负值）．故答案是：5．点评： 本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：（a+b）2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系． 14．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD= 4 cm． 考点： 全等三角形的判定与性质；平行线的性质．专题： 计算题．分析： 先根据平行线的性质求出∠ADE=∠EFC，再由ASA可求出ADE≌CFE，根据全等三角形的性质即可求出AD的长，再由AB=9cm即可求出BD的长．解答： 解：AB∥CF，∠ADE=∠EFC，∠AED=∠FEC，E为DF的中点，ADE≌CFE，AD=CF=5cm，AB=9cm，BD=9﹣5=4cm．故填4．点评： 本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定定理及性质，比较简单． 15．如图，D是等边ABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB，ABC的周长是9，则∠E= 30 °，CE= ． 考点： 等边三角形的性质．专题： 综合题．分析： 由ABC为等边三角形，且BD为边AC的中线，根据“三线合一”得到BD平分∠ABC，而∠ABC为60°，得到∠DBE为30°，又因为DE=DB，根据等边对等角得到∠E与∠DBE相等，故∠E也为30°；由等边三角形的三边相等且周长为9，求出AC的长为3，且∠ACB为60°，根据∠ACB为DCE的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，求出∠CDE也为30°，根据等角对等边得到CD=CE，都等于边长AC的一半，从而求出CE的值．解答： 解：ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°，即∠DBE=30°，又DE=DB，∠E=∠DBE=30°，等边ABC的周长为9，AC=3，且∠ACB=60°，∠CDE=∠ACB﹣∠E=30°，即∠CDE=∠E，CD=CE= AC= ．故答案为：30； 点评： 此题考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的性质可以解决角与边的有关问题，尤其注意等腰三角形“三线合一”性质的运用，及“等角对等边”、“等边对等角”的运用． 16．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D是AB的中点，E、F在射线AC与射 线CB上运动，且满足AE=CF；当点E运动到与点C的距离为1时，则DEF的面积= 或 ． 考点： 全等三角形的判定与性质．专题： 动点型．分析： 易证ADE≌CDF，CDE≌BCF，可得四边形CEDF面积是ABC面积的一半，再计算CEF的面积即可解题．解答： 解：①E在线段AC上，在ADE和CDF中， ，ADE≌CDF，（SAS），同理CDE≌BDF，四边形CEDF面积是ABC面积的一半，CE=1，CF=4﹣1=3，CEF的面积= CE•CF= ，DEF的面积= ×2 ×2 ﹣ = ．②E'在AC延长线上， AE'=CF'，AC=BC=4，∠ACB=90°，CE'=BF'，∠ACD=∠CBD=45°，CD=AD=BD=2 ，∠DCE'=∠DBF'=135°，在CDE'和BDF'中， ，CDE'≌BDF'，（SAS）DE'=DF'，∠CDE'=∠BDF'，∠CDE'+∠BDE'=90°，∠BDE'+∠BDF'=90°，即∠E'DF'=90°，DE'2=CE'2+CD2﹣2CD•CE'cos135°=1+8+2×2 × =13，SE'DF'= DE'2= ．故答案为 或 ．点评： 本题考查了全等三角形的 判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证ADE≌CDF和CDE≌BCF是解题的关键． 三、解答题（共10小题，满分102分）17．作图一：如图1，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE． （1）在图中画出AEF，使AEF与AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；（2）请直接写出AEF与四边形ABCD重叠部分的面积 8 ．作图二：如图2，ABC与DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在图2中作出直线l．（保留作图痕迹）考点： 作图-轴对称变换．分析： 作图一：（1）利用轴对称图形的性质得出B点关于直线AE的对称点F，AEF即为所求；（2）AEF与四边形ABCD重叠部分的面积为：S四边形AECD=2×4=8；作图二：利用轴对称图形的性质得出，直线l即为所求．解答： 解：作图一：（1）如图1所示：AEF即为所求；（2）AEF与四边形ABCD重叠部分的面积为：2×4=8；故答案为：8；作图二：如图2所示：直线l即为所求 点评： 此题主要考查了轴对称变换，正确利用轴对称图形的性质得出是解题关键． 18．如图，已知在ABC中，CDAB于D，AC=20，BC=15，DB=9．求∠ACB的度数． 考点： 勾股定理；勾股定理的逆定理．分析： 根据勾股定理求出CD、AD的长，再根据勾股定理逆定理求出AC2+BC2=AB2，判断出ABC是直角三角形即可求出∠ACB的度数．解答： 解：在RtBCD中，CD= = =12，在RtACD中，AD= = =16，AB=AD+DB=16+9=25，AC2+BC2=400+225=625，AB2=252=625，AC2+BC2=AB2，∠ACB=90°．点评： 本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，在不同三角形中找到相应的条件是解题的关键． 19．如图，ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．①若BCD的周长为8，求BC的长；②若BD平分∠ABC，求∠BDC的度数． 考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析： ①根据线段的垂直平分线的性质求出AD=BD，求出BD+DC+BC =BC+AC=8，即可得出答案；②设∠A=a°，根据等腰三角形的性质求出∠A=∠ABD=a°，∠ABC=∠ACB=2a°，根据三角形内角和定理得出方程5a=180，求出后根据三角形的外角性质求出即可．解答： 解：①DE是线段AB的垂直平分线，AD=BD，BCD的周长为8，BD+DC+BC=BC+AD+DC=BC+AC=8，AB=AC=5，BC=3；②设∠A=a°，AD=BD，∠A=∠ABD=a°，BD平分∠ABC，∠ABD=∠CBD=a°，AB=AC，∠ABC=∠ACB=2a°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，5a=180，a=36，∠A=∠ABD=36°，∠BDC=∠A+∠ABD=72°．点评： 本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，含30度角的直角三角形，三角形的外角性质，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是推出AB=AE=EC，AE=2DE，综合性比较强，难度适中． 20．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DEAB于点E，DFAC于点F，求证：DE=DF． 考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．专题： 证明题．分析： 连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DEAB，DFAC，利用角平分线定理即可得证．解答： 证明：连接AD，在ACD和ABD中， ，ACD≌ABD（SSS），∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，DEAE，DFAF，DE=DF． 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 21．如图所示，A、B两村在河岸CD的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为AC=1km，BD=3km，又CD=3km，现要在河岸CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用． 考点： 作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题．专题： 作图题．分析： 作出点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点O，连接BO，根据对称性可知，在点O处建水厂，铺设水管最短，所需费用最低．解答： 解：如图所示，点O就是建水厂的位置，AC=1km，BD=3km，CD=3km，AE=AC+CE=AC+DB′=AC+BD=1+3=4km，B′E=CD=3km，AB′= = =5km，铺设水管长度为：AO+OB=AO+OB′=AB′=5km，铺设水管的工程费用为每千米20 000元，铺设水管的总费用为：5×20 000=100 000元．故答案为：100 000元． 点评： 本题考查了应用与设计作图，主要利用轴对称的性质，找出点B关于CD的对称点是确定建水厂位置O的关键． 22．如图，在ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断AFC的形状，并说明理由． 考点： 等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．专题： 探究型．分析： 要判断AFC的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC和∠FCA的关系．因为∠BAD=∠BCE，因此我们只比较∠BAC和∠BCA的关系即可．根据题中的条件：BD=BE，∠BAD=∠BCE，BDA和BEC又有一个公共角，因此两三角形全等，那么AB=AC，于是∠BAC=∠BCA，由此便可推导出∠FAC=∠FCA，那么三角形AFC应该是个等腰三角形．解答： 解：AFC是等腰三角形．理由如下：在BAD与BCE中，∠B=∠B（公共角），∠BAD=∠BCE，BD=BE，BAD≌BCE（AAS），BA=BC，∠BAD=∠BCE，∠BAC=∠BCA，∠BAC﹣∠BAD=∠BCA﹣∠BCE，即∠FAC=∠FCA．AF=CF，AFC是等腰三角形．点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定等知识点，利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键． 23．如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MNBD． 考点： 直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．专题： 证明题．分析： 连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=DM= AC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．解答： 证明：如图，连接BM、DM，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，BM=DM= AC，点N是BD的中点，MNBD． 点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键． 24．如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．（1）求证：∠FMC=∠FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由． 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题： 几何综合题．分析： （1）根据等腰直角三角形的性质得出DFAE，DF=AF=EF，进而利用全等三角形的判定得出DFC≌AFM（AAS），即可得出答案；（2）由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行线的判定得出答案．解答： （1）证明：ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，DFAE，DF=AF=EF，又∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∠DCF=∠AMF，在DFC和AFM中， ，DFC≌AFM（AAS），CF=MF，∠FMC=∠FCM；（2）ADMC，理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=FA=FE，FM=FC，∠FDE=∠FMC=45°，DE∥CM，ADMC．点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，得出∠DCF=∠AMF是解题关键． 25．如图，在RtABC中，∠B=90°，AC=100cm，BC=80cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时，另一点Q由点B开始沿BC边向点C以1.5cm/s的速度运动．（1）20s后，点P与点Q之间相距 50 cm．（2）在（1）的条件下，若P、Q两点同时相向而行， 20 秒后两点相遇．（3）多少秒后，AP=CQ？ 考点： 勾股定理；一元一次方程的应用．专题： 动点型．分析： （1）在直 角BPQ中，根据 勾股定理来求PQ的长度；（2）由（1）中的PQ= 50得到：50=（1+1.5）t；（3）由路程=时间×速度列出等式．解答： 解：如图，在RtABC中，∠B=90°，AC=100cm，BC=80cm，AB= =60cm．（1）在直角BPQ中，由勾股定理得到：PQ= = =50（cm），即PQ=50cm；（2）由（1）知，PQ=50cm，则P、Q两点同时相向而行时，两点相遇的时间为： =20（秒）；（3）设t秒后，AP=CQ．则t=80﹣1.5t，解得 t=32．答：32秒后，AP=CQ．故答案是：（1）50 （2）20 （3）32． 点评： 本题考查了勾股定理和一元一次方程的定义．解题时，需要熟悉路程=时间×速度，以及变形后的公式． 26．如图，已知点A是线段OB的垂直平分线上一点，ANON，BOON，P为ON上一点，∠OPB=∠OAB．（1）若∠AOB=60°，PB=4，则OP= 2 ；（2）在（1）的条件下，求证：PA+PO=PB；（3）如图②，若ON=5，求出PO+PB的值． 考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．专题： 综合题．分析： （1）易证AOB是等边三角形，从而可得∠OPB=∠OAB=60°，即可得到∠OBP=30°，然后根据30°角所得的直角边等于斜边的一半即可求出OP的值；（2）如图①，由（1）可得OB=AB，∠ABP=∠OBP=30°，从而可证到OBP≌ABP，则有OP=AP=2，即可证到PA+PO=4=PB；（3）延长ON、BA交于点D，如图②．由AO=AB，∠DOB=90°可证到∠D=∠AOD，从而可得AD=AO，由ANOD可得DN=ON=5，由∠OPB=∠OAB可得∠AOD=∠PBD，从而得到∠D=∠PBD，则有PD=PB，即可得到PO+PB=PO+PD=OD=10．解答： 解：（1）点A是线段OB的垂直平分线上一点，AO=AB．∠AOB=60°，AOB是等边三角形，OB=AB，∠OAB=∠ABO=60°．∠OPB=∠OAB=60°．BOON，即∠POB=90°，∠OBP=30°，OP= PB= ×4=2．故答案为2；（2）证明：如图①，由（1）得OB=AB，∠OAB=∠ABO=60°，∠OBP=30°，∠ABP=∠ABO﹣∠OBP=30°=∠OBP．在OBP和ABP中， ，OBP≌ABP（SAS），OP=AP=2，PA+PO=4=PB；（3）延长ON、BA交于点D，如图②．AO=AB，∠AOB=∠ABO．∠DOB=90°，∠D+∠OBD=90°，∠AOD+∠BOA=90°，∠D= ∠AOD，AD=AO．ANOD，DN=ON=5．∠OPB=∠OAB，∠AOD=∠PBD，∠D=∠PBD，PD=PB，PO+PB=PO+PD=OD=10． 点评： 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、30°角所得的直角边等于斜边的一半、等角的余角相等等知识，证到OBP≌ABP是解决第（2）小题的关键，通过添加适当的辅助线将PO+PB转化为线段OD是解决第（3）小题的关键．
等腰三角形有几条对称轴篇6
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.平行的两边叫做梯形的底，其中长边叫下底;不平行的两边叫腰;两底间的距离叫梯形的高.一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，两腰相等的梯形叫等腰梯形.
2.梯形的性质及其判定
梯形是特殊的四边形，它具有四边形所具有的一切性质，此外它的上下两底平行.
一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形，但要判断另一组对边不平行比较困难，一般用一组对边平行且不相等的四边形是梯形来判断.
3.等腰梯形的性质和判定
性质：等腰梯形在同一底上的两个角相等，两腰相等，两底平行，两对角钱相等，是轴对称图形，只有一条对称轴，底的中垂线就是它的对称轴.
判定：两腰相等的梯形是等腰梯形;同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;对角钱相等的梯形是等腰梯形.
梯形重难点分析
本节的重点是等腰梯形的性质和判定.梯形仍是具有特殊条件的四边形，它与平行四边形同属于特殊的四边形，它只有一组对边平行，而另一组对边不平行，但平行四边形两组对边分别平行.而等腰梯形又是特殊的梯形，它的许多性质和判定方法与矩形、菱形、正方形这些特殊的平行四边形有一定的相似性和可比性.
本节的难点也是等腰梯形的性质和判定.由于等腰梯形又是特殊的梯形，它的许多性质和判定方法与矩形、菱形、正方形这些特殊的平行四边形有一定的相似性和可比性，虽然学生在小学时已经接触过等腰梯形，在认识和理解上有一定的基础，但还是容易同特殊的平行四边形混淆，再加上梯形问题往往要转化成平行四边形和三角形来处理，经常需要添加辅助线，学生难免会有无从下手的感觉，往往会有对题目一讲就明白但自己不会分析解答的情况发生，教师在教学中要加以注意.
梯形的教学建议
1.关于梯形的引入
生活中有许多梯形的例子，小学又接触过梯形内容，学生对梯形并不陌生，梯形的引入可从下面几个角度考虑：
①从生活实例引入，如防洪堤坝、飞机机翼，别致窗户、音箱外形等等;
②从小学学习过的旧知识复习引入;
③从发现的角度引入，比如给出一组图形，告诉学生这就是梯形，然后寻找这些图形的共同点，根据共同点对梯形进行定义以及性质、判定的研究;
④可用问题式引入，开始时设计一系列与梯形概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出梯形的定义和性质.
2.关于梯形的概念
梯形的相关概念小学就已经接触过，但并不深入，在研究梯形的概念时可设计如下问题加深对梯形相关概念的理解：
①一组对边平行的四边形是不是梯形?
②一组对边平行一组对边相等的图形是不是梯形?
③一组对边相等的图形是不是梯形?
④一组对边相等一组对边不相等的图形是不是梯形?
⑤对角线相等的图形是不是梯形?
⑥有两个角是直角的梯形是不是直角梯形?
⑦两个角相等的梯形是不是等腰梯形?
⑧对角线相等的梯形是不是等腰梯形?
一、教学目标
1.掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念.
2.掌握等腰梯形的两个性质：等腰梯形同一底上的两个角相等;两条对角线相等.
3.能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析能力和计算能力.
4.通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想
二、教法设计
小组讨论，引导发现、练习巩固
三、重点、难点
1.教学重点：等腰梯形性质.
2.教学难点：解决梯形问题的基本方法(将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线).
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
多媒体，小黑板，常用画图工具
六、师生互动活动设计
教师复习引入，学生阅读课本;学生在教师引导下探索等腰梯形的性质，归纳小结梯形转化的常见的辅助线
七、教学步骤
复习提问
1.什么样的四边形是平行四边形?平行四边形有什么性质?
2.小学学过的梯形是什么样的四边形.
(让学生动手画一个梯形，并找3名同学到黑板上来画，并指出上、下底和腰，然后由学生总结出梯形的概念).
引入新课(板书课题)
梯形同样是一个特殊的四边形，与平行四边形一样，它也有它的特殊性，今天我们就重点来研究这个问题.
1.梯形及梯形的有关概念
(l)梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
(2)底：平行的一组对边叫做梯形的底(通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底).
(3)腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰.
(4)高：两底间的距离叫做梯形高.
(5)直角梯形：一腰垂直于底的梯形.
(6)等腰梯形：两腰相等的梯形.
(以上这一过程借助多媒体或投影仪演示)
提醒学在注意：
①梯形与平行四边形同属于特殊的四边形，因为它们具有不同的特殊条件，所以必然有不同的性质.
②平行四边形的对边平行且相等，而梯形中，平行的一组对边不能相等(让学生想一想，为什么不能相等).
③上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是指位置来说的.
2.等腰梯形的性质
例1如图，在梯形中，，，求证：.
分析：我们学过“等腰三角形两底角相等”，如果能将等腰梯形在同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，问题就容易解决了.
证明：(略)
由此得出等旧梯形的性质定理：等腰梯形在同一高上的两个角相等.
例2如图，求证：等腰梯形的两条对角线相等.
已知：在梯形中，，，求证：.
分析：要证，只要用等腰梯形的性质定理得出，然后再利用，即可得出.
证明过程：(略).
由此得到多腰梯形的第一条性质：等腰梯形的两条对角线相等.除此之外，等腰梯形还是轴对称图形，对称轴是过两底中点的直线.
3.解决梯形问题常用的方法
在证明梯形性质定理时，我们采取的方法是过点作交于，从而把梯形问题转化成三角形来解，实质上是相当于把采取平行移动到的位置，这种方法叫做平行移动(也可移对角线)，这是解决梯形问题常用的方法之—(让学生想一想，还可以用什么样的方法作辅助线来解决梯形问题，多找几名学生回答，然后教师总结，可借助多媒体演示见图).
(1)“作高”：使两腰在两个直角三角形中.
(2)“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中.
(3)“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形.
(4)“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形.
综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决.
总结、扩展
小结：(以提问的方式总结)
(1)梯形的有关概念.
(2)梯形性质(①-③).
(3)解决梯形问题的基本思想和方法.
(4)解决梯形问题时，常用的几种辅助线.
八、布置作业
教材P179中2、3、4
九、板书设计
等腰三角形有几条对称轴篇7
学情分析：本节课是在上节课的基础上，根据学生已有的认知水平，通过学习，联系上节课学习的有关知识，进一步提出问题，从上节课过渡到这节课的学习，既培养了学生勤于动脑、勤于思考的好习惯，又激发了学生学习和兴趣和热情。
本节课主要有两方面的内容：（1）圆的对称性。（2）垂径定理及其推论。开始以赵州桥的问题引入课题，带着问题进入学习，圆的轴对称主要通过动手操作和动画演示得出结论，圆是轴对称图形，根据轴对称进一步研究圆中相等的弧、弦得出垂径定理及其推论，利用此定理再去解决赵州桥问题。
教学目标：
知识与技能：（1） 通过观察动画演示、动手操作实验，使学生理解圆的对称性；（2） 掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决的相关的证明与计算问题；（3） 掌握辅助线的作法――作弦心距。
过程与方法：（1） 经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步培养学生观察、分析、归纳概括的能力；（2） 向学生渗透“由特殊到一般”的基本思想方法。
情感、态度与价值观：结合本课教学特点，在教学过程中培养学生的观察能力、创新意识和良好的运用数学的习惯，培养学生猜想、探究的良好品质。激发学生的好奇心和求知欲，通过合作与交流、共同感受成功的喜悦。
教学重点：（1）理解圆的对称性；（2）掌握垂径定理、推论及其应用；（3）学会应用垂径定理等结论解决一些有关的证明、计算和作图问题。
教学难点：发现并证明垂径定理。
教具准备：圆规、直尺、圆形纸片、等腰三角形纸片、多媒体课件
教学流程
一、设置情境，提出问题
播放赵州桥图片，语音阅读教材第80页“问题”，学生观察图片并思考“问题”中的问题。
教师：要解这一问题，就要用到这节课所学的知识，我们大家一起来共同探究、寻求解决这个问题的数学方法。
二、导入新课，自主探究
（一）圆的轴对称性
学生操作：（1）将一等腰三角形对折。（回忆等腰三角形是轴对称图形，复习轴对称图形的概念。）；（2）将你手中的圆形纸片沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？（学生动手操作，教师观察操作结果）。
教师演示动画（几何画板软件）：（1）等腰三角形对折；（2）圆形纸片沿圆心对折。
提出问题：（1）你发现了什么？（2）由此你得出什么结论？
（教师引导学生通过“实验――观察――猜想”，等待学生表达自己发现的结论 ）
师生共同得出结论：（1）圆是轴对称图形；（2）经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴；（3）圆的对称轴有无数条；（4）圆也是中心对称图形。（教师要注意学生归纳结论时语言的准确性和简洁性）。
教师强调：1、圆有无数条对称轴；2、圆的对称轴是直径所在的直线。
（二）垂径定理及其推论
1、垂径定理
（1）学生操作：学生在自己准备的圆形纸片上作图：①任意作一条弦 AB；②作直径CD垂直弦AB垂足为E。将圆形纸片沿直径CD对折，观察重合部分后，发现有哪些线段相等、弧相等？（2）教师通过几何画板演示，在学生分析、观察的基础上，得出：在圆O中，CD是直径，AB是弦，CD垂直AB于E。那么AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。（教师引导，学生通过观察，思考，交流，发现结论。）；（3）在此基础上让学生自己归纳发现的结论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
板书：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
提出问题：你能结合图形用符号语言表达这个结论吗？
（让学生将文字语言转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系）。
（4）验证垂径定理：
已知：如图，在圆O中，CD是直径，AB是弦，
CDAB于E。
求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。
分析：如图，连接OA、OB，OA=OB。可通过证明RtOAE ≌RtOBE，结合轴对称证明。
（学生观察图形，结合圆的对称性和相关知识进行思考，得出垂径定理，再进行严密的几何证明。）
2、垂径定理的推论
如上图，若直径CD平分弦AB。
提出问题：（1）直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？（2）你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）；（3）如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？
教师引导、学生讨论，并归纳得到：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
提出问题：推论中“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。”为什么不是直径？（教师用几何画板演示，让学生明白为什么“不是直径”的理由）
提出要求：如图，请同学们写出“垂径定理定理“中的题设和结论：
① 直径CD（过圆心）；② CDAB（垂直于弦）；③ AE=BE（平分弦）；④ 弧AC=弧BC（平分弦所对的优弧）；⑤ 弧AD=弧BD（平分弦所对的劣弧）；
教师指导学生明确定理中的题设和结论，初步理解“知二推三”口诀的含义。
（要求每位同学独立写出下列“知二推三”的“题设”和“结论”。）
等腰三角形有几条对称轴篇8
1.知道梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念。
2.说出并证明等腰梯形的两个性质
3.会运用梯形的有关概念和性质进行论证和计算
4.通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边行或三角形问题上，体会图形变换。
（学生需要通过学习目标来确定学习任务，并通过学习来检测目标的达成程度。）
二、导学过程
第一环节：联系旧知识——自主学习，认识并知道知道梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念。
A
B
D
C
1.梯形的定义_________________________________
2.梯形各部分名称是什么？
3.你知道那些特殊的梯形？
4.你还知道梯形的哪些知识？
有的学生会提出梯形的面积
在梯形ABCD中AD ∥BC，则上底是______，下底是____________，腰是________________，高是_____________________。
若AB=CD则梯形称为_____________，四边形ABED则为_______________。
第二环节：自主阅读——自主探究
在一张方格纸上作一个等腰梯形，连接两条对角线.学生画图动手折一折，量一量图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角？这个图形是轴对称图形吗？通过观察猜想；等腰梯形有哪些性质？如何证明？你会求证教材107页——例1？
A
B
D
C
性质1、文字语言：等腰梯形同一底边上的两个角相等
符号语言：已知等腰梯形ABCD
AD ∥BC， 求证：∠ B=∠C
证明提示：
1.如何做辅助线，找到一个既与
∠B又与∠C相等的角？
2.如何做辅助线，利用三角形全等？
3.如何做辅助线，利用等边对等角？
你还有不同的做法吗？写出来。
4.证明两个角相等采用了什么办法？思考添加辅助线的目的是什么？对你有什么启发？
性质2、等腰梯形的对角线相等
符号语言：__________________________________
提示：利用性质1与三角形全等
性质3、等腰梯形是轴对称图形（说出你的证法）
提示：找出对称轴利用轴对称图形概念证明。
第三环节：检验预习程度——自主练习
（1）已知等腰梯形的一个锐角等于60°，两底分别为13cm，45cm，则它的腰长为_______cm。
（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是 和 。
（3）等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60若梯形周长为10cm，则AD= 。
D
A
（4） 如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=4，高DF=2，求腰DC的长.你有几种方法？
如果将本题改为：
C
F
B
（1）已知下底、腰、高，求上底；
（2）已知上底、下底、腰，求高.
（3）已知上底、下底、和一角，（∠B=60°）求要和高？
你能解决这些问题吗？说出你的思路.
（5）在等腰梯形ABCD中，连结对角线AC 、BD，若ACBD，垂足为O，AD=3，BC=7，求AC的长？
第四环节：合作学习——组内交流，自学反馈
1.自主学习存在问题：
2.自学新知的困惑
第五环节：指导学习——各组展示（第一、二、三环节内容）
（教师布置展现任务，倾听学生讲解，尽量不插话，必要时可纠错精讲，出现方法对，但不巧妙的现象，通过不同同学的展示、对比，得出最佳方法 .学生依案独立梳理、归纳学习所得，形成自己的知识结构，独立完成知识运用问题，得出初步结论。）
第六环节：归纳总结——形成思想方法
1.想一想我们学了梯形的哪些知识？
2.在梯形学习中，我们经常使用哪些数学思想？
3.解决梯形问题的基本方法是什么？
等腰三角形有几条对称轴篇9
活动1.教师剪纸，请学生观察图形（见图1）。教师把一张长方形的纸按图中虚线对折，然后用剪刀沿着实线剪开，留下三角形部分，再把它展开。
师：这是一个什么三角形？为什么？
生：这是等腰三角形，因为AB=AC.
师：你怎么知道AB和AC的长度相等呢？
生1：因为ABD≌ACD，AB与AC是对应边，所以AB=AC.
生2：因为AB与AC重合，所以它们的长度相等。
师：很好，请你们观察图形，折痕左右两边重合吗？等腰三角形是轴对称图形吗？
生：折痕左右两边重合，等腰三角形是轴对称图形。
师：你认识等腰三角形的腰、底边、顶角、底角吗？（展示教具，学生回答）虽然前面我们学习了等腰三角形的知识，但是有关它的性质、判定都没有涉及，这节课我们进一步学习等腰三角形。（板书：等腰三角形）
【评析】教学伊始，执教老师就创设情境，让学生观察老师的操作过程，得到研究对象――等腰三角形后，再请学生观察图形，回顾等腰三角形的相关概念如腰、底边、顶角、底角以及等腰三角形的对称性，引导学生学会观察并发现问题，让学生感受到重合即相等，为后面探究等腰三角形的性质奠定基础。
二、实践操作，发现性质
活动2：请学生用纸剪出一个等腰三角形。
师：仔细观察剪好的等腰三角形，你发现这个等腰三角形有哪些线段相等？哪些角相等？
生独立观察，指出等腰三角形中相等的线段和相等的角。
师：请同桌之间互相交换等腰三角形，再次观察，你发现等腰三角形有哪些线段相等？哪些角相等？说一说这些线段和角在等腰三角形中的名称。
生1：等腰三角形的两条腰相等。
生2：等腰三角形的两个底角相等。
教师板书，等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等。简写为：等边对等角。
【评析】教师让学生通过操作、观察、发现、归纳，得出等腰三角形的两个底角相等这一性质，体现了学生的学习主体地位。这样做有利于学生从研究一个等腰三角形拓展到其他等腰三角形，由特殊到一般，从而发现等腰三角形的特征，归纳得出等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等。
三、关注折痕，引出三线
教师在剪好的等腰三角形的折痕上画一条虚线（见图2），请学生仔细观察等腰三角形，注意折痕，并思考还能发现哪些线段相等？哪些角相等？
学生先观察图形，然后分小组讨论，最后展示分享结果。
生1：BD=CD.
生2：∠BAD=∠CAD.
生3：∠ADB=∠ADC.
师：假如BD=CD，那么AD与BC是什么关系呢？
生：AD是BC的中线。
师补充说明AD是等腰三角形底边BC的中线。
师：刚才有位同学说∠BAD=∠CAD，想一想，AD与∠BAC是什么关系？
生：AD是∠BAC的平分线。
师补充说明AD是等腰三角形顶角∠BAC的平分线。
师：请同学们思考∠ADB=∠ADC等于多少度？为什么？
生：∠ADB=∠ADC=90°，因为∠ADB+∠ADC=180°，∠ADB=∠ADC，所以∠ADB=∠ADC=90°.
师：AD与BC是什么关系？
生4：AD是BC边上的高。
生5：AD是等腰三角形底边BC上的高。
师：我们在表达线段的关系时要准确、完整，综上所述，AD是等腰三角形的什么？
生：AD是等腰三角形底边BC上的中线，是等腰三角形顶角∠BAC的平分线，是等腰三角形底边BC上的高。
【评析】教师让学生观察、发现，然后准确全面地归纳出等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称“三线合一”。
四、推理证明，验证性质
题目：利用实验操作的方法，我们发现并概括得出等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等。你能运用逻辑推理来证明这个命题吗？
生：根据命题，我们可以画出图形（见图3），写出已知、求证。
已知：在ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C
教师引导学生思考：结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思路是什么？如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形？从剪图、折纸的过程中你能够获得什么启发？
生1：我认为可以画一条辅助线（见图4），把三角形ABC分为两个三角形，通过证明两个三角形全等，可以得到∠B=∠C.
证明：作底边BC的中线AD，在ABD与ACD中，
因为：AB=AC
BD=CD
AD=AD
所以：ABD≌ACD（SSS）
∠B=∠C
师：这位同学使用的方法很正确，思路清晰，板书规范。请你们再想一想，还有别的证明方法吗？请结合图形说明你的思路。
生2：我的思路是作底边BC上的高AD，然后运用“HL”证明直角三角形ADB与直角三角形ADC全等，从而得到∠B=∠C.
生3：我的思路是作顶角∠BAC的平分线AD，然后运用“SAS”证明ABD与ACD全等，从而得到∠B=∠C.
师：这3位同学的证明思路、推理方法都是对的。通过学习等腰三角形的性质，我们又掌握了证明两个角相等、两条线段相等以及线段互相垂直关系的新方法。
【评析】教师让学生体验证明两个角相等到证明两个三角形全等的过程，了解添加辅助线与解决问题思路的相关性，进一步理解等腰三角形的性质及意义――它既是三角形全等知识的运用和延续，又是证明两个角相等、两条线段相等、线段垂直关系的更为简捷的途径和方法。
五、解读性质，注重表达
师：等腰三角形性质2的“三线合一”是指什么？对此，我们可以将其分解为下面3个结论：①等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线和高；②等腰三角形底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线；③等腰三角形底边上的高也是顶角平分线和底边上的中线。
师： AB=AC，∠BAD=∠CAD
BD=CD，ADBC
请同学们用符号语言表达第②、③两个结论。
生1： AB=AC，BD=CD
ADBC，∠BAD=∠CAD
生2： AB=AC，ADBC
∠BAD=∠CAD，BD=CD
【评析】教师让学生在反复比较的过程中概括得出等腰三角形共同的、本质的特征，进一步培养了学生运用数学语言符号进行表达的能力，使学生真正理解“三线合一”的含义。
六、学以致用，巩固新知
（一）填空。
1.如图5，在ABC中，AB=AC，∠A=36°，则
∠B= .
2.如图6，在ABC中，AB=AC，∠B=30°，则
∠A= .
（二）自制水平仪。教师选用教学时用的等腰三角板一个，铅垂一个，1米长的细绳一根，展示：用水平仪测量讲台是否处于水平状态，请学生说明测量时用到了什么数学知识？学生回答，相互补充，并说明理由。
【评析】教师设计角度计算题，学生需要综合运用等腰三角形、三角形的内角和等知识解决问题，这样做有利于学生进一步掌握等腰三角形的性质1，同时引导学生将与角有关的知识系统化，有助于学生优化知识结构。此外，教师设计活动操作题，能够让学生体会到数学知识在生活中的实际应用，体现了学习数学的价值。
七、学会总结，提高更快
师：我们是如何探究等腰三角形的性质呢？
生：动手操作，通过观察、发现、归纳性质，最后证明性质。
师：你学到了哪些证明线段相等或角相等的方法？
生1：在同一个三角形中，相等的边所对应的角相等。
生2：根据“三线合一”的性质，等腰三角形底边上的高（或顶角平分线）也是底边上的中线，从而有线段相等。
生3：根据“三线合一”的性质，等腰三角形底边上的高（或底边上的中线）也是顶角平分线，从而有角相等。
【评析】通过小结，学生掌握了本节课所学的核心知识――等腰三角形的性质及应用。
【总评】这节课，学生在学习了三角形的基本概念、全等三角形和轴对称知识的基础上，进一步研究特殊的三角形――等腰三角形。学习目标是：探索并证明等腰三角形的两个性质；能够利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等；结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用。
为了达成教学目标，教师设计了“情境导入―引出概念―归纳性质―验证性质―实际应用”等环节，并逐一展开教学，体现了以下几个特点。第一，教学设计层次分明，以活动为主线，层层递进，教学过程将观察发现、归纳总结与证明性质有机地结合起来，让学生经历了知识的应用过程。第二，教学突出了数学思想，数学思想方法大多隐藏在知识的形成过程中，对新知的形成和发展起着重要的作用。比如，等腰三角形性质的证明过程是将欲证明相等的两个角（或两条线段）置于两个全等三角形之中，这是证明两个角相等或两条线段相等的基本方法，学生动手操作，对折长方形纸片，留下的折痕把等腰三角形转化为两个三角形，而对等腰三角形性质的探索与证明体现了转化的数学思想。第三，让学生成为学习的主人。前苏联教育家苏霍姆林斯基指出：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、探索者。”在探索等腰三角形的性质时，教师引导学生利用轴对称知识进行证明，借助轴对称发现等腰三角形的性质，获得了添加辅助线证明性质的方法。为了让学生体验操作过程，教师让学生动手操作、观察发现、合作交流、验证探究、实际应用，为学生提供了充分的探索机会，帮助他们获得数学知识的经验，培养了学生观察问题、思考问题、解决问题的能力，增强了学好数学的信心。第四，教师注重学用结合，让学生体会到了数学与生活的紧密联系，如自制水平仪的活动，使学生意识到数学就在身边，体现了数学的实用价值，从而激发了学生学习数学的热情。
等腰三角形有几条对称轴篇10
初中几何内容丰富、涉及面广，有关证明题也是变化无穷。因此，一般学生在刚开始学习几何时都会感到有困难。在解几何题时，每一步、每一环都要有严格的理由，这些理由可以是问题所给的条件，也可以是定义、公理、定理、推论等等，记住公理、定理等是学好几何的第一步积累。在开始学几何之时，要找一些基本、简单的题来做，切忌好高骛远。对于典型、好记的题型要能熟记于心，这对于基础比较薄弱的同学来说尤为重要，这是积累的第二步。那么，怎样才能学好平面几何呢？
对概念、基础知识掌握得准确、牢固，审题的思路清晰，这样才能解决如何学好的问题。例如，我们在证明图形相似的时候，如果利用两边对应成比例及其夹角相等的方法，就必须注意所找的角是两边的夹角，而不能是其他角；在回答圆的对称轴时不能说是它的直径，而必须说是直径所在的直线。像这样的细节我们必须在平时就要有足够的重视并且牢固掌握，只有这样才能学好几何。
认真学习，善于总结，归纳分类，查找原因。例如，“圆”这一章的知识点多，课时量大。初学时，部分学生常因对概念、性质理解不透而出现错误。如，圆是轴对称图形，因此有的学生误认为每条直径都是它的对称轴，出错的原因是对对称轴的概念不理解；有的学生误认为圆中两条平行弦所对的弧相等，原因是圆中两条平行弦相等，但是平行弦所对的弧不一定相等；有的学生误认为长度相等的弧是等弧，原因是对等弧的概念不清，只有弧的长度相等不能说明弧能互相重合，如果加上“在同圆或等圆中”这个条件的话就正确了。学生只有经常思考、归纳、总结，方能不断提高。
巧妙添加辅助线，变难为易，把大问题转化为小问题。在我们对一个问题一筹莫展时，我们就要寻找可能会帮助解决问题的着眼点——添加辅助线。例如，在圆中连接过切点的半径，则有直角的产生，进而可进行计算和证明；如圆中出现了直径，应该迅速想到直径所对的圆周角是90°；遇到梯形的计算和证明时，要很快想到平移腰，变梯形为三角形和平行四边形，或过梯形上底一端向下底引垂线，变梯形为长方形和直角三角形。再如，如果题设中谈到梯形腰的中点，那么我们首先要想到梯形的中位线性质定理；其次，还须想到分割整体图形为所熟悉的三角形和平行四边形。采用割补创设全等图形，必须想到可以连接一个顶点和腰的中点并延长去构造全等三角形。这几种添加辅助线的方法常常用得到，我们应该见图想线，滚瓜烂熟。在“圆”章节和“三角形”章节这样的例子太多太多，不胜枚举，我们只有找准落笔点，添加辅助线，问题才会迎刃而解。
认真分析问题，全面考虑问题，是学好平面几何必不可少的。在学习的过程中，不管是三角形的全等还是相似，在一个命题中新编课程规定最多不超过三次。无论是证明角相等还是线段相等，或者是线段成比例、面积相等的问题时，常常遇到一些问题需要分两种或多种情况来解，怎样解决这部分问题呢？这主要靠平时的点滴积累。假如说到等腰三角形，我们的脑海中就要立刻蹦出等腰三角形的顶角和底角的关系，面积计算，底角相等，两腰相等，也就是一切性质熟记于脑中。谈到过一点做直线与圆相交或相切，立马就要考虑点和圆、直线与圆、圆与圆的关系，以及切（割）线定理、切线长定理，并简单明了地画出图形。说到垂径定理，就要很快地把定理的文字表达出来，结合图形转化为符号和推理的语言。即垂径定理的五个性质，并能知二推三，其间要特别注意“平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”。这样的情形在学习的过程中常常遇见，在这里我就不再赘述了。但学生在做题时一定要注意考虑是否要分情况考虑，只要平时积累了，心中有杆秤，那么学生在证明或计算时就会水到渠成，游刃有余。