三对角范文10篇

三对角范文篇1

三对角线性方程组的求解是许多科学和工程计算中最重要也是最基本的问题之一。在核物理、流体力学、油藏工程、石油地震数据处理及数值天气预报等许多领域的大规模科学工程和数值处理中都会遇到三对角系统的求解问题。很多三对角线性方程组的算法可以直接推广到求解块三对角及带状线性方程组。由于在理论和实际应用上的重要性，近20年来三对角方程组的并行算法研究十分活跃。

大规模科学计算需要高性能的并行计算机。随着软硬件技术的发展，高性能的并行计算机日新月异。现今，SMP可构成每秒几十亿次运算的系统，PVP和COW可构成每秒几百亿次运算的系统，而MPP和DSM可构成每秒万亿次运算或更高的系统。

高性能并行计算机只是给大型科学计算提供了计算工具。如何发挥并行计算机的潜在性能和对三对角系统进行有效求解，其关键在于抓住并行计算的特点进行并行算法的研究和程序的设计与实现。另外，对处理机个数较多的并行计算系统，在设计并行算法时必须解决算法的可扩展性，并对可扩展性进行研究和分析。

二、问题的提出

设三对角线性方程组为

AX=Y（1）

式中：A∈Rn×n非奇异，αij=0，。X=(x1，x2，…xn)TY=(y1，y2，…yn）T。

此系统在许多算法中被提出，因此研究其高性能并行算法是很有理论和实际意义的。

三、并行求解三对角系统的直接解法

关于三对角线性方程组的直接求解已经有大量并行算法，其中Wang的分裂法是最早针对实际硬件环境，基于分治策略提出的并行算法。它不仅通信结构简单，容易推广到一般带状线性方程组的并行求解，而且为相继出现的许多其它并行算法提供了可行的局部分解策略。

近20年来求解三对角方程组的并行算法都是基于分治策略，即通过将三对角方程组分解成P个小规模问题，求解这P个小规模问题，再将这些解结合起来得到原三对角方程组的解。一般求解三对角方程组的分治方法的计算过程可分为3个阶段：一是消去，每台处理机对子系统消元；二是求解缩减系统（需要通信）；三是回代，将缩减系统的解回代到每个子系统，求出最终结果。具体可分为以下几类：

（一）递推耦合算法（RecursiveDoubling）

由Stone于1975年提出，算法巧妙地把LU分解方法的时序性很强的递推计算转化为递推倍增并行计算。D.J.Evans对此方法做了大量研究。P.Dubois和G.Rodrigue的研究表明Stone算法是不稳定的。

（二）循环约化方法（CyclicReduction）

循环约化方法由Hockey和G.Golub在1965年提出，其基本思想是每次迭代将偶数编号方程中的奇变量消去，只剩下偶变量，问题转变成求解仅由偶变量组成的规模减半的新三对角方程组。求解该新方程组，得到所有的偶变量后，再回代求解所有的奇变量。即约化和回代过程。由于其基本的算术操作可以向量化，适合于向量机。此方法有大量学者进行研究，提出了许多改进的方法。例如，Heller针对最后几步的短向量操作提出了不完全循环约化方法；R.Reulter结合IBM3090VF向量机的特点提出了局部循环约化法；P.Amodio针对分布式系统的特点改进了循环约化方法；最近针对此方法又提出对三对角方程组进行更大约化步的交替迭代策略。

（三）基于矩阵乘分解算法

将系数矩阵A分解成A=FT，方程Ax=b化为Fy=b和Tx=y两个方程组的并行求解。这种算法又可以分为两类：

1.重叠分解。如Wang的分裂法及其改进算法就属于这一类。P.Amodio在1993年对这类算法进行了很好的总结，用本地LU、本地LUD和本地循环约化法求解，并在1995年提出基于矩阵乘分解的并行QR算法。H.Michielse和A.VanderVorst改变Wang算法的消元次序，提出了通信量减少的算法。李晓梅等将H.Michielse和A.VanderVorst算法中的通信模式从单向串行改为双向并行，提出DPP算法，是目前最好的三对角方程组分布式算法之一。2000年骆志刚等中依据DPP算法，利用计算与通信重叠技术，减少处理机空闲时间取得了更好的并行效果。此类算法要求解P-1阶缩减系统。

2.不重叠分解。例如Lawrie&Sameh算法、Johsoon算法、Baron算法、Chawla在1991年提出的WZ分解算法以及Mattor在1995年提出的算法都属于这一类。此类算法要求解2P-2阶缩减系统。

（四）基于矩阵和分解算法

将系数矩阵分解成A=Ao+△A，这类算法的共同特点是利用Sherman&Morrison公式将和的逆化为子矩阵逆的和。按矩阵分解方法，这种算法又可分为两类：

1.重叠分解。这类算法首先由Mehrmann在1990年提出，通过选择好的分解在计算过程中保持原方程组系数矩阵的结构特性，具有好的数值稳定性，需要求解P-1阶缩减系统。

2.不重叠分解。Sun等在1992年提出的并行划分LU算法PPT算法和并行对角占优算法PDD算法均属于这一类。需要求解2P-2阶缩减系统。其中PDD算法的通讯时间不随处理机的变化而变化，具有很好的可扩展性。X.H.Sun和W.Zhang在2002年提出了两层混合并行方法PTH，其基本思想是在PDD中嵌入一个内层三对角解法以形成一个两层的并行，基本算法是PDD，三对角系统首先基于PDD分解。PTH算法也具有很好的可扩展性。

四、并行求解三对角系统的迭代解法

当稀疏线性方程组的系数矩阵不规则时，直接法在求解过程中会带来大量非零元素，增加了计算量、通信量和存储量，并且直接法不易并行，不能满足求解大规模问题的需要。因此通常使用迭代法来求解一般系数线性方程组和含零元素较多三对角线性方程组。迭代法包括古典迭代法和Krylov子空间迭代法。

古典迭代法包括Jacobi、Gauss-Seidel、SOR、SSOR等方法。通常采用红黑排序、多色排序和多分裂等技术进行并行计算。由于古典迭代法有收敛速度慢、并行效果不好等缺点，目前已较少用于直接求解大型稀疏线性方程组，而是作为预条件子和其它方法（如Krylov子空间方法）相结合使用。

Krylov子空间方法具有存储量小，计算量小且易于并行等优点，非常适合于并行求解大型稀疏线性方程组。结合预条件子的Krylov子空间迭代法是目前并行求解大型稀疏线性方程组的最主要方法。

给定初值X0，求解稀疏线性方程组AX=Y。设Km为维子空间，一般投影方法是从m维仿射子空间X0+Km中寻找近似解Xm使之满足Petrov-Galerkin条件

Y-AXm┻Lm

其中Lm为另一个维子空间。如果Km是Krylov子空间，则上述投影方法称为Krylov子空间方法。Krylov子空间Km(A，r0)定义为：

Km(A，r0)=span{r0，Ar0，A2r0，…，Am-1r0}

选取不同的Km和Lm就得到不同的Krylov子空间方法。主要算法包括四类：基于正交投影方法、基于正交化方法、基于双正交化方法、基于正规方程方法。

Krylov子空间迭代法的收敛速度依赖于系数矩阵特征值的分布，对于很多问题，直接使用迭代法的收敛速度特别慢，或者根本不收敛。因此使用预条件改变其收敛性，使中断问题可解，并加速收敛速度是需要的。目前人们研究的预条件技术可分为四类：采用基于矩阵分裂的古典迭代法作为预条件子、采用不完全LU分解作预条件子、基于系数矩阵近似逆的预条件子、结合实际问题用多重网格或区域分解作预条件子。对Krylov子空间和预条件Krylov子空间方法有详细的讨论。

预条件Krylov子空间方法的并行计算问题一直是研究热点，已提出了一系列好的并行算法。目前预条件Krylov子空间方法的计算量主要集中在矩阵向量乘上。虽然学者们做了大量的研究工作，但是还没找到效果好，又易于并行的预条件子。

需要特别指出的是，对于一般线性代数方程组的并行求解，其可扩展并行计算的研究已相对成熟，并已形成相应的并行软件库，如美国田纳西亚州立大学和橡树岭国家实验室研制的基于消息传递计算平台的可扩展线性代数程序库ScaLAPACK和得克萨斯大学开发的界面更加友好的并行线性代数库PLAPACK。我们借鉴其研究成果和研究方法，对三对角线性方程组并行算法的研究是有帮助的。

五、结语

三对角范文篇2

【关键词】三对角线性方程组；分治策略；并行算法；算法可扩展性

一、概述

三对角线性方程组的求解是许多科学和工程计算中最重要也是最基本的问题之一。在核物理、流体力学、油藏工程、石油地震数据处理及数值天气预报等许多领域的大规模科学工程和数值处理中都会遇到三对角系统的求解问题。很多三对角线性方程组的算法可以直接推广到求解块三对角及带状线性方程组。由于在理论和实际应用上的重要性，近20年来三对角方程组的并行算法研究十分活跃。

大规模科学计算需要高性能的并行计算机。随着软硬件技术的发展，高性能的并行计算机日新月异。现今，SMP可构成每秒几十亿次运算的系统，PVP和COW可构成每秒几百亿次运算的系统，而MPP和DSM可构成每秒万亿次运算或更高的系统。

高性能并行计算机只是给大型科学计算提供了计算工具。如何发挥并行计算机的潜在性能和对三对角系统进行有效求解，其关键在于抓住并行计算的特点进行并行算法的研究和程序的设计与实现。另外，对处理机个数较多的并行计算系统，在设计并行算法时必须解决算法的可扩展性，并对可扩展性进行研究和分析。

二、问题的提出

设三对角线性方程组为

AX=Y（1）

式中：A∈Rn×n非奇异，αij=0，。X=(x1，x2，…xn)TY=(y1，y2，…yn）T。

此系统在许多算法中被提出，因此研究其高性能并行算法是很有理论和实际意义的。

三、并行求解三对角系统的直接解法

关于三对角线性方程组的直接求解已经有大量并行算法，其中Wang的分裂法是最早针对实际硬件环境，基于分治策略提出的并行算法。它不仅通信结构简单，容易推广到一般带状线性方程组的并行求解，而且为相继出现的许多其它并行算法提供了可行的局部分解策略。

近20年来求解三对角方程组的并行算法都是基于分治策略，即通过将三对角方程组分解成P个小规模问题，求解这P个小规模问题，再将这些解结合起来得到原三对角方程组的解。一般求解三对角方程组的分治方法的计算过程可分为3个阶段：一是消去，每台处理机对子系统消元；二是求解缩减系统（需要通信）；三是回代，将缩减系统的解回代到每个子系统，求出最终结果。具体可分为以下几类：

（一）递推耦合算法（RecursiveDoubling）

由Stone于1975年提出，算法巧妙地把LU分解方法的时序性很强的递推计算转化为递推倍增并行计算。D.J.Evans对此方法做了大量研究。P.Dubois和G.Rodrigue的研究表明Stone算法是不稳定的。

（二）循环约化方法（CyclicReduction）

循环约化方法由Hockey和G.Golub在1965年提出，其基本思想是每次迭代将偶数编号方程中的奇变量消去，只剩下偶变量，问题转变成求解仅由偶变量组成的规模减半的新三对角方程组。求解该新方程组，得到所有的偶变量后，再回代求解所有的奇变量。即约化和回代过程。由于其基本的算术操作可以向量化，适合于向量机。此方法有大量学者进行研究，提出了许多改进的方法。例如，Heller针对最后几步的短向量操作提出了不完全循环约化方法；R.Reulter结合IBM3090VF向量机的特点提出了局部循环约化法；P.Amodio针对分布式系统的特点改进了循环约化方法；最近针对此方法又提出对三对角方程组进行更大约化步的交替迭代策略。

（三）基于矩阵乘分解算法

将系数矩阵A分解成A=FT，方程Ax=b化为Fy=b和Tx=y两个方程组的并行求解。这种算法又可以分为两类：

1.重叠分解。如Wang的分裂法及其改进算法就属于这一类。P.Amodio在1993年对这类算法进行了很好的总结，用本地LU、本地LUD和本地循环约化法求解，并在1995年提出基于矩阵乘分解的并行QR算法。H.Michielse和A.VanderVorst改变Wang算法的消元次序，提出了通信量减少的算法。李晓梅等将H.Michielse和A.VanderVorst算法中的通信模式从单向串行改为双向并行，提出DPP算法，是目前最好的三对角方程组分布式算法之一。2000年骆志刚等中依据DPP算法，利用计算与通信重叠技术，减少处理机空闲时间取得了更好的并行效果。此类算法要求解P-1阶缩减系统。

2.不重叠分解。例如Lawrie&Sameh算法、Johsoon算法、Baron算法、Chawla在1991年提出的WZ分解算法以及Mattor在1995年提出的算法都属于这一类。此类算法要求解2P-2阶缩减系统。

（四）基于矩阵和分解算法

将系数矩阵分解成A=Ao+△A，这类算法的共同特点是利用Sherman&Morrison公式将和的逆化为子矩阵逆的和。按矩阵分解方法，这种算法又可分为两类：

1.重叠分解。这类算法首先由Mehrmann在1990年提出，通过选择好的分解在计算过程中保持原方程组系数矩阵的结构特性，具有好的数值稳定性，需要求解P-1阶缩减系统。

2.不重叠分解。Sun等在1992年提出的并行划分LU算法PPT算法和并行对角占优算法PDD算法均属于这一类。需要求解2P-2阶缩减系统。其中PDD算法的通讯时间不随处理机的变化而变化，具有很好的可扩展性。X.H.Sun和W.Zhang在2002年提出了两层混合并行方法PTH，其基本思想是在PDD中嵌入一个内层三对角解法以形成一个两层的并行，基本算法是PDD，三对角系统首先基于PDD分解。PTH算法也具有很好的可扩展性。

四、并行求解三对角系统的迭代解法

当稀疏线性方程组的系数矩阵不规则时，直接法在求解过程中会带来大量非零元素，增加了计算量、通信量和存储量，并且直接法不易并行，不能满足求解大规模问题的需要。因此通常使用迭代法来求解一般系数线性方程组和含零元素较多三对角线性方程组。迭代法包括古典迭代法和Krylov子空间迭代法。

古典迭代法包括Jacobi、Gauss-Seidel、SOR、SSOR等方法。通常采用红黑排序、多色排序和多分裂等技术进行并行计算。由于古典迭代法有收敛速度慢、并行效果不好等缺点，目前已较少用于直接求解大型稀疏线性方程组，而是作为预条件子和其它方法（如Krylov子空间方法）相结合使用。

Krylov子空间方法具有存储量小，计算量小且易于并行等优点，非常适合于并行求解大型稀疏线性方程组。结合预条件子的Krylov子空间迭代法是目前并行求解大型稀疏线性方程组的最主要方法。

给定初值X0，求解稀疏线性方程组AX=Y。设Km为维子空间，一般投影方法是从m维仿射子空间X0+Km中寻找近似解Xm使之满足Petrov-Galerkin条件

Y-AXm┻Lm

其中Lm为另一个维子空间。如果Km是Krylov子空间，则上述投影方法称为Krylov子空间方法。Krylov子空间Km(A，r0)定义为：

Km(A，r0)=span{r0，Ar0，A2r0，…，Am-1r0}

选取不同的Km和Lm就得到不同的Krylov子空间方法。主要算法包括四类：基于正交投影方法、基于正交化方法、基于双正交化方法、基于正规方程方法。

Krylov子空间迭代法的收敛速度依赖于系数矩阵特征值的分布，对于很多问题，直接使用迭代法的收敛速度特别慢，或者根本不收敛。因此使用预条件改变其收敛性，使中断问题可解，并加速收敛速度是需要的。目前人们研究的预条件技术可分为四类：采用基于矩阵分裂的古典迭代法作为预条件子、采用不完全LU分解作预条件子、基于系数矩阵近似逆的预条件子、结合实际问题用多重网格或区域分解作预条件子。对Krylov子空间和预条件Krylov子空间方法有详细的讨论。

预条件Krylov子空间方法的并行计算问题一直是研究热点，已提出了一系列好的并行算法。目前预条件Krylov子空间方法的计算量主要集中在矩阵向量乘上。虽然学者们做了大量的研究工作，但是还没找到效果好，又易于并行的预条件子。

需要特别指出的是，对于一般线性代数方程组的并行求解，其可扩展并行计算的研究已相对成熟，并已形成相应的并行软件库，如美国田纳西亚州立大学和橡树岭国家实验室研制的基于消息传递计算平台的可扩展线性代数程序库ScaLAPACK和得克萨斯大学开发的界面更加友好的并行线性代数库PLAPACK。我们借鉴其研究成果和研究方法，对三对角线性方程组并行算法的研究是有帮助的。

五、结语

三对角线性方程组的直接解法，算法丰富，程序较容易实现。但计算过程要增加计算量，并且大部分算法都对系数矩阵的要求比较高。迭代解法适合于非零元素较多的情况，特别是结合预条件子的Krylov子空间迭代法已成为当前研究的热点。

尽管三对角系统并行算法的研究取得了很多成果。但是还存在一些问题：直接法中，分治策略带来计算量和通信量的增加，如何减少计算量和通信量有待于进一步的研究；目前直接算法均基于分治策略，如何把其它并行算法设计技术，如平衡树和流水线等技术应用到三对角系统的并行求解中也是需要引起重视的方向；对于非对称系统还没找到一种通用的Krylov子空间方法；Krylov子空间方法的并行实现时仅考虑系数矩阵与向量乘，对其它问题考虑不够；以往设计的并行算法缺乏对算法可扩展性的考虑和分析。

三对角范文篇3

【关键词】三对角线性方程组；分治策略；并行算法；算法可扩展性

一、概述

三对角线性方程组的求解是许多科学和工程计算中最重要也是最基本的问题之一。在核物理、流体力学、油藏工程、石油地震数据处理及数值天气预报等许多领域的大规模科学工程和数值处理中都会遇到三对角系统的求解问题。很多三对角线性方程组的算法可以直接推广到求解块三对角及带状线性方程组。由于在理论和实际应用上的重要性，近20年来三对角方程组的并行算法研究十分活跃。

大规模科学计算需要高性能的并行计算机。随着软硬件技术的发展，高性能的并行计算机日新月异。现今，SMP可构成每秒几十亿次运算的系统，PVP和COW可构成每秒几百亿次运算的系统，而MPP和DSM可构成每秒万亿次运算或更高的系统。

高性能并行计算机只是给大型科学计算提供了计算工具。如何发挥并行计算机的潜在性能和对三对角系统进行有效求解，其关键在于抓住并行计算的特点进行并行算法的研究和程序的设计与实现。另外，对处理机个数较多的并行计算系统，在设计并行算法时必须解决算法的可扩展性，并对可扩展性进行研究和分析。

二、问题的提出

设三对角线性方程组为

AX=Y（1）

式中：A∈Rn×n非奇异，αij=0，。X=(x1，x2，…xn)TY=(y1，y2，…yn）T。

此系统在许多算法中被提出，因此研究其高性能并行算法是很有理论和实际意义的。

三、并行求解三对角系统的直接解法

关于三对角线性方程组的直接求解已经有大量并行算法，其中Wang的分裂法是最早针对实际硬件环境，基于分治策略提出的并行算法。它不仅通信结构简单，容易推广到一般带状线性方程组的并行求解，而且为相继出现的许多其它并行算法提供了可行的局部分解策略。

近20年来求解三对角方程组的并行算法都是基于分治策略，即通过将三对角方程组分解成P个小规模问题，求解这P个小规模问题，再将这些解结合起来得到原三对角方程组的解。一般求解三对角方程组的分治方法的计算过程可分为3个阶段：一是消去，每台处理机对子系统消元；二是求解缩减系统（需要通信）；三是回代，将缩减系统的解回代到每个子系统，求出最终结果。具体可分为以下几类：

（一）递推耦合算法（RecursiveDoubling）

由Stone于1975年提出，算法巧妙地把LU分解方法的时序性很强的递推计算转化为递推倍增并行计算。D.J.Evans对此方法做了大量研究。P.Dubois和G.Rodrigue的研究表明Stone算法是不稳定的。

（二）循环约化方法（CyclicReduction）

循环约化方法由Hockey和G.Golub在1965年提出，其基本思想是每次迭代将偶数编号方程中的奇变量消去，只剩下偶变量，问题转变成求解仅由偶变量组成的规模减半的新三对角方程组。求解该新方程组，得到所有的偶变量后，再回代求解所有的奇变量。即约化和回代过程。由于其基本的算术操作可以向量化，适合于向量机。此方法有大量学者进行研究，提出了许多改进的方法。例如，Heller针对最后几步的短向量操作提出了不完全循环约化方法；R.Reulter结合IBM3090VF向量机的特点提出了局部循环约化法；P.Amodio针对分布式系统的特点改进了循环约化方法；最近针对此方法又提出对三对角方程组进行更大约化步的交替迭代策略。

（三）基于矩阵乘分解算法

将系数矩阵A分解成A=FT，方程Ax=b化为Fy=b和Tx=y两个方程组的并行求解。这种算法又可以分为两类：

1.重叠分解。如Wang的分裂法及其改进算法就属于这一类。P.Amodio在1993年对这类算法进行了很好的总结，用本地LU、本地LUD和本地循环约化法求解，并在1995年提出基于矩阵乘分解的并行QR算法。H.Michielse和A.VanderVorst改变Wang算法的消元次序，提出了通信量减少的算法。李晓梅等将H.Michielse和A.VanderVorst算法中的通信模式从单向串行改为双向并行，提出DPP算法，是目前最好的三对角方程组分布式算法之一。2000年骆志刚等中依据DPP算法，利用计算与通信重叠技术，减少处理机空闲时间取得了更好的并行效果。此类算法要求解P-1阶缩减系统。

2.不重叠分解。例如Lawrie&Sameh算法、Johsoon算法、Baron算法、Chawla在1991年提出的WZ分解算法以及Mattor在1995年提出的算法都属于这一类。此类算法要求解2P-2阶缩减系统。

（四）基于矩阵和分解算法

将系数矩阵分解成A=Ao+△A，这类算法的共同特点是利用Sherman&Morrison公式将和的逆化为子矩阵逆的和。按矩阵分解方法，这种算法又可分为两类：

1.重叠分解。这类算法首先由Mehrmann在1990年提出，通过选择好的分解在计算过程中保持原方程组系数矩阵的结构特性，具有好的数值稳定性，需要求解P-1阶缩减系统。

2.不重叠分解。Sun等在1992年提出的并行划分LU算法PPT算法和并行对角占优算法PDD算法均属于这一类。需要求解2P-2阶缩减系统。其中PDD算法的通讯时间不随处理机的变化而变化，具有很好的可扩展性。X.H.Sun和W.Zhang在2002年提出了两层混合并行方法PTH，其基本思想是在PDD中嵌入一个内层三对角解法以形成一个两层的并行，基本算法是PDD，三对角系统首先基于PDD分解。PTH算法也具有很好的可扩展性。

四、并行求解三对角系统的迭代解法

当稀疏线性方程组的系数矩阵不规则时，直接法在求解过程中会带来大量非零元素，增加了计算量、通信量和存储量，并且直接法不易并行，不能满足求解大规模问题的需要。因此通常使用迭代法来求解一般系数线性方程组和含零元素较多三对角线性方程组。迭代法包括古典迭代法和Krylov子空间迭代法。

古典迭代法包括Jacobi、Gauss-Seidel、SOR、SSOR等方法。通常采用红黑排序、多色排序和多分裂等技术进行并行计算。由于古典迭代法有收敛速度慢、并行效果不好等缺点，目前已较少用于直接求解大型稀疏线性方程组，而是作为预条件子和其它方法（如Krylov子空间方法）相结合使用。

Krylov子空间方法具有存储量小，计算量小且易于并行等优点，非常适合于并行求解大型稀疏线性方程组。结合预条件子的Krylov子空间迭代法是目前并行求解大型稀疏线性方程组的最主要方法。

给定初值X0，求解稀疏线性方程组AX=Y。设Km为维子空间，一般投影方法是从m维仿射子空间X0+Km中寻找近似解Xm使之满足Petrov-Galerkin条件

Y-AXm┻Lm

其中Lm为另一个维子空间。如果Km是Krylov子空间，则上述投影方法称为Krylov子空间方法。Krylov子空间Km(A，r0)定义为：

Km(A，r0)=span{r0，Ar0，A2r0，…，Am-1r0}

选取不同的Km和Lm就得到不同的Krylov子空间方法。主要算法包括四类：基于正交投影方法、基于正交化方法、基于双正交化方法、基于正规方程方法。

Krylov子空间迭代法的收敛速度依赖于系数矩阵特征值的分布，对于很多问题，直接使用迭代法的收敛速度特别慢，或者根本不收敛。因此使用预条件改变其收敛性，使中断问题可解，并加速收敛速度是需要的。目前人们研究的预条件技术可分为四类：采用基于矩阵分裂的古典迭代法作为预条件子、采用不完全LU分解作预条件子、基于系数矩阵近似逆的预条件子、结合实际问题用多重网格或区域分解作预条件子。对Krylov子空间和预条件Krylov子空间方法有详细的讨论。

预条件Krylov子空间方法的并行计算问题一直是研究热点，已提出了一系列好的并行算法。目前预条件Krylov子空间方法的计算量主要集中在矩阵向量乘上。虽然学者们做了大量的研究工作，但是还没找到效果好，又易于并行的预条件子。

需要特别指出的是，对于一般线性代数方程组的并行求解，其可扩展并行计算的研究已相对成熟，并已形成相应的并行软件库，如美国田纳西亚州立大学和橡树岭国家实验室研制的基于消息传递计算平台的可扩展线性代数程序库ScaLAPACK和得克萨斯大学开发的界面更加友好的并行线性代数库PLAPACK。我们借鉴其研究成果和研究方法，对三对角线性方程组并行算法的研究是有帮助的。

五、结语

三对角线性方程组的直接解法，算法丰富，程序较容易实现。但计算过程要增加计算量，并且大部分算法都对系数矩阵的要求比较高。迭代解法适合于非零元素较多的情况，特别是结合预条件子的Krylov子空间迭代法已成为当前研究的热点。

尽管三对角系统并行算法的研究取得了很多成果。但是还存在一些问题：直接法中，分治策略带来计算量和通信量的增加，如何减少计算量和通信量有待于进一步的研究；目前直接算法均基于分治策略，如何把其它并行算法设计技术，如平衡树和流水线等技术应用到三对角系统的并行求解中也是需要引起重视的方向；对于非对称系统还没找到一种通用的Krylov子空间方法；Krylov子空间方法的并行实现时仅考虑系数矩阵与向量乘，对其它问题考虑不够；以往设计的并行算法缺乏对算法可扩展性的考虑和分析。

三对角范文篇4

【关键词】三对角线性方程组；分治策略；并行算法；算法可扩展性

一、概述

三对角线性方程组的求解是许多科学和工程计算中最重要也是最基本的问题之一。在核物理、流体力学、油藏工程、石油地震数据处理及数值天气预报等许多领域的大规模科学工程和数值处理中都会遇到三对角系统的求解问题。很多三对角线性方程组的算法可以直接推广到求解块三对角及带状线性方程组。由于在理论和实际应用上的重要性，近20年来三对角方程组的并行算法研究十分活跃。

大规模科学计算需要高性能的并行计算机。随着软硬件技术的发展，高性能的并行计算机日新月异。现今，SMP可构成每秒几十亿次运算的系统，PVP和COW可构成每秒几百亿次运算的系统，而MPP和DSM可构成每秒万亿次运算或更高的系统。

高性能并行计算机只是给大型科学计算提供了计算工具。如何发挥并行计算机的潜在性能和对三对角系统进行有效求解，其关键在于抓住并行计算的特点进行并行算法的研究和程序的设计与实现。另外，对处理机个数较多的并行计算系统，在设计并行算法时必须解决算法的可扩展性，并对可扩展性进行研究和分析。

二、问题的提出

设三对角线性方程组为

AX=Y（1）

式中：A∈Rn×n非奇异，αij=0，。X=(x1，x2，…xn)TY=(y1，y2，…yn）T。

此系统在许多算法中被提出，因此研究其高性能并行算法是很有理论和实际意义的。

三、并行求解三对角系统的直接解法

关于三对角线性方程组的直接求解已经有大量并行算法，其中Wang的分裂法是最早针对实际硬件环境，基于分治策略提出的并行算法。它不仅通信结构简单，容易推广到一般带状线性方程组的并行求解，而且为相继出现的许多其它并行算法提供了可行的局部分解策略。

近20年来求解三对角方程组的并行算法都是基于分治策略，即通过将三对角方程组分解成P个小规模问题，求解这P个小规模问题，再将这些解结合起来得到原三对角方程组的解。一般求解三对角方程组的分治方法的计算过程可分为3个阶段：一是消去，每台处理机对子系统消元；二是求解缩减系统（需要通信）；三是回代，将缩减系统的解回代到每个子系统，求出最终结果。具体可分为以下几类：

（一）递推耦合算法（RecursiveDoubling）

由Stone于1975年提出，算法巧妙地把LU分解方法的时序性很强的递推计算转化为递推倍增并行计算。D.J.Evans对此方法做了大量研究。P.Dubois和G.Rodrigue的研究表明Stone算法是不稳定的。

（二）循环约化方法（CyclicReduction）

循环约化方法由Hockey和G.Golub在1965年提出，其基本思想是每次迭代将偶数编号方程中的奇变量消去，只剩下偶变量，问题转变成求解仅由偶变量组成的规模减半的新三对角方程组。求解该新方程组，得到所有的偶变量后，再回代求解所有的奇变量。即约化和回代过程。由于其基本的算术操作可以向量化，适合于向量机。此方法有大量学者进行研究，提出了许多改进的方法。例如，Heller针对最后几步的短向量操作提出了不完全循环约化方法；R.Reulter结合IBM3090VF向量机的特点提出了局部循环约化法；P.Amodio针对分布式系统的特点改进了循环约化方法；最近针对此方法又提出对三对角方程组进行更大约化步的交替迭代策略。

（三）基于矩阵乘分解算法

将系数矩阵A分解成A=FT，方程Ax=b化为Fy=b和Tx=y两个方程组的并行求解。这种算法又可以分为两类：

1.重叠分解。如Wang的分裂法及其改进算法就属于这一类。P.Amodio在1993年对这类算法进行了很好的总结，用本地LU、本地LUD和本地循环约化法求解，并在1995年提出基于矩阵乘分解的并行QR算法。H.Michielse和A.VanderVorst改变Wang算法的消元次序，提出了通信量减少的算法。李晓梅等将H.Michielse和A.VanderVorst算法中的通信模式从单向串行改为双向并行，提出DPP算法，是目前最好的三对角方程组分布式算法之一。2000年骆志刚等中依据DPP算法，利用计算与通信重叠技术，减少处理机空闲时间取得了更好的并行效果。此类算法要求解P-1阶缩减系统。

2.不重叠分解。例如Lawrie&Sameh算法、Johsoon算法、Baron算法、Chawla在1991年提出的WZ分解算法以及Mattor在1995年提出的算法都属于这一类。此类算法要求解2P-2阶缩减系统。

（四）基于矩阵和分解算法

将系数矩阵分解成A=Ao+△A，这类算法的共同特点是利用Sherman&Morrison公式将和的逆化为子矩阵逆的和。按矩阵分解方法，这种算法又可分为两类：

1.重叠分解。这类算法首先由Mehrmann在1990年提出，通过选择好的分解在计算过程中保持原方程组系数矩阵的结构特性，具有好的数值稳定性，需要求解P-1阶缩减系统。

2.不重叠分解。Sun等在1992年提出的并行划分LU算法PPT算法和并行对角占优算法PDD算法均属于这一类。需要求解2P-2阶缩减系统。其中PDD算法的通讯时间不随处理机的变化而变化，具有很好的可扩展性。X.H.Sun和W.Zhang在2002年提出了两层混合并行方法PTH，其基本思想是在PDD中嵌入一个内层三对角解法以形成一个两层的并行，基本算法是PDD，三对角系统首先基于PDD分解。PTH算法也具有很好的可扩展性。四、并行求解三对角系统的迭代解法

当稀疏线性方程组的系数矩阵不规则时，直接法在求解过程中会带来大量非零元素，增加了计算量、通信量和存储量，并且直接法不易并行，不能满足求解大规模问题的需要。因此通常使用迭代法来求解一般系数线性方程组和含零元素较多三对角线性方程组。迭代法包括古典迭代法和Krylov子空间迭代法。

古典迭代法包括Jacobi、Gauss-Seidel、SOR、SSOR等方法。通常采用红黑排序、多色排序和多分裂等技术进行并行计算。由于古典迭代法有收敛速度慢、并行效果不好等缺点，目前已较少用于直接求解大型稀疏线性方程组，而是作为预条件子和其它方法（如Krylov子空间方法）相结合使用。

Krylov子空间方法具有存储量小，计算量小且易于并行等优点，非常适合于并行求解大型稀疏线性方程组。结合预条件子的Krylov子空间迭代法是目前并行求解大型稀疏线性方程组的最主要方法。

给定初值X0，求解稀疏线性方程组AX=Y。设Km为维子空间，一般投影方法是从m维仿射子空间X0+Km中寻找近似解Xm使之满足Petrov-Galerkin条件

Y-AXm┻Lm

其中Lm为另一个维子空间。如果Km是Krylov子空间，则上述投影方法称为Krylov子空间方法。Krylov子空间Km(A，r0)定义为：

Km(A，r0)=span{r0，Ar0，A2r0，…，Am-1r0}

选取不同的Km和Lm就得到不同的Krylov子空间方法。主要算法包括四类：基于正交投影方法、基于正交化方法、基于双正交化方法、基于正规方程方法。

Krylov子空间迭代法的收敛速度依赖于系数矩阵特征值的分布，对于很多问题，直接使用迭代法的收敛速度特别慢，或者根本不收敛。因此使用预条件改变其收敛性，使中断问题可解，并加速收敛速度是需要的。目前人们研究的预条件技术可分为四类：采用基于矩阵分裂的古典迭代法作为预条件子、采用不完全LU分解作预条件子、基于系数矩阵近似逆的预条件子、结合实际问题用多重网格或区域分解作预条件子。对Krylov子空间和预条件Krylov子空间方法有详细的讨论。

预条件Krylov子空间方法的并行计算问题一直是研究热点，已提出了一系列好的并行算法。目前预条件Krylov子空间方法的计算量主要集中在矩阵向量乘上。虽然学者们做了大量的研究工作，但是还没找到效果好，又易于并行的预条件子。

需要特别指出的是，对于一般线性代数方程组的并行求解，其可扩展并行计算的研究已相对成熟，并已形成相应的并行软件库，如美国田纳西亚州立大学和橡树岭国家实验室研制的基于消息传递计算平台的可扩展线性代数程序库ScaLAPACK和得克萨斯大学开发的界面更加友好的并行线性代数库PLAPACK。我们借鉴其研究成果和研究方法，对三对角线性方程组并行算法的研究是有帮助的。

五、结语

三对角线性方程组的直接解法，算法丰富，程序较容易实现。但计算过程要增加计算量，并且大部分算法都对系数矩阵的要求比较高。迭代解法适合于非零元素较多的情况，特别是结合预条件子的Krylov子空间迭代法已成为当前研究的热点。

尽管三对角系统并行算法的研究取得了很多成果。但是还存在一些问题：直接法中，分治策略带来计算量和通信量的增加，如何减少计算量和通信量有待于进一步的研究；目前直接算法均基于分治策略，如何把其它并行算法设计技术，如平衡树和流水线等技术应用到三对角系统的并行求解中也是需要引起重视的方向；对于非对称系统还没找到一种通用的Krylov子空间方法；Krylov子空间方法的并行实现时仅考虑系数矩阵与向量乘，对其它问题考虑不够；以往设计的并行算法缺乏对算法可扩展性的考虑和分析。

三对角范文篇5

【关键词】三对角线性方程组；分治策略；并行算法；算法可扩展性

一、概述

三对角线性方程组的求解是许多科学和工程计算中最重要也是最基本的问题之一。在核物理、流体力学、油藏工程、石油地震数据处理及数值天气预报等许多领域的大规模科学工程和数值处理中都会遇到三对角系统的求解问题。很多三对角线性方程组的算法可以直接推广到求解块三对角及带状线性方程组。由于在理论和实际应用上的重要性，近20年来三对角方程组的并行算法研究十分活跃。

大规模科学计算需要高性能的并行计算机。随着软硬件技术的发展，高性能的并行计算机日新月异。现今，SMP可构成每秒几十亿次运算的系统，PVP和COW可构成每秒几百亿次运算的系统，而MPP和DSM可构成每秒万亿次运算或更高的系统。

高性能并行计算机只是给大型科学计算提供了计算工具。如何发挥并行计算机的潜在性能和对三对角系统进行有效求解，其关键在于抓住并行计算的特点进行并行算法的研究和程序的设计与实现。另外，对处理机个数较多的并行计算系统，在设计并行算法时必须解决算法的可扩展性，并对可扩展性进行研究和分析。

二、问题的提出

设三对角线性方程组为

AX=Y（1）

式中：A∈Rn×n非奇异，αij=0，。X=(x1，x2，…xn)TY=(y1，y2，…yn）T。

此系统在许多算法中被提出，因此研究其高性能并行算法是很有理论和实际意义的。

三、并行求解三对角系统的直接解法

关于三对角线性方程组的直接求解已经有大量并行算法，其中Wang的分裂法是最早针对实际硬件环境，基于分治策略提出的并行算法。它不仅通信结构简单，容易推广到一般带状线性方程组的并行求解，而且为相继出现的许多其它并行算法提供了可行的局部分解策略。

近20年来求解三对角方程组的并行算法都是基于分治策略，即通过将三对角方程组分解成P个小规模问题，求解这P个小规模问题，再将这些解结合起来得到原三对角方程组的解。一般求解三对角方程组的分治方法的计算过程可分为3个阶段：一是消去，每台处理机对子系统消元；二是求解缩减系统（需要通信）；三是回代，将缩减系统的解回代到每个子系统，求出最终结果。具体可分为以下几类：

（一）递推耦合算法（RecursiveDoubling）

由Stone于1975年提出，算法巧妙地把LU分解方法的时序性很强的递推计算转化为递推倍增并行计算。D.J.Evans对此方法做了大量研究。P.Dubois和G.Rodrigue的研究表明Stone算法是不稳定的。

（二）循环约化方法（CyclicReduction）

循环约化方法由Hockey和G.Golub在1965年提出，其基本思想是每次迭代将偶数编号方程中的奇变量消去，只剩下偶变量，问题转变成求解仅由偶变量组成的规模减半的新三对角方程组。求解该新方程组，得到所有的偶变量后，再回代求解所有的奇变量。即约化和回代过程。由于其基本的算术操作可以向量化，适合于向量机。此方法有大量学者进行研究，提出了许多改进的方法。例如，Heller针对最后几步的短向量操作提出了不完全循环约化方法；R.Reulter结合IBM3090VF向量机的特点提出了局部循环约化法；P.Amodio针对分布式系统的特点改进了循环约化方法；最近针对此方法又提出对三对角方程组进行更大约化步的交替迭代策略。

（三）基于矩阵乘分解算法

将系数矩阵A分解成A=FT，方程Ax=b化为Fy=b和Tx=y两个方程组的并行求解。这种算法又可以分为两类：

1.重叠分解。如Wang的分裂法及其改进算法就属于这一类。P.Amodio在1993年对这类算法进行了很好的总结，用本地LU、本地LUD和本地循环约化法求解，并在1995年提出基于矩阵乘分解的并行QR算法。H.Michielse和A.VanderVorst改变Wang算法的消元次序，提出了通信量减少的算法。李晓梅等将H.Michielse和A.VanderVorst算法中的通信模式从单向串行改为双向并行，提出DPP算法，是目前最好的三对角方程组分布式算法之一。2000年骆志刚等中依据DPP算法，利用计算与通信重叠技术，减少处理机空闲时间取得了更好的并行效果。此类算法要求解P-1阶缩减系统。

2.不重叠分解。例如Lawrie&Sameh算法、Johsoon算法、Baron算法、Chawla在1991年提出的WZ分解算法以及Mattor在1995年提出的算法都属于这一类。此类算法要求解2P-2阶缩减系统。

（四）基于矩阵和分解算法

将系数矩阵分解成A=Ao+△A，这类算法的共同特点是利用Sherman&Morrison公式将和的逆化为子矩阵逆的和。按矩阵分解方法，这种算法又可分为两类：

1.重叠分解。这类算法首先由Mehrmann在1990年提出，通过选择好的分解在计算过程中保持原方程组系数矩阵的结构特性，具有好的数值稳定性，需要求解P-1阶缩减系统。

2.不重叠分解。Sun等在1992年提出的并行划分LU算法PPT算法和并行对角占优算法PDD算法均属于这一类。需要求解2P-2阶缩减系统。其中PDD算法的通讯时间不随处理机的变化而变化，具有很好的可扩展性。X.H.Sun和W.Zhang在2002年提出了两层混合并行方法PTH，其基本思想是在PDD中嵌入一个内层三对角解法以形成一个两层的并行，基本算法是PDD，三对角系统首先基于PDD分解。PTH算法也具有很好的可扩展性。

四、并行求解三对角系统的迭代解法

当稀疏线性方程组的系数矩阵不规则时，直接法在求解过程中会带来大量非零元素，增加了计算量、通信量和存储量，并且直接法不易并行，不能满足求解大规模问题的需要。因此通常使用迭代法来求解一般系数线性方程组和含零元素较多三对角线性方程组。迭代法包括古典迭代法和Krylov子空间迭代法。

古典迭代法包括Jacobi、Gauss-Seidel、SOR、SSOR等方法。通常采用红黑排序、多色排序和多分裂等技术进行并行计算。由于古典迭代法有收敛速度慢、并行效果不好等缺点，目前已较少用于直接求解大型稀疏线性方程组，而是作为预条件子和其它方法（如Krylov子空间方法）相结合使用。

Krylov子空间方法具有存储量小，计算量小且易于并行等优点，非常适合于并行求解大型稀疏线性方程组。结合预条件子的Krylov子空间迭代法是目前并行求解大型稀疏线性方程组的最主要方法。

给定初值X0，求解稀疏线性方程组AX=Y。设Km为维子空间，一般投影方法是从m维仿射子空间X0+Km中寻找近似解Xm使之满足Petrov-Galerkin条件

Y-AXm┻Lm

其中Lm为另一个维子空间。如果Km是Krylov子空间，则上述投影方法称为Krylov子空间方法。Krylov子空间Km(A，r0)定义为：

Km(A，r0)=span{r0，Ar0，A2r0，…，Am-1r0}

选取不同的Km和Lm就得到不同的Krylov子空间方法。主要算法包括四类：基于正交投影方法、基于正交化方法、基于双正交化方法、基于正规方程方法。

Krylov子空间迭代法的收敛速度依赖于系数矩阵特征值的分布，对于很多问题，直接使用迭代法的收敛速度特别慢，或者根本不收敛。因此使用预条件改变其收敛性，使中断问题可解，并加速收敛速度是需要的。目前人们研究的预条件技术可分为四类：采用基于矩阵分裂的古典迭代法作为预条件子、采用不完全LU分解作预条件子、基于系数矩阵近似逆的预条件子、结合实际问题用多重网格或区域分解作预条件子。对Krylov子空间和预条件Krylov子空间方法有详细的讨论。

预条件Krylov子空间方法的并行计算问题一直是研究热点，已提出了一系列好的并行算法。目前预条件Krylov子空间方法的计算量主要集中在矩阵向量乘上。虽然学者们做了大量的研究工作，但是还没找到效果好，又易于并行的预条件子。

需要特别指出的是，对于一般线性代数方程组的并行求解，其可扩展并行计算的研究已相对成熟，并已形成相应的并行软件库，如美国田纳西亚州立大学和橡树岭国家实验室研制的基于消息传递计算平台的可扩展线性代数程序库ScaLAPACK和得克萨斯大学开发的界面更加友好的并行线性代数库PLAPACK。我们借鉴其研究成果和研究方法，对三对角线性方程组并行算法的研究是有帮助的。

五、结语

三对角范文篇6

三对角线性方程组的求解是许多科学和工程计算中最重要也是最基本的问题之一。在核物理、流体力学、油藏工程、石油地震数据处理及数值天气预报等许多领域的大规模科学工程和数值处理中都会遇到三对角系统的求解问题。很多三对角线性方程组的算法可以直接推广到求解块三对角及带状线性方程组。由于在理论和实际应用上的重要性，近20年来三对角方程组的并行算法研究十分活跃。

大规模科学计算需要高性能的并行计算机。随着软硬件技术的发展，高性能的并行计算机日新月异。现今，SMP可构成每秒几十亿次运算的系统，PVP和COW可构成每秒几百亿次运算的系统，而MPP和DSM可构成每秒万亿次运算或更高的系统。

高性能并行计算机只是给大型科学计算提供了计算工具。如何发挥并行计算机的潜在性能和对三对角系统进行有效求解，其关键在于抓住并行计算的特点进行并行算法的研究和程序的设计与实现。另外，对处理机个数较多的并行计算系统，在设计并行算法时必须解决算法的可扩展性，并对可扩展性进行研究和分析。

二、问题的提出

设三对角线性方程组为

AX=Y（1）

式中：A∈Rn×n非奇异，αij=0，。X=(x1，x2，…xn)TY=(y1，y2，…yn）T。

此系统在许多算法中被提出，因此研究其高性能并行算法是很有理论和实际意义的。

三、并行求解三对角系统的直接解法

关于三对角线性方程组的直接求解已经有大量并行算法，其中Wang的分裂法是最早针对实际硬件环境，基于分治策略提出的并行算法。它不仅通信结构简单，容易推广到一般带状线性方程组的并行求解，而且为相继出现的许多其它并行算法提供了可行的局部分解策略。

近20年来求解三对角方程组的并行算法都是基于分治策略，即通过将三对角方程组分解成P个小规模问题，求解这P个小规模问题，再将这些解结合起来得到原三对角方程组的解。一般求解三对角方程组的分治方法的计算过程可分为3个阶段：一是消去，每台处理机对子系统消元；二是求解缩减系统（需要通信）；三是回代，将缩减系统的解回代到每个子系统，求出最终结果。具体可分为以下几类：

（一）递推耦合算法（RecursiveDoubling）

由Stone于1975年提出，算法巧妙地把LU分解方法的时序性很强的递推计算转化为递推倍增并行计算。D.J.Evans对此方法做了大量研究。P.Dubois和G.Rodrigue的研究表明Stone算法是不稳定的。

（二）循环约化方法（CyclicReduction）

循环约化方法由Hockey和G.Golub在1965年提出，其基本思想是每次迭代将偶数编号方程中的奇变量消去，只剩下偶变量，问题转变成求解仅由偶变量组成的规模减半的新三对角方程组。求解该新方程组，得到所有的偶变量后，再回代求解所有的奇变量。即约化和回代过程。由于其基本的算术操作可以向量化，适合于向量机。此方法有大量学者进行研究，提出了许多改进的方法。例如，Heller针对最后几步的短向量操作提出了不完全循环约化方法；R.Reulter结合IBM3090VF向量机的特点提出了局部循环约化法；P.Amodio针对分布式系统的特点改进了循环约化方法；最近针对此方法又提出对三对角方程组进行更大约化步的交替迭代策略。

（三）基于矩阵乘分解算法

将系数矩阵A分解成A=FT，方程Ax=b化为Fy=b和Tx=y两个方程组的并行求解。这种算法又可以分为两类：

1.重叠分解。如Wang的分裂法及其改进算法就属于这一类。P.Amodio在1993年对这类算法进行了很好的总结，用本地LU、本地LUD和本地循环约化法求解，并在1995年提出基于矩阵乘分解的并行QR算法。H.Michielse和A.VanderVorst改变Wang算法的消元次序，提出了通信量减少的算法。李晓梅等将H.Michielse和A.VanderVorst算法中的通信模式从单向串行改为双向并行，提出DPP算法，是目前最好的三对角方程组分布式算法之一。2000年骆志刚等中依据DPP算法，利用计算与通信重叠技术，减少处理机空闲时间取得了更好的并行效果。此类算法要求解P-1阶缩减系统。

2.不重叠分解。例如Lawrie&Sameh算法、Johsoon算法、Baron算法、Chawla在1991年提出的WZ分解算法以及Mattor在1995年提出的算法都属于这一类。此类算法要求解2P-2阶缩减系统。

（四）基于矩阵和分解算法

将系数矩阵分解成A=Ao+△A，这类算法的共同特点是利用Sherman&Morrison公式将和的逆化为子矩阵逆的和。按矩阵分解方法，这种算法又可分为两类：

1.重叠分解。这类算法首先由Mehrmann在1990年提出，通过选择好的分解在计算过程中保持原方程组系数矩阵的结构特性，具有好的数值稳定性，需要求解P-1阶缩减系统。

2.不重叠分解。Sun等在1992年提出的并行划分LU算法PPT算法和并行对角占优算法PDD算法均属于这一类。需要求解2P-2阶缩减系统。其中PDD算法的通讯时间不随处理机的变化而变化，具有很好的可扩展性。X.H.Sun和W.Zhang在2002年提出了两层混合并行方法PTH，其基本思想是在PDD中嵌入一个内层三对角解法以形成一个两层的并行，基本算法是PDD，三对角系统首先基于PDD分解。PTH算法也具有很好的可扩展性。

四、并行求解三对角系统的迭代解法

当稀疏线性方程组的系数矩阵不规则时，直接法在求解过程中会带来大量非零元素，增加了计算量、通信量和存储量，并且直接法不易并行，不能满足求解大规模问题的需要。因此通常使用迭代法来求解一般系数线性方程组和含零元素较多三对角线性方程组。迭代法包括古典迭代法和Krylov子空间迭代法。

古典迭代法包括Jacobi、Gauss-Seidel、SOR、SSOR等方法。通常采用红黑排序、多色排序和多分裂等技术进行并行计算。

由于古典迭代法有收敛速度慢、并行效果不好等缺点，目前已较少用于直接求解大型稀疏线性方程组，而是作为预条件子和其它方法（如Krylov子空间方法）相结合使用。

Krylov子空间方法具有存储量小，计算量小且易于并行等优点，非常适合于并行求解大型稀疏线性方程组。结合预条件子的Krylov子空间迭代法是目前并行求解大型稀疏线性方程组的最主要方法。

给定初值X0，求解稀疏线性方程组AX=Y。设Km为维子空间，一般投影方法是从m维仿射子空间X0+Km中寻找近似解Xm使之满足Petrov-Galerkin条件

Y-AXm┻Lm

其中Lm为另一个维子空间。如果Km是Krylov子空间，则上述投影方法称为Krylov子空间方法。Krylov子空间Km(A，r0)定义为：

Km(A，r0)=span{r0，Ar0，A2r0，…，Am-1r0}

选取不同的Km和Lm就得到不同的Krylov子空间方法。主要算法包括四类：基于正交投影方法、基于正交化方法、基于双正交化方法、基于正规方程方法。

Krylov子空间迭代法的收敛速度依赖于系数矩阵特征值的分布，对于很多问题，直接使用迭代法的收敛速度特别慢，或者根本不收敛。因此使用预条件改变其收敛性，使中断问题可解，并加速收敛速度是需要的。目前人们研究的预条件技术可分为四类：采用基于矩阵分裂的古典迭代法作为预条件子、采用不完全LU分解作预条件子、基于系数矩阵近似逆的预条件子、结合实际问题用多重网格或区域分解作预条件子。对Krylov子空间和预条件Krylov子空间方法有详细的讨论。

预条件Krylov子空间方法的并行计算问题一直是研究热点，已提出了一系列好的并行算法。目前预条件Krylov子空间方法的计算量主要集中在矩阵向量乘上。虽然学者们做了大量的研究工作，但是还没找到效果好，又易于并行的预条件子。

需要特别指出的是，对于一般线性代数方程组的并行求解，其可扩展并行计算的研究已相对成熟，并已形成相应的并行软件库，如美国田纳西亚州立大学和橡树岭国家实验室研制的基于消息传递计算平台的可扩展线性代数程序库ScaLAPACK和得克萨斯大学开发的界面更加友好的并行线性代数库PLAPACK。我们借鉴其研究成果和研究方法，对三对角线性方程组并行算法的研究是有帮助的。

五、结语

三对角范文篇7

三对角线性方程组的求解是许多科学和工程计算中最重要也是最基本的问题之一。在核物理、流体力学、油藏工程、石油地震数据处理及数值天气预报等许多领域的大规模科学工程和数值处理中都会遇到三对角系统的求解问题。很多三对角线性方程组的算法可以直接推广到求解块三对角及带状线性方程组。由于在理论和实际应用上的重要性，近20年来三对角方程组的并行算法研究十分活跃。

大规模科学计算需要高性能的并行计算机。随着软硬件技术的发展，高性能的并行计算机日新月异。现今，SMP可构成每秒几十亿次运算的系统，PVP和COW可构成每秒几百亿次运算的系统，而MPP和DSM可构成每秒万亿次运算或更高的系统。

高性能并行计算机只是给大型科学计算提供了计算工具。如何发挥并行计算机的潜在性能和对三对角系统进行有效求解，其关键在于抓住并行计算的特点进行并行算法的研究和程序的设计与实现。另外，对处理机个数较多的并行计算系统，在设计并行算法时必须解决算法的可扩展性，并对可扩展性进行研究和分析。

二、问题的提出

设三对角线性方程组为

AX=Y（1）

式中：A∈Rn×n非奇异，αij=0，。X=(x1，x2，…xn)TY=(y1，y2，…yn）T。

此系统在许多算法中被提出，因此研究其高性能并行算法是很有理论和实际意义的。

三、并行求解三对角系统的直接解法

关于三对角线性方程组的直接求解已经有大量并行算法，其中Wang的分裂法是最早针对实际硬件环境，基于分治策略提出的并行算法。它不仅通信结构简单，容易推广到一般带状线性方程组的并行求解，而且为相继出现的许多其它并行算法提供了可行的局部分解策略。

近20年来求解三对角方程组的并行算法都是基于分治策略，即通过将三对角方程组分解成P个小规模问题，求解这P个小规模问题，再将这些解结合起来得到原三对角方程组的解。一般求解三对角方程组的分治方法的计算过程可分为3个阶段：一是消去，每台处理机对子系统消元；二是求解缩减系统（需要通信）；三是回代，将缩减系统的解回代到每个子系统，求出最终结果。具体可分为以下几类：

（一）递推耦合算法（RecursiveDoubling）

由Stone于1975年提出，算法巧妙地把LU分解方法的时序性很强的递推计算转化为递推倍增并行计算。D.J.Evans对此方法做了大量研究。P.Dubois和G.Rodrigue的研究表明Stone算法是不稳定的。

（二）循环约化方法（CyclicReduction）

循环约化方法由Hockey和G.Golub在1965年提出，其基本思想是每次迭代将偶数编号方程中的奇变量消去，只剩下偶变量，问题转变成求解仅由偶变量组成的规模减半的新三对角方程组。求解该新方程组，得到所有的偶变量后，再回代求解所有的奇变量。即约化和回代过程。由于其基本的算术操作可以向量化，适合于向量机。此方法有大量学者进行研究，提出了许多改进的方法。例如，Heller针对最后几步的短向量操作提出了不完全循环约化方法；R.Reulter结合IBM3090VF向量机的特点提出了局部循环约化法；P.Amodio针对分布式系统的特点改进了循环约化方法；最近针对此方法又提出对三对角方程组进行更大约化步的交替迭代策略。

（三）基于矩阵乘分解算法

将系数矩阵A分解成A=FT，方程Ax=b化为Fy=b和Tx=y两个方程组的并行求解。这种算法又可以分为两类：

1.重叠分解。如Wang的分裂法及其改进算法就属于这一类。P.Amodio在1993年对这类算法进行了很好的总结，用本地LU、本地LUD和本地循环约化法求解，并在1995年提出基于矩阵乘分解的并行QR算法。H.Michielse和A.VanderVorst改变Wang算法的消元次序，提出了通信量减少的算法。李晓梅等将H.Michielse和A.VanderVorst算法中的通信模式从单向串行改为双向并行，提出DPP算法，是目前最好的三对角方程组分布式算法之一。2000年骆志刚等中依据DPP算法，利用计算与通信重叠技术，减少处理机空闲时间取得了更好的并行效果。此类算法要求解P-1阶缩减系统。

2.不重叠分解。例如Lawrie&Sameh算法、Johsoon算法、Baron算法、Chawla在1991年提出的WZ分解算法以及Mattor在1995年提出的算法都属于这一类。此类算法要求解2P-2阶缩减系统。

（四）基于矩阵和分解算法

将系数矩阵分解成A=Ao+△A，这类算法的共同特点是利用Sherman&Morrison公式将和的逆化为子矩阵逆的和。按矩阵分解方法，这种算法又可分为两类：

1.重叠分解。这类算法首先由Mehrmann在1990年提出，通过选择好的分解在计算过程中保持原方程组系数矩阵的结构特性，具有好的数值稳定性，需要求解P-1阶缩减系统。

2.不重叠分解。Sun等在1992年提出的并行划分LU算法PPT算法和并行对角占优算法PDD算法均属于这一类。需要求解2P-2阶缩减系统。其中PDD算法的通讯时间不随处理机的变化而变化，具有很好的可扩展性。X.H.Sun和W.Zhang在2002年提出了两层混合并行方法PTH，其基本思想是在PDD中嵌入一个内层三对角解法以形成一个两层的并行，基本算法是PDD，三对角系统首先基于PDD分解。PTH算法也具有很好的可扩展性。

四、并行求解三对角系统的迭代解法

当稀疏线性方程组的系数矩阵不规则时，直接法在求解过程中会带来大量非零元素，增加了计算量、通信量和存储量，并且直接法不易并行，不能满足求解大规模问题的需要。因此通常使用迭代法来求解一般系数线性方程组和含零元素较多三对角线性方程组。迭代法包括古典迭代法和Krylov子空间迭代法。

古典迭代法包括Jacobi、Gauss-Seidel、SOR、SSOR等方法。通常采用红黑排序、多色排序和多分裂等技术进行并行计算。

由于古典迭代法有收敛速度慢、并行效果不好等缺点，目前已较少用于直接求解大型稀疏线性方程组，而是作为预条件子和其它方法（如Krylov子空间方法）相结合使用。

Krylov子空间方法具有存储量小，计算量小且易于并行等优点，非常适合于并行求解大型稀疏线性方程组。结合预条件子的Krylov子空间迭代法是目前并行求解大型稀疏线性方程组的最主要方法。

给定初值X0，求解稀疏线性方程组AX=Y。设Km为维子空间，一般投影方法是从m维仿射子空间X0+Km中寻找近似解Xm使之满足Petrov-Galerkin条件

Y-AXm┻Lm

其中Lm为另一个维子空间。如果Km是Krylov子空间，则上述投影方法称为Krylov子空间方法。Krylov子空间Km(A，r0)定义为：

Km(A，r0)=span{r0，Ar0，A2r0，…，Am-1r0}

选取不同的Km和Lm就得到不同的Krylov子空间方法。主要算法包括四类：基于正交投影方法、基于正交化方法、基于双正交化方法、基于正规方程方法。

Krylov子空间迭代法的收敛速度依赖于系数矩阵特征值的分布，对于很多问题，直接使用迭代法的收敛速度特别慢，或者根本不收敛。因此使用预条件改变其收敛性，使中断问题可解，并加速收敛速度是需要的。目前人们研究的预条件技术可分为四类：采用基于矩阵分裂的古典迭代法作为预条件子、采用不完全LU分解作预条件子、基于系数矩阵近似逆的预条件子、结合实际问题用多重网格或区域分解作预条件子。对Krylov子空间和预条件Krylov子空间方法有详细的讨论。

预条件Krylov子空间方法的并行计算问题一直是研究热点，已提出了一系列好的并行算法。目前预条件Krylov子空间方法的计算量主要集中在矩阵向量乘上。虽然学者们做了大量的研究工作，但是还没找到效果好，又易于并行的预条件子。

需要特别指出的是，对于一般线性代数方程组的并行求解，其可扩展并行计算的研究已相对成熟，并已形成相应的并行软件库，如美国田纳西亚州立大学和橡树岭国家实验室研制的基于消息传递计算平台的可扩展线性代数程序库ScaLAPACK和得克萨斯大学开发的界面更加友好的并行线性代数库PLAPACK。我们借鉴其研究成果和研究方法，对三对角线性方程组并行算法的研究是有帮助的。

五、结语

三对角线性方程组的直接解法，算法丰富，程序较容易实现。但计算过程要增加计算量，并且大部分算法都对系数矩阵的要求比较高。迭代解法适合于非零元素较多的情况，特别是结合预条件子的Krylov子空间迭代法已成为当前研究的热点。

尽管三对角系统并行算法的研究取得了很多成果。但是还存在一些问题：直接法中，分治策略带来计算量和通信量的增加，如何减少计算量和通信量有待于进一步的研究；目前直接算法均基于分治策略，如何把其它并行算法设计技术，如平衡树和流水线等技术应用到三对角系统的并行求解中也是需要引起重视的方向；对于非对称系统还没找到一种通用的Krylov子空间方法；Krylov子空间方法的并行实现时仅考虑系数矩阵与向量乘，对其它问题考虑不够；以往设计的并行算法缺乏对算法可扩展性的考虑和分析。

三对角范文篇8

三对角线性方程组的求解是许多科学和工程计算中最重要也是最基本的问题之一。在核物理、流体力学、油藏工程、石油地震数据处理及数值天气预报等许多领域的大规模科学工程和数值处理中都会遇到三对角系统的求解问题。很多三对角线性方程组的算法可以直接推广到求解块三对角及带状线性方程组。由于在理论和实际应用上的重要性，近20年来三对角方程组的并行算法研究十分活跃。

大规模科学计算需要高性能的并行计算机。随着软硬件技术的发展，高性能的并行计算机日新月异。现今，SMP可构成每秒几十亿次运算的系统，PVP和COW可构成每秒几百亿次运算的系统，而MPP和DSM可构成每秒万亿次运算或更高的系统。

高性能并行计算机只是给大型科学计算提供了计算工具。如何发挥并行计算机的潜在性能和对三对角系统进行有效求解，其关键在于抓住并行计算的特点进行并行算法的研究和程序的设计与实现。另外，对处理机个数较多的并行计算系统，在设计并行算法时必须解决算法的可扩展性，并对可扩展性进行研究和分析。

二、问题的提出

设三对角线性方程组为

AX=Y（1）

式中：A∈Rn×n非奇异，αij=0，。X=(x1，x2，…xn)TY=(y1，y2，…yn）T。

此系统在许多算法中被提出，因此研究其高性能并行算法是很有理论和实际意义的。

三、并行求解三对角系统的直接解法

关于三对角线性方程组的直接求解已经有大量并行算法，其中Wang的分裂法是最早针对实际硬件环境，基于分治策略提出的并行算法。它不仅通信结构简单，容易推广到一般带状线性方程组的并行求解，而且为相继出现的许多其它并行算法提供了可行的局部分解策略。

近20年来求解三对角方程组的并行算法都是基于分治策略，即通过将三对角方程组分解成P个小规模问题，求解这P个小规模问题，再将这些解结合起来得到原三对角方程组的解。一般求解三对角方程组的分治方法的计算过程可分为3个阶段：一是消去，每台处理机对子系统消元；二是求解缩减系统（需要通信）；三是回代，将缩减系统的解回代到每个子系统，求出最终结果。具体可分为以下几类：

（一）递推耦合算法（RecursiveDoubling）

由Stone于1975年提出，算法巧妙地把LU分解方法的时序性很强的递推计算转化为递推倍增并行计算。D.J.Evans对此方法做了大量研究。P.Dubois和G.Rodrigue的研究表明Stone算法是不稳定的。

（二）循环约化方法（CyclicReduction）

循环约化方法由Hockey和G.Golub在1965年提出，其基本思想是每次迭代将偶数编号方程中的奇变量消去，只剩下偶变量，问题转变成求解仅由偶变量组成的规模减半的新三对角方程组。求解该新方程组，得到所有的偶变量后，再回代求解所有的奇变量。即约化和回代过程。由于其基本的算术操作可以向量化，适合于向量机。此方法有大量学者进行研究，提出了许多改进的方法。例如，Heller针对最后几步的短向量操作提出了不完全循环约化方法；R.Reulter结合IBM3090VF向量机的特点提出了局部循环约化法；P.Amodio针对分布式系统的特点改进了循环约化方法；最近针对此方法又提出对三对角方程组进行更大约化步的交替迭代策略。

（三）基于矩阵乘分解算法

将系数矩阵A分解成A=FT，方程Ax=b化为Fy=b和Tx=y两个方程组的并行求解。这种算法又可以分为两类：

1.重叠分解。如Wang的分裂法及其改进算法就属于这一类。P.Amodio在1993年对这类算法进行了很好的总结，用本地LU、本地LUD和本地循环约化法求解，并在1995年提出基于矩阵乘分解的并行QR算法。H.Michielse和A.VanderVorst改变Wang算法的消元次序，提出了通信量减少的算法。李晓梅等将H.Michielse和A.VanderVorst算法中的通信模式从单向串行改为双向并行，提出DPP算法，是目前最好的三对角方程组分布式算法之一。2000年骆志刚等中依据DPP算法，利用计算与通信重叠技术，减少处理机空闲时间取得了更好的并行效果。此类算法要求解P-1阶缩减系统。

2.不重叠分解。例如Lawrie&Sameh算法、Johsoon算法、Baron算法、Chawla在1991年提出的WZ分解算法以及Mattor在1995年提出的算法都属于这一类。此类算法要求解2P-2阶缩减系统。

（四）基于矩阵和分解算法

将系数矩阵分解成A=Ao+△A，这类算法的共同特点是利用Sherman&Morrison公式将和的逆化为子矩阵逆的和。按矩阵分解方法，这种算法又可分为两类：

1.重叠分解。这类算法首先由Mehrmann在1990年提出，通过选择好的分解在计算过程中保持原方程组系数矩阵的结构特性，具有好的数值稳定性，需要求解P-1阶缩减系统。

2.不重叠分解。Sun等在1992年提出的并行划分LU算法PPT算法和并行对角占优算法PDD算法均属于这一类。需要求解2P-2阶缩减系统。其中PDD算法的通讯时间不随处理机的变化而变化，具有很好的可扩展性。X.H.Sun和W.Zhang在2002年提出了两层混合并行方法PTH，其基本思想是在PDD中嵌入一个内层三对角解法以形成一个两层的并行，基本算法是PDD，三对角系统首先基于PDD分解。PTH算法也具有很好的可扩展性。

四、并行求解三对角系统的迭代解法

当稀疏线性方程组的系数矩阵不规则时，直接法在求解过程中会带来大量非零元素，增加了计算量、通信量和存储量，并且直接法不易并行，不能满足求解大规模问题的需要。因此通常使用迭代法来求解一般系数线性方程组和含零元素较多三对角线性方程组。迭代法包括古典迭代法和Krylov子空间迭代法。

古典迭代法包括Jacobi、Gauss-Seidel、SOR、SSOR等方法。通常采用红黑排序、多色排序和多分裂等技术进行并行计算。

由于古典迭代法有收敛速度慢、并行效果不好等缺点，目前已较少用于直接求解大型稀疏线性方程组，而是作为预条件子和其它方法（如Krylov子空间方法）相结合使用。

Krylov子空间方法具有存储量小，计算量小且易于并行等优点，非常适合于并行求解大型稀疏线性方程组。结合预条件子的Krylov子空间迭代法是目前并行求解大型稀疏线性方程组的最主要方法。

给定初值X0，求解稀疏线性方程组AX=Y。设Km为维子空间，一般投影方法是从m维仿射子空间X0+Km中寻找近似解Xm使之满足Petrov-Galerkin条件

Y-AXm┻Lm

其中Lm为另一个维子空间。如果Km是Krylov子空间，则上述投影方法称为Krylov子空间方法。Krylov子空间Km(A，r0)定义为：

Km(A，r0)=span{r0，Ar0，A2r0，…，Am-1r0}

选取不同的Km和Lm就得到不同的Krylov子空间方法。主要算法包括四类：基于正交投影方法、基于正交化方法、基于双正交化方法、基于正规方程方法。

Krylov子空间迭代法的收敛速度依赖于系数矩阵特征值的分布，对于很多问题，直接使用迭代法的收敛速度特别慢，或者根本不收敛。因此使用预条件改变其收敛性，使中断问题可解，并加速收敛速度是需要的。目前人们研究的预条件技术可分为四类：采用基于矩阵分裂的古典迭代法作为预条件子、采用不完全LU分解作预条件子、基于系数矩阵近似逆的预条件子、结合实际问题用多重网格或区域分解作预条件子。对Krylov子空间和预条件Krylov子空间方法有详细的讨论。

预条件Krylov子空间方法的并行计算问题一直是研究热点，已提出了一系列好的并行算法。目前预条件Krylov子空间方法的计算量主要集中在矩阵向量乘上。虽然学者们做了大量的研究工作，但是还没找到效果好，又易于并行的预条件子。

需要特别指出的是，对于一般线性代数方程组的并行求解，其可扩展并行计算的研究已相对成熟，并已形成相应的并行软件库，如美国田纳西亚州立大学和橡树岭国家实验室研制的基于消息传递计算平台的可扩展线性代数程序库ScaLAPACK和得克萨斯大学开发的界面更加友好的并行线性代数库PLAPACK。我们借鉴其研究成果和研究方法，对三对角线性方程组并行算法的研究是有帮助的。

五、结语

三对角线性方程组的直接解法，算法丰富，程序较容易实现。但计算过程要增加计算量，并且大部分算法都对系数矩阵的要求比较高。迭代解法适合于非零元素较多的情况，特别是结合预条件子的Krylov子空间迭代法已成为当前研究的热点。

尽管三对角系统并行算法的研究取得了很多成果。但是还存在一些问题：直接法中，分治策略带来计算量和通信量的增加，如何减少计算量和通信量有待于进一步的研究；目前直接算法均基于分治策略，如何把其它并行算法设计技术，如平衡树和流水线等技术应用到三对角系统的并行求解中也是需要引起重视的方向；对于非对称系统还没找到一种通用的Krylov子空间方法；Krylov子空间方法的并行实现时仅考虑系数矩阵与向量乘，对其它问题考虑不够；以往设计的并行算法缺乏对算法可扩展性的考虑和分析。

三对角范文篇9

引入新课，就是通过各种方法引出所要讲述的课题，把学生领进学习的“大门”。如果一堂课的开始教师生动活泼、引人人胜地导入新课，学生就会兴趣盎然、精神集中地投入新课的学习，就会产生更好的教学效果。如果每天都重复着那句单调而乏味的语言“今天我们讲xxx”来引入新课，学生则会听而不闻，旁若无事。学生在这种涣散和无意识的心理状态下是不可能集中精力把课听好的，因此也就不会获得良好的教学效果。

在实际教学活动中，有些教师对新课引入的作用认识不足，认为新课引入无足轻重，也有的是没有掌握引入新课的方法和技巧，缺少必要的知识和资料。为解决好这些问题，有必要探讨一下新课引入在教学中的意义及其所采用的方法。

一、引入新课的作用

1．能吸引学生的注意力。好的新课引入能强烈地吸引学生的注意力。注意是心理活动对一定对象的指向和集中。人的注意力在高度集中时，大脑皮层上的有关区域便形成了优势兴奋中心，对所注意的事物专心至致，甚至会忘掉其余一切。人的注意力越集中，对周围其他干扰的抑制力就越强，因此这时接受信息的信噪比特别高，信息的传输效率也最高，这时人对事物观察得最细致，理解得最深刻，记忆得最牢固。所以教学中教师应在学生进入教室后情绪尚未稳定、注意力尚未集中之前，运用适当的手段或方法使学生的注意力尽快集中到对数学知识的学习上来。反之，如果教师在刚上课时，不注意引课技巧，不能唤起学生的注意力，就如《大学》中指出的：“心不在焉，视而不见，听而不闻，食而不知其味。”这就更谈不上学习了。

2．能激发学生的学习兴趣。学习兴趣是一个人力求认识世界，渴望获得文化科学知识的积极的意向活动，只有对所学的知识产生兴趣，才会产生学习的积极性和坚定性，古人云“知之者不如好知者，好知者不如乐知者”正是这个道理。古今中外的科学家、发明家无一不是对所探讨的问题有浓厚的兴趣才获得最后成功的。所以爱因斯坦说，兴趣是最好的老师。

3．能承上启下，使学生有准备、有目的地进入新课的学习。好的新课引入，应该起到复习旧知识，引入新知识，在新旧知识之间架起桥梁的作用，从而为学生学习新知识铺平道路，明确目标，打下基础。

4．能为新课的展开创设学习情境。良好的新课引入可以起到创设生动活泼的学习情境，使学生的情绪愉快地进入学习过程，为新课的展开创设良好的条件。

二、引入新课的一般方法

1．直接引入法。即在上课时直接说出所要讲述的课题。直接引入法最简单容易，但引入效果一般都不好。它不易提出具体的学习目标，因为所提出的新课题对学生来说都是陌生的，使学生感到茫然，不能集中思维和注意力，缺乏学习的心向。经常用此法引入，会使学生感到枯燥乏味，不会产生学习的兴趣。因此，在一般的情况下，不宜采用此法。

2．问题引入法。即针对所要讲述的内容，提出一个或几个问题，让学生思考，通过对问题造成的悬念来引入新课。问题引入法用比较积极的形式提出了与所要学习课题有关的问题，点出了学习的重点，明确了学习的目标，从而使学生的思维指向更为集中，积极地期待着问题的解决。问题引入法一般用于前后知识相互联系密切的新授课教学，或本节所研究的内容与学生日常生活紧密相关的新课。在学生已有的知识或熟知的现象为基础的前提下，提出学生似曾相识，但欲言而又不能的问题，吸引他们的注意力，刺激求知的渴望。如讲“三角形全等的判定公理”，可先让学生想这样的问题：两个三角形全等，一定要三对边、三对角对应相等吗?能不能少点条件使判断简单?这样学生会怀着强烈的学习要求和欲望去探索新的方法。

三对角范文篇10

关键词：中学数学；智慧课堂；有效导入

由于数学自身特点，它除了抽象、深奥的概念、定义、公式等，就是一些看似枯燥的符号、数字，所以让学生学好数学就要在学生的兴趣上下功兴。俗话说：“好的开始是成功的一半”，为了课堂教学效率，也为了学生学习的兴趣和积极性，数学教师开始应用想法用有趣、启发性的导入方式，快速把学生代入课堂教学的内容中，调动学生热情。作为数学教师，我也想借此谈谈导入艺术在数学智慧课堂教学中的应用，与大家互相学习。

一、导入艺术在数学智慧课堂教学中的作用

（一）能有效激发学生学习数学的兴趣

既然是想要把学生带入课堂教学内容的导入环节，那么无论是采用任何一种方式导入，目的都是为了激发学生兴趣，调动学生学习的积极性。孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”兴趣是学生学习数学的动力，也是学好数学的信心。作为数学教师，在设计导入内容时，要融入大量激发学生兴趣的元素，让学生在有趣的导入中提起兴趣，积极投入学习的过程中。

（二）能有效吸引学生课堂学习的注意力

大多数学生都知道课堂时间的宝贵性，何况课堂上教师讲授新课的时间超不过30分钟。可是有些学生由于天性的原因就是集中不了注意力，导致课堂学习效果不佳，成绩不高，影响升学和以后的成长和发展。所以，作为数学教师为了有效吸引学生的注意力，在教学前就设计了有趣味性、启发性的导入，激发学生的求知欲，打开学生探究的意识和热情，让学生快速融入课堂教学内容，为接下来的教学做好充分准备，使学生能在学习的过程中，进入内容，理解内容，掌握重点，深化自己的知识基础，从而促进课堂教学质量的提升。

二、导入艺术在数学智慧课堂教学中的应用

（一）巧用问题的方法导入

问题是数学的灵魂。对于学生来说在学习数学中不断发现问题，解决问题，甚至探索更多解决问题的途径和方法，是学生积累数学知识，提高学习能力的主要途径。在课堂导入中，针对课堂教学内容巧用一个问题或几个问题进行导入，既能一下子引起学生思考，又能给课堂教学制造一种悬念，引起学生的求知欲，好奇心，同时还告诉了学生课堂学习的重点，明确了学习的目标，让学生的思考有了方向，并在学习中寻找解决问题的方法，促进学生参与、理解，增长知识。例如，在给学生准备讲授“三角形全等的判定公理”时，教师就可以在导入环节给学生一个问题：“两个三角形全等，一定要三对边、三对角对应相等，是不是？有没有更简单的判断标准，也就是少点条件呢?”有了这样的问题引导，学生对接下来的学习内容就充满了期待和好奇，他们一定会注意寻找问题的答案，完成课堂学习任务。

（二）巧用温故的方法导入

大多数教师在上新课时都会带领学生回顾一下以前的知识，其实这就是一种温故的导入方式。只要教师能在教学中科学、合理地运用温故导入的方式，既能激发学生学习的兴趣，调动学生学习的积极性，更能使旧知识与新内容达到衔接，让学生在回顾复习了前一节课的内容的同时，提高了对知识的学习信心，增强了理解能力。例如，在给学生讲授“平行四边形的判定”时，先给学生复习“平行四边形的性质”，如，“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”“平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心”等，这就为学生学习“平行四边形的判定”做好了铺垫，使课堂教学更加有效。

（三）巧用联系实际的方法导入

知识源于生活用于生活，数学更是。在数学教学中为了增强学生对数学内容的兴趣和理解，拉近学生与数学这门学科的距离，教师在导入时要巧用联系实际的方法，增强学生对数学的亲和感，让学生结合自己熟悉的生活实际，理解教学内容，认识数学知识。例如，在给学生教学“顺流逆流”类的应用题时，我就结合学生平时熟悉的生活情境问学生：“同学们，你们在河流中游泳的时候，有没有注意到是往上游快呢，还是往下游快呢？为什么？你们想知道原因吗？”学生在熟悉的问题面前一下子就提起了兴趣，不再觉得数学知识乏味、枯燥，大大增强了学习效果。这种联系生活的导入方式，既能让学生对抽象、难懂的数学产生亲切感，又能让学生结合直接的经验，增加对知识的理解，提高学生学习的信心，保证课堂学习质量。

（四）巧用故事的方法导入

中学生由于年龄的关系，对于故事性的东西还是比较感兴趣。为了普及数学知识，理解数学知识，也有很多数学故事应运而生，如数学的发展史、数学家的故事、益智数学故事等等，这些都不同程度地帮助了数学教学的顺利进行和课堂教学效率的提高。实践证明，在导入环节巧用故事导入方法，有利于激发学生对数学的学习兴趣，拓展学生思维、扩大学生知识视野，调动学生学习数学的主动性、积极性、创造性，增强学生的思维逻辑，丰富学生的想象力，活跃课堂学习气氛，提高课堂教学效率。例如，我在观看一段视频教学时，看到一位教师在给学生讲《勾股定理》这一节的内容之前，先用有趣的语言和绘声绘色的夸张描述，给学生介绍中国古代在勾股定理研究方面的成就，介绍当下世界上许多科学家正在试探寻找其他星球的“人”，还提出了《三体》向宇宙发信号的故事等。在这些成就和故事的引导下，学生对《勾股定理》的内容产生了浓厚的兴趣，不但想知道勾股定理究竟是什么，而且还让没读过《三体》的学生想通过阅读了解数学在科学领域中的价值和作用。如此，大大促进了学生学习数学、了解数学的欲望，为以后更好的课堂教学做好了充分的准备。

参考文献：

[1]施冬梅.谈初中数学课堂的“有效导入”[J].时代教育，2008（2）.