高等代数教学培养学生的数学思维

一、高等代数教学中的数学思维概述

（一）抽象思维。数学中的抽象思维主要就是指对于数学知识、定义、常规认知的思维延伸，其表现的是数学本质及客观发展的深远过程。在高数课程中，其理论上的内容都来源于对于数学实例的解读，通过不断总结，找到其中的规律及相同特征。例如，高数中的定积分理论，可将其表示为某函数图像在坐标系中特定范围内的面积，其上下限则是坐标区间的A和B两端点，因而我们可发现定积分的本质是图像的细分，但是通过对著名的牛顿布莱尼茨定理的解读，我们可从中发现思维理论的支撑，通过该定理延伸到定积分，将定积分的表达形式与积分连接在一起，得出确切概念。（二）具象思维。具象思维的主体主要倾向于形象及表象，指的是人们对于事物的具象认知。在认识世界的过程中，针对事物的表象及具体特征进行分析、概括、综合，最终形成的直观思维方式。在面对问题时，这种思维方式可快速做出直观的反应，揭露其本质。因此，在高数教学中想要培养学生的数学主观判断力就必须重视对具象思维的引导及塑造。例如，在学习“一元复合函数及多元复合函数求导”课程时，因其函数中包含诸多变量，在求导过程中就存在很多复杂的解题步骤，此时便可充分利用具象思维，将解题思路先用树形图的形式表现出来，然后根据求导法按部就班地完善求导过程，这样一来，即使是复杂的复合函数也会迎刃而解。（三）辩证思维。辩证思维通常被认为是与逻辑思维对立的一种思维，其思维方式建立在事物客观联系的基础上，通过对客观事物的辩证思考从而得出相应结论。高数课程中处处包含着辩证思维，如高数中的直线与曲线。在人们的常规意识中，直线与曲线本是两个不同概念，而在高等代数中的某种特定条件下，直线与曲线的概念是相同的，且用曲线代替直线是微积分学习中的重要解题思想。因此，在高数学习中，辩证思维往往会帮助学生解决众多疑难问题。（四）创新思维。创新思维是一种带有个人思想特征的思维形式，其通常产生在客观事实与常规理论的基础之上，通过新颖的思考方式及创造思维的发散而形成新的思维成果。创新思维从某种意义上可以看作是具象思维、辩证思维及抽象思维的创造综合体，而这也正是高数解题思维中最为重要的部分。高数教学对学生创新思维的塑造是相对的，它没有设定等级上的要求，学生如果能在学习中自发总结出新的解题思维或是革新了常规的数学思维，无论其价值高低，对学生来说，都是对其数学思维能力的创新突破[1]。（五）类比思维。类比思维是一类事物具有某种属性，根据这种已知的属性，能够推测出与其类似事物的属性。类比既是一种科学的研究方法，也是一种有效的教学方法。比如，数域P上的一元多项式环P[x]与整数集Z，对于加法、减法、乘法运算都封闭，且对于除法都不封闭。此时整除不管是在P[x]中，还是在整数集Z中都占有重要地位。从P[x]和整数Z的相似属性，通过类比能够推测多项式整出理论与整数的整除理论相似。那么接下来从以下两个方面进行分析[2]。首先，在多项式带余除法、整除、最大公因式、互素及不可约多项式等概念与性质的讨论中，应该举一些学生所熟悉的例子，如整数的带余除法、整除、最大公因式、互素等，能够更好地帮助学生理解多项式的相关知识。比如，在不可约多项式概念的教学中，把不可约多项式与素数相类比，由素数P只讨论大于1的自然数，0和1既不是素数也不是合数，理解不可约多项式只讨论数域P上次数≥1的多项式P（x），而对于零多项式与零次多项式，既不讨论它们是可约的，也不讨论它们是不可约的；由素数P的正因数只有1和P，理解不可约多项式P对的因式只有1和P，理解不可约多项式2018年7月P（x）的因式只有c和cp（x），（c∈p，c≠0）。其次，在整系数多项式的讨论研究中，会涉及整数整除理论的一部分性质，此时，教师可以通过与多项式相关知识的类比，得到整数相关知识。

二、在高等代数教学中培养学生数学思维的策略

（一）培养学生积极的数学学习态度。教师在教学中要注重管理学生学习高数的态度，着重加强学生对于高数的整体认知、提高其数学审美意识、化解其不良学习风气，以保证其处于积极向上的学习状态。为了达到此目的，教师首先应完善自身教学手段，优化个人素养，通过真诚的情感交流及丰富的数学知识储备来感染学生。另外，教师自身要具备积极的教学态度，争取将乐观的状态传递给学生，帮助其正确看待高等数学的学习。除了利用有限的课堂教学时间，教师还可在课后组建高数学习小组、建立互联网学习群组，将高等代数深入学生的生活当中。（二）为数学思维培养营造良好的学习环境。在培养学生上述数学思维的过程中，教师应该为学生营造一个积极的教学环境。良好的教学环境更加有利于激发学生的数学思维，进而促进其数学思维的形成和构建。1.学生数学思维培养要以学生为中心。这就需要教师积极转变传统的教学观念、教学模式，运用多种教学手段充分发挥学生在课堂中的主体作用，让学生能够有更多的机会自主学习、合作学习、探究学习，在一个轻松、自由、平等、和谐的课堂氛围中来学习相应的知识，同时，也为培养学生数学思维奠定基础。2.良好的师生关系是激发学生数学思维的动力。首先，教师应该多与学生进行沟通和交流，消除学生对教师的恐惧心理。还要鼓励学生在课堂上独立思考、敢于发言，大胆表达与别人不一样的意见。对于学生的一些奇思妙想，教师不应该全盘否定，即使是学生错误的想法，也不应该给予批评而应该给予精神上的鼓励并帮助他们找出错误的原因及解决措施。最终在组织学生参与课堂教学活动、全面发现问题、思考问题、分析问题的过程中，促进其创造性思维的培养和提高。（三）通过概念教学启迪学生的数学思维。数学教学离不开数学概念，那么数学思维培养同样也与概念教学有着深深的联系。高等代数中，很多数学概念都有一定的推理依据，都源于现实生活中的实际问题。因此，教师在概念教学中，要引导学生认识概念并对感性材料进行分析、概括，创设思维情境，为启迪学生数学思维奠定基础。同时，也需要学生结合旧知识来加深对新知识概念的理解，在大脑中进行复杂的理性思维活动，这样，学生的思维能力就会不断巩固和提升，最终达到启迪学生数学思维的目的[3]。（四）培养学生创造性思维。高数中的创造性思维对于学生的学习来说是极为宝贵的，很多学生在长久的数学学习过程中，已经习惯在课堂中被动接受知识，而忽略锻炼主动思考与探索的能力，实际上，创造性思维可辅助学生改变固有的数学思维定式，在原有基础上探索新知，发现新的领域，这种复杂的思维活动可令其提升对于数学的研究兴趣。很多教育学家认为，提出问题的重要意义远大于解决问题，只有产生质疑，才表示对于问题进行了深入的思考。因此，教师在授课中要鼓励学生大胆提出质疑，加强提问训练，这对学生发散思维具有良好的推动作用。例如，在学习高数中的中值定理时，教师可引导学生将拉格朗日定理与罗尔定理进行对比，发现二者之间的数学关联，并思考如何通过罗尔定理的内容与结论来证明出拉格朗日定理。（五）采用启发式的教学方式。教师在传授知识时不应只局限于当前的例题或知识点，而是要结合当前教学内容延伸出同一类型的启发性内容，引导学生不断思考，努力寻找解题的切入点。在这种启发式教育的带动下，学生不仅掌握了数学问题的本身，还可透过例题发现更多同类型知识点，逐渐掌握高数的学习技巧。1.鼓励学生大胆猜想。在学习高数的过程中，学生可以凭借自己的直觉思维对数学题目进行初步探索，进而延伸出后续的解题步骤。例如，在学习“二重积分和曲线积分”内容时，教师可引导学生对二者之间的联系进行大胆假设和猜想，结果显示，很多学生的猜想很接近正确的方向，最大限度地提升了学生学习数学的信心。2.充分训练发散思维。发散思维是以创造性思维作为基础的延伸产物，其占领着数学思维的主导位置。由于很多高数问题都具备复杂的知识链条，所以学生的解题思路不应过于简单，而是要充分发散思维，多角度看待问题，寻求各种可能的方式。如在解决导数的问题时，在常用的定义法行不通时，便可考虑公式法、隐函数法、对数法等其他解题思路。3.充分利用逆向思维。逆向思维方式又被称为求异思维，其主要强调反其道而行之，对常规事物进行反向思考，从而得出新的见解与理论。在某些高数问题中，此种思维的应用往往可使很多难题顺利破解。因此，教师在教学中要注重强调数学知识的双面教学，学生养成反向思考的惯性思维，将题目中的可逆性原则一一传授给学生。

三、结语

在高等代数教学中融入数学思想，是提高学生逻辑思维及解题能力的关键。在21世纪，社会需要的是复合型高素质人才那么，学生高等代数数学思想的培养就显得更加重要。通过对文章的研究，笔者希望能够为相关教育工作者提供一些建议和参考。

参考文献：

[1]李胜平,徐斌.高等代数教学改革的探索与实践[J].普洱学院学报,2013,29(6):81-84.

[2]许安涛,范志勇.从高等代数教学改革实践谈高师数学教学改革[J].廊坊师范学院学报(自然科学版),2013,13(5):97-100.

[3]钟朝艳.高等代数发展数学思维工具的功能研究[J].科教导刊(上旬刊),2013(9):189-190.

作者:马俊梅 单位:山西财经大学应用数学学院