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高中数学解题中代换法的应用

一、引言

高中数学题里面往往存在很多个变量或者是未知的条件,这些条件的存在增加了解题的难度,同时也使得数学题变得更加的复杂、难以解答。因此,要想有效的解决这些问题,我们可以利用代换法的方式,给数学解题更换新的解题思路。将一些复杂的、困难的问题转化成相对简单的、容易解答的问题。其中我们在数学题的解答过程中常用的代换法就有函数代换、等量代换、变量代换等。因此,只有科学合理的掌握的这些代换法的使用,我才能进一步提高自己对数学难题的解答水平。

二、首先,分析代换法在高中数学三角函数中的应用

三角代换是高中数学所学知识当中的重点内容,三角代换的重点是利用合适的三角代换将代数表达式变成三角表达式,从而达到解题的目的。例①:如果不等式√x+√y≤k√(2x+y)对任何正实数x、y均成立,求k的取值范围。解:首先在不等式两侧全都除以√y,由此式子变为:√(x/y)+1≤k√(2x/y+1)①第二步:设√(x/y)=(1/√2)tanθ(0<θ<π/2)然后在①式当中带入x/y=1/2tan2θ,此时得到:(1/√2)tanθ+1≤k√(tan2θ+1)等价于k/cosθ≥(1/√2)•(sinθ/cosθ)+1化简可推出:k≥(1/√2)sinθ+cosθ因为(1/√2)sinθ+cosθ=(√6/2)sin(θ+α)且α被tanα=√2(α为锐角)确定。因此,当sin(θ+α)=1时,(1/√2)sinθ+cosθ存在最大值,且为√6/2。由此可知k≥√6/2,所以k值取值范围是[√6/2,+∞)。

三、其次是在高中数学函数知识当中运用变量解题代换法解决问题

函数本身就比较复杂,在解题中我们经常被复杂的函数式所迷惑,所以在解答的时候应该利用代换法简化复杂的函数式。例②:已知a不等于0,等式为1/2f(2/a)+3f(a/3)=a/2-17/2,求f(a)解:设2/a=d/3、a/3=2/d,且a=2/d由此可以推断出f(a)=a-2/a。由此得到问题的答案。

四、然后是在高中数学概率问题中应用等量代换法

概率问题一直是我们学习的难点,由于概率问题涉及面广,需要较强的分析能力,所以我们在学习的过程中,必须具有高度敏捷的思维,并需要搭配有效的解题方法才能够有效的解决问题。例③:某个箱子里面存在8个红球、4个白球,这些球只有颜色不同,其他的都相同。问,若某人随意的在这个箱子里面拿出5个球,此时拿出红球的概率应该是多少呢?解析:设摸出的红球有X个根据题意可知p(x=3)=C38C24/C512=14/33≈0.42421。答:随机的从箱子里面拿出5个球,摸出红球的概率为0.42421。例④:XXX市区有一个超大型商场,最近在举办促销活动,活动规则明确说明抽奖的大箱子里面有10个号码各不相同的乒乓球,其中8个白色球、2个黄色球,每一位顾客都可以随机的拿出来两个球,若都是黄色就是一等奖;问,顾客能摸出一等奖的概率是多少。解:首先设顾客摸出一等奖的概率为f(x),其次,要从10个球中摸出任意两个球的概率为。再次,从两个黄球中摸出两个黄球的概率是。由此可以推断顾客在摸球的时候,要想全部摸出黄球的概率f(x)=C22/C210=1/45。所以,顾客能够摸出一等奖的概率为1/45。

五、最后是利用比值代换解决高中数学方程问题

要想利用比值代换去解决数学中存在的问题,那么题中的已知条件或者是所求的量和变量之间就应该存在一定的关系。例⑤:若某直线经过点(-3,5,9),并且与直线L1/L2相交,L1=:y=3x+5z=2x-3,L2=y=4x-7z=5x+10,求此直线的方程。解:第一步,设该直线的方程式是:x+3/I=y-5/m=z+9/n使x+3/l=y-5/m=z+9/n=t,则可以推断出x=-3+Ity=5+mtZ=-9+nt,此时将该公式全部带入到直线方程L1当中,由此可得:(m-3I)=1n=2I然后使x+3/I=y-5/m=z+9=s此时可以推断出x、y、z分别为-3+Is、5+ms、-9+ns。接着将x、y、z的值代入到L2中,此时可以得到等式(m-4I)s=-24(n-5I)s=4经化简推论出m-4I/n-5I=6此时在式子(m-4I)/(n-5I)=-6中代入n=2I,取出m=22I;然后令I=1,此时可以推论得出m=22、n=2由此可知,直线方程f(x)=x+3=y-5/22=z+9/2。

六、结语

综上所述,我这次对高中数学解题中常用的集中代换法进行了详细的作答,并通过有理有据有节的解题思路,正确的阐释了代换法灵活应用的方法。只有这样,作为学生的我才能够不断的提高自己的数学学习水平、提升自己的数学知识综合运用能力。

作者:陈日升 单位:湖南省益阳市箴言中学1419班

参考文献:

[1]李丽.变量代换在求解一阶微分方程中的应用[J].山西大同大学学报(自然科学版).2012(04).

[2]蒋百华.浅谈变量代换法在高等数学中的应用[J].科技创业家.2012(20).

[3]李玉莲.代换法在高中数学解题中的巧妙应用[J].数理化学习.2015(06).

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