谈论微积分在经济学中的运用及经济意义

摘要：微积分作为数学知识的基础,是学习经济学的必备知识,着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用,计算边际成本、边际收入、边际利润并解释其经济意义,寻求最小生产成本或制定获得最大利润的一系列策略。

关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值

1导数在经济分析中的应用

1.1边际分析在经济分析中的的应用

1.1.1边际需求与边际供给

设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量,P为商品价格）,则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数,简称边际需求。类似地,若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量,P为商品价格）,则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数,简称边际供给。

1.1.2边际成本函数

总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本,其经济意义为：当产量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。

1.1.3边际收益函数

总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．

R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。

1.1.4边际利润函数

利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润,其经济意义是：当产量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则利润将相应增减L’(Q0)个单位。

例1某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数,C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元,求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。

解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：

R（Q）=20Q

L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）

=-Q2+30Q-20

L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30

则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为

L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；

L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；

L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；

以上结果表明：当月产量为10吨时,再增产1吨,利润将增加1万元；当月产量为15吨时,再增产1吨,利润则不会增加；当月产量为20吨时,再增产1吨,利润反而减少1万元。

显然,企业不能完全靠增加产量来提高利润,那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？

1.2弹性在经济分析中的应用

1.2.1弹性函数

设函数y=f(x)在点x处可导,函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比,当Δx→0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率,或称为弹性函数。记为EyExEyEx=limδx→0

ΔyyΔxx=limδx→0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)

在点x=x0处,弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值,简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处,当x产生1%的改变时,f（x）近似地改变EExf(x0)%。

1.2.2需求弹性

经济学中,把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。

对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）),由于价格上涨时,商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数,ΔP与ΔQ异号,所以特殊地定义,需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)

例2设某商品的需求函数为Q=e-p5,求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。

解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；

(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2

η(3)=0.6<1,说明当P=3时,价格上涨1%,需求只减少0.6%,需求变动的幅度小于价格变动的幅度。

η(5)=1,说明当P=5时,价格上涨1%,需求也减少1%,价格与需求变动的幅度相同。

η(6)=1.2>1,说明当P=6时,价格上涨1%,需求减少1.2%,需求变动的幅度大于价格变动的幅度。

1.2.3收益弹性

收益R是商品价格P与销售量Q的乘积,即

R=PQ=Pf(p)

R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)

所以,收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η

这样,就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上,收益弹性与需求弹性之和等于1。

（1）若η<1,则EREP>0价格上涨（或下跌）1%,收益增加（或减少）(1-η)%；

（2）若η>1,则EREP<0价格上涨（或下跌）1%,收益减少（或增加）|1-η|%；

（3）若η=1,则EREP=0价格变动1%,收益不变。

1.3最大值与最小值在经济问题中的应用

最优化问题是经济管理活动的核心,各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一,例如,在一定条件下,使成本最低,收入最多,利润最大,费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。

1.3.1最低成本问题

例3设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px,（常数m>0,n>0,p>0）,（1）问每批生产多少单位时,使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。

解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p,C’=2mx-n

令C’,得x=n2m,而C’’(x)=2m>0。所以,每批生产n2m个单位时,平均成本最校

（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m),又C’(x)=3mx2-2nx+p,C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以,最小平均成本等于其相应的边际成本。

1.3.2最大利润问题

例4设生产某产品的固定成本为60000元,变动成本为每件20元,价格函数p=60-Q1000（Q为销售量）,假设供销平衡,问产量为多少时,利润最大？最大利润是多少？

解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q

收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000

则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000

L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000

∵L’’(Q)=-1500<0∴Q=2000时L最大,L（2000）=340000元

所以生产20000个产品时利润最大,最大利润为340000元。

2积分在经济中的应用

在经济管理中,由边际函数求总函数（即原函数）,一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量,则采用定积分来解决。

例5设生产x个产品的边际成本C=100+2x,其固定成本为C0=1000元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。

解:总成本函数为

C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000

总收益函数为R(x)=500x

总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000,L’=400-2x,令L’=0,得x=200,因为L’’(200)<0。所以,生产量为200单位时,利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。

在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。

综上所述,对企业经营者来说,对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具,不但可以给企业经营者提供精确的数值,而且在分析的过程中,还可以给企业经营者提供新的思路和视角,这也是数学应用性的具体体现。因此,作为一个合格的企业经营者,应该掌握相应的数学分析方法,从而为科学的经营决策提供可靠依据。

参考文献

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［2］顾霞芳.浅谈导数在经济中的应用［J］.职业圈,2007,（4）.

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［4］褚衍彪.高等数学在经济分析中的运用［J］.枣庄学院学报,2007,（10）.