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高职数学数值计算方法研究

一般来说,使用高职数学来解决实际性的问题,就需要先了解它数值计算的方法,而研究高职数学中数值计算的方法有三个阶段:第一个阶段,你要对你所需要内容的原始数据进行搜索;第二个阶段,寻找原始数据各方面的联系,进行数学模型的建立;第三个阶段,对数学模型进行解析。因此,我们要不断将自己的计算能力提高,充分利用自己所了解的数学知识,来解决生活中遇到的难题,下面将为大家详细介绍高职数学中数值计算方法的问题。

1数值计算的关系

1.1数值计算与高职数学的关系。科学的计算方法可以解决许多问题,那么,高职数学是否可以完全达到科学的计算方法所需要的要求呢?又是否能够将数值计算的问题解决呢?经过对高职数学多年的学习与观察,发现高职数学主要关注的是数值的精确度。然而人们根本没有办法靠高职数学来计算出相关问题的分析值的,在这些实际问题面前,高职数学能解决的问题就非常力不从心了。因此,高职数学其实是没有办法达到科学的计算方法所需要的要求的。话虽如此,不过高职数学对于科学的计算方法来说,还是有许多帮助的,直接使用高职数学,可以推算出许多有用的信息,因此,我们可以从高职数学与数值计算方法的多种联系上面,对高职数学的教学方法进行进一步的改革,从而使科学的数值计算需求得到更大的满足,就样才能够更有效地解决生活遇到的各种问题。1.2数值计算法与现代科技的关系。在科技发达的今天,只要是与科学的数值计算方法有关的问题,全都算不上是真正的问题,只要用相关的软件进行分析,几乎都能得到有效的解决方法,有了这些软件,解决一些复杂的问题时,对我们计算分析时的要求也相对降低了不少。但是,这些高科技产品却又造就了一个致命的缺点,人们越来越依赖高科技软件等一系列相关的产品,对于基础的理论知识越来越不重视,导致了许多人理论知识严重缺乏,而理论知识的缺乏就容易造成面对这些强大的高科技软件时无从下手,也不知道该如何使用等情况。

2高职数学与函数的关系

2.1函数f(x)的平方逼近在高职数学中,这种方法不需要知道函数的具体值,只需要在一个区间内对函数进行分析,但是这种方式理论上还是相当复杂的,一般人们会直接使用结论对问题进行分析,不会对它的理论问题进行深究。经过人们的研究,人们发现了一种代数结构,即内积,人们认为只要在这个函数的集合中将它引入,就能够得到正交系Legen-dre,并得到相关的Fourier展开及最佳的平方逼近,这其中的理论性东西非常多,甚至非常复杂,因为人们将一些定理上面的证明省略了,只直接利用了它的结论。另外,Fourier展开与三角函数相比,要简单方便得多。另一方面,对于函数f(x),如果只了解几个点上函数值,那么函数便构成了散点图的条件,于是就有了离散型数据的该有的最佳平方逼近方面的问题。而处理这样的问题时,需要用到多元函数的内容,对于这种多次方函数的拟合,函数容易出现难以预计的变化,很大程度地影响了函数拟合后的准确性。2.2函数f(x)的展开式对于这一部分的内容,其实是高职数学中一些相关内容的总结。首先,在对函数的研究过程中,非常强调高职数学中涉及到的微分,一些相关公式以及Taylor级数方面的近似计算,归根结蒂这些相关知识点都是讲函数f(x)在一个点上的Tarlor展开式的不同情况而已。然后,在高职数学中,人们关注更多的是函数的展开式,用科学有效的计算方法主要可以解决两个方面的问题,即算法与算法误差。在这两个问题中,计算误差相对比较重要,但是它也更复杂,误差的大小直接影响到问题解决与否,因此,计算误差对实际问题的解决有着非常重大的意义。而对于计算误差的分析实际上就是对Taylor公式余项的研究,从而数值计算方法与高职数学间建立起了紧密的联系。2.3插值法插值法在高职数学中是一种比较重要和普遍的方法,它能够对函数进行数值计算,由于插值法的公式涉及到的理论知识与方法比较复杂,这里就以简单的两点Lagrange公式为例作介绍。在这种插值公式中,与高职数学的联系主要有两点,首先,在平面上的两点能够确定一直线,它的方程能够能够成为一个函数的线性逼近;然后,利用一些相关的定理能够推导出一些计算误差的表达式。人们还特意对两点间的距离与计算误差之间的关系作了详细的研究,因此,误差控制的问题得到了有效的解决。插值法也是用来解决函数计算问题的方法,而这一方法不同于最佳平方逼近的优势就在于它研究的是二者间的区别,插值法是以点概念来考虑误差问题的,它主要考虑的是一个点在一个区间内的误差,从而反映出整个函数值计算中所存在的误差。而最佳平方逼近是以区间概念来考虑误差问题的,从而反映出函数在整个区间内与最佳平方逼近间所存在的误差。

3高职数学与方程的关系

高职数学中的函数部分,不管你利用的是什么方法,其本质就是为了研究它的逼近问题,按照以上方法,如果能将逼近问题解决,那么我们就可以通过对插值法的运用,进一步解决微积分方程以及常微分方程的问题。3.1微分方程微分的数值计算与导数的数值计算都属于微分,不仅仅在高职数学中,包括其他学科,导数与微分的概念都是相当重要的。在高职数学中,微分与之有着非常紧密的联系。如果说,函数和它的插值间存在一系列的近似关系,那么只要运用高职数学中的“求导数运算”方法,就可以计算出它的微分公式。然而,一般来说,这种运算方式都会比较复杂,想要顺利得到余项表达式往往需要花费较多的时间与脑力。人们经过对这种方式的多次推导发现,只要将插值的节点值带入到方程中,然后再求出导数的结果,便能够顺利得到余项以及向前与向后两个微分公式。由于导数只是一种瞬间的概念,一旦出现节点的自变量取到的值差异较大的情况,所得到的微分值会出现比较大的误差,由此可见,这种微分方程的局限性还是比较大的。3.2积分方程在高职数学中,积分方程的基本考虑思想也是函数插值法,以两点插值为基础,便可进行积分运算。这部分内容非常简单,通俗易懂,另外有需要注意几点,即截断误差、代数精度概念以及Gauss积分经过反复的研究,人们发现积分概念与公式的推导,都离不开高职数学的内容,可见积分方程与高职数学也有着非常紧密的联系。3.3常微分方程如果能够拥有一系列等距节点,那么只要在一阶常微分方程中代入两点插值公式,舍去余项,就能够得出它的一阶常微分方程。按照上面所提内容,从高职数学的角度来看,人们还可以推导出函数的近似值的计算公式,即两点插值公式,而以上所提到的所有方程,它们的数值计算公式其实都是由这一个公式推导出来的。

4近似解与优化问题的关系

4.1近似解。在函数方程的表达式中,如果表达式非常复杂甚至方程很难求得精确值,在这种情况下,我们只能求出方程的近似解,这也是数值计算方法的重要内容之一。直接使用高职数学中的一些概念就能够得到求出方程近似解的多种方法。经过研究,人们发现,像那种比较简单的一般性方程求近似解的方法能够直接运用高职数学中的内容,即使使用高职数学中与求方程关系不太大的内容,都能够建立起方程求近似解的迭代法对高职数学还能够处理更多种类的方程求近似解的相关问题。虽然方程求近似解与高职数学有着紧密的联系,但是这种方法并非完全与高职数学相同,在高职数学中,计算方法关注的仅仅是算法是否收敛,而方程求近似解不仅关注这一点,它还关注算法收敛的速度,甚至它是如何加速的。为什么要关注这些呢?主要原因在于收敛的速度直接关系到迭代的次数,收敛的速度越快,迭代的次数相应地就会减少,计算量相对来说也会小一些;相反地,计算效率就会降低。因此,在关注数值计算收敛速度的同时,人们更应该对如何提高收敛速度进行思考。用高职数学知识的运用可以有效帮助解决这些问题,但是不能完全达到目的,人们应该更深入地对高职数学与数值计算进行研究,数值的计算方法主要考虑的问题主要有计算效率、算法以及计算误差,很显然,数值计算方法比高职数学更具有应用性。4.2优化问题。我们把优化问题与与方程求近似解的问题放一块进行关联,人们可以发现有些优化问题能够与高职数学或者数值计算方法建立起一种非常密切的联系。首先讨论下优化问题与高职数学间的联系。高职数学中,人们常常利用导数来对函数的性质进行研究,这其中便涉及到了一维以及多维优化方面的问题。另外,在高职数学中,还指出,多元函数增加最快的方向在梯度方向上,如果想要寻找最小极值点,只要使用负的梯度方向,建立起最快速下降法,这种方法也是解决优化问题中近似计算方法的一种有效的方法。然后要讨论的便是优化问题与方程求近似解之间的关系。一般而言,在一维优化问题下,需要用到函数在零点上的导数,在高职数学中,这算是一个比较常见的过程,说到底就是解方程。但是,很多时候,精确解并不容易求出,那么,在这种情况下,人们一般会运用近似解的方法来求方程f(x)=0的一阶导数。在高职数学中,多元函数的极值计算是一种相当复杂的问题。在遇到这种情况的时候,人们最常用的便是一维搜索法,其实,这种方法的本质依然是方程求解,更多的情况是求方程的近似解。按照上面所说的两点问题,我们可以发现最快速下降法通过建立负梯度方向上的一系列一维搜索,逐步进行迭代,不断寻找,直到找到能够满足精度要求下的最优值。

5结论

经过对以上内容的详细分析,我们可以看出高职数学中的数值计算在生活中起到了非常重要的作用,人们可以利用数值计算解决相当多的问题,因此,我们应该努力强化自己的数学知识,不断学习,不断吸取新内容,只有这样,社会才会得到更快的发展,社会经济能力才会更快地提升,对于现代的人们来说,数值计算的发展还有很长的一段路需要走。

参考文献

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作者:朱超武 单位:三门峡职业技术学院基础部

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