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谈音乐与数学的关系

摘要:本文对数学思维在音乐中音程、音符、和声、节奏和结构等方面的运用进行了初步分析,发现音乐与数学不仅有许多结合点,而且音乐与数学思维的结合所揭示的自然和谐统一规律,既是音乐理论所追求的美学价值,也是数学理论追求的美学价值。

关键词音程;音符;和声;节奏;结构

音乐与数学的渊源可追溯到古希腊时期。数学鼻祖毕达哥拉斯发现了音乐与数学的微妙关系,以数学来解释音乐,用弦来计算音程的度数,将音程分为协和与不协和两种,他认为数的原则是一切事物的原则。他的观点至今对我们解释音乐都有极大的影响。音乐中,音的排列、命名、时值、和声、结构等无不包含着“数”,而且这种“数”是在形象的变化中构筑、延伸、流动的某种线条,也就是说,音乐的根基是数与形的交融。

1音乐与数学在音的排列、命名、时值中的结合

在五线谱中,当我们按上行、下行排列将所有的音(也就是音列)放入数学中的坐标内,并将所有的音符看作点连起来,会发现他们组成了一条直线。并且随着这条直线的向右、向左延伸,乐谱中的音的音高也随之递增、递减。有兴趣的读者可以做个实验,把熟悉的音乐作品的音符按音高与坐标的对应画出其音乐曲线,你会惊奇地发现,美妙的音乐其音乐曲线的图形也是那样的优美。而在记录声音长短的音的时值中,音符的命名与音符的时值成反比。随着音符命名的增大,音符时值逐渐缩小,并且音符的命名与音符的时值都各自形成了等比数列:音符的命名:全(一)音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符、三十二分音符音符的时值:4、2、1、1/2、1/4、1/8音乐正是将这些相互联系、长短不同的音符组合在一起,形成了我们所熟悉的节奏。

2音乐与数学在和声中的结合

在表现音乐声响的和声中,更强烈地表现出了音乐与数学的微妙关系,也正式基于此,音乐理论作曲家姆尼兹•豪普德曼称音乐是流动的建筑。几何中,点组成线,线组成面,再由多个相交的面构成许许多多的立体图形。音乐同样是由音符组成音线,由音线组成不同的音面,从而形成立体的结构。在这个立体结构中,最重要的是和声。它是由几个音甚至更多个音组成的和音,并且这种多个和音连续进行。如果我们把开始的和音中的每一个音看作每条音线开始的点,并把相继而出的不同和音中的每个音看作构成不同音线中的不同的音点,这样就形成多条音线。音线与音线交错,音面与音面相交,就构成了立体的音乐。不同的作品形成不同的立体图形,这就使不同的作曲家具有了各自独特的风格,并且同一作家在同一时期的作品所构成的立体图形也大致相同,就形成了作曲家特有的音乐语言。曾有一位音乐家尝试将莫扎特的第39、第40、第41交响曲输入计算机,让电脑对其进行人工智能分析后,使电脑按分析出的特征进行创作,并将电脑创作出的仿莫扎特交响曲称为“第42交响曲”,引起了极大的反响,许多人甚至音乐学专家都信以为真。这是一个有趣的例子,但它足以说明不同的音乐风格是可以科学区分的,音乐的构成与数学有着密切的联系。

3音乐与数学在节奏中的结合

在构成音乐的三大要素之一的节奏中,也明显包含了数学的思维。在现代音乐中,作曲家更多地汲取了数学的思维方式。他们发展和演变了传统节奏记谱体系,提升了音乐的表现力。法国序列音乐大师梅西安的节奏理论,为作曲家开拓了新的思维方式。他依据人体、树叶、蝴蝶等天然存在的对称现象建立了“非逆行节奏”。这一节奏不仅体现在节奏片段中,而且也体现在整个作品的宏观节奏变化中。在这里仅举一个节奏片段:(对称轴):可以看出,这一节奏不仅体现出数学中量的变化(增减),而且体现出数学中形的对称,使现代音乐在变化节奏增强音乐表现力的同时仍然遵循整体平衡的美学原则。正如数学家G.马诺拉得出的结论:音乐的平衡对称现象也包含了明显的数学思想。

4音乐与数学在结构中的结合

音乐的结构明显具有数学的逻辑和推理思想,特别是伴随着菲波那契数列结构和0.618黄金分割点的产生,音乐的美就与之联系在一起了。菲波那契数列结构是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89其规律是每一项(从第三项起)都是前两项之和。而“黄金分割”在数学中的比例关系为较大部分与整体之比等于较小部分与较大部分之比,其比值为0.618。它们都与音乐的结构有着密切的联系。菲波那契数列在音乐作品中所表现出来的暂时的不平衡与局部的不对称,使音乐更具有的某种感召力和表现力。比如,匈牙利作曲家巴托克作品《弦乐、打击乐与钢片琴音乐》的第一乐章,全曲共89小节,从高潮点划分为两个部分,分别为55和34小节,按照作曲家对音色和强度的布局,我们将开始到高潮的部分(55小节)划分为34+21小节,将高潮到结尾的部分(34小节)划分为13+21小节。我们会发现这些小节数与菲波那契数字惊人的一致,并且小节的划分正是遵循了菲波那契数列结构的规律。而“黄金分割”在音乐结构中的运用更为广泛。比如,匈牙利作曲家巴托克作品《第一钢琴协奏曲》的第二乐章,总长为214小节,高潮点正好落在214×0.618=132小节处。

通过上述对音乐中所体现的数学思维的简单分析,我们发现音乐中处处体现了数学的数的语言、形的语言,体现了数学作为抽象艺术的严密的逻辑体系,体现了数学的美,即它的形式美、抽象美、逻辑美、对称美、和谐美。爱因斯坦形象地称这个世界可以由乐谱组成,也可以由数学公式组成。的确,音乐与数学思维相结合,所揭示的自然和谐的统一规律,是音乐理论所追求的美学价值,也是数学理论所追求的美学价值。

作者:常沁怡 单位:上海大学

参考文献:

[1]兰德卫.巴托克的曲式与和声[J].音乐译丛,1979.

[2]钟子林.西方现代音乐概述[M].北京:人民音乐出版社,1996.

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