养老金替代率与养老险基金缺口预测

养老保险制度的改革在于保障广大退休人员的晚年基本生活，关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。现在，我国的养老保险改革正处于过渡期，预测养老保险基金的运行情况，对于完善养老保险制度的安排具有重要意义。本文针对文献[1]提出的问题，建立一系列的预测方法。

1社会平均工资的预测

养老金的发放与社会平均工资有着密切的关系。社会平均工资是指某地区（如某省）按年统计的职工平均工资。一般来说，社会平均工资逐年增长，增长率并不固定且随地区而异，所以预测养老保险基金的运行，首先要预测社会平均工资的变动。文献[1]给出了山东省1978年至2010年的职工平均工资统计表，要求以此为依据，预测该省从2011年至2035年的年平均工资。

1.1预测模型的理论分析

设y为年工资、t为时间，为避免计算数据的畸变，用t=1表示1978年，t=33表示2010年。文献[1]给出了33个数据yt（1≤t≤33），其中y33=32074（单位：元，下同）。经济性增长预测通常考虑指数模型y=aekt或逻辑斯蒂模型[2]y=（a+be-kt）-1，其中a、b、k为待定参数。前者可化为线性回归，但预测值会无限增长，且增速越来越大，不符合实际情况；后者不能线性化，用最小二乘拟合需做三维非线性搜索。有人在逻辑斯蒂模型中先选定k或a，经回归拟合后再设法做一些调整，但这些方法的预测结果都顾此失彼，经不起关于合理性的质疑。预测的准确性，当然最好由实践检验，但“将来”尚未发生，检验无从谈起。事实上，预测不总是准确的，其优劣只能用合理性来评判，有了合理性，才会有可靠性。一个好的预测，应该满足以下三个基本条件：

（1）预测模型要有理论依据的支持。逻辑斯蒂模型具有阻滞性质，有经济理论的支持，可信度有保障。指数模型只能在变型期工资快速增长阶段有效，用于长期预测，缺少理论依据。

（2）预测模型要保持连续性。这一点往往被忽视。尤其要保持“过去”与“将来”的交界点，即“现在”的连续性，具体而言就是2010年的连续性。工资增长最看重“当前”的基数，如果有跳空缺口，那么相当于将预测模型建立在“空中楼阁”之上，连预测近在眼前的2011年都非常不准，何谈以后？远期预测还有追加信息的机会，近期则没有，所以近期预测的不合理性，已经对整个预测做出了自我否定。有人关注t→∞时预测模型的“合理性”，这是一种偏见。因为任何模型都不可能预测到无穷远处，所以谈论工资趋向的“合理性”毫无意义。工资的变化与许多因素有关，对逻辑斯蒂模型要有深入的理解，在不同阶段，参数a、b、k的取值会因环境而变，只有随着时间的推移，不断追加信息，才能不断完善远期的预测。

（3）预测模型要充分运用现有的信息。对预测函数与散点的偏差进行最小化是充分利用信息的表现。在数理统计中，用偏差平方和作为目标是惯例，比较成熟。此外，还可考虑偏差的均匀性指标。但要明确的是，充分利用信息，最小化偏差平方和是一个有效途径，反之则不然，实施了偏差的最小化，未必充分利用了信息。由于是预测未来的工资，而不是预测过去的工资，也就是说，其预测函数与散点吻合的好差不是评判的标准，重要的是信息处理的合理性。比如，在存在跳空缺口的情况下，是在错误的基础上利用信息，非但不充分，反而会差之毫厘谬以千里。又比如，用线性化方法处理非线性问题，对信息的利用可能会产生异变。

1.2合理的预测模型

在上述分析的基础上，我们提出以下预测模型：min33t=1Σt1a+be-kt-ytΣΣ2s.t.a+be-33k=（32074）-1这是一个二维非线性规划，目标函数是加权的偏差平方和，加权体现了对近期信息的注重，约束条件来自于t=33（2010年）处的连续性y（33）=y33=32074。这个模型没有解析解，可用数值搜索的方法。用Matlab或Excel表都不难完成二维搜索。得到的具体结果为y=10000（0.06024）+（30.1094）e-（0.1450）t（1）以下将函数（1）记为y=y（t），它与散点拟合的均方误差为σ=455。该误差不如指数模型对应的σ=442，更不如无连续性约束经三维搜索得到的最小值σ=404，但比较这个指标没有意义，因为我们需要预测未来而不是预测过去，拟合误差小，只说明用来“预测”过去比较好。利用模型（1）预测未来的社会平均工资y（34）~y（67），部分结果如表1所示。

2养老金替代率的预测

2.1两个关键的概念

关于养老金的计算，必须理解和把握两个关键的概念：“个人指数化月平均缴费工资”和“缴费指数”。为叙述方便，本文改按顺时累计年份的流水号：i=0表示缴费起始年，i=n-1表示缴费结束年，n为缴费年限，i=n表示退休年，退休的那一年当然不缴费。

2.1.1个人指数化月平均缴费工资个人指数化月平均缴费工资记为S，计算公式为[2]S=cn-112nn-1i=0Σxici（2）其中：xi是第i年的个人缴费工资额，ci是第i年的社会平均工资。个人指数化月平均缴费工资是将不可比的xi，通过社会平均工资ci换算为反映参保人员在整个缴费年限的缴费工资平均水平。

2.1.2缴费指数职工第i年的缴费指数定义为λi=xici这里的ci可按公式（1）预测。设开始缴费的年份序号为T（例如2000年的年份序号为T＝2000－1977＝23），则预测值ci=y（T+i）。当然，如果T+i≤33（对应2010年），那么可直接用已知数据ci=yT+i，不必预测。但第ii年的个人缴费工资额xi却因人而异、因年而异，不易获得此项数据。文献[1]对此给出了重要提示：“某企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，可看作职工缴费指数的参考值。”这样就解决了缴费指数的计算问题。文献[1]给出了山东某企业各年龄段的工资分布表，由此计算各年龄段平均工资与企业平均工资之比，作为职工缴费指数λ的参考值，计算结果如表2所示。比如某职工从30岁开始缴费，到60岁退休，则n=30。其缴费指数从表2查得为：λ0~λ4=0.983，λ5~λ9=1.067，…，λ25~λ29=1.155。表2中缺少60~64岁的缴费指数，可通过数据拟合估算。将各年龄段用序号v表示，画出散点图后可以看出，大致呈抛物线状，故用二次函数拟合，得到λ=（0.4169）+（0.2453）v-（0.01882）v2以v=9代入，可得60~64岁的缴费指数为λ=1.100。

2.2养老金的计算

2.2.1A账户和B账户

我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式。企业把职工工资总额按20%的比例缴纳到社会统筹基金账户，这部分简称为A账户；职工个人工资按8%的比例缴纳到个人账户，简称为B账户。第i年的个人缴费工资额xi不易获得，但可通过缴费指数计算：xi=λici。A账户由社会统筹基金拨付，所以A账户没有利息，计算比较简单，退休时A账户中储存额的计算模型为A=n-1i=0Σ（20%）xi=0.2n-1i=0Σλici（3）B账户（个人账户）中的储存额需要计算利息，每年的利息可通过转存计入本金，故按复利计算。为简单起见，年利率统一设定为r=3%，则到退休时B账户中储存额的计算模型为B=0.08n-1i=0Σλici（1+r）n-i（4）。

2.2.2养老金的计算公式

我国企业退休职工的养老金计算公式[3]为：养老金＝基础养老金＋个人账户养老金；基础养老金＝（全省上年度在岗职工月平均工资＋个人指数化月平均缴费工资）÷2×缴费年限×1%；其中“：全省上年度在岗职工月平均工资”显然为cn-1/12，“个人指数化月平均缴费工资”即S，“缴费年限”用n表示；“个人账户储存额”即公式（4）的B，“计发月数”用m表示，其数值可参看文献[1]，而几个特殊的值为：55岁退休m=170，60岁退休m=139，65岁退休m=101。设基础养老金为p（每月），个人账户养老金为q（每月），则每月的养老金为（p+q）。将上面的文字型计算公式改换成数学公式，可得p、q的计算公式为p=cn-112i+Sin2•（1%），q=Bm再将式（2）和式（4）代入，即得p=cn-12400n+n-1i=0Σλiii（5）q=0.08mn-1i=0Σλici（1+r）n-i（6）2.3养老金替代率的计算养老金替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。退休前的工资是指退休前一年的月工资，即xn-1/12，而xn-1=λn-1cn-1，所以养老金替代率μ可用数学公式表示为μ=p+qxn-1/12=12（p+q）λn-1cn-1，将式（5）、（6）代入，可整理为μ=1λn-11200n+n-1i=0ΣλiΣii+0.96mn-1i=0Σλi（cicn-1）（1+r）n-Σi（7）其中：ci可查表1：ci=y（T+i）（T+i＞33），或用已知数据：ci=yT+i（T+i≤33）；λi可查表2；r=3%。有了养老金替代率的计算式（7）和表1、表2等数据及60~64岁的缴费指数推算值λ=1.100，很容易利用Excel表计算得到各种情况下的养老金替代率。表3列出了企业职工自2000年（对应T=23）起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴到退休（55岁，60岁，65岁）的计算结果，表中附有各种情况下的缴费年限、个人账户养老金计发月数的规定值m，这些数据对计算安排有

目标尚有较大差距。

3养老保险基金缺口的预测

3.1养老金的调整

增长率的一定比例[4]，记该比例为β。设第i年（i≥n）的基础养老金为pi，个人账户养老金为qi，则pi+1=piβ（cici-1Σ-1）+1Σ（8）qi+1=qiβ（cici-1Σ-1）+1Σ（9）其中：pn=p和qn=q分别由公式（5）、（6）确定，社会平均工资ci的下标滞后一年，是因为其统计结果通常在次年获得。根据网上查得的数据[3]，计算2008年~2010年的β值依次为0.53、0.64、0.80，呈上升趋势。考虑到社会平均工资的增长率将逐步减小且β≤1，因此估计以后的β值大致稳定在β=0.8。代入式（8）、（9），不难递推计算出退休后所有年份的养老金。

3.2账户余额函数

A账户和B账户合称为养老保险基金。账户的运行规则是基础养老金pi由A账户拨付，个人账户养老金qi由B账户支付，故账户余额应分别计算。A账户不计利息，账户余额容易计算。设A账户第i年的余额为f（i），则有递推式f（i）=f（i-1）-12pi（10）其中：i≥n；f（n-1）=A由公式（3）确定；pi由公式（8）确定。B账户在支付养老金的同时，仍在产生利息。设B账户第i年的余额为g（i），则g（i）=wig（i-1）-12qi（11）其中：i≥n；g（n-1）=B由公式（4）确定；qi由公式（9）确定；g（i-1）≥0时wi=1+r，g（i-1）＜0（发生透支）时wi=1。f（i）和g（i）称为账户余额函数。由上述递推公式可算出退休后任何一年的账户余额。需要说明的是，公式（11）是按年计息，而养老金是按月发放，似乎可以做更细致的利息计算。其实不然，因为无论在哪个月发放养老金，B账户都处于同一计息年度，尚未达到计息时限，属于提前支取，不计利息，所以公式（11）并无瑕疵。

3.3两个账户的收支平衡点

A账户和B账户分开运作，余额非负时，两者互不干扰。两个账户都有可能发生透支，因为有社会统筹支撑，所以透支不影响养老金的支付，但计算透支额，即可知道养老保险基金的缺口情况。若有某个I＞n，使得f（I）≥0而f（I+1）＜0，则I就是A账户收支平衡的年份。若有某个J＞n，使得g（J）≥0而g（J+1）＜0，则J就是B账户收支平衡的年份。两个账户的收支平衡点一般不相同。下面是一个具体例子。某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴到退休，退休年龄为55岁、60岁、65岁。根据式（3）～（6）和式（8）～（11），利用Excel表逐个计算各年份的账户余额f（i）和g（i），即可获得平衡点，非常方便。其中r=3%，社会平均工资仍按ci=y（23+i）（i＞10）预测，可查表1。两个账户的收支情况和平衡点的具体结果如表4所示。根据养老保险制度设计的基本精神，当A账户发生透支时，不可用B账户资金填补，而当B账户发生透支时，可用A账户资金填补，但一般不够填补，透支依然发生。所以整个养老保险基金的平衡点以先发生透支的账户为准。表4显示，55岁退休，62岁（2032年）达到平衡，下一年打破平衡出现透支；60岁退休，68岁（2038年）达到平衡，下一年打破平衡出现透支；65岁退休，73岁（2043年）达到平衡。B账户的透支时点与计发月数基本相当，规定的计发月数可分别折算为14.2年、11.6年、8.4年，表4显示B账户透支前发放14年、12年、9年，两者之间的差距主要来自于养老金的增长和利息参与。3.4养老保险基金的缺口两个账户的透支总额即为养老保险基金的缺口。考虑一个具体例子：2000年30岁开始缴费，至75岁死亡，账户运行至2044年（死亡当年的补偿、丧葬费等属于另外的账户），对应i=44。两个账户的透支额分别为f（44）和g（44）（负值），仍按式（10）和（11），延续表4的计算过程，计算结果如表5所示。从表5可看出，除缴费35年外，养老保险基金的缺口比较严重，分别达50.4万元和32.5万元。在公式（8）、（9）中，若养老金调整幅度比例取β=1，则养老金发放水平将有所提高，但养老保险基金的缺口将增加10%～20%，通过相应的计算可得：表5的养老保险基金透支总额分别增加到56.1万、32.5万、2.8万，不过表4的账户收支平衡点基本不变。